8/18/2019 Distribución de Temperatura en Una Barra

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Cambio con el tiempo de la distribución de temperatura a lo largo de una barra.

En un experimento simplificado, tenemos una barra de sección A y con agujeros equidistantes entre

sí y de sus extremos a una distancia d , con patas de la misma sección A en cada extremo . Al tiempo

t=0, una pata se introduce en el agua caliente de un recipiente, a la temperatura T cal  y la otra en agua

fría, a la temperatura T fria, ambas que suponemos conocidas. a temperatura uniforme inicial de la

barra es T ini .  En cada agujero de la barra se tiene un termopar con el cual se mide la temperatura enese punto de la barra y se puede obser!ar cómo cambia con el tiempo conforme los intercambios de

calor "acen que la barra se aproxime al r#gimen estacionario. $ueremos predecir estos cambios de

temperatura. %uponemos que la p#rdida de calor con el aire es despreciable.

&undamentación teórica

El problema es esencialmente el que se planteó &ourier pero lo recorremos en sentido in!erso.

'osotros podemos partir de la ecuación b(sica de la calorimetría que relaciona el cambio de

temperatura de un cuerpo de masa m con la cantidad de calor Q que recibe el cuerpo)

Q=mc Δ T   o dQ=mcdT 

Aquí c es la capacidad calorífica específica, que es igual a la cantidad de calor necesaria para

cambiar la temperatura de la unidad de masa en un grado.

*or otra parte, tenemos la ecuación de la conducción de calor, que nos da el flujo de calor J   en

estado o r#gimen estacionario para una barra de longitud L, sección A y coeficiente de conducti!idad

k  entre cuyos extremos "ay una diferencia de temperatura T cal - T frio por estar en contacto con

reser!orios de calor a esas temperaturas)

J =k A +T cal - T frio )/L

El cociente recibe el nombre de gradiente de +la temperatura y en el límite L muy peque-o, se

escribe como dT/dx. En un tiempo dt , el calor transferido en cualquier parte de la barra es

dQ=J dt  .

 *ara una barra "omog#nea en estado estacionario, el flujo de calor es el mismo en cualquier

sección a lo largo de la barra, sale lo mismo que entra, y la temperatura !aría linealmente con laposición x  a lo largo de ella.

%i la barra no est( en estado estacionario, la temperatura de cualquier punto de la barra cambia con

el tiempo porque la cantidad de calor o flujo de calor que llega por un lado es diferente del que sale

por el otro lado, de modo que "ay una entrada o salida neta de calor para producir un cambio de

temperatura. Eliminando el calor entre estas dos ecuaciones, se obtiene la ecuación de difusión del

calor.

*redicción de los cambios de temperatura en la barra

En cada troo de longitud d  de la barra, se puede aplicar la ecuación de balance de energía t#rmica

como se planteó en el p(rrafo anterior)

dQ=(J ent −J sal)dt con el flujo de calor que entra y el que sale dados por las diferencias de temperatura con las

secciones a la distancia d  de uno y otro lado.

*or ejemplo, si la barra tiene / agujeros a las temperaturas T 1, T  2 y T 3 respecti!amente, que son

funciones del tiempo, consideramos troos de longitud d  que intercambian calor por los gradientes

de temperatura sucesi!os +T cal - T 1 )/d , +T 1- T  2 )/d , +T  2- T 3 )/d   y +T 3- T frio )/d . %ustituyendo, para el primer

troo el cambio de temperatura en el tiempo dt  ser(

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(T cal−T 1)/d−¿

dT  1= kA

mc ¿

+T 1- T  2 )/d)dt 

1 similarmente para las otros troos.