[ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

327
POLITEXT 111 Mecánica de estructuras Libro 1 Resistencia de materiales

description

practico libro para los que lleven ingenieria electronica

Transcript of [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

Page 1: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

POLITEXT 111

Mecánica de estructurasLibro 1Resistencia de materiales

Page 2: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

POLITEXT

EDICIONS UPC

Miguel Cervera RuizElena Blanco Díaz

Mecánica de estructurasLibro 1Resistencia de materiales

Page 3: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

La presente obra fue galardonada en el octavo concurso"Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.

Primera edición: septiembre de 2001Segunda edición: septiembre de 2002Reimpresión: septiembre de 2003

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

© Los autores, 2001

© Edicions UPC, 2001Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esE-mail: [email protected]

Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-28576-2002ISBN: 84-8301-622-2ISBN Obra completa: 84-8301-623-0

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares deella mediante alquiler o préstamo públicos.

Page 4: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� ������

Page 5: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

���

�������

���� ���� ��� � ������� ���� � �� ���������� ������������� �� ��� �������� ���� � �� ����� ����� �� ���� � �������� � �������� ������ � ������� �������� ����� � ��� ���������� � �������� � ����� � �����! �� ������������ ���� � "������� � #������� � � $�%����� � ���������� � ������! ��������� � ���������� � �� ���� ������ � ���� ������ �� � � ����������� ��#%��� � ����������� ��� �� ��&���� ������� ���������� �� ������ ������� ������ � ����������� � ��'���� ���������� � �(���� � ��������!

)� ���� � �������� � ��� '�� ���*

� ���� �� ����������� �� ����������� ���� � + ��� ��� &��������� � ������� � �� ���������� � � �� "������� � #������� � � � �� � ���������� ������ � �&�����,� � ����,� �� ��'��� ��� ��&���� �&��-�� �� ��� ����� ���� ��� ����� ���� � ��� �-�� � ��� �������� � ������!

� ���� �� ������� �� ��������� ���� � ������� ��� &��������� �� $�%������ ���������� � ������ � � � �� � ������� ��� ������� � ������,� ������! � ������ ��� ������� � �� ���������� � ���������� ����� � ������ &���������� ��&������ ��� ��������! � ������ ������� � ������ ���������� � �� '���,� �������� .������ � �����-/!

)� �� ����,� � ��� ��&���� ���� � ' &�'����� �� �� ������,� � ���0����� 1� ��� ������� ��'����� � ��� ���� �%���� � �� ����������!

)� ���� ���,� � ��� ��'� '���,�� �'����� � �� ������ � �� ���,� ��������� 2334 � � �� ������ ���,� � 2333! �� ��� ��'� ������,�� � 5� ��0 ����� � ������� �� �� ����,� � ��'�� ����� � ��'���� 1� ��� � � 5� �0���������� � &���� ��������� �� ���� ��� &������� �� �� ����,� � ��� ���� ���&���������� �� $�%����� � ����������!

Page 6: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��

)�� ������ ������ � ��� ��&���� �� 6 �������� � "������� � #��0����� � ���������� � �� �������� � �� 7��'������ ��������� � ������(� �� ���0�����,� � �� �� ����,� � ����,� � �� �����! $ ������� � ���� ����������� ����� �� ��&��� 6�! 8����� ������ �� �'��, �� '���,� 9��� �� ���������!$�������� �������� � ��� ���! ������� 8��-%�- � "� � 8����- �� �� �����0�,� � ��� 9����� � ������ �� � ������ � �� 6�! ������� ��� �� �� ����� ���� ����� � ���,�! ��� ������ � ����� � � ��� � �� �! �! �! � �������� ��������� ������ � ������ � ������� � � �� 7��'������ ��������� � ������(��� ���'�� � ��� �� ��'�� �������� � �����'��,� ��� �� �������,� � �����������!

