Tema 5

Procesos elementales en QED

5.1 El lagrangiano y las reglas de Feynman de la QED

La electrodinamica cuantica (QED) describe la interaccion entre electrones (o cualquierotra partcula cargada de espn 1/2) y fotones. Resulta conveniente cuantizar el campode Maxwell de forma covariante, como hicimos en 3.3.2. Conviene ademas generalizarligeramente el lagrangiano (3.107) que describe el campo electromagnetico libre y escribir

L = 14

FF 12 (A)2 , (5.1)

donde es un parametro generico. En 3.3.2 usamos = 1, pero puede demostrarseigualmente que si se impone que A se anule entre estados fsicos, el espectro de lateora viene dado exclusivamente por los estados de polarizacion transversa del foton. Elefecto neto del segundo termino de (5.1), que se llama termino de gauge fixing, es romperla invariancia gauge del lagrangiano, pero los elementos de matriz entre estados fsicosseran independientes de la eleccion de .a Sin embargo, las reglas de conmutacion entrelos campos y el propagador dependeran de . Es aconsejable trabajar con generico y alfinal comprobar la correccion de los calculos verificando que se cancela en los elemen-tos de matriz entre estados fsicos. No obstante, dependiendo del tipo de problema, loscalculos se simplifican bastante si se elige el llamado R gauge apropiado. En particular, = 1 es el gauge de t Hooft-Feynman, = 0 es el gauge de Landau y es el gaugeunitario (en el que solo intervienen los grados de libertad fsicos).

Hallemos el progagador del foton. Para aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange aeste lagrangiano, notese que

L = 12(AA AA) 12 g

AA (5.2)

de modo que

LA L

(A)= 0 F + 1

A = 0

aEn presencia de interacciones la independencia en se logra siempre que A se acople a la materiarespetando la invariancia gauge, es decir si lo hace a una corriente conservada.

103

104 Tema 5: Procesos elementales en QED

2A (

1 1

)A = 0

[

g2(

1 1

)

]A = 0 (5.3)

Ya sabemos que el propagador es una funcion de Green del operador que actua sobre elcampo en la ecuacion anterior. En el espacio de momentos, el propagador del foton es,por tanto, el inverso de

k2g +(

1 1

)kk . (5.4)

Notese que este operador es invertible gracias a que hemos introducido el termino degauge fixing, pues k2g + kk es singular (tiene autovalor nulo k), lo que tiene quever con la simetra gauge: A = A + tambien es solucion de (g2 )A = 0.El inverso de (5.4), incluyendo la prescripcion de Feynman que ya hemos discutido, es elpropagador del foton

DF (k) =i

k2 + ie

[g + (1 ) k

k

k2

](5.5)

En efecto,

DF (k)[k2g +

(1 1

)kk

]= i . (5.6)

La eleccion del signo global es la apropiada pues, mientras que para campos escalareslas reglas de conmutacion son [ap, aq] = (2pi)33(p q), para el campo de Maxwell con = 1 son [ap,, aq, ] = (2pi)

33(p q) = g(2pi)33(p q), segun vimos en(3.113).

Recordemos que las ecuaciones de Maxwell en presencia de fuentes vienen descritas anivel clasico a partir del lagrangiano invariante gauge U(1) que se obtiene introduciendoen el lagrangiano de Dirac una derivada covariante (2.213) lo que conduce al acoplamien-to mnimo del campo electromagnetico con cargas y corrientes j = (, j) = eQ f,donde Q f es la carga electrica en unidades de e del fermion f aniquilado por el campo. De esta forma se obtiene el lagrangiano de la electrodinamica clasica (2.215). Paradescribir la interaccion electromagnetica a nivel cuantico (QED) hemos de fijar el gauge,como en (5.1), e interpretar las interacciones entre campos cuanticos como intercambiode partculas (fotones, electrones y antielectrones o positrones). El lagrangiano de partidaes

LQED = (i /Dm) 14 FF 1

2(A)2 , D = + ieQ f A (5.7)

que contiene una interaccion de la forma

Lint = eQ f A . (5.8)Para hallar perturbativamente la matriz de scattering de un proceso en QED basta conaplicar las reglas de Feynman correspondientes. Respecto a los casos que hemos tratadoen el tema anterior, las novedades son: el propagador del foton, que se lee directamentede (5.5), el vertice de interaccion, que se deduce trivialmente de (5.8), y un factor depolarizacion cuando el foton se encuentra en una pata externa, que no existe en el casode un campo escalar. Resumimos a continuacion las reglas de Feynman de la QED:

5.2. Un proceso sencillo: e+e + 105

Patas externas:

fermion entrante: fermion saliente:p

= u(s)(p)p

= u(s)(p)

antifermion entrante: antifermion saliente:

p= v(s)(p)

p= v(s)(p)

foton entrante: foton saliente:

k= e(k,)

k= e(k,)

Vertice:

= ieQ f

Propagadores:

k = i

k2 + ie

[g (1 ) k

k

k2

]

p=

i(/p + m)p2 m2 + ie

5.2 Un proceso sencillo: e+e +

e+

e

+

k1

k2

p1

p2q

Figura 5.1: El proceso e+e + a nivel arbol en QED.

