DIVISIÓN POLINOMICA

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1 División Polinómica

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División Polinómica

División Polinómica

1. Si Q(x) es el cociente de dividir:

𝑥5+(𝑎+1)𝑥4+(𝑎+𝑏)𝑥3+(𝑏−1)𝑥2+𝑎𝑥+𝑏

𝑥2+𝑎𝑥+𝑏

Calcular Q(3)

A) 35 B) 36 C) 37 D)

38 E) 39

2. Calcular “n + k” si la división:

15𝑥4 + 41𝑥3 + 71𝑥2 + 𝑛𝑥 + 2𝑘

3𝑥2 + 4𝑥 + 5

es exacta.

A) 70 B) 72 C) 74 D)

76 E) 78

3. Calcular a – b si 𝑅(𝑥) = 6 − 3𝑥, es

el residuo de la división:

10𝑥4 + 16𝑥3 − 17𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑏

5𝑥2 − 2𝑥 + 3

A) 12 B) 14 C) -18 D) -

12 E) 15

4. Calcular “m+n+p” si la división:

8𝑥5 + 4𝑥3 + 𝑚𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑝

2𝑥3 + 𝑥2 + 3

Deja como resto: 𝑅(𝑥) = (5𝑥 +

2)(2𝑥 + 3)

A) 55 B) 56 C) 54 D)

53 E) 50

5. Calcular “m” si la división:

21𝑥4 − 41𝑥3 − 23𝑥2 + 𝑚𝑥 − 16

3𝑥 − 5

deja como resto 4.

A) 56 B) 44 C) 70 D)

67 E) 43

6. Determine el resto de dividir:

(𝑥2 − 𝑥 − 4)2008 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑥2 − 𝑥 − 3

A) 4 B) 15 C) -3 D) 8

E) 14

7. Proporcionar el residuo de dividir:

𝑥7(𝑥 − 2)7 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 7

𝑥2 − 2𝑥 − 1

A) 12 B) 11 C) 10 D)

9 E) 8

8. Determine el residuo de dividir:

(𝑥 − 2)2005 + (𝑥 − 3)2007

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

A) 2x B) 2x+1 C) x D)

12 E) 2x-5

NIVEL I

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División Polinómica

9. A partir de la división

5𝑥401 − 2𝑥400 + 𝑥399 + 6𝑥2 + 5𝑥 + 11

𝑥 − 1

Calcular la suma de coeficientes de

su cociente

A) 1621 B) 1200 C) 1134 D)

1243 E) 1567

10. Determine el residuo de dividir:

𝑥21 + 1

𝑥2 + 𝑥 + 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

11. ¿Qué relación debe existir entre “n”

y “k” de modo que la división:

𝑥5 − (𝑛2 + 2𝑚)𝑥3 + 𝑛3𝑥 + (𝑘 − 2𝑚3)

𝑥2 + 𝑛𝑥 − 𝑚

es exacta?

A) 𝑘2 = 2𝑛9 B) 𝑛2 = 4𝑘9

C) 𝑛2 = 𝑘3

D) 𝑘2 = 4𝑛9 E) 𝑛𝑘2 = 9

12. Mostrar el residuo de dividir:

(𝑥 − 3)2004 + (𝑥 − 4)2005 + 6

(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)

A) 2x-1 B) 2x+1 C) 4x-1 D) 0

E) 2x+3

13. Si el residuo de la división:

(𝑥 + 1)9 + 𝑎𝑥2 + 𝑏

𝑥2 + 2𝑥 + 1

es 6x + 25. Calcular la suma de

coeficientes del cociente entero.

A) 250 B) 245 C) 242 D)

237 E) 235

14. Si la división:

𝑛3𝑥5 + 7𝑛𝑥3 + (𝑛2 − 6)𝑥2 + 𝑛(𝑛 − 1)

𝑛𝑥 + 2

es exacta, calcular la suma de los

coeficientes de su cociente.

