LIBRO DE TRABAJO 3 “División y divisibilidad de números naturales”
DIVISIBILIDAD es una TERMINAR RELACIÓN ENTRE NÚMEROS en la que distinguimos DIVISORMÚLTIPLO para...
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DIVISIBILIDAD
es una
TERMINAR
RELACIÓN ENTRE NÚMEROS
en la que distinguimos
DIVISORMÚLTIPLO
para calcular para calcular
m.c.d.m.c.m.
útiles para clasificar los números en
PRIMOS COMPUESTOS
que se comprueba fácilmente mediante
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
que se usan en la
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
y realizar su
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
que se usa para la
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD más usuales
• Un número es divisible por 2 si acaba en 0 ó en cifra par.
Ejemplos
Son divisibles por 2: 12, 34, 48, 122, 332, 100, …
NO son divisibles por 2: 3, 11, 35, 47, 199 …• Un número es divisible por 5
si acaba en 0 ó en 5.
Ejemplos
Son divisibles por 5: 15, 30, 45, 120, 335, 100, …
NO son divisibles por 5: 3, 11, 38, 47, 199 …
• Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos
Son divisibles por 3: 12, 33, 48, 222, 333, 1203, …
NO son divisibles por 3: 7, 11, 35, 47, 199 …
seguir
Número PRIMO es el que sólo tiene dos divisores: 1 y él mismo.
Ejemplos de números primos: 2, 7, 13, 23, … porque sólo …
2 : 1 = 2 7 : 1 = 7 13 : 1 = 13 23 : 1 = 23 2 : 2 = 1 7 : 7 = 1 13 : 13 = 1 23 : 23 = 1
C
R
I
B
A
D
E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
E
R
A
T
Ó
S
T
E
N
E
S
x xxxx
xx
xxxx
xxx
xx
xxxx
xxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xxxx
xxxx
xx
xxxx
xx
xx
x x xx x x
x x x
x
x x x
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
xx x
xx
x xseguir
xx
x
x
Números PRIMOS hasta el 100
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53 59
61 67
71 73 79
83 89
97seguir
El 1 no es primo ni compuesto, pues sólo tiene 1 divisor
Ejemplo
100 es compuesto porque 100 : 1 = 100100 : 100 = 1100 : 2 = 50100 : 4 = 25100 : 5 = 20100 : 10 = 10100 : 20 = 5100 : 25 = 4100 : 50 = 2
Número COMPUESTO si tiene más divisores que 1 y él mismo.
Ejemplo
35 es compuesto porque 35 : 1 = 35
35 : 35 = 135 : 5 = 735 : 7 = 5
Ejemplo
9 es compuesto porque 9 : 1 = 99 : 9 = 19 : 3 = 3
seguir
La DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL de un número es expresar dicho número como producto de números primos.
120
Ejemplos:
260 2
23015
535
1
120 = 2.2.2.3.5 = 23 . 3 . 5
84 242 221
73
1
84 = 2.2.3.7= 22 . 3 . 7
7
seguir
El máximo común divisor de varios números (m.c.d.) es el mayor de sus divisores comunes
Se puede obtener por dos métodos:
Ejemplo:
Buscando todos los divisores Haciendo la descomposición factorial
Ejemplo:
Hallar el m.c.d. de 18 y 24
Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9 y 18}
Divisores de 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Divisores comunes de 18 y 24 = {1, 2, 3 y 6}
Mayor Divisor Común de 18 y 24 = 6
m. c. d. (18, 24) = 6
Hallar el m.c.d. de 120 y 84
120 2
60 2
230
15
5
3
5
1
84 2
42 2
21
7
3
1
7
120 = 23 . 3 . 584 = 22 . 3 . 7
Se cogen los factores comunes con menor exponente
m. c. d. (120, 84) = 22 . 3 = 12seguir
El mínimo común múltiplo de varios números (m.c.m.) es el menor de sus múltiplos comunes
Se puede obtener por dos métodos:
Ejemplo:
Buscando todos los múltiplos Haciendo la descomposición factorial
Ejemplo:
Hallar el m.c.m. de 8 y 12
Múltiplos de 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 …}
Múltiplos de 12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …}
Múltiplos comunes de 8 y 12 = {24, 48, 72, …}
Menor Múltiplo Común de 8 y 12 = 24
m. c. m. (8, 12) = 24
Hallar el m.c.m. de 120 y 84
120 2
60 2
230
15
5
3
5
1
84 2
42 2
21
7
3
1
7
120 = 23 . 3 . 584 = 22 . 3 . 7
Se cogen los factores comunes y
no comunes con mayor exponente
m. c. m. (120, 84) = 23 . 3 . 5 . 7 = 840seguir
Múltiplo o dividendo: resultado de una multiplicación.
