7-6 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN 2» BLOQUES 297

7·6 CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN 2P BLOQUES

+

+

b 'abed = ab 2 ed = aed

++

Signo de BCE Signo deABCD

+

+

SignodeADE

b'ad= abd

Bloque 1Bloque 2Bloque 3Bloque 4

Combinaciones de lostratamientos en el

b ·(1)= b

Los métodos descritos antes pueden extenderse a la construcción de un diseño factoria12k confundido (omezclado) en 2P bloques (p < k), donde cada bloque contiene exactamente 2k

-p corridas. Se seleccionanp

efectos independientes que van a confundirse, donde por "independientes" se entiende que ninguno delos efectos elegidos es la interacción generalizada de los demás. Los bloques pueden generarse mediante

etcétera, lo que producirá las ocho combinaciones de tratamientos del bloque 3. En la práctica, el bloqueprincipal puede obtenerse a partir de la definición de contrastes y de la propiedad de la teoría de grupos, ylos demás bloques pueden determinarse a partir de estas combinaciones de los tratamientos aplicando elmétodo que se presentó anteriormente.

El procedimiento general para construir un diseño 2k confundido en cuatro bloques consiste en elegirdos efectos para generar los bloques, confundiéndose automáticamente un tercer efecto que es la interac­ción generalizada de las dos primeras. Después se construye el diseño utilizando las dos definiciones decontrastes (L 1, L 2) Ylas propiedades de la teoría de grupos del bloque principal. Al seleccionar los efectosque van a confundirse con los bloques, debe tenerse cuidado de obtener un diseño en el que no estén con­fundidos efectos que pueden ser de interés. Por ejemplo, en un diseño 25 podría elegirse confundirABCDE yABD, con lo cual se confunde automáticamente CE, un efecto que es de posible interés. Unamejor elección es confundirADE y BCE, con lo cual se confunde automáticamenteABCD. Es preferiblesacrificar información en las interacciones de tres factoresADE y BCE en lugar de la interacción de dosfactores CE.

etcétera. Para construir otro bloque se selecciona una combinación de tratamientos que no esté en el blo­que principal (por ejemplo b), Yb se multiplica por todas las combinaciones de tratamientos del bloqueprincipal. Se obtiene así

define como el producto deADE yBCE módulo 2. Por lo tanto, en el ejemplo tratado aquí la interaccióngeneralizada (ADE)(BCE) =ABCDE2 =ABCD también está confundido con los bloques. Es sencillo ve­rificar esto refiriéndose a la tabla de signos positivos y negativos del diseño 25

, como en Davies [36]. Lainspección de esta tabla revela que las combinaciones de los tratamientos se asignan a los bloques de la si­guiente manera:

Observe que el producto de los signos de dos efectos cualesquiera de un bloque particular (por ejemploADE y BCE) produce el signo del otro efecto de ese bloque (en este caso, ABCD). Por lo tanto, ADE,BCE y ABCD están confundidos con los bloques.

Las propiedades de la teoría de grupos del bloque principal mencionadas en la sección 7-4 siguensiendo válidas. Por ejemplo, se observa que el producto de dos combinaciones de tratamientos del bloqueprincipal produce otro elemento del bloque principal. Es decir,

ad .be = abed y abe' bde = ab 2 de 2 = ad

V1Y.tn~Pt'íff:L:TI. ~.{ Iiiltfji:HuKIñ- - - ..... '!i! 'o...S'lIut.l M~)~ ~

- - -·H;:; '!"'l:; ¡

...~

---------

N\OC1J

Tabla 7-8 Disposiciones de los bloques sugeridas para el diseño factorial 21<

Número de Número de Tamaño del Efectos elegidos parafactores, k bloques,2P bloque, 2k-p generar los bloques

3 2 4 ABC

4 2 AB,AC

4 2 8 ABCD

4 4 ABC,ACD

8 2 AB, Be, CD

5 2 16 ABCDE

4 8 ABC, CDE

8 4 ABE, BCE, CDE

16 2 AB, AC, CD, DE

6 2 32 ABCDEF

4 16 ABCF, CDEF

8 8 ABEF, ABCD, ACE

16 4 ABF, ACF, BDF, DEF

32 2 AB, Be, CD, DE, EF

7 2 64 ABCDEFG

4 32 ABCFG, CDEFG

8 16 ABC, DEF, AFG

16 8 ABCD, EFG, CDE, ADG

32 4 ABG, BCG, CDG, DEG, EFG

64 2 AB, Be, CD, DE, EF, FG

Interacciones confundidas con los bloques

ABC

AB,AC,BC

ABCD

ABC,ACD,BD

AB, BC, CD, AC, BD, AD, ABCD

ABCDE

ABC, CDE, ABDE

ABE, BCE, CDE, AC, ABCD, BD, ADE

Todas las interacciones de dos y cuatro factores (15 efectos)