#���� ��'�� "��- � ���� ����� 6��-

�������� #��� � 4::2

Page 7: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� � ���

� ����� ��� � ����������� �2!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 22!4 ��� �� � ����,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42!; ������� � ���������! ����� � ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <

2!;!2 ��� ����� � ����,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <2!;!4 ������� � ��������� � ���5� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =2!;!; ����,� ���� �� ���� ����������! ������� � ���5� ! ! ! ! ! >

2!< ������� ���� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 32!= ������ ���� � ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2:2!? ��� �� � �&�����,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 242!> ����� � �&�������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2<2!@ ���������� � ���������! )� � A��B ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2?2!3 ����� �� � �� � ����,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2>2!2: )� � A��B ������-��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2@

2!2:!2 #,���� � �����- � ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 422!2:!4 #,���� � ��������� '��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4;

2!22 "���,� ����,�0�&�����,�! ������� + ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4=2!24 ����,� ������ ����,� �������� � �9��� � �������� ! ! ! ! ! ! ! 432!2; ����,� ���'���� � ������� � �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;2

� ����� ��� � � ���� ��� � ��� ���� � ��4!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;=4!4 ��1��'� � �� "������� � #������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;?4!; ��� �� � �-� � �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;>4!< ����� ��� � �� "������� � #������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;@

4!<!2 ����� �� � �����- ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;@4!<!4 ����� �� � �� � ����,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;34!<!; ����� �� � �����0C���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <:

'

Page 8: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��

4!<!< "�������� ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <44!= 69���,� � �&��-�� � ��� ��,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <;4!? "���,� ��� �&��-�� � ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <=4!> ��&��-�� � �-�� � ���� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <>4!@ ������� � ��������� � �-�� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! <34!3 $ ���� � ���� � ��������� � ���� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =:

4!3!2 $ ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =:4!3!4 ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =4

4!2: ���������� �����%���� 5� ���%���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =<4!22 )�� � �&��-�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =>4!24 "�����,� � ��������� 5� ���%���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! >=

4!24!2 #����� � �� ���������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! >=4!24!4 #����� � ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! >@

� ���� ��� ���� �;!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! @2;!4 ��&��-� �+�� � ��� �-� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! @2;!; ����� � '����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! @@;!< ���������� ���������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3;

;!<!2 ���������� ���������� �����%���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3<;!<!4 ���������� ���������� 5� ���%���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3@

! ��� �� �� ���� ""<!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 33<!4 D�+�,� ��� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2:2

<!4!2 D�+�,� ��� � �-�� � ���� ���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2:2<!4!4 D�+�,� ��� �� � �� ���� ���� �� � ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2:><!4!; #������ �%+���� ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2:3<!4!< #,����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 22:<!4!= "�������� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 22:

<!; D�+�,� ��� �'���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 223<!;!2 ������� � 1� ���� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 24:<!;!4 6&�����,� � E+�,� ��� �'���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 24<<!;!; ������� ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 24@

<!< D�+�,� ��� � ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2;3<!= D�+�,� � �-�� ����� � ��(� ��'����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2<=<!? ����� � '����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2<?

Page 9: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

'��

� �� ��� #��$� ��� ���=!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=;=!4 D�+�,� �� ���� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2===!; D�+�,� �� ���� �'���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2?=

=!;!2 ������� � 1� ���� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2?==!;!4 ������� ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2>@

=!< ����� � '����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2@?=!= F �� ����� � �� ��,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 23:

=!=!2 ��,� ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 234=!=!4 ��,� ����� ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 23;=!=!; ��,� ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 23<=!=!< ��,� � ���� � ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 23<

% ���� ��� #����� �""?!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 233?!4 ����� ������ � �� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4::?!; ����� � ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4:4?!< ����� ���-�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42:

?!<!2 ��,� ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42:?!<!4 ��,� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 424?!<!; ��,� ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42<?!<!< ��,� ���������� ��,��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42=

?!= ����� � ��(� � ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42>?!=!2 ����� ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 42>?!=!4 ����� ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4;:

?!? 6&�����,� � ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4;??!?!2 G�� ������ � ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4;@

?!> ��&��-� ������ �'���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4;3?!>!2 ������� � 1� ���� ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4;3?!>!4 ������� ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4<4

?!@ ����� � �&��-�� ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4<??!@!2 �����,� �� ���� � �&��-�� ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4=2

