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E-BOOK DE MATEMATICA

GRADO – UNDÉIMO

SANTA MARTA D.T.C.H

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INDICE

1. Proposiciones.

1.1 Proposiciones simples.

1.2 Proposiciones compuestas.

1.3 Proposiciones con cuantificadores.

2. Conjuntos.

2.1 Determinación de un conjunto.

2.2 Relación de pertenencia.

2.3 Operación entre conjuntos.

3. Números reales.

3.1 Desigualdades de números reales.

3.2 Valor Absoluto.

4. Funciones.

4.1 Concepto de relación.

4.2 Concepto de función.

4.3 Notación de función.

4.4 Dominio y rango de una función.

5. Propiedades de las funciones.

5.1 Función inyectiva

5.2 Función sobreyectiva.

5.3 Función biyectiva.

5.4 simetría de funciones.

5.5 funciones creciente y decreciente.

6. Clasificaciones de funciones.

6.1 Funciones polinomicas.

6.2 Funciones racionales.

6.3 Funciones radicales.

6.4 Funciones trascendentes.

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6.5 Funciones especiales.

7. Operaciones entre funciones.

7.1 Composiciones de funciones.

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1. Proposiciones.

Puede tratarse de la manifestación de algo para que otros individuos conozcan una intención, de la concreción de una propuesta o de un enunciado que puede resultar falso o verdadero.

Proposición es la oración afirmativa que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. Como ejemplos de proposiciones se dan los siguientes:

1. 4 es menor que ocho. 2. Carlos es alto. 3. México es un país de América. 4. 6 es mayor que 10.

1.1 Proposiciones simples: Las proposiciones simples o atómicas son proposiciones que ya no pueden descomponerse en dos expresiones que sean proposiciones.

Ejemplos de proposiciones simples o atómicas: 1. La ballena es roja 2. La raíz cuadrada de 16 es 4 3. Gustavo es alto 4. Teresa va a la escuela

1.2 Proposiciones compuestas: también denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

Ejemplos:

1. Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.

2. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.

3. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.

Actividad en clases: mencionar si son proposiciones simples o compuesto.

♠ Carlos Fuentes es un escritor.

♠ Sen(x) no es un número mayor que 1.

♠ El 14 y el 7 son factores del 42.

♠ El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.

♠ El 2 o el 3 son divisores de 48.

♠ El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.

♠ Si x es número primo, entonces x impar.

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Actividad extra clases o tarea:

1. Inventa cinco proposiciones simples y cinco compuesta. 2. Investiga sobre los conectivos lógicos.

1.3 Proposiciones con cuantificadores: proposiciones con cuantificadores Un cuantificador es una expresión que permite determinar cantidad en una proposición.

Por ejemplo, en la proposición todos los animales mamíferos son vivíparos, la expresión todos determina la cantidad de mamíferos que son vivíparos.

En matemáticas se utilizan como cuantificadores las expresiones todos, algunos, ninguno, no todo, sólo uno.

La expresión para todo se denomina cuantificador universal.

La expresión existe algún se denomina cuantificador existencial.

EJEMPLOS

Leer las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, explicar el significado de cada una y dar su valor de verdad.

a. Todas las plantas son medicinales

Significa que no hay plantas que no sean medicinales. Este expresión es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

b. Algunos números son pares. Significa que hay otros números que no son pares. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

2. Conjuntos: Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

Los conjuntos se clasifican según sus elementos así=

● Finitos: son aquellos que tienen un determinado elemento. ● Infinitos: son aquellos que tienen un número indeterminado de elemento. ● Unitario: son aquello que tienen un solo elemento. ● Vacío: es aquel que no tiene elementos. ● Universal: es aquel cuyo objeto de estudio son sus subconjuntos.

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Actividad en clases: realiza conjuntos dos ejemplos donde represente la clasificación de ellos.

2.1 Determinación de un conjunto: Un conjunto se puede determinar de dos maneras: Por extensión y por comprensión.

Determinación de un Conjunto por Extensión: Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.

Ejemplo: El conjunto de los números naturales menores que 9.

A=[1,2,3,4,5,6,7,8]

Determinación de un Conjunto por Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.

Ejm. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.

