Dualidad Gravedad/Teor´ıa Cuantica de Campos´ en el Frente...
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Dualidad Gravedad/Teorıa Cuantica de Camposen el Frente de Luz
Guy F. J. de Teramond
Universidad de Costa Rica
Simposio Centroamericano y del Caribe de Fısica
XXVIII CURCCAFUniversidad de Costa Rica
GdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)
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Electrodinamica Cuantica (QED)• QED teorıa fundamental de la interaccion de electrones y fotones
• Lagrangiano de QED: ψ(x)→ eiα(x)ψ(x)
LQED = −14
(FµνFµν) + iψDµγµψ +mψψ
• QED describe la electrodinamica, la fısica atomica, la quımica y las propiedades basicas del electron
con precision extraordinaria. Ej. factor g del electron:
gexp = −2.0023193043622(15)
gQED = −2.002319304 . . .
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Estructura Interna del Proton: SLAC (1969)• Experimentos a altas energıas (20 GeV) en SLAC revelaron la estructura interna del proton
• Estudio de colisiones profundamente inelasticas (1967-1973): constituyentes puntuales (partones de
Bjorken y Feynman ) identificados con los quarks de Gell-Mann y Zweig
• Interacciones de los constituyentes fundamentales del proton, quarks y gluones, pueden describirse
mediante una generalizacion notable de QED: cromodinamica cuantica (QCD)
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Cromodinamica Cuantica (QCD)
(qu = 2
3 , qd = −13
)• QCD teorıa fundamental de la interaccion de quarks y gluones mediante la carga de “color”
• Lagrangiano de QCD ψ(x)→ eiαa(x)Ta
ψ(x)
LQCD = − 14g2
Tr (GµνGµν) + iψDµγµψ +mψψ
• A diferencia de QED los gluones interactuan
entre si: CONFINAMIENTO
• Problema complejo de la dinamica de las interacciones fuertes: determinar la composicion de los
hadrones en terminos de sus constituyentes fundamentales quarks y gluones
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Simulacion de QCD(Lattice QCD)
• Simulaciones numericas a escala de
teraflops/sec (resolucion∼ L/a)
• LQCD (2009) > 1 petaflop/sec
–a–
← L →
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AdS/QCD• Desarrollos recientes inspirados en la correspondencia AdS/CFT [Maldacena (1998)] entre teorıas de
cuerdas en el espacio de anti-de Sitter (AdS) y teorıas de campo conformes (invariante de escala)
en el espacio-tiempo fısico, han introducido nuevos metodos para el estudio de teorıas de campo
fuertemente acopladas como QCD
• AdS/QCD: Teorıa gravitacional efectiva se construye de manera a incluir propiedades sobresalientes
de QCD (“bottom-up” vs “top-down”)
• Derivacion no-perturbativa reglas de conteo colisiones a altas energıas para teorıas de calibre (gauge)
con confinamiento duales a teorıas de cuerdas en espacio curvo [Polchinski y Strassler (2001)]
• Interacciones fuertes entre quarks y gluones representadas por teorıa semiclasica (sin efectos cuanticos
como creacion y aniquilamiento de partıculas) de gravedad en un espacio de mas dimensiones: AdS5
• Nueva vision del confinamiento de color y predicciones cuantitativas para el espectro de mesones y
bariones y la funcion de onda que describe la estructura de los hadrones
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Geometrıa del Espacio AdS• Ejemplo de curvatura positiva esfera: distancia entre cualquier punto y su centro r2 = x2 + y2 + z2
(Euclides 300 AC). Distancia infinitesimal entre dos puntos ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
• Metrica del espacio AdS5:
ds2︸︷︷︸LAdS
=R2
z2
[(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 − c2(dt)2︸ ︷︷ ︸
LMinkowski
−du2]
• Una distancia LAdS se contrae por el factor
