DOE Fraccionales

8.1 Utilidad y justificaciones

En el capítulo anterior se ha desarrollado en detalle el diseño, análisis e interpretación de los diseñosfactoriales completos. También se han comentado las ventajas e inconvenientes de su utilización, yentre estos últimos el más importante es el elevado número de experimentos que requieren. Estenúmero crece, como resulta evidente en la notación 2k utilizada, en forma exponencial con el númerode factores. No es inusual en la industria desear estudiar el efecto de 6, 7, 8 o más factores sobre unarespuesta.

En el caso de considerar siete factores, un diseño factorial completo exigiría la realización de27 = 128 experimentos, y tal volumen de experimentación resulta, en la mayoría de ocasiones,prohibitivo. Los diseños factoriales fraccionales permiten estudiar un elevado número de factores enun número de experimentos mucho menor de lo que requeriría un factorial completo.

8.1.1 Justificaciones

Piénsese que un diseño 27 implica realizar 128 experimentos y, por tanto, se dispone de 128 grados delibertad que permiten estimar 128 efectos que son, además de la media:> 7 efectos principales> 21 interacciones de 2 factores> 35 interacciones de 3 factores> 35 interacciones de 4 factores> 21 interacciones de 5 factores> 7 interacciones de 6 factores> 1 interacción de 7 factores

En la práctica resulta extremadamente raro que aparezcan interacciones de tres o más factoresque resulten ser significativas. Dicho de otra manera, en general, se obtienen modelos suficientementeaproximados considerando sólo los efectos principales y las interacciones de dos factores.

Este hecho no debe resultar sorprendente: los efectos significativos engloban las característicasmás importantes de la superficie que se está estudiando, y en la práctica resulta infrecuente que estassean muy “rugosas”. La situación es similar a la que se produce cuando, al desarrollar una función enserie de Taylor, se trunca la aproximación en la segunda derivada. Resultaría además contradictorio

8Diseños factoriales fraccionales

165

lmarco

Typewritten Text

Capítol 8 del llibre: Métodos estadísticos: control y mejora de la calidad Albert Prat, Xavier Tort-Martorell, Pere Grima, Lourdes Pozueta, Ignasi Solé Edicions UPC

incluir téminos de tercer o cuarto orden en un modelo, en el que ya desde el inicio (al decidir realizarel experimento con los factores a dos niveles) se han desestimado los términos cuadráticos puros.

Se puede, por tanto, prescindir de parte de la información que proporciona un diseño 27

completo y esto permite, a su vez, prescindir de la realización de algunos experimentos.Para estudiar los efectos de interés, será suficiente con realizar una parte (fracción) del

diseño completo. Estos diseños reciben el nombre de: diseños factoriales fraccionaleso,simplemente, diseños fraccionales. Para los diseños fraccionales se utiliza la notación 2k-p, donde2 sigue siendo el número de niveles, k el número de factores con los que se experimentará y la letrap indica el grado de fraccionamiento (más adelante se comenta su significado específico). De talmanera que el resultado de elevar 2 a k-p indica el número de experimentos que se van a realizar.Veamos unos ejemplos:> 27-1 permite estudiar siete variables en 64 experimentos. Suponiendo que todas las interacciones

de cuarto orden o superior sean cero, permitiría estimar los efectos principales y lasinteracciones de segundo y tercer orden.

> 27-3 permite estudiar siete variables en 16 exprimentos. Suponiendo que todas las interaccionesde tercer orden o superior y una parte de las de segundo orden sean cero, permitiría estimar losefectos principales y los de las restantes interacciones de dos factores.

> 27-4 permite estudiar siete variables en solamente ocho experimentos. Suponiendo que todas lasinteracciones sean cero, permitiría estimar los efectos principales de las siete variables encuestión.Hay otra justificación para la realización de diseños factoriales fraccionales y es que en la

significación de los efectos se cumple, en general, el principio de Pareto. Cuando, sobre todo en lasfases iniciales de una experimentación, se incluye un elevado número de factores se suele cumplir queunos pocos son responsables de la mayor parte de variaciones en la respuesta (escasos efectossignificativos), mientras que la mayoría de factores producen cambios en la respuesta de menor cuantía(indistinguibles del ruido experimental). Cuando esto ocurre los diseños factoriales fraccionalespermiten estudiar de manera completa los efectos de las variables activas. En el apéndice 8A secomenta este hecho con mayor detalle.

8.2 Ejemplo introductorio. Cinco variables en dieciseis experimentos

En una investigación -en laboratorio- sobre solidez del color en tejidos se consideraron cinco variables,cada una de ellas a dos niveles, que se situaron alrededor de los habituales en el proceso de tintado. Latabla 8.1 muestra las variables y niveles.

La respuesta medida es la cantidad de color dejadapor la muestra, resultado del experimento, sobreun testigo y comparada con un testigo estándar.De manera que lo que se desea es hallar las condi-ciones que minimicen la respuesta.

Esta investigación se desarrolló por mediode un diseño 25 completo. Los experimentosrealizados (en orden aleatorio) aparecen en latabla 8.2 (en orden estándar) junto con larespuesta obtenida.

Como se han realizado 32 experimentos sedispone de 32 grados de libertad, que permiten

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

166

ππ

CÓDIGO VARIABLE NIVELES

- +

A

B

C

D

E

Ph fijadoTemp. fijadoConcentr. fijadorTemp. acabadoTiempo acabado

4.5701C1 g/l1701C50 seg.

5.5801C3 g/l1901C70 seg.

Tabla 8.1 Variables y niveles. Ejemplo del tintado

DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONALES

estimar los siguientes 32 efectos:

Representando estos efectos en papel probabilístico normal se obtine la representación de lafigura 8.1.

En la figura 8.1 se observa claramente que hay cinco efectos significativos: B, C, D, BCy DE.Es decir se cumple el principio de la escasez de efectos.

Dejamos como ejercicio para el lector la interpretación de los resultados, de acuerdo con elobjetivo planteado en la investigación.

Como acabamos de ver, se han podido estimar 32 efectos, si bien es cierto que ya antes derealizar el experimento había 16 efectos que considerabamos despreciables -las interacciones de tres,cuatro y cinco factores.

¿Qué hubiese ocurrido si en lugar de realizar los 32 experimentos de un 25 se hubiesen hechosólo los 16 indicados por un 25-1? ¿Podríamos haber realizado solamente 16 experimentos, y noshubiesen servido para estimar los efectos principales y las interaccciones de dos factores?

Imaginemos que realmente se han realizado sólo 16 experimentos y que éstos han sido unsubconjunto de los 32 del diseño completo. En la tabla 8.3 aparecen estos 16 experimentos. Invitamosal lector a comprobar como la respuesta coincide con la que se ha obtenido bajo esas mismas

167

ππ

EXP. A B C D E RESP.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

-11

-1 1-11

-11

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

-1-1-1-11111

-1-1-1-1-1-1-1-111111111

-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

13.19.98.17.59.09.2

-1.0-1.010.68.2

11.011.25.19.74.12.9

EXP. A B C D E RESP

17181920212223242526272829303132

-11

-11

-11

-11

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

-1-1-1-11111

-1-1-1-1-1-1-1-111111111

1111111111111111

6.4 9.8 9.0 6.6 4.9 5.3

-5.1 -3.7 17.3 12.7 12.9 13.7 12.4 12.4 3.8 4.0

Tabla 8.2 Matriz de diseño y respuesta (32 experimentos). Ejemplo del tintado

MEDIA INTERACCIONES DE DOS INTERACCIONES DE TRES INTERACC. DE CUATRO

media = 7.5 AB = 0.0AC = 0.9AD = -0.1AE = 0.1BC = -3.5

ABC = -0.6ABD = 0.3ABE = 0.1ACD = 0.3ACE = -0.3

ABCD = -1.1ABCE = 0.8ABDE = 1.0ACDE = 0.1BCDE = 0.2

EFECTOS PRINCIPALES BD = 1.4 ADE = -0.7 INTERACCIONES DE CINCO

A = -0.2B = -4.5C = -6.0D = 4.0E = 0.3

BE = -0.5CD = 0.6CE = -0.8DE = 3.0

BCD = 0.4BCE = -0.5BDE = -1.5CDE = 0.2

ABCDE = -0.4

condiciones en el diseño completo; para facilitar la tarea, hemos conservado la numeración original delos experimentos. Más adelante justificaremos la elección de estos experimentos y no otros, por el mo-mento concentrémonos en el análisis de los mismos.

Nótese que los experimentos se han reordenado para que al menos en los cuatro primerosfactores (A,B,C,D), el diseño aparezca en orden estándar.

Al plantear el experimento 25-1 hemos renunciado voluntariamente a las interacciones de ordentres o superior. Utilicemos el algoritmo de los signos para calcular los efectos en los que estábamosinteresados. Para ello, además de las columnas de la matriz de diseño que aparecen en la tabla 8.3,tendremos que calcular las correspondientes a la media y a las interacciones de dos factores. Aparecenen la tabla 8.4.


168

ππ

4 2 0-2-4-6

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Efectos

D

DE

BCB

C

Por

cent

aje

Tabla 8.3 Matriz de diseño y respuesta (16 experi-mentos). Ejemplo del tintado

Fig. 8.1 Efectos del ejemplo del tintado (32 experimentos) enpapel probabilístico normal

EXP.NÚM. A B C D E RESP.