?!3 ����� � '����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4?:

& ��� �� '����� �%�>!2 ��������,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4?;>!4 �����,� � ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4?=

>!4!2 ��,� ������ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4?=

Page 10: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

����

>!4!4 ��,� ������ � '����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4?3>!4!; ��,� ������ 5�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4>:

>!; �����,� � �����0C���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4>2

>!;!2 D�������,� ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4>2>!;!4 $������� � �� ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4>=>!;!; ��,� ��������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4>@>!;!< ����� ���������� ���5�� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4>3>!;!= ��9�� ��������� ������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4@:>!;!? $������� 5�������%��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4@?>!;!> ����� ������ � ��(� � ��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 4@@>!;!@ ����� ����������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 43;

>!< �����,� �� ���&��� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 43>

� #����� �(������ � ��)������ � �� * ���� �+�$!2 ����� 5�������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;:;

$!2!2 #����� ��%��� �+��� � ��� ��,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;:;$!2!4 #������ � ����� � ��� ��,� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;:?$!2!; �������,� � 1� � �&���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;:@$!2!< "����,� � 1� � �&���� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;2:$!2!= �1� ���� ��� � ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;22$!2!? ��� � ����� � ����� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;2;

$!4 ����� � '����� �������� ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ;2=

Page 11: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� ��� � �����������

�,� -���������

)� "������� � #������� � �� ����� � �� ����������� ��� ���� ���������� �� #%��� � �,����� 6&�������� ��� ��� ���� ����� �� ��1��'�� �����*����� ������� � ������ � �� �������� .����� � �������/ � �� �����- .������ �&��������/ � �� �� �,����� �&������� �������� � �� ��,� � ������� �&��-�� � ��������� ��%���! $�������� ����� ���� �� ���� �� � ��������� �����,� � �� ����H ���� ��� � '�% � �� �� ����� �� ��� �� � �� ��������� ���� �������� � �� �� ��%����� � �� ��� ��'������� �� � ����� � �� ���� ��(���!

)� "������� � #������� ������ �� �� � � � ����,� � ����� �� �� � �0����� ���������� .'����� �������� �!/ ���������� � ����� ������ ����0������� .� ���� ��� ��� ������������ � ����������� �!/ � �������� � ������� �� � ����� .&��-�� ������� � � �������� ��������� � ����� ����� �9��0��� � &���� ������/! ���� ������,� �'�� � ����� � ��� ��������� ��������� � ��� � ����� ���������� ���� �� &�������,� � ����� 5� ,���� � ������� � �� ���������� ��� ��9��� � �� ��� �� ������,� �������� � �������� � ������� ����������� � �������� ���������!

)� ����� � �� ����������� �� �� ���� �&����� � ������ ��%���� � ��&���� �%� ����� � ����� � ��������� �������� � ������� � �� �� � ���������������! ���� ����'� �� ����� �� ���� � �� ��������� ����%��� ���� �� ����� �������� ���������� ���'� ��� �� � ��� �������� � ����� ����0����� � ��� � ������� �������� � ��+������ .��&����� 9������ ������ 9�������!/ ��� �� ������,� � �� ����� ��� � ������� � ������ �%���!

6�� � ���� � '���� 5���,���� �� "������� � #������� � ����� ��� ����0 ���� ����9� � ���� ��� �� ����� IC�� �� ��� �����1�� � 8������ �� ������ � ������ �6�� F�'�� ������� .2?;@/! � ��������� �� ��� ������� � �� ���� �

2

Page 12: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� ��� ������� � �������� �

� ��� ������ IC�� � IC���� 1���� � ��� ��%� ����� � ������ ������ � ��� � ������0�� � "���� A��B� ��� 5������ J��� � J�5� ���������� )����� ���� � �5����$������� �������� ��� ����� ������ ��������� � ���� �������� � &���� ����9����'� � �� ����� ����� �� ����� I�I �� ��� �����1�� � �5���� K���� .�$����� �& )���� �� F������ �5����� 5� ��� �5 #5����� $����� 2@:>/� )���� F�0'�� .�"����� �� )L��� � #�������� 2@4</ � ����� � �����0C���� .�"����� ��)L��� � #�������� ����,� � 2@?</! ��� �� ���� �� ����� � �� ���������� ������ � 9���� �� ����� IC��� � ���� ��� �� I�I� ��� ����� &���� � ��� �����1�� �)! F�'�� .2@42/� $������� ���5� .2@44/� 8����� )��� .2@4=/ � �! � �����0C����.2@?@/� ��� �����!

