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7/24/2019 DUALIDAD.pptx

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DUALIDAD

ING. MBA GUILLERMO MORALES LAMO


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TEORA DE LA DUALIDAD

Todo modelo que representa al prolema depro!rama"#$n l#neal t#ene aso"#ado unse!undo prolema% al que se le denom#na

DUAL% de a&ora en adelanto al pr#merprolema 'el que planteamos al #n#"#o ( "on elqu) &emos traa*ado+ le denom#naremosPRIMAL. Los dos poseen prop#edades mu(

rela"#onadas, de tal manera que la solu"#$n$pt#ma de uno de ellos propor"#ona#n-orma"#$n "ompleta sore la solu"#$n$pt#ma del otro.


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Las rela"#ones entre el pr#mal ( el dualse ut#l#an para redu"#r el es-uero de"omputo en "#ertos prolemas ( para

otener #n-orma"#$n ad#"#onal sorelas /ar#a"#ones en la solu"#$n $pt#made#das a "#ertos "am#os en los

"oe0"#entes ( en la -ormula"#$n delprolema, A esto se le "ono"e "omo elANLISIS DE SENSIBILIDAD.


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Es "on/en#ente anal#ar ( ut#l#ar al!uno de estosmodelos para -a"#l#tarnos el traa*o a desarrollar,depend#endo del prolema. S# el pr#mal t#ene m1se"ua"#ones que /ar#ales, es -re"uentemente m1s

-1"#l otener la solu"#$n del dual (a que menorn2mero de #tera"#ones ser1n ne"esar#as orequer#das. Adem1s s# el pr#mal t#ene solu"#$n, eldual tam#)n tendr1 solu"#$n. Una /e que el

prolema dual es -ormulado, el pro"ed#m#ento desolu"#$n es e3a"tamente el m#smo que para"ualqu#er prolema de pro!rama"#$n l#neal.


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OBTEN4I5N DEL 6ROBLEMA DUAL

6ara poder elaorar el prolema dual a part#r del pr#mal( /#"e/ersa dee "ons#derar lo s#!u#ente78. 4ada restr#""#$n de un prolema "orresponde a una

/ar#ale del otro9. Los elementos del lado dere"&o ':+ de las

restr#""#ones en un prolema son #!uales a los"oe0"#entes respe"t#/os de la -un"#$n o*et#/o '"*+ enel otro.

;. Un prolema us"a ma3#m#ar ( el otro m#n#m#ar.

.

?. Las /ar#ales en amos "asos son no ne!at#/as.


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Se dee ad/ert#r que el DUAL de este 2lt#momodelo sera el 6RIMAL% es de"#r uno s#empre es el

DUAL del otro. Tanto el 6RIMAL "omo el DUAL pueden resol/erse

ut#l#ando el m)todo o al!or#tmo S#mple3, loene0"#oso es que de la solu"#$n de uno de ellosse puede sa"ar #n-orma"#$n mu( /al#osa ( lasolu"#$n del otro.

6ara este "aso usaremos el DUAL de la -orma m1s"on/en#ente, que ser1 "uando t#enes la op"#$n detrans-ormar restr#""#ones "on s#!no >C a

restr#""#ones "on s#!no =C ( esto porque "uandolas restr#""#ones lle/an este 2lt#mo s#!no requ#erenmenos /ar#ales a!re!adas ( el modelo ser1 m1s-1"#l de pro"esar &asta lle!ar a la solu"#$n 0nal.


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E@EM6LO


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TABLA INI4IAL


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4UARTA TABLA7 56TIMA

8 F 9 F ;s


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Este modelo &a s#do resueltodeterm#nando el /alor de las /ar#ales

de de"#s#$n% s#n emar!o se puedeoptar por resol/er el modelo DUAL's#empre ( "uando sea "on/en#ente+apl#"ando el m)todo s#mple3.


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DUAL


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TABLA INI4IAL


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SEGUNDA TABLA7 56TIMA

8 H; F 9 H< F; H8


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Se puede apre"#ar que la solu"#$n del

DUAL se ot#ene en menos tala ( estoo"urre porque el modelo preparado"ont#ene menos /ar#ales.

6ero s# re!resamos al #n#"#o las/ar#ales de de"#s#$n son 8 ( 9 ( noson H8 ( H9% por lo tanto se deesealar "$mo a part#r de la tala

$pt#ma del DUAL se pueden otenerlos /alores de las /ar#ales de de"#s#$ndel 6RIMAL.


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En este "aso el /alor de las /ar#ales de

de"#s#$n del 6RIMAL son #!uales al /alorque adqu#eren las /ar#ales a!re!adasdel DUAL, en -orma pert#nente. Estos/alores se m#ran en la 0la donde sere!#stran los /alores de J* K 4*% estoqu#ere de"#r que7

8 es #!ual al /alor de H; .

8 H; F 9 H< F ue deen ser los m#smos /alores que

se otu/#eron resol/#endo el pr#mal.


