Diseño paramétrico de una trituradora de caucho
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1 Diseño paramétrico de una trituradora de caucho Tesis de grado Brayan Mauricio Díaz Ávila Estudiante de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Civil Profesor asesor: Rodrigo Alberto Marín Castillo Ingeniero Mecánico P.H.D Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Bogotá, Colombia Diciembre 2017
Transcript of Diseño paramétrico de una trituradora de caucho
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Diseño paramétrico de una trituradora de caucho
Tesis de grado
Brayan Mauricio Díaz Ávila
Estudiante de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Civil
Profesor asesor: Rodrigo Alberto Marín Castillo
Ingeniero Mecánico P.H.D
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Bogotá, Colombia
Diciembre 2017
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Agradecimientos
Agradezco a mi madre quien me brindó su apoyo en el proceso de
preparación universitaria.
A los profesores Rodrigo Alberto Marín Castillo, Juan Pablo Casas Rodríguez
y Fabio Rojas quienes me brindaron el apoyo necesario para la elaboración
del proyecto
Dedicatoria
Este trabajo está dedicado a mi querida madre quien me ha sabido guiar a
lo largo de toda mi vida, a mi padre que me brindó todo su apoyo y ánimo.
A mis amigos quienes me brindaron un apoyo incondicional en todo
momento.
3
Contenido
Agradecimientos ...................................................................................................... 2
Dedicatoria ................................................................................................................ 2
Justificación ............................................................................................................... 6
Introducción .............................................................................................................. 7
Descripción del problema ambiental ................................................................... 9
Descripción del caso de estudio ......................................................................... 11
Objetivos ............................................................................................................... 11
Objetivos Generales ........................................................................................ 11
Objetivos Específicos ....................................................................................... 12
Metodología ........................................................................................................ 12
Marco teórico y antecedentes ............................................................................ 14
Composición de neumáticos ............................................................................ 16
Propiedades del caucho y de las llantas ........................................................ 17
Abrasión ............................................................................................................. 17
Resistencia A La Tracción ............................................................................... 18
Resistencia Al Desgarro ................................................................................... 18
Resiliencia .......................................................................................................... 18
Ensayos .............................................................................................................. 19
Proceso del reciclaje de llantas ........................................................................ 23
Cualidad del triturado de caucho o de llanta ........................................... 23
Reciclaje de una llanta por medios mecánicos ............................................ 25
Reducción de tamaño de partículas .............................................................. 27
Conminución ........................................................................................................ 34
Tipos de triturador ............................................................................................ 34
Conminución de caucho ............................................................................... 36
Diseño de un triturador de caucho ..................................................................... 45
Requerimientos funcionales y no funcionales del problema ....................... 45
Sistemas y subsistemas ........................................................................................ 46
4
Variables derivadas por enfoque: ................................................................ 47
Fuerza de corte .................................................................................................... 48
Diseño de la cuchilla y el diente de corte de una herramienta ................. 50
Formación de las tiras de caucho ................................................................ 55
Temperatura y velocidad de corte .............................................................. 56
Material de la cuchilla .................................................................................... 58
Geometría ......................................................................................................... 59
Corte rotativo ................................................................................................... 62
Método de corte y desgarro ......................................................................... 65
Diseño de la portadientes y el diente de corte ................................................. 66
Análisis cualitativo del tamaño de los dientes de corte ............................... 67
Modelo de corte ................................................................................................. 70
Modelo de desgarro ........................................................................................... 74
Corte normal: .................................................................................................... 82
Corte oblicuo .................................................................................................... 83
Diseño del eje .......................................................................................................... 89
Cortante y Momento ....................................................................................... 96
Análisis por rigidez .......................................................................................... 107
Análisis por fatiga ........................................................................................... 109
Daño acumulado .......................................................................................... 119
Rain Flow fatiga .............................................................................................. 120
Deflexión máxima .......................................................................................... 128
Análisis de velocidad critica ........................................................................ 131
Cuñeros y retenedores ..................................................................................... 132
Engranajes: ......................................................................................................... 135
Análisis por flexión .............................................................................................. 135
Análisis por fricción: ........................................................................................... 138
Resultados: .......................................................................................................... 141
Rodamientos.......................................................................................................... 145
5
Diseño del perno de sujeción ............................................................................. 147
Volante inercia ...................................................................................................... 148
Selección de motor reductor ............................................................................. 151
Análisis paramétrico de geometría del diente utilizando ANSYS ................. 152
Simulación de elementos estructurales ............................................................ 160
Simulación de engranajes ............................................................................... 160
Simulación del eje ............................................................................................. 161
Diseño final ............................................................................................................. 163
Conclusiones del diseño ...................................................................................... 168
Recomendaciones ............................................................................................... 169
Trabajo a futuro ..................................................................................................... 170
Conclusiones generales del estudio parametrico .......................................... 171
Bibliografía ............................................................................................................. 172
6
Justificación
La llanta de automóvil está diseñada para durar y es probablemente uno
de los mejores productos de ingeniería desarrollados por el hombre. Son
extremadamente durables, están diseñadas para lograr el mejor
desempeño, confort, control y seguridad posible. Luego, el desafío
actualmente es encontrar la mejor manera de reutilizarlas.
A pesar, de ser casi indestructible a condiciones normales de fractura, si se
separan sus componentes principales: la fibra, el acero y el caucho, se
puede llegar a obtener componentes viables para la fabricación de una
nueva llanta. Adicionalmente, se puede desarrollar una industria para una
nueva gama de productos en caucho, que van desde el uso industrial hasta
el uso comercial.
Según el ministerio de ambiente, 5,300,000 llantas cumplen su vida útil al año
en Colombia, lo que equivale a 100,000 toneladas (Ministerio de medio
ambiente de la Republica de Colombia, 2012). Este proyecto de grado
busca desarrollar una metodología clara para lograr un diseño eficiente de
una trituradora de caucho que sea capaz de convertir una llanta en
partículas, para su posterior reutilización en diferentes aplicaciones técnicas.
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Introducción
La necesidad de reciclaje de caucho es una necesidad que nos agobia
desde principios del siglo 21. Según el Ministerio de Transporte de Colombia,
en el país se encuentran circulando 5 millones 300 mil 769 vehículos
(Guevara, 2015). Solo en Bogotá, se registran alrededor de 1 millón 500 mil
vehículos. Como es bien sabido, cada uno de estos vehículos cada cierto
tiempo requieren un cambio de neumáticos para su correcta circulación.
La mayoría de estas llantas terminan en botaderos de basura y en las calles
de nuestro país.
Según la Secretaría de Ambiente, en Bogotá se desechan más de 2 millones
500 mil neumáticos cada año, luego si a esto se le suma los desechos de
caucho generados por la industria local, la cantidad incrementa más y más.
Cifras oficiales indican que tres de cada 10 neumáticos –750.000 de
2’500.000 que cumplen su vida útil por año (Ministerio de medio ambiente
de la Republica de Colombia, 2012)– terminan en andenes, separadores,
parques, humedales e incluso frente a las casas. Es decir, cada día más de
2.050 neumáticos terminan invadiendo el espacio público. Estas llantas o
neumáticos generan un impacto ambiental importante ya que en su
mayoría son susceptibles a convertirse en depósitos de agua. Esta
acumulación de agua hace que insectos como los mosquitos se
reproduzcan de manera más fácil. Además de lo anterior, proveen refugio
a ratas y ratones, los cuales transmiten enfermedades a la población.
El principal problema de estos neumáticos radica en que son elementos que
están diseñados para soportar grandes cantidades de fuerzas mecánicas y
soportan las condiciones ambientales más severas. Los neumáticos de
automóvil están diseñados para durar y es probablemente uno de los
mejores productos de ingeniería desarrollados por el hombre. Son
extremadamente durables, están diseñadas para lograr el mejor
desempeño, confort, control y seguridad posible. Luego, el desafío
actualmente es encontrar la mejor manera de reutilizarlas. A todo esto, le
sumamos su gran volumen que dificulta su almacenaje. Todo lo anterior lleva
a que estos neumáticos sean extremadamente difíciles de reciclar.
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A pesar, de ser casi indestructible a condiciones normales de fractura, si se
separan sus componentes principales: la fibra, el acero y el caucho, se
puede llegar a obtener componentes viables para la fabricación de una
nueva llanta. Adicionalmente, se puede desarrollar una industria para una
nueva gama de productos en caucho, que van desde el uso industrial hasta
el uso comercial
Este proyecto busca ayudar a establecer una metodología clara para el
diseño de una trituradora de caucho. La principal motivación de este
proyecto es ayudar a crear trituradoras más eficientes en materia de
energía de manera que se pueda afrontar el problema en Colombia de
manera más efectiva.
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Descripción del problema ambiental
Desde la creación de la industria de caucho, los científicos e ingenieros han
trabajado para desarrollar materiales y productos que sean altamente
durables, resistentes a condiciones ambientales y climáticas agresivas. Todo
esto con el fin de lograr el máximo desempeño y durabilidad. Estas ventajas
vistas desde el punto de vista del consumidor, crean diferentes problemas a
la hora de disponer de los objetos creados a partir del caucho cuando su
vida útil llega a su fin. Hoy en día el mal manejo y disposición de las llantas
de desecho provoca un serio problema de contaminación, ya que estas se
acumulan en lugares abandonados, calles, ríos, quebradas, etc.; con la
lluvia estas acumulan agua lo cual genera un ambiente idóneo para la
reproducción de moscas y mosquitos. Por otra parte, son un riesgo para
incendios puesto a su alto poder calorífico y a su capacidad de almacenar
gases. Sin embargo, el problema más grave que conlleva su mal manejo y
disposición es la contaminación de la atmosfera y el suelo, puesto a que por
cada llanta se arrojan hasta 1 kg de partículas y compuestos orgánicos
volátiles que en algunos casos persisten hasta 9 años, destacando las
dioxinas y furanos (Huerta M, 2012).
La necesidad de reciclar el caucho se ha incrementado dramáticamente
durante los últimos 25 años debido una combinación de factores
económicos, ambientales, sociales y legislativos. El reto actual es desarrollar
diferentes tecnologías que permitan la reutilización y reciclaje del caucho
en una forma efectiva y económica.
Actualmente el reciclaje de caucho presenta unos retos técnicos
importantes, entre ellos la resiliencia, la resistencia mecánica y la quema del
material. Por esto, es de gran importancia considerar diferentes opciones
para el reciclaje de este material. Es posible dividir las diferentes actividades
y procesos de reciclaje del caucho y otros productos poliméricos en 4
categorías. Estas son:
· Primarias: reprocesamiento del caucho en materiales y productos
que sean al menos comparables, con las propiedades del material
o producto original.
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· Secundarias: cuando el material reciclado se usa para la
manufactura de productos que no requieren propiedades similares
o comparables a la del material o producto original.
· Terciarias: reducción del caucho en pequeñas partículas o
moléculas de tal manera que puedan ser utilizadas en nuevos
materiales por procesos como el de la re-polimerización.
· Cuaternarias: recuperación de la energía presente en el caucho o
cualquiera de sus productos por procesos como el de la
incineración o la quema de combustible derivado del proceso de
pirolisis.
Hoy en día en Bogotá, el reciclaje de llantas está enfocado en el reciclaje
de categorías secundarias y cuaternarias (Ministerio de medio ambiente de
la Republica de Colombia, 2012). A pesar, de ser casi indestructible a
condiciones normales de fractura, si se separan sus componentes
principales: la fibra, el acero y el caucho, se puede llegar a obtener
componentes viables para la fabricación de una nueva llanta. Además, se
puede desarrollar una industria para una nueva gama de productos en
caucho, que van desde el uso industrial hasta el uso comercial. En primer
lugar, una de las alternativas que se está popularizando es usar el caucho
pulverizado de llanta como aditivo en el ligante de mezclas asfálticas para
mejorar sus propiedades plásticas y de adherencia. Adicionalmente, el uso
de llanta pulverizada como producto y materia prima para la industria del
caucho y de obras civiles.
En segundo lugar, el reciclaje por medio del aprovechamiento energético
por medio del uso de estas como combustible en calderas termoeléctricas
y hornos de la industria cementera y panelera. En este proceso, se usa la
llanta como combustible alterno al carbón, sin embargo, este proceso es
altamente contaminante ya que libera gases de invernadero como lo son:
dióxido de carbono, dióxido de nitrógeno, dióxido de azufre, y monóxido de
carbón. Por otra parte, esta actividad genera impactos ambientales y de
salud pública relacionados con las emisiones de COV’s (compuestos
orgánicos volátiles) y HAP’s (Hidrocarburos Aromáticos Polinucleares),
contaminantes carcinogénicos y mutagénicos, y otros que causan
afecciones al sistema respiratorio y circulatorio (Forrest, 2014).
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Descripción del caso de estudio
Se quiere diseñar un banco de pruebas de un triturador de caucho para
determinar experimentalmente qué variables interactúan en el proceso de
trituración de caucho. Para efectos de su desarrollo se escogerá una lista de
variables que posiblemente afecten la trituración del caucho. Inicialmente
en la primera fase se realizará una investigación exhaustiva de los diferentes
tipos de trituradores de caucho, de manera que se logre identificar los
diferentes sistemas y subsistemas de cada triturador. Con base a la
investigación descrita anteriormente se determinarán los diferentes criterios
de diseño y las variables más determinantes en el diseño del banco de
pruebas. Seguidamente, se propondrá un modelo matemático y
geométrico con el fin de cuantizar la potencia requerida, la resistencia
mecánica de cada uno de sus partes. Con el fin de lograr esto, se investigará
el comportamiento mecánico del caucho sometido a fuerzas de corte y
desgarro, de esta manera se logrará tener un estimativo de la potencia y los
requerimientos mecánicos asociados a este.
Objetivos
Objetivos Generales
1. Diseñar un banco de pruebas para la caracterización y optimización
de un triturador de caucho. De manera que experimentalmente se
logre determinar las variables que intervienen en la trituración de un
trozo de caucho.
2. Establecer un modelo matemático que permita la optimación (gasto
energético y la integridad estructural) de un triturador de caucho en
función de las variables que intervienen en la mecánica de corte y
desgarro, las variables asociadas a la geometría de sus cuchillas, la
capacidad volumétrica de procesamiento, la potencia requerida, y
la integridad estructural de sus componentes.
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Objetivos Específicos
• Diseñar un banco de pruebas de un triturador de caucho, el cual
tenga diferentes configuraciones, para de esta forma, poder evaluar
su desempeño en función de las variables más relevantes en la
trituración del caucho.
• Predecir matemáticamente y geométricamente las variables más
influyentes en el diseño de un triturador de caucho.
Metodología
Con el fin de lograr los objetivos propuestos, en primer lugar, se hará
una revisión bibliográfica de las propiedades del caucho y las llantas, los
diferentes tipos de trituradores y los métodos de trituración. Seguidamente,
se evaluará una lista de las diferentes variables que afectan la trituración del
caucho en función del tamaño del trozo de caucho de entrada.
Posteriormente, se harán unas pruebas sobre materiales y
componentes de caucho para estimar la fuerza de corte y desgarro que
pueda tener el material, además de otras variables que determinen su
resistencia al corte y desgarro. Luego, se considerará el banco de pruebas
como una caja negra, en que se especificaran las entradas y salidas, junto
con sus características y limitaciones. El objetivo, es determinar los
requerimientos funcionales y no funcionales del banco. En segundo lugar, se
realizará una investigación exhaustiva de los diferentes tipos de trituradores
de caucho, de manera que se logre identificar los diferentes sistemas y
subsistemas de cada triturador, así como sus limitaciones y funcionalidades.
Una vez determinados los sistemas y los subsistemas, se evaluará cómo
se relacionan entre sí y qué variables son fundamentales para el diseño y
funcionamiento del banco de pruebas. Esto con el fin de establecer qué
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parámetros de diseño se busca optimizar, tales como la potencia
consumida y la resistencia mecánica de algunos componentes.
En tercer lugar, ya con todas las variables derivadas de la geometría
de las cuchillas, la mecánica de corte, la potencia requerida, los costes de
manufactura y la resistencia estructural de los componentes principales, se
desarrollará un modelo matemático que permita predecir y optimizar
variables de entrada como lo son: la potencia de entrada, las dimensiones
de sus componentes principales de acuerdo al material de manufactura, la
resistencia estructural de sus componentes, la fatiga de sus componentes, la
vida útil entre otros.
Para lograr una correcta optimización, se propondrán diferentes
modelos matemáticos deterministas que permitan relacionar la mecánica
de corte con las variables de optimización.
En cuarto lugar, se modelará por medio de CAD (Computer Aided
Design), el banco de pruebas de acuerdo a los resultados obtenidos
anteriormente. Consecutivamente, se realizará una simulación en (ANSYS)
de todos los elementos que estén sometidos a cargas con el fin de garantizar
la integridad estructural. Al final de esta etapa se hará un análisis del diseño
con el fin de retroalimentar los posibles fallos en el diseño.
Para finalizar, se espera reportar cada uno de los resultados del
proyecto en este documento. Al finalizar de leer este documento se espera
que el lector tenga una noción completa de la correcta metodología del
diseño de un triturador de caucho, además del modelo matemático
determinista con que se podrá optimizar diferentes variables de diseño. Este
documento, adicionalmente relatará toda la metodología que se utilizó
para llegar a los resultados obtenidos.
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Marco teórico y antecedentes
Teniendo en cuenta los objetivos generales y específicos el proyecto de
grado se realizó una investigación exhaustiva de los diferentes tipos de
trituradores de caucho. Dado que los neumáticos y llantas están diseñadas
para soportar cargas mecánicas enormes su trituración se complica aún
más sabiendo que un neumático de automóvil es un compuesto de caucho,
materias textiles y alambre de acero. Los neumáticos es un elemento
fabricado a partir de varios elementos y componentes. La unión de estos
diferentes materiales y componentes son las que permiten alcanzar las
propiedades mecánicas requeridas en aplicaciones automovilísticas. Entre
sus principales componentes se encuentran una gama de compuestos
acero, caucho y fibras sintéticas. A continuación, se muestran las principales
partes de una llanta:
Ilustración 1 Partes de una llanta adaptado de:
http://andrescardona20.blogspot.com.co/
Básicamente el neumático de un automóvil está constituido por tres partes:
· Banda de rodadura: esta parte básicamente son almohadillas de
caucho con ranuras. Esta parte es la cubierta exterior de la llanta, su
función básicamente es proporcionar tracción al vehículo para moverse
y frenar. Adicionalmente, esta parte también previene el deslizamiento
del vehículo cuando este está en movimiento.
· Cuerpo: Esta parte constituye las capas interiores de la llanta,
fundamentalmente son capas de textil como nylon y poliéster
intercaladas con capas de caucho. Por el hecho de estar en esta
configuración la llanta adquiere resistencia y fuerza de adhesión.
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· Las cuentas: Estas son las partes que soportan el rin de la llanta.
Generalmente tiene un interior de acero con un revestimiento en caucho
y textil.
A continuación, se muestran los principales componentes de un neumático
de automóvil:
Ilustración 2 Partes principales de la llanta Tomado de:
http://www.neumaticosmedica.com.ar/partes.html
● Telas. En la construcción radial, las cuerdas de la tela de carcasa
corren de talón a talón en el sentido radial. Son ellas las que tienen
la función de soportar la carga. Sobre las telas de la carcasa, en el
área de la banda de rodamiento son montadas las telas
estabilizadoras. Sus cuerdas corren en sentido diagonal y son las
que mantienen la estabilidad del neumático.
● Banda de rodamiento. Es la parte del neumático que permite la
adherencia al suelo. Su diseño debe proporcionar capacidad de
frenado y tracción. Su compuesto de caucho debe resistir la
abrasión y el desgaste.
● Pared Lateral. Es la parte de la estructura que va de la banda de
rodamiento hasta el talón, siendo revestida por un compuesto de
caucho con alta resistencia a la fatiga por flexión.
● Innerliner. Es el revestimiento protector de la estructura en la parte
interna del neumático. En el caso de los neumáticos radiales de
acero sin cámara, éstas tienen impermeabilidad al aire y a la
humedad.
● Talones. Están compuestos de cables de acero revestidos en cobre
para evitar la oxidación, separados individualmente por
compuestos de caucho para evitar el contacto entre ellos y
revestidos de tejido tratado. Su función es amarrar el neumático a
la llanta y tener alta resistencia a la rotura.
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Composición de neumáticos
A continuación, se presenta la composición de un neumático de automóvil
nuevo y de un neumático de camión:
Tabla 1 Composición de los neumáticos de un automóvil y un camión (%
en peso) adaptado de:(Hylands y Shulman, 2003)
El peso promedio de los neumáticos varía según el tipo de vehículo y
composición del neumático.
Tabla 2 Peso promedio de un neumático según su categoría adaptado de:
(Hylands y Shulman, 2003)
Categoría Peso promedio (kg) unidades/ Tonelada
Automóvil de
pasajeros
6,5-10 100- 154
Camionetas 4x4-
Utilitarios
11-13 76-91
Camiones pesados 52,3 19
A partir de lo anterior se hizo una investigación exhaustiva de las
propiedades de las llantas en condiciones de corte. Los resultados
principales se presentan a continuación.
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Tabla 3 Ensayo de desgarro sobre neumáticos diferentes fuentes adaptado
de: (Gallaro Bastidas, 2013)
Los resultados anteriores fueron obtenidos de pruebas de corte en pedazos
de diferentes tamaños y para diferentes orientaciones. De estos resultados
se concluye que el arreglo de materiales que componen una llanta de
caucho depende de la orientación en la que estas se prueben.
Propiedades del caucho y de las llantas
Las propiedades del corte juegan un papel muy importante en la mecánica
de corte del caucho y de las llantas en general. En primera instancia se
analizará algunas propiedades del caucho y de las llantas, que influyen en
la dinámica de corte.
Dentro de las propiedades del caucho, algunas son de vital importancia a
la hora de analizar la mecánica de corte. Dentro de las propiedades más
relevantes, se encuentran:
● Resiliencia
● Abrasión
● Resistencia al Desgarro
● Resistencia a la Tracción
Abrasión
La Abrasión o desgaste es la pérdida de material producida por fricción
contra otra superficie, mediante unos aparatos llamados abrasimetros.
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Resistencia A La Tracción
La resistencia a la tracción de un material mide generalmente la tensión
requerida para hacer fallar un material.
Resistencia Al Desgarro
La resistencia al desgarro de un material es la resistencia que el material
tiene a que se produzca o se propague una laceración o grieta. La
resistencia al desgarro del caucho se encuentra en valores cercanos a los
9,8 kN/m y los cauchos más resistentes se encuentran en rangos de 29,4
kN/m a 49,0 kN/m. Al igual que la resistencia a la tensión, el caucho cambia
su resistencia al rasgado conforme esta aumenta o disminuye.
Ilustración 3 Ensayo de resistencia al desgarro adaptado de: (Brown, 2006)
Ilustración 4 Ensayo de resistencia al desgarro adaptado de: (Brown, 2006)
Resiliencia
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La Resiliencia es la relación entre la energía restituida después de una
deformación y la energía total suministrada para producir dicha
deformación. Al ser el caucho un material polimérico se comporta de
manera viscoelástica, una manera de determinar su rigidez es por medio de
un ensayo DMA (DYNAMIC MECHANICAL ANALYSIS), con este se puede ver
la variación de la relación entre el módulo de almacenamiento G’ (rigidez
del material) contra el módulo de pérdidas G” (capacidad del material de
disipar energía).
Ilustración 5 G’’ vs temperatura para diferentes cauchos adaptado de:
(Brown, 2006)
El coeficiente entre estas dos propiedades se denomina tan(delta) el cual
determina la capacidad del material de disipar energía.
Ensayos
En vista de que la mecánica de corte de una partícula de caucho es de
vital importancia para su diseño, es importante poder caracterizar ciertas
propiedades del material a triturar con fin de establecer más adelante las
fuerzas involucradas en el corte.
Los ensayos normalizados que se realizan para este fin son:
1. Dureza
2. Tracción
3. Abrasión
4. Desgarramiento
5. DMA (DYNAMIC MECHANICAL ANALYSIS)
Todos los ensayos se hacen de acuerdo a la normativa existente por ASTM
(AMERICAN SOCIETY TESTING MATERIALS).
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1. Ensayo de dureza
La dureza es la propiedad que mide la oposición que ofrecen los
materiales a la penetración física, como la abrasión, el rayado, la
deformación plástica entre otras. A pesar, de ser expresada en
unidades empíricas, se puede relacionar con el módulo de elasticidad
del material. En un triturador de caucho, esta propiedad determina
la abrasión a la que se va a someter las cuchillas de corte del
triturador.