Consideremos la aniquilacion de un electron y un positron para dar un muon y unantimuon. En QED este proceso viene descrito a orden mas bajo de TP (nivel arbol) porel diagrama de la figura 5.1. El muon tiene la misma carga del electron, Q = Qe = 1,

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y una masa M unas 200 veces mayor que la masa m del electron. Vamos a hallar paso apaso y en detalle la seccion eficaz de este proceso.

En primer lugar, asignamos momentos a todas las partculas del diagrama y usamosla conservacion del cuadrimomento en cada vertice, lo que fija el cuadrimomento delfoton virtual que se propaga entre los dos vertices de interaccion,

q = k1 + k2 = p1 + p2 . (5.9)

Las patas externas son fermiones, cuyos espines etiquetamos mediante ndices r1, r2, s1, s2que toman dos valores posibles (1,2).

Aplicando las reglas de Feynman, recorriendo cada lnea fermionica en sentido con-trario al flujo fermionico, el elemento de matriz invariante viene dado por

iM = u(s2)(p2)(ie)v(s1)(p1)iq2[

g (1 )qq

q2

]v(r1)(k1)(ie)u(r2)(k2) . (5.10)

Notese que como los fermiones externos estan sobre su capa de masas satisfacen lasrespectivas ecuaciones de Dirac,

/k1v(r1)(k1) = mv(r1)(k1) , /k2u(r2)(k2) = mu(r2)(k2) , (5.11)as que la amplitud no depende del parametro , como deber ser, ya que

qv(r1)(k1)u(r2)(k2) = v(r1)(k1)(/k1 + /k2)u(r2)(k2) = 0 . (5.12)

Podramos haber trabajado desde el principio en el gauge de t Hooft-Feynman ( = 1).Por tanto,

M = e2

q2u(s2)(p2)v(s1)(p1) v(r1)(k1)u(r2)(k2) . (5.13)

Para hallar |M|2, notese que(uv) = v0u = v000u = vu , (5.14)

donde se ha usado

u = u0 , = , 00 = . (5.15)

Se trata ademas de un numero complejo que podemos multiplicar en cualquier orden.Lo mismo ocurre con la otra lnea fermionica. Conviene escribir,

|M|2 = e4

q4u(s2)(p2)v(s1)(p1) v(s1)(p1)u(s2)(p1) v(r1)(k1)u(r2)(k2) u(r2)(k2)v(r1)(k1) .

(5.16)

Podemos ahora hacer uso de las propiedades de espinores y matrices de Dirac, queconducen a multitud de identidades (Diracologa). En particular, puede verse que los dosestados de espn a lo largo del eje z satisfacen

u(1)(p)u(1)(p) =1+ 5/n

2(/p + m) , (5.17)

5.2. Un proceso sencillo: e+e + 107

u(2)(p)u(2)(p) =1 5/n

2(/p + m) , (5.18)

v(1)(p)v(1)(p) =1+ 5/n

2(/pm) , (5.19)

v(2)(p)v(2)(p) =1 5/n

2(/pm) , (5.20)

donde n = (0, 0, 0, 1) en el sistema de referencia en el que p = (m, 0, 0, 0). En general,

u(p, n)u(p, n) =1+ 5/n

2(/p + m) , v(p, n)v(p, n) =

1+ 5/n2

(/pm) (5.21)

proyectan sobre polarizaciones bien definidas a lo largo de una direccion n, que cumplen2 = 1 y pn = 0. Si elegimos, por simplicidad, el eje z como direccion del movimien-to, p = (E, 0, 0, |p|), los operadores anteriores proyectan sobre los dos estados de helici-dad de partcula y antipartcula, respectivamente, si tomamos n = (|p|/m, 0, 0, E/m).En particular, en el lmite ultrarrelativista (E m) los proyectores sobre quiralidadesright y left de partcula y antipartcula son:

u(1)(p)u(1)(p) =1+ 5/n

2(/p + m) uR(p)uR(p) = 1+ 52 (/p + m) , (5.22)

u(2)(p)u(2)(p) =1 5/n

2(/p + m) uL(p)uL(p) = 1 52 (/p + m) , (5.23)

v(1)(p)v(1)(p) =1+ 5/n

2(/pm) vL(p)vL(p) = 1 52 (/pm) , (5.24)

v(2)(p)v(2)(p) =1 5/n

2(/pm) vR(p)vR(p) = 1+ 52 (/pm) . (5.25)

Otra propiedad que se demuestra facilmente de lo anterior es

u(p, n)u(p, n) = Tr[

1+ 5/n2

(/p + m)]

, v(p, n)v(p, n) = Tr[

1+ 5/n2

(/pm)]

,

(5.26)

donde es una matriz 4 4 arbitraria. Por otro lado, si los fermiones no estan po-larizados el calculo se simplifica notablemente pues podemos aplicar directamente lasrelaciones de completitud,

s

u(s)(p)u(s)(p) = /p + m , s

v(s)(p)v(s)(p) = /pm , (5.27)

que conducen a

s

u(s)(p)u(s)(p) = Tr [(/p + m)] , s

v(s)(p)v(s)(p) = Tr [(/pm)] . (5.28)

Volvamos a nuestro calculo (5.16) y supongamos por simplicidad que tanto los fermionesiniciales como los finales no estan polarizados. Tenemos entonces que promediar sobreespines iniciales y sumar sobre espines finales:

risi|M|2 = 1

4risi|M|2

=e4

4q4Tr[(/p1 M)(/p2 + M)]Tr[(/k2 + m)(/k1 m)] , (5.29)

108 Tema 5: Procesos elementales en QED

que aparece como el producto de las trazas de las dos cadenas fermionicas.