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Se puede apre"#ar el ene0"#o deut#l#ar la Dual#dad% que se puederesum#r de la s#!u#ente manera7

Se trabaja con modelos conmenos variables lo que hacegeneralmente que se utilicenmenos iteraciones o tablas para

llegar a la solucin ptima estocuando en el dual se logranrestricciones con signo !"


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MTODO DUAL SIM6LE

asta a&ora se &a ut#l#ado el m)todos#mple3, que es un m)todo #terat#/o quese #n#"#a a part#r de una solu"#$n -a"t#le

pero no $pt#ma ( este m)todo !enerasolu"#ones -a"t#les "ada /e me*ores&asta en"ontrar o lo!rar la solu"#$n$pt#ma 's esta e3#ste+. Es de"#r que el

m)todo se asa en mantener la-a"t##l#dad m#entras se us"a laopt#mal#dad.


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MTODO DUAL SIM6LE A&ora sur!e la pos##l#dad de ut#l#ar otro

esquema o al!or#tmo #!ualmente #terat#/o, que"omo "ontraparte del s#mple3, "om#ena en unasolu"#$n 1s#"a $pt#ma, pero no -a"t#le (enton"es el al!or#tmo mant#ene la opt#mal#dad

m#entras se us"a la -a"t##l#dad. 4on estem)todo #!ual se lle!a a una solu"#$n $pt#ma-a"t#le. Una solu"#$n es $pt#ma, "uando los /alores J* 4*C7

son "eros o pos#t#/os en el "aso de ma3#m#a"#$n oson "eros o ne!at#/os en el "aso de m#n#m#a"#$n.

Una solu"#$n es -a"t#le s# los /alores :C son todos"eros o pos#t#/os.


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ALGORITMO DUAL SIM6LE

Este al!or#tmo a d#-eren"#a dels#mple3 perm#t#r1 pues traa*ar "on/alores del lado dere"&o de lasrestr#""#ones ':+ ne!at#/os% es de"#r"ualqu#er restr#""#$n "on s#!no > sepodr1 "am#ar a = mult#pl#"ando la

restr#""#$n por '8+ aunque el /alor: se /uel/a ne!at#/o.


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6or e*emplo s# tenemos un modelo

matem1t#"o de esta manera7


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Este puede trans-ormarse a estemodelo7


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6RO4EDIMIENTO DEL MTODODUAL SIM6LE

8. Determ#nar una solu"#$n 1s#"a -a"t#le e#nme*orale7 estale"er el talero #n#"#al "onlas /ar#ales a!re!adas pert#nentes 'las/ar#ales se a!re!an de la m#sma manera quese a!re!aron en el al!or#tmo s#mple3+.

9. Real#ar la pruea de -a"t##l#dad7a+ S# todas las /ar#ales 1s#"as son no ne!at#/as,

la a"tual solu"#$n es la -a"t#le+ S# &a( al menos una /ar#ale 1s#"a ne!at#/a,

sele""#onar "omo /ar#ale de sal#da a aquella"on el /alor m1s ne!at#/o. En "aso de empatese puede romper ar#trar#amente.


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6RO4EDIMIENTO DEL MTODODUAL SIM6LE

;. Real#ar la pruea de opt#mal#dad.a+ S# en el /e"tor 0la de la /ar#ale 1s#"a o /e"tor de sal#da

todos los /alores o "oe0"#entes son no ne!at#/os, enton"esla solu"#$n es $pt#ma #l#m#tada. El pro"eso term#na.

+ S# en la 0la del /e"tor de sal#da e3#ste por lo menos un

"oe0"#ente ne!at#/o% se e-e"t2an los "o"#entes entre los/alores 'J* K 4*+ ( los /alores ne!at#/os "orrespond#entesde la 0la del /e"tor sal#da.

"+ De los /alores oten#dos se el#!e el menor ( )ste perm#t#r1u#"ar el /e"tor de entrada. En "aso de empate )ste se

rompe ar#trar#amente.d+ Se determ#na el elemento p#/ote en la #nterse""#$n del

/e"tor de entrada "on el /e"tor de sal#da.e+ A part#r de aqu se pro"ede de #!ual manera que en el

al!or#tmo s#mple3 para determ#nar las s#!u#entes talas

'#tera"#ones+ &asta lo!rar la tala $pt#ma ( -a"t#le.


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E@EM6LO DE A6LI4A4I5N


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S# a!re!amos las /ar#alespert#nentes tendremos un modelo de

la s#!u#ente manera7


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TABLA INI4IAL


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SEGUNDA TABLA7 56TIMA HPA4TIBLE


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Tam#)n se puede optar traa*ar "on la

m#sma -un"#$n o*et#/o 's#n mod#0"arlaen el modelo matem1t#"o+


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El modelo mod#0"ado "on las /ar#ales

a!re!adas quedar1 de la s#!u#entemanera7


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TABLA INI4IAL


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SEGUNDA TABLA7 56TIMA HPA4TIBLE

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