Ilustración 6 Ensayo de dureza tomado de:
https://en.wikipedia.org/wiki/Shore_durometer
Actualmente el método más utilizado en la medición de la dureza es
el shore A. Este ensayo mide la penetración de una punta, en relación
con un resorte metálico calibrado. Generalmente, se utiliza la prueba
de dureza tipo A, para gomas y elementos poliméricos. No obstante,
cuando una medición supera el valor de 90, la norma recomienda el
uso de una prueba tipo D, la cual se diferencia de A, or tener una
punta cónica. Actualmente varias normas reglamentan el uso de esta
norma, sin embargo, las más usadas son las ASTM (D2240- D1415).
Ilustración 7 Conversión de durezas tomado de:
http://www.erica.es/web/dureza/
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La ecuación que relaciona las diferentes magnitudes de un ensayo
de dureza para el caucho está dada por.
siendo:
F: la fuerza de penetración (N)
E: El módulo de elasticidad del material (Mpa)
R: Radio de la esfera (mm)
P: la profundidad de penetración en 0,01 mm
Actualmente, dado la gran difusión que tiene el ensayo SHORE A, se
acordó transformar el valor de la profundidad de penetración en una
escala de 1 a 100. Esta escala es denominada grados internacionales
de dureza de goma, en sus siglas en inglés IRHD.
2. Ensayo de tracción
Para medir la tracción de un elastómero, se requiere un dinamómetro
(Instron). Se toma la muestra (probeta de forma halterio o anular), se
sujeta cada extremo y luego se procede a estirarla a velocidad
constante, hasta su rotura.
La tensión requerida para romper el material representa la resistencia
a la tracción del material. Mientras dura el estiramiento de la muestra
de material, se va midiendo la fuerza (F) que está ejerciendo. Cuando
conocemos la fuerza que se está ejerciendo sobre la muestra,
dividimos ese número por el área (A) de la muestra. El resultado es la
tensión que está experimentando la muestra. F / A = Esfuerzo Puesto
que la carga de rotura es la fuerza aplicada sobre la muestra dividida
por el área de la misma, tanto la tensión como la carga de rotura se
miden en unidades de fuerza por unidad de área,
Hoy en día la norma que rige este tipo de ensayo es la norma ASTM
D412. La norma ASTM D412 especifica las condiciones de ensayo para
determinar las propiedades de tracción de elastómeros moldeados y
troquelados (American Society of Testing Materials, 2016). Debido a la
extensibilidad que los cauchos y elastómeros exhiben, se requieren
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generalmente extensómetros para medir con precisión la elongación
o estiramiento durante la carga aplicada.
Ilustración 8 Norma ASTM D412 tomado de: (American Society of Testing
Materials, 2016)
3. Ensayo de Abrasión
En un ensayo de abrasión una probeta cilíndrica de 16 mm de diámetro se
desplaza longitudinalmente sobre un cilindro dotado de un movimiento de
rotación y cubierto con una tela de esmeril, de tal manera que la probeta
efectúa un recorrido de 40 m sin ocupar nunca la misma posición anterior.
Durante el ensayo la probeta está sometida a una fuerza de 10 N en
cauchos duros y 5 N en blandos.
Los resultados se expresan por la pérdida por abrasión, expresada en mm³,
es decir, la pérdida en peso dividida por la densidad del material. Por lo que
como más bajo sea el valor, mayor resistencia a la abrasión tiene el
elastómero.
Las normas que reglamentan estos ensayos son DIN 53516 · UNE 53527.
4. Ensayo de desgarro
En este método la fuerza se aplica perpendicularmente a la dirección de
propagación del desgarro, y los resultados se expresan por el valor mediano
de la tensión del desgarro, el cociente de la fuerza, medida en N, y del
espesor de la probeta medido en mm. Las normas que reglamentan este
ensayo son las ASTM D624.
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Ilustración 9 Probeta C para ensayo de desgarro ATSM D624 (American
Society of Testing Materials ASTM, 2012)
Las probetas del tipo C son sin arco, con ángulo de 90º en un lado y con
extremos de lengüeta. La fuerza en esta probeta actúa principalmente en
dirección paralela a las lengüetas en la dirección de separación de las
mordazas. ASTM D624 tipo C mide la fuerza de rotura o de iniciación del
desgarro en la concentración de esfuerzo ubicada en el vértice de 90º. Si la
iniciación del desgarro no se produce en el vértice, los resultados son más
indicativos de resistencia a la tensión que la resistencia al desgarro.
Proceso del reciclaje de llantas
Cualidad del triturado de caucho o de llanta
En la actualidad los materiales y productos derivados de la trituración de
llanta tienen muchas aplicaciones. No obstante, muchos de estos
productos, se hacen con diferentes tamaños de triturado de llanta.
Inicialmente, se busca transformar el triturado de llanta o de caucho en
polvo para diferentes aplicaciones. Se empieza a hablar que una pieza es
polvo de caucho o de llanta por debajo de los 2 mm (2000 micras) o por
debajo de malla 10 por la medida estándar americana.
A continuación, se muestran los tamaños de polvo:
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Ilustración 10 Tamaño de los diferentes tipos de mall, tomado de: (H.
Schnecko, 1998)
Se empieza a decir que es polvo fino debajo de malla 80 (180 micras), por
otra parte, el costo de manufactura y el costo de venta de un polvo de
llanta o de caucho de tamaño menor es superior a uno de mayor tamaño.
Para la medición del polvo de llanta la ASTM ha establecido la norma D 5603.
Ilustración 11 Arreglo de cribas para ensayo ASTM D5603, tomado de: (H.
Schnecko, 1998)
En este proceso se coloca una cantidad de polvo de llanta en un arreglo
de cribas y filtros de diferentes tamaños, poniendo las cribas de tamaños
más grandes en la parte superior del arreglo. Seguidamente, se agita el
arreglo buscando que el polvo de llanta pase por los diferentes tamices y
cribas un tiempo determinado. El resultado, aparente es que los polvos más
finos, llegarán a la parte inferior mientras algunos quedarán en tamaños
25
intermedios. Finalizada la prueba, se separa el arreglo de cribas, tamices y
filtros. se pesa el material que no paso en cada uno.
Ilustración 12 Arreglo de cribas para clasificación de caucho triturado
tomado de: (H. Schnecko, 1998)
Reciclaje de una llanta por medios mecánicos
actualmente entre todas las técnicas de reciclaje de caucho, la más
popular y utilizada en el mundo es la reducción de tamaño por medio de
plantas de trituración especializadas. En el siguiente gráfico, se muestra el
esquema del proceso que realiza una planta típica de trituración a
temperatura ambiente.
26
Ilustración 13 Planta de reciclaje de llantas a temperatura ambiente
(Mendez Peñalosa & Solano Arias, 2010)
El proceso consta de 8 fases:
1. Trituración preliminar
Inicialmente se pretende que por medio de una trituración o troceado
procesar los neumáticos hasta obtener astillas de 60 mm.
2. Granulado
En un granulador se reduce el tamaño de las astillas hasta tamaños
inferiores a 10 mm.
3. Remoción de acero y fibra
El acero remanente de todo el proceso se elimina por medio de medios
magnéticos en combinación de vibración mecánica y tamices de
viento.
4. Granulado fino
Con la ayuda de molinos de granulado fino se llega a tamaños
suficientemente pequeños para su posterior procesamiento,
generalmente se llegan a tamaños de malla 10 (0.5 mm a 1.5 mm).
5. tamiz de viento
Con ayuda de un tamiz de viento se remueven fibras remanentes del
proceso de molienda.
6. Transporte de material
Para el transporte del material se hace uso de bandas transportadoras,
las cuales se usan después de cada una de las etapas.
7. Separación magnética secundaria
27
Con bandas magnéticas se separa el polvo de acero remanente de toda
la operación.
8. Remoción de Fibra y polvo
Para finalizar se remueve y almacena la fibra residual de cada operación
y se elimina el polvo del material triturado fino.
Reducción de tamaño de partículas
La energía para desgarrar y triturar una llanta en partículas más pequeñas
no tiene un estudio teórico profundo. muchos de los trabajos, son en el
campo del procesamiento de minerales y rocas. Inicialmente, el proceso de
reducción de tamaño busca aumentar el área superficial de cada partícula
en la medida que se vuelve más pequeña. El proceso de reducción de
tamaño consiste en dos partes, la primera consiste en producir fisuras o abrir
grietas presentes en el material y la segunda en formar la nueva superficie
(propagación de grietas) (Forrest, 2014). En comparación la reducción de
partículas varía en función de su tamaño, por ejemplo, en piezas de material
grandes el proceso en términos de energía es más dependiente de las
fuerzas y el mecanismo de trituración. Por otra parte, la energía que se
requiere para la reducción de partículas más finas está relacionada con la
energía interna del material. Un ejemplo de esto se puede observar en
efecto de molienda de carbón en donde se muestra la distribución de las
partículas en función del número de revoluciones del molino.
Ilustración 14 Efecto de la reducción de partículas en la distribución del
tamaño (Harker, Backhurst, & Richardson, 2002)
28
Inicialmente se ve como a medida que se conforme se va aumentado el
número de revoluciones el material grueso se va reduciendo hasta llegar a
un punto en que se llega a un tamaño particular. Adicionalmente, se
observa que conforme el tamaño es más pequeño el material va llegando
a un límite sobre la reducción de tamaño del material en maquina
particular. Ya que, se observa que el cambio de tamaño va disminuyendo
conforme se va moliendo cada vez más rápido, aunque las partículas
presenten cierta deformación que da como resultado un cambio de forma.
La energía requerida para producir un cambio en el tamaño de las
partículas para diferentes materiales, el proceso consiste en dos etapas bien
definidas:
1. Abrir fisuras que estén presentes en el material. Materiales como el
caucho de las llantas después de su vida útil presentas muchas fisuras
y microgrietas.
2. Formar una nueva superficie; propagar las grietas de tal manera que
se pueda formar una nueva superficie.
Luego es mucho más fácil reducir el tamaño de piezas mucho más grandes,
dado que la cantidad de gritas por unidad de área presentes en pedazos
más grandes es mucho mayor que en pedazos pequeños.
En términos de eficiencia a la hora de diseñar una trituradora es muy
importante considerar la manera como se aplica la fuerza y su magnitud.
Adicionalmente es necesario tener en cuenta la naturaleza de la fuerza
aplicada, por ejemplo, si tiene una predominancia en fuerza compresiva
sobre la fuerza de impacto o de corte. Si la fuerza aplicada es insuficiente
en exceder el límite elástico, la energía será almacenada por el material.
Posteriormente, cuando la fuerza es removida el material se expande a su
condición original sin hacer ningún trabajo. La energía perdida, es
29
transformada en calor. Por lo anterior se debe procurar que la fuerza
aplicada solo debe ser levemente superior a la fuerza de trituración.
Dado que la mayoría de materiales desgastados contienen grietas y la
reducción de tamaño ocurre como resultado de la propagación de grietas
que ocurre por debajo de un parámetro 𝐹, donde:
𝐹 =𝜏2𝑎
𝑌
𝑎: longitud de la grieta
𝜏: esfuerzo aplicado
𝑌: módulo de elasticidad del material
Luego para triturar un material es necesario que la fuerza sea levemente
superior al parámetro 𝐹, con fin de evitar que el material se deforme sin que
ocurra la fractura. Ordenes de magnitud de la energía de fractura de
superficie por unidad de volumen, son:
𝑉𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 1 − 10 𝐽
𝑚2
𝑃𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 10 − 103 𝐽
𝑚2
𝑀𝑒𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 103 − 105 𝐽
𝑚2
Actualmente, los métodos mecánicos para la reducción de tamaño son:
• Compresión o tensión:
• Impacto: Reducción de una partícula por acción de una fuerza rígida
instantánea.
• Desgaste por fricción: Reducción de tamaño de las partículas por
acción del rozamiento de las partículas sobre una superficie rígida
• Corte: Por acción de la fuerza en modo 2 de falla.
Dependiendo del tamaño al que el tamaño final de la partícula a la que se
quiere llegar el proceso puede tomar diferentes etapas. Por otra parta, el
30
consumo de energía es mayor conforme se alcanzan tamaños de partícula
bastante finos.
De las investigaciones de la teoría de la deformación plástica de materiales
se destacan 3 leyes (Harker, Backhurst, & Richardson, 2002):
1. Ley de Rittinger: Establece que la energía requerida en el triturado es
directamente proporcional a la nueva superficie.
2. Ley de Kick: La Energía es proporcional a la relación de reducción de
tamaño.
3. Ley de Bond: El trabajo total de entrada por unidad de peso dado de
material triturado es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del
diámetro de las partículas del producto.
En general, todas las leyes establecen que la energía consumida en la
reducción de materiales es directamente proporcional al área de la
superficie producida:
𝑉𝑖 (𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙)
𝑉𝑓( 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙)
Todas las leyes pueden ser derivadas de la siguiente ecuación diferencial:
𝑑𝐸
𝑑𝑥= 𝐶𝑥𝑛
La ecuación anterior establece que la energía requerida para 𝑑𝐸 para
afectar un pequeño cambio en tamaño 𝑑𝑥 es una función exponencial de
tamaño 𝑛.
Si 𝑛 = −2 el resultado de la ecuación diferencial es:
𝐸 = 𝐶 [1
𝑥1−
1
𝑥2]
Escribiendo 𝐶 = 𝐾𝑟𝑓𝑐 , donde 𝑓𝑐 es la fuerza de desgarro del material. Esta es
conocida como la ley de Rittinger postulada en 1867. La ecuación completa
es:
𝐸 = 𝐾𝑟𝑓𝑐 [1
𝑥1−
1
𝑥2]
31
donde 𝑥1 es el tamaño inicial de la partícula y 𝑥2 es el tamaño final. Por otra
parte, dado que la superficie por unidad de masa es proporcional a 1/𝑥, la
interpretación de esta ley es que la energía necesaria para la reducción de
tamaño es proporcional al incremento de superficie.
Cuando 𝑛 = −1 la ecuación 1 resulta:
𝐸 = 𝐾 ln (𝑥1
𝑥2)
Esta ecuación en teoría de deformación plástica se conoce como la ley de
Kick. Esta ley establece que la energía necesaria para triturar una
determinada cantidad de materiales es constante para una relación de
reducción de tamaño 𝑥1
𝑥2, independiente del tamaño original de la partícula
(Harker, Backhurst, & Richardson, 2002). De manera que podríamos escribir
la ley de Kick de la siguiente manera:
𝐸 = 𝐾𝑟𝑓𝑐 ln (𝑥1
𝑥2)
Se observa que en el proceso de reducción y triturado, los cambios de
tamaño producidos durante el proceso son proporcionales a la energía
expandida por unidad de masa de la partícula, y que la energía requerida
para producir El mismo cambio de tamaño es inversamente proporcional a
alguna función de la partícula inicial 𝑥1. luego la relación se puede escribir
de la siguiente forma;
𝑑𝐸
𝑑𝑥= −
𝐾
𝑥2
Bond propuso una ley intermedia entre la ley de Rittinger y Kick, poniendo
𝑛 = −3
2 luego la ecuación 1 queda de la siguiente forma:
𝐸 = 2𝐾 [1
(𝑥2)12
−1
(𝑥1)12
]
32
𝐸 = 2𝐾√(1
𝑥2) (1 −
1
𝑞1/2)
Donde 𝑞 = 𝑥1/𝑥2 es la relación de reducción de tamaño, escribiendo 𝐾 =
5𝐸𝑖, la ecuación resulta:
𝐸 = 𝐸𝑖√(100
𝑥2) (1 −
1
𝑞1/2)
La constante 𝐸𝑖 es llamada índice de trabajo y es una función del tamaño
de la partícula y el modo de trituración empleado. Esta expresa la cantidad
de energía necesaria para reducir el tamaño por unidad de masa del
material triturado. De manera que una buena descripción de la energía
utilizada en trituración y la molienda es:
𝑑𝐸
𝑑𝑥= −
𝐸𝑖
𝑥𝑓(𝑥)
Esta ecuación nos da una indicación general de la energía requerida para
triturar materiales voluminosos. Diferentes condiciones afectan el
desempeño de la ecuación como lo son el calor y la presión aplicada en la
trituración, La temperatura de trabajo de una trituradora o un molino puede
tener un efecto sustancial en el desempeño y eficiencia de estas máquinas.
En algunos casos temperaturas considerables pueden aumentar la
eficiencia de trituración y molienda, sin embargo, mucho calor aplicado o
una temperatura alta puede resultar en despolimerización del caucho
(humos producidos). Adicionalmente, el comportamiento viscoelástico es
reducido resultando en una abrasión mayor. El monitoreo de la temperatura,
de una trituradora o una granuladora es crítico a la hora de lograr una mejor
eficiencia, en algunos casos se agregan surfactantes en formas de spray
para reducir la abrasión y evitar aumento de temperatura no deseados.
Recientes investigaciones establecen concluyen que la energía utilizada por
un triturador es utilizada en:
33
a) Producción de deformación plástica del material antes de que este
se fracture.
b) Fricción de partículas con otras partículas y la cuchilla de corte.
c) Fricción entre los componentes mecánicos.
d) Vibración y sonido del equipo.
e) Deformación de algunos componentes del equipo
Se estima que el 10% de la energía es empleada en la reducción de
partículas. (Harker, Backhurst, & Richardson, 2002) Este estudio fue realizado
en minerales, de manera que información en plásticos no se encuentra
registrada actualmente.
A continuación, se muestra la relación entre la energía de entrada y el
tamaño de la partícula obtenida en operaciones de triturado y molienda.
Ilustración 15 Comparación de leyes de reducción de partículas en función
del tamaño (Harker, Backhurst, & Richardson, 2002)
La ley de Rittinger es más aplicable en procesos donde el incremento de
área superficial por unidad de masa es más alto, luego presenta una mayor
precisión para procesos trituración, molienda y granulado fino (Harold E,
1999). Por otra parte, la ley de Kick, relaciona mejor la energía requerida
para hacer una deformación plástica antes de que la fractura ocurra. De
manera que, es más precisa para procesos de trituración donde el área
superficial por unidad de masa es menor.
34
Conminución
La conminución es el proceso de reducción de tamaño en conjunto de un
elemento. Actualmente, el proceso de conminución varía de acuerdo a las
propiedades del material que se quiere reducir de tamaño. De manera, que
se pueden lograr de 4 maneras diferentes, de acuerdo al tipo de fuerza que
se aplica al material
1. Compresión: El efecto que genera la presión sobre un material
para alcanzar su esfuerzo de ruptura. Mismo efecto que se
genera cuando machacamos los alimentos en un mortero de
cocina.
2. Impacto, fuerza que genera una subida de presión súbita de
presión sobre un material para alcanzar una ruptura. Similar al
efecto que se logra cuando un martillo golpea la roca. Es
dependiente de la tenacidad del material.
3. Desgaste: Es la erosión sufrida por el material por acción de otra
superficie sólida. Similar al efecto de limar un material.
4. Cizalla o Corte: Es el efecto de aplicar tensiones paralelas a la
sección transversal de un material.
Tipos de triturador
A partir de los diferentes métodos de reducción de partículas vistos
anteriormente se decidió hacer una investigación exhaustiva de los
diferentes tipos de triturador que se utilizan para el procesamiento de
caucho.
Se encontró que dependiendo de diferentes factores un triturador se
diferencia de otro estos son:
● Propiedades de material a triturar
● Tamaño del elemento triturado a la entrada
● Tamaño del elemento triturado a la salida
Inicialmente la mayoría de los tipos de trituradores son para la trituración de
minerales, rocas y materiales cerámicos. En su mayoría la reducción de
tamaño de estos materiales se limita solo a métodos mecánicos basados en
comprensión, desgaste e impacto. por mencionar algunos métodos de
trituración y molienda:
35
● Trituración por aplastamiento: Se realiza un proceso de compresión
del material entre dos superficies. Entre las trituradoras que utilizan este
método se encuentran las de mandíbulas y las de trituradoras cónicas.
Ilustración 16 Conminución por aplastamiento (Mendez Peñalosa & Solano
Arias, 2010)
● Molienda por desintegración: Se caracteriza por ser una cavidad
cilíndrica que gira a gran velocidad, en donde se introduce el material
y se hace chocar con superficies duras instaladas en el interior de la
cavidad.
Ilustración 17 Molienda por desintegración (Mendez Peñalosa & Solano
Arias, 2010)
● Molienda por discos: Dos discos giran a gran velocidad en donde se
hace el desgaste del material contra las superficies rígidas de los
discos.
36
Ilustración 18 Molienda por discos rotativos (Mendez Peñalosa & Solano
Arias, 2010)
● Molienda por centrífuga: Consiste en un rotor que gira a alta
velocidad, de manera que el material es mezclado con un 90% de
agua. Las partículas forman un conjunto, luego las partículas chocan
entre ellas y contra las paredes del estator.
Ilustración 19 Molienda por acción centrifuga en medio húmedo (Mendez
Peñalosa & Solano Arias, 2010)
Para finalizar, se pudo observar que cada uno de los métodos de reducción
de partículas son diferentes. La compresión es la principal característica de
las trituradoras de minerales mientras que los molinos utilizan el impacto y la
fricción. En la siguiente sección se analizará que tipo de métodos existen
para lograr la Conminución del caucho
Conminución de caucho
Dado que, el caucho es un material termoelástico sus propiedades son muy
diferentes a la de los minerales y rocas. Principalmente, su relación entre la
37
tenacidad a la fractura y el esfuerzo último es mucho mayor que en la
mayoría de minerales por casi 2 órdenes de magnitud.
Ilustración 20 Diagrama de Ashby Tenacidad a la fractura vs esfuerzo de
fractura (Brown, 2006)
En conclusión, el caucho respecto a los minerales y elementos cerámicos
tiende a deformarse antes de la fractura, mientras que los cerámicos se
fracturan antes de deformarse. Luego, a la hora de diseñar un triturador de
caucho es necesario tener en cuenta esta característica. Adicionalmente,
es claramente visible que el esfuerzo último del caucho en comparación
con el de los minerales y algunos cerámicos varía de 1 hasta 3 órdenes de
magnitud. Luego, la potencia necesaria para su conminución es mucho
menor.
Puesto a que, las propiedades del caucho son diferentes se pueden aplicar
las fuerzas de diferentes métodos para lograr la conminución. A
continuación, se muestran algunos métodos utilizados:
38
● Trituración por cizalla: Consiste en el uso de un elemento de corte que
aplica una fuerza de corte sobre el material. Generalmente, este tipo
de mecanismos son accionados hidráulicamente. Es utilizada
ampliamente en el corte de carrocerías y piezas muy voluminosas.
Ilustración 21 Trituración por cizallamiento (Mendez Peñalosa & Solano
Arias, 2010)
● Trituración por de desgarramiento: La trituración se realiza por medio
de cuchillas que desgarran el material, al aplicar fuerzas contrarias
paralelas entre sí en una sección del material. ocasionando la falla por
modo 3.
Ilustración 22 Trituración por desgarramiento (Mendez Peñalosa & Solano
Arias, 2010)
Una de las trituradoras más comunes que utilizan el método por
desgarramiento son los trituradores de mandíbulas rotativas. Este
consiste, en dos ejes rotativos que giran uno en contra del otro, en los
que se acoplan cuchillas desfasadas para que puedan quedar
entrelazadas una respecto a la del eje del frente.
39
Ilustración 23 Trituradora De Dientes Rotativos (Mendez Peñalosa & Solano
Arias, 2010)
● Trituración por rodillos: Este tipo de triturador consiste en dos rodillos
corrugados que operan a una velocidad diferencial. Los pedazos de
caucho o llanta son atrapados en los espacios corrugados de cada
rodillo, de tal forma que se someten a una fuerza de corte que corta
el material en partes más pequeñas.
Ilustración 24 Trituración por rodillos (Mendez Peñalosa & Solano Arias, 2010)
● Trituración por martillos: Es una trituradora que funciona por impacto y
corte, está compuesta por un depósito, en cuya interior gira un rotor
que tiene acoplado un disco espaciados en donde van los martillos o
cuchillas.
