( ) .ctepp0dt

+⇒= 0ppdtdpd

dtpd

212121 =⇒=++

rrrrrr

UNIDAD 3. DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS. ROTACIÓN DEL SÓLIDO RÍGIDO

1. Centro de masas de un sistema de partículas.

2. Movimiento del centro de masas. Momento lineal del centro de masas. Relación con la

resultante de las fuerzas externas.

3. Sistema de referencia del centro de masas.

4. Energía de un sistema de partículas: energía cinética, energía potencial, conservación de la

energía mecánica de un sistema, colisiones.

5. Sistemas en rotación. Momento de la fuerza resultante y momento angular del sistema de

partículas. Relación entre ambos: ecuación fundamental de la dinámica de rotación, momento

de inercia, momento angular de un sistema de partículas, teorema del momento cinético.

6. Conservación del momento angular: teorema de conservación del momento angular.

7. Energía cinética de un sólido en rotación.

1

2

deformable

indeformable

Fuerzas

Interiores

Exteriores

0Fint =Σr

3ª Ley de Newton

Tipos de sistemas de partículas

discreto

continuo deformable

indeformable Sólido rígido

Nº partículas

Distancia entre partículas

Distancia entre partículas

cerrado

abierto

Fuerzas

0Fext =r

Σ

0Fext ≠r

Σ

Conjunto de partículas

Sistema de 2 partículas cerrado

( ) 'p'ppp.ctepp0pr

+pdtd0F

dtpd

21212121tetanresulrrrrrrrrr

+=+⇔=+⇒=⇒==

0Fint =Σr

0Fext =r

Σ

Sistema de 2 partículas abierto

( ) ∑∑ =⇒=+⇒+== extsist

ext2121tetanresul FdtpdFpp

dtdFFF

dtpd rrrrrrrrr

0Fint =Σr

0Fext ≠r

Σ

SISTEMA DE PARTÍCULAS

3

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Punto en el que se supone situada toda la masa M del sistema y se aplica la F tetanresul

r de extF

r Σ

∑

∑==

N

iCMrr

=

N

1ii

1ii

m

rmr

M

ymy

N

1iii

CM

∑==

M

xmx

N

1iii

CM

∑==

M

zmz

N

1iii

CM

∑==

( )M

)t(vmtv

N

1iii

CM

∑==

r

r

M

F

M

FF

m

ama

N

1iexti

N

1iinti

N

1iexti

N

1ii

N

1iii

CM

∑∑∑

∑

∑===

=

= =+

==

rrr

r

dtpdF CM

tetanlresu

rr=

2ii

N

1i

N

1iCiCS vm

21EE ⋅⋅== ∑∑

==

2ii

N

1i

2CMCS um

21vM

21E

rr⋅⋅+⋅⋅= ∑

=

CMii rr'rrrr

−=

CMii vvurrr

−=

0p CM,SIST =r

αrr

⋅= IM 2rmI ⋅= I I ∑=

⋅=N

1i

2ii rm dmr

M

2∫=

SIST. EN ROTACIÓN

Teorema de conservacióndel momento angular

.cteL0MSi =⇒=rr

I1 ⋅ ω1 = I2 ⋅ ω2

αrr

r

⋅== IMdtLdTeorema del momento cinético

∑∑ ∑== =

×=⋅×==N

1iii

N

1i

N

1iiiiOiO prvmrLL

rrrrrrωrr

⋅= IL

2r,c I

21E ω⋅⋅=

CMCMCM prLrrr

×=CM

N

1ii

N

1iiS L'LLL

rrrr+== ∑∑

==

COLISIONES

Elásticas Inelásticas

f,ci,c

fipEEp

==rr

i,cf,c

fi

EEEpp−=

=Δ

rr

( )21

121221 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

( )21

212112 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

CENTRO DE MASAS

SIST. REF.DEL CM

4

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Punto en el que se supone situada toda la masa M del sistema y se aplica la F tetanresul

r de

r extFΣ

∑

∑==

N

iCMrr

=

N

1ii

1ii

m

rmr

M

ymy

N

1iii

CM

∑==

M

xmx

N

1iii

CM

∑==

M

zmz

N

1iii

CM

∑==

( )M

)t(vmtv

N

1iii

CM

∑==

r

r

M

F

M

FF

m

ama

N

1iexti

N

1iinti

N

1iexti

N

1ii

N

1iii

CM

∑∑∑

∑

∑===

=

= =+

==

rrr

r

CM

N

1iii

N

1iiCM

vMvm

pp

rr

rr

⋅=

==

∑

∑

=

=

2ii

N

1i

N

1iCiCS vm

21EE ⋅⋅== ∑∑

==

dtpdF CM

tetanlresu

rr=

COLISIONES

Elásticas Inelásticas

f,ci,c

f2ii

N

1i

2CMCS um

21vM

21E

rr⋅⋅+⋅⋅= ∑

=

CMii rr'rrrr

−=

CMii vvurrr

−=

0p CM,SIST =r

ipEEp

==rr

ip i,cf,c

f

EEEp−=

=Δ

rr

( )21

121221 mm

ummum2 ⋅v+

⋅−+⋅=

( )21

212112 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

CENTRO DE MASAS

SIST. REF.DEL CM

5

SISTEMA DE PARTÍCULAS

COLISIONES

Elásticas

Inelásticas

f,ci,c

fi

EEpp

==rr

i,cf,c

fi

EEEpp−=

=Δ

rr

( )21

121221 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

( )21

212112 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

CMii rr'rrrr

− =

CMi vi vurrr

− =

0p CM, =SISTr

SIST. REF. DEL CM

2ii

N

1i

2CMCS um

21vM

21E

rr⋅⋅+⋅⋅= ∑

=

2ii

N

1i

N

1iCi vm

21EE ⋅⋅== ∑∑

==

CS

cS

N

1ici

N

1i

N

1iiS WW == ∑∫∑

==

B

A iii EErdam ΔΔ ==⋅⋅ ∑=

rr

( ) ,intSext,S

N

1iiiji

N

1iiS WWrdFFWW +=⋅+== ∑∫∑

==

rrr

pS,intSext,S

N

1i

B

A iiS EWWrdFW Δ−=+=⋅= ∑∫=

rr

Conservación de la energía mecánica

mint,pcext,S

int,Sext,SS

EEEWWWW

ΔΔΔ =+=

⇒+=

0EEE

m

i,mm

=

=

Δf,

.consnoWmE =Δ cS EW Δ=

pS EW Δ−=

Fuerzas conservativas

Fuerzas no conservativas

ENERGÍA

6

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Punto en el que se supone situada toda la masa M del sistema y se aplica la tetanresulF

r de

r extFΣ

∑

∑==

N

iCMrr

=

N

1ii

1ii

m

rmr

M

ymy

N

1iii

CM

∑==

M

xmx

N

1iii

CM

∑==

M

zmz

N

1iii

CM

∑==

( )M

)t(vmtv

N

1iii

CM

∑==

r

r

M

F

M

FF

m

ama

N

1iexti

N

1iinti

N

1iexti

N

1ii

N

1iii

CM

∑∑∑

∑

∑===

=

= =+

==

rrr

r

CM

N

1iii

N

1iiCM

vMvm

pp

rr

rr

⋅=

==

∑

∑

=

=

2ii

N

1i

N

1iCiCS vm

21EE ⋅⋅== ∑∑

==

dtpdF CM

tetanlresu

rr=

CENTRO DE MASAS

COLISIONES

Elásticas Inelásticas

2ii

N

1i

2CMCS um

21vM

21E

rr⋅⋅+⋅⋅= ∑

=

CMii rr'rrrr

−=

CMii vvurrr

−=

0p CM,SIST =r

αrr

⋅= IM 2rmI ⋅= I ∑=

⋅=N

1i

2ii rmI dmr

M

2∫=

SIST. EN ROTACIÓN

Teorema de conservacióndel momento angular

.cteL0MSi =⇒=rr

I1 ⋅ ω1 = I2 ⋅ ω2

αrr

r

⋅== IMdtLdTeorema del momento cinético

∑∑ ∑== =

×=⋅×==N

1iii

N

1i

N

1iiiiOiO prvmrLL

rrrrrrωrr

⋅= IL

2r,c I

21E ω⋅⋅=

CMCMCM prLrrr

×=CM

N

1ii

N

1iiS L'LLL

rrrr+== ∑∑

==

i,cf,c

fi

EEEpp−=

=Δ

rr

f,ci,c

fipEEp

==rr

SIST. REF.DEL CM

( )21

121221 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

( )21

212112 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

7

1. CENTRO DE MASAS DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

• Dinámica de una partícula: dinámica de una sola partícula o de objetos, cuyo comportamiento

se puede describir como una masa puntual, ya que su tamaño y su forma es irrelevante en el

problema concreto planteado.