de distorsion R/u medido por un observador
en el espacio de Minkowski (du = 0):
LMinkowski ∼u
RLAdS
• AdS es un espacio de curvatura negativa
cuya frontera asintotica es el espacio
cuadri-dimensional (Minkowski)
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Invariancia de Escala y Confinamiento• Metrica AdS invariante a cambios simultaneos en las escalas de distancia y tiempo en el espacio-
tiempo usual xµ → λxµ con el cambio de escala en la quinta dimension de AdS: u→ λu
• Diferentes valores de u corresponden a diferentes escalas a las cuales el proton es examinado
• Intervalos cortos xµxµ → 0 son mapeados a la frontera UV de AdS, u → 0, que corresponde al
lımite Q→∞: distancia cero en 4-dim
• Dimensiones de confinamiento extensas xµxµ ∼ 1/Λ2
QCD son mapeadas a la region IR de AdS
u0 ∼ ~c/ΛQCD: existe una maxima separacion de quarks y un valor maximo de u0 en la frontera IR
• Operadores locales como los operadores de interpolacion O (que crean los hadrones en QCD) y
LQCD estan definidos en terminos de campos de quarks y gluones en la frontera UV
• Utilizamos las isometrıas de AdS para mapear los operadores de interpolacion en la frontera UV de
AdS en los modos que se propagan al interior de AdS
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Holografıa en el Frente de Luz• Formulacion usual de AdS/QCD [Erlich, Katz, Son y Stephanov (2005); Da Rold y Pomarol (2005)] no
existe conexion explıcita con la estructura de los constituyentes fundamentales hadronicos
• Cuerdas describen objetos extendidos de spin J (sin quarks). Constituyentes fundamentales de QCD
son partıculas puntuales y los hadrones tienen momento orbital: como pueden estar relacionados?
• Quantizacion en el frente de luz [Dirac (1949)] es el metodo ideal para describir la estructura hadronica
en terminos de quarks y gluones: estructura simple del vacıo permite definicion precisa del contenido
partonico de los hadrones y sus funciones de onda
• Ecuacion Hamiltoniana de movimiento PµPµ|P 〉 = M2|P 〉 independiente del sistema de referen-
cia. Estructura similar a las ecuaciones de movimiento en AdS
• Aproximacion semiclasica a ecuacion Hamiltoniana de estados ligados relativistas en QCD equiva-
lente a ecuaciones de onda en AdS [GdT y Brodsky (2009)] y puede perfeccionarse sistematicamente
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Dinamica en el Frente de Luz• Diferentes posibilidades para parametrizar el espacio-tiempo [Dirac (1949)]
• Difieren en la superficie en la cual especificamos las condiciones iniciales. Cada una evoluciona con
“tiempos” diferentes y tiene su propio Hamiltoniano, pero deben llevar a resultados fısicos identicos
• Forma Instantanea: superficie inicial definida por t = 0, la forma usual
• Forma del Frente: superficie inicial tangente al cono de luz τ = t+ z/c = 0
x+ = x0 + x3 tiempo en el frente de luz
x− = x0 − x3 variable espacial longitudinal
k+ = k0 + k3 momento longitudinal (k+ > 0)
k− = k0 − k3 energıa en el frente de luz
k · x = kµxµ = 1
2 (k+x− + k−x+)− k⊥ · x⊥
Relacion de dispersion k2 = kµkµ = m2 implica (capa de masa)
k = (k+, k−,k⊥), k− =k2⊥ +m2
k+
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Representacion Partonica en el Frente de LuzGdT and Brodsky, PRL 102, 081601 (2009)
• Generadores de momento en el frente de luz para un proton con momento P = (P+, P−,P⊥) en
terminos de sus partıculas constituyentes con momento q = (q+, q−,q⊥)
P− =∑λ
∫dq+d2q⊥
(2π)3
(q2⊥ +m2
q+
)b†λ(q)bλ(q) + interacciones
P+ =∑λ
∫dq+d2q⊥
(2π)3q+ b†λ(q)bλ(q)
P⊥ =∑λ
∫dq+d2q⊥
(2π)3q⊥ b
†λ(q)bλ(q)
• En el frente el Hamiltoniano P− es dinamico pero los generadores P+ and P⊥ son cinematicos !