Ilustración 25 Trituración de martillos (Mendez Peñalosa & Solano Arias,
2010)
40
Su funcionamiento consiste en hacer girar el rotor con los martillos y
cuchillas de tal forma que se realice un corte contra un martillo o
cuchilla estacionaria que se encuentra dentro del depósito. Existen
diversas configuraciones para este tipo de triturador, en la que hay
trituradores de dos ejes horizontales, 1 solo eje horizontal o vertical.
Ilustración 26 Trituradora de Cuchillas rotativas con cuchillas estacionarias
(Hill, 1986)
Las limitaciones de este tipo de triturador radican básicamente en la
posición de la cuchilla estacionaria y la geometría de las cuchillas
móviles y estacionarias (Hill, 1986). Por otra parte, está limitado a piezas
medianas no muy voluminosas, puesto a que la geometría de sus
cuchillas no logra darle un ángulo de pellizco lo suficiente como para
introducir objetos voluminosos a su interface. Otra limitación, es que
sus cuchillas son sujetas a mucha abrasión por lo que muchas piezas
requieren de cambio y mantenimiento.
● Trituradoras de mandíbulas:
El principio fundamental del funcionamiento de estos trituradores
primarios radica en la existencia de mínimo 2 ejes rotativos que giran
en direcciones contrarias uno respecto del otro. En cada uno de esos
ejes se ubican intercaladamente las cuchillas de corte en direcciones
de rotación opuestas cuya misión será la de cortar y desgarrar los
neumáticos. Estas cuchillas debido a su naturaleza de corte y desgarro
tienen una geometría que tenga alguna protuberancia recta que en
la mayoría de trituradores es llamada el diente de corte.
Generalmente, este diente de corte tiene su superficie endurecida
para contrarrestar el desgaste por abrasión (Hill, 1986).
41
Ilustración 27 Cuchillas desmontables de ejes rotativos (Hill, 1986)
La razón de la existencia del diente de corte radica en que al estar
girando este, al encontrase con el diente opuesto se genera una
cavidad en la cual los dos dientes aplican fuerzas en sentidos
contrarios en la medida que la cavidad se está volviendo cada vez
más pequeña. Es decir, que cualquier material que entra en esta
cavidad está siendo afectado por acción cortante dado que se le
aplican dos fuerzas paralelas en sentido contrario en la medida que
la cavidad se va cerrando. Por consiguiente, al cerrase la cavidad se
corta y se desgarra el material.
En algunos casos estos trituradores funcionan con los dos ejes a la
misma velocidad de rotación, pero en sentido contrario, en otros
casos, los dos ejes funcionan a velocidades de rotación y torques
diferentes ya que se cree que esta característica provee una mejor
acción de corte y desgarro.
Ilustración 28 Trituración de fibras metálicas por medio de ejes rotativos (H.
Schnecko, 1998)
42
Este tipo de triturador es el más común en el procesamiento de
materiales debido a su amplio rango de aplicaciones y a la flexibilidad
que ofrece su diseño, como lo son:
● Tamaño de la cámara de corte
● Configuración de corte
● Espesor y número de cuchillas
● Potencia instalada
● Rangos de velocidad angular para cada uno de sus ejes
Ilustración 29 Triturador de mandíbulas rotativas con desfase de corte (H.
Schnecko, 1998)
Con el fin de evitar que la trituradora genere tiras largas del material que se
está procesando los bordes de cada diente se desfasan un ángulo con
respecto al de la cuchilla del al lado. Esto se hace con el fin de que se
generen tiras en diferentes direcciones de corte con respecto al material
para producir piezas más pequeñas.
Ilustración 30 Triturador de mandíbulas rotativas con desfase tomado de:
https://shred-tech.com/portfolio-items/st-50/
43
Adicionalmente con el fin de evitar que materiales voluminosos reboten
debido a ángulos de pellizco bajos se agregan otro set de cuchillas o
estrellas de alimentación las cuales empujan el material a la cámara de
corte para garantizar la acción de corte y desgarro.
Ilustración 31 Triturador de mandíbulas rotativas con estrellas de
alimentación, tomado de (Hill, 1986)
Para facilitar el mantenimiento y limpieza del equipo muchos de los diseños
incluyen dientes de corte desmontables. La mayoría de los equipos de
trituración de hoy en día han optado por dientes desmontables para
solucionar el problema económico que genera reemplazar una cuchilla
completa debido al desgaste.
Ilustración 32 Diente desmontable de un triturador llantas, tomado de:
(Forrest, 2014).
44
Dado que el espesor de las piezas trituradas está intrínsecamente
relacionado con el espesor de la cuchilla, es posible reducir el espesor para
llegar a tamaños de partícula más deseables. Una práctica común en varias
empresas que fabrican este tipo de triturador es colocar cuchillas con un
espesor más grande en el centro de la cámara de corte, mientras las
cuchillas de la periferia son más delgadas. De esta manera, las cuchillas
desde el centro pueden ser afiladas en los otros bordes y dimensionadas
para satisfacer las anchuras reducidas a medida que los cuchillos se
desgastan.
Ilustración 33 Triturador de mandíbulas rotativas multietapa tomado de:
(Forrest, 2014).
Una práctica que se ha vuelto popular con el uso de estos trituradores es el
uso de cribas para recircular el material triturado con fin de alcanzar un
tamaño menor. Estas varían en dimensión y tamaño de acuerdo los
requerimientos.
En conclusión, el triturador de mandíbulas rotativas es el mejor triturador para
una trituración primaria de materiales como el caucho, debido
principalmente a su versatilidad, facilidad de mantenimiento y su baja
susceptibilidad al daño en caso de entrar materiales que requieran una
mayor potencia de trituración.
• Granuladora de ejes rotativos
Los granuladores de caucho en su mayoría son máquinas de alta velocidad
que pueden reducir trozos de caucho a tamaños menores de malla de 10
45
(2 mm de diámetro). En su mayoría estos granuladores al igual que las
trituradoras de martillos se basan en un eje que tiene una cuchilla rotativa
que corta el material contra una cuchilla estacionaria. Esta cuchilla
estacionaria se coloca con una pequeña holgura para controlar el tamaño.
Ilustración 34 Granuladora de eje rotativo, tomado de: (Forrest, 2014)
Las limitaciones de estas máquinas radican básicamente en la fricción
generada la cual se disipa en forma de calor afectando el desempeño del
equipo, y por otra parte el desgaste de sus cuchillas de corte. Para
solucionar esto, se aplican sistemas de refrigeración y spray de agua para
mejorar la lubricación y refrigeración de las cuchillas.
Diseño de un triturador de caucho
Con el fin de empezar con el diseño del triturador de caucho, se acotará
el diseño del banco de pruebas, con los requerimientos más relevantes. Lo
anterior facilitara posteriores fases de diseño.
Requerimientos funcionales y no funcionales del problema
Al momento de seleccionar un triturador de cualquier material, los factores
principales para su elección son los que llamaremos requerimientos
funcionales. Básicamente, son las salidas que queremos que tenga nuestro
triturador en cuanto a su funcionamiento y operación. Estos son:
1. Volumen a triturar (Tamaño y volumen del material de entrada)
2. capacidad (flujo de material a la salida Kg/h)
46
3. Tiempos de trituración
4. Potencia del triturador
5. Tamaño del elemento triturado
6. Costos
7. Niveles de ruido
A partir de esto se seleccionaron los requerimientos básicos del triturador a
fabricar
● Tener unas dimensiones máximas de 1.5 m de altura, 80 cm de ancho
y 80 cm de largo
● Poder triturar piezas de caucho de bicicleta para reducir
sustancialmente el tamaño de la pieza inicial en piezas más
pequeñas.
● El costo total del triturador no debe superar los 2 S.M.M.L.V
● Tener una capacidad mínima de procesamiento de 100 kg/h
● Debe poder tener varias configuraciones de corte y potencia para la
evaluación de las variables de interés.
○ Diferentes configuraciones de corte (diseño de la cuchilla)
○ Diferentes configuraciones de potencia y velocidad del
triturador.
Requerimientos no funcionales
● Fácil mantenimiento
● Bajo coste y facilidad de instalación
● Tener una tolva para entrada de material
● Tener una criba para el recirculado de piezas grandes
● Tener un depósito de material triturado
● Bajos niveles de ruido y vibración mecánica
● Soporte y estructura del material movible
Sistemas y subsistemas
A partir de la revisión bibliográfica hecha de los diferentes tipos de triturador
existentes se establecieron los diferentes sistemas y subsistemas que
conforman el mismo.
● Sistema de corte
○ Cuchillas de corte
○ Dientes
○ Chaveta
● Transmisión de potencia
47
○ Eje
○ Cuñero
○ Caja reductora
○ Acople motor eléctrico
○ Rodamientos
○ Engranajes
○ Espaciadores
● Sistema eléctrico
○ Motor eléctrico
○ Equipo de control
● Estructura
○ Tolva
○ Armazón
○ Soporte
A partir de la investigación previa ahora se seleccionan las variables de
estudio que se quieren tener en cuenta en nuestro banco de pruebas. Se
decidió acotar el problema de la trituración de caucho bajo 4 enfoques
para su correcto diseño.
1. Tiempos de corte
2. Volumen y la masa
3. Mecánica de corte
4. Propiedades del material
Variables derivadas por enfoque:
Se pretende analizar el problema bajo cuatro enfoques para establecer las
variables que afectan las variables macro del triturador como lo son su
capacidad, la potencia y la integridad estructural de sus componentes.
Variables dependientes del Tiempo
1. Tiempo de corte primario
2. Tiempo de corte secundario
3. Tiempo de recirculación
4. Velocidad de corte la cuchilla
Variables dependientes del Volumen y la Masa
1. Volumen de pieza de caucho de entrada
2. Peso de la pieza de caucho de entrada
3. Peso de la pieza de caucho a la salida
4. Flujo másico de entrada
5. Flujo másico de salida
6. Volumen de caucho de la pieza de caucho de salida
48
Variables derivadas de la mecánica de corte
1. Ángulo de corte
2. Ángulo de desfase
3. Ángulo de alivio
4. Ángulo excéntrico
5. Ángulo de ataque
6. Ángulo de avance
7. Ángulo de holgura
Variables derivadas de las propiedades del material
1. Fuerza de corte
2. Fuerza de desgarro
3. Potencia de corte
4. Torque de corte
5. Fuerza de impacto
6. Dureza
7. Resistencia Última
Fuerza de corte
En primer lugar, para determinar la fuerza de corte se hizo un estudio le las
propiedades del caucho en condiciones de desgarro. Se utilizó la norma
D624 de la ASTM. En esta prueba se realiza un ensayo de tensión a una
probeta de caucho con las siguientes dimensiones, tal y como se muestra
en la siguiente imagen:
Ilustración 35 Probeta C ASTM D624, tomado de: (American Society of
Testing Materials ASTM, 2012).
49
A Pesar que la ASTM D624 ilustra varias probetas diferentes, se decidió utilizar
la probeta tipo C. La probeta tipo C, es la más conveniente a la hora de
medir desgarro, ya que brinda información acerca de la fuerza que necesito
para nuclear una grieta y propagarla al mismo tiempo.
Para ello se utilizaron 15 probetas de diferentes espesores y se fallaron en la
máquina de ensayos universal INSTROM como se muestra en la siguiente
imagen:
Ilustración 36 Prueba de rasgado ASTM D624, imagen propia
De las pruebas de rasgado se obtuvieron los siguientes resultados:
Grafica 1 Fuerza de rasgado vs deformación
50
Grafica 2 Fuerza de rasgado/unidad de espesor vs deformación
Los resultados de la prueba son los siguientes:
𝐹𝑟𝑎𝑠𝑔𝑎𝑑𝑜𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜= 𝐹𝑡𝑒𝑎𝑟𝑚 = 209.52 𝑁 ± 8,2 𝑁
(𝐹𝑟𝑎𝑠𝑔𝑎𝑑𝑜
𝑒)𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
= 61.48𝑁
𝑚𝑚± 3,3 𝑁
• 𝑒 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎𝑟
• 𝐹𝑡𝑒𝑎𝑟𝑚 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
A partir de lo anterior ya se puede en cierta medida empezar a describir el
fenómeno físico del rasgado y corte por parte de un triturador.
Diseño de la cuchilla y el diente de corte de una herramienta
Uno de los aspectos más importantes a la hora de diseñar un triturador de
caucho es el diseño de la cuchilla y cada uno de sus dientes de corte. En
general, se buscan diferentes objetivos a la hora de diseñar una cuchilla:
● Reducir el costo de manufactura del mismo.
● Incrementar el corte de las piezas.
● Reducir el costo energético de trituración.
51
● Fácil mantenimiento.
● Mantener parámetros de seguridad.
Todos los diseños se hacen con estos criterios en mente. Actualmente, el
criterio más importante es el costo de manufactura, ya que no importa que
tan bien una cuchilla funcione, si cuesta más que el ahorro en producción
generado su utilidad es cuestionable (Nee, 2010).
Ilustración 37 Velocidad de corte vs esfuerzo de ruptura transversal en
comparación con el material y el costo (Nee, 2010).
Entre las decisiones de diseño para garantizar máximo desempeño/costo
que se tienen, se encuentran:
● Geometría
● Materiales
● Tolerancias
● Dureza superficial (Tratamiento térmico)
Ilustración 38 Vida útil de una cuchilla para varios materiales (Nee, 2010)
Para la evaluación de una cuchilla sobre otra se tienen en cuenta los
siguientes criterios:
1. Funcionamiento
2. Requerimientos de producción
52
3. Calidad
4. Costo
5. Mantenimiento
6. Vida Útil
Dado que se busca diseñar un banco de pruebas para evaluar el
desempeño de diferentes configuraciones de corte, el objetivo principal es
garantizar un máximo desempeño y adaptabilidad, procurando ciertos
parámetros para mantener un costo bajo de manufactura:
● Mantener los diseños simples, funcionales y poco complicados.
● Utilizar materiales comerciales en lo posible.
● Utilizar elementos estándar pre manufacturados.
● Reducir operaciones de manufactura al máximo.
● No utilizar tolerancias ajustadas que aumenten el costo de
manufactura
Para empezar con el diseño de nuestra cuchilla de corte en primer lugar
estableceremos los requerimientos básicos que esta debe poseer:
1. Simplicidad geométrica
2. Adaptabilidad de dientes con diferentes ángulos de corte
3. Facilidad de ajuste de dientes desmontables
Actualmente, las cuchillas de corte para las trituradoras de caucho, poseen
diferentes geometrías. algunas diferencias radican en:
● Número de dientes
● Espesor
● Geometría del eje
● Ángulos de corte
● Dientes desmontables-Cuchilla de pieza completa
● Posición de dientes de corte
A pesar de las diferencias que existen en el diseño de las cuchillas y los
dientes, actualmente no existe una bibliografía o una documentación
específica que permita evaluar el desempeño de una cuchilla más allá de
su precio de manufactura. Uno de los objetivos de este proyecto es analizar
desde la teoría como los cambios de geometría de la cuchilla y el diente
afectan el desempeño de variables estructurales de diferentes
componentes como lo son el eje y el cuñero además de si misma.
53
Adicionalmente, se pretende analizar cómo la potencia varía en la medida
que se hacen cambios en la geometría.
Inicialmente, para establecer unos parámetros de geometría estándar se
adoptará las mismas variables geométricas establecidas metodología de
diseño de una herramienta de fresado. Las herramientas de fresado rápido
tienen características similares que hacen que el diseño de la cuchilla para
la trituración de caucho sea compatible en cuanto a algunos parámetros
de diseño.
● Número de dientes
● Tamaño del diente
● Velocidad de corte
● Fuerzas de corte
● Velocidad de alimentación
Ya que en ambos procesos se busca el corte de un material, se hace posible
implementar ciertas metodologías para el análisis de ciertas variables de
interés, como lo son las fuerzas que siente la cuchilla a medida que se
cambian ciertas variables geométricas, la potencia de corte, la velocidad
de trituración. Se podría decir que el cambio sustancial en el diseño de la
cuchilla del triturador es la naturaleza de las fuerzas.
En el diseño de herramientas de fresado inicialmente se busca que un borde
afilado corte una pieza de material minimizando el contacto para reducir la
fricción. En una trituradora de caucho, a pesar de que las fuerzas de corte
son mucho menores la fricción juega un papel importante en la mecánica
de corte, la vida de la herramienta debido a su desgaste, entre otros. A
parte de eso, la forma juega un papel importante ya que influencia factores
como la fuerza de corte, la vida útil de la herramienta, el tamaño de la pieza
triturada. En consecuencia, varios ángulos comprometen la geometría de la
cuchilla:
1. Cara de ataque: Superficie que la cuchilla donde la viruta o tira de
material fluye durante el corte.
2. Ángulo de ataque: Es el ángulo que se forma entre la cara del diente
de corte y la línea perpendicular al corte
3. Flanco: la superficie que se forma inferior del borde del filo
54
4. Ángulo de alivio u holgura: es el ángulo que forma el flanco y la
superficie de corte
Ilustración 39 Alivio de una herramienta de corte (Nee, 2010).
Tanto en las herramientas de fresado como en las cuchillas de corte la
dirección de corte juega un papel importante, dependiendo si el filo es
perpendicular a la dirección de corte o no, el corte será ortogonal u oblicuo.
Ilustración 40 Corte Oblicuo (Nee, 2010).
En caso de que el corte sea oblicuo se necesitará definir más ángulos con
respecto a la dirección de corte. Como regla general de diseño tanto para
la herramienta de fresado como para la cuchilla de corte de una trituradora
se debe procurar:
● La herramienta de corte debe ser más dura y tener una mejor
resistencia a la abrasión que el material que el material procesado
● La interferencia entre la herramienta y la pieza de material procesado
debe estar designada por la velocidad de procesamiento y el
tamaño del diente.
● La velocidad y fuerza de corte debe superior para vencer la
resistencia de la pieza procesada
55
Siempre que se cumplan estas 3 condiciones, la herramienta de corte
funcionará y garantizará el corte. Muchas combinaciones y configuraciones
en la geometría, velocidad de corte, tamaño del corte.
Formación de las tiras de caucho
A Diferencia de las herramientas de fresado, la formación de las tiras de
caucho cortado o desgarrado, se diferencia mucho en comparación con
la formación de viruta en piezas metálicas. En primer lugar, en una
herramienta de corte si la fuerza de fricción es menor a la fuerza de corte la
viruta pasará limpiamente sin poner resistencia. En cambio, en una cuchilla
de caucho a pesar de que la fuerza de corte es mayor a la fricción las tiras
de caucho cortado no salen limpiamente y oponen una resistencia al flujo.
Por el hecho de, que el material de las llantas se un compuesto de caucho
con fibras sintéticas y alambre de acero; al momento de efectuarse el corte,
la resistencia que oponen los demás materiales al corte no es despreciable.
Es por esta razón, que para diseñar el triturador de llantas es necesario
considerar una fuerza mayor a la de corte. Dada la mecánica de corte de
las llantas podríamos considerar el hecho de que la resistencia al desgarro
es superior a la fuerza de corte dado que la fuerza en el desgarro no se
concentra en un borde filoso de área superficial mínima. Es por ello, que
podríamos establecer como parámetro de diseño la fuerza de desgarro del
caucho o de una llanta para efectos de diseño.
Ilustración 41 Corte rotativo de una herramienta de corte (Nee, 2010).
56
Puesto a que la fuerza de desgarro él una propiedad dependiente del
espesor del material, uno de los parámetros a controlar es el tamaño del
diente, que determinará el equivalente de la profundidad de corte de las
herramientas de fresado.
Temperatura y velocidad de corte
Algunos cambios en variables independientes de la geometría (de corte
pueden afectar el desempeño de la herramienta. Un ejemplo claro, es la
velocidad de corte, ya que está intrínsecamente relacionada con la
temperatura de corte, la fricción y el desgaste. La temperatura, juega un
papel importante ya que las propiedades de caucho cambien con ella. En
primer lugar, la resiliencia al impacto sube drásticamente, mientras que su
resistencia mecánica y de rasgado disminuye. Por esto es necesario que se
tenga en cuenta estudio Dma (DYNAMIC- MECHANICAL-ANALYSIS) sobre el
caucho y más específicamente sobre piezas de llanta para observar su
comportamiento mecánico a diferentes cambios de temperatura y
diferentes frecuencias de carga. Inicialmente en un estudio DMA se
pretende evaluar el módulo de almacenamiento G’ el cual representa el
comportamiento elástico del material, además del módulo de pérdidas G’’
el cual determina el comportamiento viscoelástico del material.
Adicionalmente, se determina el cociente entre G’’/G’ el cual es llamado
tan(delta) el cual determina la capacidad de recuperación del material. En
el caso de caucho, su valor máximo de tan(delta) está en la temperatura
de transición vítrea.
Ilustración 42 Ensayo DMA caucho nuevo vs caucho usado (Shiping Yang,
2002)
57
Por otra parte, este tipo de prueba permite poder analizar a qué
velocidades en la que debe operar la cuchilla, buscando en posible operar
en valores mínimos de tan(delta), buscando que el material se comporte lo
más rígido posible para evitar que perder la mínima cantidad energía
debido al amortiguamiento del material. Es por esta razón, que muchos
trituradores de piezas grandes de caucho opera a velocidades de rotación
bajas.
Ilustración 43 Ensayos DMA en función de la temperatura y la frecuencia
(Tecnical and enviromental Properties od Type de Shreds Focusing on
Ground Engineering Applications , 2004)
En conclusión, el desempeño del triturador aumentará significativamente
siempre y cuando este opere a frecuencias y temperaturas donde el
módulo de almacenamiento G’ sea alto y tan(delta) tenga valores mínimos.
Luego es posible establecer que, a temperaturas bajas por debajo del punto
de congelación del agua, se logra una mayor eficiencia de corte del
material. No obstante, llevar el material a esas temperaturas es más costoso
que el ahorro que genera en energía consumida por el equipo.
Actualmente, la trituración criogénica es aún muy costosa y solo se usa en
aplicaciones especiales. Por lo tanto, se requiere de más investigación para
su desarrollo en años venideros.
58
Ilustración 44 E’ y tan(d) vs temperatura tomado de:
https://polymerinnovationblog.com/thermoset-characterization-part-15-
experimental-aspects-dynamic-mechanical-analysis-dma/
Ahora bien, si analizamos el analizando las frecuencias a la que se aplican
las cargas observamos que en general la mayoría de los plásticos en la
medida que se aumenta la frecuencia de la carga, el módulo de
almacenamiento permanece casi constante mientras que el módulo de
pérdidas aumenta en consecuencia tan(delta) aumenta. luego, si se
trabaja a velocidades mayores el material aumenta su disipación de
energía, además que se aumenta la temperatura por fricción. Por
consiguiente, no es recomendable operar un equipo de trituración de piezas
grandes a altas revoluciones ya que el desempeño es menor.
Material de la cuchilla
Inicialmente, los materiales de corte se diferencian principalmente por su
habilidad de corte a diferentes velocidades. Un ejemplo claro, es la
comparación de los llamados aceros rápidos (HSS- high-speed-steel) con el
carburo puesto a que son menos resistentes a la fricción y a las temperaturas
altas generadas en corte de alta velocidad. Evidencia, establece que el
desgaste tiene al menos 5 causas probables:
● Abrasión
● Deformación plástica del filo
● Difusión entre la herramienta de corte y el material cortado
● Fundición de las asperidades de la herramienta y el material cortado
Se podría establecer, que, dado que las velocidades de corte en un
triturador primario de llantas son bajas, el problema del desgaste es la
abrasión y la deformación del filo. Estos factores de desgaste pueden ser
influenciados por la temperatura de corte y la velocidad de corte. Es
59
importante considerar que varios materiales de herramienta sufren una
pérdida de dureza, resistencia mecánica y resistencia a la abrasión a una
temperatura crítica y la tasa difusión aumenta conforme la temperatura
aumenta. Si consideramos el hecho de que al triturar llantas se desprenden
muchas partículas de carbón, la difusión ocasionará que el filo se vuelva
frágil y sea más propenso a la falla.
Ilustración 45 Desgaste vs velocidad de corte, tomado de: (Nee, 2010).
Estos problemas se pueden solucionar de varias maneras:
● Tratamiento térmico: Se usa un tratamiento térmico superficial para
endurecer la superficie de corte o desgarro para disminuir el corte por
fricción.
● Selección de acero rápido: Los aceros rápidos se caracterizan por su
dureza superficial que se mantiene constante en un rango amplio de
temperaturas. El hecho, de que tengan aleantes como el tungsteno,
molibdeno y el vanadio facilita la formación de carburos, los cuales se
comportan muy bien ante la abrasión.