6���� ��� ��1��'�� .� ���� ���/ ������ �� "������� � #������� � �� ������ �� ���������� ����� ������ ������� �%������ ��� ��� ������ �� � ��0��� � �� ��������-��,� � ������ �� � &%�� �������� � &���� ������ ��� %�������� ��'��! 6�� �� �� ��'� ������ � 5������� �������� � �� "������� �#������� ��� ��� ��� ����������� � ��� �%� ������ ����� � �� ����������!�� ������� ���� ����� ���� ����� ���1�� �������� � �� ��� ������ ������� ��� � &��-�� �� ��-������� ����,�� �&�����,�� ���������� �� ��������������������� �! �� �� �� ����� � + ��� ��'��� ������� � ���� �� ���� ���� ��� ����� �� ��%� �����-���� � �� ����� � ��� ���� ��������! �� ��� ����� ������� � ������ ��� �� ��� � ���� ��� �%���� � �� "������� �#������� �� ����� ��5�!

�,� #�� $�� � � ���

���������� �� �� � �,���� ������� � �� ��,� � �� ������ � &��-�� +������.����� � ������ � ������/ � ���������� ������������ ������ �� ��� ��,��������� � �� �� ��'�� � ��� ����� ��� � ���� �������� � ����� ����� � �� ��,�� .'� D����� 2!2/! ���� �� +���� ��������� � ��� ��� ���� ���������� ��� � ������� +����� ���� ����� &��-�� � ������,� � ���'�� � �� �� �9� � � ��� ����������� �� ! )�� &��-�� � ������,� ��� ������ � �������� � ����,�� �� �������� � ������ ���� ��� ����� � � ��� ���� ��� � ���� �� � +�� � ���� ��� ��,� � ���,�!

���������� �� ���� ���� �� �� �9� � � �� ������ � ��5� ���� � %����! )������ ��� � �� &��-� �� �� ��� ��� �� �� � 1� ���� �� ��� ��� ����'�� �� %�� ��! )� &��-� �� ������ � %�� '�� �����*

��� ����

��.2!2/

Page 13: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ������� �

���� ���� �������� �� ������� ����

$ ��� &��-� �� ������ � %�� ��� � � ����� ����,� ���� ���� �� �� �9� �

� � ���� ���������! �� � 5� ���� � %�� �� � �� ����� ��&����� � %����� � ����� �� �� � �9� ��� ����,� � �� ���� �� � ��� �� �9� � ����*

�� � �������

���

���

���

��.2!4/

"� �� �� �� �� � ����,� ��� 5��� ��� �������� ����'�����*

� )�� ��������� � �� ����,� ��� ������ � ��� &��-� �� ������ � �� �9�!�� � ������ ����������� �� ����,� � ��� � ������ .��/� � ���� � FM��

� )� ����,� � �� �� ���� � � �� �������,� � �� ��,� ������! $��� ��� ���� ���� � ����%� ��&���� ������� �� � �� �������,� ����������� ��� ��� ��,� ���� � ����%� ������� ��&���� ��� ��������� �����!

� �� ������ �� ����,� �� � ������ �� ���� � ��� ���������� ���� �� ������ ���� �� � ��� �� �����* �� ����,� ������ �� ���� � �� ��,��� � �� ����,� �������� � ��5� ����� � � ��� ��� � ������ � �� D����� 2!4!�� �,���� � �� ����,� �� � ����� �*

��� � ��

� �� .2!;/

Page 14: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

! �������� ��� ������� � �������� �

���� ���� ���������� ����� � ���������� �� �� �������

�,� ������� � � .����/���, ' ��� � � ��� �

�,�,� #��$� � � � � ���

���������� �� �� � ������� � �� ��,� � �� ������ � &��-�� � ���������!�� � �� ���� � �� ������� � � �� � ��� �������� � ����� ��������� ����� ���� �� ����,� �� �� � �� � �� ���� � �������,� ���������� �� �� �� ��5� ����!