B=[x/x es una vocal]

http://www.youtube.com/watch?v=zX67S0MZ0_w

Actividad extra clases o tarea: realiza cinco ejercicios por extensión y cinco por compresión.

2.2 Relación de pertenencia: Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A. Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A,…

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Actividad en clases: Indica la veracidad de las siguientes afirmaciones, referidas al conjunto A = {1,3,5}, y propón una explicación que justifique tu respuesta:

a) 1 ϵ A, b) – 3 ϵ A, c) 0 ∉ A, d) A ϵ A, e) N ∉ A.

Actividad extra clases o tarea:

Según el diagrama completa con el símbolo de pertenencia o no pertenencia

a……….F

b……….F

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e……….F

p……….F

l………..F

m………F

c……….F

d……….F

2. Representa entre llaves al conjunto M con el nombre de tus hermanos y el tuyo.

M = {…………………………………………………………… }

Escribe el simbolo de pertenece o no pertenece:

¿Perteneces al conjunto M? ……….

¿Pertenece tu papá al conjunto M? ……….

¿Pertenece tu mamá al conjunto M? ……….

¿Perteneces tu hermano al conjunto M? ……….

¿Perteneces tu primo al conjunto M? ……….

3.Dado el diagrama y las proposiciones: Decir cuales son verdaderas y cuáles son

falsas:

I. 1 pertence B

II. 4 no pertenece C

III. 2 no pertenece A

IV. 6 pertenece C

a) VFFV

b) FVVF

c) N.a.

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4. Observa el diagrama: Decir cuál es la respuesta correcta:

a) M = { 1;3,4;5;6,7 }

b) N = { 4;5;7 }

c) P = { 2;3 }

5. Si A es el conjunto de los números pares menores que 20. Decir cuál es la

respuesta correcta.

a) 15 pertenece A

b) 20 pertenece A

c) 18 pertenece A

2.3 Operación entre conjuntos:

Unión. La unión de los conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos

que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A + B y se llama unión de A y B.

En consecuencia,

x Î ( A + B) Û x Î A Ú x Î B. Entonces se puede expresar por comprensión este conjunto así:

A + B = {x / x Î A Ú x Î B }

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Una interpretación gráfica de la unión de A y B es la siguiente:

En la gráfica la región rayada corresponde a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos A y B. Ejemplo: Dado los conjuntos A={0;1;2;3} y B={2;3;4;5},hallar A U B. Solución: Unir es formar un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos que participan. En este caso: A U B= {0;1;2;3;4;5} Los elementos repetidos se ponen una sola vez.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos

que son comunes a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también

pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B por A · B y se lee "A intersección

B".

En consecuencia,

x Î A· B Û x Î A Ù x Î B.

El conjunto A· B está dado por:

A· B = { x / x Î A Ù x Î B }. Gráficamente, una representación de A· B es:

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La región rayada corresponde a A· B. Cuando A y B no tienen elementos comunes,

se dice que son disjuntos.

Ejemplo: Dado los conjuntos A={0;1;2;3} y B={2;3;4;5},hallar A∩B

Solución: Intersectar es formar un nuevo conjunto que contiene sólo los elementos

que pertenecen, “aparecen”, en ambos conjuntos a la vez. En este caso: A∩B= {2;3}

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=0f7pkx3vx_c

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los

elementos que no pertenecen a A, es decir, el conjunto de todos los elementos que

están en el Universal y no están en A. El complemento de A se denota por A'.

En consecuencia,

x Î A' Û x Î 1 Ù x Ï A. Gráficamente, su representación está dada por:

A' = {x / x Î 1 Ù x Ï A }.

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EJEMPLO: Dado los conjuntos: U={0;1;2;3:4;5} A={2;3}Hallar el complemento de A.

Solución: Como no tenemos el diagrama de Venn de los conjuntos, marcamos la intersección entre el conjunto universal y el conjunto A, los elementos no marcados del conjunto universal vienen a ser el complemento del conjunto A. A´={0;1;4;5}

http://www.youtube.com/watch?v=gSJanrzVXgY

Diferencia: La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de

los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B .