• Aproximacion de punto material válida en movimientos de traslacion y en los que la precisión

en la localización del cuerpo es del orden de las dimensiones de este.

• Hay fenómenos en los que las dimensiones del cuerpo deben considerarse, por ejemplo,

aquellos en los que el cuerpo puede experimentar movimientos de rotación y de traslación.

• Necesidad de otro modelo basado en considerar el cuerpo como un sistema de partículas.

• Sistema de partículas: conjunto de partículas cuyas propiedades globales queremos estudiar.

• Tipos de sistemas de partículas:

a) Sistema discreto: cuerpo formado por un nº finito de partículas. Pueden ser:

1. Indeformables: distancia relativa entre sus partículas permanece inalterable durante el

tiempo (modelo ideal).

2. Deformables: distancia relativa entre sus partículas puede cambiar durante el tiempo.

b) Sistema continuo: cuerpo formado por una distribución continua de materia. Pueden ser:

deformables o indeformables, estos últimos también llamados sólidos rígidos.

• Fuerzas que pueden actuar sobre un sistema de partículas:

a) Fuerzas interiores: fuerzas de acción y reacción entre las partículas del sistema. Actúan

por parejas entre cada dos partículas del sistema de tal modo que la suma de todas las

fuerzas interiores es nula.

0Fint =Σr

b) Fuerzas exteriores: fuerzas ejercidas por cuerpos ajenos al sistema de partículas que

actúan sobre todas y cada una de las partículas del sistema.

• Tipos de sistemas de partículas según el tipo de fuerzas que actúen sobre él: a) Sistema de partículas cerrado: sistema formado por un grupo de partículas que interactúan

entre sí por parejas mediante fuerzas de acción y reacción pero no interactúan con otros

cuerpos del entorno, no actúan fuerzas exteriores al sistema. Ejemplo: las bolas de una

mesa de billar (su peso es contrarrestado por la fuerza normal).

b) Sistema de partículas abierto: sistema formado por un grupo de partículas que interactúan

entre sí por parejas mediante fuerzas de acción y reacción y también actúan fuerzas

exteriores sobre todas y cada una de sus partículas. Ejemplo: el sistema Tierra-Luna;

fuerzas interiores: fuerzas de atracción mutua; fuerzas exteriores: fuerzas del Sol y del resto

de los planetas.

8

• El movimiento de una de las partículas de un sistema viene determinado por la resultante de las

fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre ella:

iiextint amFFrrr⋅=Σ+Σ

• En los sistemas de partículas existe un punto, llamado centro de masas que se mueve como si

estuviera concentrada en él toda la masa del objeto y la resultante de las fuerzas externas. 1.2. SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS 1.2.1. Sistema de 2 partículas cerrado

12Fr

• : fuerza interior de acción de 2 sobre 1.

21Fr

• : fuerza interior de reacción de 1 sobre 2.

21122112 FF0FFrrrr

−=⇒=+• De acuerdo con la 3ª ley de Newton:

• Aplicando la ley fundamental de la dinámica (2ª ley de Newton): dtpdr

Fr=

( ) .ctepp0ppdtd0

dtpd

dtpd

212121 =+⇒=+⇒=+

rrrrrr

•

• Ley general de conservación del momento lineal en sistemas cerrados: la suma de los

momentos lineales de un sistema de partículas permanece constante con el tiempo.

• Aplicación importante en las colisiones entre cuerpos: dados dos cuerpos de masas m1 y

m2, y velocidades v1 y v2, respectivamente. Si chocan y sus velocidades varían después del

choque, v’1 y v’2, y se cumple:

.cte'vm'vmvmvm.cte'p'ppp 221122112121 =⋅+⋅=⋅+⋅⇔=+=+rrrr

1.2.2. Sistema de 2 partículas abierto

• Fuerzas que actúan sobre la partícula 1:

12Fr

: fuerza interior de acción de 2 sobre 1.

1Fr

: fuerza exterior sobre 1.

• Fuerzas que actúan sobre la partícula 2:

21Fr

: fuerza interior de reacción de 1 sobre 2.

2Fr

: fuerza exterior sobre 2.

21122112 FF0FFrrrr

−=⇒=+• De acuerdo con la 3ª ley de Newton:

• Para cada partícula se cumple que la variación del momento lineal con el tiempo es igual la

resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada:

1211 FF

dtpd rrr

+=

2122 FF

dtpd rrr

+=

( ) ∑=⇒+=+

⇒+++=+ extsist

2121

21212121 F

dtpd

FFdt

ppdFFFFdtpd

dtpd rrrrrrrrrrrr

• Conclusión: el movimiento del sistema de partículas viene determinado sólo por las fuerzas exteriores.

9

1.3. CENTRO DE MASAS

• Todos los sistemas de partículas cumplen la ley de conservación de la masa: la suma de las

masas de las N partículas de un sistema es constante e igual a la masa total del sistema M.

MmN

1ii =∑

=

• Dado un sistema con N partículas, cada una de ellas de masa mi

y vector de posición r , se denomina centro de masas del

sistema a un punto dado por el vector de posición:

ri

M

rm

m

rm

m...mmrm...rmrmr

N

1iii

N

1ii

N

1iii

N21

NN2211CM

∑

∑

∑=

=

= ==++++++

=

rrrrr

r

• Centro de masas de un sistema de partículas: punto en el que se supone situada toda la masa M del sistema y se aplica la fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores.

• Es más sencillo el estudio del movimiento de un sistema de partículas como si se comportaran

como un punto, el centro de masas, que posee la masa total del sistema, M.

• Coordenadas del vector de posición del centro de masas:

M

zmz

M

ymy

M

xmx

N

1iii

CM

N

1iii

CM

N

1iii

CM

∑∑∑=== ===

• Centro de masas de un sistema de partículas continuo: se descompone el cuerpo en

porciones infinitesimales de masa dm situadas a una distancia r del origen de coordenadas.

M

dmr

dm

dmrrCM

∫∫∫ ==

rrr

• Coordenadas del vector de posición del centro de masas:

M

dmzz

M

dmyy

M

dmxx CMCMCM

∫∫∫ ===

• Las simetrías de un sistema de partículas facilitan la determinación de su centro de masas:

Coincide con su centro de simetría.

Se sitúa sobre un eje o un plano de simetría.

• Ejemplo 1. Calcula el centro de masas de un sistema formado por

dos partículas de masas iguales separadas entre sí una distancia d.

2d

m2dm0m

mmxmxm

M

xmx

2

21

21

2211

N

1iii

CM =⋅

⋅+⋅=

+⋅+⋅

==∑=

El centro de masas coincide con el punto medio entre las dos partículas por simetría.

