La Cartografía Conceptual

Según Sergio Tobón (2004), la Cartografía Conceptual se define como “una estrategia de construcción y de comunicación de conceptos basada en el pensamiento complejo, mediante aspectos verbales, no verbales y espaciales. Su fin es servir de apoyo en la construcción del saber conocer dentro del marco general de la formación de competencias cognitivas”.

En esa perspectiva, la Cartografía Conceptual se reconoce como una propuesta de estrategia didáctica que se orienta a la formación de conceptos científicos en la educación. Para ello se basa en la construcción de los conceptos mediante el trabajo colaborativo y el empleo de siete ejes estructurales:

1. Eje nocional: Da una aproximación al concepto, estableciendo su definición corriente y el origen de la palabra o palabras de las cuales se compone.

2. Eje categorial: Describe la clase general de conceptos dentro de la cual está incluido el concepto en cuestión.

3. Eje de diferenciación: Establece una o varias proposiciones en las cuales se muestre la diferencia de ese concepto de otros conceptos similares.

4. Eje de ejemplificación: Describe proposiciones que ejemplifiquen el concepto con casos específicos.

5. Eje de caracterización: Describe las características esenciales del concepto.6. Eje de división: Construye las clases en las cuales se clasifica o divide el concepto.7. Eje de vinculación: Establece las relaciones de ese concepto con otros que son

importantes desde lo semántico o contextual.

Además de los siete ejes, se pueden establecer ejes complementarios, tales como:

8. Eje de innovación9. Eje de finalidades

La Cartografía Conceptual posibilita, entre otros, los siguientes elementos en el procesamiento de la información:

- Ayuda a captar el interés del usuario mediante las imágenes, colores y logos.- Presenta el tema de forma concreta, panorámica, clara, fácil de comprender desde

el primer momento, ordenada y continua.- Asocia los nuevos temas a temas ya comprendidos y aprendidos- Presenta ejemplos y anécdotas de la vida cotidiana- Estimula la creatividad y el aprendizaje con placer;- Facilita la concentración y la lectura de la información.- Organiza la información en red y de forma sistemática, tal como se hace de forma

natural en las redes neuronales.

Para mayor claridad del concepto, se aplicará la Cartografía Conceptual para la construcción de términos científicos dentro del ámbito de la formación de competencias y teniendo como referencia sus ejes estructurales, en la descripción de

una asignatura de Cálculo Diferencial. Para ello se realiza una Cartografía Conceptual sobre el concepto central de la competencia identificada en la siguiente tabla (objeto de conocimiento), argumentada y autoevaluada en el mapa de aprendizaje anexo.

Asignatura: Cálculo I (Cálculo Diferencial) Docente: Eduardo Gondré Hernández

Fecha: 06 de julio de 2011

Problema del contexto relacionado con la asignatura:

¿Cómo preparar eficientemente a los estudiantes de ingeniería en su formación inicial, con objeto de proporcionar sólidos conocimientos en las diversas áreas que den base a una educación de excelencia, para el ejercicio profesional del ingeniero dentro del amplio campo de desempeño, tal como se describe en el documento de perfiles profesionales?

¿Cómo responder a las exigencias del contexto regional y nacional al formar ingenieros capacitados en el uso de tecnologías, que van desde las tradicionales obras civiles de infraestructura hasta los sofisticados sistemas de decisión, que le permitan la toma de decisiones en forma interactiva con la participación de los diversos actores sociales?

¿Cómo entregar una moderna concepción en la formación de la ingeniería aplicada para el desarrollo y aprovechamiento sustentable de los recursos naturales, en equilibrio con el medio, respondiendo a las necesidades sociales, tomando partido en la opinión pública crítica y dando a conocer sus puntos de vista.

Competencia que pretende contribuir a formar la asignatura:Resuelve problemas de optimización de funciones reales de variable real, utilizando: las bases conceptuales del cálculo diferencial, las técnicas del cálculo diferencial y de la modelación, en contextos industriales, económicos, sociales y de investigación, necesarias para poder resolver problemas involucrados con las diferentes áreas del conocimiento ingenieril que le permitan desenvolverse en el ejercicio profesional dentro del amplio campo de desempeño en concordancia con las respuestas necesarias a las necesidades sociales.

Criterios: Evidencias (productos):

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos y criterios de análisis establecidos, participando y colaborando en equipos de niveles diversos.