Esto es:

Ejemplo

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandia, plátano}

A-B= {mango, ciruela, manzana}

B-A= {durazno, melón, plátano}

Actividad extra clase o tarea: realiza el siguiente taller entregar en hojas cuadriculada en forma de trabajo.

1) ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

2).Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

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3).¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:

A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

4).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B= {h, i, p, e, r, t, n, s, o}

5.Dados los siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución. NO ES NECESARIO REPRESENTAR CONJUNTOS QUE NO PERTENEZCAN AL PROBLEMA.

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 } A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 }

C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 }

E = { 12, 13, 14, 15 }

a) A ∪ B b) (A ∩ B)´ c) (D ∩ E) – A

d) B ∪ C e) A´ f) B´

g) E´ ∩ D h) B ∩ E i) B ∪ E

j) A ∪ C k) ( B ∪ C)´ l) ( C ∩ D )´

m) ( A ∩ D )´ n) ( E ∪ C )´

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3. Números reales: El conjunto de los números reales se denota con la letra R.

Primero que todo recordemos que los naturales, los enteros y los racionales son todos números reales, es decir, N C Z C Q C R:

Los números reales se idéntica con los puntos de una recta y es frecuente referirse a R como la línea real. Esta interpretación geométrica de R permite asociar a cada segmento de la recta real un número real (su longitud) y viceversa, cada número real positivo se puede identicar con la longitud de un segmento.

Ejemplo de números reales:

Números naturales: {12345678910…} Números enteros positivos = {1, 2. 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} Números enteros negativos = { -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9} Cero: 0 Números fraccionarios: ½, ¼, 14/35, 2/7 Números decimales: .25 0.999, 0.625 Números racionales: .125 y 1/8, .5 y ½, .85 y 17/20 Números irracionales: p = 3.14159265358979323846…

(pi); j = 1.618033988749894848204586834365638117720309… (phi, Número Aureo); √1

http://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs

3.1 Desigualdades de números reales: expresiones en las que aparece un signo de desigualdad.

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD

< > ≤ ≥

INECUACIONES:

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Ejemplos de inecuaciones:

x ≤ 2,

x-3 ≥ y

x2-5x ≤ 4

xy-3 > 0

INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incóg.

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incóg

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x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incóg.

xy-3 > 0 2º grado; 2 incóg.

1) Resuelve:

a) 3x+12 > 0

b) 8x− 16 ≥ 0

c) 5x −10 < 0

d) 9x +27≤ 0

Actividad extra clases o tarea

EJERCICIO

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. 2x+ 4>0

2. 3x− 7 <5

3. 2 x −3 > 0

4. 7 > 8x −5

5. 1− 5x < − 8

6. x −3 <3− x

7. 3x + 5≥ 4x-1

8. 2x 5>6x+4 +

9. 3x+ 7 ≥ 2x-3

10. −4x+ 9< x − 1

3.2 Valor Absoluto: de un número a, se define como la distancia que hay entre cero y a en la recta numérica. Se simboliza /a/ y cumple con:

/a/ = {a si a ≥ 0} y { –a si • 0}

http://www.youtube.com/watch?v=x10ZrPJTJiE

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Ejemplo.

Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6

Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.

En este caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la inecuación.

Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.

Vamos a resolver la ecuación:

∣ x - 20 ∣ = 6

Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:

x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14

x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Actividad en clases:

1. En cierta ciudad la temperatura T, en grados Celsius, está dada por la expresión.

/3T-15/ • 10

● Determina en qué rango se encuentra la temperatura de la ciudad

● Representa en la recta numérica el rango de la temperatura de la

ciudad.

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2. Resolver | 2x + 3 | <6. | 2x + 3 | <6

-6 <2x + 3 <6

-6-3 <2x + 3 - 3 <6 - 3

-9 <2x <3

-9 / 2 <x <3/2

A continuación, la solución a | 2x + 3 | <6 es el intervalo (-9 /2, 3/2)

Actividad extra clases o tarea: realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno.

1. | 2x - 3 |> 5.

2. | x - 6 |≤ 5.

3. | 2x – 7|>6.

