CEDART

“DAVID ALFARO SIQUEIROS”

TRABAJO FINAL DE ALGEBRA

PROFESOR: Víctor Manuel Morales Arzaga

ALUMNO: Gilberto Guzmán Carillo

GRUPO: 1 A

DICIEMBRE 2010

Índice

1. División

2. Productos notables

3. Multiplicación

4. Resta

5. Suma

Objetivo general

Este trabajo tiene como propósito hacer que el alumno desarrolle,

explore, domine y aprenda más del álgebra que se nos enseña en el

salón de clases, para que futuramente se le faciliten este tipo de

problemas.

Además se espera que el resultado de la calificación que se obtenga

del trabajo, contribuya a que el alumno que lo realiza tenga una

calificación aprobatoria para el semestral.

División

1. Definir la división algebraica.

La división algebraica representa la razón de cambio entre dos funciones.

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un

producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el

producto de ambos factores llamado dividendo.

2. Propiedades de la división.

Propiedad 1. Operación No Interna:

El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por qué salir otro número natural. Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico.

Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿qué pasaría si hiciéramos 2/4 en lugar de 4/2? El resultado es 0.5

Propiedad 2. No Conmutativa:

El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división. Como ya hemos visto: 2/4 no es igual que 4/2

Propiedad 3 . Elemento Neutro:

Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir "no ocurra nada", o sea,

cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos sigue

apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la división porque

cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue quedando el mismo

número. Por ejemplo: 3/1=1

Propiedad 4 . El cero y la d iv is ión:

Cero dividido entre cualquier número siempre da 0.

Propiedad 5, División exacta:

En una d ivis ión exacta e l d iv idendo es igual a l d iv isor por el coc iente. D = d · c

Propiedad 6. División externa:

En una d ivis ión entera e l d iv idendo es igual a l d iv isor por e l coc iente más e l resto.

D = d · c + r

3. Elementos (partes) de la división. Dividendo: Es lo que se desea dividir Divisor: Es en cuantas partes se quiere dividir Cociente: Es en cuantas veces queda dividido Resto: Es lo que sobra de la división.

4. Resolver:

(Nota) las operaciones de polinomios entre polinomios fueran hechas en

cuaderno, debido a que no supe como poner exactamente la fórmula

como se nos mostró en clase.

5. Si un espacio rectangular tiene un área de y la

anchura es ¿Cuánto mide la base?

6. Expresar conclusiones personales sobre la primera unidad

“Operaciones algebraicas”.

Creo que es interesante la manera en que se desarrollan los temas, al igual

que las operaciones, en parte porque los podemos utilizar para resolver

problemas que se nos plantean a la hora de hacer un trabajo, puede ser el

de medir un terreno, entre otros.

Me fije en que también se puede resolver un problema con distinto

método, por ejemplo en la división, creo que en los otros no se puede, no

estoy seguro, pero por lo menos en las mencionadas. Las divisiones que se

pueden hacer con otro método son las de “monomio entre monomio”, se

pueden resolver de la misma manera que las de “polinomio entre

polinomio”, de hecho es hacer lo mismo pero acomodando el problema de

otra manera.

Es muy importante la manera en que se aplican, dividen, o multiplican los

signos porque si en una operación, por ejemplo en resta, no se cambian los

signos dentro del paréntesis (en caso de que el signo de la izquierda del

paréntesis sea negativo), el resultado estará equivocado.

Productos notables

1. Definir qué son los productos notables.

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Ejemplo:

2. Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los productos

notables vistos en clase (5 tipos).

Binomios a una potencia:

Los binomios a una potencia es la multiplicación de n veces un mismo

binomio.

Ejemplo:

Binomio al cuadrado:

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se

suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos.

Binomio al cubo:

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término,

con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el

triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del

segundo término.

Binomios con término común:

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma

el cuadrado del término común con el producto del término común por la

suma de los otros (por los términos no comunes), y al resultado se añade el

producto de los términos diferentes.

Binomios a potencia superior:

Triangulo de Pascal

(Usando el triangulo de Pascal)

El primero inicia con la potencia indicada y luego baja hasta cero.

El segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia que se

indica.

A continuación podremos ver algunos de los ejemplos de resolución de

cada tipo de los productos notables.

3. Desarrollar los siguientes productos notables:

4. Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras áreas.

5. Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad

“productos notables”

Creo que son muy difíciles pero interesantes de hacer, pero la mayoría

tienen métodos más sencillos y uno en especial es más complejo (el de

binomios a potencia superior). Aún así pienso que si uno se pone a

desarrollar este tipo de operaciones puede llegar a entretenerse porque le

llega a gustar, como me pasó a mí.