17 2 3

20 5

22 23 8 9

26 27 12 29 14 15 32

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1-111

-1-111

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

-1-1-1-11111

-1-1-1-1-1-1-1-111111111

1-1-11

-111

-1-111

-11

-1-11

6.4 9.9 8.1 6.6 9.0 5.3

-5.1 -1.0 10.6 12.7 12.9 11.2 12.4 9.7 4.1 4.0

MED AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE RESP

1111111111111111

1-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1

1-1 1-1-1 1-1 1 1-1 1-1-1 1-1 1

1-1 1-1 1-1 1-1-1 1-1 1-1 1-1 1

-1-1 1 1 1 1-1-1 1 1-1-1-1-1 1 1

1 1-1-1-1-1 1 1 1 1-1-1-1-1 1 1

1 1-1-1 1 1-1-1-1-1 1 1-1-1 11

-1 1-1 1 1-1 1-1 1-1 1-1-1 1-11

1 1 1 1-1-1-1-1-1-1-1-1 1 1 1 1

-1 1 1-1-1 1 1-1 1-1-1 1 1-1-1 1

-1 1 1-1 1-1-1 1-1 1 1-1 1-1-1 1

6.49.98.16.69.05.3

-5.1-1.010.612.712.911.212.49.74.14.0

Tabla 8.4 Columnas de signos de las interacciones de dos factores. Ejemplo del tintado (16 experimentos)


En la tabla 8.4 se ha añadido la respuesta para facilitar la utilización del algoritmo de los signos,que una vez aplicado proporciona los efectos indicados en la siguiente tabla.

Comparando estos efectos con los obtenidos utilizando 32 experimentos, se observa que, si bien noson iguales, son muy similares. De hecho las diferencias son de orden similar a las que hubiese podidoprovocar el ruido del experimento.

Veamos cuáles resultan significativos, representándolos en papel probabilístico normal (figura 8.2).Resulta evidente que los efectos significativos son los mismos que cuando disponíamos de los 32

experimentos. Por tanto, básicamente hemos obtenido la misma información con la mitad de los experi-mentos. ¿Se ha perdido algo al reducir el número de experimentos?

8.2.1 Confusión de los efectos

Al calcular los efectos del 25-1 se han considerado únicamenteaquellos en los que estábamos interesados: efectos principalese interacciones de dos factores. De hecho se disponía de 16grados de libertad, provinentes de los 16 experimentos realiza-dos, y se han estimado 16 efectos, por lo que, en principio, noes posible estimar nada más.

Sin embargo, nada nos impide utilizar el algoritmo delos signos para calcular las interacciones de tercer o cuartoorden. Veamos qué ocurre si decidimos calcular, por ejemplo,la interacción ABC. La columna correspondiente se obtienemultiplicando las columnas A, By C (tabla 8.5).

Con lo que se obtiene:

ABC= 2.4

Obsérvese que el valor obtenido coincide con el delefecto DE. ¿Es debido a la casualidad?; en absoluto. Nóteseque la columna del algoritmo de los signos correspondiente ala interacción ABCcoincide con la columna DE.

169

ππ

MEDIA EFECTOS

PRINCIPALES

ITERACIONES

DE DOS

media = 7.3 A = 0.0B = -4.4C = -5.0D = 4.8E = -0.8

AB = 0.2AC = -0.6AD = -0.6AE = 0.5BC = -4.2BD = 1.1BE = -0.2CD = 0.7CE = -0.5DE = 2.4

5 0 -5

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Efectos

D

DE

BCB

C

Por

cent

aje

Fig. 8.2 Efectos del ejemplo del tintado (16 experimentos) enpapel probabilístico normal

A B C ABC RESP.

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1 1

-1-111

-1-111

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

-1-1-1-11111

-1 1 1

-1 1

-1 -1 1

-1 1 1

-1 1

-1 -1 1

6.4 9.9 8.1 6.6 9.0 5.3

-5.1 -1.0 10.6 12.7 12.9 11.2 12.4 9.7 4.1 4.0

Tabla 8.5 Columna de signos de la interacciónABC. Ejemplo del tintado (16 experimentos)

El valor 2.4 que hemos estimado, ¿corresponde aABCo a DE?

Veamos un ejemplo más sencillo.Supóngase que un atleta realiza un expe-

rimento con las variables de la tabla 8.6 para intentarmejorar su marca en los 100 m. Y con la matriz dediseño que aparece en la tabla 8.7 junto con larespuesta.

Como quiera que siempre que calza Nike no toma café, mientrasque siempre que calza Adidas sí lo toma, no se sabe a cuál de losdos factores atribuir la ganancia de dos segundos. De hecho, con lainformación disponible cualquiera de las siguientes explicacionespodría ser válida:> Calzar Adidas en lugar de Nike hace ganar al atleta 2 segundos.> Tomar café hace ganar al atleta 2 segundos.> Calzar Adidas le hace ganar un segundo y tomar café otro segundo.> Calzar Adidas le hace ganar tres segundos y tomar café le hace

perder uno.La lista no es en absoluto exhaustiva, ya que las posibles interpretaciones son inagotables. Los

dos efectos están confundidos. Al calcularlos se obtiene el mismo valor:

pero en realidad lo que se está estimando es la suma de los dos efectos. Es decir, T+C.Así pues, cuando a dos efectos les corresponde la misma columna de signos decimos que están

confundidos, y que el contraste lineal definido por esa columna estima la suma de sus efectos.Volvamos al ejemplo del tintado de fibras. Hemos visto que, si para estudiar cinco factores

realizamos un 25 completo, podemos estimar 32 efectos, mientras que si realizamos un 25-1 solamentepodemos estimar 16. ¿Que ocurre con los 16 restantes? La respuesta es sencilla, la confusión entre ABCy DE no es la única existente, los efectos están confundidos dos a dos.

Una manera de averiguar cuál está confundido con cuál sería repetir el procedimiento quehemos utilizado para la interacción ABCcon el resto de interacciones de tercer cuarto y quinto orden.El procedimiento sería tedioso. En el siguiente apartado se presenta un procedimiento alternativomucho más simple.

8.3 Construcción de diseños fraccionales y cálculo de las confusiones introducidas

8.3.1 Construcción de diseños fraccionales

¿Cómo se escogieron los 16 experimentos del diseño 25-1?De hecho, no se escogieron 16 experimentos de entre los 32 del diseño completo, se construyó

la matriz de diseño de la siguiente manera (tabla 8.8):


170

ππ


+ -

TC

Tipo de calzadoIngesti\n de cafJ

NikeNo

AdidasSí

Tabla 8.6 Variables y niveles. Ejemplo del atleta

T C RESP.

-1-1 1 1

-1-1 1 1

13 seg.13 seg.11 seg.11 seg.

Tabla 8.7 Matriz de diseño y respuesta.Ejemplo del atleta

T =− − + +

= −13 13 11 11

22

C =− − + +

= −13 13 11 11

22


> Se escribió la matriz de diseño de un 24 completo para lasvariables A,B,Cy D.

> Se escribió la columna de signos para la interacción ABCDyse asignaron esos signos a la variable E. Se confundiódeliberadamente la interacción de cuarto orden, la mayor delas disponibles, con la quinta variable.Como se verá más adelante, el procedimiento es general.A esta confusión introducida para poder escribir la matriz de

diseño se la denomina generador. De manera que el generador deldiseño 25-1 utilizado es:

E = ABCD

8.3.2 Cálculo de las confusiones introducidas

Ahora que sabemos cómo se ha construido el 25-1, veamos una manera sencilla de hallar todas lasconfusiones que presenta un diseño de este tipo. Para ello se define una operación entre las columnasde la matriz de diseño.

La operación es la misma que hemos utilizado en el algoritmo de los signos, esto es: dadas lascolumnas A y B se define la columna AB como aquella que tiene en cada fila el signo correspondienteal producto de los signos de A y B en esa fila.

Utilizaremos la letra I para denotar una columna sólo de unos (+1); es la correspondiente a la media.> Cualquier columna por ella misma es la columna I. AA=I.> Cualquier columna por I es la columna original. AI=A.> Propiedad asociativa. (AB)C = A(BC).> Propiedad conmutativa. AB = BA.

Si utilizando esta operación, multiplicamos ambos miembros del generador por E obtenemos larelación de definición.

Generador: E = ABCDRelación de definición: EE = EABCD

I = ABCDELa relación de definición está formada por todas aquellas interacciones a las que corresponde

una columna con todo unos. Dicho de otra manera, está formada por todas las interaccionesconfundidas con la media.

171

ππ

A B C D EABCD

-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1

-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1 1

-1-1-1-1 1 1 1 1-1-1-1-1 1 1 1 1

-1-1-1-1-1-1-1-1 1 1 1 1 1 1 1 1

1-1-1 1-1 1 1-1-1 1 1-1 1-1-1 1

Tabla 8.8 Construcción de la matriz de diseño del 25-1

A B AB=

−

−

−

=

−−

−

=

−−

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

M M M

La relación de definición permite hallarfácilmente cómo están confundidos los efectos,sin más que multiplicar ambos miembros por elefecto de interés. Así, para hallar con cuál estaconfundida la interacción ABC:

ABC(I) = ABC(ABCDE)ABC= (ABC)(ABC)DEABC= (I)DEABC= DE

El cálculo se puede realizar fácilmente sindesarrollar todos los pasos. La tabla 8.9 muestratodas las confusiones existentes en el diseño 25-1

utilizado en el ejemplo del tintado de fibras. Nótese que, aunque utilizamos la misma

notación para designar las columnas de signosque los efectos que ellas permiten estimar, ellono debe inducir a error.

8.3.3 Concepto de resolución

Se dice que el diseño 25-1 es de resolución V. La resolución de un diseño indica el nivel de confusionesque se presentan en la estimación de los efectos. Así, en este caso, y tal como se puede ver en la tabla8.9, los efectos principales están confundidos con interacciones de cuatro factores y las interaccionesde dos con las de tres.

En general, un diseño de resolución R es aquel en el que ningún efecto de q factores estáconfundido con otro que contenga menos de R-q. Así, un diseño de resolución V indica que comomáximo se confunden interacciones de tres factores con interacciones de dos. Si la resolución esIV seconfunden interacciones de dos entre sí, o efectos principales con interacciones de tres. Si la resoluciónes III, se confunden efectos principales con interacciones de dos, etc.