Geometría
La geometría desempeña un papel muy importante en la mecánica de
corte del material. Sin embargo, cambios en esta pueden afectar factores
como lo son: el costo de manufactura, la potencia de corte, la integridad
estructural de sí misma y del eje. Para establecer parámetros geométricos
específicos en primer lugar se analizará la geometría de una herramienta de
fresado.
Para empezar, para una herramienta de corte plano con un ángulo de
ataque un ángulo de alivio determinados se hace un análisis de fuerza y
60
velocidad sobre la viruta y la herramienta con el fin de establecer todas las
reacciones.
Ilustración 46 Diagrama de cuerpo libre en función de la geometría de la
herramienta, tomado de: (Nee, 2010).
Dependiendo si el corte es plano u oblicuo, el sistema de fuerzas y
velocidades cambia y se necesita establecer más ángulos para definir
correctamente la herramienta en tres dimensiones.
61
Ilustración 47 Diagrama de cuerpo libre para corte oblicuo, tomado de:
(Nee, 2010).
De estudio de las fuerzas que actúan sobre la herramienta se establece las
siguientes observaciones:
● La fuerza de corte siempre va en la dirección tangencial del filo de
corte.
● La fuerza de fricción siempre va en la dirección opuesta al flujo de la
viruta.
● El ángulo corte es aquel que se forma entre la fuerza cortante y el
plano de corte de la viruta.
● La fuerza resultante puede ser definida en función del ángulo del
cortante, el ángulo de alivio y el ángulo fricción.
● Existe una relación entre el ángulo de corte, el ángulo de ataque y el
ángulo de fricción.
● El coeficiente de fricción está determinado por la tangente del ángulo
de fricción.
● La fuerza de fricción actúa en la dirección de la cara de ataque.
● La fuerza de corte es independiente de la velocidad de corte.
62
Ilustración 48 Fuerza de corte en función de la profundidad de corte,
tomado de: (Nee, 2010).
Dado que no existe certeza del ángulo del cortante este se podría aproximar
observando el espesor de la viruta y compararlo con la profundidad de
corte. donde:
Para finalizar en una herramienta de corte plano se tienen unos ángulos
recomendados para acero rápido dependiendo el material que se va a
maquinar:
Tabla 4 Ángulos de herramienta comunes para el maquinado, tomado de:
(Nee, 2010)
Corte rotativo
Una vez analizado el corte plano de una herramienta de corte se procede
a analizar el caso de corte rotativo de una herramienta de fresado.
63
Ilustración 49 Diagrama de dirección de rotación vs avance, tomado de:
(Nee, 2010).
En estas herramientas de corte múltiple giratorio una serie de herramientas
son montadas en un cuerpo rígido que gira a gran velocidad, de manera
que todos los dientes (herramienta de corte) siguen la misma trayectoria en
el material de trabajo. En este tipo de herramienta la trayectoria de corte no
es recta por lo que las consideraciones de corte son algo diferentes. Una
característica importante de una herramienta multicorte es el hecho de que
su soporte debe ser lo suficientemente rígido para evitar perder la eficiencia
del corte por deformaciones.
Ilustración 50 Geometría de herramienta de corte rotativo, tomado de:
(Nee, 2010).
Al momento de evaluar la herramienta de corte se observa que los ángulos
más importantes en su diseño son el ángulo de ataque radial (B), El ángulo
de alivio (D) Y EL ángulo de holgura (J). Conforme estos ángulos cambian el
64
desempeño de la herramienta cambia, al igual que su integridad
estructural. Usualmente, en herramientas de corte se habla de que un
ángulo de ataque radial alto mejora la eficiencia de corte, mientras que un
ángulo de alivio alto disminuye la fricción y el desgaste del flanco de la
herramienta.
Para tener en cuenta, el avance de cada diente está determinado por:
● Resistencia del filo de corte
● Deflexión máxima admisible
● Acabado superficial requerido
● Tamaño de la herramienta
De manera que, integrándolo en el diseño de una cuchilla de corte para
trituración, el corte por unidad de espesor de material triturado para cada
diente está limitado los mismos factores. Al mismo tiempo, se puede decir
que un exceso en la capacidad del triturador puede ocasionar una
sobrecarga de algunos componentes ocasionando la falla o un daño
acumulado excesivo.
Ilustración 51 Corte rotativo en función del avance, tomado de: (Nee,
2010).
Para una herramienta de corte, se ha encontrado que la relación que existe
entre la velocidad de rotación, el número de dientes y avance está dado
por:
donde (F) es el avance de la herramienta (mm/min), (Ft) es el avance por
diente (mm) y (N) es la velocidad de rotación (rpm). Otra forma de calcular
el número de dientes de una herramienta dependiendo de la potencia
disponible es:
65
donde (K) es una constante relaciona con la maquinabilidad del material,
(Pc) potencia de corte, (d) es el largo del diente de corte, (N) es la velocidad
angular de la herramienta y (w) es ancho del corte. El valor de K para el
caucho es desconocido por lo que para determinarlo se requiere de
pruebas controladas. sin embargo, un buen estimativo para las llantas es
tomar el valor K de un material duro como el hierro suave el cual tiene un K
de 1,5.
Tabla 5 Valores de K para algunos materiales, tomado de: (Nee, 2010).
Para, proceder con el análisis de la cuchilla de corte de un triturador,
estableceremos la geometría total de una herramienta, para después seguir
con el análisis de fuerzas en una herramienta.
Ilustración 52 Geometría detallada de la herramienta de corte, tomado de:
(Nee, 2010)
Método de corte y desgarro
El método de corte representa una de las dificultades más grandes del
diseño de un triturador, en la mayoría de casos su diseño está limitado a la
66
potencia que se les pone a las cuchillas para cortar un neumático
basándose por no decir únicamente en la fuerza de corte de la malla de
acero que se encuentra en talón de estas llantas. En algunos casos, para
evitar diseñar el triturador con la fuerza de corte de las mallas o cuerdas de
acero que se encuentran en talón se hace uso de un (Debeader), la cual es
una máquina que extrae estas partes de acero por medio de un cilindro
hidráulico de alta potencia.
Ilustración 53 Destalonadora de llantas, tomado de:
http://www.jdmaust.net.au/category/markets_categories/page/3/
Por otra parte, se encontró que gran parte de las compañías que venden
equipos de trituración de llantas manejan potencias similares, para
capacidades similares, luego podríamos llegar a deducir que la potencia de
corte es un secreto de investigación de cada compañía. En definitiva, la
potencia de corte de un triturador es un misterio a resolver, como vimos
anteriormente varias variables geométricas determinan su magnitud. En este
capítulo se hará un estudio detallado del modelo de corte y desgarro para
una cuchilla de corte basándose en diferentes variables.
Diseño de la porta-dientes y el diente de corte
Para iniciar con el modelo de corte del material, inicialmente se diseñó una
porta dientes que permitiera una configuración de varios ángulos de
ataque, inicialmente se basó el polígono, en el que en cada cara podría
albergar un diente de corte. Inicialmente, se diseñó un diente de corte
estándar con un ángulo de ataque de 20 grados, para observar el
comportamiento del corte, para cuchillas con diferentes dientes. El diseño
fue el siguiente:
67
Ilustración 54 Diseño del diente de corte
En principio se diseñó sin un filo transversal, para observar el comportamiento
cualitativo del movimiento de la cuchilla. En este diente de corte se utilizó
una longitud de corte efectiva de más o menos 15 mm.
Ilustración 55 Longitud efectiva de corte
Ya con esto se procedió a observar cómo se comporta el movimiento de
una cuchilla con un diente de este tamaño.
Análisis cualitativo del tamaño de los dientes de corte
En primera instancia se diseñó una porta dientes de un solo diente. Como
parámetro de diseño se decidió usar un radio externo de 61,5 mm. El
resultado fue el siguiente:
Ilustración 56 Cuchilla de un solo diente desmontable
68
Al momento de analizar el movimiento de corte para una cuchilla de dos
dientes y una separación entre ejes mínima correspondiente al radio externo
más mitad del diámetro del eje, se obtuvo el siguiente resultado:
Ilustración 57 Rotación de una cuchilla de dos dientes
Se observa que la cavidad de corte es bastante amplia, sin embargo, el
diente de corte es muy pequeño en relación al tamaño de la cuchilla. De
manera que es posible considerar un tamaño de diente con una longitud
de corte efectiva mayor Por otra parte, se observa que para una cuchilla
de 1 solo diente un ángulo de ataque de 20 grados, funciona bastante bien,
ya que consigue agarrar bien el material y se genera un efecto igual al de
una pinza de cangrejo.
Adicionalmente, se analizó cualitativamente el movimiento de corte para
una cuchilla de tres dientes con el mismo radio exterior y la misma distancia
entre ejes. A diferencia de las cuchillas de dos y 3 dientes, para esta se utilizó
en vez de un círculo se utilizó una figura triangular. El resultado fue el
siguiente:
Ilustración 58 Rotación de una cuchilla de 3 dientes
De este diseño se observó que la figura triangular, no ayudó a nada el diseño
ya que la cavidad de corte no se cerró completamente. Es posible
establecer que el material triturado con una cuchilla de corte con esta
geometría, no sea cortado en su totalidad. No obstante, al cambiar, la
geometría de la porta dientes a una forma circular vemos como se soluciona
el problema.
69
Ilustración 59 Espacio de corte cuchilla de 3 dientes
En conclusión, se observa que hay una relación entre el tamaño del diente
y el número de dientes que puede tener una cuchilla. Entre menos dientes
tenga una cuchilla el diente puede tener una longitud de corte efectiva
mayor. Otra conclusión, es que siempre se debe verificar que la cavidad de
corte se cierre totalmente para garantizar el corte completo del material.
Finalmente, puesto a que se busca una capacidad de trituración mayor se
diseñó una porta cuchillas de 8 dientes para analizar geométricamente, las
fuerzas que intervienen en el corte. El diseño al que se llegó fue el siguiente:
Ilustración 60 Porta dientes de 8 cuchillas
Una vez con la porta dientes se diseñaron dientes con diferentes ángulos de
ataque, demás particularidades geométricas. De manera que obtenemos
el siguiente diseño preliminar:
70
Ilustración 61 Cuchilla de 8 dientes
Modelo de corte
El modelo de corte parte del hecho de que de algunas de las cuchillas
empiezan a cortar con el filo longitudinal (cuchilla de desgarro) o con el filo
radial (cuchilla de corte) en el momento que este se intercepte en ambas
cuchillas. A diferencia del corte por desgarro, esta forma de corte solo
ocurre durante la intercepción del filo longitudinal o radial (cuchilla de corte
oblicuo). Luego las fuerzas que siente el diente estarán distribuidas a lo largo
del filo longitudinal o el filo radial y su dirección solo dependerá únicamente
de la configuración geométrica del diente.
Ilustración 62 Diente con filo longitudinal vs Diente con filo radial
Si, analizamos cualitativamente el movimiento de corte para un pedazo de
caucho con una cuchilla de desgarro, podemos observar que el corte se
empieza a generar una vez el material se intercepta con los dos filos
longitudinales de la cuchilla. Adicionalmente, observamos que la función
del filo longitudinal es crear la grieta que después se propagara con la cara
de ataque.
71
Ilustración 63 Corte longitudinal
Ahora bien, partimos a analizar geométricamente la disposición de la fuerza
de corte en un sistema de coordenadas (X, Y). Para este análisis se toma la
suposición que la fuerza de corte actúa en la mitad del filo longitudinal o el
filo radial (cuchilla de corte oblicuo. En primera instancia definimos unas
distancias y ángulos de referencia.
Ilustración 64 Geometría de cuchilla de corte (radios de corte y ángulo de
referencia)
• 𝛽 = Ángulo que se forma entre el radio medio de la cuchilla y el eje X
a lo largo de la rotación.
72
• 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = Longitud del radio, medido desde el centro del eje de la
cuchilla y la mitad de la cara de ataque.
• 𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜 = Longitud de radio, medida desde el centro del eje de la
cuchilla y el filo longitudinal o la punta extremo del filo radial.
Ilustración 65 Geometría del diente de corte
• 𝛼 = Ángulo de ataque del filo
• 𝐿𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 =Longitud de corte o desgarro
Ilustración 66 Geometría de diente de corte
• 𝛼𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒= Ángulo de ataque efectivo
• 𝛼𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜𝑑𝑒𝑠𝑔𝑎𝑟𝑟𝑜= Ángulo de ataque al Radio medio
• 𝜏𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎 = Ángulo de excentricidad de la cuchilla (particularidad de
diseño) =13, 62ª para un 𝛼 = 20°
73
Luego si analizamos trigonométricamente donde actúa la fuerza
obtenemos:
Ilustración 67 Diagrama de cuerpo libre en condición de corte
• 𝜒 = Ángulo de filo
• 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = Fuerza de corte
• 𝜒
2− 𝛽 + 𝛼𝑒𝑓 = Ángulo de proyección de la fuerza en el eje x
Luego si analizamos el torque o el momento par que debe hacer la cuchilla
para garantizar esa condición de corte obtenemos:
𝑇𝑐 = 𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜𝑠𝑒𝑛(𝛽) ∗𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2cos (
𝜒
2− 𝛽 + 𝛼𝑒𝑓) + 𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜 cos(𝛽)
∗𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2𝑠𝑒𝑛 (
𝜒
2− 𝛽 + 𝛼𝑒𝑓)
Por otro lado, si analizamos las reacciones sobre el eje obtenemos:
𝑅𝑥 = −𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2cos (
𝜒
2− 𝛽 + 𝛼𝑒𝑓)
𝑅𝑦 =𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2sen (
𝜒
2− 𝛽 + 𝛼𝑒𝑓)
Se podría llegar a la conclusión de que el torque y las reacciones en la
condición de corte longitudinal y corte oblicuo son iguales. Véase que para
la condición de corte oblicuo el único cambio observable es el área del filo.
74
Modelo de desgarro
Como ya se discutió anteriormente, la trituración del caucho parte del
hecho de que cuando la pieza está en la cavidad generada por los dos
dientes de corte siente dos fuerzas contrarias a medida que esta se va
cerrando. Lo anterior genera, un desgarro de la pieza de caucho que se
puede asimilar a la corte de tipo pantalón mostrado en la norma ASTM D624.
Ilustración 68 Condición de desgarro
Partiendo de este hecho se hizo un modelo de cuerpo libre de un elemento
diferencial de la pieza de caucho en condición de desgarro.
Ilustración 69 Diagrama de fuerzas caucho en condición de desgarro
Al analizar detenidamente, la fuerza de corte aplicada sobre la pieza se
observa también se genera una fricción asociada al movimiento de
desgarro, de la cuchilla de manera que tenemos que la fuerza de corte
efectiva es:
75
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎=
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2+ 𝐹𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
Para la fuerza de fricción se asume un coeficiente de fricción cinética de
𝜇𝑘 = 0.09, de manera que tenemos que: 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒𝑒
= 0.59𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
Se tiene que 𝜌 es el ángulo efectivo de la aplicación de la fuerza de corte
sobre el material en un determinado momento. Ahora bien, si analizamos
trigonométricamente la aplicación de las fuerzas obtenemos:
Ilustración 70 Diagrama de cuerpo libre cuchilla en condición de desgarro
• 𝜗 = Ángulo que se forma entre la cara de corte y el radio de filo
longitudinal (ángulo de ataque radial)
• 𝛽𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = Ángulo que se forma entre el radio perpendicular a la base
del diente y el eje x
• 𝛽𝑓𝑖𝑙𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜= Ángulo que se forma entre el radio medio de corte
(longitud a la mitad de la cara de corte)
• 𝛼𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = Ángulo ataque del diete
• 𝐿𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = Longitud de corte efectiva del diente
76
Se identifica que el diente corta en un rango de β, el cual depende de la
posición del diente. En el primer rango el diente está por encima del eje
coordenado X. En el segundo rango el diente está por debajo del eje
coordenado X obtenemos:
Ilustración 71 Diagrama de cuerpo libre cuchilla en condición de desgarro
parte inferior
Si ahora analizamos trigonométricamente las fuerzas en el corte oblicuo, en
primer lugar, debemos definir un nuevo ángulo de ataque respecto a los
planos XY y YZ:
Ilustración 72 Geometría de diente con ángulo de ataque oblicuo
Una vez definido el ángulo, observamos que en el plano XY el corte se
comporta igual que en el corte longitudinal. Ahora bien, al analizar las
77
fuerzas en el plano YZ observamos que la fuerza tiene una componente en
el eje z:
Ilustración 73 Diagrama de fuerza diente con ángulo de ataque oblicuo
Se puede inferir el rango de corte basándose en la distancia entre ejes de
un par de cuchillas. A continuación, se muestra una ilustración que muestra
la relación geométrica que existe entre la distancia entre ejes y el rango de
corte.
Ilustración 74 Relación entre el corte y la distancia entre ejes
• 𝛿𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = Ángulo de desfase entre cada diente igual a 360
#_𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
• 𝐷 = Distancia entre ejes
Observamos la siguiente relación geométrica:
2𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜𝐿∗ cos(𝛽) = 𝐷
78
De manera que tenemos que:
𝑐𝑜𝑠−1 (𝐷
2𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜𝐿
) = 𝛽𝑚𝑎𝑥
• 𝛽𝑚𝑎𝑥 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑔𝑎𝑟𝑟𝑜
Luego el rango de corte es:
−𝛽𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝛽 ≤ 𝛽𝑚𝑎𝑥
A partir de esta descomposición geométrica de las cuchillas se puede inferir
un poco acerca del torque que se necesita por cuchilla para el desgarro de
una pieza de llanta o caucho. Y con esto fácilmente escoger la potencia
que tiene que tener el motor en la entrada. Luego si analizamos el torque o
el momento par que debe hacer la cuchilla para garantizar esa condición
de corte obtenemos:
𝑇𝑐 = 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠𝑒𝑛(𝛽) ∗ 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 sen(𝛽 − 𝜗) + 𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜 cos(𝛽) ∗𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝜗)
𝑠𝑖 0 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
𝑇𝑐 = 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑐𝑜𝑠(𝛽) ∗ 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 cos(𝛽 + 𝜗) + 𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜 sen(𝛽) ∗𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝜗)
𝑠𝑖 −𝛽𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝛽 ≤ 0
Para corte oblicuo obtenemos que:
𝑇𝑐 = 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠𝑒𝑛(𝛽) ∗ 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) sen(𝛽 − 𝜗) +
𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜 cos(𝛽) ∗ 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59cos (𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝜗)
𝑠𝑖 0 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
𝑇𝑐 = 𝑅𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠𝑒𝑛(𝛽) ∗ 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) cos(𝛽 + 𝜗) +
𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜 cos(𝛽) ∗ 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) 𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝜗)
𝑠𝑖 −𝛽𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝛽 ≤ 0
Si analizamos las reacciones que sentirá el eje en los ejes coordenados 𝑋 y
𝑌 obtenemos las siguientes expresiones:
Primer rango:
𝑅𝑥 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑋
𝑅𝑥 = −𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝜗) 𝑠𝑖 {0 ≤ 𝛽 ≤ 𝛽𝑚𝑎𝑥}
𝑅𝑦 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑌
79
𝑅𝑦 = 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝜗) 𝑠𝑖 {0 ≤ 𝛽 ≤ 𝛽𝑚𝑎𝑥}
Segundo rango:
𝑅𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝜗) 𝑠𝑖 {−𝛽𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝛽 ≤ 0}
𝑅𝑦 = 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 + 𝜗) 𝑠𝑖 {−𝛽𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝛽 ≤ 0}
De manera que tenemos que:
𝑅𝑥 = {−𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝜗), 0 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝜗), −𝛽𝑚𝑎𝑥 < 𝛽 < 0
𝑅𝑦 = {𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝜗), 0 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 + 𝜗), −𝛽𝑚𝑎𝑥 < 𝛽 < 0
Para corte oblicuo tenemos:
𝑅𝑥 = {−𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
) 𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝜗), 0 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) 𝑠𝑒𝑛(𝛽 + 𝜗), −𝛽𝑚𝑎𝑥 < 𝛽 < 0
𝑅𝑦 = {
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2∗ cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼), 0 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒
2∗ cos(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
) 𝑐𝑜𝑠(𝛽 + 𝛼), −𝛽𝑚𝑎𝑥 < 𝛽 < 0
𝑅𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 ∗ 0.59 ∗ sen(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) , − 𝛽𝑚𝑎𝑥 < 𝛽 < 𝛽𝑚𝑎𝑥
Se sabe que un diente está cortando siempre y cuando se cumplan las
restricciones mencionadas anteriormente. Sin embargo, puede presentarse
la situación en los por los menos 3 dientes estén en condición de desgarro
para una configuración de distancia de ejes determinada. Lo anterior,
obliga a tener en consideración el hecho de que se puede necesitar más
fuerza a la entrada para garantizar la ruptura de varias piezas a la vez. Para
una configuración de distancia de ejes. A continuación, se muestra una
imagen en la cual se 2 dientes se encuentran en condición de corte:
Ilustración 75 Condición de corte múltiple
80
Se puede inferir que la condición de corte múltiple parte de la siguiente
condición:
𝐷 − 2𝑅𝑓𝑖𝑙𝑜𝐿cos(𝛽 ∓ 45) ≤ 0
Si la condición anterior es cierta para alguna de las dos opciones, para un
diente de referencia en condición de corte, se debe sumar el torque y
reacción producidas por cada uno de los dientes en fase de desgarro. De
manera que si sumamos la condición de corte y desgarro para cada ciclo
de corte obtenemos una distribución discontinua.
Es decir que en el momento en el que el un diente termina el corte y el otro
empieza el corte genera una fluctuación en el torque y en las reacciones en
el eje X y Y para una configuración de distancia de ejes.
Resultados Torque, Reacciones:
Para el análisis se de cargas y torque se tomó el siguiente criterio de diseño:
• El triturador de caucho es capaz de triturar efectivamente piezas de
hasta 1 cm de espesor.
De manera que tenemos que la fuerza de corte es: 𝐹𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 = 614.8 𝑁
Se encontró que el rango en el que puede variar la distancia entre ejes para
que no haya un choque entre un eje y un diente es:
𝐷 = {𝑅𝑓 + 𝑑𝑒𝑗𝑒 , 2𝑅𝑓}
A continuación, se muestran los resultados para 1 par de cuchillas, con
diferentes ángulos de ataque y diferentes distancias entre ejes.
Grafica 3 Torque de corte para un rango de distancias un rango de
ángulos de ataque
81
Grafica 4 Reacción en eje coordenado X para un rango de distancias un
rango de ángulos de ataque
Grafica 5 Reacción en eje coordenado Y para un rango de distancias un
rango de ángulos de ataque
Se encontró que la reacción resultante y el torque máximo para un conjunto
de cuchillas ocurre cuando la distancia entre ejes es mínima:
𝐷 = 𝑅𝑓 + 𝑑𝑒𝑗𝑒
Para este análisis se consideró que el diámetro del eje es de 1 pulgada de
diámetro, posteriormente se verificara con el diseño del eje.
82
Grafica 6 Reacción en eje coordenado y para un rango de distancias un
rango de ángulos de ataque
Ahora bien, realizamos un análisis, para varios ángulos de ataque a una
distancia de ejes mínima 𝑅𝑓 + 𝑑𝑒𝑗𝑒. A continuación, se muestrean los
resultados:
Corte normal:
Grafica 7 Reacción en eje coordenado Y para un rango de ángulos de
ataque
83
Grafica 8 Reacción en eje coordenado X para un rango de ángulos de
ataque
Grafica 9 Torque de corte para un rango de ángulos de ataque
Corte oblicuo
A partir de las ecuaciones desarrolladas anteriormente se demostró
geométricamente que las reacciones y el torque eran proporcionales al
cos (𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜), lo que no representa ninguna complicación. A continuación, se
muestran algunos resultados para algunos valores de 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜.
84
Para empezar, se utilizó un ángulo oblicuo de 30°:
Grafica 10 Torque de corte para un rango de ángulos de ataque y
𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30°
Grafica 11 Reacción en eje coordenado X para un rango de ángulos de
ataque y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30°
85
Grafica 12 Reacción en eje coordenado Y para un rango de ángulos de
ataque y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30°
En segundo lugar, se utilizó un ángulo oblicuo de 45°:
Grafica 13 Torque de corte para un rango de ángulos de ataque y
𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 45°
86
Grafica 14 Reacción en eje coordenado X para un rango de ángulos de
ataque y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 45°
Grafica 15 Reacción en eje coordenado Y para un rango de ángulos de
ataque y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 45°
En tercer lugar, se utilizó un ángulo oblicuo de 60°:
87
Grafica 16 Torque de corte para un rango de ángulos de ataque y
𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 60°
Grafica 17 Reacción en eje coordenado X para un rango de ángulos de
ataque y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 60°
88
Grafica 18 Reacción en eje coordenado Y para un rango de ángulos de
ataque y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 60°
Por otra parte, se observó que la reacción 𝑅𝑧 aumenta con sin(𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜), de
manera que si calculamos su magnitud observamos el siguiente
comportamiento:
Grafica 19 Reacción en eje coordenado Z para un rango de ángulos de
ataque oblicuo
89
Solo se tuvo en cuenta hasta un ángulo oblicuo de 60°, ya que se teme que
para ángulos mayores el modelo de desgarro no aplique y solo aplique el
modelo de corte.
