NDICE

1 2

Cuando el divisor es un monomio ......................................................................................... 2 Cuando el divisor es un polinomio ........................................................................................ 3 2.1 2.2 2.3 Mtodo de Clsico......................................................................................................... 3 Mtodo de Horner ........................................................................................................ 5 Mtodo de Ruffini ......................................................................................................... 7

1

Divisin de polinomiosAprendizaje esperado: Divide polinomios aplicando elmtodo clsico, Ruffini, Horner

1 Cuando el divisor es un monomioSe dividen los coeficientes y la parte literal, aplicando las leyes de signos y de exponentes de la divisin. Ejemplo 1:

52 x3 y 6 z 4 4 xy 2 zEjemplo 2:

52 3 1 6 2 4 1 x y z 4

13x 2 y 4 z 3

( 10 2 x 4 y 2 15 2 x 2 y 3

30 2 xy 4 ) ( 5 2 xy 2 )

10 2 x 4 y 2 15 2 x 2 y 3 30 2 xy 4 5 2 xy 210 2 x 4 y 2 5 2 xy 2 15 2 x 2 y 3 5 2 xy 22

30 2 xy 4 5 2 xy 22

10 2 4 1 2 x y 5 22 x 3 3xy 6 y 2

15 2 2 1 3 x y 5 2

30 2 1 1 4 x y 5 2

2

Recuerda: Ley de signos para la divisin (+) (-) (+) (-) (+) (-) (-) (+)

(+) (-)

Resolver: Ejemplo 3: ( 16a 5 b12 ) Ejemplo 4: ( 4a 2 b3 ) =

Ley de exponentes para la divisin

1 2 4 ac 4

2 2 3 5 ab c ac 3 2 2 ac 3

xm xn

xm

n

Regresar al ndice

2

2 Cuando el divisor es un polinomio2.1 Mtodo de ClsicoEjemplo 1: Dados los polinomios P(x)= 4 x 3 17 x 2 6 x 4 8 y

Q(x)

3 2x2

; calcula

P(x)

Q(x)

Para resolver esta divisin, realizamos procedimiento: el siguiente

1Ordenamos de forma decreciente con respecto a una variable, dividendo y divisor. Completar con ceros los trminos que faltan.

6 x 4 4 x3 17 x 2 0 x 8

2x2 0x 3

2 Dividimos el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor.

6x4 2x2

3x 2

3 Multiplicamos el cociente obtenido por todos los trminos del divisor, restamos este producto al dividendo y obtenemos el residuo.

6 x 4 4 x 3 17 x 2 0 x 8 6x4 0 4 x3 9x2 8x 2 0

2x2 0x 3 3x 2

4 Repetimos todo el proceso hasta encontrar un residuo cuyo grado absoluto sea menor que el grado absoluto del divisor.

3

6 x 4 4 x 3 17 x 2 0 x 8 6x4 0 4 x3 - 4x3

2x2 0x 3 3x 2 2 x 4

9x2 8x 2 0 8x 8x2 2

0 6x 6x - 8 0 12 6 x - 20

Ejemplo 2: Dados la siguiente divisin exacta, cuyo D(a) 5a3 625 ,

q(a) a 5 ;hallar d(a)Solucin: Como la divisin es exacta, entonces:

D(a)=d(a).q(a) D(a) d(a)= q(a)Reemplazamos datos:

Recuerda que:

D(x)=d(x).q(x)+r(x)

5a3 625 d(a) y operamos: a 55a 3 0a 2 0a 625 5a 3 25a 2 25a 2 0 25a 2 125a 125a 625 125a 625 0 0 a 5 5a 2 25a 125

d(a) 5a 2 25a 125

4

Regresar al ndice

Actividad: Desarrolla las siguientes divisiones: a. b.