A) 0 B) 9 C) 4 D) -4

E) -9

15. Si al dividir: 16𝑥2 + 2𝑥 + 1

−2𝑥 − 1

se obtiene por cociente a:

(𝑚

3− 1) 𝑥3 + (

𝑛

4− 2) 𝑥2 + (𝑝 − 3)𝑥

+ (𝑞

6− 4)

Calcular el valor de: A) 58 B) 48 C) 28 D) 51 E) 56

16. Indicar el residuo de dividir:

2𝑥4 + 3√2𝑥3 − 12𝑥2 + 3√2𝑥 − 2

𝑥 − √2

A) √2 B) 2√2 C) 0 D) -

2 E) -√2

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División Polinómica

17. Calcular el valor de “m” en el

polinomio:

𝑃(𝑥) ≡ 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑚𝑥 − 3

Sabiendo que al dividir entre (x + 1)

el residuo que se obtiene es el triple

del residuo obtenido al dividirlo por

(x – 1).

A) 1 B) -1 C) 3 D) -

3 E) 6

18. Halle el resto de dividir:

𝑥23 − 3𝑥21 + 2𝑥15 + 𝑥3 + 4

𝑥5 − 2

A) 2𝑥2 − 5𝑥 + 11 B) 𝑥3 −

17𝑥 − 20

C) 17𝑥3 − 48𝑥 + 20 D) 𝑥3 − 1

E) 2𝑥2 − 6𝑥 + 11

19. Proporcionar el residuo de dividir:

(𝑥 + 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) − 17

𝑥2 + 7𝑥 + 1

A) 78 B) 80 C) 82 D) x –

1 E) x + 1

20. Al dividir un polinomio P(x) entre el

producto:

[(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)]

el resto obtenido es: 𝑥2 − 5𝑥 + 1.

¿Cuáles son los restos que se

obtienen al dividir separadamente

P(x) por (x + 1); (x – 2) y (x + 3)

respectivamente?

A) 7; -3 y 12 B) 14; 13 y -5

C) 7; -13 y 15

D) 7; -5 y 15 E) 7; -5 y 25

21. Al dividir un polinomio P(x) entre los

binomios (x – 4) y (x – 2) se obtienen

como residuos 9 y 5

respectivamente. ¿Cuál es el

residuo de dividir:

𝑃(𝑥) ÷ [(𝑥 − 4)(𝑥 − 2)]?

A) 2x – 1 B) 2x + 1 C)

x – 1

D) 3x + 1 E) x + 1

22. Al efectuar la división de dos

polinomios enteros en “x”, el

producto de los términos

independientes del divisor y el

cociente es 8, la diferencia de los

cuadrados de los términos

independientes del dividendo y

resto es 24, luego la suma de los

términos independientes del

dividendo y resto es:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

E) 16

23. Indicar el residuo de dividir:

𝑥25𝑛+ 𝑥24𝑛

+ 𝑥23𝑛+ 1

𝑥2𝑛+ 1

𝑛 ∈ ℕ/ 𝑛 ≥ 2008 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

24. Al dividir 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥3 + 𝑎3) se

obtiene por resto 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎.

NIVEL II

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División Polinómica

Calcule el resto de dividir P(x) entre

(x + a)

A) a + b B) 𝑎(𝑎2 − 𝑏 + 1)

C) a - b

D) 𝑎2 − 𝑏 E) b – a

25. Encuentre un polinomio de variable

x, de grado 3 y de coeficientes

enteros, tal que al dividirlos por

(x – 1)(x + 2) y por (x – 4), se obtenga

el mismo resto 10 y que se anule

para x=-1.

A) 𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 2 B) −𝑥3 −

3𝑥2 − 6𝑥

C) 𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥 − 2 D) −𝑥3 −

3𝑥2 − 6𝑥 + 2

E) 𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥 − 2

26. Halle m y n si la división:

(𝑥2−𝑥+2)5−𝑚(𝑥−2)4(𝑥+1)4+𝑛𝑥3(𝑥−1)3

𝑥3+1

es exacta, dé como respuesta 81m +

n

A) 1 B) -1 C) 12 D) -4

E) -10

27. Dada la división exacta

𝑥4 − 𝑎𝑥 + 𝑎

(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑛)(𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞)

¿Cuál es el residuo de

𝑥4−𝑎𝑥+𝑎

𝑥−1

𝑚−

1

𝑛−

1

𝑝−

1

𝑞

?

A) 2 B) -4 C) 13 D) 1

E) -1

28. Si se verifica la identidad

∑ 𝑎𝑘(𝑥 − 1)25−𝑘

25

𝑘=0

= 4𝑥25 − 3𝑥 + 2

Halle el cociente de 𝑎24

A) 24 B) 23 C) -97 D) 1200

E) 96

29. Cuando se divide el polinomio P(x)

entre (𝑥 + 2)3 arroja un residuo

igual a 2𝑥2 + 7𝑥 − 3. Si al dividirlo

por x + 2 el resto es R1(x) y (𝑥 + 2)2

es R2(x). calcule 𝑅1(𝑥) + 𝑅2(𝑥).

