Becerril Camacho Diego Grupo:347

Distancia Entre Dos Puntos

Definición

Si se conocen las coordenadas de dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) en un plano real entonces es posible hallar la distancia entre ellos. Sean dos puntos cualesquiera P(x1, y1) y Q(x2, y2), entonces considerando los tres casos siguientes podemos obtener una fórmula para la distancia d entre P y Q.

Caso 1. Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre la misma recta horizontal. En este caso, las ordenadas de P y Q son iguales; ésto es, y1 = y2 y la distancia entre ellos es: d = x2 – x1

Caso 2. Los puntos P(x2, y2) están sobre la misma vertical. En este caso, las abscisas de P y Q son iguales, ésto es, x1 = x2 y la distancia entre ellos es: d = / y2 – y1 /

Caso 3. Los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) están sobre una recta que no es vertical ni horizontal. En este caso, las abscisas son distintas y las ordenadas también; y se obtiene un triángulo rectángulo como se muestra en la figura. Si llamamos: d(P, Q) la distancia de P a Q d(P, R) la distancia de P a R d(R, Q) la distancia de R a Q

Como Hacerlo

Por el Teorema de Pitágoras tenemos: [d(P, Q)]2 = [d(P, R)]2 + [d(R, Q)]2 = / x2 - x1 /2 + / y2 - y1 /2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 y así: d(P, Q) = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 o simplemente d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

Llamada fórmula de la distancia en el plano real. Es interesante observar que la fórmula d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 también es aplicable en los casos I y II. Ejemplos:

a. Representar gráficamente los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3) y hallar la distancia entre ellos.

b. Los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3) se muestran en la figura. Observa que los puntos P y Q están en una misma recta horizontal y la distancia entre ellos es la distancia entre las abscisas –2 y 4. d(P, Q) = /42 – x1 / = /4 – (-2) / = 6 También se puede utilizar la fórmula d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 d = (4 – (-2))2 + (3 – 3)2 d = 36 = 6

Los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3) se muestran en la figura. Observa que los puntos P y Q están en una misma recta vertical, y la distancia entre ellos es la distancia entre las ordenadas 5 y –3. d(P, Q) = / y2 - y1 / = / - 3 – 5 / = 8 También se puede utilizar la fórmula: d = √ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = √ (-2-(-2))2 + (-3-5)2 = √64 = 8

c. Representar gráficamente los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3), y hallar la distancia entre ellos.

Los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) se muestran en la figura. La distancia entre ellos la calculamos mediante la fórmula: d(P, Q) = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = √ (2 –(-2))2 + (5 – 2)2 = √ 42 + 32 = √ 25 = 5

d. Representar gráficamente los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) y hallar la distancia entre ellos:

Los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) se muestran en la figura. La distancia entre ellos se calcula mediante la fórmula: d(P, Q) = √(x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = √(4 – (-3))2 + (-2 – 3)2 = √72 + (-5)2 = √49 + 25 = √74

e. Representa gráficamente los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) y hallar la distancia entre ellos.

f. Demostrar que P(-5, 3), Q(3, 2) y R(-1, -4) son los vértices de un triángulo isósceles:

Representemos gráficamente los tres puntos P, Q, R y el triángulo ∆ PQR que ellos determinan. El ∆PQR es isósceles si dos de sus lados tienen la misma longitud. Hallemos d(P,Q), d(Q, R), y d(P, R) d(P, Q)= √[3-(-5)]2 + (2-3)2 = √64 + 1 = √64 d(Q, R) = √(- 1 – 3)2 + (- 4 – 2)2 √16 + 36 √52 d(P, R) = √[-1 – (-5)]2 + (-4 – 3)2 = √16 + 49 = √65

Comparando los resultados de (1) y (3) vemos que: d(P, Q) = d(P, R) Y así, el ∆ es isósceles porque dos de sus lados tienen la misma longitud.

Ejemplos:

Calcular la distancia entre los puntos : A(2, 1) y B(-3, 2)

Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1) d = raiz cuadrada [ (4 - 7)^2 + (1 - 5 )^2] d = raiz cuadrada [ (-3)^2 + (-4)^2] d = raiz cuadrada [ 9 + 16 ] d = raiz cuadrada 25 d = 5 Referencias:

www.wikipedia.com

www.geoan.com