Para hallar las trazas volvemos a recurrir a la Diracologa. Necesitamos en particular,

Tr[# impar s] = 0 (5.30)Tr[] = 4g (5.31)

Tr[] = 4(gg gg + gg) (5.32)de donde

Tr[(/p1 M)(/p2 + M)] = Tr[/p1/p2]M2Tr[]= 4(p1 p

2 (p1 p2)g + p1 p2) 4M2g (5.33)

Tr[(/k2 + m)(/k1 m)] = Tr[/k1/k2]m2Tr[]= 4(k1k2 (k1k2)g + k1k2) 4m2g (5.34)

y por tanto,

risi|M|2 = 16e

4

4q4[(p1k1)(p2k2) (p1 p2)(k1k2) + (p1k2)(p2k1)m2(p1 p2)

(p1 p2)(k1k2) + 4(p1 p2)(k1k2) (p1 p2)(k1k2) + 4m2(p1 p2)

+ (p1k2)(p2k1) (p1 p2)(k1k2) + (p1k1)(p2k2)m2(p1 p2)

M2(k1k2) + 4M2(k1k2)M2(k1k2) + 4M2m2]

=8e4

q4[(p1k1)(p2k2) + (p1k2)(p2k1) + m2(p1 p2) + M2(k1k2) + 2M2m2] .

(5.35)

El siguiente paso es elegir un sistema de referencia. Supongamos el sistema centro demasas y sea el angulo que forma el + saliente con el e+ incidente,

k1 = E(1, 0, 0, i) ,

k2 = E(1, 0, 0,i) , i =

1m2/E2 , (5.36)p1 = E(1, f sin , 0, f cos ) ,

p2 = E(1, f sin , 0, f cos ) , f =

1M2/E2 . (5.37)Entonces,

q2 = (k1 + k2)2 = (p1 + p2)2 = E2CM = 4E2 , (5.38)

(p1k1) = (p2k2) = E2(1 i f cos ) , (5.39)(p1k2) = (p2k1) = E2(1+ i f cos ) , (5.40)

(p1 p2) = E2(1+ 2f ) = E2(2M2/E2) , (5.41)

(k1k2) = E2(1+ 2i ) = E2(2m2/E2) (5.42)

y la expresion (5.35) queda

risi|M|2 = e

4

2E4[2E4(1+ 2i

2f cos

2 ) + 2E2(m2 + M2)]

5.3. Comentarios 109

= e4[

1+ 4m2 + M2

E2CM+

(1 4m

2

E2CM

)(1 4M

2

E2CM

)cos2

]. (5.43)

La seccion eficaz diferencial del proceso se obtiene a partir de la expresion (4.194),

dd

=2

4E2CM

E2CM 4M2E2CM 4m2

[1+ 4

m2 + M2

E2CM+

(1 4m

2

E2CM

)(1 4M

2

E2CM

)cos2

](5.44)

donde se ha sustituido la constante de estructura fina = e2/(4pi). Notese que ECM >2M, la energa umbral del proceso. La seccion eficaz total es

=

d

dd

= 2pi

d cos dd

. (5.45)

En el lmite ultrarrelativista (ECM M, m),

dd

2

4E2CM(1+ cos2 ) (5.46)

4pi2

3E2CM. (5.47)

5.3 Comentarios

5.3.1 Sobre el propagador y los estados de polarizacion

Al cuantizar el campo de Maxwell de forma covariante hemos introducido (3.112) cuatrovectores de polarizacion e(k,) que satisfacen las siguientes relaciones de ortonormali-dad y completitud:

e(k,)e(k,) = , 0 = 1 , 1 = 2 = 3 = 1 , (5.48)3

=0

e(k,)e(k,) = g . (5.49)

Sea n un vector tipo temporal que satisface nn = 1 y n0 > 0. Diremos que

e(k, 0) = n (5.50)

es el vector de polarizacion escalar. Llamaremos e(k, 3) polarizacion longitudinal en elplano n k si e(k, 3)n = 0 y e(k, 3)e(k, 3) = 1, es decir,

e(k, 3) =k (kn)n(kn)2 k2 . (5.51)

Los otros dos vectores de polarizacion (transversa) e(k, 1) y e(k, 2) los tomamos orto-gonales entre s y perpendiculares al plano n k, de modo que

e(k,)e(k,) = , , = 1, 2 . (5.52)

diras 3 109diras 3 110diras 3 111diras 3 112diras 3 113diras 3 114diras 3 115