Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la Trasformació Lineal en R2
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CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
CICATA-IPN
Trabajo que presenta
Héctor Hernández Guzmán
P R E S E N TA C I Ó N D E L A T E S I S
Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la Transformación Lineal en R2
México, D. F. octubre de 2013Directores de tesisM.C. Juan Gabriel Molina ZavaletaDr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza
En este trabajo se plantea el diseño de una secuencia
didáctica para el estudio, en alumnos de nivel superior,
del concepto de Transformación Lineal (TL) en R2,
y que se estudia en la materia de
Álgebra Lineal,
idea que nace ante la dificultad en estudiantes
para aceptar la existencia de ciertas
transformaciones lineales en contexto geométrico.
Creemos que algunas de esas dificultades que los estudiantes
enfrentan se deben a la influencia de modelos tácitos intuitivos
presentes en ellos,
por lo que este trabajo se basa en la
Teoría de los modelos intuitivos de Fischbein (1989),
quien considera que los modelos que crean
los estudiantes son, casi siempre, representaciones imperfectas
de los conceptos modelados.
Las consideraciones teóricas en que fundamentamos
nuestro trabajo se centran en aspectos
tácitos del conocimiento
es decir
los modelos tácitos.
En relación a la intuición, Fischbein señala que su papel
es el de crear una apariencia de certeza
sobre las interpretaciones o representaciones, y
considera que la intuición o conocimiento intuitivo es
un tipo de cognición, el cual se acepta de forma
inmediata por ser evidente, confiriéndole un carácter de
certeza intrínseca.
Respecto al tema de la transformación lineal esta es una clase
especial de función, definida como T:U U sobre el conjunto R
misma que cumple con las siguientes dos propiedades
1. ( ) ( ) ( ), ,T u v T u T v u v T en el dominio de
2. ( ) ( ),T cu cT u u c y todos los escalares
En esta presentación planteamos lo que se hizo,
cómo se hizo y qué se logró al aplicar a cinco
estudiantes una secuencia sobre la TL.
e identificar si el diseño de la misma conduce a los
estudiante a adquirir un conocimiento sobre la TL en
función de sus modelos tácitos.
Para esta investigación, se consideró un resultado del
trabajo de Molina (2004) donde se concluyó que los
estudiantes entrevistados no reconocieron la
transformación lineal de corte.
Por lo anterior, nos planteamos la tarea de diseñar una
secuencia cuyo propósito didáctico es que el estudiante
construya un modelo
que incluya más características de la TL en R2,
es decir, que no sólo considere expansiones,
contracciones, rotaciones y las combinaciones de éstas.
Este modelo lo concebimos bajo dos formas explícitas:
1
La transformación en R2 como el
cambio de forma
de objetos representados en el plano, generado
como consecuencia de
mover los ejes x y y del
plano cartesiano
2
La transformación en R2 como un
modelo algebraico
que representa el cambio de forma de los objetos en
R2 debido al movimiento de los ejes.
El modelo algebraico es el siguiente:
El análisis a priori de las
dos actividades propuestas
para la secuencia didáctica
se desarrollaron
conforme
a lo siguiente:
Actividad 1
Para que el estudiante construya tal conocimiento
proponemos involucrarlo en la realización de cuatro
tareas (ver secuencia didáctica), éstos son
problemas matemáticos que involucran
figuras geométricas en R2.
Las tareas están pensadas desde la teoría de la intuición
de Fischbein (1987, 1989),
por lo siguiente:
Asumimos que algunas representaciones observables
que se pueden manipular, favorecen la percepción de
ideas intuitivas. Por lo anterior, un
modelo explícito
como una figura, es un objeto concreto (observable),
y partimos del supuesto de que puede ser
manipulado mentalmente.
Actividad 2
Para que el estudiante construya dicho modelo
algebraico proponemos involucrarlo en la realización
de tres tareas (ver secuencia didáctica).
Las tareas están íntimamente relacionadas porque
cada solución de ellas es
una de las etapas
para determinar el modelo en cuestión.
