Álgebra matricial con aplicacionesen Estadística

José Alfredo Jiménez Moscoso

Álgebra matricial con aplicacionesen Estadística

Bogotá D. C. Colombia, junio de 2012

FACULTAD DE CIENCIAS

© Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas © José Alfredo Jiménez Moscoso

ilustración portada y contraportada Profesor Gustavo RubianoDepartamento de Matemáticas

isbn 978-958-761-204-2

Primera edición, 2004Segunda edición, 2012

preparación editorial e impresión:Editorial Universidad Nacional de Colombiawww.editorial.unal.edu.codireditorial@unal.edu.co

Bogotá, Colombia Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Jiménez Moscoso, José Alfredo, 1973- Algebra matricial con aplicaciones en estadística / José Alfredo Jiménez Moscoso. -- Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012 xiv, 478 p., il.

Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-204-2

1. Matrices (Matemáticas) 2. Inversión de matrices 3. Estadística matemática I. Tít. CDD-21 512.9434 / 2012

AMi esposaMi hijaMis padres

Contenido

Prólogo ix

1 Preliminares 11.1 Matrices 1

1.1.1 Conceptos básicos 21.1.2 Operaciones con matrices 31.1.3 Operaciones elementales sobre los renglones 71.1.4 Traza de una matriz 9

1.2 Inversa de una matriz 101.2.1 Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa 10

1.3 Determinantes 121.3.1 Algunas fórmulas útiles para inversas 16

1.4 Tipos especiales de matrices cuadradas 161.5 Matrices particionadas 25

1.5.1 Definiciones y operaciones 251.5.2 Determinantes de matrices particionadas 341.5.3 Inversas de matrices particionadas 37

1.6 Espacio vectorial 431.6.1 Axiomas de un espacio vectorial 441.6.2 Bases 471.6.3 Espacios con producto interno 501.6.4 Complemento ortogonal 531.6.5 Subespacios asociados a una matriz 53

1.7 Sistemas de ecuaciones lineales 561.7.1 Método de eliminación de Gauss 57

1.8 Transformaciones lineales 591.8.1 Representación matricial de una transformación 59

1.9 Matrices con entradas complejas 611.9.1 Definición y propiedades básicas 61

vix

xiii

vi CONTENIDO

1.9.2 Espacios vectoriales complejos 641.9.3 Solución de sistemas lineales con entradas complejas 66

2 Vectores característicos y valores característicos 692.1 Valores propios y vectores propios 70

2.1.1 Descomposición de Sylvester 802.2 Matrices semejantes y diagonalización 882.3 Valores propios complejos 982.4 Diagonalización de matrices simétricas 1052.5 Vectores propios generalizados 115

3 Descomposición de matrices 1273.1 Triangularización de una matriz 1273.2 Factorización QR 1433.3 Polinomio mínimo 1483.4 Forma canónica de Jordan 1533.5 Raíces cuadradas 162

3.5.1 Raíces cuadradas de matrices simétricas 1803.5.2 Descomposición de Cholesky 183

3.6 Descomposición en valores singulares 1853.6.1 Descomposición en valores singulares 1883.6.2 Descomposición polar 192

4 Matrices complejas 1974.1 Clases especiales de matrices complejas 197

4.1.1 Matrices hermitianas 1974.1.2 Matrices antihermitianas 2034.1.3 Matrices unitarias 2054.1.4 Matrices normales 207

4.2 Factorizaciones 2084.2.1 Forma canónica de Jordan 2204.2.2 Descomposición en valores singulares 2224.2.3 Descomposición polar 224

5 Formas bilineales 2315.1 Formas bilineales 2315.2 Formas cuadráticas 2385.3 Diagonalización de una forma cuadrática 244

5.3.1 Diagonalización por completación de cuadrados 2445.3.2 Diagonalización por transformación ortogonal 255

5.4 Ley de la inercia para formas cuadráticas 259

x

CONTENIDO vii

5.5 Clasificación de las formas cuadráticas 2635.6 Aplicaciones a la geometría analítica 271

5.6.1 Rotación de ejes en R2 2775.6.1.1 Cambio de dirección de ejes en R2 conser-

vando el mismo origen 2785.6.2 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas 2835.6.3 Rotación de ejes en R3 290