ABCDEF

ABCF, CDEF, ABDE

ABEF, ABCD, ACE, BCF, BDE, CDEF, ADF

ABE, ACF, BDF, DEF, BC, ABCD, ABDE, AD, ACDE, CE, BDF,BCDEF, ABCEF, AEF, BE

Todas las interacciones de dos, cuatro y seis factores (31 efectos)

ABCDEFG

ABCFG, CDEFG, ABDE

ABC, DEF, AFG, ABCDEF, BCFG, ADEG, BCDEG

ABCD, EFG, CDE, ADG, ABCDEFG, ABE, BCG, CDFG, ADEF,ACEG, ABFG, BCEF, BDEG, ACF, BDF

ABG, BCG, CDG, DEG, EFG, AC, BD, CE, DF, AE, BE, ABCD,ABDE, ABEF, BCDE, BCEF, CDEF, ABCDEFG, ADG, ACDEG,ACEFG, ABDFG, ABCEG, BEG, BDEFG, CFG, ADEF, ACDF,ABCF,AFG

Todas las interacciones de dos, cuatro y seis factores (63 efectos)

7-7 CONFUSIÓN PARCIAL 299

el uso de lasp definiciones de contrastes L 1, L 2, ••• , L p asociadas con estos efectos. Asimismo, se confundi­.rán otros 2P - P -1 efectos con los bloques, siendo éstos las interacciones generalizadas de losp efectos in­dependientes elegidos inicialmente. Deberá tenerse cuidado al seleccionar los efectos que van aconfundirse para que no se sacrifique información sobre los efectos que pueden ser de interés potencial.

El análisis estadístico de estos diseños es directo. Las sumas de cuadrados de todos los efectos secalculan como si no se hubiera hecho la formación de bloques. Después, la suma de cuadrados de los blo­ques se encuentra sumando las sumas de cuadrados de todos los efectos confundidos con los bloques.

Obviamente, la elección de losp efectos usados para generar el bloque es crítica, ya que la estructurade la confusión (o mezclado) del diseño depende directamente de ellos. En la tabla 7-8 se presenta unalista de diseños útiles. Para ilustrar el uso de esta tabla, suponga que quiere construirse un diseño 26 con­fundido en 23 = 8 bloques con 23 = 8 corridas cada uno. La tabla 7-8 indica que se elegiríanABEF, ABCD

. yACE como losp = 3 efectos independientes para generar los bloques. Los 2f' - p -1 = 23- 3 -1 = 4 efec­

tos restantes que están confundidos son las interacciones generalizadas de estos tres; es decir,

(ABEF)(ABCD) = A 2 B 2 CDEF= CDEF

(ABEF)(ACE) = A 2 BCE2 F= BCF

(ABCD)(ACE) = A 2 BC 2 ED= BDE

(ABEF)(ABCD)(ACE) = A 3 B 2 C 2 DE2 F= ADF

En el problema 7-11 se le pide al lector que genere los ocho bloques de este diseño.

7.7 CONFUSIÓN PARCIAL

En la sección 7-4 se subrayó que, a menos que los experimentadores cuenten con una estimación previadel error o que estén dispuestos a suponer que ciertas interacciones son insignificantes, deben hacer ré­plicas del diseño para obtener una estimación del error. En la figura 7-3 se muestra un diseño factorial 23

en dos bloques conABC confundido, con cuatro réplicas. Por el análisis de varianza de este diseño, el cualse presenta en la tabla 7-5, se observa que no puede sacarse información acerca de la interaccióllABC de­bido a queABC está confundido con los bloques en todas las réplicas. Se dice que este diseño está comple­tamente confundido (o mezclado).