La resolución se define como la longitud del término más corto de la relación de definición (enel diseño 25-1 solo tiene uno, pero no siempre es así, como veremos en el apartado siguiente).

La resolución de un diseño se denota por un número romano situado como subíndice. Así, eldiseño estudiado sería:

8.4 Otros diseños fraccionales. Generalización de conceptos

8.4.1 Medias fracciones

Del diseño 25-1 que ha servido para introducir los diseños fraccionales, se dice que es una mediafracción, ya que implica realizar la mitad de los experimentos que hubiese requerido el completo.

Resulta muy sencillo escribir medias fracciones. El procedimiento es escribir el diseñocompleto para el número de variables deseado y asignar la variable restante a la interacción mayordisponible. Veamos algunos ejemplos.


172

ππ

RELACIÓN ENTRECOLUMNAS

PATRÓN DECONFUSIÓN

EFECTOSESTIMADOS

A=BCDEB=ACDEC=ABDED=ABCEE=ABCDAB=CDEAC=BDEAD=BCEAE=BCDBC=ADEBD=ACEBE=ACDCD=ABECE=ABDDE=ABCI=ABCDE

A+BCDEB+ACDEC+ABDED+ABCEE+ABCDAB+CDEAC+BDEAD+BCEAE+BCDBC+ADEBD+ACEBE+ACDCD+ABECE+ABDDE+ABC

media+1/2(ABCDE)

0.0-4.4-5.0 4.8-0.8 0.2-0.6-0.6 0.5-4.2 1.1-0.2 0.7-0.5 2.4 7.2

Tabla 8.9 Patrón de confusión del 25-1. Ejemplo del tintado

25 1V

−


> Diseño: - Escribir un 22 para las variables A y B.- El generador del diseño es: C = AB.- La relación de definición es: I = ABC.- La resolución es III .- Patrón de confusión: A + BC

B + ACC + ABmedia + ABC.

> Diseño: - Escribir un 23 para las variables A, B y C.- El generador del diseño es: D = ABC.- La relación de definición es: I = ABCD.- La resolución es IV.- Patrón de confusión: A + BCD

B + ACDC + ABDD + ABCAB + CDAC + BDAD + BCmedia + ABCD.

En el apartado anterior se ha visto el . El procedimiento es general y , por tanto, sencilloconstruir diseños , , etc.

8.4.2 Fracción complementaria

El procedimiento descrito sirve para escribir media fracción.¿Qué ocurre si deseamos escribir la otra media? Se la llama lafracción complementaria, ya que juntas reproducen el diseñocompleto.

Una manera de hallarla sería escribir el diseño completoy seleccionar los experimentos que no estén incluidos en lamedia fracción original.

Hay un procedimiento más sencillo; consiste en utilizarel mismo generador, pero cambiado de signo. Veámoslo en elcaso del tintado de fibras.

El generador sería E = -ABCD, con lo que la matriz dediseño resultante es la que aparece en la tabla 8.10, acontinuación.

La relación de definición es:

I = - ABCDE

y el patrón de confusión aparece en la tabla 8.11.Supongamos que después de haber completado una

media fracción se hubiese añadido la otra, de manera que se

173

ππ

23 1III−

24 1IV−

25 1V

−

26 1VI

− 27 1VII

−

A B C D EABCD

-11

-11

-11

-11

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

-1-1-1-11111

-1-1-1-1-1-1-1-111111111

-1 1 1-1 1-1-1 1 1-1-1 1-1 1 1-1

Tabla 8.10 Matriz de diseño (25-1) de lafracción complementaria del 25-1 inicial

dispusiese del factorial completo. Entonces se podrían estimar todos los efectos sin confusión,reanalizando los 32 experimentos, o bien obtenerlos por sumas y diferencias de los efectos estimadosen cada una de las medias fracciones. La tabla 8.12 muestra esta segunda opción.

Obsérvese cómo los efectos para el diseño completo concuerdan con los obtenidos en la sección8.2 para el diseño 25, excepto el de la interacción ABCDEque, por estar confundido con la media,aparece dividido por dos.

Tabla 8.11 Patrón de confusión de la fracción complementaria

Tabla 8.12 Efectos del diseño completo 25, obtenidos por sumas y diferencias de las fracciones complementarias


174

ππ

RELACIÓN ENTRE

COLUMNAS

PATRÓN DE

CONFUSIÓN

EFECTOSESTIMADOS

A=BCDE

B=ACDE

C=ABDE

D=ABCE

E=ABCD

AB=CDE

AC=BDE

AD=BCE

AE=BCD

BC=ADE

BD=ACE

BE=ACD

CD=ABE

CE=ABD

DE=ABC

I=ABCDE

A-BCDE

B-ACDE

C-ABDE

D-ABCE

E-ABCD

AB-CDE

AC-BDE

AD-BCE

AE-BCD

BC-ADE

BD-ACE

BE-ACD

CD-ABE

CE-ABD

DE-ABC

media-1/2(ABCDE)

-0.4

-4.6

-7.0

3.2

1.4

-0.2

2.4

0.4

-0.3

-2.8

1.7

-0.8

0.5

-1.1

3.6

7.7

PATRÓN DECONFUSIÓN10 FRACC.

EFECT.10 FR.

x1

PATRÓN DECONFUSIÓN20 FRACC.

EFECT.20 FR.

x2

EFECTOS DISEÑO COMPLETO

1/2(x1+x2) 1/2(x1-x2)A+BCDEB+ACDEC+ABDED+ABCEE+ABCDAB+CDEAC+BDEAD+BCEAE+BCDBC+ADEBD+ACEBE+ACDCD+ABECE+ABDDE+ABC

I+1/2(ABCDE)

0.0-4.4-5.0 4.8-0.8 0.2-0.6-0.6 0.5-4.2 1.1-0.2 0.7-0.5 2.4 7.3

A-BCDEB-ACDEC-ABDED-ABCEE-ABCDAB-CDEAC-BDEAD-BCEAE-BCDBC-ADEBD-ACEBE-ACDCD-ABECE-ABDDE-ABC

I-1/2(ABCDE)

-0.4-4.6-7.0 3.2 1.4-0.2 2.4 0.4-0.3-2.8 1.7-0.8 0.5-1.1 3.6 7.7

A=-0.2B=-4.5C=-6.0D=4.0E=0.3

AB=0.0AC=0.9AD=-0.1AE=0.1BC=-3.5BD=1.4BE=-0.5CD=0.6CE=-0.8DE=3.0med=7.5

BCDE=0.2ACDE=0.1ABDE=1.0ABCE=0.8ABCD=-1.1CDE=0.2BDE=-1.5BCE=-0.5BCD=0.4ADE=-0.7ACE=-0.3ACD=0.3ABE=0.1ABD=0.3ABC=-0.6

1/2ABCDE=-0.2


8.4.3 Diseños saturados

Las medias fracciones son los diseños menos fraccionados. Veamos ahora el extremo opuesto, losdiseños lo más fraccionados posible. Se denominan saturados, ya que se obtienen mediante lasaturación de un completo 2k asignando a cada interacción una nueva variable, lo cual permite estudiar2k-1 variables. Son, por tanto, diseños de resolución III .

Ejemplos de diseños saturados son:> Permite estudiar 3 variables en 4 experimentos.> Permite estudiar 7 variables en 8 experimentos.> Permite estudiar 15 variables en 16 experimentos.

Resulta evidente que, si se intentase estudiar un mayor número de variables, los diseñosresultarían de resolución II . Esto es, confundirían los efectos principales entre ellos y, por tanto,resultarían de escasa o nula utilidad. Un ejemplo de diseño de resolución II es el del corredor de 100 mque se ha utilizado para introducir el concepto de confusión de los efectos.

Estos diseños también se llaman diseños de efectos principales, y resultan especialmente útilesen los estadios iniciales de una investigación, cuando lo que se desea es identificar las variables activas(screening), para posteriormente, y utilizando la estrategia secuencial, estimar sus efectos y averiguarla posible existencia de interacciones entre ellas.

Veamos con detalle un ejemplo de diseño .Un fabricante de tubos de escape tenía problemas en una operación de curvado y decidió llevar

a cabo una investigación para hallar mejores condiciones de funcionamiento. El objetivo era múltiple;sin embargo, nos centraremos en conseguir el diámetro del tubo deseado. La máquina era nueva, lo quemotivó que se identificasen como potencialmente importantes siete variables y que se conociese muypoco sobre ellas a priori. Además, se disponía de poco tiempo para experimentar.

Bajo estas condiciones un diseño saturado parecía idóneo. Las variables y niveles eran los dela tabla 8.13.

La matriz de diseño utilizada aparece en la tabla 8.14.Por supuesto los experimentos se llevaron a cabo en orden aleatorio y se tomaron diversas

precauciones para medir el diámetro. De hecho, se realizaron cinco tubos bajo cada condiciónexperimental (no constituyen auténticas réplicas) y la respuesta que se muestra es el promedio.

Nótese que, tras escribir un 23 completo, se asignó una nueva variable a cada una de lasinteracciones disponibles. Por tanto, este diseño tiene cuatro generadores que son:

D = AB E= AC F = BC G= ABC

175

ππ

23 1III−

27 4III

−

215III

−

27 4III

−


-1 1

ABCDEFG

Presi\n mordazaPresi\n seguidor

Velocidad seguidorVelocidad eje yVelocidad eje bVelocidad eje cAjuste utillaje

5045-5 7 7 7

2.2

6055+5 9 9 9

0.2

EXP.NÚM. A B C

ABD

ACE

BCF

ABCG

RESP.DIAM .