Multiplicación

a) Indica la ley de los signos en la multiplicación.

(+)(+)=(+) (+)(-)=(-) (-)(-)=(+) (-)(+)=(-)

b) Explica la ley distributiva de la multiplicación (utiliza un ejemplo).

La operación o es distributiva por la derecha respecto de la operación si se cumple

que dados tres elementos cuales quiera a, b, c, entonces:

(boc) a= ab+ac

Lo que nos quiere decir la ley distributiva es la manera en que se multiplican las letras,

por así decirlo, las letras que están adentro del paréntesis multiplican en orden a la/las que

están afuera del paréntesis, en este caso, “b” multiplica primero a “a”, y luego “c”

multiplica por “a” y el resultado quedaría como el ejemplo anterior. Es la manera en queda

multiplicada una operación.

c) Indica la ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical y

potencia.

MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se

suman los exponentes, para tener el exponente del producto.

DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del

dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente. Toda

cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso

multiplicativo de un número entero. Al dividir dos cantidades exactamente iguales que

tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también

será equivalente a la unidad.

RADICAL: La expresión es un radical el número a se llama radicando y n es el índice

del radical. El símbolo es un signo radical.

Si

POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los

exponentes.

d) Resuelve las siguientes multiplicaciones:

−5) (2y+4)=

e) Un terreno rectangular mide 2x - 4 metros de largo y 5x + 3 metros de

ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (agrega

la figura).

(2x-4)(5x+3)

f) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta

3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y

se compraron 3 unidades y C cuesta x por unidad y se compraron

7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la

compra?

5A+3B+7C=

5(3x)+3(4x+2)+7( )

Resta

a) Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (describe el

problema, agrega imagen o esquema y resuelve).

Tengo 8 laptops chicas (m), 5 medianas(n) y 7 grandes (p) y voy

a vender 2 chicas, 3 medianas y 5 grandes, ¿cuántas

computadoras me quedan de cada tamaño?

(8m+5n+7p) - (2n+3n+5p)= 6n+3n+2p trinomio lineal

b) Resuelve las siguientes operaciones.

(5m+4n-7) - (8n-7) + (4m-3n+5) - (-6m+4n-3)=

15m-11n+8 trinomio lineal.

(

.

Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)

=

Álgebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las

relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las

principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis

matemático, la combinatoria y la teoría de números.

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la

aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas

(como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos

(usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b +

a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las

propiedades de los números reales.

Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el

estudio de cómo resolverlas.

Permite la formulación de relaciones funcionales.

Usos

Los usos y costumbres sociales se refieren a las tradiciones que son

memorizadas y pasadas a través de generaciones, originalmente sin la

necesidad de un sistema de escritura.

Si tu trabajo requiere de algún conocimiento mayor entonces el álgebra está

presente en la resolución de pequeñas ecuaciones. por ejemplo cuanto tiempo

tengo que dejar determinado dinero a interés para obtener la cantidad que

necesitas. O ver cuál es el interés que te están cobrando por financiarte un

electrodoméstico y si las cuotas que te cobran son correctas, etc.

Término algebraico:

Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un

coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de

operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se

denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten

traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Exponentes

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una

multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

Grado

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee

el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x

2 + x + 7, el término de

mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por

lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado. Para polinomios de dos o

más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las

variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor

grado. Por ejemplo, el polinomio x2y

2 + 3x

3 + 4y tiene un grado 4, el mismo

grado que el término x2y

2.

Suma

Resolver:

+

=

Trinomio

cuadrático.

Trinomio cuadrático.

Conclusiones finales.

Personalmente, creo que es un buen ejercicio el que

nos puso nuestro profesor de álgebra, pero lo veo algo

extenso y demasiado difícil cuando no se tiene mucho

tiempo de hacerlo (como en mi caso), no se si sea la

cantidad de problemas más recomendable para aplicar

a personas de nuestro grado, pero lo que sí sé es que

te deja un buen aprendizaje y motivación para seguir

adelante en cualquier situación.

Por otra parte, también saqué la conclusión de que si

tienes un trabajo grande por hacer, más vale empezar

lo más pronto posible como si el trabajo fuera a

entregarse para el siguiente día.

Puede que dé flojera hacer tanto trabajo, pero hay que

agarrar ganas para tomar nuestra responsabilidad y

hacer lo que nos corresponde.

Una cosa que me gusta de estos problemas es que

con sus formulas se pueden resolver problemas y

ecuaciones si algún día se nos llega a ofrecer, y otra

cosa que me gusta es que cuando uno se la pasa

resolviendo estos problemas, llega un punto en el que

ya hay facilidad para llevarlos a cabo y a veces dan

ganas de realizar más de éstos.