Considere la alternativa que se presenta en la figura 7-6. De nueva cuenta hay cuatro réplicas del di­seño 23

, pero en cada réplica se ha confundido una interacción diferente. Es decir,ABC está confundido enla réplica I,AB está confundido en la réplica n, BC está confundido en la réplica nI yAC está confundidoen la réplica IV: Como resultado puede obtenerse información deABC a partir de los datos de las réplicasn, In y IV; información deAB puede obtenerse de las réplicas I, nI y IV; información deAC puede obte-

Réplica ID

BC Confundido

Réplica IV

AC Confundido

Réplica I Réplica U

ABe Confundido AB Confundido

(1) a (1 ) a

ab b e b

ae e ab ae

be abe abe be

Figura 7·6 Confusión parcial en el diseño 23•

(1)

a

be

abe

b

e

ab

ae

(1 )

b

ae

abe

a

e

ab

be

IIn

~l' .·1

::?!'¡¡;~:1"

r.:.¡¡;.

:5

300 CAPÍTULO 7 FORMACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2"

Tabla 7-9 Análisis de varianza de un diseño 23 parcialmente confundido

Grados deFuente de variación libertad

Réplicas 3

Bloques dentro de réplicas [oABC (rép. 1) +AB (rép. II)+ BC (rép. III) +AC (rép. IV)] 4

A 1

B 1

C 1

AB (de las réplicas 1, III YIV) 1

A C (de las réplicas 1, II YIII) 1

BC (de las réplicas 1, II YIV) 1

ABC (de las réplicas 1, III YIV) 1

Error 17

Total 31

nerse de las réplicas I, II YIII; e información de BC puede obtenerse de las réplicas I, II YIV. Se dice quepueden obtenerse tres cuartas partes de la información de las interacciones porque no están confundidasen sólo tres réplicas. Yates [l13b] llama a la relación 3/4 la información relativa de los efectos confundi·dos. Se dice que este diseño está parcialmente confundido (o mezclado).

En la tabla 7-9 se muestra el análisis de varianza de este diseño. Para calcular las sumas de cuadradosde las interacciones, sólo se usan los datos de las réplicas en las que no está confundida una interacción.La suma de cuadrados del error consta de las sumas de cuadrados de réplicas x sumas de cuadrados deefecto principal, más las sumas de cuadrados de réplicas x sumas de cuadrados de interacción para cadaréplica en la que esa interacción no está confundida (por ejemplo, réplicas x ABC para las réplicas II, IIIY IV). Además, hay siete grados de libertad entre los ocho bloques. Es común hacer la partición de tresgrados de libertad para las réplicas y cuatro grados de libertad para los bloques dentro de las réplicas. Lacomposición de la suma de cuadrados de los bloques se muestra en la tabla 7-9 y se sigue directamente dela elección del ef~cto confundido en cada réplica.

EJEMPLO 7,3 .

Un diseño 23 con confusión parcialConsidere el ejemplo 6-1, en el que se realizó un estudio para determinar el efecto del porcentaje de car­bonatación (A), la presión de operación (B) y la velocidad de línea (C) sobre la altura de llenado de unabebida carbonatada. Suponga que cada lote de jarabe alcanza sólo para probar cuatro combinaciones detratamientos. Por lo tanto, cada réplica del diseño 23 debe correrse en dos bloques. Se corren dos réplicas,con ABC confundido en la réplica I y AB confundido en la réplica II. Los datos son los siguientes:

Réplica 1ABC confundido

Réplica IIAB confundido

(1) = -3ab = 2ae = 2be = 1

a= Ob =-1e = -1

abe = 6

(1) = -1e= O

ab = 3abe = 5

a = 1b=O

ae ="lbe = 1

"

7-8 PROBLEMAS 301,

Tabla 7-10 Análisis de varianza del ejemplo 7-3

Fuente de Suma de Grados de Cuadradovariación cuadrados libertad medio Fa Valor P

Réplicas 1.00 1 1.00Bloques dentro de las réplicas 2.50 2 1.25A 36.00 1 36.00 48.00 0.0001B 20.25 1 20.25 27.00 0.0035C 12.25 1 12.25 16.33 0.0099AB (sólo en la réplica 1) 0.50 1 0.50 0.67 0.4503AC 0.25 1 0.25 0.33 0.5905BC 1.00 1 1.00 1.33 0.3009ABC (sólo en la réplica 11) 0.50 1 0.50 0.67 0.4503Error 3.75 5 0.75

. 'Ibtal 78.00 15

Las sumas de cuadrados deA, B, C, AC yBC pueden calcularse de la manera usual, utilizando las 16observaciones. Sin embargo, SSABC debe encontrarse utilizando únicamente los datos de la réplica n ySSAB utilizando únicamente los datos de la réplica 1 de la siguiente manera:

[a+b+c+abc- ab- ac- bc-(1)]2SSABC = k

n2

= [1+0+0+5-3-1-1-(-1)f =0.50(1)(8)

S = [(l)+abc-ac+c-a-b+ab-bcfAB n2k

[-3+6-2+(-1)-0-(-1)+2-1]2 = 0.50(1)(8)

La suma de cuadrados de las réplicas es, en general,n R2 2

SS =" _h _I::-Rep LJ 2k N

h=l

\1'

(16)2 = foo16

donde Rh es el total de las observaciones en la réplica h-ésima. La suma de cuadrados de los bloques es lasuma de SSABC de la réplica 1 y SSAB de la réplica n, o SSBloques = 2.50.