5.6.3.1 Cambio de dirección de ejes en R3 conser-vando el mismo origen 291

5.6.3.2 Fórmulas de Euler 2915.6.4 Clasificación de las superficies cuádricas 296

6 Formas hermíticas 2996.1 Forma hermítica 2996.2 Forma cuadrática compleja 3036.3 Diagonalización de una forma hermítica 3056.4 Clasificación de formas cuadráticas complejas 3106.5 Orden parcial entre matrices 311

7 Normas matriciales 3157.1 Definición y resultados básicos 3157.2 Tipos de normas matriciales 3177.3 Condición de sistemas de ecuaciones lineales 324

8 Matrices idempotentes y productos especiales 3338.1 Definición y propiedades 333

8.1.1 Factorización QR por reflexiones de Householder 3388.2 Productos especiales 348

9 Inversa generalizada de matrices 3639.1 Definición y propiedades básicas 3639.2 Propiedades de las inversas generalizadas 3679.3 Métodos para calcular inversas generalizadas 3699.4 Vectores y valores propios 3969.5 Solución de sistemas de ecuaciones lineales 398

10 Aplicaciones 40910.1 Matrices estocásticas 40910.2 Modelos genéticos 417

10.2.1 Herencia autosómica 41810.2.2 Los cuadros de Punnett 421

xi

viii CONTENIDO

10.3 Modelo de regresión lineal 42510.3.1 Métodos de estimación de los parámetros del

modelo 42810.3.1.1 Método de mínimos cuadrados ordinarios 42910.3.1.2 Forma operativa 43110.3.1.3 Propiedades de los elementos de la matriz

H 43210.4 Multicolinealidad 433

10.4.1 Soluciones al problema de la multicolinealidad 43410.4.1.1 Regresión por componentes principales 43410.4.1.2 Propiedades de los componentes 436

10.5 Selección de carteras 44110.5.1 Formulación matemática 44110.5.2 Cartera con rentabilidad preestablecida 44310.5.3 Cartera mínima con rentabilidad preestablecida 446

A Métodos iterativos para estimar valores propios y vectorespropios 451A.1 Valor propio y vector propio dominante 451

A.1.1 Método de la potencia 452

B Números complejos 459B.1 Álgebra de los números complejos 459

B.1.1 Operaciones fundamentales 460B.1.2 Representación polar 464

Bibliografía 469

Índice alfabético 473

xii

Prólogo

El álgebra de matrices es en la actualidad un elemento esencial de losconocimientos matemáticos necesarios para ingenieros y científicos. Ade-más, la comprensión de los métodos fundamentales del álgebra matriciales apropiada para sociólogos, economistas, estudiantes de pedagogía y decomercio.

A pesar de las diversas aplicaciones del álgebra matricial, la mayoríade textos de álgebra lineal no introducen estos temas, por eso en mu-chos casos no se encuentra un libro que se ajuste a los requerimientos ynecesidades de ciertas materias. Estas notas de clase están basadas en elcurso de álgebra matricial de la carrera de Estadística, las cuales han sidoredactadas usando diferentes textos, resaltando principalmente los librosreferenciados en la bibliografía como Apostol (1985), Asmar (1995), Bar-bolla & Sanz (1998), Bru et al. (2001), Graybill (1983), Schott (1997)y Searle (1982).

Este texto sirve de ayuda para aquellos estudiantes que toman diversasasignaturas en las cuales deben tener o les serían útiles los conocimientosdel álgebra de matrices. Aunque en estas circunstancias siempre es inade-cuado comenzar un curso de teoría de matrices, estas notas le permitiránal lector adquirir la práctica necesaria en el manejo de matrices.