10

• Ejemplo 2. Calcula el centro de masas de un sistema formado por tres

partículas de masas iguales situadas en los vértices de un triángulo

equilátero de lado a y altura h.

a21

m3

a23m

m32amam0m

mmmxmxmxm

M

xmx

321

332211

N

1iii

CM ⋅=⋅

⋅⋅=

⋅

⋅+⋅+⋅=

++⋅+⋅+⋅

==∑=

h31

m3hm

m3hm0m0m

mmmymymym

M

ymy

321

332211

N

1iii

CM ⋅=⋅⋅

=⋅

⋅+⋅+⋅=

++⋅+⋅+⋅

==∑=

El centro de masas coincide con el baricentro del triángulo por simetría.

• Ejemplo 3. Calcula el centro de masas de una barra cilíndrica

y homogénea de longitud L.

Se divide la barra en cilindros infinitesimales de grosor dx.

L21

L

x21

L

dxxx

L

0

2L

0CM ⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

== ∫

2. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASAS. MOMENTO LINEAL DEL CENTRO DE MASAS. RELACIÓN CON LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS EXTERNAS

• Sistema discreto de N partículas con interacción mutua y sometidas a la acción de fuerzas exteriores.

• La posición de su centro de masas depende del tiempo:

( )( )

∑

∑

=

== N

1ii

N

1iii

CM

m

trmtr

r

r

• Ecuación de la velocidad del centro de masas:

( ) ( )( )

M

)t(vm

m

dttrdm

dttrdtv

N

1iii

N

1ii

N

1i

ii

CMCM

∑

∑

∑=

=

= ===

rr

rr

(1)

• Momento lineal del centro de masas: multiplicando (1) por M el primer y el último miembro:

∑∑∑

==

= =⋅⇔⋅=⋅⇔⋅

⋅=⋅N

1iiCM

N

1iiiCM

N

1iii

CM )t(p)t(vM)t(vm)t(vMM

)t(vmM)t(vM

rrrr

r

r

: momento lineal de cada una de las partículas del sistema. ( )tpir

cantidad de movimiento total del sistema, asociada al movimiento del centro de masas. Es

la suma de los momentos lineales de cada una de las particulas que integran el sistema.

CM

N

1iii

N

1iiS vM)t(vmpp

rrrr⋅=== ∑∑

==

11

• Ecuación de la aceleración del centro de masas:

( ) ( )( )

M

F

M

FF

m

)t(am

m

dttvdm

dttvdta

N

1iexti

N

1iinti

N

1iexti

N

1ii

N

1iii

N

1ii

N

1i

ii

CMCM

∑∑∑

∑

∑

∑

∑===

=

=

=

= =+

====

rrrr

rr

(2)

: fuerza neta ejercida sobre cada partícula del sistema, resultante de las fuerzas

interiores y exteriores.

)t(am iir⋅

• Alternativamente, multiplicando (2) por M el primer y el último miembro de la expresión anterior:

∑∑

=

= ⋅=⋅⇔⋅=⋅N

1iiiCM

N

1iii

CM )t(am)t(aMM

)t(amM)t(aM

rr

r

r

Agrupando las fuerzas interiores y exteriores por separado para todas las partículas del sistema:

∑∑

∑∑

=⋅=

=

+=⋅

extCMtetanresul

int

extintCM

F)t(aMF

0F

FF)t(aM

rrr

rrr

El centro de masas se mueve como una sola partícula de masa M sometida a la acción de la

fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema.

• Ecuación de la dinámica de un sistema de partículas:

CMpr

Si derivamos respecto al tiempo el momento lineal del sistema, :

CM

N

1iii

N

1iiCM vM)t(vmpp

rrrr⋅=== ∑∑

==

tetanresul

rN

1iexti

CM FFdtpd rr

== ∑=

dtpd CMr

F tetanlresu

r=

El movimiento de un sistema de partículas es equivalente al movimiento de su centro de masas, comportándose como una partícula de masa M sometida a la acción de la fuerza resultante de las fuerzas exteriores.

La fuerza resultante de las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema coincide con la

variacion del momento lineal con el tiempo del sistema de particulas.

Si el sistema es cerrado: .ctep0F Stetanresul =⇒=rr

• Ley de conservación del momento lineal

Sistema cerrado (sólo fuerzas interiores): .cte=p0F CMtetanresulr

⇒=r

En un sistema cerrado su momento lineal total se conserva. Si .cteS =p0Fr

tetanresul ⇒=r

⇒

( )tvCM

r cte.

12

• Ejemplo 4: dos cuerpos de masas mA = 2 kg y mB = 3 kg, están moviéndose en sentido positivo a

lo largo de los ejes X e Y, respectivamente, con velocidades vA = 3 m ⋅ s−1 y vB = 1 m ⋅ s−1. En un

instante determinado, el cuerpo A se encuentra a 1 m del origen y el cuerpo B a 2 m. Determina

en ese instante: a) La posición del centro de masas; b) su velocidad; c) el momento lineal total.

a) ( )( )

mj56i

52

32j23i12

mmrmrm

m

trmtr

21

2211N

1ii

N

1iii

CM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+⋅+⋅

=+

⋅+⋅==

∑

∑

=

=rr

rrrrr

r

b) ( )( )

s/mj53i

56

32j13i32

mmvmvm

m

tvmtv

21

2211N

1ii

N

1iii

CM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+⋅+⋅

=+

⋅+⋅==

∑

∑

=

=rr

rrrrr

r

c) ( ) s/m⋅kgj3i6j53i

565vMp CMCM +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⋅=

r r r rrr

3. SISTEMA DE REFERENCIA DEL CENTRO DE MASAS

• Sistema de referencia ligado al centro de masas (sistema CM) del sistema de partículas

alternativo a cualquier sistema de referencia inercial (sistema de referencia en el que las leyes

del movimiento cumplen las leyes de Newton). Útil para describir colisiones entre objetos.

• Si la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema es 0 el sistema CM es

inercial, y la velocidad del centro de masas es constante.

• Sistema CM:

Posición de una partícula i respecto al CM: CMii rr'rrrr

−=

Velocidad del CM en el sistema CM: 0

Velocidad de una partícula i del sistema con respecto al sistema CM: i vCMi vurrr

−=

• Ejemplo 5. Sistema de dos partículas.

21

2211CM mm

vmvmv+

⋅+⋅=

rrr

Velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas:

( )21

212CM11 mm

vvmvvu+−⋅

=−=rr

rrr

Velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas: ( )21

211CM22 mm

vvmvvur

+−⋅

−=−=r

rrr

En el nuevo sistema de referencia, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.

• Momento lineal respecto al sistema CM:

Momento lineal total del sistema de partículas en el sistema de referencia de Laboratorio (L):

CM

N

1iii

N

1iiS vM)t(vmpp

rrrr⋅=== ∑∑

==

13

Momento lineal total del sistema de partículas en el sistema CM:

( )

0um

0pvmvMvmmvvmvvmum

N

1iii

N

1iCMii

N

1iCMii

N

1i

N

1iiCMii

N

1iCMii

N

1iii

=⇔

⇔=−=⋅−=−=−=

∑

∑∑∑ ∑∑∑

=

=== ===

r

rrrrrrrrr

Conclusión: el momento lineal del sistema respecto del sistema CM es 0.

11CM,1 umprr⋅= 22CM,2 ump

rr⋅= Para un sistema de dos partículas:

CM,2CM,12211CM,2CM,1CM,SIST pp0umumppprrrrrrr

−=⇒=⋅+⋅=+=

El momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema CM es igual y opuesto al momento

lineal de la partícula 2 respecto del sistema CM.

• Ejemplo 6: Dos cuerpos de masas mA = 2 kg y mB = 4 kg, están moviéndose a lo largo de los

ejes X e Y, respectivamente: el cuerpo A se encuentra a 3 m del origen moviéndose con una

velocidad vA = 3 m s−1 en sentido positivo del eje X; el cuerpo B se encuentra a −5 m del origen

moviéndose con una velocidad vB = −6 m s−1 en el eje Y. Determinar en ese instante: a) La

posición del centro de masas; b) la velocidad del centro de masas; c) la cantidad de movimiento

total; d) La posición de cada partícula, respecto al centro de masas; e) La velocidad de cada

partícula, respecto al centro de masas; f) el momento lineal, respecto al centro de masas.

