Diseño e Ingeniería por Computadora 2003Diseño e Ingeniería por Computadora 22, 23 y 24 de...

2003III Conferencia Internacional de Diseño e Ingeniería por Computadora

22, 23 y 24 de Octubre 2003

ConferenciaConferencia

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•Ingeniería•Ingeniería

•Colaboración•Colaboración

AMPLIACIÓN DEL MÉTODO DE FLEXIBILIDADES PARA UNA SIMULACIÓN CON DISEÑO DE EXPERIMENTOS (METODOLOGÍA SEIS SIGMA).

Fernando Aboites Dávila, Farid Quijada Escamilla, Gabriel Ventura SuárezCIATEQ, A.C.

( Centro de Tecnología Avanzada )Av. Retablo 150 Col. Fovissste C.P. 76150

email: [email protected], [email protected], [email protected]: (442 ) 211 26 00 ext. 2556.

RESUMENSe extiende la formulación de la matriz de flexibilidades para usarla como funciones de transferencia, que

se integrarán a un diseño de experimentos.La matriz de flexibilidades se calculará a partir de corridas en ANSYS aplicando una fuerza generalizada

unitaria y obteniendo los desplazamientos en puntos característicos del modelo (normalmente en donde están los máximos desplazamientos).

Se demostrará que cuando solo interesa información de algunas zonas de un modelo físico, se minimiza el tiempo de ejecución usando este procedimiento, ya que las operaciones se pueden realizar en una simple hoja de excel, la cual es fácil de usar para un ingeniero que no sea especialista en análisis por elemento finito; esta ventaja se acrecienta cuando pensamos en modelos como las carcasas de turbinas, con 200,000 elementos que consumen en una corrida mucho tiempo, y que no podrían hacerse en forma práctica, por ejemplo “2 elevado a la 8” experimentos (256 corridas, que representa 8 factores y dos niveles).

INTRODUCCIÓNPara encontrar la formulación se partirá del concepto de funcional, cuya trascendencia es que su solución

está dada en aquel punto estacionario que normalmente lo minimiza; los funcionales se obtienen a partir de principios energéticos (como el de la energía mínima), los cuales son muy socorridos en la ingeniería. Por el teorema de Riesz todo funcional se puede representar por un producto punto, que a su vez es una forma bilineal, y por el teorema de Lax-Milgram se garantiza la expresión de su mínimo.

DESARROLLO1.- Espacio de aproximación.2.- Problema variacional.3.- Forma matricial.4.- Forma de flexibilidades extendida.5.- Presentación del modelo.6.- Matriz de flexibilidades.7.- Métrica del diseño de experimentos.8.- Conclusiones.

mailto:[email protected]




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1.- Espacio de aproximación.Sea F : V x V → RDonde el espacio vectorial V tiene un producto interno.Entonces existe un único vector v V

Tal que F u = < u, v > para todo u elemento de V.Ahora aproximemos el espacio B:

encuentre un uh elemento de Bha(uh,vh) = f(vh) para todo vh elemento de Bh.DondeBh es un subconjunto de B .

2.- Problema variacional.El siguiente paso es relacionar estos conceptos con los principios energéticos, los cuales

formarán el principio variacional; se hará vía el siguiente teorema: Si tenemos una nueva funcional cuadrática:Fu =< Au,u> -2 <f,u>.Para el cual el teorema de Lax Milgram nos dice:=> Auouo = f en H para uo elemento de H

Dicha funcional cuadrática Fu = < Au,u> - 2 <f,u>alcanza su mínimo en uo, es decir:F u > F uouo para todo u elemento de DA.Este funcional mínimo es el principio Variacional.

3.- Forma matricial.Como se sabe el problema variacional discreto de un funcional es equivalente al problema

matricial siguiente:Encuentre un vector ℜm tal que K a = f , donde a = [a1,a2, a1,a2, ……..am..am]TK es la matriz de rigidez (inverso de la matriz de flexibilidades),a vector desplazamientosf vector fuerzasKij = a(oj,oioj,oi).


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Usemos la nomenclatura de las flexibilidades, el término i-ésimo es la causa, el término j-ésimoes la localización, con el tratamiento clásico Kij=Kji

4.- Forma de flexibilidades extendida.Fijándonos la forma bilineal solo nos condiciona a que a(u,v) = a(v,u), con

Fu ≥ Fuo para todo u elemento de DA.Así si se toma un espacio vectorial tal que representa unas nuevas localizaciones j-ésimas, la

matriz quedará como:Kij* = a(ojoj*,*,oioi).

5.- Presentación del modelo.Se presenta el modelo de un álabe con su raíz, analizado en ANSYS_5.7.

Figura 1.- Vista superior de la malla.


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y

xz

Figura 2.- Sistema de ejes usado.

El modelo tiene 49,943 elementos, con 77,416 nodos. Para obtener una métrica de la malla se sacó la norma de error.


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Figura 3.- Norma de error.

Figura 4.- Norma de error.