De los resultados obtenidos una conclusión importante es que para ángulos
oblicuos mayores el torque necesario para garantizar el torque y las
reacciones en X y Y se reducen en función del coseno del mismo. Por otro
lado, la reacción en Z aumenta, sin embargo, esto no necesariamente es
malo, ya que a tensión y compresión el eje exhibe un mejor comportamiento
en comparación con la flexión ocasionada por las reacciones en X y Y.
Otra conclusión importante es el hecho de que, al agregar un ángulo
oblicuo, a los dientes es posible economizar el torque subministrado para un
motor dado, de manera que existe la posibilidad de agregar más cuchillas
al conjunto, para aumentar la capacidad.
Diseño del eje
En vista de que ya conocemos teóricamente las fuerzas y el torque
transmitidos al eje por cada una de las cuchillas, ya tenemos casi todas las
condiciones para diseñar este. Luego en primer lugar, es necesario conocer
geométricamente la configuración del triturador con el fin de analizar los
esfuerzos y las deflexiones a lo largo del mismo.
Con el fin de evaluar adecuadamente un diseño arbitrario, analizamos
cuales son las características geométricas tiene un diseño cualquiera:
Ilustración 76 Particularidades de la geometría del eje, tomado de:
https://filamaker.eu/product/mini-shredder/
De las particulares que se encontraron se destacan:
90
• La posición de 2 rodamientos en el eje la posición A Y B
• La posición de 1 engranaje el cual transmite l potencia entre un eje
motor y el otro.
• La posición de las cuchillas de un eje al otro presenta un desfase igual
al espesor de 1 cuchilla
Luego para empezar con el diseño del eje en primer lugar, se establecerá la
posición que ocupa cada cuchilla a lo largo de este, esto con el fin de poder
analizar adecuadamente los esfuerzos a lo largo del eje. Por ende, como
decisión arbitraria para evaluar el diseño se tomaron las siguientes
decisiones:
1. El triturador de llantas tendrá 6 cuchillas, (3 cuchillas en cada eje)
2. El espesor de cada cuchilla es de ½ in
3. El eje derecho será el que ira conectado al motor (girará con las
manecillas del reloj)
4. Se utilizará engranajes rectos para la transmisión de potencia y torque
5. Los rodamientos que se utilizaran son de ½ “de espesor
Ahora bien, para analizar, para este diseño preliminar estableceremos las
dimensiones de referencia en uno de los ejes:
Ilustración 77 Posición de elementos a lo largo del eje
91
• 𝑥0: Posición del primer rodamiento
• 𝑥1: Posición del segundo rodamiento
• 𝑒1: Posición del engranaje
• 𝑙𝑡: Longitud del eje
• 𝑐1𝑧: Posición de la 1ra cuchilla en el eje izquierdo
• 𝑐2𝑧: Posición de la 2da cuchilla en el eje izquierdo
• 𝑐3𝑧: Posición de la 3da cuchilla en el eje izquierdo
• 𝑐1𝑑: Posición de la 1ra cuchilla en el eje derecho
• 𝑐2𝑑: Posición de la 2da cuchilla en el eje derecho
• 𝑐3𝑑: Posición de la 3da cuchilla en el eje derecho
Se reitera que existe un desfase igual al espesor de la cuchilla respecto de
las cuchillas del eje izquierdo sobre el derecho. 𝑐1𝑑
− 𝑐1𝑧= 1/2 "
En la etapa de diseño se debe estudiar el comportamiento del eje bajo
diferentes enfoques y puntos de vista:
• Deformación y rigidez
o Deformación por flexión
o Deformación por torsión
o Inclinación y desplazamiento de los cojinetes
o Deformación por cortante debido a cargas transversales
• Esfuerzo y resistencia
o Resistencia estática
o Resistencia a fatiga
o Confiabilidad
o Velocidad critica
Ahora bien, como ya sabemos las fuerzas que ejercen cada cuchilla
analizamos las fuerzas a lo largo del eje con ayuda de un diagrama de
cuerpo libre:
• 𝐹0𝑦 : Reacción en y del 1er rodamiento
• 𝐹0𝑥 : Reacción en x del 1er rodamiento
• 𝐹0𝑧 : Reacción en z del 1er rodamiento
• 𝑅𝑥 : Fuerza de corte en x
• 𝑅𝑦 : Fuerza de corte en y
• 𝑅𝑧 : Fuerza de corte en z
• 𝐹1𝑦: Reacción en y del 2do rodamiento
• 𝐹1𝑥: Reacción en x del 2do rodamiento
• 𝐹1𝑧: Reacción en z del 2do rodamiento
• 𝐹𝐸𝑦: Reacción en el engranaje en y
• 𝐹𝐸𝑥: Reacción en el engranaje en x
92
Con la definición de las fuerzas a lo largo del eje procedemos a evaluar las
incógnitas que no sabemos con certeza. Para ello, evaluamos el equilibrio
de fuerzas y de momentos en el eje, de manera que obtenemos:
Eje izquierdo
Ilustración 78 Diagrama de cuerpo libre eje Izquierdo
Eje derecho
Ilustración 79 Diagrama de cuerpo libre eje derecho
93
Las ecuaciones de equilibrio para el eje izquierdo:
∑𝐹𝑥 = 0 = 𝐹0𝑥 + 𝐹1𝑥 − 3𝑅𝑥 − 𝐹𝐸𝑥
∑𝐹𝑦 = 0 = 𝐹0𝑦 + 𝐹1𝑦 + 3𝑅𝑦 + 𝐹𝐸𝑦
∑𝐹𝑧 = 0 = 𝐹0𝑧 + 𝐹1𝑧 + 3𝑅𝑧
∑𝑀𝑥0𝑦=0 = −(𝑐1𝑧
+ 𝑐2𝑧+ 𝑐3𝑧
)𝑅𝑥 + 𝑥1(𝐹1𝑥) − 𝑒1(𝐹𝐸𝑥);
∑𝑀𝑥0𝑥=0 = (𝑐1𝑧
+ 𝑐2𝑧+ 𝑐3𝑧
)𝑅𝑦 + 𝑥1(𝐹1𝑦) + 𝑒1(𝐹𝐸𝑦)
Las ecuaciones de equilibrio para el eje derecho
∑𝐹𝑥 = 0 = 𝐹0𝑥 + 𝐹1𝑥 + 3𝑅𝑥 + 𝐹𝐸𝑥
∑𝐹𝑦 = 0 = 𝐹0𝑦 + 𝐹1𝑦 + 3𝑅𝑦 − 𝐹𝐸𝑦
∑𝐹𝑧 = 0 = 𝐹0𝑧 + 𝐹1𝑧 + 3𝑅𝑧
∑𝑀𝑥0𝑦=0 = (𝑐1𝑑
+ 𝑐2𝑑+ 𝑐3𝑑
)𝑅𝑥 + 𝑥1(𝐹1𝑥) + 𝑒1(𝐹𝐸𝑥);
∑𝑀𝑥0𝑥=0 = (𝑐1𝑑
+ 𝑐2𝑑+ 𝑐3𝑑
)𝑅𝑦 + 𝑥1(𝐹1𝑦) − 𝑒1(𝐹𝐸𝑦)
Ahora bien, para saber la fuerza 𝐹𝐸𝑦 realizamos una sumatoria de torque de
manera que obtenemos:
∑𝑇 = 0 = 3𝑇𝐶 − 𝐹𝐸𝑦𝑟𝐸
𝐹𝐸𝑦 =3𝑇𝑐
𝑟𝐸
La anterior ecuación aplica siempre y cuando las cuchillas estén en fase. En
caso de estar en desfase el equilibrio de torque quedaría de la siguiente
forma:
∑𝑇 = 0 = 𝑇𝐶𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎1+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎2
+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎3− 𝐹𝐸𝑦𝑟𝐸
(𝑇𝐶𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎1+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎2
+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎3)
𝑟𝐸= 𝐹𝐸𝑦
Aplicamos la definición de ángulo de presión, obtenemos:
tan(𝛷) =𝐹𝐸𝑥
𝐹𝐸𝑦
𝐹𝐸𝑦 tan(20) = 𝐹𝐸𝑥
Para analizar el torque a lo largo del eje, se establece la siguiente ecuación
de singularidad:
94
Eje izquierdo: 𝑇 = −𝑀𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝑇𝑐1 < 𝑥 − 𝑐1 >0+ 𝑇𝑐2 < 𝑥 − 𝑐2 >0+ 𝑇𝑐3 < 𝑥 − 𝑐3 >0+ 𝑇𝐸 < 𝑥 − 𝑒1 >0
Eje derecho: 𝑇 = 𝑇𝑐1 < 𝑥 − 𝑐1 >0+ 𝑇𝑐2 < 𝑥 − 𝑐2 >0+ 𝑇𝑐3 < 𝑥 − 𝑐3 >0− 𝑇𝐸 < 𝑥 − 𝑒1 >0
Se recuerda que el eje izquierdo es el que dispone de motor que hace
mover todo el triturador
Por otra parte, se reitera que para una vuelta del eje cada una de las fuerzas
de corte que está experimentando cambia en el tiempo, dependiendo del
ángulo 𝛽 al que este cada una de las cuchillas, adicionalmente también se
reitera que solo en el caso en que as cuchillas estén en fase las fuerzas corte
de todas las cuchillas en mismo eje serian iguales y de existir un ángulo de
desfase de una cuchilla respecto a la otra las fuerzas de corte, no serían
iguales en ninguna de las cuchillas.
Ilustración 80 Condición de ensamble en fase y desfase
Ya con esta definición podemos resolver el sistema para hallar las reacciones
en los rodamientos del eje. Puesto a que, los esfuerzos a flexión representan
la mayor parte del esfuerzo resultante del eje evaluamos los diagramas de
cortante y momento interno a lo largo del eje, para ello utilizamos las
ecuaciones de singularidad:
Para el eje izquierdo:
Diagrama cortante plano x-z
95
𝑉 = 𝐹0𝑥 < 𝑥 − 𝑥0 >0+ 𝐹1𝑥 < 𝑥 − 𝑥1 >0− 𝑅𝑥1 < 𝑥 − 𝑐1𝑧 >0− 𝑅𝑥2 < 𝑥 − 𝑐2𝑧 >0
−𝑅𝑥3 < 𝑥 − 𝑐3𝑧 >0− 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >0
Diagrama de momento plano x-z
𝑀 = 𝐹0𝑥 < 𝑥 − 𝑥0 >1+ 𝐹1𝑥 < 𝑥 − 𝑥1 >1− 𝑅𝑥1 < 𝑥 − 𝑐1𝑧 >1− 𝑅𝑥2 < 𝑥 − 𝑐2𝑧 >1 −𝑅𝑥3 < 𝑥 − 𝑐3𝑧 >1− 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >1
Diagrama cortante plano y-z
𝑉 = −𝐹0𝑦 < 𝑥 − 𝑥0 >0− 𝐹1𝑦 < 𝑥 − 𝑥1 >0+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐1𝑧 >0+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐2𝑧 >0+
𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐3𝑧 >0+ + 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >0
Diagrama de momento plano y-z
𝑀 = −𝐹0𝑦 < 𝑥 − 𝑥0 >1− 𝐹1𝑦 < 𝑥 − 𝑥1 >1+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐1𝑧 >1+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐2𝑧 >1+
𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐3𝑧 >1+ + 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >1
Para el eje derecho:
Diagrama cortante plano x-z
𝑉 = −𝐹0𝑦 < 𝑥 − 𝑥0 >0− 𝐹1𝑥 < 𝑥 − 𝑥1 >0+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐1𝑑 >0+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐2𝑑 >0+
𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐3𝑑 >0+ 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >0
Diagrama de momento plano x-z
𝑀 = −𝐹0𝑦 < 𝑥 − 𝑥0 >1− 𝐹1𝑥 < 𝑥 − 𝑥1 >1+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐1𝑑 >1+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐2𝑑 >1+
𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐3𝑑 >1+ 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >1
Diagrama cortante plano y-z
𝑉 = −𝐹0𝑦 < 𝑥 − 𝑥0 >0+ 𝐹1𝑦 < 𝑥 − 𝑥1 >0+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐1𝑑 >0+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐2𝑑 >0+
𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐3𝑑 >0− 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >0
Diagrama de momento plano y-z
𝑀 = −𝐹0𝑦 < 𝑥 − 𝑥0 >1+ 𝐹1𝑦 < 𝑥 − 𝑥1 >1+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐1𝑑 >1+ 𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐2𝑑 >1+
𝑅𝑦 < 𝑥 − 𝑐3𝑑 >1− 𝐹𝐸𝑦 < 𝑥 − 𝑒1 >1
Para evaluar correctamente el eje no es necesario evaluar el esfuerzo en
cada uno de los puntos a lo largo del eje, basta simplemente con evaluar
en los puntos críticos del eje. Estos puntos críticos, se encuentran en
posiciones donde el esfuerzo a flexión es mayor, existe un momento de
torsión y adicionalmente donde se encuentran cargas axiales y
concentradores de esfuerzo.
96
Para evaluar las condiciones críticas a lo largo del eje, basta con evaluar el
momento y el cortante en los 2 planos más importantes (X-Z y Y-Z) y hacer la
suma vectorial a lo largo del eje. De manera que obtenemos:
𝑀𝑡 = √𝑀𝑥𝑧2 + 𝑀𝑦𝑧
2
Podríamos considerar las fuerzas axiales producidas por el corte oblicuo
despreciables ya que los esfuerzos ocasionados por estos son muy pequeños
en comparación con los esfuerzos de flexión. Para este caso evaluaremos
que tanto esfuerzo generan las fuerzas axiales en comparación con la
flexión.
Cortante y Momento
Anteriormente se observó que la condición de máxima influencia de las
reacciones y el torque, es a una distancia de ejes 𝑅𝑓 + 𝑑𝑒𝑗𝑒. Luego, se
calcularon las reacciones en los rodamientos para una revolución, además
de los diagramas de cortante y momento, para diferentes ángulos de
desfase. A continuación, se muestran los resultados obtenidos:
• 𝜗 = 0°:
Grafica 20 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 0
97
Grafica 21 Cortante en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 22 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 23 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
98
Se encontró que la condición crítica del eje ocurre justo después de la
tercera cuchilla (𝑐3). Adicionalmente, se encontró que la condición más
crítica ocurre a un ángulo de ataque 𝛼=15°.
Grafica 24 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
• 𝜗 = 5°:
Grafica 25 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
99
Grafica 26 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 27 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
Grafica 28 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 5°
100
• 𝜗 = 10°:
Grafica 29 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 30 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 31 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
101
Grafica 32 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 10°
• 𝜗 = 15°:
Grafica 33 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
102
Grafica 34 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 35 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
Grafica 36 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 15°
103
• 𝜗 = 20°:
Grafica 37 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 38 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
104
Grafica 39 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
Grafica 40 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 20°
• 𝜗 = 25°:
Grafica 41 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
105
Grafica 42 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 43 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
Grafica 44 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 25°
106
• 𝜗 = 30°:
Grafica 45 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 46 √𝑀2 + 𝑇2 en eje vs distancia para todos los ángulos β= {0,360} y
lo todos los ángulos de ataque 𝛼 =[0,5,10,15,20,25,30,35,40]
Grafica 47 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} y 𝛼 =15°
107
Grafica 48 Reacción en los rodamientos para una revolución a diferentes
ángulos de ataque 𝜗 = 30°
Análisis por rigidez
Previamente se había analizado las curvas de torque, cortante y momento
con el fin de tener las herramientas necesarias. Ahora bien, debemos
analizar los puntos del eje en donde la combinación de la resultante y
momento 𝑀𝑡 y 𝑇 crean el mayor esfuerzo posible, para ello evaluamos:
√𝑀𝑡2 + 𝑇2
Para este análisis se considera el esfuerzo cortante despreciable ya que su
contribución al esfuerzo es mucho menor en comparación a las demás
cargas:
𝜏 =𝑉𝑄
𝐼𝑡≪ 𝜎 =
𝑀𝑐
𝐼
𝜏 =𝑉𝑄
𝐼𝑡≪ 𝜏 =
𝑇𝑐
𝐽
Si al seleccionar un material cualquiera sabemos su esfuerzo normal
admisible o su esfuerzo cortante admisible, podemos seleccionar la teoría
de falla apropiada como criterio de diseño. En vista que la mayoría de ejes
son hechos de materiales dúctiles las teorías más apropiadas son:
• Esfuerzo cortante máximo
Esta teoría requiere que el esfuerzo cortante admisible sea igual máximo
esfuerzo máximo del eje. Luego el esfuerzo admisible es igual a:
108
𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = √(𝑀𝑐
2𝐼)2
+ (𝑇𝑐
𝐽)2
𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 =2
𝜋𝑐3√𝑀2 + 𝑇2
Si resolvemos para el radio del eje:
𝑐 = (2
𝜋𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
√𝑀2 + 𝑇2)
13
𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 = 0.18 ∗ 𝜎𝑦
Para determinar el diámetro del eje simplemente tenemos que: 𝑑 = 2𝑐
Resultados de rigidez
Para los resultados de rigidez se hace uso de las propiedades de ciertos
aceros más comunes para la fabricación de ejes, a continuación, se
muestran algunas de sus propiedades:
Tabla 6 Propiedades del material del eje
Material
ACERO
REF
Resistencia al
tracción σ_ult
(Mpa)
Resistencia a
fluencia σ_y
(Mpa)
Cortante
admisible
τ_a(Mpa)
Módulo de
elasticidad
E (Gpa)
1040 620 550 111,6 200
1095 685 525 123,3 205
4140 655 415 117,9 205
4340 745 470 134,1 192
Para obtener los resultados para el diámetro del eje en condición estática
se utilizó el momento y el torque máximo el cual ocurre en una condición de
𝛼 = 15 y 𝜗 = 0.
Tabla 7 Diámetro estático
Acero
REF
Diámetro
estático
(mm)
1040 5,7496053
1095 4,7316661
4140 5,1174211
4340 4,9094695
109
Análisis por fatiga
Como observamos anteriormente las cargas que se presentan a lo largo del
eje no son constantes, y varían en diferentes rangos conforme la
configuración del triturador y la rotación del eje. A causa, de que los
esfuerzos son fluctuantes es necesario conocer a más detalle cómo se
comporta a fatiga. cómo se evidencio anteriormente, en este caso en el eje
los esfuerzos fluctúan para cada ciclo de rotación, de manera que se
encuentra que exhiben un máximo esfuerzo y un mínimo esfuerzo en las
zonas críticas del eje; la forma de la función que define el esfuerzo por ahora
no es de gran importancia y más adelante la consideraremos para refinar el
diseño. Ahora bien, con fin de caracterizar los esfuerzos definimos el esfuerzo
medio y el esfuerzo alternante:
𝜎𝑚 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
𝜎𝑎 = |𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛
2|
Ilustración 81 Esfuerzo medio y esfuerzo alternante, tomado de: (Budynas &
Nisbett, 2011)
Para establecer un buen diseño en primer lugar, debemos establecer la
relación entre cada uno de los esfuerzos, es por ello que tenemos que
relacionarlos con la resistencia limite, el esfuerzo de fluencia y el esfuerzo
último del material para establecer un buen criterio. A continuación, se
ejemplifica lo anterior:
110
Ilustración 82 Diagrama de esfuerzos vs límites de diseño tomado de:
(Budynas & Nisbett, 2011)
Si comparaos con diferentes criterios de falla en el análisis por fatiga
observamos:
Ilustración 83 Esfuerzos y Limites de diseño vs criterios de falla tomado de:
(Budynas & Nisbett, 2011)
Se definen 4 criterios de falla para el análisis por fatiga:
1. Criterio de Sodeberg
Se estable que la relación para línea del criterio como:
111
𝑆𝑎
𝑆𝑒+
𝑆𝑚
𝑆𝑦= 1
Si se remplazan los esfuerzos 𝑆𝑎 y 𝑆𝑚 por 𝑛𝜎𝑎 y 𝑛𝜎𝑚, donde 𝑛 es el factor de
seguridad, obtenemos: 𝜎𝑎
𝑆𝑒+
𝜎𝑚
𝑆𝑦=
1
𝑛
2. Criterio de Goodman modificado 𝑆𝑎
𝑆𝑒+
𝑆𝑚
𝑆𝑢𝑙𝑡= 1
Remplazando los esfuerzos para obtener el factor de seguridad, obtenemos: 𝜎𝑎
𝑆𝑒+
𝜎𝑚
𝑆𝑢𝑙𝑡=
1
𝑛
3. Criterio de Gerber
A diferencia de los criterios anteriores, el criterio de Gerber es representado
por medio de una parábola en vez de una línea. Lo anterior, da mejores
oportunidades de calcular la probabilidad de falla sin incurrir en un error. La
relación de Gerber establece:
𝑆𝑎
𝑆𝑒+ (
𝑆𝑚
𝑆𝑢𝑙𝑡)
2
= 1
Remplazando los esfuerzos para obtener el factor de seguridad, obtenemos: 𝑛𝜎𝑎
𝑆𝑒+ (
𝑛𝜎𝑚
𝑆𝑢𝑙𝑡)
2
=1
𝑛
4. Criterio ASME
El criterio ASME define una elipse, de manera que brinda un criterio
intermedio entre Goodman y Gerber. Lo cual brinda una buena
aproximación a la falla. El criterio ASME establece la siguiente relación:
(𝑆𝑎
𝑆𝑒)2
+ (𝑆𝑚
𝑆𝑦)
2
= 1
Remplazando los esfuerzos para obtener el factor de seguridad, obtenemos:
(𝑛𝜎𝑎
𝑆𝑒)2
+ (𝑛𝜎𝑚
𝑆𝑦)
2
= 1
Puesto a que el mayor de los casos el eje está sujeto a múltiples clases de
esfuerzos (flexión, torsión y axial) es necesario considerar un esfuerzo
equivalente de Von misses:
𝜎′ = (𝜎𝑥2 + 3𝜏𝑥𝑦
2 )1/2
Previamente se había considerado que los esfuerzos axiales despreciables
debido a su baja contribución en el esfuerzo. Ahora bien, las expresiones de
esfuerzo alternante y medio quedan de la siguiente forma:
112
Esfuerzo alternante:
𝜎′𝑎 = (𝜎𝑎𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛
2 + 3(𝜏𝑎𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛2 )
1/2
𝜎′𝑎 = ((
32𝐾𝑓𝑀𝑎
𝜋𝑑3)2
+ 3(16𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎
𝜋𝑑3)
2
)
1/2
Esfuerzo medio:
𝜎′𝑚 = (𝜎𝑚𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛
2 + 3(𝜏𝑚𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛2 )
1/2
𝜎′𝑚 = ((
32𝐾𝑓𝑀𝑚
𝜋𝑑3)2
+ 3(16𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚
𝜋𝑑3)
2
)
1/2
• 𝑘𝑓= Factor de concentración de esfuerzos por fatiga por flexión
• 𝑘𝑓𝑠= Factor de concentración de esfuerzos por fatiga por torsión
Para posteriores cálculos es necesario determinar la resistencia limite a la
fatiga 𝑆𝑒, para ello partimos de la siguiente expresión:
𝑆𝑒 = 𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘𝑐𝑘𝑑𝑘𝑒𝑘𝑓𝑆𝑒
′
Donde
• 𝑘𝑎 = 4.51𝑆𝑢𝑙𝑡−0.265
• 𝑘𝑏 = 1.24𝑑−0.107
• 𝑘𝑐 = 1
• 𝑘𝑑 = 1.02
• 𝑘𝑒 = 1 − 0.08(𝑧𝑎) ; para una confiabilidad de 99% el valor de 𝑧𝑎 = 0.814
de manera que: 𝑘𝑒 = 0.935
• 𝑘𝑓 = 1
• 𝑆𝑒′ = 0.5𝑆𝑢𝑙𝑡
Como podemos apreciar la resistencia limite a la fatiga del eje solo
depende esencialmente de 2 variables (el diámetro del eje (𝑑) y el esfuerzo
último del material (𝑆𝑢𝑙𝑡). Ahora bien, remplazando los valores de cada uno
de los factores en la ecuación principal, obtenemos:
𝑆𝑒 = 2.66 ∙ 𝑑−0.107 ∙ 𝑆𝑢𝑙𝑡0.735
Llegados a este punto, analizamos con cada una de las teorías de falla y
remplazamos 𝜎𝑎′, 𝜎𝑚′ y 𝑆𝑒. Para el valor de 𝑆𝑒 tomamos un valor de 𝑘𝑏 = 1, el
cual revisaremos cuando ya tengamos el valor del diámetro. De manera
que el valor de 𝑆𝑒 es:
𝑆𝑒 = 2.14𝑆𝑢𝑙𝑡0.735
113
En ese orden de ideas, obtenemos las siguientes expresiones para el factor
de seguridad y el diámetro del eje, para cada uno de los criterios:
1. Criterio de Goodman
1
𝑛=
16
𝜋𝑑3{1
𝑆𝑒[4(𝑘𝑓𝑀𝑎)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎)
2]
12+
1
𝑆𝑢𝑙𝑡[4(𝑘𝑓𝑀𝑚)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚)
2]
12}
𝑑 = (16𝑛
𝜋{1
𝑆𝑒[4(𝑘𝑓𝑀𝑎)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎)
2]
12+
1
𝑆𝑢𝑙𝑡[4(𝑘𝑓𝑀𝑚)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚)
2]
12})
1/3
2. Criterio de Gerber
1
𝑛=
8𝐴
𝜋𝑑3𝑆𝑒{1 + [1 + (
2𝐵𝑆𝑒
𝐴𝑆𝑢𝑙𝑡)2
]
1/2
}
𝑑 = (8𝑛𝐴
𝜋𝑆𝑒{1 + [1 + (
2𝐵𝑆𝑒
𝐴𝑆𝑢𝑙𝑡)2
]
12
})
1/3
𝐴 = √4(𝐾𝑓𝑀𝑎)2+ 3(𝐾𝑓𝑠𝑇𝑎)
2
𝐵 = √4(𝐾𝑓𝑀𝑚)2+ 3(𝐾𝑓𝑠𝑇𝑚)
2
3. Criterio ASME
1
𝑛=
16
𝜋𝑑3{4 (
𝑘𝑓𝑀𝑎
𝑆𝑒)
2
+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎
𝑆𝑒)
2
+ 4(𝑘𝑓𝑀𝑚
𝑆𝑦)
2
+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚
𝑆𝑦)
2
}
1/2
𝑑 = (16
𝜋𝑑3{4 (
𝑘𝑓𝑀𝑎
𝑆𝑒)
2
+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎
𝑆𝑒)
2
+ 4(𝑘𝑓𝑀𝑚
𝑆𝑦)
2
+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚
𝑆𝑦)
2
}
12
)
1/3
4. Criterio de Soderberg
1
𝑛=
16
𝜋𝑑3{1
𝑆𝑒[4(𝑘𝑓𝑀𝑎)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎)
2]
12+
1
𝑆𝑦[4(𝑘𝑓𝑀𝑚)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚)
2]
12}
𝑑 = (16𝑛
𝜋{1
𝑆𝑒[4(𝑘𝑓𝑀𝑎)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑎)
2]
12+
1
𝑆𝑦[4(𝑘𝑓𝑀𝑚)
2+ 3(𝑘𝑓𝑠𝑇𝑚)
2]
12})
1/3
Adicionalmente a cada uno de los criterios es necesario evaluar la fluencia
de estática del eje luego para ello evaluamos el máximo esfuerzo de Von
Misses:
𝜎𝑚𝑎𝑥′ = [(𝜎𝑚 + 𝜎𝑎)2 + 3(𝜏𝑚 + 𝜏𝑎)2]1/2
𝜎𝑚𝑎𝑥′ = [(
32𝐾𝑓(𝑀𝑚 + 𝑀𝑎)
𝜋𝑑3)
2
+ 3(16𝑘𝑓𝑠(𝑇𝑚 + 𝑇𝑎)
𝜋𝑑3)
2
]
12
114
Para determinar los valores de 𝐾𝑓 y 𝐾𝑓𝑠 utilizamos la siguiente tabla:
Ilustración 84 Factores de concentración de esfuerzos tomado de:
(Budynas & Nisbett, 2011)
Para los factores de concentración de esfuerzo únicamente se tomó el del
cuñero deslizante, de manera que para flexión se tendrá la consideración
de: 𝐾𝑓 = 1.7
Posteriormente, si se agrega un concentrador de esfuerzos será revisado y
tomado en consideración en el cálculo.