( ) mj3

10i42

j54i32mm

rmrm

m

rmr

21

2211N

1ii

N

1iii

CM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+−⋅+⋅

=+

⋅+⋅==

∑

∑

=

=rr

rrrrr

ra)

( ) ( ) s/mj4i42

j64i32mm

vmvm

m

vmb) v

21

2211N

1ii

N

1iii

CM

rrrrrr

r

r−=

+−⋅+⋅

=+

⋅+⋅==

∑

∑

=

=

( ) ( ) s/mkgj24i6j4i6vMp CMCM ⋅−=−⋅=⋅=rrrrrr

c)

( ) mj3

10i2j3

10ii3rr' CM11 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−=

r r r r rd) r

rrr

( ) mj35ij

310ij5rr'r CM22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=−=

rrrrrrrr

( ) ( ) ( ) s/mj4i2j4ii3vvr

e) u CM11

rrrrrrr+=−−=−=

( ) ( ) ( ) s/mj2ij4ij6vvu CM22

rrrrrrrr−−=−−−=−=

( ) ( ) 0j2i4j4i22umpN

1iiiCM,sist =−−⋅++⋅== ∑

=

rrrrrrf)

14

4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 4.1. ENERGÍA CINÉTICA

• La energía cinética de un sistema de partículas respecto de un sistema de referencia inercial O es

igual a la suma de las energías cinéticas individuales de cada partícula respecto de dicho sistema:

2ii

N

1i

N

1iCiCS vm

21EE ⋅⋅== ∑∑

==

• Relación entre la energía cinética de traslación de un sistema de partículas respecto a un

sistema de referencia inercial O con la energía cinética del sistema respecto del CM y la energía

del CM respecto a O.

CMii vuvrrr

+=

( ) i⋅⋅ iCM

N

1i

2ii

N

1i

2CM

2CMi

N

1i

2ii

N

1iCS umv2

21um

21vM

21uvm

21vm

21E

rrrrrrr⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅=⋅⋅= ∑∑∑∑

====

0umN

1iii =⋅∑

=

r ⇒ 2

ii

N

1i

2CMCS um

21vM

21E

rr⋅⋅+⋅⋅= ∑

=

Conclusión: la energía cinética de un sistema respecto a O es igual a la suma de la

energía del CM respecto a O (energía cinética de traslación del sistema) y de la energía

cinética del sistema respecto del CM (energía cinética interna del sistema).

• Sistema compuesto por dos partículas de masas m1 y m2:

Fuerzas externas sobre las partículas: 1Fr

y F2

r.

Fuerzas internas sobre las partículas: F12

r y F21

r.

Partícula 1: se desplaza por la trayectoria C1 un 1rdr

a una velocidad 1vr

en un instante determinado.

Partícula 2: se desplaza por la trayectoria C2 un 2rdr

a una velocidad 2vr

en un instante determinado.

• De acuerdo con la 3ª ley de Newton: F 21122112 FF0Fr r r r

−=⇒=+

• La ecuación del movimiento de cada partícula es (2ª ley de Newton):

2122

1211 FF

dtpdFF

dtpd rrrrrr

+=+=

• Trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre las partículas 1 y 2:

( ) ( ) 2212211211 rdFFdWrdFFdWrrrrrr

⋅+=⋅+=

• Trabajo total de las fuerzas qua actúan sobre el sistema de partículas: igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas externas y el trabajo realizado por las fuerzas internas.

( ) ,intSext,S

N

1iiiji

N

1iiS WWrdFFWW +=⋅+== ∑∫∑

==

rrr

15

Trabajo de las fuerzas interiores 12Fr

y 21Fr

: siempre que haya un desplazamiento relativo de la

partícula 1 respecto de la 2, ya que ( ) 12rd212 rrdrdrd 1rr r rr

== −− (no necesariamente es nulo,

solo en sistemas indeformables).

Como que F iii amr r

⋅= :

( ) ( ) cSEΔ= N

1ici

N

1i

2ii

2ii

N

1i

B

A iii

N

1iiS EAvm

21Bvm

21rdamWW Δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅== ∑∑∑∫∑

====

rr

Conclusión: el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas

cuando evoluciona entre 2 puntos del campo es igual a la variación de la energía cinética del sistema.

4.2. ENERGÍA POTENCIAL

• La energía potencial es una energía asociada a la posición de las partículas dentro del campo.

• Si las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema son conservativas (el trabajo

realizado por una fuerza conservativa al desplazar una partícula entre 2 puntos de un campo no

depende de la trayectoria que siga la partícula, solo depende de las coordenadas de los puntos

inicial y final; ejemplos: fuerzas elástica y gravitatoria) el trabajo realizado por estas fuerzas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final:

pSEΔ− ,intSext,S

N

1i

B

A iiS WWrdFW =+=⋅= ∑∫=

rr

EEWWWW

• Si las fuerzas externas son no conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas no

conservativas es igual al cambio en la energía mecánica del sistema.

mint,pcext,Sint,Sext,SS EΔΔ Δ= + =⇒+=

4.3. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN SISTEMA

• Ley de conservación de la energía mecánica: si las fuerzas que actúan sobre un sistema de

partículas son conservativas, la energía mecánica del sistema permanece constante.

cS EW Δ= y pEWS Δ−=

0EEEEE mi,mf,mpc =Δ⇒=⇒Δ−=Δ

• Si sobre el sistema actúan fuerzas no conservativas, el trabajo realizado por estas fuerzas es

igual a la variación de la energía mecánica total del sistema.

.consnoWm =EΔ

4.4. COLISIONES

• Colisión: interacción entre dos o más cuerpos que tiene lugar en un intervalo muy corto de

tiempo y en un punto determinado del espacio.

Se produce un intercambio de momento lineal y de energía.

Si las fuerzas exteriores son insignificantes se conserva el momento lineal y la energía total.

16

• Sean dos masas m1 y m2, cuyas velocidades antes del

choque son u1 y u2 y después del choque son v1 y v2 , la

conservación de la energía total implica:

f,pf, E+ ci,pi,c EEE =+

• Clasificación de los choques según los valores de Q: i,pf, Epi,cf,c EEEQ −=−=

a) Choque elástico: Q = 0

Se cumple el principio de conservación del momento lineal:

22112211 vmvmumum ⋅+⋅=⋅+⋅

Se cumple el principio de conservación de la energía: la energía cinética inicial es igual

a la final:

22

211

222

211 v

21vm

21um

21um

21

+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ 2m ⋅⋅

Dadas u1 y u2 (velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque), se puede

calcular las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque:

( )21

121221 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅= ( )

21

212112 mm

ummum2v+

⋅−+⋅⋅=

b) Choque inelástico: Q ≠ 0

Choque inelástico de primera clase o endoérgico: Q < 0. Disminuye la energía

cinética y aumenta la energía potencial interna.

Choque inelástico de segunda clase o exoérgico: Q > 0. Aumenta la energía cinética

a expensas de la energía potencial interna.

• Cuando hay un choque siempre hay un intercambio de momento lineal entre los dos cuerpos

pero no necesariamente un intercambio de energía cinética entre ellos.

• Caso particular de un choque inelástico: objetos que

tienen la misma velocidad tras el choque. Ejemplo:

sistema aislado formado por una bala y un objeto contra el

que choca, de modo que la bala penetra en el objeto hasta

que ambos adquieren la misma velocidad.

El momento lineal se conserva.

( ) ( ) cmf01 vMmvMm0vm + +=⋅ ⋅=+⋅

La energía cinética no se conserva. La variación de energía cinética es:

( ) 20

2fi,cf,cc vm

21vMm

21EEE ⋅⋅−⋅+=−=Δ

Ec, f < Ec, i

•

17

• Si el choque es instantáneo se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal

(las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema se anulan).

