UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESTADISTICA 1 Inga. Alba Guerrero de López MsC.

DISTRIBUCIÓN BETA

Esta distribución tiene aplicaciones en ingenieria y en otros campos de la ciencia.

Cuando una variable aleatoria toma valores entre 0 y 1 es utilizada la función densidad de probabilidad Beta, por lo que el modelo se utiliza frecuentemente para las variables aleatorias que representan proporciones, como el porcentaje de impurezas presentes en un producto químico o la cantidad de tiempo que una máquina está en reparación.

,f(x)= ┍(α+ β) * x α-1 (1-x) β-1 para 0<x<1 , α > 0, β > 0

┍(α) * ┍(β)

0 en cualquier otro caso

La media y la varianza de esta distribución están dadas por:

= α/ (α+ β) y varianza 2 = α β / (α+ β)

2 (α+ β + 1)

Ejemplo: En cierto país, la proporción de tramos de autopista que requieren reparación en un año determinado es una variable aleatoria con distribución beta,

con α= 3 β = 2 Calcúlese:

a) en promedio que porcentaje de tramos en autopista requieren reparación en un año cualquiera

= α/ (α+ β) = 3/(3+2) = 3/5 = 0.60 lo que significa que el 60% de los tramos

de autopista necesitan reparación en un año cualquiera

b) La probabilidad que a lo sumo la mitad de los tramos de autopista requieran reparación en un año cualquiera?

f(x)= ┍(2+ 3) * x2-1(1-x) 3-1 para 0<x<1 , α > 0, β > 0

┍(2) * ┍(3)

sustituyendo los valores en la formula y utilizando el hecho de que ┍(n) = (n-1)!

┍(5) = 4! = 24; ┍(2) = 1! = 1 ; ┍(3) = 2! = 2

,f(x) = (24/2) x1(1-x) 2 = 12x(1-x) 2 para 0<x<1

P(X<1/2) = 0ʃ0.5

f(x) dx = 0ʃ0.5 12x(1-x) 2 dx = 5/16 = 0.3125

Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenaje que contienen una cantidad fija de gasolina y que se llenan cada lunes. La proporción de esta reserva que se vende durante la semana es de sumo interés para el distribuidor. Mediante observaciones durante muchas semanas se encontró que se podría representar el modelo

de esta proporción mediante una distribución beta con α= 4 β = 2. Encuentre la

probabilidad de que el mayorista venda al menos 90% de su reserva durante una semana dada.

,f(x)= ┍(α+ β) * x α-1 (1-x) β-1 para 0<x<1 , α > 0, β > 0

┍(α) * ┍(β)

,f(x)= ┍(4+ 2) * x4-1 (1-x) 2-1 para 0<x<1 ,

┍(4) * ┍(2)

f(x)= ┍( 6 ) * x3 (1-x) para 0<x<1 ,

┍(4) * ┍(2)

sustituyendo los valores en la formula y utilizando el hecho de que ┍(n) = (n-1)!

┍(6) = 5! = 120; ┍(4) = 3! = 6 ; ┍(2) = 1! = 1

,f(x) = (120/6) x3(1-x) = 20x3(1-x) para 0<x<1

P(X>0.9) = 0.9ʃ1

f(x) dx = 0.9ʃ1 20x3(1-x) dx = 0.08