En esta segunda actividad estamos considerando
que el alumno ya ha construido un
modelo mental
sobre la TL, el cual se generó durante el
desarrollo de la actividad 1.
SECUENCIA DIDÁCTICA
EL diseño de la secuencia consta de
siete tareas
en las cuales a partir de la observación de ciertos
dibujos o modelos explícitos
se les pide a los estudiantes una respuesta
detallada en relación a la explicación dada, y
se muestran a continuación:
Si se mueve el eje x y el eje y como en la figura 2, ¿cómo queda dibujado el triángulo?
Elabore una respuesta y explique detalladamente.
Figura 2
Tarea 2. Si se mueve el eje x y el eje y como en la figura 3, ¿cómo queda dibujado el triángulo de la figura 1? Elabore una respuesta y explique detalladamente.
Figura 3
Tarea 3. Si se mueve el eje y como en la figura 4, ¿cómo quedaría dibujado el triángulo de la figura 1 (nota: el eje x' queda en el mismo lugar que el eje x)?
Elabore una respuesta y explique detalladamente.
Figura 4
Si se mueve el eje x y el eje y como en la figura 6, ¿cómo queda dibujado el vector?
Elabore una respuesta y explique detalladamente.
Figura 6
Tarea 5. Se ha movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4,7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 7. ¿Cuál es la coordenada del punto (x’
1, y’1) en el plano x - y?
Elabore una respuesta y explique detalladamente.
Figura 7
Tarea 6. Se ha movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4,7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 8. ¿Cuál es la coordenada del punto (x’
2, y’2) en el plano x - y?
Elabore una respuesta y explique detalladamente
Figura 8
Tarea 7. Se ha movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4,7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 9. ¿Cuál es la coordenada (x’, y’) del vector C en el plano x - y?
Elabore una respuesta y explique detalladamente.
Figura 9
PUESTA EN ESCENA
Se seleccionaron cinco alumnos de la carrera de
Ingeniería Industrial del Tecnológico de Estudios
Superiores de Cuautitlán Izcalli (TESCI).
Los estudiantes contaron para la solución de la
secuencia con hojas blancas y bolígrafos.
El no darles lápices a los estudiantes fue para que no
borraran lo hecho conservándose las evidencias de
los intentos en la solución de las tareas.
Para trabajar, cada uno de los estudiantes ocupó una mesa
donde se dispuso para su uso de hojas blancas y bolígrafos.
El profesor proporcionó a cada estudiante la primera tarea a resolver, y posteriormente les explica en qué consiste
ésta.
Nosotros consideramos que no era forzoso que respondieran correctamente la actividad, pues
queríamos observar cómo respondían los estudiantes la secuencia.
Antes que los estudiantes resolvieran la secuencia se les comentó que podían hacer preguntas, mismas
que serían contestadas por el profesor, en el sentido de clarificar el contenido de la pregunta, pero no la
forma de resolverla.Como ninguno de los estudiantes preguntó, no se
efectuó dicha intervención.La no intervención del profesor, fue un hecho intencional, se deseaba constatar hasta dónde
podían responder los estudiantes la secuencia solos, para examinar las interpretaciones que ellos hacían
de los modelos explícitos.
Para ejemplificar los resultados
presentamos de manera particular lo
realizado por el estudiante Andrés.
Tarea 1
Andrés identificó tanto el plano cartesiano como el triángulo rectángulo, intuye que el triángulo gira junto con los ejes coordenadosmanteniéndose los catetos del triánguloparalelos a los nuevos ejes
Tarea 2
Identifica la posición de los nuevos ejes, pero no ubica el primer
cuadrante en este sistema, por lo que no dibuja al triángulo. Extrapola la
posición del eje x’ de la tarea anterior así como al correspondiente eje y’
(ortogonal) y también lo dibuja.
