ANLISIS LINEAL

TRANSFORMADA DE FOURIER

Ejercicios Resueltos

CONCEPTOS BSICOS

La idea de las series de Fourier vista en la clase anterior permite pensar en la representacin de funciones no peridicas, asimilndolas a una peridica de perodo infinito. Con esta idea se llega a la transformada de Fourier de una funcin, definida por:

En base a ella se puede representar a la funcin f mediante una integral, igual que antes lo hacamos mediante una sumatoria en el caso de series de Fourier:

La F vendra a jugar, pues, el rol de un coeficiente. Ambas expresiones se suelen relacionar mediante la simbologa:

En realidad, pocas veces se apela al clculo directo para obtener una transformada, sino que se las genera a partir de otras conocidas (p. 264 Gabel) ms el uso de las propiedades de la transformada (p. 275 Gabel). Iremos introduciendo algunas de estas propiedades en los ejemplos resueltos.

PROBLEMAS RESUELTOS AUTONUM ) Clculo directo de una transformada. Calcular la transformada de Fourier de la funcin f dada por

Solucin

Esta integral es fcil pero laboriosa. Una manera de resolverla con relativa practicidad es expresar el coseno en su forma compleja. Al hacer los clculos queda:

AUTONUM ) Propiedad de simetra. Eligiendo el mtodo ms conveniente, calcular la transformada de Fourier de la funcin:

Solucin

En las tablas encontramos que . Por lo tanto estamos tratando de encontrar la transformada de una funcin que, si estuviera expresada en (, sera la transformada de una funcin conocida. Para casos como ste cabe aplicar la propiedad de simetra, que expresa que si f(t) ( F((), entonces F(t) ( 2(f(().

En nuestro caso, podemos escribir, aplicando la mencionada expresin de tablas y la propiedad de linealidad: . Por lo tanto por la propiedad de simetra podemos escribir . Veamos que u(() es la imagen especular de u((), y se puede expresar como u(() = 1- u((). Reescribiendo la expresin anterior tendremos finalmente:

AUTONUM ) Corrimientos. Aplicando propiedades de la transformada de Fourier, calcular y graficar el espectro de amplitud de la funcin f(t) = 6[u(t 3) u(t 7)].

Solucin

La funcin es un pulso de anchura 4 y amplitud 6 centrado en t = 5. Sabemos de tablas que si gT es un pulso de anchura T y amplitud 1 centrado en t = 0, la transformada de Fourier es GT(() = Tsinc((T/2), donde sinc(x) = senx/x. Pero aqu el pulso est corrido en 5 unidades. Nuestra funcin puede decirse entonces que equivale a 6g4(t 5).

Para transformar esta ltima, recordemos la propiedad de retardo, que permite manejar funciones con corrimientos en la variable t. Ella expresa que si f(t) ( F((), entonces . De esa manera, en nuestro caso particular tenemos:

Para graficar el espectro de amplitud, tengamos en cuenta que la exponencial de un nmero imaginario puro tiene mdulo igual a 1, segn se deduce de la expresin de Euler. Tenemos as:

Y la grfica ser:

AUTONUM ) Convolucin. Un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo tiene la funcin de respuesta en frecuencia H(() = 1/(3 + i(). Para una cierta entrada x(t), se observa que la salida es y(t) = e-3tu(t) e-4tu(t). Calcular la entrada.

Solucin

La propiedad de convolucin establece que:

Nuestra estrategia ser, entonces, encontrar la transformada de la entrada X((), y luego antitransformarla para encontrar la funcin de entrada x(t). Para eso debemos conocer Y(() y H((). Esta ltima ya la tenemos; por lo tanto calcularemos la primera:

Si ahora dividimos este resultado por H(() para obtener X((), tendremos:

Luego, antitransformando segn tabla, se obtiene:

x(t) = e-4tu(t)

Ntese que de no haber hecho este proceso nos habramos visto en figurillas para determinar la entrada.

AUTONUM ) Propiedades varias. (i) Sabiendo que , usar propiedades de la Transformada de Fourier para calcular las transformadas de las siguientes seales:

(ii) La funcin g(t) est definida por

Calcular la Transformada de Fourier de .

Solucin

(i) Usamos la propiedad de diferenciacin en frecuencia, que establece:

Aplicando esto a nuestra funcin x(t) tendremos:

Para determinar la transformacin de y(t), usemos la propiedad de simetra. Observemos que, despejando de la ecuacin anterior:

(ii) La transformada de g la tenemos de tablas y es sinc((/2). Aplicaremos las propiedades de retardo, que expresa , y de corrimiento, que establece . Tenemos entonces:

Usando ahora transformaciones de tablas para la funcin constante y para el seno, podemos afirmar:

_1128340500.unknown

_1128349257.unknown

_1128350069.unknown

_1128350950.unknown

_1128351306.unknown

_1478016754.unknown

_1128351024.unknown

_1128350402.unknown

_1128349483.unknown

_1128349637.unknown

_1128349407.unknown

_1128345677.unknown

_1128348903.unknown

_1128349167.unknown

_1128348146.unknown

_1128348205.unknown

_1128347396.unknown

_1128345642.unknown

_1128340642.unknown

_1128344913.unknown

_1128339696.unknown

_1128339959.unknown

_1128340447.unknown

_1128339790.unknown

_1128336569.unknown

_1128336895.unknown

_1128336354.unknown