40a 7b8c9 5a 4b 2c512 x3m 15x 2 m 18x 6 m 3x 2 mx 4)

c. ( x 4 4 x 2 8x 4 ) ( x 2

d. ( x 5 5x 3 84 x 6 x 4 31x 2 26 ) ( 13 x 3 3x ) e. f. Dado d(y)y2 2 , q(y)y 5, y

r(y) 4 y ; hallar D(y)

2.2 Mtodo de HornerSe aplica para la divisin de polinomios de cualquier grado y de una sola variable. Se efecta operando solo con coeficientes. El dividendo y divisor deben estar ordenados y completos aunque sea por ceros. Colocamos los coeficientes en el siguiente ESQUEMA de HORNER:D I V I D E N D O

D IVISOR

Los coeficientes del dividendovan con su propio signo. Los coeficientes del divisor van con el signo cambiado a excepcin del primero. La lnea vertical que divide a los coeficientes del cociente del residuo se traza contando n columnas desde la derecha, siendo n el grado del divisor. Grado (cociente)= grado (dividendo) grado (divisor) Grado mximo (R(x))= grado (d(x)) - 1

COCIENTE

RESIDUO

5

Procedimiento:

Coloca los coeficientes en el esquema de Horner. Divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficientedel divisor y, obtienes el primer coeficiente del cociente.

Multiplica el primer coeficiente del cociente por cada uno de loscoeficientes del divisor con signo opuesto y los productos se colocan en forma horizontal a partir de la siguiente columna.

Calcula la suma en la columna del segundo coeficiente deldividendo, divide este resultado entre el primer coeficiente del divisor y, obtienes el segundo coeficiente del cociente.

Repetimos el proceso hasta llegar a la lnea que divide el cociente delresiduo.

Finalmente, despus de esta lnea suma cada columna y obtieneslos coeficientes del residuo. Ejemplo 1: Dividir ( 6 x5-20 x 4-13x3+25x 2-12 x+7 ) ( 3x 2-x+1 ) 3 +1 -1 6 -20 +2 -13 -2 -6 6 -7 2 -6 -7 8 +7 +8 3 -8 -1 25 -12 7

Rpta:

Q(x) 2 x3 6 x2 7 x 8 R(x) 3x 1

Ejemplo 2: Dividir ( x 6 6 x 3 2 x 5 7 x 2 4 x 6 ) ( x 4 3x 2 2 )Regresar al ndice6

2.3 Mtodo de RuffiniEsta regla, es un caso particular del METODO DE HORNER. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga la forma: x ESQUEMA RE RUFFINI b.

D I V I D E N Termino Independiente con signo opuesto COCIENTE

D

O

RESTO

Ejemplo 1: Efectuar ( 2 x5+x 3+3x+2 ) ( x 1 ) 2 1 (x) 2 0 -2 -2 1 2 3 0 -3 -3 3 3 6 2 -6 -4

Rpta:

Q(x)= 2 x 4 2 x3 3x2 3x 6 R(x)4

Ejemplo 2: Efectuar ( 3x 6 2 x 4 3x 3 5 ) ( x 2 )

7

Regresar al ndice

APLICO LO APRENDIDO1. Completa el siguiente cuadro:DIVIDENDO D(x) DIVISOR d(x) [R(x)]mx .

[D(x)]

[d(x)]

[Q(x)]

2x3 1 + x 2x2 7x8 3x2 + x5 x + 4 2x3 x2 + 2 x5 + x2 + x3 + 6x4 + 13x 6x5 3x3 + 3x + 6 3 x +2x4 2x3 30m5 + 18m2 7m3 + 2 + m z5 + z4 + 2 + 3z3 + 2z2 y7 + 5y6 + 6y3 + y5 + 8y4 4y - 7 6a11+ 12a4 +2a8 + 3a7 +6 -a

x+1 x-1 -1 + x x2 + 6x + 1 1+x x+2 10m3 + 6 + m 3+z2+z y4 + 5y3 - 4 3a7 5 + a4

2. Halla el COCIENTE y el RESIDUO de cada divisin empleando HORNER RUFFINI y, comprobar por el mtodo clsico. a. ( 2x3 1 + x 2x2) : (x + 1) b. (7x8 3x2 + x5 x + 4) : (x 1) c. (x5 + x2 + x3 + 6x4 + 13x) : (x2 + 6x + 1) d. (3 x +2x4 2x3) : (x + 2) e. (y7 + 5y6 + 6y3 + y5 + 8y4 4y 7) : (y4 + 5y3 4) f. (6a11+ 12a4 +2a8 + 3a7 +6 a) : (3a7 5 + a4)

Regresar al ndice

8