Distribucion espacial de coeficientes pentanomiales

DISTRIBUCION ESPACIAL DE COEFICIENTES PENTANOMIALES

HIPERTETRAEDRO SUMA

Enrique R. Acosta R 2017

COEFICIENTES PENTANOMIALES

Los resultados obtenidos hasta ahora en una serie de trabajos anteriores (ver Bibliografía), sobre

la obtención analítica de los coeficientes del desarrollo de un polinomio tal como

(𝑥1 + 𝑥2+,… ,+𝑥𝑟)𝑚, y su distribución espacial, nos han permitido generalizar las fórmulas

encontradas para determinar dichos coeficientes, en cualquier caso de 𝑚, 𝑦 𝑟, enteros positivos.

De igual manera, hemos establecido que los coeficientes Binomiales (r=2), se distribuyen en líneas,

que podemos agrupar en un triángulo conocido como triángulo de Pascal, que hemos denominado

∆0, los coeficientes Trinomiales (r=3), se distribuyen en áreas triangulares que hemos denominado

∆𝑇 ,que también podemos agrupar en una pirámide o tetraedro regular, denominada Tetraedro

de Pascal, y los coeficientes Tetranomiales (r=4), se distribuyen en las caras, aristas y vértices de

un tetraedro compuesto, que hemos denominado Tetraedro Suma (T.Suma).

En el caso de los coeficientes Pentanomiales , más allá de la expresión encontrada para su

determinación: 𝑸𝒏𝒎 = (

𝒎𝒏){(

𝒏𝒊𝒋𝒌

)} =

{

(

𝒎𝒏𝒊𝒋𝒌)

}

, donde m representa la potencia del pentanomio

o fila del triángulo de coeficientes, y n representa el nivel correspondiente del cuerpo 4D que los contiene , desde n=0 en el “vértice”, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m, y donde n se corresponde con los valores de columna como casos de tetraedro suma, en la tabla o triángulo de coeficientes. Los coeficientes se obtienen al desarrollar las secuencias: 𝑛 = 0,1, … ,𝑚 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 𝑗 = 0,1, … , 𝑖 𝑘 = 0,1, … , 𝑗

El único problema que nos quedaría por resolver sería el determinar cómo se distribuyen dichos

coeficientes en el espacio.

Por analogía, sí para el caso de los coeficientes Tetranomiales, la base del tetraedro que los

contiene, se corresponde con el ∆𝑇 del mismo caso de 𝑚, y todas las secciones de dicho tetraedro,

son también triángulos análogos a ∆𝑇, podríamos suponer que si para los coeficientes

Pentanomiales, la base del cuerpo 4D que los contiene, que de ahora en adelante denominaremos

Hipertetraedro Suma (H.T.S.), es el Tetraedro Suma correspondiente al mismo caso de 𝑚,

entonces todos los diferentes niveles del H.T.S., deberán ser también Tetraedros Suma, análogos a

dicha base.

Para comprobar esta hipótesis (de manera práctica), hemos elaborado una tabla o triángulo de

coeficientes Pentanomiales, para los casos desde 𝑚 = 0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚 = 6, (para valores más allá de

m=6, es prácticamente imposible verter dichos valores en una hoja tamaño carta).

Con la ayuda de dicha tabla y con las expresiones ya determinadas para la obtención de dichos

coeficientes, intentaremos comprobar que dichas suposiciones para establecer su distribución

espacial, son correctas.

Comencemos presentando como se vería una secuencia frontal de los 7 Tetraedros Suma ,

correspondientes a las 7 secciones posibles de un H.T.S. , para m=6

1̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=0, del H.T.S para m=6 6̇ 6̇ 6̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=1, del H.T.S para m=6 15̇ 30̇ 30̇

15̇ 30 ̇ 15̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=2, del H.T.S para m=6