Analiza de manera gráfica, verbal o algebraica, características destacadas de funciones algebraicas o trascendentes de variable real, por medio del concepto formal de la derivada.

Aplica las reglas y técnicas del cálculo de derivadas al resolver problemas de álgebra de derivadas en funciones reales de variable real.

Analiza el comportamiento de una función real de variable real, identificando: Los valores críticos en su dominio. Los intervalos de crecimiento o decrecimiento. Los puntos donde la función presenta extremos

relativos o absolutos. Los posibles valores de inflexión en su dominio. Los intervalos donde la función es cóncava hacia

arriba o hacia abajo. Bosquejo de la gráfica

Modela situaciones problemáticas asociadas a la vida real a través de la lectura comprensiva de sus enunciados.

Interpreta la información en el análisis de modelamiento y optimización correspondientes a la solución de situaciones problemáticas asociadas al ámbito ingenieril.

Informe escrito del análisis de una función real de variable real, en un documento de texto que cumpla las especificaciones de formato dadasRegistro gráfico del análisis de una función real de variable real, que muestre claramente los puntos e intervalos identificados.Flujograma que indique los pasos a seguir en el análisis de una función real de variable real.Informe escrito que contenga el plan de trabajo de la modelación, especificando: la información relevante con respecto a los datos y las variables asociadas, el planteo de las ecuaciones primarias y secundarias, la función que modela la situación problemática; y la coevaluación del grupo.Prueba de respuestas combinadas, referidas a la modelación y resolución de problemas de optimización referidas a situaciones problemáticas asociadas al ámbito ingenieril.

Actividad 4. Cartografía conceptual del concepto clave de la competencia de la asignatura

Nombre: Eduardo Gondré HernándezAsignatura: Cálculo I (Cálculo Diferencial)Competencia: Resuelve problemas de optimización de funciones reales de

variable real, utilizando: las bases conceptuales del cálculo diferencial, las técnicas del cálculo diferencial y de la modelación, en contextos industriales, económicos, sociales y

de investigación, necesarias para poder resolver problemas involucrados con las diferentes áreas del conocimiento ingenieril que le permitan desenvolverse en el ejercicio profesional dentro del amplio campo de desempeño en concordancia con las respuestas necesarias a las necesidades sociales.

Concepto clave abordado en la Cartografía Conceptual

Optimización de Funciones Reales de Variable Real

Cartografía Conceptual del concepto clave de la competencia de la asignatura:

Argumentación textual de la Cartografía Conceptual del concepto clave de la

competencia de la asignatura:

En el aspecto gráfico se ha considerado una imagen contenedora del concepto

principal conformada por un par de manos que buscan y atrapan el conocimiento,

representado por la luz, el cual es internalizado por el estudiante y será visualizado en

la organización mental que la cartografía pretende. He hecho uso de una metáfora

como la luz, amarilla, desde la perspectiva del estudio del color; la luz amarilla

representa al sol, por tanto representa: la alegría, la felicidad, la inteligencia y la

energía; sugiere el efecto de entrar en calor, provoca alegría, estimula la actividad

mental y genera energía muscular; en las actitudes, representa honor y lealtad; y, en

su fondo más claro, representa inteligencia, originalidad y alegría. La fuerza de la figura

está centrada, entonces, en que la luz representa el conocimiento y el triunfo del bien

sobre el mal.

Noción

La noción de optimización es "mejorar el rendimiento de algo" con el objeto de

mejorar su eficiencia. Por tanto, la optimización con funciones que se emplea en

Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca yendo de lo más a

lo menos favorable, según corresponda.

La optimización matemática como parte del cálculo diferencial, nos conduce a una

serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar

aspectos como un costo, una dimensión, producción, etc., y a partir de ellos tomar

decisiones enmarcadas en el contexto que han sido planteadas.

Categorización

Las competencias disciplinares del Cálculo 1, tanto la generales como particulares,

implican como principales objetos de conocimiento las conceptualizaciones de límites

y derivadas de funciones algebraicas y trascendentes, para movilizar diferentes

capacidades relacionadas con: analizar, organizar y sistematizar los conocimientos

espaciales, razonar correctamente en forma deductiva e intuitiva; representar,

abstraer, relacionar, clasificar y aplicar conocimientos del Cálculo Diferencial para

identificar y resolver problemas teóricos y reales utilizando modelos funcionales a

través del uso de los diferentes lenguajes de representación: verbal, gráfico o

simbólico.