El modelo coercitivo que tiene de R2
hace que dibuje otro eje x’
ortogonal al eje y’ de esta
tarea 2, haciendo coincidir
la hipotenusa del triángulo
con este eje x’.
Tarea 3
Identifica la posición de los nuevos ejes x’- y’. Se ve que
extrapola el modelo mental generado en las tareas
anteriores y dibuja otro eje y ortogonal al original y’.
Aunque confunde los ejes,
extrapola la idea de que la
hipotenusa del triángulo
está sobre un eje coordenado x’.
Tarea 4
El nuevo modelo explícito (un vector) influye en él pues no logra ubicarlo en el nuevo sistema coordenado x’- y’. Considera que el
lado opuesto de x’ es x, y el de y’ es y. Luego intuye que estos ejes
son como los originales, por lo que,
si el vector mostrado esta entre
el eje x y el eje y, también
lo estará entre sus nuevos
ejes x, y.
Para ubicarlo gradúa a los ejes
y así lo posiciona en lugar que
considera es el correcto
Tarea 5
Extrapola la idea de cómo se posiciona un vector
de la tarea anterior y de
inmediato ubica al
vector (4,7)
haciendo
graduaciones en los ejes del sistema original x – y.
Luego, en otro dibujo termina de dibuja el modelo
explicito de la tarea 5.
Como su modelo mental se basa en los ejes coordenados también
dibuja al ángulo de 45° fijando así al eje x’, por lo que solo mueve
(o gira) al eje y’. No logra ubicar al vector C.
Basándose en la posición que guarda
el vector C con el eje x intuye
se nueva posición y lo dibuja.
Su modelo mental no contempla al
punto ni a sus coordenadas (x’1,y’1) por
lo que no las calcula. Se aprecia una reflexión.
Tarea 6Extrapola lo hecho en la tarea anterior y agrega un nuevo dato el ángulo de 60°, y considera que ambos ejes x’ y y’ quedan fijos.Asigna los valores del vector (4,7) a los ejes primos correspondientes.Pensamos que ya esta presente elpunto (x’2,y’2) en su modelo y lo calcula dando para x’2 el valor de – 4 (tal vez considerando quela distancia a medir parte de C hacia y’1 por lo que le cambia el signo).
Tarea 7
Igual que en las dos tareas anteriores dibuja el modelo
explícito de la tarea. Extrapola la idea de la tarea
anterior de cómo obtuvo el punto (-4,7)
y asigna las coordenada (4,-7) al
punto (x’2,y’2). Finalmente
resuelve la tarea y asigna las
coordenadas (-4,-7) al vector C.
A continuación se presenta un análisis de
la puesta en escena de la secuencia
didáctica,
considerando cada una de las las tareas
resueltas por los estudiantes.
Tarea 1
Los modelos explícitos de la figura 1 son entendidos por los estudiantes pues se aprecia que han
identificado que el ángulo recto está en ambos modelos (figuras 1 y 2) y que los catetos son
paralelos a los ejes coordenados. Identifican el movimiento
de los ejes junto con el triángulo como un giro, manteniéndose la perpendicularidad de R2.
Tarea 2
Los estudiantes identifican que los ejes se movieron. No todos dibujan al triángulo y quienes
lo hacen lo presentan sindeformarlo
pues aparentemente no hay nada que les haga suponer que cambia de forma.
Otra razón puede ser que un rasgo del modelo mental que tienen del triangulo no les permite
deformarlo.
Tarea 3
Se aprecia que los estudiantes intuyen que los ejes se mueven, pero no cómo lo hacen, por lo
que no identifican la posición correcta del triángulo, y aunque lo dibujan
tampoco lo deformanPensamos que el modelo mental que ellos tienen
del triángulo es el de una figura que no se deforma
coaccionando su respuesta implícitamente.
Tarea 4
Se ve que los estudiantes identifican al nuevo modelo explícito (vector) pero no pueden
manipularlo conjuntamente con R2
Se aprecia que tratan de ubicar al vector en función de cómo sus modelos mentales intuyen el
movimiento de los ejes por lo que no lo ubican en la posición correcta.