El objetivo principal de estas notas consiste en capacitar al lector paraque adquiera la habilidad de usar el álgebra de matrices en diferentes ám-bitos, proporcionando conceptos como la diagonalización y factorizaciónmatricial, formas cuadráticas e inversas generalizadas de una manera sen-cilla; durante su desarrollo, se plantean ejemplos y ejercicios relacionadoscon la teoría.

Este material está escrito en forma secuencial, pues los contenidos pre-vios son importantes para tener una mejor comprensión del desarrollo de

xiii

cada sección posterior, lo cual ayudará al lector a alcanzar su principal ob-jetivo. Asimismo, proporciona un medio individual para estudiar el temaexpuesto y es muy práctico como texto autodidáctico. Además, permitiráque el lector avance a su propio ritmo. De esta manera, este materialpuede ser usado por estudiantes con diferentes aptitudes, conocimientosy velocidades de lectura.

Espero que este material carezca de errores, sin embargo, “no importael cuidado que se ponga, siempre se comete algún error” (Ley de Murphy).Por lo tanto, los errores que posea deseo conocerlos para poderlos corregir,en una próxima edición. Esta es tal vez la única forma de avanzar en unambiente académico.

Agradezco la colaboración del Departamento de Matemáticas, que através de su oficina de publicaciones me permitió la divulgación de estematerial. También quiero dar las gracias tanto a los colegas que evalua-ron este manuscrito, en especial al profesor Leonardo Solanilla Chavarro,como a mis estudiantes del curso de Álgebra Matricial de la carrera deEstadística, por sus sugerencias y comentarios, los cuales fueron muyútiles en la redacción de este material. Adicionalmente, quiero agradeceral equipo editorial de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá,por la corrección de estilo.

José Alfredo Jiménez M.

xiv PRÓLOGO

Capítulo 1

Preliminares

Este capítulo es una recopilación de conceptos, procedimientos y resulta-dos básicos que, por lo general, forman parte del primer curso de álgebralineal. Por consiguiente, una gran parte de estos resultados aparecen sinprueba; además, en algunos casos se consideran temas que el lector debemanejar y que por su importancia son retomados posteriormente.

El propósito fundamental de este material es servir como prerrequi-sito para los siguientes capítulos y, como ya se mencionó, no se pro-fundizará en los temas considerados en este capítulo. Si el lector tieneamplios conocimientos del contenido de este apartado, puede pasar deinmediato al siguiente capítulo, aunque es recomendable que desarrollelas Secciones 1.5 y 1.9.

1.1 Matrices

En esta sección se introducen los conceptos y las reglas básicas del álgebrade matrices. Entre los diferentes elementos estudiados por el álgebra line-al, uno de los más utilizados es el de matriz. Esto se debe a que la teoríade matrices ofrece, entre otras, la posibilidad de trabajar cómodamentecon modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como deecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta paradesignar amplios conjuntos de información.

1

2 1. Preliminares

1.1.1 Conceptos básicos

En este apartado se presenta la definición formal del término matriz. Lasmatrices se denotan con letras mayúsculas y con minúsculas, los elementosque las constituyen.

Definición 1.1 Una matriz A de tamaño m×n es un arreglo rectangular

de m·n números reales (o complejos1) dispuestos en m filas y n columnas,

escritos entre corchetes (o paréntesis), como sigue:

A =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

......

. . .... . . .

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

.... . .

... . . ....

am1 am2 . . . amj . . . amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

donde los subíndices indican la “fila” y la “columna” de localización en la

matriz de cada número real (o complejo). A los números a11, a12, . . . , amn

se les llama elementos o entradas de la matriz.

ObservaciónCuando m = n, la matriz recibe el nombre de cuadrada; si es m �= n,

se denomina rectangular. Al conjunto de todas las matrices de tamañom × n se le notará por Mmn.

Definición 1.2 Matrices iguales

Sean las matrices reales A = [aij ] y B = [bij ], se dice que son iguales

cuando teniendo el mismo tamaño, se verifica que

aij = bij∀ i = 1, 2, . . . , m;

∀ j = 1, 2, . . . , n.

