Distribucin de Poisson 1

Distribucin de Poisson

Distribucin de Poisson

El eje horizontal es el ndice k. La funcin solamente est definida en valores enteros de k. Las lneas que conectan los puntos son solo guas para elojo y no indican continuidad.

Funcin de probabilidad

El eje horizontal es el ndice k.Funcin de distribucin de probabilidad

Parmetros

Dominio

Funcin de probabilidad (fp)

Funcin de distribucin (cdf)(dnde es la Funcin gamma

incompleta)Media

Mediana

Moda

Varianza

Coeficiente de simetra

Curtosis

Distribucin de Poisson 2

Entropa

Funcin generadora de momentos (mgf)

Funcin caracterstica

En teora de probabilidad y estadstica, la distribucin de Poisson es una distribucin de probabilidad discreta queexpresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado nmero deeventos durante cierto perodo de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesoscon probabilidades muy pequeas, o sucesos "raros".Fue descubierta por Simon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilitdes jugements en matires criminelles et matire civile (Investigacin sobre la probabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles).

PropiedadesLa funcin de masa o probabilidad de la distribucin de Poisson es

donde k es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da la probabilidad de que el evento suceda

precisamente k veces). es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se espera que ocurra el fenmeno durante un

intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamosinteresados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo dedistribucin de Poisson con = 104 = 40.

e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribucin de Poisson son iguales a . Losmomentos de orden superior son polinomios de Touchard en cuyos coeficientes tienen una interpretacincombinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribucin de Poisson es 1, entonces segn la frmula deDobinski, el n-simo momento iguala al nmero de particiones de tamao n.La moda de una variable aleatoria de distribucin de Poisson con un no entero es igual a , el mayor de losenteros menores que (los smbolos representan la funcin parte entera). Cuando es un entero positivo, lasmodas son y 1.La funcin generadora de momentos de la distribucin de Poisson con valor esperado es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parmetro 0 a otra de parmetro es

Distribucin de Poisson 3

Intervalo de confianzaUn criterio fcil y rpido para calcular un intervalo de confianza aproximada de es propuesto por Guerriero (2012).Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los lmites del intervalo de confianzapara la frecuencia vienen dadas por:

entonces los lmites del parmetro estn dadas por: .

Relacin con otras distribuciones

Sumas de variables aleatorias de PoissonLa suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parmetro es lasuma de los parmetros de las originales. Dicho de otra manera, si

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

.

Distribucin binomialLa distribucin de Poisson es el caso lmite de la distribucin binomial. De hecho, si los parmetros n y de unadistribucin binomial tienden a infinito (en el caso de 'n') y a cero (en el caso de ) de manera que semantenga constante, la distribucin lmite obtenida es de Poisson.

Aproximacin normalComo consecuencia del teorema central del lmite, para valores grandes de , una variable aleatoria de Poisson Xpuede aproximarse por otra normal dado que el cociente

converge a una distribucin normal de media nula y varianza 1.

Distribucin exponencialSupngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el nmero de sucesos de cierto fenmeno aleatoriosigue una distribucin de Poisson de parmetro t. Entonces, los tiempos transcurridos entre dos sucesos sucesivossigue la distribucin exponencial.

EjemplosSi el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernacin defectuosa, para obtener la probabilidad deque 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribucin dePoisson. En este caso concreto, k es 5 y, , el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lotanto, la probabilidad buscada es

Distribucin de Poisson 4

Este problema tambin podra resolverse recurriendo a una distribucin binomial de parmetros k = 5, n = 400 y =0,02.

Procesos de PoissonLa distribucin de Poisson se aplica a varios fenmenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenmenos queocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un rea determinada) cuando la probabilidadde ocurrencia del fenmeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden sermodelados por la distribucin de Poisson incluyen: El nmero de autos que pasan a travs de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semforos)

durante un periodo definido de tiempo. El nmero de errores de ortografa que uno comete al escribir una nica pgina. El nmero de llamadas telefnicas en una central telefnica por minuto. El nmero de servidores web accedidos por minuto. El nmero de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta. El nmero de mutaciones de determinada cadena de ADN despus de cierta cantidad de radiacin. El nmero de ncleos atmicos inestables que decayeron en un determinado perodo El nmero de estrellas en un determinado volumen de espacio. La distribucin de receptores visuales en la retina del ojo humano. La inventiva [1] de un inventor a lo largo de su carrera.

Enlaces externos Distribucin de Poisson Puntual [2]

Distribucin de Poisson Acumulada [3]

Calculadora Distribucin de Poisson [4]

Clculo de la probabilidad de una distribucin de Poisson [5] usando R

Referencias[1] http:/ / www. leaonline. com/ doi/ pdfplus/ 10. 1207/ s15326934crj1103_3[2] http:/ / tablas-estadisticas. blogspot. com/ 2010/ 06/ poisson-puntual. html[3] http:/ / tablas-estadisticas. blogspot. com/ 2010/ 06/ poisson-acumulada. html[4] http:/ / www. elektro-energetika. cz/ calculations/ po. php?language=espanol[5] http:/ / cajael. com/ mestadisticos/ T6DDiscretas/ node7. php

Fuentes y contribuyentes del artculo 5

Fuentes y contribuyentes del artculoDistribucin de Poisson Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=74816289 Contribuyentes: Ademar de alemcastre, Aldo david, Alex economist, Amanuense, Barri, Camilo, Cgb,Ciberrojopower, Diegusjaimes, Faelomx, Flakinho, Hiperfelix, Ictlogist, Inoxcrive, JAGT, JakobVoss, Jkbw, Juan Mayordomo, Julian Colina, Juliowolfgang, Kved, Laura Fiorucci, Leonpolanco,Magister Mathematicae, Megazilla77, Metrnomo, Mrzeon, Paintman, Pieter, Pybalo, Ren Vpenk, Rufflos, Sadysamar, SuperBraulio13, Tano4595, Urdangaray, 161 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Poisson distribution PMF.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Poisson_distribution_PMF.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Autopilot,EugeneZelenko, Grafite, It Is Me Here, PAR, 1 ediciones annimasArchivo:PoissonCDF.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PoissonCDF.png Licencia: GNU General Public License Contribuyentes: Original uploader was Pdbaileyat en.wikipedia

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Distribucin de PoissonPropiedades Intervalo de confianza Relacin con otras distribuciones Sumas de variables aleatorias de Poisson Distribucin binomial Aproximacin normal Distribucin exponencial

Ejemplos Procesos de Poisson Enlaces externos Referencias

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