20̇ 60̇ 60̇

60̇ 120 ̇ 60̇

20̇ 60̇ 60̇ 20̇

Cara del T.Suma de la Sección por N=3, del H.T.S para m=6

6̇ 6̇ 6̇

90̇ 180 ̇ 90

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=4, del H.T.S para m=6

6̇ 30̇ 30̇

60̇ 120 ̇ 60

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇

6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇

Cara del T.Suma de la Sección por N=5, del H.T.S para m=6

1̇ 6̇ 6̇

15̇ 30 ̇ 15̇

20̇ 60̇ 60̇ 20̇

15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇

6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇

1̇ 6̇ 15̇ 20̇ 15̇ 15̇ 1 ̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=6, del H.T.S para m=6 Nótese que cada nivel en esta cara se corresponde con el nivel de base de cada una de las caras anteriores

Como ya hemos determinado, estos tetraedros a partir de N=4, contienen en su interior o una

singularidad (un tetraedro punto), y/o un tetraedro secundario (T.S.) interno cuyo vértice se aloja en

el nivel n=3 (cuarto nivel) del tetraedro principal (T.P.) o externo, y que extiende su desarrollo hasta el

nivel n=m-1, de dicho tetraedro principal (ver la referencia: “Distribución tetraédrica de coeficientes

tetranomiales”)

Esto, esquemáticamente Podemos representarlo mediante la siguiente figura:

Nivel Tetraedro principal (T.P.) 0 1 2 Nivel 0 Tetraedro secundario(T.S.) 3….... Singularidad ........................... . . . m-1

n=m

La representación de ambos tetraedros simultáneamente en una sola figura exige la utilización de

herramientas gráficas más complicadas. A pesar de ello, podemos también dar un ejemplo

esquemático que hemos elaborado para el caso r=4 y m=6 (que coincide con la sección por N=6 del

H.T.S., que estamos utilizando como caso de estudio)

Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraédrico

correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para 𝒎 = 𝟔 .

T.S

T.P

∆𝑇

∆0

La base de este tetraedro exterior coincide con el ∆𝑻 para 𝑚 = 6, el cual a su vez constituye la

base del tetraedro interior, o pirámide de Pascal del mismo caso, que tiene como vértice, el origen

de coordenadas, y como caras, los triángulos de Pascal (∆0), construidos c/u sobre uno de los tres

semiplanos coordenados, que contienen las 6 primeras filas del mismo (𝑚 = 6).

En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal (T.P.) para

poder observar la ubicación y el contenido del tetraedro secundario (T.S.)

Construimos nuestra tabla de coeficientes Pentanomiales, en base a la metodología desarrollada

en el estudio denominado “Coeficientes multinomiales y generalización del triángulo de Pascal”,

donde se utilizan las interrelaciones entre los coeficientes de cada caso, y las series paralelas

constitutivas del triángulo de Pascal, para elaborar dichas tablas o triángulos de coeficientes.

Para obtener los coeficientes contenidos en cada sección N del H.T.S., la trataremos como un

T.Suma, pero para obtener todos los coeficientes deberemos aplicar la expresión deducida para

coeficientes Pentanomiales, ya que si aplicamos la expresión correspondiente a los coeficientes

Tetranomiales, sólo obtendríamos los coeficientes de sus caras y quedarían excluidos todos sus

coeficientes interiores.

Entonces para el caso del H.T.S. para m=6, tendremos:

Sección por N=0: corresponde a los coeficientes de la columna 0 de la tabla o triángulo para m=6

𝑄06 =

{

(

60000)

}

= {1}, un solo coeficiente unitario nivel 𝑖 = 0 1̇

Sección por N=1 : corresponde a los coeficientes de la columna 1 de la tabla o triángulo para m=6

Secciones por nivel:

𝑄16 =

{

(

61000)

,

(

61100)

,

(

61110)

,

(

61111)

}

= {6,6,6,6} nivel 𝑖 = 0 6̇

nivel 𝑖 = 1 6̇

𝑖 = 0 𝑖 = 1 6̇ 6̇

Podemos observar que la sección por el nivel i=1, constituye la base del T.Suma

Correspondiente a la sección por N=1 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de

cualquiera de sus 4 caras.