En la tabla 7-10 se resume el análisis de varianza. Los tres efectos principales son importantes.

7.8 PROBLEMAS

7-1. Considere el experimento descrito en el problema 6-1. Analizar este experimento suponiendo que cada ré­plica representa un bloque de un solo turno de producción.

7-2. Considere el experimento descrito en el problema 6-5. Analizar este experimento suponiendo que cada unade las cuatro réplicas representa un bloque.

7-3. Considere el experimento de la formación de fisuras en la aleación de níquel y titanio descrito en el problema6-15. Suponga que sólo pudieron hacerse 16 corridas en un solo día, por lo que cada réplica se trató como unbloque. Analizar el experimento y sacar conclusiones.

302 CAPÍTULO 7 FORlviACIÓN DE BLOQUES Y CONFUSIÓN EN EL DISEÑO FACTORIAL 2k

7-4.

7-5.

7-6.

7-7.

7-8.

7-9.

7-10.

7-11.

7-12.

7-13.

7-14.

7-15.7-16.

7-17.

Considere los datos de la primera réplica del problema 6-1. Suponga que no fue posible correr todas estas ob.servaciones utilizando barras del mismo lote. Establecer un diseño para correr estas observaciones en dosbloques de cuatro observaciones cada uno con ABC confundido. Analizar los datos.Considere los datos de la primera réplica del problema 6-7. Construir un diseño con dos bloques de ocho ob.servaciones cada uno con ABCD confundido. Analizar los datos.Repetir el problema 7-5 suponiendo que se requieren cuatro bloques. Confundir ABD yABC (y por consi­guiente CD) con los bloques.Utilizando los datos del diseño 25 del problema 6-21, construir y analizar un diseño en dos bloques conABCDE confundido con los bloques.Repetir el problema 7-7 suponiendo que se necesitan cuatro bloques. Sugerir un esquema de confusión (omezclado) razonable.Considere los datos del diseño 25 del problema 6-21. Suponga que fue necesario correr este diseño en cuatrobloques con ACDE y BCD (y por consiguiente ABE) confundidos. Analizar los datos de este diseño.Diseñar un experimento para confundir un diseño factorial 26 en cuatro bloques. Sugerir un esquema de con­fusión apropiado, diferente del que se ilustró en la tabla 7-8.Considere el diseño 26 en ocho bloques con ocho corridas cada uno conABCD, ACE yABEF como los efec­tos independientes elegidos para confundirlos con los bloques. Generar el diseño. Encontrar los demás efec­tos confundidos con los bloques.Considere el diseño 22 en dos bloques conAB confundido. Hacer la demostración algebraica de que SSAB =SSmoques'Considere los datos del ejemplo 7-2. Suponga que todas las observaciones del bloque 2 se incrementan en 20.Analizar los datos que resultarían. Estimar el efecto de bloque. ¿Puede el lector explicar su magnitud? ¿Losbloques parecen ser ahora un factor importante? ¿Hay otras estimaciones de los efectos que sufran el impac­to de este cambio hecho en los datos?Suponga que en el problema 6-1 se confundióABC en la réplica I,AB en la réplica 11 yBC en la réplica 111.Calcular las estimaciones de los efectos. Construir la tabla del análisis de varianza.Repetir el problema 6-1 suponiendo que ABC se confundió con los bloques en todas las réplicas.Suponga que en el problema 6-7ABCD se confundió en la réplica I yABC se confundió en la réplica 11. Reali­zar el análisis estadístico de este diseño.Construir un diseño 23 conABC confundido en las dos primeras réplicas yBC confundido en la tercera répli­ca. Delinear el análisis de varianza y comentar la información obtenida.