1 Si el lector no está familiarizado con estos números, puede consultar elApéndice B.

1.1. Matrices 3

1.1.2 Operaciones con matrices

En esta sección se consideran las operaciones con matrices; además, serecuerda que solo se pueden sumar matrices que tienen el mismo tamaño,y para que el producto sea posible, es preciso que el número de columnasde la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda.

Definición 1.3 Dadas A = [aij ] y B = [bij ], matrices de tamaño m×n,

la suma A + B es una matriz C = [cij ] de tamaño m × n, donde

cij = aij + bij ∀ i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.

Teorema 1.1 Propiedades básicas de la suma

Para todas A, B y C matrices de tamaño m × n, se verifica que

1 Conmutativa: A + B = B + A.

2 Asociativa:(A + B

)+ C = A +

(B + C

).

3 Existencia de elemento neutro o matriz nula: Existe una matriz O

de tamaño m× n en donde todos sus elementos son iguales a cero,

tal que ∀A de tamaño m × n, se verifica que

A + O = O +A = A.

4 Elemento opuesto: Para toda matriz A de tamaño m×n, existe una

matriz que llamaremos matriz opuesta de A y denotaremos por −A,

que verifica

A +(−A

)= O .

4 1. Preliminares

La última propiedad permite, dadas dos matrices A = [aij ] y B = [bij ] delmismo tamaño m×n, introducir el concepto de matriz diferencia A−B,la cual puede ser definida como sigue:

A − B = A +(−B

).

Demostración.Sean A = [aij ], B = [bij ] y C = [cij ] .

1. aij + bij = bij + aij .

2.(aij + bij

)+ cij = aij +

(bij + cij

).

3. Es evidente que, para toda A de tamaño m × n, se verifica que

aij + 0 = 0 + aij = aij .

4. Al tomar −A = [−aij ], se verifica que

aij +(−aij

)=

(−aij)

+ aij = 0.

Definición 1.4 El producto de una matriz A = [aij ] de tamaño m × n

por un escalar α ∈ R es una matriz C = [cij ] del mismo tamaño que A,

de elementos

cij = αaij ∀ i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n,

esto es, los elementos de C se obtienen multiplicando los elementos co-

rrespondientes de A por α.

El resultado de efectuar el producto de una matriz A por un escalar α sesimboliza por αA y se lee multiplicación de A por α.

Teorema 1.2 Propiedades de la multiplicación por un escalar

Para todas A y B de tamaño m × n y α, β ∈ R, se satisface que

a) α(A + B

)= αA + αB, b)

(α + β

)A = αA + βA,

c) α(βA

)=

(αβ

)A, d) 1A = A.

1.1. Matrices 5

Demostración.Sean A = [aij ] y B = [bij ], entonces

a) α(A + B

)= α [aij + bij ] = α [aij ] + α [bij ] .

b)(α + β

)A =

(α + β

)[aij ] = α [aij ] + β [aij ] .

c) α(βA

)= α

(β [aij ]

)=

(αβ

)[aij ] .

d) 1A = 1 [aij ] = [aij ] .

Definición 1.5 Matriz identidad

Una matriz A = [aij ] de tamaño n × n cuyos elementos son

aij =

{1 si i = j

0 si i �= j

se llama matriz identidad y se denota por In.

Definición 1.6 Sean A = [aij ] y B = [bjk] matrices de tamaño m × n

y n × p, respectivamente. Entonces el producto de las matrices A y B,

operación que se denotará por A.B, es una matriz C de tamaño m × p,

cuyo elemento genérico cik (i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , p) es

cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ainbnk =n∑

j=1

aijbjk.

Teorema 1.3 Propiedades del producto de matrices

Sean A, B, C y D matrices reales tales que A ∈ Mmn, B, C ∈ Mnp y

D ∈ Mpq. Entonces se satisface que

1. Asociativa: A.(B.D

)=

(A.B

).D.