4. | 3x +4 |• 2

Tener en cuenta los ejemplos anteriores y el siguiente link.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=LuiKP_9BNCI

4. Funciones: Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

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4.1 Concepto de relación:

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

4.2 Concepto de función:

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

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http://www.youtube.com/watch?v=N5HX4spFVaA

es importante recordar que en el desarrollo del algebra y la trigonometría se ha trabajado con diferentes funciones de variables real, tales como:

a. Función lineal: una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales,

cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es

un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx +

b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es

el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en

esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

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Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y

la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades

en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y

(donde la recta se cruza con el eje Y)

b. Función cuadrática:

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre Una curva llamada parábola.

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c. función trigonométrica;

Una función trigonométrica es aquella que da el valor de una razón trigonométrica en función del ángulo.

Las funciones trigonométricas son: sen x , cos x , tg x , cotg x , sec x , cosec x

Todas las funciones trigonométricas son periódicas.

d. Función exponencial:

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función por cuanto se cumple que:

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e. Función logarítmica natural: En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

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INDICE SEGUNDO PERIODO

Límites y continuidad.

Límite de una función.

Idea intuitiva de límite.

Definición formal de límite.

Limites laterales.

Calculo de límites aplicando propiedades.

Límites de funciones indeterminadas.

Límites de funciones trigonométricas.

Limites infinitos.

Funciones continuas.

Continuidad de una función en un punto.

Derivadas.

Noción de derivada.

Tasa de variación media.

Tasa de variación instantánea.

Derivada de una función en un punto.

Recta tangente.

Recta normal.

Derivada de una función en un intervalo.

Derivabilidad y continuidad.

Reglas de la derivación.

Derivación de la función constante.

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Derivación de la función idéntica.

Derivación de una potencia.

Derivada de un múltiplo constante.

Derivadas de la suma de la funciones.

Derivada del producto de dos funciones.

Derivada del cociente de dos funciones.

Derivadas de dos funciones compuesta.

Regla de la cadena.

Integrales.

Antiderivada e integrales indefinidas.

Antiderivada.

Integral indefinida.

Métodos de integración.

Integración por sustitución.

Integración por partes.

Área.

Integral definida.

Propiedades de la integral definida.

Primer teorema fundamental del cálculo.

Segundo teorema fundamental del cálculo.

Cálculo de áreas.

Área entre curvas.

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Límites y continuidad.

Límite de una función:

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la

notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en

1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.1 Sin embargo, su trabajo

no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours

d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de

una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica

hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se

ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es

debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático,

un caso de límite aplicado a las funciones.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c,

significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando

puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en

c.

Idea intuitiva de límite:

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las

imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir

el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

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Al estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha (Valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4. Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x2 es 4

Se escribe lim x2=4

X→2

http://www.youtube.com/watch?v=8V63b4WxAKY

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Ejemplo:

Consideremos la función y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(an), para ello construimos la siguiente tabla:

an 1 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 ..... 2

f(an) -2 -29 -299 -2999 -29999 -299999 -2999999 .....

Parece que los valores de la función se aproximan, tanto como queramos a menos infinito, pero nos preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veámoslo:

an 3 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2.000001 .... 2

f(an) 4 31 301 3001 30001 300001 3000001 ....

Ahora los valores se aproximan a más infinito. Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.

Actividad en clases:

Calcular los siguientes límites:

1.

2.

Actividad extraclases:

Calcular los siguientes límites:

1.

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2.

Definición formal de límite:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para

todo existe un tal que para todo número real x en el dominio

de la función

Limites laterales:

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes

que éste (derecha):

O tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden

ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

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Entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro

modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Ejemplos:

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha

cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que

sucede en dicho punto sino a su alrededor.

31

http://www.youtube.com/watch?v=yzze32txfA4

Actividad en clases:

1.

2.

3.

32

Actividad extraclases:

1.

2.

3.

4.

5.

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Calculo de límites aplicando propiedades:

http://www.youtube.com/watch?v=kGvS5GrF23c

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1) Resuelvan los siguientes límites aplicando el método correspondiente:

a.

b.

c.

Actividad extraclases:

1.

2.

3.

Límites de funciones indeterminadas:

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes,

diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por

el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo {short

description of image}. El resultado de estos límites no puede anticiparse y el

mismo puede ser cero, ¥, -¥ , un número finito diferente de cero, o bien puede

no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos

adecuados que permitan salvar la indeterminación.