"

Diseños factoriales

fraccionados de dos niveles

8.1 INTRODUCCIÓN

Cuando el número de factores de un diseño factorial 2k se incrementa, el número de corridas necesariaspara realizar una réplica completa del diseño rebasa con rapidez los recursos de la mayoría de los experi­mentadores. Por ejemplo, una réplica completa de un diseño 26 requiere 64 corridas. En este diseño, sólo6 de los 63 grados de libertad corresponden a los efectos principales, y sólo 15 a las interacciones de dosfactores. Los 42 grados de libertad restantes se asocian con las interacciones de tres o más factores.

Si el experimentador puede suponer razonablemente que ciertas interacciones de orden superior soninsignificantes, es posible obtener información de los efectos principales y las interacciones de orden infe­rior corriendo únicamente una fracción del experimento factorial completo. Estos diseños factorialesfraccionados se encuentran entre los tipos de diseños de uso más generalizado en el diseño de productos yprocesos y en el mejoramiento de procesos.

Una de las principales aplicaciones de los diseños factoriales fraccionados es en los experimentos detamizado o exploración. Se trata de experimentos en los que se consideran muchos factores y el objetivoes identificar aquellos factores (en caso de haberlos) que tienen efectos grandes. Los experimentos de ta­mizado suelen realizarse en las etapas iniciales de un proyecto, cuando es posible que muchos de los fac­tores considerados en un principio tengan un efecto reducido o nulo sobre la respuesta. Entonces losfactores que se identifican como importantes se investigan con mayor detalle en experimentos subsecuentes.

El uso exitoso de los diseños factoriales fraccionados se basa en tres ideas clave:

1. Elprincipio de efectos esparcidos o escasez de efectos. Cuando hay varias variables, es posible que elsistema o proceso esté dominado principalmente por algunos de los efectos principales y las in­teracciones de orden inferior.

2. La propiedad de proyección. Los diseños factoriales fraccionados pueden proyectarse en diseñosmás fuertes (más grandes) en el subconjunto de los factores significativos.

3. Experimentación.secuencial. Es posible combinar las corridas de dos (o más) diseños factorialesfraccionados para ensamblar secuencialmente un diseño más grande para estimar los efectos delos' factores y las interacciones de interés.

303

ro1:'

~:

r:t,~

1JI

304 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES

Este capítulo se enfoca en estos principios, los cuales se ilustran con varios ejemplos.

8~2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k

Considere una situación en la que tres factores, cada uno con dos niveles, son de interés, pero los experi­mentadores no están en posición de correr las 23 = 8 combinaciones de tratamientos. Sin embargo, pue­den llevar a cabo cuatro corridas. Esto sugiere una fracción un medio de un diseño 23

• Puesto que eldiseño contiene 23

-1 = 4 combinaciones de tratamientos, es común llamar diseño 23 -1 a una fracción un

medio del diseño 23•

En la tabla 8-1 se muestra la agrupación de signos positivos y negativos del diseño 23• Suponga que se

seleccionan las cuatro combinaciones de tratamientos a, b, e yabe como la fracción un medio con la que setrabajará. Estas corridas se muestran en la parte superior de la tabla 8-1 y en la figura 8-1a.

Observe que el diseño 23-

1 se forma seleccionando sólo las combinaciones de tratamientos que tienensigno positivo en la columnaABC. Por lo tanto, aABC se le llama el generador de esta fracción particular.En ocasiones se hará referencia a un generador, por ejemploABC, como una palabra. Además, la colum­na identidad 1 también es siempre positiva, por lo que a

I=ABC

se le llama la relación de definición del diseño. En general, la relación de definición de un diseño factorialfraccionado será siempre el conjunto de todas las columnas que son iguales a la columna identidad!.

Las combinaciones de tratamientos del diseño 23-

1 producen tres grados de libertad que pueden usar­se para estimar los efectos principales. Con referencia a la tabla 8-1, se observa que las combinaciones li­neales de las observaciones usadas para estimar los efectos principales de A, B YC son

eA = Ha - b - e+abe)

eB = H-a+b- e+abe)

f c = H-a- b+e+abe)

También es sencillo verificar que las combinaciones lineales de las observaciones usadas para estimar lasinteracciones de dos factores son

f BC =Ha - b - e+abe)

eAC =H-a+b- e+abe)

eAB =H-a - b+e+abe)