2. Distributiva:

a)A.(B + C

)= A.B + A.C b)

(B + C

).D = B.D + C.D.

6 1. Preliminares

3. El producto por una matriz nula O del tamaño adecuado es una

matriz nula.

4. En general, esta operación matricial no es conmutativa:

A.B �= B.A.

5. Existen matrices Im e In tales que

Im.A = A y A.In = A.

Demostración.Queda como ejercicio para el lector.

Definición 1.7 Transpuesta

Si A = [aij ] es una matriz real de tamaño m×n, se llama transpuesta

de A a la matriz B = [bij ] de tamaño n × m cuyo elemento bij = aji. Se

denota por At.

Teorema 1.4 Propiedades de la transpuesta

Sean A y B matrices de tamaño m × n, C una matriz de tamaño

n × m y sea α ∈ R. Entonces

1.(At

)t= A. 2.

(A ± B

)t= At ± Bt.

3.(αA

)t= αAt. 4.

(AC

)t= CtAt.

Demostración.Queda como ejercicio para el lector.

1.1. Matrices 7

1.1.3 Operaciones elementales sobre los renglones

Sea A una matriz real de tamaño m × n, entonces las operaciones ele-mentales en las filas de la matriz son:

R1 Multiplicar cada elemento de la i-ésima fila por un escalar α �= 0.

R2 Sumar a la i-ésima fila un múltiplo de la k-ésima fila.

R3 Intercambiar (permutar) dos filas.

Y las operaciones elementales en las columnas de la matriz son:

C1 Multiplicar cada elemento de la j-ésima columna por un escalarα �= 0.

C2 Sumar a la j-ésima columna un múltiplo de la l-ésima columna.

C3 Intercambiar (permutar) dos columnas.

Definición 1.8 Matrices elementales

Una matriz Ekl

(α)

de tamaño m×m se llama matriz elemental si es

el resultado de aplicar una operación elemental a la matriz identidad Im.

Realizar una operación elemental en una fila (o columna) de una matrizA es equivalente a premultiplicar (o multiplicar) a A, respectivamente,por la matriz elemental adecuada. Esto se tiene de la definición de mul-tiplicación de matrices, la cual nos aclaró el hecho de que premultiplicar(o multiplicar) una matriz A por una matriz elemental daba el mismoresultado que aplicar la operación elemental a la fila correspondiente dela matriz A.

NotaciónLa notación que se usará para los tres tipos de operaciones R1, R2 y

R3 con matrices elementales es la siguiente:

• La matriz elemental tipo R1 es una matriz Ekl

(α)

= [νij ], cuyoselementos son

νij =k= l

⎧⎨⎩1 si i = j �= k,α si i = j = k,0 si i �= j.

Nótese que es una matriz diagonal.

8 1. Preliminares

• La matriz elemental tipo R2 es una matriz Ekl

(α)

= [νij ] :

νij =k �= l

⎧⎨⎩1 si i = j,α si i = k, j = l,0 en otro caso.

Esta matriz es triangular superior (inferior) dependiendo de la re-lación de orden que exista entre r y s. Además, si k = l coincidecon la matriz elemental tipo R1.

• Matriz elemental tipo R3 es una matriz Ekl

(1)

= [νij ] :

νij =α=1

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 si i = j, i �= k, i �= l,1 si i = k, j = l,1 si i = l, j = k,0 en otro caso.

Definición 1.9 Matriz escalonada

Se dice que una matriz es escalonada si el número de ceros que precede

al primer elemento diferente de cero de una fila aumenta fila por fila hasta

tener posiblemente filas de solo ceros.

Definición 1.10 Forma escalonada reducida

Una matriz se dice que es escalonada reducida si verifica las siguientes

condiciones:

i. Es una matriz escalonada.

ii. El primer elemento no nulo (por la izquierda) de cada fila no nula es

un 1 y este es el único elemento diferente de cero que se encuentra

en la respectiva columna.

iii. Las filas nulas, si existen, están en la parte inferior de la matriz.

