ea ea ea pa la la
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Lema: Si m = inf x2I f (x) , M = sup x2I f (x) y S = sup x;y jf (x) f (y)j, entonces S = M m . En efecto i) 8 " > 0 existe un x 2 I y un y 2 I tales que M " 2 < f (x) M y m f (y) < m + " 2 Entonces M m + " < f (x) f (y) M m o bien, m M f (y) f (x) < m M + " Combinando ambos casos obtenemos M m + " < j f (x) f (y)j M m Pero esto no es más que la de…nición (o la propiedad que surja de alguna otra de…nición equivalente) de sup x;y jf (x) f (y)j 1
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palala palala
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Lema: Si m = infx2If (x) , M = sup
x2If (x) y S = sup
x;yjf (x) f (y)j,
entonces S =M m .
En efectoi) 8" > 0 existe un x 2 I y un y 2 I tales que
M "2< f (x) M
ym f (y) < m+ "
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EntoncesM m+ " < f (x) f (y) M m
o bien,mM f (y) f (x) < mM + "
Combinando ambos casos obtenemos
M m+ " < jf (x) f (y)j M m
Pero esto no es ms que la denicin (o la propiedad que surja de algunaotra denicin equivalente) de sup
x;yjf (x) f (y)j
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