DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARTE I

DISTRIBUCIÓN BINOMIALDISTRIBUCIÓN POISSON

PROCESO DE BERNOULLI

Es un experimento que tiene dos posibles resultados mutuamente excluyentes, generalmente llamados “éxitos” y “fracasos”. Ejemplos1. Experimento: Lanzar una moneda. El experimento tiene solamente

dos resultados (C, S), por lo tanto es un experimento binomial.

2. Experimento: Probando una nueva droga contra una enfermedad. La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) la enfermedad. Por lo tanto es un experimento binomial.

3. Experimento: selección de un producto Se escoge un producto de un lote de 500, los resultados posibles son defectuosos ó no defectuosos.

DISTRIBUCION BERNOULLI. Se denomina V.A. de Bernoulli a la V.A. X que toma solamente dos valores 0 y 1 con función de probabilidad dado por: x 1 xp q ; x 0,1

p( x ) P( X x )0 ; en otro caso

q 1 p X B( 1, p )

P( X 1 ) p P( X 0 ) 1 p q

E( X ) 1.p 0.q p 22VAR( X ) E( X ) E( X ) pq

y

Esperanza y Varianza

DISTRIBUCION BINOMIALUn experimento sigue una Distribución Binomial si satisface los siguientes supuestos:

• El experimento consiste en n ensayos de Bernoulli, donde cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles “éxito” y “fracaso”

• La probabilidad de éxito de un ensayo es igual a y es constante para todos los ensayos. La probabilidad de fracaso es

• Los ensayos son independientes. Es decir, el resultado (éxito o fracaso) de cualquier ensayo es independiente del resultado de cualquier otro ensayo.

• Para obtener la función de distribución Binomial primero se determina la probabilidad de tener n ensayos, x éxitos consecutivos seguido de n-x fracasos consecutivos, dado que los n ensayos son independientes

xnx pppppppp )1()1)...(1)(1.(....

X términos (n-x) términos

Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera: N° de éxitos en “n” ensayos de Bernoulli; con:

donde: p + q = 1

0,1,2,3,...xR n

ESPERANZA MATEMÁTICA Y VARIANZA

Si X b( n, p ) , entonces:

i) E( X ) np

ii) Var( X ) npq

Ejemplo 1

• Suponga que en un lote de 5000 fusibles eléctricos contiene 5% de piezas defectuosas. Si se prueba una muestra de 5 fusibles, encuentre la probabilidad de hallar al menos uno defectuoso.

P(al menos un defectuoso)=

P(X≥1)=1- P(X=0)

P(X=0)

P(X≥1)=1- P(X=0)=1-0.774=0.226Resolver: P(X<3), P(X >2), P(1<X<5)

55 00 1 0.774p p

Ejemplo 2

• Una corredora de bolsa llama a sus 20 clientes mas importantes. La probabilidad de que efectúe una transacción como resultado de dichas llamadas es de uno a tres, ¿Cuáles son las posibilidades de que maneje 10 o más transacciones?

Ejemplo 3

• Suponga que en cierta población se sabe que el 10% es daltónica. Si se extrae una muestra aleatoria de 25 personas de esa población. Encuentre la probabilidad de:a) Existan o menos daltónicosb) Existan 6 o más daltónicosc) Existan entre 6 y 9 daltónicos, inlusived) Existan dos, tres o cuatro daltónicos

DISTRIBUCIÓN POISSON

• Llamada asi en honor de Siméon Denis Poisson, probabilista del siglo XIX quien fue el primero en describirla, es otra distribución discreta de probabilidad muy útil en la que la variable aleatoria representa el número de eventos independientes que ocurre a una velocidad constante en el tiempo o en el espacio.

DISTRIBUCION DE POISSON

La distribución de Poisson es generalmente utilizada en los problemas en que se cuentan el número de eventos de cierto tipo, que ocurren en un intervalo de tiempo, o en una región, o en un volumen. Ejemplos:• Número de llamadas telefónicas recibidas por la

central telefónica durante un intervalo de tiempo determinado.

• Número de fallas de una computadora en un día de operación.

• Número de accidentes en una semana.

Definimos la variable aleatoria X de la siguiente manera: N° de ocurrencias de eventos en t unidades de medida; con:

0,1,2,3,...xR n

Ejemplos• Durante el estudio de cierto organismo

acuático, se tomó un gran número de muestras de una laguna, y se contó el número de organismos en cada muestra, El número promedio de organismos encontrados por muestra fue de dos. Suponga que el número de organismos sigue una distribución de Poisson

a. Calcule la probabilidad que la próxima que se tome tenga exactamente tres organismo. P(X=3)

b. Calcule la probabilidad de que la próxima que se tome tenga un organismo o menos. P(X≤1)

ESPERANZA MATEMÁTICA Y VARIANZASi X es una v.a. con distribución de Poisson con parámetro, entonces:

APROXIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A POISSONEn una distribución Binomial, cuando n es grande (n>50) y es pequeño ( , la distribución Binomial se aproxima a una distribución de Poisson con que permanece constante.

Ejemplo

• Un fabricante textil produce ciertas piezas de dimensiones específicas. Se sabe que la probabilidad que una pieza sea defectuosa es 0.02. En un lote de 100 piezas, ¿Cuál es la probabilidad que no hayan piezas defectuosas? ¿ a los sumo 3 piezas defectuosas?

Sea X una variable definida como sigue: X(w)=número de piezas defectuosas en 100

piezas.n=100 p=0.02, lugo La distribución de probabilidad de la v.a X es Binomial con parámetro 100 y 0.02.Puesto que n es grande y p pequeña (np=100*(0.02)=2<5), se aproxima a la Ditribución Poisson con parámetros

2np

2np

22( ,100,0.02) , 0,1, 2...,100

!

xeP X x x

x

a)P[X=0]= e-2=0.1353

b)P[X≤3]= 0.8571