ITM, Institución universitaria. Guía de clase

Vectores

Escalares y vectores

En un curso de física básica se usan dos tipos de cantidades: escalares y vectores. Podemos definir un

escalar como una cantidad que queda completamente especificada por un número, positivo o negativo.

Aunque esta definición no es muy rigurosa, trabajaremos con la noción de que un escalar se puede entender

como un número real, aunque es necesario aclarar que en matemáticas la noción de escalar es más

compleja, al igual que la noción de vector que definiremos enseguida. Los vectores son entes matemáticos

que requieren de más de un parámetro para describirse completamente, estos parámetros pueden ser:

magnitud y dirección; coordenadas cartesianas u otros. Por ejemplo, cuando se aplica una fuerza no basta

con saber la magnitud de ésta, también es necesario saber en qué dirección se aplica. Con la velocidad,

aceleración y las demás cantidades vectoriales ocurre algo similar.

Ejemplos: Un escalar es básicamente una cantidad que sólo tiene magnitud, como: el tiempo, la energía, la

rapidez, la masa, la carga eléctrica, la temperatura, etc. En la mayoría de los textos se representan con

letras minúsculas.

Para un matemático, la definición de vector, o más ampliamente de un espacio vectorial, implica hablar de

un conjunto de objetos, los vectores, y de unas operaciones entre estos objetos, que cumplen una lista de

propiedades. Sin embargo, omitiremos el rigor matemático y daremos una definición de vector que, aunque

no es muy formal, si puede ayudarnos a comprender la importancia del uso de vectores en el tratamiento de

problemas físicos. En general puede decirse que un vector es un objeto matemático que necesita de varios

parámetros o componentes para ser descrito. En el plano R2 un vector necesita dos componentes, que

pueden ser las coordenadas cartesianas (x, y), o también pueden ser una magnitud y un ángulo de

orientación θ medido siempre respecto al eje x, (r, θ) o coordenadas polares, vea la figura 1. En el espacio

R3 se requieren tres parámetros para describir un vector, que pueden ser sus componentes cartesianas (Bx,

By, Bz), o sus coordenadas esféricas (B, θ, φ), con los ángulos medidos en la dirección que se indica en la

figura 2. Un vector se puede representar por un segmento dirigido o flecha, cuyo origen coincide con el

origen del sistema de coordenadas y el otro extremo está ubicado en un punto dado del plano, que en el

caso de la figura 1 es (Ax, Ay). Los vectores se denotarán por letras, generalmente mayúsculas, con una

flecha sobre ellas: B

. La magnitud de un vector B

, se denota poniéndolo entre barras: || B

, o

simplemente escribiéndolo sin la flecha: B.

Figura 1. Vector en el plano Figura 2. Vector en el espacio

x

y

z

φ

θ

Bx

By

Bz

x

y

A

Ax

Ay

A

θ

Operaciones con vectores y escalares

Producto de un escalar por un vector

Sea “a” un escalar y sea B

un vector. El producto “ Ba

“ es también un vector, que tiene la misma

dirección que B

, pero su magnitud ha sido modificada en un factor “a”. Para ilustrar gráficamente algunas

observaciones respecto al producto de un vector por un escalar, tomemos el vector B

mostrado en la figura

3.a. Las características de este producto son las siguientes:

a) Si el escalar es un número mayor que 0 y menor que 1, se obtendrá un vector de longitud menor

que el inicial, ver figura 3.b.

b) Un escalar mayor que 1 aumentará el tamaño del vector en “a”, esto puede verse en la figura 3.c.

c) Cuando el escalar es negativo, además de su longitud, también se cambia el sentido del vector, es

decir, el nuevo vector está a 180 grados del original, vea la figura 3.d.

d) Como un caso particular del anterior, si el escalar es -1, el nuevo vector será - B

, el cual es

llamado el opuesto de B

, y que tiene la misma magnitud, esto se ve en la figura 3.e.

e) Si el escalar es 1, el vector no sufrirá modificación, es decir, el escalar 1 es módulo de esta

operación.

Figura 3.a. Vector B

Figura 3.b. Producto Ba

con 10 a

Figura 3.c. Producto Ba

con 1a Figura 3.d. Producto Ba

con 0a

x

y

x

y

x

y

x

y

Figura 3.e Producto Ba

con 1a

Suma de vectores

La suma de vectores da como resultado otro vector, y puede hallarse gráfica o analíticamente.

