TEOREMA DIVERGENCIA

Sea S un sólido cerrado y limitado de tres dimensiones, que esté encerrado por completo mediante una superficie .Sea F=Mi+Nj+Pk un campo vectorial tal que M, N y P tienen derivadas parciales de primer orden sobre S y su frontera . Si n denota la normal unitaria exterior a , entonces:

Ejemplos

1) Verifique el teorema F=xi+yj+zk, S={(x,y,z): x2 +y2 +z2 a2}

=4a3

2) Calcule el flujo del campo vrctorial F=x2yi+2xzj+yz3k a través de la superficie del sólido rectangular S, 0 x 1, 0 y 2, 0 z 3

3) Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y2 =4, z=0 y z=3, y sea n la normal unitaria exterior a la frontera . Si F=(x2 +tgyz)i+(y3 – e xz)j+(3z+x3)k, encuentre el flujo de F a través de . (coordenadas cilíndricas)

Div F=3x2 + 3y2 +3

Ejercicios

1) F(x,y,z)=zi+xj+yk, S es 0 x

2) F(x,y,z)=xi+2yj+3zk, S es el cubo 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

3) F(x,y,z)=3xi – 2yj+4zk; S es esfera x2 + y2 + z2 9

4) F(x,y,z)=x2i+y2j+z2k, S es sólido parabólico 0 z 4 – x2 – y2

5) F(x,y,z)=(x2+cosyz)i+(y – ez)j+(z2 +x2 )k, S es sólido limitado por x2 + y2 =4, x+z=2, z=0

6) F(x,y)=(x,y), 0 x 2, 0 y x2

7) F(x,y)=(3x – y2,x+x2y), 0 x 2, 0 y x

8) F(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x), S es cubo 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1