1.1. Matrices 9

1.1.4 Traza de una matriz

En esta sección se estudiará una característica de las matrices cuadradas,la cual se expresa a través de un número llamado traza.

Definición 1.11 Traza de una matriz

Sea A = [aij ] una matriz real de tamaño n × n, la suma de los ele-

mentos de la diagonal principal se llama traza de A y se denota como

tr(A), o sea

tr(A)

=n∑

i=1

aii. (1.1)

Teorema 1.5 Propiedades

1. tr(In) = n, siendo In la matriz identidad de tamaño n × n.

2. tr(O) = 0 siendo O la matriz nula de tamaño n × n.

3. tr(A) = tr(At).

4. tr(A.At) = tr(At.A) =n∑

i=1

n∑j=1

a2ij .

5. tr(αA) = α tr(A), con α ∈ R.

6. Si A y B son del mismo tamaño, tr(A + B) = tr(A) + tr(B).

7. Si son posibles los productos A.B y B.A, entonces se verifica

tr(A.B) = tr(B.A).

8. tr(A.X) = 0, para toda X ∈ Mnn, implica que A = O.

Demostración.Queda como ejercicio para el lector.

10 1. Preliminares

1.2 Inversa de una matriz

Es sabido que todo número α �= 0 tiene un inverso α−1 tal que

αα−1 = α−1α = 1. (1.2)

Este hecho permite resolver las ecuaciones del tipo αx = β, ya que mul-tiplicando por α−1 se obtiene x = α−1β.

En este apartado se define un tipo de matriz que tiene una propiedadanáloga en la teoría de matrices, la matriz inversa.

Definición 1.12 Inversa de una matriz

Sea A una matriz real de tamaño n × n, si existe una matriz real B

de tamaño n × n tal que

A.B = B.A = In. (1.3)

Entonces B se denota por A−1 y recibe el nombre de matriz inversa.

NotaciónSi A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular o invertible;

en cambio, si A no tiene inversa, entonces A se llama matriz singular ono invertible.

1.2.1 Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa

Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A de tamaño n×n, seprocede de la siguiente manera:

1. Se forma la matriz aumentada B =(A | In

)de tamaño n × 2n.

2. Se aplican operaciones elementales entre filas hasta llevar a B a unamatriz escalonada reducida C =

(A1 | A2

).

3. Se decide si A es no singular.

a. Si A1 = In, entonces A2 = A−1.

b. Si A1 �= In, entonces A1 tiene una fila de ceros. En este caso,A es singular, es decir A−1 no existe.

1.2. Inversa de una matriz 11

Teorema 1.6 Propiedades de la inversa de una matriz

1. Si una matriz A tiene inversa, esta es única.

2. La inversa del producto de un escalar no nulo por una matriz es el

producto del inverso multiplicativo del escalar por la inversa de la

matriz. En símbolos,

(αA

)−1=

1

αA−1, con α ∈ R, α �= 0.

3. La inversa de la inversa es la matriz original. En símbolos,

(A−1

)−1= A.

4. La inversa de una matriz transpuesta es la transpuesta de la inversa.

En símbolos,

(At

)−1=

(A−1

)t.

5. Si A y B son dos matrices invertibles y del mismo tamaño, el pro-

ducto A.B es invertible y, además,

a)(A.B

)−1= B−1.A−1,

b)[(

A.B)−1

]t=

(At

)−1(Bt

)−1.

6. Si A es una matriz invertible,

a) B.A = O ⇒ B = O .

b) B.A = C.A ⇒ B = C.

Demostración.Queda como ejercicio para el lector.

12 1. Preliminares

1.3 Determinantes

Los determinantes permiten determinar cuando una matriz cuadrada esinvertible. Un determinante de n-ésimo orden es una expresión asociadacon una matriz A = [aij ] de tamaño n×n, como se explica a continuaciónempezando con n = 2.