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En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

.

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Ejemplo. Halle

Al sustituir, resulta y lo que genera una

indeterminación del tipo .

Actividad en clases:

1) Halle los siguientes límites:

a) b)

Actividad extraclases:

c) d) e)

36

Límites de funciones trigonométricas:

En términos generales los límites trigonométricos se pueden resolver

aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos

casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario

realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un

número, Factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades

de los límites.

http://www.youtube.com/watch?v=wy12eY41CFM.

Actividad en clases:

Actividad extraclases:

37

Limites infinitos:

Caso 1:

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x

perteneciente al E*a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número

positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal

que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple

que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos,

existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir

que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se

acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende

a a es +inf.

Caso 2:

limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente

al E*a,δ f(x) < -A.

38

Caso 3: limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande. Caso 4

limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5: limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

39

Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7: limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.

Caso 8: limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.

40

http://www.youtube.com/watch?v=X24hu-h2qZE

www.tareasplus.com/limites-al-infinito-ejercicio-1-de-15/

Actividad en clases:

Actividad extraclases: entregar en hojas cuadriculadas

41

Funciones continuas:

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual,

intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas

variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice

que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya

gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente

su grafo es un conjunto conexo).

Continuidad de una función en un punto:

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto X0 en el dominio de la función

si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera: Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es

continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se

dice que una función es continua en un puntox1 si existe f (x1), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando xtiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

42

Derivadas.

Noción de derivada:

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.

43

Tasa de variación media:

La tasa de variación media de una función f(x) entre a y b (siendo a<b),

la definíamos que la variación media que se producía en el intervalo:

http://www.youtube.com/watch?v=Mk0Mr_ctdUA

Ejemplo 1: Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el

intervalo [1, 2] e indica si f(x) crece o decrece en ese intervalo: f(x)= 2x2- 3x

Actividad en clases:

1. Dada la función: f(x)= (X-1)3

Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0, 1]. ¿Es creciente o

decreciente la función en dicho intervalo?

44

Actividad extra clases:

2. Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los

intervalos siguientes e indica si la función crece o decrece en cada uno

de dichos intervalos:

a) (-1, 0)

b) (1, 2)

Tasa de variación instantánea:

La tasa de variación instantánea de la función en el instante se obtiene haciendo tender a en la tasa de variación media de la

función en el periodo . Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función en el instante es

Que es precisamente la derivada de la función en el instante .

NOTA: En el límite anterior .

Ejemplo: Una bola es lanzada desde el suelo verticalmente y hacia arriba. La función altura-tiempo es y=f(t)=50t - 5t2

Recordemos que podíamos calcular la altura en cualquier instante pero no podíamos tener información precisa de como está variando la altura en un instante determinado, por ejemplo, en t0=2 segundos. Este dato se denomina variación instantánea.

Para obtener esta información vamos a estudiar cómo varía la altura en intervalos que empiezan en t0=2 y tiene amplitudes h cada vez más pequeños. Es decir calculemos las tasas de variación media en los intervalos sucesivos [t0,t0+h] tal que h tienda a 0.

Consideremos el intervalo [2,5] con una anchura h=3 segundos

http://www.youtube.com/watch?v=A8Vw5ql0XYw

45

Derivada de una función en un punto:

Dada una función y=f(x) y un punto de abscisa x=a, se define la derivada de

f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,

Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera

que cuando h→0 se cumplirá que x→a.

La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera

y representa desde el punto de vista geométrico la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abscisa x=a

http://www.youtube.com/watch?v=Qk3X52Pm920

46

Ejemplos

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

Actividad en clases:

1. Calcular la derivada de en x = −5.

2. Hallar la derivada de en x = 1.

Actividad extraclases:

1. Determinar la derivada de en x = 2.

2. Calcula el valor de la derivada en x = 2.

47

Recta tangente:

Si una recta tiene un ángulo de inclinación a decimos que su pendiente es m = tg(a).