Suma gráfica

Cuando un vector no está asociado con un sistema de referencia o sistema de coordenadas, es llamado

vector libre. Aunque en la mayoría de casos prácticos no se usan vectores libres, esta idea puede ayudar a

comprender la suma de vectores. Para sumar dos vectores gráficamente, se toma el segundo vector y se

traslada en el espacio, sin cambiar su orientación ni su magnitud, y su base se pone sobre la punta o cabeza

del primero. El vector resultante o vector suma va desde el origen del primero hasta final del segundo

vector. Este método es conocido como: cabeza con cola. Esto se ilustra en la siguiente figura

Figura 4. Suma de vectores libres por el método cabeza con cola

También se conoce el método del paralelogramo, en el cual se toman los dos vectores que se quieren sumar

y se trasladan en el espacio sin alterarlos poniéndolos a que coincidan en origen, y se construye un

paralelogramo trazando, sobre el final del primer vector un segmento de recta paralelo al segundo y con su

longitud, y sobre el segundo vector otro segmento paralelo al primero y con su longitud. El vector suma es

la diagonal del paralelogramo y su origen coincide con el de los otros dos. En la siguiente figura se

muestra un ejemplo de cómo se forma el paralelogramo para sumar vectores, usando los mismos vectores

del ejemplo anterior

x

y

Figura 5. Suma de vectores libres por el método del paralelogramo

Componentes

Si ubicamos un vector R

en un sistema de coordenadas y lo escribimos como la suma de otros dos

vectores que cumplan la condición cabeza-cola, de modo que los vectores que conformen la suma sean

perpendiculares y paralelas a los ejes coordenados, que se llamarán componentes vectoriales rectangulares

o cartesianas, los cuales se denotarán con subíndices x e y, y como consecuencia, al ser paralelas a los ejes

x e y, se podrán escribir en términos de vectores unitarios (de magnitud uno) en las direcciones,

respectivamente i , j . En la siguiente figura se ilustra un vector en un sistema de coordenadas en términos

de dos componentes paralelas a los ejes, llamadas componentes vectoriales rectangulares o cartesianas.

Figura 6. Descomposición vectorial en términos de vectores unitarios

Ahora bien, dado que las componentes rectangulares están sobre los ejes, cada una de ellas puede escribirse

como el producto de su magnitud por el vector unitario en cada dirección. Por lo tanto la descomposición

vectorial se puede escribir de la forma:

jRiRRRR yxyxˆˆ

(1)

x

y

x

y

Suma analítica

Para sumar vectores analíticamente, es necesario expresar cada vector en términos de sus componentes

cartesianas, y el vector resultante se halla sumando componente a componente. Si se tienen dos vectores

jAiAA yxˆˆ

y jBiBB yx

ˆˆ

, el vector resultante o suma viene dado por

jBiBjAiABA yxyxˆˆˆˆ

(2)

Ahora usamos el álgebra para agrupar los términos o componentes escalares que acompañan a los vectores

unitarios. Esto nos conduce a la siguiente fórmula para la suma analítica de vectores:

jBAiBABA yyxxˆˆ

(3)

Es necesario tener en cuenta que cuando una componente escalar es negativa, debe incluirse este signo en

la ecuación (3). Así mismo debe tenerse en cuenta que cuando la operación es una resta de vectores,

cambian los signos en la ecuación (3) de forma que el vector resta o diferencia queda escrito como:

jBAiBABA yyxxˆˆ

(4)

Note que no cambia el signo más entre las dos componentes vectoriales del vector resta, sino entre las

componentes escalares. Cuando la suma analítica se realiza en tres dimensiones simplemente se adiciona la

tercera componente en la ecuación (3), por lo cual la ecuación se convierte en:

kBAjBAiBABA zzyyxx

(5)

Recuerde que los vectores pueden escribirse en términos de sus componentes cartesianas (Ax, Ay), o en

términos de sus componentes polares (A, θ). Las ecuaciones (6) y (7) se utilizan para relacionar las

componentes polares, con las componentes cartesianas. También es importante recordar que los signos de

las componentes escalares dependen del cuadrante en que se encuentre el vector.