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Se aplicaron sucesivamente tres fuerzas unitarias, una en la dirección x (longitudinal), en la dirección y (vertical) y la otra en la dirección z (transversal); se encontraron los desplazamientos en el nodo donde se esperan los máximos desplazamientos (en la parte superior y más delgada del álabe).

6.- Matriz de flexibilidades.Se muestran los desplazamientos debidos a fuerzas unitarias, los cuales se han adaptado para

manipularse en una hoja de excel: se pone cualquier sistema de fuerzas, y en la hoja se calculan los desplazamientos.

fx fy fz Ux Uy Uz1 0 0 0.00013 0.0000287 0.0000977

0 1 0 -0.0000149 0.0000039 -0.00004

0 0 1 0.000098 0.000001 0.00031

Tabla 1.- Matriz de flexibilidades

A continuación se hace una corrida de verificación calculando los desplazamientos en la hoja excel y mediante una corrida en ANSYS:

Ux Uy Uz fx fy fz UxANSYS UyANSYS UzANSYS

0.031852 0.00375 0.05073 155 -200 89 0.03247 0.003754 0.05095

Tabla 2.- Comparativa de verificación


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Se procede entonces hacer el Diseño de Experimentos: son tres factores con dos niveles (-200 kgf y 200 kgf). De nuevo se usa la misma hoja excel y se encuentran las respuestas.

fx fy fz Ux Uy Uz200 200 -200 0.00342 0.00632 -0.05046

-200 200 200 -0.00938 -0.00476 0.03446

-200 200 -200 -0.04858 -0.00516 -0.08954

200 200 200 0.04262 0.00672 0.07354

200 -200 -200 0.00938 0.00476 -0.03446

-200 -200 -200 -0.04262 -0.00672 -0.07354

-200 -200 200 -0.00342 -0.00632 0.05046

200 -200 200 0.04858 0.00516 0.08954

Tabla 3.- Diseño de experimentos

7.- Métrica del diseño de experimentos.Se presentan diversas informaciones del Diseño de Experimentos, desde los efectos de los factores, las

interacciones hasta información estadística para Seis sigma.


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fx fy fz

-200

200-200

200-200 20

0

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

C7

Main Effects Plot - LS Means for C7

fx fy fz

-200

200-200

200-200 20

0

-0.0050

-0.0025

0.0000

0.0025

0.0050

C8


fx fy fz

-200

200-200

200-200 20

0

-0.050

-0.025

0.000

0.025

0.050C

9


Figuras 5,6 y 7.- Efectos de los factores en las respuestas.


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-200 200

-200

200

-0.05

0.00

0.05-0.05

0.00

0.05

fx

fy

fz

-200

200

-200

200

Interaction Plot - LS Means for C7

-200 200

-200

200

-0.005

0.000

0.005

-0.005

0.000

0.005fx

fy

fz

-200

200

-200

200


-200 200

-200

200

-0.05

0.00

0.05

-0.05

0.00

0.05fx

fy

fz

-200

200

-200

200


Figuras 8, 9 y 10.- Interacciones


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A continuación se anexa el reporte estadístico para un análisis Seis sigma:General Linear Model: C7, C8, C9 versus fx, fy, fzFactor Type Levels Values fx fixed 2 -200 200fy fixed 2 -200 200fz fixed 2 -200 200Analysis of Variance for C7, using Adjusted SS for TestsSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F Pfx 1 0.0054080 0.0054080 0.0054080 **fy 1 0.0000710 0.0000710 0.0000710 **fz 1 0.0030733 0.0030733 0.0030733 **fx*fy 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **fx*fz 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **fy*fz 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **fx*fy*fz 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **Error 0 0.0000000 0.0000000 0.0000000Total 7 0.0085523 Analysis of Variance for C8, using Adjusted SS for TestsSource DF Seq SS Adj SS Adj MS F Pfx 1 0.0002636 0.0002636 0.0002636 **fy 1 0.0000049 0.0000049 0.0000049 **fz 1 0.0000003 0.0000003 0.0000003 **fx*fy 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **fx*fz 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **fy*fz 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **fx*fy*fz 1 0.0000000 0.0000000 0.0000000 **Error 0 0.0000000 0.0000000 0.0000000Total 7 0.0002688 ** Denominator of F-test is zero.Term Coef SE Coef T PConstant -0.000000 0.000000 * *fx

-200 -0.005740 0.000000 * *


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Se muestran las superficies de respuesta de este experimento:

-400

-0.05

0.00

Ux

300 -200 -100 0 100 200fx00 -300 -200 100

0.05

-300300

-400400

3200100

0 fy-100-200

300

4003000

y

Surface Plot of Ux

Hold v alues: f z: 0.0

-400

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

Ux

300 -200 -100 0 100 200fy00 -300 -200 100

0 01

0.02

0.03

0.04

-300300

-400400

3200100

0 fz-100-200

300

400300

0

z

Surface Plot of Ux

Hold v alues: f x: 0.0


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-400

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

Ux

300 -200 -100 0 100 200fx00 -300 -200 100

0 02

0.04

0.06

0.08

-300300

-400400

3200100

0 fz-100-200

300

400300

0

z

Surface Plot of Ux

Hold v alues: f y : 0.0

-400

-0.01

0.00

Uy

300 -200 -100 0 100 200fx00 -300 -200 100

0.01

3200100

0 fy-100-200

-300300

-400400

400300

0

y

Surface Plot of Uy


-400

-0.1

0.0Uz

300 -200 -100 0 100 200fy00 -300 -200 100

0.1

-300300

-400400

3200100

0 fz-100-200

300

400300

0

z

Surface Plot of Uz



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-400

-0.1

0.0Uz

300 -200 -100 0 100 200fx0 -300 -200 100

0.1

-300300

-400400

32001000 fz-100-200300

4003000

z

Surface Plot of Uz


-400

-0.05

0.00

Uz

300 -200 -100 0 100 200fx00 -300 -200 100

0.05

-300300

-400400

3200100

0 fy-100-200300

400300

0

y

Surface Plot of Uz



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-400

-0.01

0.00

Uy

300 -200 -100 0 100 200fx00 -300 -200 100

0.01

32001000 fz-100

-200-300

300-400

400

4003000

z

Surface Plot of Uy


-400

-0.002

-0.001

0.000

Uy

300 -200 -100 0 100 200fy00 -300 -200 100

0.001

0.002

-300300

-400400

3200100

0 fz-100-200300

400300

0

z

Surface Plot of Uy



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-300 -200 -100 0 100 200 300

-300

-200

-100

0

100

200

300

f x

fy

Hold v alues: f z: 0.0 Hold v alues: f z: 0.0 Hold v alues: f z: 0.0 Hold v alues: f z: 0.0 Hold v alues: f z: 0.0 Hold v alues: f z: 0.0

Overlaid Contour Plot of Ux...Uz

Ux

Uy

Uz

-0.001 0.001

-0.001 0.001

-0.001 0.001

Lower BoundUpper Bound

White area: feasible region


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-300 -200 -100 0 100 200 300

-300

-200

-100

0

100

200

300

f x

fz

Hold v alues: f y : 0.0 Hold v alues: f y : 0.0 Hold v alues: f y : 0.0 Hold v alues: f y : 0.0 Hold v alues: f y : 0.0 Hold v alues: f y : 0.0


Ux

Uy

Uz

-0.001 0.001

-0.001 0.001

-0.001 0.001




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-300 -200 -100 0 100 200 300

-300

-200

-100

0

100

200

300

f y

fz

Hold v alues: f x: 0.0 Hold v alues: f x: 0.0 Hold v alues: f x: 0.0 Hold v alues: f x: 0.0 Hold v alues: f x: 0.0 Hold v alues: f x: 0.0


Ux

Uy

Uz

-0.001 0.001

-0.001 0.001

-0.001 0.001




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OptimalD

1.0000 Lo

HiCur

UxTarg: 0.0010

d = 1.0000y = 0.0010

336.3586

-336.3586

336.3586

-336.3586

336.3586

-336.3586

fy fzfx

[31.8529] [107.8107] [-15.6581]

OptimalD

1.0000 Lo

HiCur

UzTarg: 0.0010

d = 1.0000y = 0.0010

336.3586

-336.3586

336.3586

-336.3586

336.3586

-336.3586

fy fzfx

[73.1530] [110.9916] [-5.5077]


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OptimalD

1.0000 Lo

HiCur

UzTarg: 0.0010

d = 1.0000

UxTarg: 0.0010

d = 1.0000

UyTarg: 0.0010

d = 1.0000

y = 0.0010

y = 0.0010

y = 0.0010

336.3586

-336.3586

336.3586

-336.3586

336.3586

-336.3586

fy fzfx

[10.7975] [171.3284] [21.9297]

8.- Conclusiones.Evidentemente para el caso de necesitar información parcial de un modelo, es más recomendable usar una

matriz equivalente, pues cualquier número de operaciones se hacen prácticamente al instante, en comparación del tiempo que hay que esperar para tener los resultados de las corridas de ANSYS.

Este estudio está limitado a análisis estáticos, ya que modelos no lineales se tienen que analizarse más a fondo.

La hoja de cálculo con los coeficientes de la matriz de flexibilidades, las funciones de transferencia, es muy útil para los ingenieros que no saben elemento finito pero que necesitan tener información del modelo del tipo desplazamientos máximos, dado un sistema de fuerzas.

Otra ventaja de tener una forma matricial es que si se prescriben los desplazamientos, se pueden obtener las cargas que lo producen (invirtiendo la matriz, y buscando que el orden de la matriz sea cuadrada) o aplicando una optimización del diseño de experimentos.

Para el caso que nos ocupa (con la información del diseño de experimentos), si se prescribieran los desplazamientos a una milésima de centímetro las cargas no deberán rebasar a 10 kgf para las fx, 171 kgf para las fy y 21 kgf para las fz. También de las interacciones aprendimos que las fy´s casi no influyen en las otras direcciones, razón por la cual pueden ser de valor alto (se tendría así energía almacenada para la fuerza de cuerpo debida a la aceleración normal).

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