Para revisar la fluencia, basta simplemente con comparar el esfuerzo
máximo con el esfuerzo de fluencia del material:
𝑛𝑦 =𝑆𝑌
𝜎𝑚𝑎𝑥′
Para finalizar con el diseño, ya con el valor del diámetro del eje, hacemos
un proceso iterativo para calcular de nuevo los valores de 𝑆𝑒, 𝐾𝑓 y 𝐾𝑓𝑠, con
el valor de 𝑑 y seguidamente se vuelve a calcular el valor del diámetro hasta
que la iteración converja.
Resultados:
En primer lugar, del análisis de momento y torque determinamos el valor de
𝑀𝑚, 𝑀𝑎, 𝑇𝑚 y 𝑇𝑎. Para ello es necesario analizar la variación en el momento y
el torque crítico del eje.
115
Grafica 49 Momento y Torque en eje vs distancia para todos los ángulos β=
{0,360} 𝛼 =15° y 𝜗 = 0
Si analizamos la variación del torque y momento para una revolución
obtenemos:
Grafica 50 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
0
Grafica 51 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
5°
116
Grafica 52 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
10°
Grafica 53 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
15°
Grafica 54 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
20°
117
Grafica 55 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
25°
Grafica 56 Momento y Torque alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 =
30°
De los resultados obtenidos se observó que los mayores valores para el
momento y torque se obtuvieron para una configuración de 𝛼 =15° y 𝜗 =0°.
Por otra parte, se encontró que las variaciones en el momento promedio y
torque promedio son independientes del ángulo de desfase y que las
variaciones en el momento alternante 𝑀𝑎 y torque alternante 𝑇𝑎 varían en
un rango de 0° a 15° encontrando su mínimo en 15°.
Una conclusión importante, de las curvas de torque y momento, es que los
picos de torque y momento aumentan conforme aumenta el ángulo de
desfase, sin embargo, su duración y amplitud disminuye y su periodo de
ocurrencia también disminuye.
118
Para evaluar el diámetro, consideramos solo los criterios de falla de
Goodman Modificado y Gerber, ya que el primero es el más flexible de los
criterios lineales y el segundo es el más conservador de todos los criterios.
Para calcular el momento y el torque alternante ( 𝑀𝑎, 𝑇𝑎), se tomó el máximo
y mínimo para cada revolución:
𝑀𝑎 = |𝑀𝑚𝑎𝑥 − 𝑀𝑚𝑖𝑛
2|
𝑇𝑎 = |𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇𝑚𝑖𝑛
2|
A continuación, se muestran los resultados, para algunos aceros
recomendados para la fabricación de ejes:
Tabla 8 Diámetro calculado con el criterio de Goodman
Material
ACERO
REF
Diámetro
Goodman
1ra
iteración
(mm)
Diámetro
Goodman
2da
iteración
(mm)
Diámetro
Goodman
3ra
iteración
(mm)
Diámetro
Goodman
4ta
iteración
(mm)
1040 51,609582 43,542645 43,29512 43,286847
1095 50,348683 42,434819 42,191786 42,183652
4140 50,911156 42,928853 42,68381 42,675613
4340 49,310998 41,524057 41,284757 41,276739
cambio
% 16% 1% 0%
Tabla 9 Diámetro calculado con el criterio de Goodman
Material
ACERO
REF
Diámetro
Gerber
1ra
iteración
(mm)
Diámetro
Gerber
2da
iteración
(mm)
Diámetro
Gerber
3ra
iteración
(mm)
Diámetro
Gerber
4ta
iteración
(mm)
1040 51,014745 42,705873 42,438085 42,428642
1095 49,782586 41,636514 41,374003 41,364743
4140 50,332322 42,113487 41,848617 41,839276
119
4340 48,768039 40,756804 40,498667 40,489559
cambio
% 16,4% 1% 0%
Para finalizar solo basta con revisar la fluencia de manera que tenemos que
el factor de seguridad por fluencia. Para ello utilizamos la condición de
máximo esfuerzo, la cual ocurre en una configuración 𝛼 = 15; 𝑥 = 𝑐3; 𝜗 =0; 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 0.
𝑛𝑦 =𝑆𝑌
𝜎𝑚𝑎𝑥′
𝑛𝑦 =550
34.46= 15,96
En conclusión, el eje no tiene ningún problema por fluencia, y se puede decir
que el diseño fue el esperado.
Daño acumulado
Con anterioridad, se había despreciado la forma de la función de los
esfuerzos críticos que tenía el eje, y solo teníamos en cuenta el máximo y el
mínimo. Experimentalmente se ha demostrado que pequeños ciclos de
amplitudes más pequeñas que el máximo y mínimo, tienen una fatiga
asociada. De manera que para refinar el modelo es necesario sumar las
contribuciones de fatiga más pequeñas.
La teoría que en la actualidad tiene mayor uso para explicar el daño
acumulado es la teoría de la suma de relación-ciclo de Palmgren- Milner,
también llamada la regla de Milner. La relación es:
∑𝑛𝑖
𝑁𝑖=
𝑛1
𝑁1+
𝑛2
𝑁2+
𝑛3
𝑁3+ ⋯+
𝑛𝑖
𝑁𝑖= 𝑐
Donde 𝑛𝑖 es el número de ciclos a un nivel de esfuerzo 𝜎𝑖 y 𝑁𝑖 es el número
de ciclos para falla a un nivel de esfuerzo 𝜎𝑖. Usando una formulación
determinística de daño lineal, obtenemos:
∑𝑛𝑖
𝑁𝑖= 𝐷
Se establece que 𝐷 es el daño acumulado. Por otra, parte se recuerda que
para establecer el valor de 𝑁 es igual a:
𝑆𝑓 = 𝑎𝑁𝑏
𝑁 = (𝑆𝑓
𝑎)1/𝑏
120
De la teoría de fatiga se recuerda que 𝑆𝑓 es el esfuerzo de fatiga y 𝑎 y 𝑏 son
constantes asociadas al esfuerzo ultimo:
𝑎 =(𝑓𝑆𝑢𝑙𝑡)
2
𝑆𝑒 ; 𝑏 =
1
3log (
𝑓𝑆𝑢𝑙𝑡
𝑆𝑒)
Para evaluar el valor de 𝑆𝑓 debemos evaluar en cada una de las teorías de
falla despejando con la suposición de que:
𝑆𝑓 = 𝑆𝑒
Si suponemos que cada uno de los esfuerzos de fatiga son iguales a los
esfuerzos de ciclo 𝜎𝑖, obtenemos:
𝑁 = (𝜎𝑖
𝑎)1/𝑏
Esta relación permite predecir la falla por fatiga, cuando el daño
acumulado supera el 100%. A pesar de ser una relación lineal se comporta
bastante bien en comparación con los datos experimentales.
Ilustración 85Predicción de vida para una historia de carga con diferente
niveles amplitudes, Tomado de: (Dowling, 2012)
Con fin de evaluar los conteos de falla utilizamos el método sugerido por la
Norma ASTM E-1049, el método Rainflow fatiga (Dowling, 2012).
Rain Flow fatiga
En vista de, que los puntos críticos del eje presentan una historia de esfuerzos
irregular, la función de esfuerzos para un ciclo es de vital importancia para
evaluar el daño acumulado por el eje.
El método de conteo RainFlow consiste en el conteo de máximos y mínimos
en una historia de esfuerzos, en el cual se evalúa el rango (diferencia
numérica entre el máximo y el mínimo), del mismo valor a lo largo del tiempo.
121
Ilustración 86 Parámetros de historial de carga, tomado de: (Dowling, 2012)
En este método se cuenta un rango como un ciclo de carga siempre y
cuando haya un máximo y un mínimo de igual valor a lo largo de su historia
de carga. En este caso deben fijarse dos valores: X corresponde al rango en
consideración e Y corresponde al rango previo al considerado. Por otra
parte, se define el punto S como el punto de inicio del historial. El
procedimiento a seguir es el siguiente (Dowling, 2012):
1) Leer el siguiente máximo o mínimo. En caso de no haber más datos, ir
al paso 6.
2) En caso de haber menos de tres puntos, ir al paso 1. En caso contrario,
formar los pares de datos X e Y utilizando los valores máximos más
recientes que no hayan sido considerados.
3) Comparar los valores absolutos de X e Y:
a. Si X < Y, ir al paso 1.
b. Si X >= Y, ir al paso 4.
4) Si el rango Y contiene el punto de inicio S, ir al paso 5. En caso
contrario, contar el rango Y como un ciclo completo, eliminar los
valores máximos del rango Y e ir al paso 2.
5) Contar el rango Y como medio ciclo, eliminar el primer punto (máximo
o mínimo) del rango Y, mover el punto de inicio S al segundo punto
del rango Y e ir al paso 2.
6) Contar cada rango restante que no ha sido considerado como medio
ciclo.
En resumidas cuentas, solo se cuenta un ciclo completo si el segundo rango
es mayor o igual al primero, de manera que, si el segundo rango excede el
primer rango, se cuenta 1 siclo del primer rango.
122
Ilustración 87 Condición para el conteo de 1 ciclo con el método Rainflow,
tomado de (Dowling, 2012)
De manera que, para tener resultados sobre la vida para un ciclo de carga,
se utilizara la relación modificada, en relación con la ecuación XX.
𝜎𝑎 = 𝑆𝑓′(2𝑁)𝑏
Lo anterior, es debido a que los valores de 𝑆𝑓 son estandarizados para ciclos
alternantes de carga con 𝜎𝑚 = 0. Luego si utilizamos la relación de Smith,
Wason, y Topper (SWT), el esfuerzo reciproco:
𝜎𝑎𝑟 = √𝜎𝑚𝑎𝑥𝜎𝑎
Ahora bien, es necesario para evaluar apropiadamente el diseño, tabular
los resultados para su mejor comprensión. A continuación, se muestra un
ejemplo de la tabulación de los resultados:
Ilustración 88 Ejemplo del cálculo del número de ciclos para la falla,
tomada de (Dowling, 2012)
Para asegurarnos que el eje está diseñado para vida infinita basta con
asegurarnos que para cada rango de ciclo de esfuerzo o de carga se
cumpla la siguiente relación (Budynas & Nisbett, 2011):
𝑠𝑖 (𝜎𝑎𝑟 < 𝑆𝑎) ; 𝑁 → ∞
Para calcula el valor de 𝑆𝑎 lo despejamos del criterio de falla. Para este caso,
se tomó el criterio de Gerber por ser el más conservador, de manera que
tenemos:
123
𝑆𝑎 =(𝜎𝑎
𝜎𝑚)2
𝑆𝑢𝑙𝑡2
2𝑆𝑒
[
−1 + √1 + (2𝑆𝑒
(𝜎𝑎
𝜎𝑚) 𝑆𝑢𝑙𝑡
)
2
]
Resultados:
En primer lugar, se calculó el esfuerzo alternante para cada uno de los
ángulos de desfases estudiados en la condición crítica utilizando el material
más débil (acero 1040). De manera que se obtuvieron los siguientes
resultados:
Grafica 57 Esfuerzo alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 = 0°
Grafica 58 Esfuerzo alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 = 5°
124
Grafica 59 Esfuerzo alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 = 7°
Grafica 60 Esfuerzo alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 = 10°
125
Grafica 61 Esfuerzo alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 = 12°
Grafica 62 Esfuerzo alternante para una revolución 𝛼 =15° y 𝜗 = 15°
Para el análisis de conteo de ciclos se obtuvieron los siguientes resultados:
Tabla 10 Conteo Rainflow 𝛼 =15° y 𝜗 = 0°
N° ciclos Esfuerzo
medio (Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
Max
(Mpa)
Esfuerzo
Min
(Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
28,5 31,57386109 2,07018E-08 31,573861 31,573861 2,07E-08 4,065E-07
126
24 21,049 1,00E-07 21,049 21,049 1,E-07 2,946E-06
8 33,07491997 1,501058945 34,575979 31,573861 7,2042059 9,5670233
0,5 31,44047396 0,133387065 31,573861 31,307087 2,0522048 2,3299399
Tabla 11 Conteo Rainflow 𝛼 =15° y 𝜗 = 5°
N° ciclos
Esfuerzo
medio
(Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
max
(Mpa)
Esfuerzo
min
(Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
27 21,049241 4,667E-08 21,049241 21,049241 5,E-08 1,374555E-
06
16 31,573861 2,00E-07 31,573861 31,573861 2,E-07 3,9273E-06
22 28,065654 2,955E-08 28,065654 28,065654 3,E-08 6,5269E-07
11,5 24,557448 4,717E-08 24,557448 24,557447 5,E-08 1,191E-06
8 25,0578 0,5003529 25,558153 24,557447 3,5760446 7,179515641
7 30,820464 1,7541034 32,574567 29,06636 7,5590448 9,956354762
0,5 26,811904 2,2544563 29,06636 24,557448 8,0949886 10,38805391
0,5 27,947088 0,1185663 28,065654 27,828522 1,8241822 2,32994028
0,5 28,566007 0,500353 29,06636 28,065654 3,8135863 6,699997545
0,5 28,566007 4,0085597 32,574567 24,557448 11,427034 10,65532067
Llegados a este punto nos damos cuenta que para los puntos de amplitud
constante o donde el esfuerzo alternante es muy pequeño, no hay forma de
que represente una amenaza a la vida del eje de manera que no los
tomamos en cuenta para los siguientes análisis.
Tabla 12 Conteo Rainflow 𝛼 =15° y 𝜗 = 7°
N° ciclos
Esfuerzo
medio
(Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
max
(Mpa)
Esfuerzo
Min (Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
7,5 25,0578 0,500353 25,558153 24,557448 3,576045 7,1795164
0,5 26,811904 2,2544564 29,06636 24,557448 8,094989 10,388054
0,5 27,947088 0,1185663 28,065654 27,828522 1,824182 2,3299405
0,5 28,566007 0,500353 29,06636 28,065654 3,813586 6,6999974
0,5 28,566007 4,0085597 32,574567 24,557448 11,42703 10,655321
0,5 30,320111 2,2544564 32,574567 28,065654 8,569594 10,279697
7 30,820464 1,7541034 32,574567 29,06636 7,559045 9,9563548
127
Tabla 13 Conteo Rainflow 𝛼 =15° y 𝜗 = 10°
N° ciclos Esfuerzo
medio (Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
Max
(Mpa)
Esfuerzo
Min (Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
0,5 24,45370227 0,1037458 24,557448 24,349956 1,5961617 2,3299459
1 25,05780045 0,500353 25,558153 24,557447 3,5760451 7,1795166
0,5 26,81190387 2,2544564 29,06636 24,557447 8,0949887 10,388054
7 27,31225685 1,7541034 29,06636 25,558153 7,1404063 10,118983
8 28,56600728 0,500353 29,06636 28,065654 3,8135862 6,6999974
Tabla 14 Conteo Rainflow 𝛼 =15° y 𝜗 = 12°
N° ciclos Esfuerzo
medio (Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
Max
(Mpa)
Esfuerzo
Min
(Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
0,5 24,45370227 0,1037458 24,557448 24,349956 1,5961617 2,3299459
1 25,05780045 0,5003527 25,558153 24,557448 3,576044 7,1795144
0,5 26,81190387 0,500353 27,312257 26,311551 3,6967241 6,9332211
7 27,31225686 1,7541034 29,06636 25,558153 7,1404063 10,118983
8 28,56600728 2,2544564 30,820464 26,311551 8,3356698 10,334983
Tabla 15 Conteo Rainflow 𝛼 =15° y 𝜗 = 15°
N° ciclos
Esfuerzo
medio
(Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
Max
(Mpa)
Esfuerzo
Min
(Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
0,5 24,45370199 0,1037455 24,557448 24,349956 1,5961595 2,3299404
4 25,05780047 0,500353 25,558153 24,557448 3,576045 7,1795163
4 26,81190387 0,500353 27,312257 26,311551 3,6967241 6,9332211
3 27,31225684 1,7541034 29,06636 25,558153 7,1404063 10,118983
1 27,31225687 2,2544564 29,566713 25,057801 8,1643656 10,373151
8 28,56600728 2,2544564 30,820464 26,311551 8,3356698 10,334983
Se observó, que para una configuración de (𝛼 =15° y 𝜗 = 5°) y (𝛼 =15° y 𝜗 =7°) el eje calculado con el criterio Gerber para el material más débil no le
garantiza vida infinita al eje ya que:
𝜎𝑎𝑟 > 𝑆𝑎
128
De manera que, se aumentó diámetro del eje de 42.44 mm a 45 mm y se
evalúa de nuevo el esfuerzo alternante en esa condición y se le aplica el
conteo Rainflow. El resultado para esa condición fue el siguiente:
Tabla 16 Ciclo critico 𝛼 =15° y 𝜗 = 5°, 𝜗 = 7°
N° ciclos Esfuerzo
medio (Mpa)
Esfuerzo
alternante
(Mpa)
Esfuerzo
Max
(Mpa)
Esfuerzo
Min
(Mpa)
σ_ar
(Mpa) S_a (Mpa)
0,5 25,42610645 3,56794932 28,994056 21,858157 10,171004 10,590407
Deflexión máxima
Para poder revisar la integridad y estabilidad el eje es necesario hacer un
análisis de deflexión, este análisis se hace después del diseño en los puntos
críticos para el manejo de esfuerzos (Hibberler, 2011). En general, las
deflexiones deben ser revisadas para cada uno de los rodamientos, cuchillas
y engranújesela deflexiones admisibles dependerán de muchos factores
como lo son as especificaciones de los rodamientos y los engranajes.
Para este eje se utilizarán las ecuaciones de singularidad para la deflexión
del eje, considerando los cambios en las propiedades de sección a lo largo
del eje. Luego para la deflexión obtenemos la siguiente expresión:
𝐸𝐼𝑑2𝑣
𝑑𝑥2= 𝑀(𝑥)
𝑑𝑣
𝑑𝑥= ∫
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
𝐿
0
𝑣 = ∫∫𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
𝐿
0
𝑙
0
Para obtener la solución de la ecuación diferencial debemos integrar 2
veces, considerando las condiciones de frontera establecidas por
restricciones de diseño como lo son engranajes y rodamientos (Hibberler,
2011). Luego obtenemos para cada uno de los ejes:
Eje izquierdo
Deflexión en el plano x-z
𝐸𝐼 (𝑣) =𝐹0𝑥
6< 𝑥 − 𝑥0 >3+
𝐹1𝑥
6< 𝑥 − 𝑥1 >3−
𝑅𝑥1
6< 𝑥 − 𝑐1𝑧 >3−
𝑅𝑥2
6< 𝑥 − 𝑐2𝑧 >3
129
−𝑅𝑥3
6< 𝑥 − 𝑐3𝑧 >3−
𝐹𝐸𝑦
6< 𝑥 − 𝑒1 >3+ 𝐶1(𝑥) + 𝐶2
Deflexión de momento plano y-z
𝐸𝐼 (𝑣) = −𝐹0𝑦
6< 𝑥 − 𝑥0 >3−
𝐹1𝑦
6< 𝑥 − 𝑥1 >3+
𝑅𝑦
6< 𝑥 − 𝑐1𝑧 >3+
𝑅𝑦
6< 𝑥 − 𝑐2𝑧 >3+
𝑅𝑦
6< 𝑥 − 𝑐3𝑧 >3+
𝐹𝐸𝑦
6< 𝑥 − 𝑒1 >3+ 𝐶1(𝑥) + 𝐶2
Eje derecho
Deflexión en el plano x-z
𝐸𝐼 (𝑣) = −𝐹0𝑥
6< 𝑥 − 𝑥0 >3−
𝐹1𝑥
6< 𝑥 − 𝑥1 >3+
𝑅𝑥1
6< 𝑥 − 𝑐1𝑧 >3+
𝑅𝑥2
6< 𝑥 − 𝑐2𝑧 >3
+𝑅𝑥3
6< 𝑥 − 𝑐3𝑧 >3+
𝐹𝐸𝑦
6< 𝑥 − 𝑒1 >3+ 𝐶1(𝑥) + 𝐶2
Deflexión de momento plano y-z
𝐸𝐼 (𝑣) = −𝐹0𝑦
6< 𝑥 − 𝑥0 >3+
𝐹1𝑦
6< 𝑥 − 𝑥1 >3+
𝑅𝑦
6< 𝑥 − 𝑐1𝑧 >3+
𝑅𝑦
6< 𝑥 − 𝑐2𝑧 >3+
𝑅𝑦
6< 𝑥 − 𝑐3𝑧 >3−
𝐹𝐸𝑦
6< 𝑥 − 𝑒1 >3+ 𝐶1(𝑥) + 𝐶2
Del mismo modo, que se hizo con el momento y el cortante a lo largo del
eje es necesario determinar la suma vectorial para su análisis detallado:
𝑣𝑡 = √𝑣𝑦𝑧2 + 𝑣𝑥𝑧
2
Como parámetros de frontera para algunos puntos de interés tenemos:
Tabla 17 Deflexiones admisibles
Punto de interés Deflexión y pendiente admisible
Rodamientos 3 ª
Engranajes- Cuchillas 0.13 mm
Una vez las deflexiones fueron determinadas, si para algún punto de interés,
si esta es superior al valor admisible, modificamos el diámetro. Para ello, nos
valemos del hecho que 𝐼 es proporcional a 𝑑4, luego podríamos relacionar
el nuevo diámetro como:
𝑑𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑑 |𝑛𝑑𝑣𝑡
𝑣𝑡𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎
|
1/4
Resultados:
130
En primera instancia se calculó la deflexión y su pendiente para la condición
crítica del eje, la cual sucede con 𝛼 = 15, 𝜗 = 0 y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 0.