Reglas de transformación de coordenadas

x

y

yx

y

x

A

ATan

AAA

ASenA

ACosA

1

22

Figura 7. Componentes escalares

x

y

A

Ax

Ay

A

θ

Polares a

Cartesianas

Cartesianas a

Polares

(6)

(7)

Ejemplos

1) Sean los vectores:

kjiA ˆ7ˆ3ˆ4

; kjiB ˆˆˆ

; kjC ˆ6ˆ2

Encuentre:

a) BA

b) CBA

32

Solución:

a) BA

kjikjikjikji ˆ8ˆ2ˆ5ˆ)17(ˆ)13(ˆ)14()ˆˆˆ()ˆ7ˆ3ˆ4(

b) kjik)(j)(i)(

)kj()kji()kji(CBA

1111631423638

62333146832

Producto punto o producto escalar entre vectores.

El producto punto entre vectores da como resultado un escalar, de ahí su nombre. Sean dos vectores A

y

B

en R2

o en R3, los cuales al ser ubicados coincidiendo en origen forman un ángulo entre ellos. Se

define el producto punto o producto escalar en el espacio R3, entre los vectores kAjAiAA ZYX

ˆˆˆ

y

kBjBiBB ZYXˆˆˆ

como:

ZZYYXX BABABABA

(8)

Pero también puede definirse como

CosABBA

(9)

En el plano XY simplemente se suprime la última componente en la ecuación (8). Es fácil demostrar que

estas dos definiciones son equivalentes. Se usará la que más convenga en cada caso.

Producto vectorial o producto cruz

El producto cruz entre vectores da como resultado otro vector. La forma en que se define el producto cruz

sugiere una operación similar al cálculo del determinante de una matriz 3x3, pero dado que la primera fila

en este caso está constituida por los vectores unitarios, se habla de un seudodeterminante.

Sean los vectores en el espacio kAjAiAA ZYXˆˆˆ

y kBjBiBB ZYX

ˆˆˆ

. Se define el producto

vectorial como:

kABBAjABBAiABBABA yxyxzxzxzyzyˆ)(ˆ)(ˆ)(

(10)

Este producto así definido tiene varias propiedades. El vector resultante es perpendicular a cada uno de los

vectores ByA

, por lo tanto es perpendicular al plano formado por ellos. Si los vectores ByA

están en

el plano xy, entonces el vector resultante estará en el eje z. Si θ es el ángulo entre los vectores ByA

medido en el sentido en que se miden positivos los ángulos, entonces la magnitud del producto cruz está

dada por

SenABBA

(11)

El producto cruz sigue la llamada regla de la mano derecha, según la cual se apunta el dedo índice en la

dirección del primer vector involucrado levantando el pulgar perpendicularmente al primero y se gira el

índice hacia el segundo vector cerrando la mano. El vector resultante tendrá la dirección del pulgar. La

dirección del vector producto cruz se ilustra en la figura 8.

Figura 8. Dirección del producto vectorial

Convención: Cuando se dibuja un vector perpendicular a la superficie de dibujo, se sigue la siguiente

convención. Un vector perpendicular al plano y que apunta hacia afuera de la superficie se dibuja como un

punto dentro de una circunferencia, queriendo denotar la vista frontal de la punta de éste. Un vector

perpendicular al plano y que apunta hacia adentro de éste, se dibuja como una x dentro de una

circunferencia.

Figura 9. Vector saliente. Figura 10. Vector entrante al plano de dibujo.

Ejemplo

Sean los vectores A

= kji ˆ2ˆ4ˆ3 y B

= kji ˆˆ3ˆ2 . Encuentre BA

Solución:

A

BA

B

BA

kji ˆ)]4)(2()3)(3[(ˆ)]2)(2()1)(3[(ˆ)]2)(3()1)(4[(

kjikji ˆˆˆ2ˆ)89(ˆ)43(ˆ)64(

kjiBA ˆˆˆ2

Taller

1. Dados los siguientes vectores en términos de sus componentes cartesianas, a

=(3, -4), b

=(-1, 3),

c

=(0,3) y d

=(-4,-1)

a) Grafique los vectores en el plano XY

b) Encuentre sus coordenadas polares

c) Escríbalos en términos de los vectores unitarios en la forma dada por la ecuación 1.

d) Halle el vector suma dbaR

por el método analítico y grafíquelo.

e) Calcule el vector dbcM

32 y grafíquelo.

2. Demuestre que el producto cruz entre vectores paralelos es cero.

3. Demuestre que el producto punto entre vectores perpendiculares es cero.

4. Demuestre que el producto cruz es anticonmutativo, es decir que:

)( ABBA

5. Sean los vectores en R3: zyxCyzxB,zyxA 642254

, calcule:

a) BA

2

b) AC

c) BC

2

d) CA

3

e) BA

2

f) AC

5

g) BC

2

h) CA

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