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Ecuacion de Hamilton Sistema Compuesto• Hamiltoniano invariante en el frente de luz para el sistema compuesto: P 2 = PµP
µ = P−P+−P2⊥
P 2 |ψ(P )〉 =M2 |ψ(P )〉
• Estado hadronico |ψ〉 superposicion QM de estados de Fock |n〉 del Hamiltoniano libre
|ψ〉 =∑n
ψn|n〉, |n〉 =
|uud〉
|uudg〉
|uudqq〉 · · ·
donde k2i = m2
i , ki = (k+i , k
−i ,k⊥i), para cada componente i
• Componentes de Fock ψn(xi,k⊥i) independientes de P+ y P⊥. Dependen unicamente de coor-
denadas partonicas relativas: la fraccion del momento xi = k+i /P
+ y momento transverso k⊥in∑i=1
xi = 1,n∑i=1
k⊥i = 0.
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• Computo deM2 a partir del elemento de matriz hadronico
〈ψH(P ′)|P 2|ψH(P )〉=M2〈ψH(P ′)|ψH(P )〉
• Resultado
M2 =∑n
∫ [dxi][d2k⊥i
]∑`
(k2⊥` +m2
`
xq
) ∣∣ψn/H(xi,k⊥i)∣∣2 + interacciones
• Normalizacion del espacio de fase∑n
∫ [dxi] [d2k⊥i
] ∣∣ψn/h(xi,k⊥i)∣∣2 = 1
• En terminos de n−1 coordenadas de impacto transverso independientes b⊥j , j = 1, 2, . . . , n−1,
M2 =∑n
n−1∏j=1
∫dxjd
2b⊥jψ∗n/H(xi,b⊥i)∑`
(−∇2b⊥`
+m2`
xq
)ψn/H(xi,b⊥i)+interacciones
• Normalizacion ∑n
n−1∏j=1
∫dxjd
2b⊥j |ψn(xj ,b⊥j)|2 = 1
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Aproximacion Semiclasica a QCD
• Estado ligado de dos partones en el espacio de impacto transverso en el limite mq → 0
M2 =∫ 1
0
dx
1− x
∫d2b⊥ ψ∗(x,b⊥)
(−∇2
b⊥
)ψ(x,b⊥) + interacciones
• Dependencia funcional para un estado de Fock fuera de la capa de masa M2 −M2n
M2n =
( n∑a=1
kµa
)2=∑a
k2⊥a +m2
a
xa→
k2⊥
x(1− x)
• Variable equivalente en espacio transverso de impacto : ζ2 = x(1− x)b2⊥
• Separacion de modos angulares, longitudinales y transversos en terminos de la variable transversa ζ
ψ(x, ζ, ϕ) = eiMϕX(x)φ(ζ)√2πζ
• Resultado (L = |M |)
M2 =∫dζ φ∗(ζ)
√ζ
(− d2
dζ2− 1ζ
d
dζ+L2
ζ2
)φ(ζ)√ζ
+∫dζ φ∗(ζ)U(ζ)φ(ζ)
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• Fuerzas de confinamiento de los terminos de interaccion incluidos en el potencial efectivo U(ζ)
• Lımite ultra-relativista mq → 0 los modos longitudinales X(x) se desacoplan y la ecuacion de
autovalores en el frente P 2|φ〉 =M2|φ〉 es una ecuacion de onda para φ
(− d2
dζ2− 1− 4L2
4ζ2︸ ︷︷ ︸energia cinetica de partones
+ U(ζ)︸ ︷︷ ︸confinamiento
)φ(ζ) =M2φ(ζ)
• Ecuacion de onda de Schrodinger : relativista, independiente sistema de referencia y analıtica
• Autofunciones φ(ζ) determinan espectro hadronico y representan la probabilidad de encontrar n
partones de masa zero a una distancia transversa ζ en el hadron a tiempo igual en el frente de luz
• Normalizacion de autofunciones φ(ζ) = 〈ζ|φ〉
〈φ|φ〉 =∫dζ |〈ζ|φ〉|2 = 1
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Modelo de Barrera Infinita• Potencial de barrera infinita (hard wall)
U(ζ) =
0 if ζ ≤ 1ΛQCD
∞ if ζ > 1ΛQCD
• Si L2 ≥ 0 el Hamiltoniano es positivo 〈φ∣∣HL
LF
∣∣φ〉 ≥ 0 y M2 ≥ 0
• Si L2 < 0 el Hamiltoniano no esta limitado por debajo ( Problema de “caıda al centro” en Q.M.)