Es posible también que el modelo explícitoal no proporcionarles la dirección de éste, tampoco puedan determinar su sentido.
Tarea 5
Los estudiantes identifican al vector (4,7) en el plano x - y, se aprecia que no han construido un modelo
mental de la forma en que giran los ejes, por lo que no pueden determinar la dirección del vector
respecto al nuevo sistema coordenado.Posiblemente el modelo explícito de la figura 5 coaccione las respuestas de lo estudiantes pues
todos ellos no calcularon las coordenadas del punto (x1
’,y1’)
que se les piden, y proceden a calcular las coordenadas de punto (x’,y’)en función del único dato
numérico en el modelo, el vector (4,7).
Tarea 6
Los estudiantes extrapolan la solución que dieron en la tarea anterior y proceden a calcular las
componentes de C en función del par ordenado(4,7)
Posiblemente un modelo mental generado en las dos tareas anteriores coaccione sus respuestas, pues igual que en la tarea anterior la mayoría de los estudiantes no calcularon las coordenadas del
punto (x2’,y2
’)
Tarea 7
Tratan de posicionar al vector C, sin hacer cálculos, pues no consiguieron determinar
correctamente las coordenadas de los puntos(x’1,y’1) y (x’2,y’2)
Los estudiantes extrapolan la idea generada en las dos tareas anteriores y tratan de obtener las componentes del vector C definidas por (x’,y’),
nuevamente en función del único dato numérico que es el vector (4,7).
Al observar lo realizado por los estudiantes notamos
que ellos se enfocan en
encontrar el vector C.
Puede ser error del modelo explícito mostrado a los
estudiantes, pues en el dibujo resalta el vector C
mientras que los puntos que se desean encontrar no
resaltan. Entonces implícitamente le estamos diciendo
al estudiante que "lo importante es el vector C".
CONCLUSIONES
En la solución de esta secuencia emergen ideas intuitivas que se convierte en un obstáculo para
que el estudiante resuelva adecuadamente tareas posteriores, como la perpendicularidad
entre ejes o el mismo triángulo rectángulo,
pues no es sencillo que los estudiantes perciban que una figura se tiene que deformar.
Posiblemente se requiera un conocimiento previo para que lleguen a la conclusión de que el triángulo
también cambia de forma.
Otra situación que se pudo haber presentado en la
tareas 1 es que los estudiantes la resolvieron por ser
simple o intuitiva, y se pudo haber convertido en
una técnica que al extrapolarla les impidió resolver
las siguientes tareas.
Lo anterior surge porque la solución de la tarea 1
implica que los ejes se pueden mover y el triángulo
junto con ellos, pero sin deformarse éste último.
Algunos modelos explícitos usados resaltaron, sin
darnos cuenta, elementos que alteraron el orden
deseado en la solución de las tareas, e incluso la
interpretación de la misma.
Por lo anterior, es conveniente que los modelos
explícitos empleados contribuyan implícitamente a
la solución de una tarea específica a resolver.
Situaciones como la anterior podrían solventarse si se hace presente
la
participación del profesor con la intención de que los modelos de los
estudiantes se vean coaccionados o motivados por su influencia al
resolverse la secuencia.
Al usar un modelo explícito para comunicar
alguna idea,
implícitamente
le podemos estar comunicando otra a los estudiantes, lo que pudo ser un obstáculo en
la solución
de la secuencia didáctica.
Por ejemplo, en la expresión “Plano x – y”
el modelo algebraico pudo haber
coaccionado sus respuestas,
al interpretar a éste como las coordenadas de un punto en el cuarto cuadrante.
También debe de tenerse cuidado en la redacción de las preguntas para separar la idea que se quiere que
manipulen los estudiantes.
En nuestro caso, aunque estamos planteando la idea
de movimiento, esta no implica necesariamente una
deformación o cambio de forma como nosotros lo
habíamos considerado.