Distribución de Poisson

Es una de las probabilidades más importantes de variables discretas, el interés es determinar el número de hechos de cierto tipo que pueden producirse en un intervalo de tiempo o despacio. Sus usos frecuentes es averiguar y considerar límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de éxito es muy pequeña. La distribución poisson suele también llamarse de eventos raros.

La distribución de poisson parte de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito de cada ensayo es baja entonces en esos sucesos aplicamos la distribución de poisson:

Se debe cumplir

P < 0.10

P * n < 10

Distribución de probabilidad de poisson

Ejemplo 1

La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufacturas es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año,¿ cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n*p es menor que 10 (300*0.02= 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de poisson:

Al realizar la operación tenemos que p(x=3)=0.0892

Entonces la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%

Ejemplo 2

La probabilidad de un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados haya 5 defectuosos?

En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n*p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de poisson:

El resultado de p(x=5)=0.04602

La probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%

Ejemplo 3:

La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del

2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan

4 televisores con defectos.

n = 85

P = 0.02

X = 4

Lambda = 1.7

La probabilidad es de 6.3%

Aproximación de una binomial a una normal

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n y p = p (éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½; esto es

npq

npxzpqpC)p,n,x(P xnx

xn

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros = np = media de la distribución Binomial

= npq = desviación estándar de la distribución Binomial

Las Probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continúo como es la Normal,Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

Ejemplo 1

1. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos?

Solución:n = 80p = p (dar una contestación correcta) = 0.25q = p (dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75

2025080 .xnp Preguntas contestadas correctamente

8729375025080 .).).)((npq Preguntas contestadas correctamentex = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

16116191

87293

2021252111 ..

.

)/()/x(z

, p (z1 = 1.16) = 0.377

= 20 X1 = 24.5

X2 = 30.5

71271112

87293

2021302122 ..

.

)/()/x(z

, p (z2 = 2.71) = 0.4966

p (25 x 30) = p (z2) – p (z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

Ejemplo2

Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos, c) exactamente 354 productos sean defectuososSolución:a)n = 1000p = p (un producto sea defectuoso) = 0.35q = p (un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65

3503501000 ).(np Productos defectuosos

).(.)((npq 6503501000 15.0831 productos defectuososx = número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea = 0, 1, 2,..., 1000

23023200

083115

3502135421354..

.

)/()/(z

, p (z = 0.23) = 0.091

P(x 354) = 0.5 + p (z = 0.23) = 0.5 + 0.091 = 0.5091

b)

= 350X = 353.5

= 350 X2 = 364.5X1 = 341.5

56056350

083115

350213421 ..

.

)/(z

, p (z1= - 0.56) = 0.2123

96130

083115

35021364213642 .

.

)/()/(z

0.96, p (z2= 0.96) = 0.3315

p (342 x 364) = p (z1) + p (z2) = 0.2123 + 0.3315 = 0.5438

c)

23200

083115

35021354213541 .

.

)/()/(z

0.23, p (z1 = 0.23) = 0.091

30029830

083115

35021354213542 ..

.

)/()/(z

, p (z2= 0.30) = 0.1179

p(x = 354) = p (z2) - p (z1) = 0.1179 – 0.091 = 0.0269

= 350X1 = 353.5

X2 = 354.5

Ejemplo3

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan, c) menos de 50 no sobrevivan

Solución:

a) n = 100p = p (paciente se recupere) = 0.40q = p (paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60 = np = (100) (0.40) = 40 pacientes se recuperen

= npq = 8994600400100 .).)(.( pacientes que se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que se recuperanx = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

14214332

8994

40529

8994

40213021..

.

.

.

)/()/x(z

p (z = -2.14) =0.4838

P(x 30) = p (z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838

a)

X = 29.5 = 40

= 40 X = 46.5

331

8994

40546

8994

402146

8994

4021.

.

.

.

)/(

.

)/x(z

p (z = 1.33) = 0.4082

P(x 46) = 0.5 – p (z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918

b) n = 100p = p (paciente no sobreviva) = 0.60q = p (paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40

60600100 ).)((np Pacientes que no se recuperan

8994400600100 .).)(.(npq Pacientes que no se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que no sobrevivenx = 0, 1, 2,....,100

142

8994

60549

8994

602150.

.

.

.

)/(z

p (z = -2.14) = 0.4838

P(x 50) = 0.5 – p (z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162

= 60X = 49.5

Ejercicios

Binomial

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces

 ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

 ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B (10, 1/4)  p = 1/4q = 3/4

Normal

Si X es una var iab le a leator ia de una d is t r ibuc ión N (µ , σ) , ha l lar : p (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)