Tabla 8-1 Signos positivos y negativos del diseño factorial 23

Combinación de Efecto factorial

tratamientos 1 A B C AB AC BC ABCa + + + +b + + + +C + + + +abc + + + + + + + +ab + + + +ae + + + +be + + + +(1) + + + +

ab

be

././

./

a) La fracción principal, 1 ; +ABC

III

..J~--./

././

a

8-2 LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2k 305

abe

(1)

b) La fracción alterna, 1 ; -ABC

Figura 8-1 Las dos fracciones un medio del di­seño 23 ,

Por lo tanto, RA = RBo RB= RAC YRc = RAE; por consiguiente, es imposible diferenciar entreA yBC, entreB,YAC y entre C yAB. De hecho, cuando se estimanA, By C, se están estimando en realidadA + BC, B +ACyC +AB. A dos o más efectos que tienen esta propiedad se les llama alias. En el ejemplo tratado aquí,A yBC son alias,ByAC son aliasyCyAB son alias. Esto se indica con la notación eA ~A + BC, RB ~ B +ACyRc ~ C +AB.

La estructura de los alias para este diseño puede determinarse con facilidad utilizando la relación dedefinición J =ABC. Al multiplicar cualquier columna (o efecto) por la relación de definición se obtienenlos alias de esa columna (o efecto). En el ejemplo tratado aquí se encuentra que el alias de A es

A' J = A· ABC = A 2 BC

o, puesto que el cuadrado de cualquier columna es la identidad J,

A=BC

De manera similar, se encuentra que los alias de B y C sonB·J=B·ABC

B= AB 2 C= AC

y

C'J=C'ABC

C=ABC 2 =AB

A esta fracción un medio, con J = +ABC, suele llamársele la fracción principal.Suponga ahora que se eligió la otra fracción un medio, es decir, las combinaciones de tratamientos de

la tabla 8-1 asociadas con los signos negativos de la columnaABC. Esta fracción un medio alterna o com-

306 CAPÍTULO 8 DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS DE DOS NIVELES

plementaria (la cual se compone de las corridas (1), ab, ae y be) se ilustra en la figura 8-1b. La relación dedefinición de este diseño es

I=-ABC

De la combinación lineal de las observaciones, por ejemplo J!'A' P'BY J!' CJ de la fracción alterna se obtiene

P~ ...;.A-BC

P~ ...;.B-AC

e~...;.c-AB

Por lo tanto, cuando se estiman A, B YC con esta fracción particular, en realidad se están estimandoA-BC, B-AC y C-AB.

En la práctica, no importa cuál de las fracciones se usa. Ambas fracciones pertenecen a la misma fa.milia; es decir, las dos fracciones un medio forman un diseño 23 completo. Esto puede observarse con fa­cilidad con referencia a los incisos a y b de la figura 8-1.

Suponga que después de correr una de las fracciones un medio del diseño 23, también se corrió laotra. Por lo tanto, se cuenta ahora con las ocho corridas asociadas con el diseño 23 completo. Pueden ob­tenerse entonces las estimaciones sin alias de todos los efectos analizando las ocho corridas como un dise­ño 23 completo en dos bloques de cuatro corridas cada uno. Esto también podría hacerse sumando yrestando la combinación lineal de los efectos de las dos fracciones individuales. Por ejemplo, considerePA ...;. A + BC y J!'A ...;. A - Be. Esto implica que

tUA +P~)=hA+BC+A-BC)...;.A

y que

tUA -P~)= hA+BC-A+BC)...;. BC

Por lo tanto, para los tres pares de combinaciones lineales se obtendría lo siguiente:

ABe

ABe

BeAeAB

Resolución del diseñoAl diseño 23

-1 precedente se le llama diseño de resolución ill. En este diseño, los efectos principales son

alias de las interacciones de dos factores. Un diseño es de resolución R cuando ningún efecto del factorpes alias de otro efecto que contiene menos deR - P factores. Por~ se emplea un subíndice con unnumeral romano para denotar la resolución del diseño; por lo tanto, la fracción un medio del diseño 23

con la relación de definición 1 = ABC (o 1 = -ABC) es un diseño 2~1.

Los diseños de resolución 111, IV YV son particularmente importantes. A continuación se presentanlas definiciones de estos diseños y un ejemplo de cada uno:

1. Diseños de resolución JI!. Se trata de diseños en los que ninguno de los efectos principales es aliasde ningún otro efecto principal, pero los efectos principales son alias de las interacciones de dosfactores, y algunas de las interacciones de dos factores pueden ser alias entre sí. El diseño 23

-1 de

la tabla 8-1 es un diseño de resolución 111 (2~1).

2. Diseños de resolución Iv. Se trata de diseños en los que ninguno de los efectos principales es aliasde ningún otro efecto principal ni de las interacciones de dos factores, pero las interacciones de