Distancia de Un Punto a Una Recta
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Cipri Demostraciones para E.S.O. y Bachillerato 1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Se llama distancia del punto 0 0 , y x P a la recta 0 C By Ax r a la distancia existente entre el punto P y el pie ' P de la perpendicular trazada por P a r . 0 C By Ax r 0 0 , y x P ' P Calculamos las coordenadas de ' P : r P r P a por a lar trazad perpendicu ' 0 0 0 0 0 0 , 0 , Px y x x y y Bx Ay Bx Ay A B vAB luego las dos rectas que tenemos son: 0 0 0 0 Ay Bx Ay Bx s C By Ax r y resolviendo el sistema correspondiente, obtenemos la coordenadas del punto : ' P 2 2 2 0 0 0 0 0 0 (sumando) 0 0 B A r Ax By C ABx By BC s Bx Ay Bx Ay ABx Ay ABx Ay 0 0 2 0 2 2 y A ABx BC y A y B BC ABx y A B A y 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 B A BC ABx y A y Despejando r x recta la de : A C C B x AB By A A C BC ABx y A B A C By x 2 0 2 0 2 0 0 2 y por tanto: 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 , ' B A BC ABx y A B A AC ABy x B P Así: , , ' ' dPr dPP PP 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 , y B A BC ABx y A x B A AC ABy x B 2 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 2 0 2 0 0 2 , B A y B y A BC ABx y A B A x B x A AC ABy x B
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Cipri Demostraciones para E.S.O. y Bachillerato 1
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Se llama distancia del punto 00 , yxP a la recta 0 CByAxr a la distancia existente entre
el punto P y el pie 'P de la perpendicular trazada por P a r .
0 CByAxr
00, yxP
'P
Calculamos las coordenadas de 'P :
rPrP a por alar trazadperpendicu'
0 0 0 00 0
,0
,
P x y x x y yBx Ay Bx Ay
A Bv A B
luego las dos rectas que tenemos son:
0
0
00 AyBxAyBxs
CByAxr
y resolviendo el sistema correspondiente, obtenemos la coordenadas del punto :'P
2
2 20 0 0 0
0 0(sumando)
0 0BA
r Ax By C ABx B y BC
s Bx Ay Bx Ay ABx A y ABx A y
002
022 yAABxBCyAyB
BCABxyABAy 00222
2200
2
BA
BCABxyAy
Despejando rx recta la de :
A
CCBxABByA
A
CBCABxyAB
A
CByx
20
20
200
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y por tanto:
22
002
2200
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,'BA
BCABxyA
BA
ACAByxBP
Así:
, , ' ' d P r d P P PP
022
002
02200
2
, yBA
BCABxyAx
BA
ACAByxB
220
20
200
2
220
20
200
2
,BA
yByABCABxyA
BA
xBxAACAByxB
Cipri Demostraciones para E.S.O. y Bachillerato 2
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0022
00 ,BA
CByAxB
BA
CByAxA
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2200
2
2200
BA
CByAxB
BA
CByAxA
22
22200
22
200
2200
2
BA
BACByAx
BA
CByAxBCByAxA
22
0022
200
BA
CByAx
BA
CByAx
22
00,BA
CByAxrPd
Expresión que nos dice que para calcular la distancia de un punto a una recta basta sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta (en valor absoluto) y dividir por el módulo del vector asociado a dicha recta.