• Si el choque tiene sea de duración finita, las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de

partículas no se anulan: no se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal.

• Ejemplo 7. Un cuerpo de 1 kg se mueve en un plano horizontal hacia la derecha a 2 m ⋅ s−1 y

sufre un choque elástico con un cuerpo de 2 kg que se mueve hacia la izquierda a 2 m ⋅ s−1.

Halla: a) las velocidades finales de ambos cuerpos; b) la energía cinética total final. a) Choque elástico: se conserva la cantidad de movimiento: pantes = pdespués

( ) 2121 v2v2v2v1i22i21 +=−⇒⋅+⋅=−⋅+⋅rrrr

222

211

222

211 vm

21vm

21um

21um

21

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ⇒ Choque elástico: se conserva la energía cinética:

( ) 22

21

22 v221v1

2122

2121

21

⋅⋅+⋅⋅=−⋅⋅+⋅⋅ 22

21 vv

21

⇒ ⇒ 6 +⋅=

s/m3

10v;s/m32v 12 −=+=

( ) J6222121

21um

21um

21E 222

21211antes,c =−⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=b)

• Ejemplo 8. Un automóvil de masa 1500 kg que se desplaza a una velocidad de 108 km ⋅ h−1

colisiona frontalmente con un camión de masa 25000 kg que se desplaza a 90 km ⋅ h−1;

quedando unidos después del choque. Calcula: a) La velocidad común después del choque; b)La pérdida de energía.

a) Choque inelástico: se conserva la cantidad de movimiento pero no se conserva la energía

cinética.

v1 = 108 km ⋅ h−1 = 30 m ⋅ s−1 ⇒ v s1 /mi30rr

=

2

v2 = 90 km ⋅ h−1 = 25 m ⋅ s−1 ⇒ v s/mi25rr

−=

( ) ( ) ( )( ) s/mi89,21v

v250001500i2525000i301500vmmvmvm 212211rr

rrrrrr

−=

⇒⋅+=−⋅+⋅⇒⋅+=⋅+⋅

s/m89,21v =

J8487500252500021301500

21vm

21vm

21E 222

221i,c =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=b)

( ) ( ) J56349030,3289,2125000150021vmm

21E 22

f21f,c =⋅+⋅=⋅+⋅=

J675,2138469848750056349030,32EEE i,cf,cc −=−=−=Δ

18

5. SISTEMAS EN ROTACIÓN. MOMENTO DE LA FUERZA RESULTANTE Y MOMENTO ANGULAR DEL SISTEMA DE PARTÍCULAS. RELACIÓN ENTRE AMBOS

5.1. MOMENTO DE LA FUERZA RESULTANTE

• Ejemplo: La aplicación de la misma

fuerza, Fr

, perpendicular al radio r y

en la periferia de los tres objetos de

la misma masa m produce un

momento de fuerza, Mr

, igual. Aunque cada cuerpo gira con una aceleración angular diferente.

• Ecuación fundamental de la dinámica de rotación (2ª ley de Newton aplicada a la rotación):

αrr

⋅= IM

• I: Momento de inercia de una partícula respecto de un eje de giro: producto entre su masa

m por el cuadrado de la distancia al eje de giro r. 2rmI ⋅=

Unidades (SI): kg ⋅ m2

Magnitud que representa en el movimiento de rotación el mismo papel que la masa inerte, m,

en el movimiento de traslación.

Medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento de

rotación respecto de un eje cuando se le aplica un momento de torsión de una fuerza.

Su valor depende del eje de rotación escogido.

Su valor depende de la distribución de la masa dentro del objeto respecto al eje de rotación.

Esfera homogénea y maciza respecto de su diámetro como eje: 2Rm52I ⋅=

Cilindro homogéneo y macizo (eje que pase por el centro de las bases): 2Rm21I ⋅=

Anillo respecto de su eje central: 2RmI ⋅=

• Momento de inercia de un sólido rígido discreto: ⋅ 2ii rm∑

=

=N

1iI

Ecuación fundamental de la dinámica de rotación: ααrrr

⋅⋅=⋅= ∑=

N

1i

2ii rmIM

• Momento de inercia de un sólido rígido continuo: dmrIM

2∫=

Ecuación fundamental de la dinámica de rotación: ααrrr

⋅=⋅= ∫ dmrIMM

2

19

5.2. MOMENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS r• El momento angular, de un sistema discreto de particulas respecto de un sistema de

referencia inercial O es la suma vectorial de los momentos angulares de todas las partículas del

sistema respecto del observador O L

OL

Oi

r.

iiiiiOi prvmrLrrrrr

×=⋅×=

∑∑ ∑== =

×=⋅×==N

1iii

N

1i

N

1iiiiOiO prvmrLL

rrrrrr

• Ejemplo: movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje.

Sólido rígido: sistema formado por partículas tales que las distancias entre

ellas se mantienen constantes incluso bajo la acción de fuerzas.

...vmrvmrvmrL 333222111 +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Cada una de sus partículas describe un movimiento circular (v = ω ⋅ r):

( ) ωωωωω ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= I...rmrmrm...rmrmrmL 233

222

211

233

222

211

ωrr

⋅= IL

Ecuación válida para sólidos rigidos discretos y continuos cuyo eje de giro sea un eje de

simetría fijo o se mantenga paralelo a sí mismo. 5.3. TEOREMA DEL MOMENTO CINÉTICO

• Teorema del momento cinético: relación entre el momento angular de un sólido y el momento

de las fuerzas aplicadas.

• La variación del momento angular respecto al tiempo de un sistema de particulas respecto a un punto es igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto.

αrr

r

⋅== IMdtLd

∑∑∑∑∑∑ ∑====== =

×+×=×+×=×=⋅×==N

1i

ii

N

1iii

N

1i

ii

N

1ii

iN

1iii

N

1i

N

1iiiiiOO dt

pdrpvdtpdrp

dtrdpr

dtdvmr

dtdL

dtdL

dtd

rrrr

rrr

rrrrrrr

∑ : v y tienen la misma dirección y su producto vectorial es 0. 0pvN

1iii =×

=

rr ri ip

r

αrr

rrrrrr

rr

⋅==⇒+==×=× ∑∑∑∑∑∑ ===

IMdtLdMMMFr

dtpdr extextint

N

1ii

N

1iii

N

1i

ii

Mr

i : momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula del sistema

respecto al origen de coordenadas, tanto fuerzas interiores como exteriores.

∑ 0Mint =r

: se anulan por parejas ya que cada fuerza interior y la reacción correspondiente

dan origen a momentos opuestos cuya suma parcial es 0.

∑=

=N

1ii,extO ML

dtd rr

20

6. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

• Teorema de conservación del momento angular: Si el momento de las fuerzas exteriores respecto a un punto es nulo, o el sistema está aislado (Fext = 0), el momento angular del sistema respecto del mismo punto permanece constante en magnitud y direccion.

.cteL0MSi =⇒=rr

• Resultado válido si el origen de todos los momentos de las fuerzas coincide con el origen del

momento angular o si todos los momentos de las fuerzas están referidos al mismo eje de simetría.

• Situaciones en las que 0M =r

:

a) 0Fext =∑r

.

b) Que exista alguna fuerza exterior pero que su momento sea 0 debido a:

La fuerza pasa por el eje de giro: r = 0 ⇒ M = 0 (M = F ⋅ r ⋅ sen θ). Ejemplo: variación de

la velocidad de giro de un patinador modificando la forma de su cuerpo.

La fuerza es paralela a : θ = 0º ⇒ sen θ= 0 ⇒ M = 0. Ejemplo: las fuerzas gravitatorias. rr

• .cteI.cteL0MSi =⋅⇔=⇒= ωrr

Si el sólido es rígido y gira alrededor de un eje principal I = cte. Por lo que ω = cte. si sobre él

no actúa ningún momento externo.