N=1


𝑄26 =

{

(

62000)

,

(

62100)

,

(

62110)

,

(

62111)

,

(

62200)

,

(

62210)

,

(

62211)

,

(

62220)

,

(

62221)

,

(

62222)

}

= {15,30,30,30,15,30,30,15,30,15}

I=0 i=1 i=2


𝑖 = 0 15̇

𝑖 = 1 30̇

30̇ 30̇

𝑖 = 2 15̇

30̇ 30̇

15̇ 30̇ 15̇





𝑄36 =

{

(

63000)

,

(

63100)

,

(

63110)

,

(

63111)

,

(

63200)

,

(

63210)

,

(

63211)

,

(

63220)

,

(

63221)

,

(

63222)

,

(

63300)

,

(

63310)

,

(

63311)

,

(

63320)

,

(

63321)

,

(

63322)

,

(

63330)

,

(

63331)

,

(

63332)

,

(

63333)

}

=

𝑖 = 0 𝑖 = 1 𝑖 = 2 𝑖 = 3

= {20,60,60,60,60,120,120,60,120,60,20,60,60,60,120,60,20,60,60,20}

N=2


𝑖 = 0 20̇

𝑖 = 1 60̇

60̇ 60̇

𝑖 = 2 60̇

120̇ 120̇

60̇ 120̇ 60̇

𝑖 = 3 20̇

60̇ 60̇

60̇ 120̇ 60̇

20̇ 60̇ 60̇ 20̇




Por razones de espacio, damos por sentado que ha quedado suficientemente clara la secuencia a

seguir para la determinación de los coeficientes Pentanomiales para cada columna de la tabla, que

equivale a la sección por el nivel N considerado del H.T.S., del caso m=6 ( y de cualquier otro

caso). Entonces para la obtención de los coeficientes restantes, para las secciones N=4,5,6

utilizaremos la expresión simbólica general, sin desarrollarla.


𝑄46 =

{

(

64𝑖𝑗𝑘)

}

Con 𝑖 = 0,1, … ,4 𝑗 = 0,1,… , 𝑖 𝑘 = 0,1,… , 𝑗 , resulta:

𝑄46=

{15,60,60,60,90,180,180,90,180,90,60,180,180,180,360,180,60,180,180,60,15,60,60,90,180,90,60,

180,180,60,15,60,90,60,15}

N=3


𝑖 = 0 15̇

𝑖 = 1 60̇

60̇ 60̇

𝑖 = 2 90̇

180̇ 180̇

90̇ 180̇ 90̇

𝑖 = 3 60̇

180̇ 180̇

180̇ 360̇ 180̇

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

𝑖 = 4 15̇

60̇ 60̇

90̇ 180̇ 90̇

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇




Deberemos señalar aquí que el valor 360 en la sección por 𝑖 = 3, no es una singularidad ni un

vértice de un tetraedro secundario interior, ya que para 𝑚 = 6, esta ocurre para la permutación

𝑃𝑟6,1,1,1,1,1,1=6! = 720, y corresponde a 𝑟 = 6, es decir a coeficientes sexanomiales, mientras

que este valor se corresponde con la permutación 𝑃𝑟6,1,1,1,1,2 = 6! 2!⁄ = 360, que si pertenece a

N=4

los coeficientes Pentanomiales. Ver Tabla I en “Distribución tetraédrica de coeficientes

tetranomiales”


𝑄56 =

{

(

65𝑖𝑗𝑘)

}

, con 𝑖 = 0,1,… ,5 𝑗 = 0,1, … , 𝑖 𝑘 = 0,1,… , 𝑗, resulta:

𝑄56 ={6,30,30,30,60,120,120,60,120,60,60,180,180,180,360,180,60,180,180,60,30,120,120,180,360,180,120

,360,360,120,30,120,180,120,30,6,30,30,60,120,60,60,180,180,60,30,120,180,120,30,6,30,60,60,30,6}


𝑖 = 0 6̇

𝑖 = 1 30̇

30̇ 30̇

𝑖 = 2 60̇

120̇ 120̇

60̇ 120̇ 60̇

𝑖 = 3 60̇

180̇ 180̇

180̇ 𝟑𝟔𝟎̇ 180̇ ˃ N=5

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

𝑖 = 4

30̇

120̇ 120̇

180̇ 360̇ 180̇

120̇ 360̇ 360̇ 120̇

30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇

𝑖 = 5

6̇

30̇ 30̇

60̇ 120̇ 60̇

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇

6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇




En este caso si existe un tetraedro secundario (T.S.) interno de dos niveles, cuyo vértice de valor