12345678

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

1-1-111

-1-11

1-11

-1-11

-11

11

-1-1-1-111

-111

-11

-1-11

34.646.348.644.949.734.046.549.0

Tabla 8.13 Variables y niveles. Ejemplo del curvadoTabla 8.14 Matriz de diseño 27-4. Ejemplo del curvado

Con lo que la relación de definición es:

I = ABD = ACE= BCF = ABCG(productos de dos) = BCDE= ACDF = CDG = ABEF= BEG= AFG(productos de tres) = DEF = ADEG= BDFG = CEFG(productos de cuatro) = ABCDEFG

La relación de definición, además de estar compuesta por los cuatro términos obtenidos a partirde los generadores, está compuesta por sus productos dos a dos, tres a tres, etc. Resulta evidente queestos productos tambien proporcionan columnas sólo de masas y que, por lo tanto, forman parte de larelación de definición.

En general, un diseño 2k-p tiene p generadores y 2p términos en la relación de definición(incluyendo la I). Si no se incluye tiene 2p-1 términos.

Una vez se tiene la relación de definición se puede calcular el patrón de confusión, de formaanáloga a cómo se hizo anteriormente. La única diferencia es que ahora cada efecto estará confundidocon 15 efectos más, cosa perfectamente razonable, ya que en 27 se pueden estimar 128 efectos; si sólorealizamos los ocho experimentos correspondientes a un 27-4, sólo podemos estimar ocho efectos y, portanto, cada uno de ellos tiene que estimar 128/8 = 16, es decir, cada efecto tiene que estar confundidocon otros 15. En este caso el patrón de confusión es:

A + BD + CE + ABCF+ BCG+ ABCDE+ CDF + ACDG+ BEF + ABEG+ FG + ADEF +DEG + ABDFG+ ACEFG+ BCDEFG

B + AD + ABCE+ CF + ACG+ CDE + ABCDF+ BCDG+ AEF + EG + ABFG + BDEF +ABDEG+ DFG + BCEFG+ ACDEFG

C + ...

Como se ve, el patrón de confusión es, en los diseños altamente fraccionados, tedioso decalcular y escasamente informativo. Por ello, cuando el número de confusiones es muy elevado, sesuele utilizar el patrón de confusión restringido, en el que sólo se representan los efectos principales ylas interacciones de dos factores. En este caso es:

A + BD + CE + FGB + AD + CF + EGC + AE + BF + DGD + AB + CG + EFE + AC + BG + DFF + BC + AG + DEG + CD + BE + AF

En el ejemplo del tintado de fibras, los efectos se calcularon utilizando el algoritmo de lossignos. Para calcular los efectos en diseños fraccionales utilizando el algoritmo de Yates, se debeproceder como si el diseño fuese el completo correspondiente al número de experimentos realizados ya continuación utilizar el patrón de confusión para identificar los efectos estimados. La tabla 8.15muestra la utilización del algoritmo de Yates en el ejemplo de la operación de curvado.

Representando los efectos en papel probabilístico normal, se obtiene la figura 8.3.Nótese que a la vista de los efectos (con sus confusiones) que han resultado significativos, y

teniendo en cuenta que es extremadamente raro que la interacción entre dos factores sea significativasin serlo el efecto principal de ninguna de ellas, hay cuatro interpretaciones posibles:


176

ππ


> Los efectos activos son: B, E y G.> Los efectos activos son: B, E y BE.> Los efectos activos son: E, G y EG.> Los efectos activos son: B, G y BG.

Si los conocimientos previos sobre elproceso no permiten quedarse con una deellas, se habrán de realizar más experi-mentos (estrategia secuencial) para aclararla situación. En la sección 8.7 se discutenlos posibles caminos a seguir.

Nótese que este diseño ha permitidoreducir el número de variables de las sieteiniciales a tres, es decir, ha servido pararealizar un screening.

8.4.4 Diseños intermedios

Entre las medias fracciones y los diseños saturados, existe toda una gama intermedia de diseños, quepermiten realizar menos experimentos que las medias fracciones y con confusiones más favorables quelos diseños saturados. Así, entre el 27-1 y el 27-4 existen el 27-2 y el 27-3.

El procedimiento a seguir para su construcción es el mismo: escribir el diseño completocorrespondiente al número de experimentos que se desea realizar y asignar los factores restantes a lasinteracciones.

El problema con los diseños intermedios es que no siempre es evidente a qué interacciones hayque asignar los factores restantes para obtener diseños de máxima resolución (que son los que tienenun patrón de confusión más favorable). El criterio, intuitivamente razonable, de asignarlos a lasinteracciones de mayor orden disponibles no suele proporcionar el mejor diseño.

Veamos un ejemplo. Supóngase que se desea estudiar los efectos de siete variables, pero que enun primer experimento (estrategia secuencial) sólo se está dispuesto a realizar 16 experimentos.

Ello implica realizar un diseño 27-3. Para construirlo se parte de un diseño completo 24 y seasignan los tres factores restantes a interacciones.

177

ππ

A B C RESP. (1) (2) (3) EFEC. EST. PATR. CONF.

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

1

34.6

46.3

48.6

44.9

49.7

34.0

46.5

49.0

80.9

93.5

83.7

95.5

11.7

-3.7

-15.7

2.5

174.4

179.2

8.0

-13.2

12.6

11.8

-15.4

18.2

353.6

-5.2

24.4

2.8

4.8

-21.2

-0.8

33.6

44.2

-1.3

6.1

0.7

1.2

-5.3

-0.2

8.4

med

A

B

AB

C

AC

BC

ABC

media

A+BD+CE+FG

B+AD+CF+EG

D+AB+CG+EF

C+AE+BF+DG

E+AC+BG+DF

F+BC+AG+DE

G+CD+BE+AF

Tabla 8.15 Cálculo de los efectos. Algoritmo de Yates. Ejemplo del curvado

20 10 0-10

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Efectos

G+CD+BE+AF

B+AD+CF+EG

E+BC+AG+DE

Por

cent

aje

Fig. 8.3 Efectos en papel probabilístico normal. Ejemplo del curvado

En la tabla 8.16 aparece la matriz de diseño completa correspondiente al 24 y dos posiblesasignaciones.

Tabla 8.16 Matriz de diseño completa de un 24 con dos posibles asignaciones para construir un 27-3

Un posible conjunto de generadores sería, siguiendo el criterio de utilizar las interacciones demayor orden disponibles (primera asignación):

E = ABCD F= ABC G= BCD

Con lo que la relación de definición sería:

I = ABCDE= ABCF= BCDG= DEF = AEG= ADFG= BCEFG

Y por lo tanto el diseño resultante es un .Mientras que, en la segunda asignación (nótese que en este caso no se utiliza la interacción de

cuarto orden), los generadores son:

E = ABC F= BCD G= ACD

La relación de definición resultante es:

I = ABCE= BCDF = ACDG= ADEF = BDEG= ABFG= CEFG

Y, en consecuencia, proporcionan un diseño .Por supuesto, para llevar a cabo el experimento sólo son necesarias las columnas

correspondientes a los factores, esto es, las correspondientes a A, B, C, D, E, F y G.En la sección 8.6 se proporcionan tablas para facilitar la construcción de diseños fraccionales

de máxima resolución.


178

ππ

PRIMERA ASIGNACIÓN F G E

SEGUNDA ASIGNACIÓN E G F

EXP. A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516

-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1

-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1 1

-1-1-1-1 1 1 1 1-1-1-1-1 1 1 1 1

-1-1-1-1-1-1-1-1 1 1 1 1 1 1 1 1

1-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1 1-1-1 1

1-1 1-1-1 1-1 1 1-1 1-1-1 1-1 1

1-1 1-1 1-1 1-1-1 1-1 1-1 1-1 1

1 1-1-1-1-1 1 1 1 1-1-1-1-1 1 1

1 1-1-1 1 1-1-1-1-1 1 1-1-1 1 1

1 1 1 1-1-1-1-1-1-1-1-1 1 1 1 1

-1 1 1-1-1 1 1-1 1-1-1 1 1-1-1 1

-1 1 1-1-1 1 1-1 1-1-1 1 1-1-1 1

-1 1-1 1 1-1 1-1 1-1 1-1-1 1-1 1

-1-1 1 1 1 1-1-1 1 1-1-1-1-1 1 1

1-1-1 1-1 1 1-1-1 1 1-1 1-1-1 1

27 3IV

−

27 3III

−


8.5 Bloqueo

En la sección 7.8 se introducía la utilidad de bloquear los diseños factoriales completos, cuando sesospechaba que las condiciones bajo las que se iban a llevar a cabo los diferentes experimentos no eranhomogéneas. Se comentaba que en la industria el motivo más frecuente para recurrir al bloqueo era eltener que llevar a cabo los experimentos a lo largo de un período dilatado de tiempo, pero que otrosmotivos frecuentes eran cambios de turno, de operario, de materia prima, etc. Lógicamente, lo mismosucede con los fraccionales.

Como ya se vio en los capítulos 5 y 6, bloquear resulta de utilidad cuando el efecto que provocala falta de homogeneidad en las condiciones de realización del experimento es aditivo. Es decir, noprovoca cambios en los efectos del resto de factores ni interacciona con ellos. Sólo provoca un cambioen el nivel de la respuesta, que se traduce en un cambio de nivel en la media.

¿Cómo se bloquea un diseño factorial? Para construir diseños en bloques se utiliza el mismoprincipio que para construir diseños fraccionales. Confundir el efecto del bloque con algunainteracción, a ser posible, de las consideradas despreciables a priori.

8.5.1 Bloqueo de factoriales completos

Veamos qué ocurre (tabla 8.17) cuando un diseño 23 se divide en dos bloques, confundiendo el efectodel bloque con la interacción de tres factores.