• Valor crıtico del potencial corresponde a L = 0, el estado estable mas bajo posible
• Soluciones:
φL(ζ) = CL√ζJL (ζM)
• Espectro de modos a partir de condiciones de frontera
φ
(ζ =
1ΛQCD
)= 0
Por consiguiente:
M2 = βLkΛQCD
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• Espectro de excitacion del modelo de barrera infinita: Mn,L ∼ L+ 2n
Espectro orbital de los mesones livianos ΛQCD = 0.32 GeV
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Mapeo Holografico
• Mapeo holografico en el frente de luz descubierto inicialmente comparando factor de forma electro-
magnetico y gravitacional en AdS y en QCD [Brodsky and GdT (2006, 2008)]
• Substitucion Φ(ζ) ∼ ζ3/2φ(ζ), ζ → u en la ecuacion de onda en el frente de luz(− d2
dζ2− 1− 4L2
4ζ2
)φ(ζ) =M2φ(ζ)
• Solucion [u2∂2
u − 3u ∂u + u2M2 − (µR)2]
Φ(u) = 0
con (µR)2 = −4 + L2, la ecuacion de onda en AdS5 !
• Isomorfismo del grupo SO(4, 2) de transformaciones conformes Pµ,Mµν, D,Kµ con el grupo de
isometrıas del espacio AdS5: xµ → λxµ, u→ λu
• Condicion de estabilidad en AdS de Breitenlohner-Freedman (µR)2 ≥ −4 equivalente a la condicion
de estabilidad QM L2 ≥ 0
• Dimension conforme ∆ del modo Φ en AdS en terminos de la masa 5-dim: (µR)2 = ∆(∆ − 4).
Por consiguiente ∆ = 2 + L de acuerdo al escalamiento en QCD para un objeto de dos partones
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Gravedad en AdS• Metrica AdS5 x` = (xµ, u):
ds2 = g`mdx`dxm =
R2
u2(dxµdxµ − du2)
• Accion para la gravedad acoplada con un campo escalar en AdS5
S =∫d4x du
√g( 1κ2
(R− 2Λ)︸ ︷︷ ︸SG
+12(g`m∂`Φ∂mΦ− µ2Φ2
)︸ ︷︷ ︸
SM
)• Ecuaciones de movimiento
R`m −12g`mR− Λg`m = 0
u3∂u
( 1u3∂uΦ
)− ∂ρ∂ρΦ−
(µRu
)2Φ = 0
• Soluciones fısicas en AdS ΦP (x, u) ∼ e−iP ·x Φ(u) ondas planas a lo largo de las coordenadas
de Poincare con cuadri-momento Pµ y masa hadronica invariante PµPµ =M2
• Sustituyento en la ecuacion de movimiento[u2∂2
u − 3u ∂u + u2M2 − (µR)2]
Φ(u) = 0
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Campos de Spin J en AdS• Campo de spin J en AdS representado por un tensor simetrico de rango J : Φ(x, u)`1···`J
[Fronsdal; Fradkin y Vasiliev]
• Accion en AdS5 para un campo de spin J
SM =12
∫d4x du
√g(∂`Φ`1···`J∂
`Φ`1···`J − µ2Φ`1···`J Φ`1···`J + . . .)
• Estado hadronico con spin total J es dual a un modo normalizable en AdS
ΦP (x, u)µ1···µJ = e−iP ·x Φ(u)µ1···µJ
con cuadri-momento Pµ e ındices de spin en las coordenadas fısicas 3 + 1 (PµPµ =M2)
• Para campos con indices en 3+1, Φzµ2···µJ = Φµ1z···µJ = · · · = 0, sistema de ecuaciones
diferenciales acopladas de SM se reduce a ecuacion homogenea para Φ(u)µ1···µJ
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• Campo de spin J , Φµ1···µJ , con indices en 3+1 mediante cambio de dimensiones
ΦJ(u) =( uR
)−JΦ(u)
• Normalizacion [Hong, Yoon and Strassler (2006)]
Rd−2J−1
∫ umax
0
du
ud−2J−1Φ2J(u) = 1
• Sustituyendo en la ecuacion de onda escalar para Φ[u2∂2
u − (3−2J)u ∂u + u2M2− (µR)2]ΦJ = 0
• Dimension conforme del modo J : (µR)2 = (∆− J)(∆− d+ J)
• Sustituyendo u→ζ y φJ(ζ)∼ζ−3/2+JΦJ(ζ)
(− d2
dζ2− 1− 4L2
4ζ2
)φµ1···µJ =M2φµ1···µJ
con (µR)2 = −(2− J)2 + L2. Desacople de J en el modelo de barrera infinita
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Modelo de Barrera Suave[Karch, Katz, Son and Stephanov (2006)]
• Ecuacion de onda en AdS para ΦJ (Dilaton ϕ(u) = ±κ2u2)[u2∂2
u −(3−2J ∓ 2κ2u2
)u ∂u + u2M2− (µR)2
]ΦJ = 0
• Sustituyendo u→ζ y φJ(ζ)∼ζ−3/2+Jeκ2ζ2/2 ΦJ(ζ) para ϕ(u) = +κ2u2
(− d2
dζ2− 1− 4L2
4ζ2+ κ4ζ2 + 2κ2(L+ S − 1)
)φµ1···µJ =M2φµ1···µJ
• Autofunciones
φnL(ζ) = κ1+L
√2n!