Ejemplo:
3 465 45
315 77
00
Ejemplo:
35 5
0 7
Ejemplo:
4 2
0 2
Ejemplo:
36 9
0 4
3 465 : 77 = 45 35 : 7 = 5 4 : 2 = 2 36 : 4 = 9
3 456 es múltiplo de 45 35 es múltiplo de 5 4 es múltiplo de 2 36 es múltiplo de 9
3 456 es múltiplo de 77 35 es múltiplo de 7 4 es múltiplo de 2 36 es múltiplo de 4
77 x 45 = 3 456
45 x 77 = 3 456
7 x 5 = 35
5 x 7 = 35
2 x 2 = 4
2 x 2 = 4
4 x 9 = 36
9 x 4 = 36
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS
Divisor: número entre el que dividimos.
Ejemplo:
3 465 45
315 77
00
Ejemplo:
35 5
0 7
Ejemplo:
4 2
0 2
Ejemplo:
36 9
0 4
3 465 : 77 = 45 35 : 7 = 5 4 : 2 = 2 36 : 4 = 9
45 es divisor de 3 465
77 es divisor de 3 465
5 es divisor de 35
7 es divisor de 35
2 es divisor de 4
2 es divisor de 4
9 es divisor de 36
4 es divisor de 36
77 x 45 = 3 456 7 x 5 = 35 4 x 9 = 362 x 2 = 4
45 x 77 = 3 456 5 x 7 = 35 9 x 4 = 362 x 2 = 4
PROPIEDADES DE LOS DIVISORES
• Todo número tiene infinitos múltiplos.
Ejemplo
Los múltiplos de 9 son: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, …
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS
• Todo numero es múltiplo de sí mismo.
Ejemplo
8 . 1 = 8 2 . 1 = 2 25 . 1 = 25
• Todo número es múltiplo de 1.
Ejemplo
7 . 1 = 7 5 . 1 = 5 25 . 1 = 25
• El 0 es múltiplo de cualquier número.
Ejemplo
8 . 0 = 0 2 . 0 = 0 25 . 0 = 0
seguir
PROPIEDADES DE LOS DIVISORES
seguir
• Todo numero es divisor de sí mismo.
Ejemplo
8 : 8 = 1 2 : 2 = 125 :25 = 1
• 1 es divisor de cualquier número.
Ejemplo
7 : 1 = 7 5 : 1 = 5 25 : 1 = 25
• El 0 NO es divisor de ningún número.
Ejemplo
8 : 0 = ? 2 : 0 = ? 25 : 0 = ?
• Podemos calcular todos los divisores de un número.
EjemploLos divisores de 9 son: 1, 3 y 9Los divisores de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60
Criterios de calificación
1.1. Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro.
1.2. Obtiene los divisores de un número.
1.3. Inicia la serie de múltiplos de un número.
1.4. Identifica los números primos menores que 30 y justifica por qué lo son.
2.1. Identifica mentalmente en un conjunto de números los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 10.
2.2. Descompone números en factores primos.
3.1. Obtiene el máx.c.d. o el mín.c.m. de dos números en casos muy sencillos, mediante el cálculo mental.
3.2. Obtiene el máx.c.d. y el mín.c.m. de dos o más números mediante su descomposición en factores primos.
4.1. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar los conceptos de múltiplo y divisor.
4.2. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de máximo común divisor.
4.3. Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de mínimo común múltiplo.