Adicionalmente se propuso un diseño preliminar del eje, en el que para la
mayor parte de su longitud se usó el diámetro determinado por el análisis de
Rainflow (45mm), sin embargo, para la parte de las cuchillas se aumentó 2
mm, para contrarrestar el concentrador debido a los cuñeros.
Ilustración 89 Eje derecho preliminar
A continuación, se muestran los resultados obtenidos para la pendiente y la
deflexión asociada:
Ilustración 90 Pendiente vs distancia para el eje derecho
131
Ilustración 91 Deflexión vs distancia para el eje derecho
Se aprecio que en ningún momento el eje supera alguno de los límites de
diseño establecidos, luego no fue necesario ajustar el diámetro del mismo.
Análisis de velocidad critica
Un problema que puede presentar el eje, es que a ciertas velocidades
angulares el eje es inestable, causando una deflexión dinámica debida a la
fuerza centrífuga (Budynas & Nisbett, 2011). Una forma, de evaluar la
velocidad critica de un eje es por medio de la curva de deflexión estática y
el método de Rayleigh para masas agrupadas, el cual establece:
𝑤1 = √𝑔 ∑𝑤𝑖𝑣𝑖
∑𝑤𝑖𝑣𝑖2
Donde 𝑤𝑖 es el peso de la sección del eje evaluada y 𝑣𝑖 es la deflexión
asociada a la sección del eje evaluada.
Resultados:
Tabla 18 Calculo de velocidad critica
Elemento Ubicación
(mm)
Deflexión total
(mm) Peso (kg) WD WD^2
Rodamiento 1 6,35 0,00E+00 0,0101 0,00E+00 0,00E+00
Cuchilla 1 19,05 8,52E-05 0,7202 6,14E-08 5,23E-15
132
Cuchilla 2 44,45 2,32E-04 0,7404 1,72E-07 3,98E-14
Cuchilla 3 69,85 2,60E-04 0,7404 1,92E-07 4,99E-14
Rodamiento 2 95,25 0,00E+00 0,0404 0,00E+00 0,00E+00
Engranaje 131,6 1,14E-03 0,7578 8,64E-07 9,84E-13 Total 1,29E-06 1,08E-12
𝑤1 = √9,81 ∗ 1,29E − 06
1,08E − 12= 3422,96 𝑅𝑃𝑀
La velocidad critica es demasiado alta en comparación con las
velocidades de nuestro triturador de manera que no es necesario ajustar el
diámetro para obtener deflexiones menores.
Cuñeros y retenedores
Los cuñeros y retenedores cumplen la función esencial de asegurar
elementos que transmiten torque en el eje. En el caso del triturador gran
parte de sus elementos transmiten torque, como lo son las cuchillas y los
engranajes. Actualmente, existen muchas nomas para la selección de los
tamaños apropiados que debe tener un cuñero en condiciones estándar.
Hoy en día existe una gran variedad de diseños y formas para múltiples
aplicaciones, sin embargo, para este análisis solo se considera el cuñero
rectangular o cuadrado.
Ilustración 92 Medidas estándar para cuñeros rectangulares tomado de:
(Budynas & Nisbett, 2011)
133
Para la mayoría de aplicaciones estos son manufacturados en acero de
bajo contenido de carbón con el fin de que funcionen adicionalmente
como fusible, en caso de un aumento súbito de torque o de esfuerzo en el
eje.
Actualmente existen relaciones que relacionan el valor de los
concentradores de esfuerzo en función de la relación del radio en la parte
inferior de la ranura y el diámetro del eje. Para una relación 𝑟
𝑑= 0,02 los
concentradores de esfuerzos según Perterson son:
• 𝐾𝑡 = 2,14 (Flexión)
• 𝐾𝑡 = 3 (Torsión)
Para evaluar el desempeño de un cuñero debemos descomponer las
fuerzas asociadas al torque transmitido. A continuación, se muestra el
diagrama de cuerpo libre de un cuñero en operación normal:
Ilustración 93 Diagrama de cuerpo libre cuñero, tomado de: (Budynas &
Nisbett, 2011)
De la figura anterior podemos deducir:
𝐹 =𝑇
𝑟
Ahora bien, de la teoría de máxima distorsión de energía, el esfuerzo a
cortante es:
𝑆𝑥𝑦 = 0,577𝑆𝑦
Luego el esfuerzo cortante resultante es:
𝜏 =𝐹
𝑡𝐿
Si analizamos para el factor de seguridad, remplazando las dos ecuaciones
anteriores, obtenemos:
𝑛 =𝑆𝑥𝑦𝑡𝐿
2𝐹
134
Utilizamos la mitad del área de la cara, para tener en consideración la
condición de aplastamiento.
Resultados
En primer lugar, despejamos la fuerza cortante, a partir del torque máximo
del eje
𝐹 =𝑇
𝑟=
200,5 𝑁𝑚
22,5𝑚𝑚1000
= 8911,11 𝑁
Para los cuñeros se decidió que sería de un acero de bajo contenido de
carbón de manera que se seleccionó el acero 1020.
𝑆𝑥𝑦 = 0,577 ∗ 350𝑀𝑝𝑎 = 201,95 𝑀𝑝𝑎
Para el diseño se utilizó un chavetero de designación ISO 2491-A, el cual
tiene las siguientes dimensiones:
Ilustración 94 Chavetero ISO 2491-A tomado de: (Autodesk Inventor, 2017)
ISO 2491-A
Longitud (mm) L 76,2
Distancia de
desfase (mm) x 0
Espesor (mm) B 14
Profundidad (mm) T 3,5
Si calculamos el factor de seguridad con estas dimensiones obtenemos:
𝑛 =201,95 𝑀𝑝𝑎 ∙
141000 𝑚 ∙
12.71000 𝑚
2 ∙ 8911,11 𝑁
𝑛 = 2.014
Observamos, que el factor de seguridad es óptimo. A continuación, se
muestra el diseño del chavetero para una cuchilla:
135
Ilustración 95 Diseño del cuñero
Engranajes:
Los engranajes son elementos que presentan unos efectos dinámicos
importantes, cuando se mueven a velocidades moderadas. Luego es
necesario tener en cuenta para seleccionar el material adecuado para
estos.
Actualmente, la metodología más adecuada para la selección y diseño de
engranajes, son las que establece la norma ANSI/AGMA 2001-D04 (Budynas
& Nisbett, 2011). Por muchos años la AGMA (American Gear Manufacturers
Association) ha sido la responsable de la diseminación de la teoría de diseño
y análisis de engranajes. El análisis establecido por AGMA establece un
diseño para Flexión y Fricción.
Análisis por flexión
En primera instancia se sabe que los dos engranajes tienen el mismo
diámetro de paso y la misma fuerza de contacto. Luego tenemos:
𝑑𝑝𝑧 = 𝑑𝑝𝑑
𝐹𝐸𝑍 = 𝐹𝐸𝐷
Para cada engranaje se selecciona un material base, del que obtenemos
su resistencia límite con base a la resistencia ultima:
𝑆𝑒
′ = 0.5 ∙ 𝑆𝑢𝑙𝑡
136
Se asume que cada uno de los engranajes son maquinados y trabajados en
frio, de manera que:
𝑘𝑎 = 4.51 ∙ 𝑆𝑢𝑙𝑡−0.265
El paso diametral, lo definimos como la relación entre el número de dientes
y el diámetro de paso:
𝑃 =𝑁
𝑑𝑝
Calculamos el addendum 𝑎 y el dedendum 𝑏:
𝑎 =1
𝑃
𝑏 =1.25
𝑃
El factor 𝑌 lo obtenemos de la siguiente tabla:
Ilustración 96 Valores del factor de Lewis (Y) para un engranaje de 20° de
Angulo de presión tomado de: (Budynas & Nisbett, 2011)
Ahora calculamos el valor de 𝑥:
𝑥 =3𝑌
2𝑃
Calculamos el valor de t de la siguiente forma:
𝑡 = √4(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑥
137
Para calcular el diámetro equivalente de rotación, en donde 𝑈 es el ancho
de la cara (1/2”), tenemos:
𝑑𝑒 = 0.808 ∙ √𝑈 ∙ 𝑡 Ahora calculamos el valor de 𝑘𝑏:
𝑘𝑏 = (𝑑𝑒
7.62)−0.107
Se analiza que 𝑘𝑐 = 1 ya que el diente en contacto está en flexión. Para este
caso Asumimos que efectos de la temperatura son despreciables por falta
de datos y que la confiabilidad es del 100%, por lo que:
𝑘𝑑 = 𝑘𝑒 = 1
Ahora, calculamos el factor de Marin 𝑘𝑓, con ayuda del criterio de Geber:
𝑆𝑎
𝑆𝑒+ (
𝑆𝑚
𝑆𝑢𝑙𝑡)
2
= 1
Sabemos que 𝑆𝑎 = 𝑆𝑚 debido a que cada diente está sometido a flexión en
una sola dirección, luego tenemos:
𝑆𝑎 =𝑆𝑢𝑙𝑡
2
2 ∙ 𝑆𝑒′∙ (−1 + √1 +
4 ∙ 𝑆𝑒′2
𝑆𝑢𝑙𝑡2 )
𝑘𝑓 =𝑆𝑎
𝑆𝑒′
Luego para calcular 𝑆𝑒, tenemos que:
𝑆𝑒 = 𝑆𝑒
′ ∙ 𝑘𝑎 ∙ 𝑘𝑏 ∙ 𝑘𝑓
Ahora calculamos la velocidad de cada diente, como:
𝑉 = 𝑤 ∙𝑑1
2
Ahora bien, para el factor dinámico 𝐾𝑣, asumimos que el diente es un perfil
(Hobbed y Shaped), de manera que:
𝐾𝑣 =3.56 + √𝑉
3.56
Ahora, para calcular el esfuerzo a flexión entre los dientes, partimos de la
siguiente expresión:
𝜎𝐸 = 2𝐾𝑣 ∙ 𝐹𝐸 ∙ 𝑃
𝑈 ∙ 𝑌
138
Se multiplica por dos debido a un factor de sobre carga, debido a las
fluctuaciones de torque. Finalmente, para determinar el factor de
seguridad, lo calculamos de la siguiente forma:
𝑛𝑑 =𝑆𝑡
1.5𝜎𝐸
Para determinar el esfuerzo admisible a flexión de un engranaje se hace uso
de la siguiente tabla:
Ilustración 97 Esfuerzo admisible a flexión para diferentes materiales
tomado de: (Budynas & Nisbett, 2011)
Análisis por fricción:
Para el análisis por fricción se debe tener en cuenta la dureza de la superficie
del engranaje, para ello nos valemos de las propiedades del material.
139
Inicialmente es necesario determinar el coeficiente elástico del engranaje
𝐶𝑝.
Seguido a lo anterior, determinamos el factor de tamaño del engranaje 𝐾𝑠,
el cual es el reciproco de 𝑘𝑏:
𝐾𝑠 =1
𝑘𝑏
Posteriormente, se requiere determinar el factor de distribución de carga 𝐾𝑚
en la línea de contacto, para ello partimos de la siguiente ecuación:
𝐾𝑚 = 1 + 𝐶𝑚𝑐(𝐶𝑝𝑓𝐶𝑝𝑚 + 𝐶𝑚𝑎𝐶𝑒)
Donde
Ilustración 98 Condición de ajuste, tomado de: (Budynas & Nisbett, 2011)
Para finalizar, calculamos el factor geométrico de dureza superficial, nótese
que dado que los dos engranajes son idénticos y tienen el diámetro de paso
y paso diametral igual la expresión se reduce a:
140
𝐼 =𝑐𝑜𝑠20𝑠𝑖𝑛20
4= 0.08
Con los datos anteriormente recolectados ahora podemos calcular el
esfuerzo de contacto de los engranajes por medio de la siguiente expresión:
𝜎𝐶 = 𝐶𝑝 ∙ 2 (𝐾𝑠 ∙ 𝐾𝑣 ∙ 𝐹𝐸 ∙ 𝐾𝑚
𝑈 ∙ 𝑑𝑝 ∙ 𝐼)
12
Llegados a este punto, solo faltaría, calcular el factor de seguridad para el
diseño por fricción, para ello partimos de la siguiente expresión:
𝑛𝑐 =1.2𝑆𝑐
𝜎𝑐
En esta expresión, se desprecia el desgaste ya que la relación de radios de
ambos engranajes es 1, y su dureza es igual. Para, obtener los valores del
esfuerzo de contacto admisible 𝑆𝑐, acudimos a la siguiente tabla:
Ilustración 99 Esfuerzo de contacto admisible en engranajes, tomado de:
(Budynas & Nisbett, 2011)
Ilustración 100 Esfuerzo de contacto admisible en engranajes, tomado de:
(Brown, 2006)
141
Para finalizar con el diseño de los engranajes basta únicamente con
comparar los factores de seguridad a flexión 𝑛𝑑 y a fricción 𝑛𝑐de la siguiente forma:
𝑛𝑑 > 𝑛𝑐
2 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑛𝑑 < 𝑛𝑐
2 𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛
El factor de seguridad predominante fue calculado para una vida infinita de
108 ciclos. Llegados a este punto evaluamos la vida del engranaje, para un
trabajo de 8 horas cada día, 6 días semanales y 15 años de trabajo.
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 15 𝑎ñ𝑜𝑠 ∙ 52 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
𝑎ñ𝑜∙ 6
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎∙ 8
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑑𝑖𝑎= 37440 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1,348𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 𝑤 ∗ 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Resultados:
Análisis por flexión:
En primer lugar, realizamos el análisis para los materiales más comunes para
la fabricación de engranajes. A continuación, se muestran los materiales
que se tomaron en cuento para el estudio:
Tabla 19 Materiales para la fabricación de engranajes
Material
Resistencia
a la
tracción
σ_ult
(Mpa)
Resistencia
a fluencia
σ_y (Mpa)
Módulo de
elasticidad
E (Gpa)
ACERO AISI 1045 620 550 200
ACERO AISI4140 655 415 205
ACERO AISI4340 745 470 192
HIERRO ASTM A536 414 276 X
BRONZE ATSM B-148 515 205 110
Dado que la única limitación geométrica es la distancia entre ejes el
diámetro de paso es igual a esta. 𝐷 = 𝑑𝑝
De manera que, se seleccionaron algunos parámetros arbitrarios para la
selección de la geometría:
142
Tabla 20 Propiedades geométricas del Engranaje seleccionado
Valores del engranaje
Diámetro de
paso(mm) dp 124
Nª dientes N 31
Modulo m 4
Paso (mm^-1) P 0,25
Seguidamente, calculamos los valores de 𝑆𝑒′ y 𝑘𝑎 de manera que tenemos:
Valores
Tabla 21 valores de 𝑆𝑒′ y 𝑘𝑎
Material SE' (Mpa) ka
ACERO AISI 1045 310 0,8207157
ACERO AISI4140 327,5 0,8088586
ACERO AISI4340 372,5 0,781727
HIERRO ASTM A536 207 0,913422
BRONZE ATSM B-148 257,5 0,8620801
Calculamos las demas propiedades independientes del material:
Tabla 22 Valores de 𝑎, 𝑏, 𝑌, 𝑡 𝑑𝑒 , 𝑘𝑏
Valores del engranaje
Adentun
(mm) a 4
Dedentun
(mm) b 5
Y 0,37425
x (mm) 2,2455
t (mm) 8,9909955
Diámetro
equivalente
(mm)
de 8,6341007
Kb 0,98672
Ahora calculamos los valores de 𝑆𝑎:
Tabla 23 Valores de 𝑆𝑎
Material SA (Mpa)
ACERO AISI 1045 256,8124
143
ACERO AISI4140 271,3099
ACERO AISI4340 308,5891
HIERRO ASTM A536 171,4844
BRONZE ATSM B-148 213,3200
𝑘𝑓 =𝑆𝑎
𝑆𝑒′= 0,8285
Luego para calcular 𝑆𝑒, tenemos que:
𝑆𝑒 = 𝑆𝑒
′ ∙ 𝑘𝑎 ∙ 𝑘𝑏 ∙ 𝑘𝑓
Tabla 24 Valores de Se
Material SE TOTAL
(Mpa)
ACERO AISI 1045 207,9709613
ACERO AISI4140 216,5370237
ACERO AISI4340 238,0288882
HIERRO ASTM A536 154,5574907
BRONZE ATSM B-148 181,456747
A partir de lo anterior, calculamos el esfuerzo
Ahora calculamos la velocidad de cada diente, como:
𝑉 = 𝑤 ∙𝑑1
2= 120 𝑟𝑝𝑚 ∙
2𝜋
60∗
124
2000𝑚 = 0,779
𝑚
𝑠
Ahora bien, para el factor dinámico 𝐾𝑣, asumimos que el diente es un perfil
(Hobbed y Shaped), de manera que:
𝐾𝑣 =3.56 + √𝑉
3.56= 1,24
Ahora, para calcular el esfuerzo a flexión entre los dientes, partimos de la
siguiente expresión:
𝜎𝐸 = 2𝐾𝑣 ∙ 𝐹𝐸 ∙ 𝑃
𝑈 ∙ 𝑌= 2 ∗
1,24 ∙ 1006 𝑁 ∙ 0.25 𝑚𝑚−1
12.7 𝑚𝑚 ∙ 0.37425= 65.61 𝑀𝑝𝑎
Ahora podemos calcular el factor de seguridad:
𝑛𝑑 =𝑆𝐸
1.5𝜎𝐸
Tabla 25 Factor de seguridad
Material SE TOTAL
(Mpa) Factor de
seguridad
ACERO AISI 1045 207,9709613 2,113203895
144
ACERO AISI4140 216,5370237 2,200244106
ACERO AISI4340 238,0288882 2,418624073
HIERRO ASTM A536 154,5574907 1,570466806
BRONZE ATSM B-148 181,456747 1,843791566
Análisis por fricción
En primer lugar, analizamos el coeficiente elástico para el par de engranajes
con diferentes materiales de manera que:
Tabla 26 Coeficiente elástico Cp para diferentes materiales
Material
Cp
(Mpa)^(1/2)
ACERO AISI 1045 191
ACERO AISI4140 194
ACERO AISI4340 196
HIERRO ASTM A536 166
BRONZE ATSM B-148 145
Analizamos el factor de distribución de carga 𝐾𝑚 en la línea de contacto,
para ello partimos de la siguiente ecuación:
𝐾𝑚 = 1 + 𝐶𝑚𝑐(𝐶𝑝𝑓𝐶𝑝𝑚 + 𝐶𝑚𝑎𝐶𝑒)
𝐾𝑚 = 1 + 1(−0.004516 ∗ 1.1 + 0.184 ∗ 1) = 1.142
Con los datos anteriormente recolectados ahora podemos calcular el
esfuerzo de contacto de los engranajes por medio de la siguiente expresión:
𝜎𝐶 = 𝐶𝑝 ∙ 2 (𝐾𝑠 ∙ 𝐾𝑣 ∙ 𝐹𝐸 ∙ 𝐾𝑚
𝑈 ∙ 𝑑𝑝 ∙ 𝐼)
12
Para determinar el esfuerzo admisible se partió de las tablas anteriores,
donde para los aceros se tuvo en cuenta la consideración de que son
carburizados con una dureza de 57 HRC.
Tabla 27Esfuerzos por fricción
Material Esfuerzo (Mpa) Esfuerzo admisible
(Mpa)
Factor de
Seguridad
ACERO AISI 1045 1108,272 1241,055 0,8211949
ACERO AISI4140 1137,183 1344,476 0,8670101
145
ACERO AISI4340 1115,500 1310,003 0,8612003
HIERRO ASTM A536 944,440 551,580 0,4282876
BRONZE ATSM B-148 843,250 206,843 0,1798808
Se encontró que para un espesor tan pequeño de ½” el diseño predomina
por fricción de manera que se aumentó a 1 ¼ “, obteniendo los siguientes
resultados:
Tabla 28Factor de seguridad por esfuerzos por fricción
Material Esfuerzo (Mpa) Esfuerzo admisible
(Mpa)
Factor de
Seguridad
ACERO AISI 1045 1773,831 1551,319 1,0494702
ACERO AISI4140 1820,105 1896,056 1,2500751
ACERO AISI4340 1785,399 1792,635 1,2048633
HIERRO ASTM A536 1511,612 551,580 0,4378742
BRONZE ATSM B-148 1349,654 206,843 0,1839072
Se observa que aumentando el espesor el esfuerzo de contacto disminuye
y por tanto los factores de seguridad aumentan. A pesar de aumentar los
factores de seguridad, se llega a la conclusión de que el hierro y el bronce
no son materiales apropiados para este tipo de aplicaciones ya que su
dureza no es la suficiente para aguantar la fricción.
Finalmente analizamos la vida de los engranajes
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 15 𝑎ñ𝑜𝑠 ∙ 52 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
𝑎ñ𝑜∙ 6
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎∙ 8
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑑𝑖𝑎= 37440 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1,348𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 𝑤 ∗ 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 120 𝑟𝑝𝑚 ∗ 1,348𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 1,608 ∗ 1010 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
Debido a que el número de ciclos requerido, que es del orden de 1010, la
cual es mayor que la vida infinita 108 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 es posible que en algún momento
el desgaste en los engranajes sea tanto que deberán ser cambiados.
Rodamientos
Con ayuda de la velocidad critica del eje, procedemos a diseñar los
rodamientos del eje. En primer lugar, es necesario definir las horas de
operación de la máquina, para ello suponemos:
1. El triturador trabaja 10 horas cada día.
2. Su vida útil es de 15 años
146
Dado que, anteriormente habíamos obtenido la fuerza de la reacción en
cada uno de los rodamientos (𝐹1𝑧, 𝐹1𝑑
, 𝐹0𝑧 y 𝐹0𝑑
) procedemos a analizar lo9s
rodamientos para 𝐿10 = 106 revoluciones, con una confiabilidad del 95%.
Para este análisis se asumen rodamientos de rodillo (𝑎 =10
3), puesto a que
soportan cargas radiales altas. De manera que tenemos:
𝑤 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒
𝐿𝐷 = 10ℎ
𝑑𝑖𝑎∗ 365
𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑎ñ𝑜∗ 15 𝑎ñ𝑜𝑠 = 54750 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Se tiene en cuenta que cada rodamiento presenta una historia de carga de
amplitud variable para cada revolución
𝐹𝐷𝐼= 𝐹1𝑧
𝑋𝐷 =𝐿𝐷
𝐿10=
𝐿𝐷 ∗ 𝑤 ∗ 60
106
Los parámetros de Weibull para el fabricante SKF son𝑥0 = 0.02, (𝜃 − 𝑥0) =
4.439, 𝑏 = 1.483. por otra parte, se asume que la maquina es de impacto
moderado luego se toma 𝑎𝑓 = 1.8.
