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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Algebra III. 525201 FACULTAD DE CIENCIAS Duraci´ on: 100 minutos FISICAS Y MATEMATICAS 15 de mayo de 2007 DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Prof.: Anah´ ı Gajardo Evaluaci´ on 2 1. (20 puntos) Considere la siguiente relaci´ on en R[x]: p(x) R q(x) ⇔ (x 2 + 1)|p(x) - q(x) a ) Demuestre que R es una relaci´ on de equivalencia. b ) Demuestre que R[x]/R⊆{[ax + b]: a, b ∈ R}. 2. (20 puntos) Considere una transformaci´ on lineal idempotente E. a ) Demuestre que Ker(Id + E) ∩ Ker(E)= {Θ}. b ) Demuestre que Ker(Id + E) ⊆ Ker(E). c ) Concluya que I + E es invertible. 3. (20 puntos) Encuentre una transformaci´ on lineal idempotente T : R 3 → R 3 tal que: Ker(T )=< {(1, 0, 0)} > y Im(T )=< {(1, 1, 1), (2, 3, 2)} >.
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION Algebra III. 525201FACULTAD DE CIENCIAS Duracion: 100 minutosFISICAS Y MATEMATICAS 15 de mayo de 2007DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Prof.: Anah Gajardo
Evaluacion 2
1. (20 puntos) Considere la siguiente relacion en R[x]:
p(x) R q(x) (x2 + 1)|p(x) q(x)
a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia.b) Demuestre que R[x]/R {[ax + b] : a, b R}.
2. (20 puntos) Considere una transformacion lineal idempotente E.
a) Demuestre que Ker(Id + E) Ker(E) = {}.b) Demuestre que Ker(Id + E) Ker(E).c) Concluya que I + E es invertible.
3. (20 puntos) Encuentre una transformacion lineal idempotente T : R3 R3 tal que:
Ker(T ) =< {(1, 0, 0)} > yIm(T ) =< {(1, 1, 1), (2, 3, 2)} >.