La forma explícita de la ecuación de una recta es y = mx + n. Si (x0,y0) es un punto de dicha recta se cumplirá y0=mx0+n y restando estas dos expresiones se obtiene y-y0=m(x-x0) es decir

y=m(x-x0)+y0

Sea y=f(x) una cierta función que admita una recta tangente en el punto P(a, f(a)). Este punto también pertenecerá a la recta tangente a la curva y=f(x) y la pendiente de la recta es m = f '(a).

Es decir tenemos un punto de la recta x0=a, y0=f(a) y conocemos su pendiente, luego la ecuación de la recta tangente a y=f(x) en x=a es

y=f '(a)(x-a)+f(a)

Ejemplos:

1. Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

y = xm= 1

f'(a) = 1.

48

2. Dada la curva de ecuación f(x) = x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Recta normal:

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de

la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares

entre sí.

49

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la

derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto

(a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Derivada de una función en un intervalo.

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente

relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la

variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre

cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de

instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la

descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

50

Variación de una función

Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente. Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)). Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos

entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función.

En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor

infinitamente pequeño.

Derivabilidad y continuidad.

Las nociones de derivabilidad (posibilidad de obtener la derivada) y

continuidad (existencia de límite y concordancia del mismo con el valor de

la función) en un punto o un intervalo guardan una estrecha relación. En

términos generales, el concepto de derivabilidad es más selectivo, por cuanto

toda función derivable es obligatoriamente continua, aunque no siempre

pueda afirmarse lo contrario.

Derivabilidad

La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede no existir por las mismas causas que un límite. Cuando para una función en un punto existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto. De ello se deduce que existen dos clases de funciones claramente no derivables: ● Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la

presencia de un salto o una discontinuidad.

● Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos

angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas

tangentes por la derecha y por la izquierda, serán distintas.

51

Ejemplo de función no derivable en m por la existencia de una discontinuidad, ni en n porque no coinciden las derivadas laterales.

http://www.youtube.com/watch?v=9BiQb9t24UI

Reglas de la derivación.

A partir de la definición de derivada se puede deducir algunas reglas

generales de la derivación, las cuales permite calcular, de forma más sencilla,

la derivada de ciertas funciones.

Derivación de la función constante:

Si donde es un número, entonces

Ejemplos:

Si entonces

Si entonces

NOTA: La regla dice que la derivada de es 0.

Nosotros sabemos que la gráfica de es una horizontal de pendiente cero. También sabemos que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de su gráfica en ese punto. Esta regla confirma que cada horizontal tiene pendiente cero en cada punto.

52

Derivación de la función idéntica:

Se suele escribir:

Prueba:

Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces:(f + g), (f-g), (f . g) y (f / g) son también derivables en x.

Derivación de una potencia:

Una función exponencial con exponente real se representa

por y su derivada es .

Por ejemplo tomemos la función:

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

Quedando finalmente:

Considérese la función

Se tiene:

Ejemplos

1.

53

2.

Actividad en clases:

1.

2.

3.

Actividad extraclases:

4.

5.

6.

54

7.

Derivada de un múltiplo constante:

La derivada de c por una función es c por la derivada de la función.

En otras palabras, para hallar la derivada de una constante por una función,

simplemente halle la derivada de la función y multiplique por la constante.

Cuando una función esté representada por medio de , su derivada

equivale a de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar"

al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña,

y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada

anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su

derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que

http://www.youtube.com/watch?v=TI4qDrZgRD0

55

Derivadas de la suma de funciones:

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de

la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir, o .

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su

derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos

será la derivada de la función:

Ejemplos:

1.

2.

3.

Actividad extraclases:

Derivada del producto de dos funciones:

56

La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la

derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al

producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplos

1.

2.

3.

4.

http://www.youtube.com/watch?v=8fs61kHD_xg

Actividad en clases:

1) F(x) = (3x - 2x2)(5 + 4x)

2) G(x) = (1 + x-1)(x - 1)

57

Actividad extraclases:

1. Sea

2. Sea Derivada del cociente de dos funciones:

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el

denominador que en este caso es y se multiplique por la derivada

del numerador que seria ; luego la segunda parte dice que tomemos

la función del numerador ( ) sin derivar y lo multipliquemos por la

derivada de , que seria , todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

58

http://www.youtube.com/watch?v=oCW3NpPJM5k

http://www.youtube.com/watch?v=Q9WWlIFRECg

Actividad en clases:

1.