Si el sólido es deformable (un patinador, un acróbata, I puede variar respecto al eje de giro.

Por tanto, si I ⋅ ω = cte., se debe escribir:

I1 ⋅ ω1 = I2 ⋅ ω2

En este caso, si el momento de las fuerzas exteriores es 0 y disminuye el momento de inercia

del cuerpo, aumentará su velocidad angular y viceversa.

• Ejemplo 9: la resultante de las fuerzas de un patinador que gira sobre sí mismo con los brazos

alejados de su cuerpo es nula. Por tanto, también es anula si recoge los brazos sobre su cuerpo

disminuye su momento de inercia y el movimiento de rotación aumenta de velocidad angular.

• Ejemplo 10. Si la Tierra es una esfera de masa 5,98 ⋅ 1024 kg y

6370 km de radio, calcula su momento angular debido al giro

alrededor de su eje. Datos: I = 2/5 ⋅ (M ⋅ R2).

I = 2/5 ⋅ M ⋅ R2 = 2/5⋅ 5,98 ⋅ 1024 ⋅ (6370 ⋅ 106)2 = 9,7 ⋅ 1037 kg ⋅ m2

ω = (1 vuelta/24 h) ⋅ (2π rad/1 vuelta) ⋅ (1 h/3600 s) = 7,3 ⋅ 10−5 rad/s

L = I ⋅ ω = 9,7 ⋅ 1037 kg ⋅ m2 ⋅ 7,3 ⋅ 10−5 rad/s = 7,1 ⋅ 1033 kg ⋅ m2 ⋅ s−1

12 sm −⋅33 kgk101,7L ⋅⋅=rr

21

• Ejemplo 11. Una mujer está de pie en el centro de una plataforma giratoria con los brazos

extendidos horizontalmente con una pesa de 2 kg en cada mano. La mujer gira alrededor de un

eje vertical, que pasa por el centro de la plataforma, con una velocidad de una vuelta cada 2 s.

Las pesas que sostiene se encuentran a 1 m de distancia del eje de giro. Calcula la nueva

velocidad angular si baja los brazos a ambos lados del cuerpo situándose las pesas a 20 cm

del eje de giro. Datos: Imujer = 6 kg ⋅ m2.

Sistema aislado: Si .cteI.cteL0M =⋅⇔=⇒= ωrr

I0 = Imujer + Ipesas = 6 kg ⋅ m2 + 2 ⋅ (2 ⋅ 12) = 10 kg ⋅ m2

I = 6 kg ⋅ m2 + 2 ⋅ (2 ⋅ 0,22) = 6,16 kg ⋅ m2

ω0 = (1 vuelta/2 s) ⋅ (2π rad/1 vuelta) = π rad/s

I0 ⋅ ω0 = I ⋅ ω ⇒ ω = (I0 ⋅ ω0)/ I = (10 kg ⋅ m2 ⋅ π rad/s)/ 6,16 kg ⋅ m2 = 5,1 rad/s

7.-ENERGÍA CINÉTICA DE UN SÓLIDO EN ROTACIÓN

• Sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo, equivalente a un

sistema de partículas de masa m1, m2, m3, …, situadas a distancias

r1, r2, r3, … del eje de giro.

• Energía cinética de cada partícula: 2iici vm

21E ⋅⋅=

• Energía cinética total de rotación:

I1E 2 ⋅⋅ 2

rm21rm

21vm

21 N

1i

2ii

22N

1i

2ii

N

1i

2iir,c =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∑∑∑

===

ωωω

I : momento de inercia del sólido alrededor del eje de giro. ∑=

⋅=N

1i

2ii rm

2r,c I

21E ω⋅⋅=

Ecuación análoga a la energía cinética de traslación: 2t,c vm

21E ⋅⋅=

• Energía cinética total del cuerpo si posee un movimiento de traslación y otro de rotación:

22CMr,ct,cc I

21vM

21EEE ω⋅⋅+⋅⋅=+=

22

• Ejemplo. Determina la energía cinética inicial y la energía cinética final del ejemplo 11 y

compara los resultados obtenidos.

J35,491021I

21E 22

000cr =⋅⋅=⋅⋅= πω

J11,801,516,621I

21E 22

cr =⋅⋅=⋅⋅= ω

• Ejemplo. Una bala de forma cilíndrica, de radio 1 cm y peso 25 g, se mueve con una velocidad

de traslación de 10 m/s y gira sobre su eje principal con una velocidad de rotación de 360

rev/min. Si se empotra en una masa de hielo a una temperatura de 0 ºC. Si el 90 % de su

energía se transforma en calor, calcula cuánto hielo se funde en el proceso. Datos: I = ½ ⋅ M ⋅ r2;

Lf = 334,4 J/kg.

J25,170,371025,12110025,0

21I

21E 2622

r,c =⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅= −ω

Q = 0,9 ⋅ EC = 1,13 J

Q = m ⋅ Lf ⇒ m = Q/Lf = 0,46 J/334,4 J/kg = 0,00337 kg = 3,4 g

23

PROBLEMAS DE LA UNIDAD 3. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 1. Calcula el centro de masas de tres partículas puntuales, de masas m, 2m y 3m alineadas a lo

largo de una recta, tal que la distancia entre dos partículas contiguas es d.

Sol.: 4d/3

2. Halla las coordenadas del centro de masas formado por: una esfera homogénea de 1 kg cuyo centro

coincide con el punto (0, 0, 0) y una varilla vertical de 2 kg cuyo centro está en el punto (0, 2, 2).

Sol.: (0, 4/3, 4/3)

3. Conociendo en todo momento el movimiento del centro de masas de un sistema de puntos

materiales, ¿se conoce siempre el movimiento de todas y cada una de las partículas que lo

componen?

4. Se dispara un proyectil con una velocidad de 30 m ⋅ s−1, formando un ángulo de 45º con la

horizontal. En el curso de su vuelo el proyectil estalla, rompiéndose en dos partes, una de ellas de

doble masa que la otra. Ambos fragmentos llegan simultáneamente al suelo. El fragmento más

ligero aterriza a 25 m del punto de lanzamiento, en la misma dirección y sentido en que se disparó

el proyectil. ¿Dónde caerá el otro fragmento?

Sol.: 122,5 m

5. Dos cuerpos de masas mA = 3 kg y mB = 5 kg, están moviéndose en sentido positivo a lo largo

de los ejes X e Y, respectivamente, con velocidades vA = 2 m s−1 y vB = 4 m s−1. En un instante

determinado, el cuerpo A se encuentra a 2 m del origen y el cuerpo B a 4 m. Determinar en ese

instante: a) La posición del centro de masas; b) Su velocidad; c) La cantidad de movimiento total.

( ) smkgj20i6pCM /⋅+=rrr( ) smj

25i

43tvCM /⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

rrr( ) mj25i

43tSol.: a) rCM ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

r rr; b) ; c)

6. Un sistema está compuesto por tres partículas de masas m1 = 3 kg, m2 = 2 kg y m3 = 5 kg. La

primera partícula se desplaza paralelamente al eje Y, en dirección positiva con una velocidad de

v1 = 6 m s−1. La segunda se mueve con una velocidad de v2 = 8 m s−1 en una dirección que forma

un ángulo de 30º con la dirección positiva del eje X y 60º con la dirección positiva del eje Y.

Determina: a) La velocidad que debe tener la tercera partícula para que el centro de masas

permanezca en reposo; b) La cantidad de movimiento.

smj526i

514v3 /⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

rrrSol.: a) ; b) 0

7. Tres masas puntuales se mueven a lo largo del eje de abcisas con las siguientes velocidades:

una masa de 2 kg se mueve hacia la derecha a 6 m s−1; otra masa de 4 kg, se mueve hacia la

izquierda con una velocidad de −1 m ⋅ s−1, y finalmente, una masa de 2 kg se mueve hacia la

derecha a 2 m ⋅ s−1. Calcula: a) la velocidad del centro de masas; b) el momento lineal del sistema.