A) – x – 4 B) 0 C)

– x – 11 D) – x E) –

x – 20

30. Si la suma de coeficientes de la

división exacta es 3:

−𝑐𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 6𝑥 + 9

−2𝑥2 + 𝑥 + 3

Calcule 𝑎2 − (𝑏 − 𝑐)2

A) -7 B) -3 C) 41 D) 49

E) -9

31. Halle el resto de dividir P(x) por (x –

2) si al dividir P(x) por (𝑥 − 2)12 el

resto es 4𝑥2 − 𝑥 − 1

A) 14 B) 15 C) 11 D) 12

E) 13

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División Polinómica

32. El valor de c que verifica si el

polinomio

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛−1 − 𝑐𝑥 + 1

es divisible por (𝑥 − 1)3 es:

A) 𝑛

2−𝑛 B)

𝑛−1

𝑛 C)

𝑛

𝑛−2 D) n

E) 𝑛

𝑛−1

33. Indique el residuo de la división:

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)(𝑥4 + 1)(𝑥8 + 1) … (𝑥64 + 1)

𝑥2 − 𝑥 + 1

A) x + 1 B) 1 – x C)

x – 1

D) 0 E) – 1

34. Si el resto de la división:

(𝑥 − 3)11 + (𝑥 − 4)3

(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)

tiene la forma 𝛼𝑥 + 𝛽, calcule 𝛼𝛽.

A) 7 B) 14 C) -20 D) -7

E) -14

35. Encuentre el residuo de la división

(𝑥 + 2)4(𝑥 + 6)(𝑥 − 3)

(𝑥 + 2)3(𝑥 + 3)

A) −18(𝑥 + 2)3 B)

−27(𝑥 + 2)3 C) -18

D) 18(𝑥 + 2)3 E) 27

36. Al dividir P(x) entre 𝑥2 + 𝑥 + 1 se

obtuvo por residuo (x + 1) y al dividir

entre (𝑥2 − 𝑥 + 1) el resto es x – 1,

calcule el residuo de P(x) entre 𝑥4 +

𝑥2 + 1.

A) −𝑥 + 1 B) 𝑥3 + 𝑥

C) 𝑥3 − 𝑥

D) 𝑥3 E) x

37. Calcule 𝑎

𝑏 si luego de dividir

(𝑎−𝑏)𝑥𝑛+(𝑎−𝑏)2𝑥𝑛−1+(𝑎−𝑏)3𝑥𝑛−2+⋯+(𝑎−𝑏)𝑛+1

𝑥−𝑎+𝑏

el resto es (𝑛 + 1)(4𝑏)𝑛+1, 𝑛 ∈

ℤ+, 𝑎 ≠ 𝑏

A) 7 B) 11 C) 1 D)

3 E) 5

38. Al dividir P(x) entre 𝑥2 − 3 el

cociente es q(x) y el resto (5x – 2),

cuando dividimos q(x) entre (x + 3)

el residuo es -2. Calcule el residuo de

dividir P(x) entre (𝑥2 − 3)(𝑥 + 3).

A) 0 B) 𝑥2 −

5𝑥 + 4

C) 𝑥2 − 5𝑥 − 4 D) −2𝑥2 −

5𝑥 − 4

E) −2𝑥2 + 5𝑥 + 4

39. Cuando se divide (𝑃(𝑥) − 2𝑥 + 1)

entonces (𝑥2 − 10𝑥 + 25), el resto

es (3x – 15), y al dividir (𝑃(𝑥) + 𝑥 +

1) entre (𝑥2 + 5𝑥 + 25), el residuo

es (x + 10). Calcule el resto de dividir

P(x) entre (𝑥3 − 125).

A) 7 B) 2 C) 16 D)

9 E) 4

40. Halle el residuo en la división:

(𝑥8 + 16)4 + 𝑥13 + 4𝑥4 − 10242

𝑥2 − 2𝑥 + 2

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División Polinómica

A) – 64x – 16 B) 0 C) - 2

D) – 64x – 64 E) 25

ESCUELA DE TALENTOS CALLAO

Mat. Aldo Huayanay Flores

Publicado en Mayo