En conformidad con lo anterior, la Optimización de Funciones tiene como categorías

superiores: (a) Función real de variable real, por ser el ámbito semiótico que contiene

el modo de representar la función objetivo que modela la situación planteada; (b) el

Cálculo Diferencial, porque provee las bases conceptuales para analizar la función

objetivo, independiente de su significado contextual; y, (c) la Derivación, porque

provee de las técnicas y criterios, que hacen que sea diferente la optimización por

cálculo diferencial que por otros métodos de origen algebraico o geométrico.

Caracterización

Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real, al cual se han

eliminando las complejidades haciendo suposiciones pertinentes; se aplica alguna

técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo. En un

problema de optimización se busca maximizar o minimizar una cantidad específica

llamada función objetivo, la cual depende de un número finito de variables.

En la optimización del modelo matemático, representado por la función objetivo

modeladora, se observan al menos cuatro características básicas:

1. Objetivo: Todos los problemas investigados en un análisis de optimización tendrán

como objetivo la mejora del sistema o sistemas. Está claro que para mejorar

cualquier sistema es necesario que se pueda obtener una solución, en otras

palabras es necesario que una vez definidas las entradas a un sistema, se puedan

encontrar las salidas correspondientes.

Normalmente ningún problema tiene solución única y por lo tanto es necesario

escoger la mejor entre todas las posibles; pero, ¿cómo puede conseguirse esto?,

habiéndose definido previamente y con claridad el objetivo del estudio, que puede

variar de acuerdo al problema y a su contexto.

2. Variables de decisión y parámetros: Las variables de decisión son incógnitas que

deben ser determinadas a partir de la solución del modelo funcional. Los

parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien aquellos que se

pueden controlar.

3. Restricciones: Las restricciones, o limitaciones, son relaciones entre las variables

de decisión y parámetros que dan sentido a la solución del problema y la acotan a

valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el

número de estudiantes en alguna actividad, el valor de esa variable no puede ser

negativa.

4. Función Objetivo: La función objetivo es una relación matemática entre las

variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o

producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los

costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y

las variables de decisión; la solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo

sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables.

Diferenciación

A diferencia de la optimización por cálculo diferencial, el método simplex es un modelo

de programación lineal que proporciona un método eficiente para determinar una

decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran

número de decisiones posibles. El método se basa en la resolución de matrices

correspondientes a los parámetros definidos para la modelación y, por tanto,

corresponde al área del Algebra Lineal.

Subdivisión

La optimización de funciones, de acuerdo al criterio utilizado, puede ser dividida en dos

áreas mayores de la siguiente manera:

Criterio de la Primera Derivada: contiene los valores críticos que definen los intervalos

de Monotonía (cuando la función es creciente o decreciente) y los Valores Extremos

(máximos y mínimos de la función); los cuales permiten hacer un primer análisis de

optimización de la función modeladora.

Criterio de la Segunda Derivada: contiene los Puntos de Inflexión (donde la gráfica de la

función cambia su concavidad) y los intervalos de Concavidad (dominios donde la

gráfica de la función presenta alguna curvatura especial); los cuales, junto con el análisis

anterior, permiten ser más detallista en las conclusiones de las variaciones de la función

modeladora.

La cartografía muestra estas subdivisiones además de la Modelación, completando la

división del estudio de la Optimización de Funciones, del modo que generalmente es

tratado por los diferentes autores de referencia en un curso de Cálculo Diferencial.

Vinculación

La optimización de funciones puede ser aplicadas a diferentes ámbitos de estudio,

algunas de allas la vinculan con:

a. Modelos matemáticos aplicados a la Medicina

Sistemas mecánicos: estudio de prótesis óseas mediante la modelización de la

columna vertebral o de otros huesos. Estudio de los flujos en válvulas cardíacas

y prótesis vasculares. Estudio de la contractilidad cardíaca.

Sistemas eléctricos: estudio de la conductividad en distintos órganos,

fundamentalmente en el corazón.