Designamos a los factores de bloqueo mediante números para distinguirlos de las variables delexperimento, que siempre hemos designado mediante letras mayúsculas.

Nótese que todos los experimentos del bloque I corresponden a los signos menos de lainteracción ABCy todos los del bloque II a los signos más. La figura 8.4 muestra la situación.

En la figura 8.4, los experimentos enmarcados en un círculo corresponden al bloqueI y losnormales (dentro de un cuadrado) al bloque II . Obsérvese que en cada cara del cubo hay dosexperimentos de cada bloque, con lo que al calcular los efectos principales -diferencias entre lasmedias de las caras- el efecto bloque queda compensado. Lo mismo ocurre con las interacciones de dosfactores. Esta propiedad -que no es más que una consecuencia de la ortogonalidad- se puede observartambién en la tabla 8.17, imaginando que se va a aplicar el algoritmo de los signos.

Por el contrario, la interacción de tres factores estará confundida con el efecto bloque, ya que eldiseño se ha construido precisamente a partir de esa confusión. De hecho, el generador del diseño es:

179

ππ

NÚM FACTORES 1

EXP. A B C AB AC BC ABC BLOQUE

12345678

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

1-1-111

-1-11

1-11

-1-11

-11

11

-1-1-1-111

-111

-11

-1-11

IIIIIIIIIIII

Tabla 8.17 Matriz de diseño de un 23 dividido en dos bloquesFig. 8.4 Representación gráfica de un diseño 23 endos bloques de cuatro experimentos cada uno

lmarco

Typewritten Text

Tot i que aquesta és una idea important, els dissenys factorials amb blocs els deixem fora de l'abast d'aquest curs

1 = ABCy la relación de definición es:

I = ABC1

Con lo que el patrón de confusión resultante es el que aparece en la tabla 8.18.

Tabla 8.18 Patrón de confusión de un 23 dividido en dos bloques

Como quiera que ya se ha comentado que los factores de bloqueo no interaccionan con lasvariables del experimento (esas interacciones son cero), el único efecto confundido es el de lainteracción ABC. En lo sucesivo, escribiremos directamente el patrón de confusión sin incluir esasinteracciones.

8.5.2 Ejemplo de proceso químico

Imaginemos que se lleva a cabo un experimento 23 con las variables siguientes y que la respuesta es lacantidad obtenida.

Supóngase, además, que el experimento se debe realizaren dos días distintos para no interferir en las necesidades de laproducción. Como se sospecha que esto puede influir en elresultado del experimento, se decide llevar a cabo el experimento

en dos bloques. El orden de experimentación dentrode cada bloque se decide aleatoriamente.

Los resultados del experimento, presentadosen el orden de realización, aparecen en la tabla 8.19.

Calculando los efectos, se puede utilizarindistintamente el algoritmo de los signos o el deYates sin más requisito que tener en cuenta lasconfusiones. Se obtiene:

media = 43.5 AB = 1.0A = 9.0 AC = 1.0B = -1.0 BC = 3.0C = -6.0 ABC + 1 = 6.0

Representados en papel probabilístico resultala figura 8.5.


180

ππ

PATRÓN DE CONFUSIÓN INCLUIDAS

INTERACCIONES DE FACTOR DE BLOQUE

PATRÓN DE CONFUSIÓN DEL 23

EN 2 BLQ. DE 4 EXPERIM.

media + ABC1A + BC1B + AC1C + AB1AB + C1AC + B1BC + A1ABC + 1

mediaABC

ABACBC

ABC + 1

CÓDIGO VARIABLE

ABC

TemperaturaConcentraci\n

Velocidad agitaci\n

BLOQUENÚM.STD A B C RESP.

I6417

11

-1-1

-11

-11

1-1-11

41464233

II5382

-1-111

-111

-1

1-11

-1

38435055

Tabla 8.19 Matriz de diseño y respuesta. Ejemplo delproceso químico


Con lo que resulta que los efectossignificativos son el A, el C y la interacciónABCconfundida con el efecto bloque. Supo-niendo la interacción de tercer orden despre-ciable, diremos que el efecto bloque es 6, esdecir, que la respuesta en los cuatro expe-rimentos del primer bloque ha sido unifor-memente seis unidades más alta que en loscuatro del segundo bloque.

¿Qué hubiese ocurrido en este expe-rimento si no se hubiese bloqueado?

La tabla 8.20 muestra la respuesta quese hubiese obtenido, en orden estándar, si losocho experimentos se hubiesen podido rea-lizar el primer día.

Nótese que tanto las respuestas de latabla 8.19 como las de la tabla 8.21 se corres-ponden con éstas (tabla 8.20), para lo quebasta añadir 6 (el efecto bloque) a lascorrespondientes a experimentos realizados el segundo día. Por supuesto, el efecto bloque también estasometido a variabilidad, y en la práctica nunca será un valor constante.

La tabla 8.21 muestra los resultados obtenidos, en el orden de realización de los experimentos,al realizar el experimento en dos días diferentes y sin bloquear.

Con lo que los efectos resultan:

media = 43.5 AB = 1.0A = 9.0 AC = 1.0B = -1.0 BC = 9.0C = -6.0 ABC = 0.0

Que representados en papel probabilístico normal proporcionan la figura 8.6.

181

ππ

10 0-10

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Efectos

A

ABC + 1

C

Porcentaje

Fig. 8.5 Efectos en papel probabilístico normal. Ejemplo delproceso químico

NÚM.STD A B C RESP.

12345678

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

4249374632413344

Tabla 8.20 Matriz de diseño y respuesta si todos losexperimentos se hubiesen realizado el primer día. Ejemplodel proceso químico

NÚM.STD A B C RESP. DÍA

46538127

11

-1-11

-11

-1

1-1-111

-1-11

-111

-11

-1-11

4641323750485539

11112222

Tabla 8.21 Matriz de diseño y respuesta, experimentosrealizados en días diferentes, sin bloquear. Ejemplo delproceso químico

Fig. 8.6 Efectos en papel probabilístico normal. Ejemplo químico realizado en dos días diferentes sin bloquear

Con lo que se hubiese llegado a la errónea conclusión de que los efectos significativos son el A,el C y el BC.

8.5.3 Factoriales completos divididos en más de dos bloques

Si el experimento anterior se hubiese tenido que llevar a cabo en cuatro días en lugar de dos, el diseñose hubiese tenido que dividir en cuatro bloques de dos experimentos cada uno. Veamos cómo hacerlo.

Para ello habrá que introducir dos generadores de bloque (en general para coseguir 2k bloquesse requieren k generadores de bloque):

1 = AB2 = AC

Con lo que la matriz de diseño será la de tabla 8.22.El criterio utilizado para asignar experi-

mentos a bloques es que aquellos que tienen losmismos signos en los dos generadores de bloquequedan incluidos en el mismo bloque.

Con estos generadores de bloques, larelación de definición queda:

I = AB1 = AC2 = BC12

Y, por tanto, el patrón de confusión es:

media AB + 1A AC+ 2B BC+ 12C ABC


182

ππ

15 10 5 0 -5-10-15

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

Efectos

Porcentaje

A

BC

C

EXP. FACTORES 1 2 BLOQUE

NÚM. A B C AB AC

12345678

-11

-11

-11

-11

-1-111

-1-111

-1-1-1-11111

1-1-111

-1-11

1-11

-1-11

-11

IIIIIIIVIVIIIIII

Tabla 8.22 Matriz de diseño de un 23 en cuatro bloques de dosexperimentos (un factor de bloqueo)


Hay varios aspectos destacables en este patrón de confusión:En primer lugar que la interacción BC aparece confundida con 12, cuando se ha dicho que los

bloques no interaccionaban. La explicación es simple: entre los cuatro bloques definidos hay tresgrados de libertad (análogamente, en el caso anterior entre los dos bloques definidos había un grado delibertad) y, por tanto, se requieren tres columnas para poder estimar sus efectos. Por tanto, 12 no defineuna interacción entre bloques, sino que define un factor de bloqueo exactamente con las mismasimplicaciones que el factor 1 o el factor 2.

Por otra parte, se requiere que la interacción ABCno esté confundida con ningún efecto bloque.Dejamos al lector que averigüe las consecuencias de utilizar la interacción triple como generador debloque. En este caso resulta sencillo hallar los generadores más apropiados, pero en general puede serun problema complejo; por ello en la sección 8.6 se proporcionan tablas (tabla 8.25) para facilitar elbloqueo.

El diseño construido es de resoluciónIII , ya que las interacciones de dos están confundidas conefectos de un sólo “factor”, aunque en este caso sea de bloqueo. La resolución de los diseñosbloqueados es, como en los fraccionales, lalongitud del término más corto de la relación dedefinición, con la única consideración de que enlos términos con interacciones entre factores debloqueo, éstas cuentan como un solo factor. Así, eltérmino AC12 tiene longitud tres.

El diseño que acabamos de comentar sirvepara acomodar un factor (día de realización delexperimento) de bloqueo con cuatro niveles(cuatro días diferentes). O bien, para acomodar dosfactores de bloqueo (día de realización deexperimento y operario), cada uno de ellos a dosniveles (dos días distintos, 1 y 2, y dos operarios,A y B). La tabla 8.23 muestra cómo hacerlo.

8.5.4 Fraccionales divididos en bloques

Hasta ahora hemos bloquedo diseños factoriales completos. La técnica es igualmente útil para bloqueardiseños factoriales fraccionales.

Cosidérese el caso en el que se desean estudiar 6 variables en cuatro bloques y solamentedieciséis experimentos. Lo que se requiere es un diseño 26-2 divido en cuatro bloques. Los generadores,que se pueden hallar en la tabla de la sección 8.6, son:

E = ABCF = BCD1 = ACD2 = ABD

Se requieren dos generadores para el fraccional y dos para los bloques. Estos generadores sepodrían haber hallado por tanteo -lamentablemente no hay ninguna regla que permita hallarlos deforma sencilla-, pero hubiese resultado tedioso.