Sol.: a) s/mi23 r

s/mkgi12pCM ⋅=rr

vCMr

= ;b)

24

( ) s/mj2i3r r

8. Dos objetos de 5 kg de masa se mueven con velocidades vr

−= y 1

( ) s/mj2i6v2

rrr+= m s−1. Determina la velocidad con que se mueve el centro de masas y la

cantidad de movimiento total del sistema.

Sol.: v ; s/mi5,4CM

rr= s/mkgi45pCM ⋅=

rr

9. Un sistema está compuesto por tres partículas de 4, 1 y 6 kg de masa, situadas en los puntos (−2,

4) m, (3, 2) m y (3, −5) m, respectivamente, sobre una superficie plana. a) ¿Cuál es la posición del

centro de masas de dicho sistema? b) ¿Qué velocidad deberíamos comunicar a la tercera masa, si la

primera se encuentra en reposo y la segunda se mueve con una velocidad de 8 m ⋅ s−1 en la dirección

del eje de abcisas y sentido positivo, para que el centro de masa se mantuviese en reposo?

s/mi34 r

Sol.: a) mj1112i

1113rCM ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

rrr ; b) v3r

−=

1

10. Dos partículas de masas 2 kg y 4 kg se encuentran, en un instante, en los puntos (1, −3, 0) y

(1, 0, 0) m, respectivamente, y se mueven con velocidades v s/mir

s/mjiv2

rrr+=

r−= y .

Determinar en ese instante: a) Cantidad de movimiento del sistema formado por las dos

partículas; b) Momento cinético del centro de masas.

( ) s/mkgj4i2pS ⋅+=rrr

Sol.: a) ; b) L s/mkgk6 2CM ⋅=r

1

r

11. Dos masas de 20 kg y 12 kg, respectivamente, están situadas en los puntos (0, 2) m y (4, 0) m.

Sobre ellas actúan las fuerzas Fr

Nj8r

= 2 y Fr

Ni5r

= , respectivamente. Se pide: a) La velocidad

de cada una de las partículas, en función del tiempo; b) El momento lineal del sistema, en función

del tiempo; c) La velocidad del centro de masas, en función del tiempo; d) La velocidad de cada

partícula, respecto al centro de masas; e) El momento lineal, respecto al centro de masas.

( ) s/mkgjt8it5pS ⋅+=rrr

Sol.: a) s/mjt52 r

v1r

= , s/mi125v ; b) 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

rrs/mjt

41i

325

CM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

r; c) v

rr ;

d) s/mjt203i

325u1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

r rs/mjt

41i

9625

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

r r0p CM,S =

rr, ur

; e)

12. Una partícula de 5 kg de masa está situada en el punto (-1, 2) m. Otra partícula, de 10 kg de

masa, se encuentra en el punto (2, 4) m. La velocidad de la primera es 4 jr

m ⋅ s−1 y la de la

segunda i6r

m s−1. Calcula: a) El momento angular total del sistema respecto al origen y al centro

de masas; b) Verifica que se cumple la relación que existe entre ambos valores; c) Determina la

energía cinética total, relativa al origen y al centro de masas y comprueba la validez de la relación

que existe entre ambas.

Sol.: a) ; s/mkgk260L 2S ⋅−=

rrs/mkgk180L 2

CM ⋅−=rr

; b) se verifica; c) EC,S = 220 J, EC,CM =

133,33 J; la igualdad se cumple.

25

13. Un cuerpo de 3 kg se mueve en un plano horizontal hacia la derecha a 6 m ⋅ s−1 y sufre un

choque elástico con un cuerpo de 6 kg, inicialmente en reposo. Halla: a) Las velocidades finales

de ambos cuerpos; b) La energía cinética total final.

Sol.: a) v ; b) 54 J s/m2v;s/m4 12 −==

14. Dos automóviles de masa 1000 kg cada uno se desplazan a velocidades de 72 km ⋅ h−1 y 54

km ⋅ h−1; colisionan perpendicularmente quedando unidos después del choque. Calcula: a) La

velocidad común después del choque; b) La pérdida de energía.

Sol.: a) 12,5 m ⋅ s−1; b) −156250 J

15. Consideremos el siguiente choque perfectamente inelástico a lo largo del eje X: una partícula

de masa 3 kg y velocidad de 6 m ⋅ s−1 y otra de masa 2 kg y velocidad 4 m ⋅ s−1, se dirigen la una

hacia la otra, chocan y quedan unidas después del choque. Calcula: a) La velocidad final de

ambas después del choque; b) La variación de energía cinética.

Sol.: a) 2 m ⋅ s−1; b) −60 J

16. Se dispara una bala de 10 g contra un bloque de madera de 1,5 kg suspendido de un hilo

inextensible y de masa despreciable de 2 m, elevándose el conjunto hasta que el hilo forma un

ángulo de 60º con la vertical. Calcula la velocidad inicial de la bala.

Sol.: 675 m s−1

17. Una partícula de 2 kg de masa se mueve sobre el eje de ordenadas, en sentido positivo, a de

4 m ⋅ s−1. Otra partícula de 1,5 kg se mueve sobre el eje de abcisas, también en sentido positivo,

con una velocidad de 3 m ⋅ s−1. Tras el choque que se produce en el origen de coordenadas, la

primera partícula se mueve por el primer cuadrante en una dirección que forma un ángulo de 60º

con el eje de abcisas; la velocidad es 2 m ⋅ s−1. Calcula: a) La velocidad con que se moverá la otra

partícula tras la interacción; b) El ángulo de salida.

( ) s/mj03,3i67,1r r

Sol.: a) vr

+= ; b) º61=ϕ 2

18. La velocidad con que se mueve una granada es 2 ⋅ m s−1 en dirección horizontal. Estalla y se

divide en tres fragmentos de la misma masa. Uno de ellos sigue desplazándose horizontalmente,

con una velocidad de 4 m ⋅ s−1, otro se desplaza hacia arriba, en una dirección que forma un

ángulo de 60º con la horizontal y el tercero se desplaza hacia abajo, formando también un ángulo

de 60º con la horizontal. Calcula la velocidad con que se mueven el segundo y tercer fragmento.

Sol.: v2 = v3 = 2 m/s

19. Un disco horizontal gira libremente alrededor de su eje vertical por su centro, a razón de 2

r.p.s. Se deja caer un trozo de cera de 10 g sobre el disco a una distancia de 10 cm del eje y se

adhiere a él. La velocidad angular es ahora de 60 r.p.m. Calcula el momento de inercia del disco.

Sol.: 240 m kg10I −=

26

20. Un disco de 10 cm de radio y 100 g de masa y en posición horizontal gira en sentido

antihorario alrededor de un eje vertical que pasa por su centro, sometido a una fuerza de 1,5 N

tangente en su periferia. Calcula: a) el momento de la fuerza aplicada; b) la aceleración angular en

su periferia; c) su velocidad angular pasados 10 s. Datos: I = ½ ⋅ M ⋅ R2.

s/radk3000rr

=ωSol. : a) M mNk15,0 ⋅=rr

; b) 2s/radk300rr

=α ; c) .

21. Si la Luna es una esfera de masa 7,35 ⋅ 1022 kg y 1740 km de radio, calcula su momento angular

debido al giro alrededor de su eje cuya duración es de 28 días. Datos: I = 2/5 ⋅ (M ⋅ R2).