(n+L)!ζ1/2+Le−κ
2ζ2/2LLn(κ2ζ2)
• Autovalores
M2n,L,S = 4κ2
(n+ L+
S
2
)XXVIII CURCCAF, 27 Julio 2009 Page 27
• Addicion de cuantos
4κ2 for ∆n = 14κ2 for ∆L = 12κ2 for ∆S = 1
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1−− 2++ 3−− 4++ JPC
M2
L
Trayectorias de Regge para la familia I = 1 de mesones ρ (rojo)
y la familia I = 0 de mesones ω (negro) para κ = 0.54 GeV
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Gravedad de los Bariones en AdS
De Nick Evans
• Modelo de barrera infinita [GdT y Brodsky (2005)]
• Modelo de barrera suave equivalente a ecuacion de Dirac en AdS con potencial lineal[i(uΓ`∂` + 2Γu
)+ µR+ κ2z
]Ψ(x`) = 0.
• Solucion (µR = ν + 1/2)
Ψ+(z) ∼ z52
+νe−κ2z2/2Lνn(κ2z2)
Ψ−(z) ∼ z72
+νe−κ2z2/2Lν+1
n (κ2z2)
• Autovalores
M2 = 4κ2(n+ ν + 1)
• Modo de spin J > 12 , Ψµ1···µJ−1/2
, con indices en 3+1 a partir de Ψ por cambio de dimensiones
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4κ2 for ∆n = 14κ2 for ∆L = 1
2κ2 for ∆S = 1
M2
L
Trayectorias de Regge para la familia 56 de baryones N y ∆ para κ = 0.5 GeV
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Otras Aplicaciones de Dualidad Calibre/Gravedad
• Rompimiento simetrıa chiral [Erlich, Katz, Son y Stephanov, Da Rold y Pomarol . . . ]
• Espectro Hadronico [Boschi-Filho, Braga, de Paula, Frederico, Vega, ...]
• Factores de forma electromagneticos, gravitacionales y de transicion
[Abidin y Carlson, Grigoryan y Radyushkin, Kwee y Lebed, Brodsky y GdT ...]
• Dispersion profundamente inelastica y fısica del pomeron [Polchinski, Strassler, Brower, Tan, ...]
• Materia de quarks y gluones en condiciones extremas (RHIC, LHC)
[Policastro, Son, Starinets, Kovtun, Gubser, Kim, Sin, Zahed, Caceres, Guijosa, Edelstein, . . . ]
• Fısica de la materia condensada y superconductores [Herzog, Kovtun, Son . . . ]
Aplicaciones futuras de holografıa en el frente de luz
• Introduccion de quarks masivos
• Introduccion de efectos cuanticos: fuerzas de Coulomb por intercambio de gluones, estados de Fock
sobre el estado de valencia . . .
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Ejemplo: Factor de forma electromagnetico del pion PRELIMINAR
|π〉 = ψqq/π|qq〉+ ψqqqq/π|qqqq〉
Mρ2 → 4κ2(n+ 1/2)
κ = 0.54 GeV
Γρ = 130, Γρ′ = 400, Γρ′′ = 300 MeV
Pqqqq = 13 %
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