En la tabla 8.24 aparece la matriz de diseño, ya dividida en bloques.

183

ππ

EXP. FACTORES 1 2 BLOQUE DÍA OPER.

NÚM. A B C AB AC

18273645

-111

-1-111

-1

-11

-111

-11

-1

-11

-11

-11

-11

11

-1-1-1-111

11

-1-111

-1-1

IIIIIIIIIIIIIVIV

1

2

1

2

A

A

B

B

Tabla 8.23 Matriz de diseño de un 23 en cuatro bloques dedos experimentos (dos factores de bloqueo)

Tabla 8.24 Matriz de diseño de un 26-2 en cuatro bloques de cuatro experimentos

La relación de definición es:

I =ABCE=BCDF=ACD1=ABD2=ADEF=BDE1=CDE2=ABF1=ACF2=BC12=CEF2=BEF2=AE12=DF12 =ABCDEF

Aparentemente el diseño es de resolución IV,pero recuérdese que 12 es de longitud uno y, por tanto,los términos en los que aparece son de longitud tres,por lo que el diseño es de resolución III .

El patrón de confusión que proporciona es:

Como se ve, las confusiones no están repartidas uniformemente. En otros diseños ladistribución puede ser mucho más irregular, por lo que, al asignar las variables del experimento a lascolumnas de la matriz de diseño, es conveniente tener presente el patrón de confusión, y realizar laasignación de manera que aquellos efectos que a priori parezcan más importantes les correspondanconfusiones más favorables.

Hallar los generadores que proporcionan diseños fraccionales bloqueados con máximaresolución no es tarea sencilla, ya que desgraciadamente no existe una regla y se han de hallar portanteo. Por ello la tabla 8.25 de la sección siguiente proporciona los generadores para los diseños máscomúnmente utilizados.

8.6 Tablas de diseños fraccionales

En esta sección presentamos una tabla (tabla 8.25a y 8.25b) que proporciona los generadores para todoslos diseños factoriales, completos o fraccionales y bloqueados o no, que implican la realización de 8 ó16 experimentos. Se han omitido de la tabla los diseños compuestos por cuatro experimentos, tanto por


184

ππ

NÚM. ABC BCD ACD ABD BLOQUE

STD A B C D E F 1 2181015

-1 1 1-1

-1 1-1 1

-1 1-1 1

-1-1 1 1

-1 1 1-1

-1-1 1 1

-1-1-1-1

-1-1-1-1

I

361213

-1 1 1-1

1-1 1-1

-1 1-1 1

-1-1 1 1

1-1-1 1

1 1-1-1

-1-1-1-1

1 1 1 1

II

451114

1-1-1 1

1-1 1-1

-1 1-1 1

-1-1 1 1

-1 1 1-1

1 1-1-1

1 1 1 1

-1-1-1-1

III

27916

1-1-1 1

-1 1-1 1

-1 1-1 1

-1-1 1 1

1-1-1 1

-1-1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

IV

CONFUNDIDO CON

INTERACCIONES DE 3 O MÁS

CONFUSIONES

MÁS SERIAS

mediaABCDEF12

AB + CEAC + BE

BC + AE + DF + 12AD + EFBD + CFCD + BFAF + DE

lmarco

Typewritten Text

Quan el disseny es fa amb Minitab, el programa ja proposa la matriu de disseny amb els generadors que ens donen la màxima resolució, pel que no cal fer servir aquestes taules.


razones de espacio como de sencillez de construcción. Los diseños con 32 experimentos requerirían unatabla de gran tamaño, cuya inclusión no consideramos justificada dado lo infrecuente de su utilización.

La tabla proporciona un único conjunto de generadores. Obviamente se pueden utilizar lasreglas comentadas en el apartado 8.7 (a continuación) para, cambiando los signos de los generadores,obtener fracciones complementarias.

Los generadores que aparecen son aquellos que proporcionan diseños con máxima resolución.Incluso, en los casos en que para un diseño se pueden encontrar varios conjuntos de generadores queproducen la misma resolución, el conjunto suministrado es el que proporciona un patrón de confusiónmás favorable. De tal manera que en muchas ocasiones, se pueden hallar conjuntos de generadores queproducen patrones de confusión del mismo tipo que el conjunto proporcionado, pero nunca mejor.

Tabla 8.25a Diseños factoriales, completos y fraccionales, bloqueados y sin bloquear. Hasta siete factores con ocho y 16experimentos

185

ππ

NÚM. DE EXPERIMENTOS

NÚM. 8 16

FACT. SIN

BLQ

2 BLQ de

4 EXP.

4 BLQ de

2 EXP.

SIN

BLQ

2 BLQ de

8 EXP.

4 BLQ de 4EXP.

8 BLQ de

2 EXP.

3 23

1=ABC 1=AB2=AC

4

D=ABC D=ABC1=AB

D=ABC1=AB2=AC 1=ABCD

1=ABC2=BCD

1=AB2=BD3=BC

5

D=ABE=AC

D=ABE=AC1=BC E=ABCD

E=ABC1=BCD

E=ABC1=BCD2=ACD

E=ABC1=AB2=BD3=BC

6

D=ABE=ACF=BC

D=ABE=ACF=BC

1=ABCE=ABCF=BCD

E=ABCF=BCD1=ACD

E=ABCF=BCD1=ACD2=ABD

E=ABCF=BCD1=AB2=BD3=BC

7

D=ABE=ACF=BC

G=ABC

E=ABCF=BCDG=ACD

E=ABCF=BCDG=ACD1=ABD

E=ABCF=BCDG=ACD1=AB2=BD

E=ABCF=BCDG=ACD1=AB2=BD3=BC

23IV 23

IV

24 1IV

− 24 1III

− 24 1II

−

25 2III

− 25 2III

− 25 1V

−

24V

25 1IV

− 25 1III

−

24IV 24

III

25 1III

−

26 2III

−26 2III

−26 2IV

−26 2IV

−26 3III

− 26 3III

−

27 4III

− 27 3IV

− 27 3IV

− 27 3III

− 27 3III

−


186

ππ

NÚM. 16 EXPERIMENTOS

FACT. SIN BLQ 2 BLQ de 8 EXP. 4 BLQ de 4 EXP. 8 BLQ de 2EXP.

8

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABD

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABD1=ABCD


2=BC


2=AB3=AC

9

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCD


1=AB


1=AB2=AC

10

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=AB

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=AB1=AC

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=AB1=AC2=AD

11

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=AC

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACI=AD

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABK=ACL=ACL=AD1=BC2=BD

12

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=AD

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=AD1=BC

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=AD1=BC2=BD

Tabla 8.25b Diseños factoriales,completos y fraccionales, bloque-ados y sin bloquear. De ocho a 12factores con 16 experimentos

28 4IV− 28 4

III− 28 4

III−

28 4III−

29 5III

−29 5III

−29 5III

−

210 6III

− 210 6III

− 210 6III

−

211 7III

− 211 7III

− 211 7III

−

212 8III

− 212 8III

− 212 8III

−


En la tabla 8.25 aparece, además, laresolución del diseño, lo que permite preverel tipo de confusiones que proporciona undiseño determinado. Este hecho es de granimportancia, ya que entonces se puededecidir si es conveniente cambiar el númerode factores (añadir o suprimir alguno), elnúmero de bloques, o incluso si es posibledisminuir el número de experimentos oconviene aumentarlo, para conseguir el tipode confusión deseada.

8.7 Estrategia secuencial utilizando diseños fraccionales

Los diseños fraccionales permiten explotar al máximo la estrategia secuencial en la experimentacióny, en muchas ocasiones, conseguir la información deseada con un menor número de experimentos

La idea de comenzar una investigación realizando un número de experimentos del orden del40% del total disponible, adquiere especial relevancia cuando se conocen y utilizan los diseñosfraccionales. Ahora bien, la utilización de esta estrategia plantea la necesidad de saber, a la vista de lasconclusiones extraídas en un primer experimento, cuál es el siguiente experimento a realizar, de formaque dé respuesta a las cuestiones que hayan quedado pendientes y se aprovechen los concimientosadquiridos en el primero.

En esta sección comentamos una serie de cuestiones que, además de poder resultar de utilidadal aplicar la estrategia secuencial, contribuirán, sin duda, a desarrollar una mejor comprensión de lostemas ya tratados.

Antes, sin embargo, queremos dejar constancia de que los caminos a seguir en una investigaciónson múltiples y no hay ninguno que a priori se pueda considerar el mejor. Con frecuencia, sólo alconcluir la investigación se puede afirmar cuál hubiese sido el camino que, con menor esfuerzo, noshubiera conducido a las conclusiones correctas. Ésta es precisamente la justificación para la utilizaciónde la estrategia secuencial poder corregir el camino a medida que se avanza por él. Es por ello que lo

187

ππ

13 FACTORES 14 FACTORES 15 FACTORES

SIN

BLQ

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=ADN=BC

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=ADN=BCO=BD

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=ADN=BCO=BDP=CD

2BLQ

de8

EXP.

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=ADN=BC1=BD

E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=ACM=ADN=BCO=BD1=CD

Tabla 8.25c Diseños factoriales, completos y fraccionales,bloqueados y sin bloquear. De 13 a 15 factores con 16 experimentos

214 10III

−213 9III

− 215 10III

−

213 9III

− 214 10III

−

comentado en esta sección son cuestiones que pueden resultar de utilidad, pero que en ningún casopueden reemplazar la creatividad y los conocimientos sobre el sistema estudiado por el investigador.

