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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Algebra III. 525201 FACULTAD DE CIENCIAS 30 de julio de 2010 FISICAS Y MATEMATICAS Duraci´ on: 1h 40min DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Prof.: Anah´ ı Gajardo Evaluaci´on2 1. Considere la siguiente matriz: A = 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 1 2 a ) (5 puntos) Determine su polinomio caracter´ ıstico, polinomio minimal y espectro. b ) (5 puntos) Calcule A -1 . c ) (10 puntos) Encuentre un vector v ∈ R 6 tal que m v (x)= m(x). 2. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre K, B : V × W → K una forma bilineal no degenerada y T : V → V un operador lineal. a ) Demuestre que Im(T ) ◦ = Ker(T 0 ). b ) Suponga ahora que V = W y que la matriz representante de B respecto a una base dada B es antisim´ etrica. Demuestre que entonces para todo v ∈ V , B(v,v) = 0. 3. Considere el siguiente producto interno en el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 4 con coeficientes reales P 4 (R). hp(x); q(x)i = 4 X i=0 p(i)q(i) a ) (4 puntos) Considere la siguiente base de P 4 (R): {q 0 (x),q 1 (x),q 2 (x),q 3 (x),q 4 (x)}, donde. q j (x)= x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) (x - j ) Demuestre que esta base es ortogonal. b ) (6 puntos) Considere el operador U : P 4 (R) →P 4 (R) efinido por U (p(x)) = p(4 - x). Calcule la matriz representante de U respecto a base de la parte a) ¿cual es el operador adjunto de U ? ¿es U unitario? c ) (10 puntos) Diagonalice U indicando la base de P 4 (R) que logra la forma diagonal. 30 de julio de 2010. AGS/ags.
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Algebra III. 525201FACULTAD DE CIENCIAS 30 de julio de 2010FISICAS Y MATEMATICAS Duracion: 1h 40minDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Prof.: Anah Gajardo
Evaluacion 2
1. Considere la siguiente matriz:
A =
2 1 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 2 1 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 0 20 0 0 0 1 2
a) (5 puntos) Determine su polinomio caracterstico, polinomio minimal y espectro.
b) (5 puntos) Calcule A1.
c) (10 puntos) Encuentre un vector v R6 tal que mv(x) = m(x).2. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre K, B : V W K una forma bilineal no
degenerada y T : V V un operador lineal.a) Demuestre que Im(T ) = Ker(T ).
b) Suponga ahora que V = W y que la matriz representante de B respecto a una basedada B es antisimetrica. Demuestre que entonces para todo v V , B(v, v) = 0.
3. Considere el siguiente producto interno en el espacio de los polinomios de grado menoro igual a 4 con coeficientes reales P4(R).
p(x); q(x) =4
i=0
p(i)q(i)
a) (4 puntos) Considere la siguiente base de P4(R): {q0(x), q1(x), q2(x), q3(x), q4(x)},donde.
qj(x) =x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)
(x j)Demuestre que esta base es ortogonal.
b) (6 puntos) Considere el operador U : P4(R) P4(R) efinido por U(p(x)) =p(4 x). Calcule la matriz representante de U respecto a base de la parte a) cuales el operador adjunto de U? es U unitario?
c) (10 puntos) Diagonalice U indicando la base de P4(R) que logra la forma diagonal.
30 de julio de 2010.AGS/ags.