360, se ubica en el nivel 𝒊 = 𝟑, del T.Suma, y cuya base con los tres coeficientes {360, 360, 360},

se ubica en el nivel siguiente 𝒊 = 𝟒


𝑄66 =

{

(

66𝑖𝑗𝑘)

}

Con 𝑖 = 0,1, … ,6 𝑗 = 0,1,… , 𝑖 𝑘 = 0,1,… , 𝑗 , resulta:

𝑄66={1,6,6,6,15,30,30,15,30,15,20,60,60,60,120,60,20,60,60,20,15,60,60,90,180,90,60,180,180,60,15,60,90,60,15,6,30

,30,60,120,60,60,180,180,60,30,120,180,120,30,6,30,60,60,30,6,1,6,6,15,30,15,20,60,60,20,15,60,90,60,15,6,30,60,60

,30,6,1,6,15,20,15,6,1}


i = 0 1̇

𝑖 = 1 6̇

6̇ 6̇

𝑖 = 2 15̇

30̇ 30̇

15̇ 30̇ 15̇

𝑖 = 3 20̇

60̇ 60̇

60̇ 𝟏𝟐𝟎̇ 60̇

20̇ 60̇ 60̇ 20̇

𝑖 = 4 15̇

60̇ 60̇

90̇ 180̇ 90̇

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇ ˃

𝑖 = 5 6̇

30̇ 30̇

60̇ 120̇ 60̇

60̇ 180̇ 180̇ 60̇

30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇

6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇

𝑖 = 6 1̇

6̇ 6̇

15̇ 30̇ 15̇

20̇ 60̇ 60̇ 20̇

15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇

6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇

1̇ 6̇ 15̇ 20̇ 15̇ 6̇ 1̇

N=6




En este caso si existe un tetraedro secundario (T.S.) interno de tres niveles, cuyo vértice de valor

120, se ubica en el nivel 𝒊 = 𝟑, del T.Suma,y continua con tres coeficientes {180,180,180} en el

nivel siguiente 𝒊 = 𝟒, para culminar con su base de seis coeficientes {120,180,180,120,180,120},

ubicada en el nivel 𝒊 = 𝟓, del T.Suma correspondiente.

Creemos que con este “despiece” pormenorizado del H.T.S. correspondiente al caso r=5 , y m=6,

totalmente congruente con la distribución de los valores de coeficientes Pentanomiales,

plasmados en la tabla o triángulo que se anexa, hemos logrado nuestros objetivos.

También podemos inferir que la analogía que aquí utilizamos de base teórica para desarrollar y

obtener la distribución espacial de los coeficientes pentanomiales (r=5), en un Hiper Tetraedro

Suma, puede extenderse indefinidamente para cualquier otro valor de r, entero positivo.

Las expresiones involucradas en la determinación de los coeficientes Trinomiales, Tetranomiales,

Pentanomiales, y en general Polinomiales, nos han llevado a configurar una nueva expresión del

Teorema Multinomial, que denominamos por analogía, “Forma Newtoniana”, la cual nos permite

obtener el desarrollo de un polinomio como (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑟)𝑚, de manera explícita y

sistematizada.

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 =∑

(

𝒎𝒏𝒊𝒋⋮𝒑𝒒)

𝒙𝟏𝒎−𝒏𝒙𝟐

𝒏−𝒊…𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊

⋮𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑

𝒙𝒓−𝟏𝒑−𝒒

𝒙𝒓𝒒

Dicho coeficiente multinomial consta de r términos, y que para el caso particular de estudio seria:

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓)𝟔 =∑

(

𝟔𝒏𝒊𝒋𝒌 )

𝒙𝟏𝟔−𝒏𝒙𝟐

𝒏−𝒊𝒏=𝟎,𝟏,..,𝟔𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊𝒌=𝟎,𝟏,…𝒋

𝒙𝟑𝒊−𝒋𝒙𝟒𝒋−𝒌𝒙𝟓𝒌

Bibliografía:

Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997

Prisma Combinatorio 1997-revisado 2016

Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016

Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016

Distribución espacial de Coeficientes de un polinomio elevado a la m: Resumen 2016

Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y

otros tópicos complementarios 2017

Enrique R.Acosta R. Enero 2017

TRIÁNGULO DE COEFICIENTES PENTANOMIALES (NUMÉRICOS), desde m=0, hasta m=6

m

Columnas como casos de T.Suma 𝑁°𝐸𝑙𝑒𝑚𝑝/𝑓. 𝑆

5

0 1 2 3

0 1 1

1 1 1 1 1 1 5

2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 15

3 1 3 3 3 3 3 6 6 6 3 6 6 3 6 3 1 3 3 3 3 6 6 3 6 3 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1 35

4 1 4 4 4 4 6 12 12 12 6 12 12 6 12 6 4 12 12 12 12 24 24 12 24 12 4 12 12 12 24 12 4 12 12 4

5 1 5 5 5 5 10 20 20 20 10 20 20 10 20 10 10 30 30 30 30 60 60 30 60 30 10 30 30 30 60 30 10 30 30 10

6 1 6 6 6 6 15 30 30 30 15 30 30 15 30 15 20 60 60 60 60 120 120 60 120 60 20 60 60 60 120 60 20 60 60 20

4 𝑆5 70

1 4 4 4 6 12 12 6 12 6 4 12 12 12 24 12 4 12 12 4 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1

5 20 20 20 30 60 60 30 60 30 20 60 60 60 120 60 20 60 60 20 5 20 20 30 60 30 20 60 60 20 5 20 30 20 5

15 60 60 60 90 180 180 90 180 90 60 180 180 180 360 180 60 180 180 60 15 60 60 90 180 90 60 180 180 60 15 60 90 60 15

5

1 5 5 5 10 20 20 10 20 10 10 30 30 30 60 30 10 30 30 10 5 20 20 30 60 30 20 60 60 20 5 20 30 20 5

6 30 30 30 60 120 120 60 120 60 60 180 180 180 360 180 60 180 180 60 30 120 120 180 360 180 120 360 360 120 30 120 180 120 30

5 𝑆5 126 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1

6 30 30 60 120 60 60 180 180 60 30 120 180 120 30 6 30 60 60 30 6

6

1 6 6 6 15 30 30 15 30 15 20 60 60 60 120 60 20 60 60 20 15 60 60 90 180 90 60 180 180 60 15 60 90 60 15

6

6 30 30 60 120 60 60 180 180 60 30 120 180 120 30 6 30 60 60 30 6 1 6 6 15 30 15 20 60 60 20 15 60 90 60

6 𝑆5

15 6 30 60 60 30 6 1 6 15 20 15 6 1 2 210

Esta cuarta tabla o triángulo, contiene todos los coeficientes del desarrollo de (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)𝑚 , los cuales se distribuyen como

un todo en el volumen de un cuerpo de 4 dimensiones para cada potencia m del pentanomio, y aunque no podemos visualizar dichos cuerpos o representarlos fácilmente en 3D, queda claro que cada una de sus secciones, trazadas por cada uno de sus niveles ( de m=0 ,hasta n=m), corresponde a un tetraedro suma , con características análogas a las ya determinadas para tales cuerpos geométricos.

Los coeficientes de este caso, que se distribuyen en dicho cuerpo 4D, responden a la expresión:

𝑸𝒏𝒎 =

{

(

𝒎𝒏𝒊𝒋𝒌)

}

, donde m representa la potencia del pentanomio o fila del triángulo de coeficientes, y n representa el nivel

correspondiente del cuerpo 4D que los contiene, desde n=0 en el “vértice”, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m.

Los coeficientes de una fila son todos los contenidos en el cuerpo 4D para el caso de m.

Los coeficientes iniciales de cada columna de la tabla o triángulo, se corresponden con el total de los coeficientes del T.Suma para m=n. Para obtener los valores de cada columna en la tabla, deberemos multiplicar cada uno de los valores iniciales de la columna n

(correspondientes al T.Suma para m=n), sucesivamente por los elementos de la sucesión paralela 𝑆𝑛+1

Distribucion espacial de coeficientes pentanomiales

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