8.7.1 Advertencias

Los métodos y técnicas que se exponen a continuación están basados en la idea de que el investigadorutilizará las mismas variables a los mismos niveles en la fracción añadida y en la original. Obviamenteesto no tiene por qué ser así. Es más, en la mayoría de ocasiones, el análisis de los resultados del primerexperimento permitirá descartar alguna variable, aconsejará cambiar los niveles de otras, o señalaránla necesidad de incluir alguna nueva variable que inicialmente no se tuvo en cuenta. Cuando sea así,se pueden analizar los resultados de cada experimento por separado y luego extraer conclusionesconjuntas de todos ellos, pero si se deseasen analizar los resultados de todos los experimentosconjuntamente, la forma de proceder es recurrir a la regresión lineal (método que queda excluido delámbito de este libro).

Siempre que, utilizando la estrategia secuencial, se realizen experimentos con el mismo sistemade forma consecutiva, hay que tener en cuenta la posibilidad de que entre el primer y el segundoexperimento se hayan producido cambios en el sistema, quizá no detectados por el investigador, peroque afecten a la respuesta. En otras palabras, hay que tener en cuenta la posible existencia de un efectobloque entre el primer y el segundo experimento.

8.7.2 Fracciones complementarias

En el ejemplo del tintado de fibras se vio que, combinando las dos medias fracciones (25-1), seconseguía reproducir el diseño 25 completo. Y se comentó una manera fácil de obtener la mediafracción complementaria: cambiar de signo el generador. Esto es siempre posible, aun cuando losdiseños sean mucho más fraccionados. El procedimiento es sencillo: basta con cambiar de signo losgeneradores del diseño fraccional original para obtener nuevas fracciones de la misma familia.

Según la notación empleada, un diseño 2k-p es una fracción 1/2p del diseño completo y suconstrucción requiere p generadores. Pues bien, para generar las 2p fracciones que unidas reconstruyenel diseño completo, basta con considerar que cada uno de los p generadores se puede escribir con signo+ y con signo -, y escribir los 2p conjuntos de p generadores resultado de combinar los signos.

Veamos un ejemplo. Supongamos que tras realizar un 26-3 (los ocho experimentos de este diseñorepresentan 1/8 de los 64 experimentos del diseño completo)con generadores:

D = ABE = ACF = BC

obtenidos a partir de la tabla 8.25, se desea añadir ochoexperimentos más (una nueva fracción 26-3), de tal maneraque juntas proporcionen un diseño 26-2. Además de lafracción realizada inicialmente, hay otras siete fraccionesque representan un octavo del diseño completo. En la tabla8.26 aparecen los generadores que permiten construirlas.Considerando conjuntamente los ocho diseños queproporciona la tabla 8.26 se obtendría un 26 completo.


188

ππ

FRACCIÓN GENERADORES

12345678

D=ABD=-ABD=ABD=ABD=-ABD=-ABD=ABD=-AB

E=ACE=ACE=-ACE=ACE=-ACE=ACE=-ACE=-AC

F=BCF=BCF=BCF=-BCF=BCF=-BCF=-BCF=-BC

Tabla 8.26 Los ocho conjuntos de tres gene-radores que proporcionan diseños 26-3


Con cualquier conjunto de generadores de los que aparecen en la tabla 8.26 conseguiríamosnuestro propósito. Consideremos el de la fracción número 5. ¿Cúal sería la relación de definición deldiseño 26-2 resultante?

La relación de definición de la primera fracción es:

I = ABD = ACE= BCF = BCDE= ACDF = ABEF= DEF

La de la segunda fracción es:

I = -ABD = -ACE= BCF = BCDE= -ACDF = -ABEF= DEF

Para obtener la del diseño combinado, no hay más que recordar que cada término de la relaciónde definición significa que, multiplicando los signos de las columnas de cada una de las letras que locompone, se obtiene una nueva columna sólo con signos más. Resulta entonces evidente que larelación de definición del disño 26-2 obtenido será:

I = BCF = BCDE= DEF

Es decir, estará compuesta por aquellos términos que tengan el mismo signo en las relacionesde definición de las dos fracciones.

El diseño 26-2 obtenido es, pues, de resolución III , mientras que, si se hubiese planificado deentrada un 26-2 se hubiese podido escoger de resolución IV. Aunque no siempre, en muchas ocasiones éstees el precio que se paga por el hecho de utilizar la estrategia secuencial. A cambio, no hay que olvidarque la segunda fracción la hemos escogido entre siete posibles, y que cada una de ellas proporciona parael diseño combinado una relación de definición diferente y, por tanto, un patrón de confusión diferente.Como la elección se realiza sabiendo los resultados de la primera fracción, siempre se puede añadir unasegunda que proporcione un patrón de confusión conjunto para aclarar los puntos conflictivos.

Cuando se desea añadir una fracción para clarificar confusiones entre los efectos significativosdetectados en una primera fracción, hay unas reglas que pueden resultar de utilidad.

En los diseños de resolución III , al añadir una nueva fracción obtenida de la siguiente forma: > Multiplicando por -1 (cambiar de signo) los signos de una columna correspondiente a una

variable, se obtiene un diseño combinado en el que esa variable y todas las interacciones de dosen las que esté involucrada están confundidas con interacciones de orden superior.Ejemplo: Considérese el caso del curvado , en el que los generadores eran:D = AB, E = AC, F = BC y G = ABCy la relación de definición:

I = ABD = ACE= BCF = ABCG= BCDE= ACDF = CDG = ABEF= BEG= AFG= DEF = ADEG= BDFG = CEFG= ABCDEFG

que proporciona el patrón de confusión restringido:

A + BD + CE + FG* B + AD + CF + EG

C + AE + BF + DGD + AB + CG + EF

* E + AC + BG + DFF + BC + AG + DE

* G + CD + BE + AF

189

ππ

27 4III

−

Se han marcado con un asterisco los que resultan significativos. A la vista de esto, lasinterpretaciones posibles son:

- Los efectos activos son: B, E y G.- Los efectos activos son: B, E y BE.- Los efectos activos son: E, G y EG.- Los efectos activos son: B, G y BG.

Para aclarar la situación se podría llevar a cabo una nueva fracción 27-4, cambiando los signosde alguno de los tres efectos principales (B, E o G). Supongamos que cambiamos los de B. Losgeneradores de la nueva fracción serían D = -AB, E = AC, F = -BC y G = -ABC, y la relaciónde definición conjunta de las dos fracciones (obtenida tomando sólo aquellos términos quetengan el mismo signo en las dos fracciones):

I = ACE= ACDF = CDG = AFG = DEF = ADEG= CEFG

que proporciona el siguiente patrón de confusión restringido (nótese que sólo aparecen 14efectos. De los dos restantes, uno estima la media y sus confusiones, y el otro interacciones deorden superior):

A + CE + FG ABB AD + CF + EGC + AE + DG BCD + CG + EF BDE + AC + DF BEF + AG + DE BFG + CD + AF BG

Obsérvese que se ha conseguido la propiedad deseada. Obsérvese también que, casi con todaseguridad, se solventarían los problemas de interpretación planteados en la primera fracción.> Multiplicando por -1 (cambiar de signo) los signos de todas las variables, se obtiene un diseño

combinado de resolución IV. Es decir, un diseño en el que los efectos principales sólo estánconfundidos con interacciones de orden tres o superior.Ejemplo: En el mismo caso del curvado, cambiando de signo todos los factores, la segundafracción tendría como generadores: D = -AB, E = -AC, F = -BC y G = ABC, y la relación dedefinición del diseño combinado sería, por tanto:

I = ABCG= BCDE= ACDF = ABEF= ADEG= BDFG = CEFG

Con lo que claramente el diseño combinado es de resolución IV y proporciona el siguientepatrón de confusión restringido (de nuevo aparecen únicamente catorce efectos, los dosrestantes estiman la media e interacciones de orden superior):

A AB+ CG + EFB AC+ BG + DFC AD + CF + EGD AE + BF + DGE BC+ AG + DEF BD + CE + FGG CD + BE + AF

También este diseño hubiese servido para aclarar las dudas planteadas tras el analisis delejemplo del curvado.


190

ππ


Como ya se ha comentado, estas reglas únicamente son aplicables a los diseños de resoluciónIII . En los diseños de resolución IV, las reglas son distintas. Al añadir una fracción de la siguienteforma:> Multiplicando por -1 (cambiar de signo) los signos de una columna correspondiente a una

variable, se obtiene un diseño combinado en el que todas las interacciones de dos en las que esavariable esté involucrada están confundidas con interacciones de orden superior.

> Si todos los términos de la relación de definición son de longitud cuatro, multiplicar por -1(cambiar de signo) los signos de todas las variables reproduce la fracción original y, por tanto,no tiene ninguna utilidad. Ahora bien, si en la relación de definición, además de terminos delongitud cuatro, hay términos más largos, entonces al cambiar de signo todas las columnas seobtiene un diseño combinado de resolución superior a IV. Es decir, un diseño en el que lasinteracciones de dos no están confundidas entre ellas.

8.7.3 Efecto bloque al añadir fracciones

Como ya se ha comentado, al añadir una segunda fracción hay que tener en cuenta la posible existenciade un efecto bloque entre el primer y el segundo experimento.

Considérese de nuevo el ejemplo del tintado. En la sección 8.2 se describe un primer diseño 25-1

y en la sección 8.4 se describe cómo se le añade la fracción complementaria (un nuevo 25-1).Recordando que para la estimación de la media utilizamos el símbolo I (la columna sólo con

+1), en la tabla 8.12 vemos que en las dos fracciones la media (I) está confundida con ABCDE. Peroen forma distinta, ya que en la primera fracción es I + ABCDEy en la segunda es I - ABCDE.

Si se piensa que puede haber un efecto bloque entre las dos fracciones, lo que en realidad seestá pensando es que las dos medias pueden ser diferentes. Llamemos I1 a la de la primera fracción yI2 a la de la segunda. Entonces la tabla 8.27 resume la situación y los efectos hallados (tomados de latabla 8.12).