Ilustración 101 Factores de aplicación de fuerza
Luego para obtener el rango de fuerza del catalogo 𝐶10 debemos despejar:
𝐶10 = 𝑎𝑓 ∙ 𝐹𝐷 ∙ (𝑥𝑑
𝑥0 + (𝜃 − 𝑥0) ∙ (1 − 𝑅𝐷)1𝑏
)
3/10
𝐶10 = 1.8 ∙ 𝐹𝐷 ∙ (
54750 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 120 𝑟𝑝𝑚 ∗ 60106
0.02 + 4.439 ∙ (1 − √95%)1
1.483
)
3/10
𝐶10 = 14,32 ∗ 5903.37 𝑁 = 84.53 𝑘𝑁
147
Con el fin de utilizar rodamientos capaces de soportar cargas axiales se hará
uso de retenedores (Seger) antes y después de los rodamientos con el fin de
contrarrestar los esfuerzos axiales producidos. Finalmente, se analiza el
catálogo de SKF y se observa que todos los rodamientos de rodillo soportan
la carga necesitada. El rodamiento más débil tiene una carga dinámica de
(SKF, s.f.). Por ende, se selecciona un rodamiento cuyo diámetro interno
cumpla con el diámetro definido anteriormente. Se selecciona un
rodamiento SKF cuya designación es NUP 309 ECP
Ilustración 102 Dimensiones NUP 309 ECP
Ilustración 103 Datos de cálculo NUP 309 ECP (SKF, 2017)
Diseño del perno de sujeción
Para la sujeción de los dientes en el porta-dientes se hizo uso de un perno de
cabeza hueca hexagonal con una designación ¼ “28 UNF -0.625 “, SAE GRADO 5
por su fácil acceso.
Para la selección del material de las porta-dientes se utilizó acero ANSI 1020. A
continuación, se muestran las propiedades de tornillo y el porta-dientes:
Tabla 29 Propiedades para el análisis del tornillo
Elemento Material
Resistencia a
fluencia σ_y
(Mpa)
Porta-Dientes ACERO AISI 1020 210
Tornillo ACERO Medio Q&T 634.3
Para el análisis de los tornillos se analizará para los siguientes modos de falla:
cortante en los pernos, fluencia en los cojinetes, fluencia en los pernos.
Cortante en los pernos:
𝑆𝑠𝑦 = 0.577 ∙ 210 𝑀𝑝𝑎 = 121.17 𝑀𝑝𝑎
148
𝐴𝑆 =𝜋 ∙ (
6.351000
)2
4= 3.167 ∙ 10−5 𝑚2
Para la fuerza cortante se utilizó la condición más severa a la que estará soportada
el diente la cual ocurre cuando 𝛼 = 15° y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 60°, de manera que la fuerza
cortante será la ejercida por la fuerza resultante en X y Z, luego podemos establecer
que la fuerza de corte máximo es:
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 598.57 𝑁
𝜏 =𝐹𝑚𝑎𝑥
𝐴𝑠=
598.57 𝑁
3.167 ∙ 10−5 𝑚2= 18.9 𝑀𝑝𝑎
𝑛 =𝑆𝑠𝑦
𝜏= 6.41
Fluencia de porta-dientes
𝑛 =𝑆𝑦1020
𝜎𝑏= 106.82
Llegados a este punto podemos afirmar que los pernos presentan factores
de seguridad lo suficientemente grandes para evitar una posible falla. A
continuación, se presenta el diseño final del conjunto:
Ilustración 104 Diseño final de la cuchilla de corte
Volante inercia
Debido, a las variaciones de torque, todos los componentes giratorios (eje,
cuchillas, engranaje) se aceleran o desaceleran, lo cual no es deseable, ya
que se generan fuerzas que no han sido consideradas en el diseño inicial.
Por otra parte, es muy posible que momento par pico requerido puede ser
tan alto como para requerir un motor de más potencia. Una manera de
suavizar las oscilaciones en el torque, es la adicción de un volante de inercia.
149
Ilustración 105 Esquema de un volante de inercia, tomado de: (Norton,
1999)
El volante es un sistema mecánico capaz de almacenar energía cinética
por medio de la inercia de toda la masa rotacional sujeta al eje (Norton,
1999). Luego, que el diseño de un volante consiste básicamente en
determinar cuánto debemos aumentar la inercia para reducir las
variaciones en el par requerido. Para determinar la inercia faltante,
debemos partir de la siguiente ecuación:
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∆𝐸
𝑘(𝑤𝑚2 )
Donde ∆𝐸 es el cambio de energía entre máximo punto y mínimo punto de
momento par cuyo valor es la integral para todas las posiciones angulares
del eje de la curva de torque requerido contra posición angular del eje:
∆𝐸 = ∫ (𝑇𝐿 − 𝑇𝑚)𝑑𝜃
𝜃@𝑤𝑚𝑎𝑥
𝜃@𝑤𝑚𝑖𝑛
El coeficiente 𝑘 es el coeficiente de fluctuación en la velocidad del eje, para
este diseño se consideró un valor del 𝑘 de 5%
Para efectos efecto de evaluar las variaciones de torque alrededor de todo
el conjunto evaluamos el torque que debe ser subministrado por el motor en
de la siguiente manera
∑𝑇𝑒𝑗𝑒 𝑑 = 0 = 𝑇𝐶𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎1+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎2
+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎3− 𝐹𝐸𝑦𝑟𝐸
𝑇𝐶𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎1+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎2
+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎3= 𝐹𝐸𝑦𝑟𝐸
∑𝑇𝑒𝑗𝑒 𝑧 = 0 = 𝑇𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 − 𝑇𝐶𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎1+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎2
+ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎3− 𝐹𝐸𝑦𝑟𝐸
∑𝑇𝑒𝑗𝑒 𝑧 = 0 = 𝑇𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 − 2 ∗ 𝑇𝐶𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎1− 2 ∗ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎2
− 2 ∗ 𝑇𝑐𝑐𝑢𝑐ℎ𝑖𝑙𝑙𝑎3
150
Como vimos anteriormente, la condición más crítica ocurre cuando 𝜗 =
0° , 𝛼 = 15°. De manera que la curva del momento par suministrado por el
motor es:
Ilustración 106 Torque total para una revolución
Ahora analizamos la integral con el fin de evaluar el cambio en la energía
cinética del conjunto, obtenemos:
Tabla 30Energía acumulada
Desde Área ΔE Suma
acumulada E
0 8 109,06142 109,0614229
9 37 -211,7835 -102,7220354
38 53 211,78346 109,0614229
54 82 -211,7835 -102,7220354
83 98 211,78346 109,0614229
99 127 -211,7835 -102,7220354
128 143 211,78346 109,0614229
144 172 -211,7835 -102,7220354
173 188 211,78346 109,0614229
189 217 -211,7835 -102,7220354
218 233 211,78346 109,0614229
234 262 -211,7835 -102,7220354
263 278 211,78346 109,0614229
279 307 -211,7835 -102,7220354
308 323 211,78346 109,0614229
151
324 352 -211,7835 -102,7220354
353 360 109,06142 6,339387541
Encontramos que la velocidad máxima y mínima de rotación ocurre justo
después del mínimo cambio de energía y del máximo cambio de energía
respectivamente. Para finalizar, encontramos la inercia del volante de la
siguiente forma:
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∆𝐸
𝑘(𝑤𝑚2 )
=−102.72 − 109.06
0.05 (12.56𝑟𝑎𝑑𝑠 )
2 = 26.823 𝑘𝑔 𝑚2
Selección de motor reductor
Para la selección del motor reductor partimos del momento par requerido y
la velocidad de rotación de los ejes, de manera que la potencia requerida
para un correcto funcionamiento está determinada por la siguiente
expresión:
𝑃 (𝑘𝑊) = 𝑀𝑟𝑒𝑞(𝑁𝑚) ∗ 𝑤(𝑟𝑝𝑚) ∗2𝜋
60
Para la selección del motor se buscó un motor reductor cuya potencia y
rotación se ajuste a los requerimientos. Para este ejercicio de selección se
escogió la marca de motor reductores SEW.
Ilustración 107 Motor reductor SEW, tomado de: (SEW eurodrive, 2017)
Ilustración 108 Motor reductor SE, tomado de: (SEW eurodrive, 2017)
152
Tabla 31 Características de Rotación SEW, tomado de: (SEW eurodrive,
2017)
Se selecciono el motor de 5.5 kW de denominación DRN 132S4 ya que la
potencia es la suficiente, y la rotación de su eje de salida es la velocidad de
diseño.
Análisis paramétrico de geometría del diente utilizando
ANSYS
Con fin de analizar, el efecto del cambio del ángulo de ataque en la
integridad estructural del diente, se realizó una serie de simulaciones
estructurales en ANSYS WORKBENCH 17.0.
En primer lugar, queremos analizar para el corte oblicuo la integridad
estructural del filo, con el fin de garantizar que no exista la falla. Para ello, se
seleccionaron algunos aceros para trabajo en frio. Dado que en la mayoría
de casos la abrasión y los esfuerzos son altos, se tomarán las propiedades de
los materiales en condición de algún tratamiento térmico de
endurecimiento de temple.
Tabla 32 Materiales de corte
Material
Resistencia
a la
tracción
σ_ult
(Mpa)
Resistencia
a fluencia
σ_y (Mpa)
Módulo de
elasticidad
E (Gpa)
Dureza
HRC
Tratamiento
térmico
ACERO AISI D2 1830 1750 203 58
Temple al aire
desde 1010 °C,
Revenido a 450 °C
153
ACERO AISI D3 1870 1750 203 57
Temple en aceite
desde 980 °C,
Revenido a 450 °C
ACERO AISI O2 1930 1750 205 55
Temple en aceite
desde 800 °C,
Revenido a 260 °C
ACERO AISI S1 2310 1750 206 58
Temple en agua
desde 955 °C,
Revenido a 150 °C
ACERO AISI M2 3250 1950 207 63
Temple en aceite
desde 1150°C,
Revenido a 550 °C
ACERO AISI4140 965 800 205 30
Temple en aceite
desde 845°C,
Revenido a 540 °C
ACERO AISI4340 1172 1103 200 37
Temple en aceite
desde 800°C,
Revenido a 540 °C
Inicialmente, se analizará la integridad de cada uno de los dientes de corte
para la condición de corte y de desgarro. En comparación con un material
base (ACERO AISI 1040), con el fin de analizar el comportamiento de los
factores de seguridad. Se utilizaron las siguientes condiciones:
Ilustración 109 Soportes estáticos del modelo
154
Ilustración 110 Fuerzas asociadas al modelo de corte y desgarro
Ahora bien, para la condición de corte se generó un refinamiento de la
malla en el filo transversal con el fin de tener mejores resultados en esa
condición, el mallado utilizado fue siguiente:
Ilustración 111 Mallado para condición de corte
Para analizar, los resultados se utilizó el modelo falla de Geber para el análisis
de fatiga con un esfuerzo reversible de igual a la máxima carga aplicada,
sobre el diente en cada una de las condiciones de corte y desgarro,
Los resultados fueron los siguientes:
Factor de seguridad estático
155
Ilustración 112 Factor de seguridad estático para 𝛼 = 0 y 𝛼 = 5 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 =30
Ilustración 113 Factor de seguridad estático para 𝛼 = 10 y 𝛼 = 15 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 114 Factor de seguridad estático para 𝛼 = 20 y 𝛼 = 25 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
156
Ilustración 115 Factor de seguridad estático para 𝛼 = 30 y 𝛼 = 35 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 116 Factor de seguridad estático para 𝛼 = 40 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Factor de seguridad fatiga
Ilustración 117 Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 0 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
157
Ilustración 118 Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 5 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 119Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 10 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 120Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 15 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
158
Ilustración 121Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 20 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 122Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 25 y con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 123 Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 30 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
159
Ilustración 124 Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 35 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Ilustración 125 Factor de seguridad fatiga para 𝛼 = 40 con 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 30
Finalmente se analizaron los datos de los diferentes resultados estáticos y a
fatiga:
Ilustración 126 Factor de seguridad a diferentes condiciones
160
Se logró evidenciar que, a ángulos de ataque mayores, factores como la
curvatura de la sección de corte son influyentes en el factor de seguridad
de corte por lo que no hay una tendencia clara visible del comportamiento
del factor de seguridad a fatiga. Por otra parte, se vio que al aumentar los
ángulos de ataque el comportamiento de los factores de seguridad en
condición de desgarro, van disminuyendo. Se logró evidenciar que el diente
que presenta mejor comportamiento en relación desgarro corte es el diente
con una configuración geométrica 𝛼 = 10, lo cual indica que para este
diente se puede seleccionar un material de menor resistencia estructural,
por ende, disminuye el costo de manufactura.
Simulación de elementos estructurales
A partir de los resultados obtenidos anteriormente se decide validar todos
los resultados de diseño en ANSYS WORKBENCH 17.0. con el fin de validar y
rectificar algunos parámetros de diseño de algunos componentes
diseñados.
Simulación de engranajes
Para la simulación de los engranajes, se simulo para una condición de
fricción con flexión combinada para el máximo torque requerido, el cual
ocurre para una configuración geométrica en la que 𝛼 = 15 y 𝛼𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑜 = 0.
Para el modelo se utilizaron las siguientes condiciones:
Ilustración 127 Soportes y condición de momento asociado
161
Se obtuvieron los siguientes resultados de deflexión, esfuerzo y factor de
seguridad, para un material 4140 tal y como se seleccionó en la sección del
diseño del engranaje.
Ilustración 128 Deformación total y esfuerzo equivalente de Von Misses
Ilustración 129 Factor de seguridad a fatiga
Se evidencio, que la zona más afectada es la región cerca del cuñero y la
región de contacto. Por otra parte, se logró evidenciar que el modelo
teórico es apropiado para este material ya que los factores de seguridad en
el contacto de los dientes se acercan con los obtenidos con la simulación.
Simulación del eje
Para la simulación del eje se consideró condiciones dinámica y estática del eje. En
la condición estática se evaluó para la configuración en el que 𝛼 = 15 y 𝛽 = 8° 𝑦 𝜗 =
0 la cual es la condición estática más severa. Para la condición dinámica se simulo
162
para el histórico de cargas aplicadas sobre el mismo en una configuración 𝛼 =
15 𝑦 𝜗 = 0. A continuación, se muestran las restricciones del modelo simulado.
Ilustración 130 Condiciones de la simulación del eje
A continuación, se muestran los resultados para la deformación total, el esfuerzo
equivalente y el factor de seguridad:
Condición estática
Ilustración 131 Deformación total y esfuerzo equivalente a lo largo del eje
163
Ilustración 132 Factor de seguridad a fatiga
Condición dinámica
Ilustración 133 Deformación total y esfuerzo equivalente de Von Misses
Se evidencio que para condiciones estáticas el factor de seguridad del eje tiende
a fallar en la posición del segundo rodamiento como fue anunciado anteriormente
en el modelo matemático, por otro lado, se observó que durante la condición
dinámica los esfuerzo y deformaciones para un ciclo disminuyen entre un 23% a
42%.
Diseño final
Para el diseño final, se diseñaron los sistemas faltantes, de la estructura como lo son
espaciadores, la tolva y la criba. A continuación, se muestran, el resultado de
diseño de estos componentes:
164
Ilustración 134 Estructura del mini triturador
Para garantizar la sujeción de todas las partes de la estructura se hizo uso de tornillos
de cabeza hueca hexagonal de ¼”. Además, Se utilizaron unos espaciadores con
el fin de espaciar las cuchillas y garantizar su posición a lo largo del eje.
Adicionalmente, estos evitan que el caucho procesado pase por los espacios
creados entre las cuchillas y las paredes laterales de la estructura. A continuación,
se presenta el diseño utilizado para los espaciadores, la placa principal de los
rodamientos y la placa lateral.
Ilustración 135 Espaciador, Platina de rodamientos y placa lateral.
Para el diseño del espaciador se procuró que el espacio circular para el eje
fuera lo suficientemente grande para no chocar con el eje y su cuñero. La
165
platina de los rodamientos se diseñó para que fuera centrada con una
distancia entre ejes de 85,5 mm. Con el fin de garantizar la trituración hasta
alcanzar un tamaño de partícula deseado se le añadió una criba a la
estructura en la parte inferior de la misma.
Ilustración 136 Criba
Los conjuntos móviles del eje izquierdo y el eje derecho quedaron armados
de la siguiente forma:
Ilustración 137 Conjunto móvil izquierdo
El eje de conjunto izquierdo tiene una sección adicional para el acople con
el motor. Esta sección adicional, tiene un diámetro de 1 ¼ “y una longitud
de 40 mm, para esta selección se tuvo en cuenta el cortante producido por
el torque del motor.
166
Ilustración 138 Conjunto móvil derecho
Para la sujeción del engranaje se utilizó un tornillo sin cabeza hueco
hexagonal de ¼ “. Seguidamente se ensamblo el conjunto móvil del eje
derecho y el eje izquierdo de manera, que el conjunto quedo de la siguiente
manera:
Ilustración 139 mini triturador
Para finalizar el triturador se añadió una tolva para el acceso de material, se
diseñó de tal forma que su fabricación fuera exclusivamente a partir de
lámina de acero galvanizado calibre 28 (0,26 mm). A continuación, se
muestra el diseño:
167
Ilustración 140 Tolva para acceso de material
Para finalizar se ensamblo el triturador en una mesa de trabajo movible junto
al motor su respectivo acople flexible y una mesa de trabajo movible. A
continuación, se muestra el ensamble en conjunto:
Ilustración 141 Ensamble del conjunto completo
168
Ilustración 142 Ensamble del triturador sin tolva con el motor-reductor
Para el ensamble definitivo se procuró la alineación de los ejes fuera exacta,
para garantizar que la transmisión de potencia fuera la adecuada. Además,
de lo anterior, la fijación a la mesa de madera, se hizo con tornillos de
seguridad de ½” para evitar la desalineación por vibraciones.
Conclusiones del diseño
Una vez concluido todo el proceso de diseño, se hizo una evaluación de las
diferentes conclusiones que dejo este mismo. A continuación, se muestran
las conclusiones más representativas de todo el proceso de diseño:
• El proceso, de diseño fue satisfactorio ya que cumplió cada los
requerimientos funcionales y no funcionales propuestos en la fase de
planeación al principio del mismo.
• El análisis paramétrico de ciertas variables de interés como la
geometría del diente, la distancia entre ejes y el tamaño del diente
169
permitió observar, cual es la configuración más favorable desde el
punto estructural.
• Para el diseño, de los elementos móviles fue muy importante la
caracterización de las fuerzas dinámicas, ya que, al analizar las
condiciones de carga, se hayo que al no considerar cada la variación
en las fuerzas dinámicas se incurre en un error de 35% a 53% en diseño
estructural de elementos como el eje y lo engranajes.
• Es muy importante, tener claro las dimensiones y tolerancias que se
van a manejar con el fin de garantizar un buen ensamble de todo el
conjunto.
• Este diseño, permitirá experimentar como el cambio de la geometría
del diente y la cuchilla afectan la trituración de caucho, de manera
que se concluye que se ha logrado el objetivo principal de todo el
proyecto de grado.
• Se logro, determinar geométricamente como las fuerzas se transmiten
entre el diente y el eje, por lo tanto, se logró observar que la
característica más importante en la geometría de la cuchilla y su
diente es el ángulo de ataque radial 𝜗, puesto a que este determina
la dirección y la magnitud de las fuerzas en la condición más común
del triturador (Desgarro).
• Con el fin de evaluar la incidencia del ángulo de desfase en la
trituración es necesario manufacturar diferentes porta-dientes con la
posición angular de la chaveta desfasada igual al mismo.
Recomendaciones
• Es importante que una vez manufacturado y ensamblado en conjunto
con el motor su acople en la mesa de trabajo hacer un análisis de
vibraciones para poder aplicar un plan de manteamiento apropiado
en cuanto la alineación de los componentes.
• Durante su montaje es necesario corroborar la alineación de los ejes
con el fin de evitar pérdidas en la transmisión. Adicionalmente, se
debe corroborar la posición de los engranajes y su correcta
lubricación con el fin de disminuir el desgaste excesivo de estos.
• Es necesario, verificar que todas las dimensiones con sus respectivas
tolerancias para evitar problemas en el ensamble.
170
• La lubricación de los rodamientos debe ser verificada y el ajuste de los
mismos para evitar deslizamiento que pueda, incurrir en el
deslizamiento de estos en su placa.
• El ajuste de los ejes y los cuñeros debe ser revisado y verificado con el
fin de evitar juego entre cada uno de los componentes móviles.
Trabajo a futuro
A pesar, de llegar a cumplir todos objetivos del proyecto, aún existe trabajo
para desarrollar y mejorar. El trabajo inmediato a suceder este proyecto de
grado es la manufactura de todos sus componentes y la experimentación
paramétrica de la trituración. Se espera que, con la experimentación, sea
posible obtener más información de la mecánica de corte, de forma que
sea posible corroborar o desmentir el modelo matemático propuesto, así
como la teoría de trituración encontrada.
Actualmente, no existe una teoría o estudio que simplifique el diseño
geométrico de la cuchilla y más específicamente del diente de corte. El
actual diseño, busca optimizar paramétricamente, la integridad estructural
de todos sus componentes a partir de la geometría de la cuchilla, se espera
que en un futuro existan más proyectos que respalden diferentes geometrías
y su desempeño en condiciones experimentales.
El actual diseño solo permite analizar la trituración a una distancia entre ejes
mínima, dada la geometría de la cuchilla y el diente. Un trabajo posterior,
podría enfocarse en diseñar un sistema para el ajuste de la distancia entre
ejes de tal manera que se puedan incluir cuchillas de diámetro mayor o
menor con dientes de geometrías mas complejas que el analizado en este
estudio.
Con el fin de analizar la potencia requerida, y la velocidad de corte es
bastante recomendable que se diseñe un sistema de control para el motor
eléctrico con el fin de disminuir la potencia y velocidad angular del motor
para determinar la velocidad de corte óptima. Una alternativa, para lograr
lo anterior es la implementación de un variador de frecuencia que permita
regular la velocidad de rotación del motor.
Algo fundamental, para mejorar en este estudio es una mejor
caracterización del material de caucho a procesar en condiciones de corte
y desgarro. Un avance significativo, seria evaluar como el cambio de
espesor del material y la disposición del ángulo de las fibras inciden en la
171
fuerza de corte y rasgado de mismo. Con una mejor caracterización del
material es posible empezar a refinar el modelo matemático propuesto en
este proyecto.
Para concluir la investigación, se espera en un futuro cercano tener
suficientes datos experimentales de diferentes geometrías de cuchillas y
condiciones de corte, con el fin de ampliar el modelo matemático, con el
fin de tener una guía de como optimizar variables de interés como la
potencia requerida, la velocidad de corte y el tamaño de las partículas
resultantes.
Conclusiones generales del estudio paramétrico
El estudio paramétrico aporto grandes conclusiones de diseño a la hora de
evaluar la integridad estructural de algunos de sus componentes, como el
eje, los engranajes y las cuchillas. A continuación, se mencionan las
conclusiones más relevantes del todo el estudio paramétrico:
• Las cuchillas de corte oblicuo consumen menos energía en
comparación a las de corte longitudinal. De manera que el torque
requerido puede disminuir hasta un 53 % de acuerdo al ángulo de
ataque y al ángulo de ataque oblicuo.
• La adición de un ángulo de desfase de una cuchilla respecto a la otra
disminuye el daño acumulado por fatiga, del eje de manera que este
puede ser menos robusto. Por otra parte, ayuda a evitar el rebote del
material, y garantiza que el corte se produzca a diferentes ángulos
dentro del material.
• La adición de un ángulo de desfase adicionalmente contribuye a la
disminución de hasta 20% (𝜗 = 15°) del torque requerido en el proceso
de trituración, ya que el torque se gasta en las cuchillas que entran en
condición de corte y desgarro primero.
• Se encontró, que el mejor ángulo de desfase 𝜗 de las cuchillas es 15°
el cual es igual a la diferencia angular entre los dientes (45°) y el
número de cuchillas en el eje (3):
𝜗 =∆°𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
# 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑗𝑒
• El ángulo más representativo de la geometría de la cuchilla es el
ángulo de ataque radial ya que determina la dirección y magnitud
de la fuerza en la condición de desgarro, la cual es la más recurrente
en la condición de operación.
172
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