Sistemas electromagnéticos: estudio de campos magnéticos y su influencia

para el desarrollo de dispositivos (resonancia magnética, etc...)

b. Modelos matemáticos aplicados a la Explotación Minera

Ingenieros canadienses han desarrollado un modelo matemático capaz de reducir

los riesgos asociados a la explotación minera, lo que se considera puede elevar

hasta un 20% el valor de esta actividad. Se trata de un modelo estocástico (relativo

al azar) que establece la interacción existente entre la incertidumbre relativa al

mineral y su mercado, con la devaluación previsible de las divisas. Según sus

creadores, el modelo cambiará de manera decisiva la forma de evaluar los metales

y minerales, de planificar y concebir las minas, de cómo se prevé la producción y

gestión de los residuos e incluso la rehabilitación de los yacimientos

c. Modelos matemáticos aplicados a la Simulación Hidrológica

Se utilizan para estudiar situaciones extremas, difícilmente observables en la

realidad, como por ejemplo los efectos de precipitaciones muy intensas y

prolongadas en cuencas hidrográficas, en su estado natural, o en las que se ha

intervenido con obras como canales, represas, diques de contención, puentes, etc.

La cuenca hidrográfica es dividida en sub-cuencas consideradas homogéneas

desde el punto de vista: del tipo de suelo, de la declividad, de su cobertura

vegetal. El número y tipo de las variables hidrológicas que intervienen en el

modelo son función de objetivo específico para el cual se elabora el mismo.

d. Modelos matemáticos aplicados a las Ciencias Sociales

Los modelos matemáticos aportan el lenguaje y la estructura conceptual necesaria

para expresar reglas generales de comportamiento y obtener predicciones de

validez general. Su utilización facilita que los conocimientos adquiridos en las

investigaciones sociales puedan transmitirse con precisión, estimulando la

comunicación entre investigadores de distintas áreas. Por ejemplo, los mismos

modelos de crecimiento se han utilizado con éxito para explicar la evolución de

una economía, de un tumor, de la población de un país o de la concentración de

un reactivo en un proceso químico.

Ejemplificación Metodológica

En ingeniería Civil Mecánica se están desarrollando proyectos enfocados a optimizar sistemas convencionales de calefacción y agua caliente sanitaria, ya existentes, a través del uso de energía solar. Del mismo modo, amplían su uso al diseño de sistemas solares térmicos para calefacción y temperado de piscinas, aplicaciones en viviendas, edificios, hoteles, colegios, industrias, etc.

Previo a la optimización, ocurre un proceso de modelación y simulación de paneles solares, estanques acumuladores, bombas, intercambiadores de calor, etc.; que requieren del Cálculo Diferencial y otras conceptualizaciones matemáticas superiores.

La gráfica complementa la idea del proceso descrito, en un caso particular de una casa.

Autoevaluación de la Cartografía Conceptual sobre el concepto clave de la

competencia de la asignatura:

MAPA DE APRENDIZAJE PARA LA EVALUACIÓN DE LA APROPIACIÓN CONCEPTUAL

CriterioPre-

formalNivel

ReceptivoNivel

ResolutivoNivel

Autónomo

Nivel Estratégic

o

Explico el concepto o proceso con base en la Cartografía Conceptual.

Tengo una idea general pero sin argumen-tación. Esto se muestra en alguna palabra o frase del mapa.

Tengo algunas nociones del concepto, las cuales argumento.Está establecido el eje nocional del mapa.

Indico un ejemplo sencillo de aplicación del concepto.Puedo describir algunos ejes del concepto, como las características y diferencias.

Explico algunos ejes del concepto como las características y diferencias. Soy capaz de representar el concepto con una o varias imágenes.Explico un ejemplo de aplicación del concepto.Mi argumentación está acorde con los avances académicos y científicos.

Explico el concepto en todos sus ejes.Establezco relaciones pertinentes entre al menos dos elementos.Explico el empleo de las imágenes.Mi explicación cumple con las normas de la lengua.

Ponderación: 10 puntos

1 punto 2 puntos 6 puntos 9 puntos 10 puntos

Nota: Logros: Acciones para mejorar:

Auto- Considerando que esta es mi segunda Mayor retroalimentación

evaluación realización y que el tema “cartografiado” es de mi competencia, creo estar en el nivel Autónomo. La razón de ello es la debilidad, supongo, mostrada en el eje Diferenciación; me fue dificultoso buscar diferenciaciones.

con el facilitador respecto de la cartografía y mejorar la comunicación con pares expertos en el tema; tanto para mejorar como para compartir experiencias.