< DIVISIBILIDADDecimos que un nmero entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que:b = a cSe suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o tambin b es mltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 32; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4c. Es decir, el resto de la divisin eucldea (entera) de 6 entre 4 no es cero.Todo nmero entero es divisible por 1 y por s mismo. Los nmeros mayores que 1 que no admiten ms que estos dos divisores se denominan nmeros primos. Los que admiten ms de dos divisores se llaman nmeros compuestos.Criterios de divisibilidadLos siguientes criterios nos permiten averiguar si un nmero es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una divisin:NmeroCriterioEjemplo

2El nmero termina en cero o cifra par.378: porque "8" es par.

3La suma de sus cifras es un mltiplo de 3.480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es mltiplo de 3.

4El nmero formado por las dos ltimas cifras es un mltiplo de 4.7324: porque 24 es mltiplo de 4.

5La ltima cifra es 0 5.485: porque acaba en 5.

6El nmero es divisible por 2 y por 3.24: Ver criterios anteriores.

7Un nmero es divisible entre 7 cuando, al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 7.34349: porque 3434'9, 9(2)=18, entonces 3434-18=3416, de nuevo, 341'6, 6(2)=12, entonces 341-12=329, de nuevo, 32'9, 9(2)=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7. Porque 14 es mltiplo de 7.

8El nmero formado por las tres ltimas cifras es un mltiplo de 8.27280: porque 280 es mltiplo de 8.

9La suma de sus cifras es mltiplo de 9.3744: porque 3+7+4+4= 18 es mltiplo de 9.

10La ltima cifra es 0.470: La ltima cifra es 0.

11Sumando las cifras (del nmero) en posicin impar por un lado y las de posicin par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un mltiplo de 11, el nmero es divisible por ste. Si el nmero tiene dos cifras ser multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.42702: 4+7+2=13 2+0=2 13-2=11 42702 es mltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Mltiplo de 11

12El nmero es divisible por 3 y 4.528: Ver criterios anteriores.

13Un nmero es divisible entre 13 cuando, al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 13364: porque 36'4, 4(9)=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 364 es divisible entre 13

17Un nmero es divisible entre 17 cuando, al separar la ltima cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un mltiplo de 172142: porque 214'2, 2(5)=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4(5)=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.

Ejercicios y problemas de divisibilidad

1 Calcular todos los mltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860. 2 De los siguientes nmeros: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cules son primos y cules compuestos. 3 Calcular, mediante una tabla, todos los nmeros primos comprendidos entre 400 y 450. 4 Descomponer en factores1 2162 3603 4325 Factorizar 342 y calcular su nmero de divisores. 6 Descomponer en factores1 2250 2 3500 3 25207 Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:1 428 y 3762 148 y 1563 600 y 1 000 8 Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:1 72, 108 y 602 1048, 786 y 39303 3120, 6200 y 1864 9 Calcular por el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:1 72 y 162 656 y 8483 1278 y 842 RESPUESTAS:Calcular todos los mltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.816, 833, 850

De los siguientes nmeros: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cules son primos y cules compuestos.Primos: 179 y 311.Compuestos: 848, 3566 y 7287.Calcular, mediante una tabla, todos los nmeros primos comprendidos entre 400 y 450.401409

419

421

431433439

443449

Descomponer en factores1 216

216 = 23 33 2 360

360 = 23 32 5 3 432

432 = 24 33

Factorizar 342 y calcular su nmero de divisores.342 = 2 32 19 Nd = (1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 127Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:1428 y 376428 = 22 107376 = 23 47m. c. d. (428, 376) = 22 = 4 m. c. m. (428, 376) = 23 107 47 = 40 232 2148 y 156148 = 22 37156 = 22 3 13m. c. d. (148, 156) = 22 = 4 m. c. m. (148, 156) = 22 3 37 13 = 5772 3600 y 1 000 600 = 23 3 521000 = 23 53m. c. d. (600, 1000) = 23 52 = 200 m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 3 53 = 3000 Ejercicios y problemas de divisibilidad1Calcular todos los mltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860. 2De los siguientes nmeros: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indicar cules son primos y cules compuestos. 3 Calcular, mediante una tabla, todos los nmeros primos comprendidos entre 400 y 450. 4Descomponer en factores1216236034325Factorizar 342 y calcular su nmero de divisores. 6Descomponer en factores12250 23500 325207Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:1428 y 3762148 y 1563600 y 1 000 8Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:172, 108 y 6021048, 786 y 393033120, 6200 y 1864 9Calcular por el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:172 y 162656 y 84831278 y 842