Definición 1.13 Sea A = [aij ] una matriz de tamaño 2 × 2. Entonces,

el determinante de A se define por

detA = a11.a22 − a12.a21. (1.4)

Con frecuencia, se denotará el detA por

|A| o

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ ;aquí se usan barras (mientras que una matriz tiene corchetes).

Definición 1.14 Sea A = [aij ] una matriz de tamaño 3 × 3. Entonces,

el determinante de A se puede escribir en términos de los determinantes

de matrices 2 × 2, como sigue:

det A = a11.

∣∣∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣− a12.

∣∣∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣∣∣ + a13.

∣∣∣∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣∣∣ (1.5)

o en la forma explícita siguiente:

|A| = a11 [a22a33 − a23a32] − a12 [a21a33 − a23a31] + a13 [a21a32 − a22a31] .

También hay un método para memorizar esta fórmula, llamado Regla deSarrus, que consiste en agregar las dos primeras columnas a la derechade A, y se suman todos los productos de los elementos que van de laizquierda superior a la derecha inferior y se restan todos los productos delos elementos que van de la izquierda inferior a la derecha superior. Así:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

↘ �↘a21 a22 a23

↗ �↘a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12

�↘ ↗a21 a22

�↘ ↘a31 a32

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12.

1.3. Determinantes 13

Nota 1.1 La Regla de Sarrus no se puede aplicar para calcular determi-

nantes de matrices de tamaño 4 × 4, 5 × 5 o para matrices de más alto

orden.

Hasta ahora, se ha evaluado los determinantes para matrices de ta-maño 2 × 2 y 3 × 3. El determinante de una matriz de tamaño n × n seobtiene usando un método en el cual se reduce el problema a la evalua-ción de determinantes de matrices de orden n − 1; el proceso se repitesucesivamente hasta llegar a las matrices de tamaño 2 × 2. Nótese queeste procedimiento fue empleado para calcular el determinante en la ex-presión (1.5), eliminando de A la fila y la columna, que indican el primery segundo subíndice del elemento aij por el que van multiplicados, losdeterminantes de las submatrices de tamaño 2 × 2, los cuales reciben elnombre de menores, y cuando se les asocia los signos +,−, + se denomi-nan cofactores o adjuntos. Las definiciones de estos conceptos son:

Definición 1.15 Menor y cofactor

Sea A = [aij ] una matriz real de tamaño n × n.

1. Se le llama menor complementario (i, j), al determinante de la sub-

matriz de tamaño(n−1

)×(n−1

), que resulta de suprimir la i-ésima

fila y la j-ésima columna de A y se denota por Mij(A).

2. El adjunto o cofactor (i, j) de A viene dado por

Cij(A) =(

1)i+ j

Mij(A) donde(

1)i+ j

=

⎧⎪⎨⎪⎩ 1 si i + j es par;

1 si i + j es impar.

Definición 1.16 Matriz de cofactores

La matriz C = [Cij(A)], donde el elemento Cij(A) es el cofactor (i, j)

de A, se denomina matriz de cofactores.

14 1. Preliminares

Teorema 1.7 Fórmula o expansión de Laplace

Sea A = [aij ] una matriz de tamaño n×n. Entonces, el determinante

de A se puede desarrollar usando:

i) La expansión de Laplace por la i-ésima fila como

detA =n∑

j=1

aijCij(A)

=n∑

j=1

(−1)i+ j

aijMij

(A).

ii) La expansión de Laplace por la j-ésima columna como

det A =n∑

i=1

aijCij(A)

=n∑

i= 1

(−1)i+ j

aijMij

(A).

Demostración.Queda como ejercicio para el lector.

Teorema 1.8 Propiedades de los determinantes

Dadas A, B y C matrices de tamaño n × n y α ∈ R, se verifica que

i) det At = det A.

ii) Si se multiplica solo una fila (o columna) de la matriz A por un

escalar α, entonces el determinante queda multiplicado por α.

iii) El determinante de la matriz αA es

det(αA

)= αn det A.

iv) Si todos los elementos de una fila (o columna) de A son cero, el

valor del determinante es cero.