Teorema de Gauss (Divergencia)

El teorema de divergencia (también conocido como el teorema de Gauss) esuna generalización del teorema de Green, que relaciona una integral de super�ciesobre una super�cie cerrada con una integral de volumen.

Teorema de la Divergencia

Sea Q una región sólida limitada o acotada por una super�cie cerrda ori-entada por un verctor unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si Fes un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parcialescontinuas en Q entonces

F �N ds =RRRQ

div Fdv

Dem. Si se hace F (x; y; z) = Mbi+Nbj + Pbk, el teorema toma la forma:RRS

F �Nds =RRS

Mbi �N +Nbj �N + Pbk �Nds = RRRQ

@M@x +

@N@y +

@P@z dv

esto se puede veri�car mostrando que las tres ecuaciones siguientes son val-idas:RRS

Mbi �Nds = RRRQ

@M@x dv ó

RRS

Nbj �Nds = RRRQ

@N@y dv ó

RRS

Pbj �Nds = RRRQ

@P@z dv

trabajaremos con la última expresión. Supongamos que nuestra región Q estal que Q = S1[S2[S3, donde S1 y S2 las podemos ver como la grá�ca de unafunción g(x; y).

Por lo tanto, si S1 es tal que z = g1(x; y) y si S2 es tal que z = g2(x; y);queremos probar que:

1

RRS

Pbk �N ds =RRRQ

@P@z dv

para ello calcularemos por separado cada miembro de la igualdad y com-pararemos los resultados. Tenemos que:RR

S

Pbk �N ds =RRS2

Pbk �N2 ds+ RRS1

Pbk �N1 dsCon S1 la super�cie que se puede parametrizar (x; y; g1(x; y)), S2 la otra su-

per�cie que se puede parametrizar (x; y; g2(x; y)) y S3 el conjuntoA = f(x; y; z) 2R3 : g1(x; y) � z � g2(x; y)g, donde también suponemos a D como la proyeccióntanto de S1 como de S2.

Para calcularRRS2

Pbk �N2 ds es necesario un vector normal a la super�cie S2.Si consideramos la paramentrización de S2: r : R2 �! R3 dada por:

r(x; y) = (x; y; g2(x; y))

obtenemos:

2

@r@x = (1; 0;

@g2@x );

@r@y = (0; 1;

@g2@y )

Por lo tanto:

N = @r@x �

@r@y =

������i j k

1 0 @g2@x

0 1 @g2@y

������ = (�@g2@x ;�

@g2@y ; 1)

Por lo tanto:RRS2

Pbk �N ds =RRD

P � (0; 0; 1) � (�@g2@x ;�

@r@y ; 1) dA =

RRD

P dA =

( e l c am p o e va lu a d o e n la p a r am e t r i z a c ió n )RRD

P (x; y; g2(x; y) dA

Ahora calculamosRRS1

Pbk � N1 ds. Como S1 se parametriza r : R2 �! R3

dada por:

r(x; y) = (x; y; g1(x; y))

se tiene que:

@r@x = (1; 0;

@g1@x );

@r@y = (0; 1;

@g1@y )

Por lo tanto:

N = @r@x �

@r@y =

������i j k

1 0 @g1@x

0 1 @g1@y

������ = (�@g1@x ;�

@g1@y ;�1)

se le cambió el signo a 1 para que apuntara hacia afuera.Por lo tanto:RRS1

Pbk �N1 ds = RRS1

P � (0; 0; 1) � (�@g1@x ;�

@g1@y ;�1) ds =

RRS1

P (�1) ds( la fu n c ió n e va lu a d a e n la p a r am e t r i z a c ió n )RR

D

�P (x; y; g1(x; y)) dA

3

Por lo tanto:RRS

Pbk �N ds =RRS2

Pbk �N2 ds+ RRS1

Pbk �N1 ds =RRD

P (x; y; g2(x; y)) dA�RRD

P (x; y; g1(x; y)) dA =RRD

[P (x; y; g2(x; y))� P (x; y; g1(x; y)] dA =

RRD

"g2(x;y)Rg1(x;y)

@P@z dz

#dA =

RRRQ

@P@z dv

Las ecuaciones análogas serían:RRS

Mbi �N ds =RRRQ

@M@x dv y

RRS

Nbj �N ds =RRRQ

@N@y dv

Ejemplo. Sea Q la región sólida entre el paraboloide z = 4 � x2 � y2 y elplano XY . Veri�car el teorema de divergencia para F (x; y; z) = (2z; x; y2):

Parametrizando z = 4� x2 � y2 tenemos (x; y; 4� x2 � y2). Sea

S1 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 = 4, z = 0gS2 = f(x; y; z) 2 R3 : z = 4� x2 � y2g

un vector normal a S2 es r(x; y) = (x; y; 4� x2 � y2) entonces:

@r@x = (1; 0;�2x);

@r@y = (0; 1;�2y)

Por lo tanto:

N2 =@r@x �

@r@y =

������i j k1 0 �2x0 1 �2y

������ = (2x; 2y; 1)4

Un vector normal a S1 es bk = (0; 0;�1). Por lo tanto:RRS

F �N ds =RRS1

F �N1 ds+RRS2

F �N2 ds =RRS1

F � (�bk) ds+ RRS2

F � (2x; 2y; 1) ds =RRD

�y2 dA+RRD

(4xz + 2xy + y2) dA =

�2R�2

p4�y2R

�p4�y2

y2 dxdy +2R�2

p4�y2R

�p4�y2

(4xz + 2xy + y2) dxdy =

2R�2

p4�y2R

�p4�y2

(4xz + 2xy) dxdy =2R�2

p4�y2R

�p4�y2

4x(4� x2 � y2) + 2xy dxdy =

2R�2

p4�y2R

�p4�y2

16x� 4x3 � 4y2x+ 2xy dxdy =

2R�2

��8x2 � x4 � 2x2y2 + x2y��p4�y2�p4�y2

dy =

2R�28(p4� y2)2 � (

p4� y2)4 � 2(

p4� y2)2y2 + (

p4� y2)2y �

8[(�p4� y2)2 � (�

p4� y2)4 � 2(�

p4� y2)2y2 + (�

p4� y2)2y] dy =

2R�20 dy = 0

Por otro lado:

div F = @@x (2z) +

@@y (x) +

@@z (y

2) = 0 + 0 + 0 = 0

Por lo tanto: RRRQ

div F dv =RRRQ

0 dv = 0

Por lo tanto: RRS

F �N ds =RRRQ

div F dv =RRRQ

0 dv = 0

5