Sol. : Lr

1229 smkgk1031,2 −⋅⋅⋅=r

22. Un cuerpo, de 1 kg de masa, se mueve con una velocidad constante de 9 m ⋅ s−1, describiendo

una circunferencia de 7 m de radio en un plano horizontal. a) Calcula su momento angular

respecto al centro de la circunferencia. b) ¿Cuál es el momento de inercia respecto a un eje que

pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular al plano del movimiento? c) ¿Cuál es la

velocidad angular con que gira la partícula? 12 smkgk63L −⋅⋅=

rr1sradk29,1 −⋅⋅=

rrω; b) I = 49 kg ⋅ m2; c) Sol.: a)

23. Calcula el momento angular de un disco de 400 g de masa y 0,6 m de radio que gira en

posición horizontal a 30 rpm alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro y en

sentido horario. Datos: I = ½ ⋅ M ⋅ R2.

Sol. : Lr

12 smkgk072,0 −⋅⋅−=r

π

24. Una rueda tiene un momento de inercia de 10 kg ⋅ m2 y gira dando 40 r.p.m. Si al aplicarle una

fuerza tangencial y constante se para en 30 s, calcula el momento de la fuerza aplicada.

94M π

= N ⋅ m Sol.:

25. ¿A qué distancia del centro de un disco homogéneo de masa M y radio R hay que pegar una

masa puntual M para que el momento de inercia del conjunto sea el doble que el del disco? Datos:

Idisco homogéneo = ½ ⋅ M ⋅ R2

22Rd = Sol.:

26. Para calcular el momento de inercia de un sólido respecto a un eje se puede considerar toda

su masa concentrada en el centro de masas del sólido y tratarlo como un punto material. Justifica

si esta afirmación es correcta.

Sol.: Falso.

27

27. Para calcular el momento de inercia de una figura cilíndrica de radio 5 cm que gira

horizontalmente en torno a su eje, se enrolla en torno a ella un hilo de masa insignificante del que

está suspendida una masa de 1 kg. Partiendo del reposo, la masa desciende 27 m en 3 s.

Calcular: a) La aceleración de la masa y la tensión del hilo; b) La aceleración angular; c) el

momento de inercia.

Sol.: a) a = 6 m/s2, T = 3,8 N; b) α = 120 rad/s2; c) I = 0,0016 kg ⋅ m2

28. Un cilindro homogéneo, de 20 cm de radio gira a una velocidad de 100 r.p.m. alrededor de un

eje que pasa por su centro de masas, paralelo a su generatriz. Para conseguir detenerlo se aplica

una fuerza tangencial constante de 100 N y el cilindro se detiene 10 segundos. Calcula el

momento de inercia del cilindro.

Sol.: I = 19,10 kg ⋅ m2

29. Un volante cilíndrico de radio 20 cm y masa 50 kg gira a una velocidad de 10 r.p.s. en torno a

su eje de simetría. Se aplica una fuerza de fricción tangente a la superficie exterior y perpendicular

al eje de giro de forma que se detiene al cabo de un tiempo. Calcula el trabajo realizado por las

fuerzas de rozamiento. Datos: I = ½ ⋅ M ⋅ R2.

Sol.: Wrozamiento = −1972 J.

30. Un disco homogéneo de 0,2 m de radio y 10 kg de masa gira a 300 r.p.m. alrededor de un eje

vertical, normal al plano, que pasa por su centro. Sobre el mismo eje y encima del anterior hay otro

disco homogéneo de 0,1 m de radio y 8 kg, inicialmente en reposo. Se deja caer el segundo disco

sobre el primero y los discos, por rozamiento, terminan por girar juntos. Calcular: La velocidad

angular común cuando giran juntos. Datos: I = ½ ⋅ M ⋅ R2.

Sol.: ω = 26,18 rad/s

31. Un disco gira libremente con una velocidad angular de 1500 rpm, alrededor de un eje vertical

que pasa por su centro. Un segundo disco, montado en el mismo eje encima del primero, está

inicialmente en reposo. El momento de inercia del segundo disco es doble que el del otro. Se deja

caer sobre el primero y, finalmente, ambos giran juntos, con una velocidad angular común. Calcula:

a) la nueva velocidad angular; b) compara la energía cinética de rotación del sistema, antes y

después del choque de los dos discos.

Sol.: a) 52,36 rad/s; b) Ec, r, final/Ec, r, inicial = 1/3

32. Un volante de 80 cm de diámetro puede girar libremente alrededor de un eje horizontal. Sobre

una cuerda arrollada en la periferia del volante se ejerce una fuerza constante de 40 N. Se observa

que, partiendo del reposo, al cabo de 5 s se han desenrollado 6 m de cuerda. Determinar: a) La

aceleración angular y la velocidad angular al cabo de 5 s; b) el momento de inercia del volante.

Sol.: a) α = 1,2 rad/s2, ω = 6 rad ⋅ s−1; b) I = 13,3 kg ⋅ m2

28

33. Una cuerda de masa despreciable se enrolla en un cilindro de masa 3 kg. El extremo libre de la

cuerda se ata al techo desde donde el cilindro se deja caer partiendo del reposo. A medida que la

cuerda se desenrolla, el cilindro gira. Calcula: a) la aceleración del centro de masas; b) la tensión de

la cuerda. Datos: Icilindro = ½ ⋅ M ⋅ R2

Sol.: a) a = 6,53 m/s2; b) T = 9,81 N

34. Un cilindro macizo y homogéneo de una tonelada y 1 metro de radio que puede girar sin

rozamiento alrededor de un eje horizontal, lleva enrollada una cuerda, de masa despreciable, de

cuyos extremos penden masas de 100 y 50 kg respectivamente. Dejando el conjunto en libertad de

movimiento, calcula las velocidades lineal y angular al cabo de 10 s de iniciarse el movimiento.

Datos: Icilindro = ½ ⋅ M ⋅ R2.

Sol.: v = 7,5 m/s, ω = 7,5 rad/s

35. Un cilindro macizo de 20 kg rueda sin rozamiento, por un plano inclinado 30º con la horizontal, a

lo largo de 100 m. Calcular, al final del descenso, su velocidad lineal y su energía cinética de

rotación. Datos: Icilindro = ½ ⋅ M ⋅ R2.

Sol.: v = 25,56 m/s, Ec,r B = 3256,57 J

36. Una persona está sentada en un taburete giratorio y sostiene un par de pesas de gimnasia,

situadas a 1 m del eje de rotación de la silla. Se le comunica a la silla una velocidad angular de 4

rad ⋅ s−1, después de lo cual acerca las dos pesas a 25 cm del eje. El momento de inercia de la

persona, respecto al eje de giro, puede considerarse constante y de valor 8 kg ⋅ m2. Las pesas

tienen una masa de 12 kg cada una y pueden considerarse puntuales. Despreciando el rozamiento:

a) ¿cuál es el momento angular del sistema?; b) ¿cuál es la velocidad angular después de que las

dos pesas se aproximan al eje?; c) calcula la energía cinética del sistema antes y después de la

operación.

Sol.: a) L0 = 128 kg ⋅ m2 ⋅ s−1; b) ω = 13,47 rad/s; c) Ecr 0 = 256 J, Ecr = 861,84 J

37. Dos niños, ambos con una masa de 30 kg, están sentados cada uno en un extremo de una

barra horizontal, de 2,5 m de largo y 12 kg de masa. La barra gira con una velocidad angular de 10

r.p.m. respecto a un eje vertical que pasa por su centro. a) ¿Cuál será la velocidad angular, si cada

niño se mueve 50 cm hacia el centro de la barra? b) ¿Cómo varía entonces la energía cinética de

rotación del sistema? Datos: Ibarra = 1/12 ⋅ M ⋅ L2.

Sol.: a) ω = 2,62 rad/s; b) ΔEc,r = 82,48 J

38. Desde lo alto de un plano de 3 m de longitud y 37º con la horizontal se dejan caer rodando, sin

deslizar, y partiendo del reposo un cilindro homogéneo, una superficie cilíndrica y una esfera.

Justifica cuál llega abajo con mayor velocidad.

Datos: Ic = ½ ⋅ Mc ⋅ Rc2; Isc = Msc ⋅ Rsc

2; Ie = 2/5 ⋅ Me ⋅ Re2.

Sol.: La esfera.