El efecto bloque vendrá dado, en consecuencia, por la diferencia entre la media de la primerafracción I1 y la media de la segunda I2 (efecto bloque = I1 - I2 ). Nótese que estará confundido con lainteracción ABCDE, ya que al hacer la diferencia entre la estimación de la primera y la segundafracción obtenemos:

(I1 - I2) + 2(ABCDE) = -0.4

no pudiendo separar el efecto bloque de la interacción ABCDE.Por supuesto, si los diseños que se combinan están más fraccionados, el efecto bloque estará

confundido con más interacciones. Así, si consideramos el caso de combinar dos diseños 25-2,tendríamos la situación de la tabla 8.28.

191

ππ

FRACCIÓN PATRÓN DE CONFUSIÓN EFECTO

10

20

I1 + ABCDE

I2 - ABCDE

7.3

7.7

DISEÑO GENERADORES RELACIÓN DE DEFINICIÓN

1

2

25-2

25-2

D = AB, E = AC

D = AB, E =-AC

I1 = ABD = ACE = BCDE

I2 = ABD = -ACE = -BCDE

Tabla 8.27 Patrón de confusión (ejemplo del tintado)considerando un posible efecto bloque entre las dosfracciones

Tabla 8.28 Generadores y patrón de confusión de dos diseños 25-2

realizados secuencialmente

Y por tanto el efecto bloque (I1 - I2) estaría confundido con las interacciones ACEy BCDE. Dehecho la confusión vendría dada por:

(I1 - I2) + 2(ACE) + 2(BCDE)

8.7.4 Adición de experimentos para conseguir clarificaciones puntuales

En ocasiones, tras la realización de un diseño fraccional, no se desea ni añadir variables, ni cambiar losniveles, ni realizar una nueva fracción con todos los factores, sino realizar el mínimo de experimentosque permitan aclarar algún aspecto (en general una confusión) que haya quedado oscuro, o simplementeconfirmar frente a una confusión que el responsable de la significación es el efecto sospechado.Se ha comentado ya que cada experimento realizado supone un grado de libertad y permite, en

consecuencia, estimar un efecto. Ello significa que siúnicamente se desea eliminar la confusión entre dos efectos,con un experimento que permita estimar uno de ellos libre de laconfusión con el otro tendríamos suficiente para conseguirnuestro propósito. En la práctica necesitaremos dosexperimentos adicionales, ya que utilizaremos uno de losgrados de libertad para estimar un posible efecto bloque.

Consideremos de nuevo el ejemplo del curvado. Tras elanálisis se había hallado que los efectos significativos eran losde la tabla 8.30.

Si aceptamos la idea de que es muy difícil que lainteracción de dos factores sea significativa sin que lo sean los efectos principales de los factores quela componen (apéndice 8.2), la explicación más creíble -ya comentada en elapartado 8.4- es que losresponsables sean los factores B, E y G, o sus interacciones.

Frente a esta situación hay muchas maneras de proceder para resolver las dudas. Algunas deellas son:> Añadir una nueva fracción 27-3 como se ha comentado en este mismo apartado.> Experimentar con estas tres variables (23), manteniendo o no los niveles.> Experimentar con dos de estas tres variables, realizando un 22 completo.> Experimentar con estas tres variables más alguna nueva que haya podido surgir en el transcurso

de la investigación.> Añadir el mínimo número de experimentos que permitan clarificar la situación.

En cada caso el investigador deberá escoger entre estas y otras opciones aquella que mejor seadapte a sus necesidades.

Supongamos que en este caso la escogida es la última, sin que ello signifique que sea la mejoropción. De hecho, en este caso concreto, realizando un 22 completo con dos variables de las tresimplicadas, se obtiene el mismo número de experimentos y una mayor sencillez de análisis. De todasformas, el objetivo es describir un procedimiento que sea general y aplicable a muchas otrassituaciones.

Como se desean deshacer tres confusiones (B+EG, E+BG y G+BE), el mínimo número deexperimentos que permite clarificar la situación (permitiendo detectectar la posible existencia de unefecto bloque) es de cuatro. Se podrían haber deshecho todas las confusiones existentes entre losefectos significativos, pero esto hubiese requerido 10 experimentos.

Para escoger estos cuatro hay que tener en cuenta dos cuestiones:


192

ππ

PATRÓN DE CONFUSIÓN EFECTO

media

B+AD+CF+EG

E+AC+BG+DF

G+CD+BE+AF

44.2

6.1

-5.3

8.4

Tabla 8.30 Efectos significativos, con susconfusiones, en el ejemplo del curvado

lmarco

Typewritten Text

Veurem com afegir experiments puntuals per desconfondre també en un document addicional.


> Que los efectos que se desea desconfundir tengan signos (niveles) diferentes.> Que considerando la totalidad de experimentos (los ya realizados y los que se añaden), la matriz de

diseño sea lo más ortogonal posible.En general, no será ortogonal, peroalgunas elecciones proporcionancorrelaciones entre los coeficientesmenores (“matriz más ortogonal”)que otras (“matriz menos ortogonal”).Así, en el caso que nos ocupa, un

posible conjunto de cuatro experimentosque cumple la primera cuestión es el de latabla 8.31.

Nótese que las cuatro variables, A, C, D y F, que habían resultado inertes, se mantienenconstantes, en este caso al nivel alto. En general, se mantendrán a aquel nivel que resulte máseconómico o conveniente.

También conviene destacar que no debe preocupar el hecho de que, en los experimentosañadidos, haya confusiones entre los efectos. Como el número que se añade suele ser muy pequeño,este hecho es inevitable. A este respecto, lo único importante es que las columnas correspondientes alos efectos entre los que se desea eliminar la confusión tengan signos distintos. En la tabla 8.31 resultafácil comprobar que esto ocurre y que, por supuesto, los signos de BE, BG y EG se han obtenidomultiplicando convenientemente los de B, E y G.

Sin embargo, es posible añadir cuatro experimentos que permiten estimar los efectos de interéscon menor correlación entre ellos. En la tabla 8.32 aparecen estos cuatro experimentos.

Tabla 8.32 Cuatro experimentos adicionales que producen estimaciones poco correlacionadas. Caso del curvado

La correlación entre B y EG, E y BG, y G y BE es menor, ya que en los cuatro experimentosañadidos los signos de estas tres parejas de columnas (que en los ocho experimentos iniciales eranexactamente iguales) son totalmente contrarios. No siempre es posible conseguirlo completamente,pero conviene tener en cuenta que las columnas entre las que se desea eliminar la confusión tengan elmáximo número de signos opuestos en los experimentos añadidos.

En la tabla 8.32 aparece, además, la respuesta correspondiente a los cuatro experimentos que,por ser más ortogonales, se realizaron. El problema que surge es cómo incorporarlos a los ochoanteriores para obtener una estimación de los efectos de interés. Esto se puede conseguir siempre (sibien en aquellos casos en que la correlación entre los efectos sea muy elevada, se pueden plantearproblemas de cálculo al invertir la matriz X’X) por el método de los mínimos cuadrados (en elapéndice 7A aparece una breve descripción).

Un método alternativo es plantear un sistema de ecuaciones con la información disponible.De los ocho primeros experimentos hemos aprendido que los factores A, C, D y F son inertes y que:

193

ππ

A C D F B E G BE BG EG

1111

1111

1111

1111

-11

-11

-1-111

1111

1-1-11

-11

-11

-1-111

A C D F B E G BE BG EG RESP.

1111

1111

1111

1111

-1 1-1 1

-1-1 1 1

-1 1 1-1

1-1-1 1

1 1-1-1

1-1 1-1

45.543.133.046.4

Tabla 8.31 Cuatro experimentos para deshacer las confusiones.Caso del curvado

B + EG = 6.1E + BG = -5.3G + EB = 8.4

A partir de los cuatro experimentos adicionales podemos plantear las cuatro ecuacionessiguientes:

I2 + 1/2(- B - E - G + BE + BG + EG) = 45.5 I2 + 1/2(+ B - E + G - BE + BG - EG) = 43.1 I2 + 1/2(- B + E + G - BE - BG + EG) = 33.0 I2 + 1/2(+ B + E - G + BE - BG - EG) = 46.4

donde I2 representa la media de este segundo bloque de cuatro experimentos añadidos y los efectosestán multiplicados por 1/2 para que, tal como se explica en la sección 7.7, representen lo que cambiala respuesta al cambiar una unidad el nivel.

Resolviendo el sistema planteado de siete ecuaciones con siete incógnitas, se obtiene que:

I2 = 42.00B = 5.80E = -4.95G = 0.25BE = 8.15BG = -0.35EG = 0.30

Y, por tanto, la confusión queda deshecha, ya que claramente los efectos significativos son el B(presión del seguidor), el E (velocidad del eje b) y su interacción. La media de los primeros ochoexperimentos era I1 = 44.2, por lo que no está claro si se ha producido un descenso de nivel o puedeser atribuible al ruido, pero en cualquier caso no afecta a las conclusiones.

En este ejemplo no había, tras los primeros experimentos, ningún efecto no confundido quefuese significativo. Si lo hubiese habido naturalmente se tendría que haber incorporado a lasecuaciones. Por ejemplo, si el efecto de A hubiese sido 12, en las ecuaciones hubiese tenido queañadirse un término 1/2(A), es decir, 6. Con signo + en aquellas ecuaciones correspondientes aexperimentos en los que A hubiese estado a nivel alto (todos en este caso) y signo - en caso casocontrario. Entonces cobra sentido incorporar I2 a las ecuaciones, ya que en el ejemplo descrito, el valorde I2 coincide con el promedio de los cuatro experimentos añadidos.


194

ππ

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