Actividad extraclases:

2.

3.

Derivadas de dos funciones compuesta.

Para calcular la derivada de una función compuesta, se aplica el teorema que

se conoce como regla de la cadena.

Regla de la cadena:

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o escrito en notación de Leibniz

http://www.youtube.com/watch?v=K2Ebd0Z44Gc

59

Ejemplos:

1. (1+x2)3 =3(1+x2)2 d/dx (1+x2)

= 3(1+x2)2,2x

= 6x(1+x2)2

2 2. = d/dx 2(x+x2)-3 (x+x2)3

= 2(-3)(x+x2)-4 d/dx (x+x2)

= -6(x+x2)-4 (1+2x)

= -6(1+2x)

(x+x2)4

http://www.youtube.com/watch?v=kCjg7TxVk9M

Actividad en clases:

1. d/dx (3x2-4)3

2. d/dx 4/ (x2 +x)2

3. d/dx √2x3 - x

Actividad extraclases:

1. h(x)= [ x3-2/ x2+1]3

2. k(x)= 1/ (4x3 -5x2 + 9x)5

3. f(x)= 3√(1+3x2 +x3)

4. f(x)=(x3 +3x2 +2 / x-1)3

Integrales.

60

Antiderivada e integrales indefinidas.

Hasta ahora se ha estudiado el concepto de derivada de una función; no

obstante, muchas aplicaciones del cálculo se desarrollan a partir de un

problema inverso: dada la derivada de una función, determinar la función

original.

Antiderivada.

Una antiderivada de una función f(x) es una función cuya derivada es f(x).

Ejemplos

● Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4.

● Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de

2x es x2+30.

● En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49.

● En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C,

donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

Otro ejemplo:

Ahora bien tenemos la siguiente función por resolver:

Para poder sacar la antiderivada tenemos que realizar lo que nuestra formula nos indica, n es el exponente de la X se le deberá sumar 1 todo eso quedara en el

numerador y repetiremos esa suma de n+1 en el denominador.

61

Nos debe de quedar de la sig. Manera:

Hacemos la suma tanto en denominador como en numerador y nos quedaría de la siguiente manera:

Se divide el número 2 que tenemos el numerador con el 2 que se obtuvo en el denominador:

Y por último nos quedaría así:

62

Actividad en clases:

1. X3

2. 4x2

Actividad extraclases o tarea

1. Verifica que la función f(x) es una antiderivada de la función f(x).

● 3x2 / 2√(x3 +2)

● (2x+3)3

63

● (8x3 +3)/ (2x4 +3x)

Integral indefinida.

La operación de calcular la familia de primitivas de una función f(x) se llama

Integración indefinida, y se denota con el signo ∫ llamado integral. Este

proceso se representa así:

En donde f(x) se denomina integrando, dx indica la variable de integración

y C corresponde a la constante de integración. Esto significa que F(x) es una

primitiva de f(x) en el intervalo I.

64

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la

constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

65

66

Ejemplos:

Actividad en clases:

Actividad extraclases o tarea:

Métodos de integración.

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:

.

67

Integración por sustitución.

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en

realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el

integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En

muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una

integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza

lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Ejemplo #1

Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza con :

(1)

Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en

función de :

Se tiene que por tanto derivando se obtiene . A continuación

se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma

mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en

esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una

manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay

que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de

integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo :

(límite inferior)

68

(límite superior)

Tras realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma

final:

http://www.youtube.com/watch?v=4JHHE99fsKY

Ejemplo 2:

Actividad en clases:

2.

69

3.

4.

5. Actividad extraclases:

1.

2.

3.

Integración por partes.

El método de integración por partes permite calcular la integral de un

producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se

eligen como v'.

http://www.youtube.com/watch?v=BETtnGGLATU

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando

la x como u.

70

Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos

como u y se repite el proceso n veces.

71

Ejemplo:

Actividad en clases:

1.

2.

3.

Actividad extra clases o tarea:

1.

2.

3.

4.

5.