$������� �� ����� ��&����� � '������ � &���� 5+������ � � �������0�� .� � ��� ��/� �� '���� � � � �� ���� ������� � �� ���� ������ � �&������������ . � �� �/ �� ����� � � .'� D����� 2!;/! ���� ��� ��� �� �������&����� �� � ��� ����,� �� ��&��� �� � �� ���� ��� �� � ��� 1� ��&���� .'� D����� 2!</! )�������� � ��� �� ����� �� '��� ����,� ���0���� � ��� ��� � � � ��� �� ����� ���������! )�� �� ����� ���������� ��� ���� ��� � �� '- � ��� ������� � ��� ��� 1� ������� � �� ���!

���� �� � !����� ���������� �� ���������

Page 15: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ���������� � ���������� ������ � ��������� �

���� ��"� ���������� ����������� �� �� �������

$��� ���� ��� ���� ������� �� 1

�����

����� �� �� ��� �� �����

������� ���� ����� ���� � ���� � ��� � ��

�� ������� � ��� ������� ������� � ����� � 1 �������� �� �� � �������� �� �9� ���� �� �� �� ��! )�� ��� �������� � ��� ������� ��������� ���� �� �9� ������� � ������ � 1 �� ��� � ������ �� �� �9� ���� �� ���� �� �� � ������� � 1 �� �� � ������ �� �� ���� ��������! �� ��� ������ �� &����� ��� 1� ���������� � �������� �� ����� �����'�� ��� �� ������� ������� � ��� 1�! �� ��� ���� �� �� &����� ��� 1� ���������� � ����������� ������� �����'�� � �����! 6 ��� &����� ��� ������� � ����,� ��� �������������� �����'�� � �����'�� ��� � �� ���,�!

�,�,� ������� � � .����/��� � #���01

�� ������������ �� ��� ���� ��� ������� �� �� �� ���� ��� ���� �� �� &��0��� ��� 1� ��������� .'� D����� 2!</� ��� ������� �� +���� ��� ��� ����������� ������� � ���� �������� �� 1� ��� ��� ��� ���� �� ����� � �� �0 �������� �� 1 � ���� �� ���������� �� �� � � �������*

�� � � �� � � ���

� ��� � ��� ���� � ��� �����

� .2!</

� ��� � ��� ���� � ��� �����

Page 16: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

% �������� ��� ������� � �������� �

$�%������� ��� ������ ��� ������� ��� ��� �� ����� � ����,� �����0�� ���� ��� ���� � �������� � ��� 1� ��� ��!

�� ������� �� ���� � ����� ��&����� �� �� ���� &��-�� �� ������ �'����� ��� ���� �� ����� ��������� ��� �� ���� ��� ���! �������� �5��� ��� ��0������ � ��������� ��%��� �� ����� ��&����� �������! 6� ��������� � &��-���� � ��� ��� ������� ��������� � ������ ��� ������ � ��������� ������ �� ���5�*

���

������

�� ����

�� � � �

�� � ��

�����

����

�� ����

�� � � �

�� � �� .2!=/

�����

������

����

�� � � �

�� � ��

��� ���� ���� �� ��������� � ������� � ����� � ���� �� � �� ������ ���� ������� ���������� �� ���� ����� � �� ����� � � ��� � �� �������� ������ � ��� ������� ���������� � ��� � ���! �� &��� �� � ������������ �� �� �� 1 � ��� &��-�� �� �� �� ���� � '����� ��&������ ������ �� �� ����! ��� ��� � ' � �� D����� 2!=� � �� ������ � &�� � ���&��-�� � '����� � � ��� ��&������ � ����,� �� �� ��9��������� � ���������� �,�� ��� ��������� � ��� �� ����� ��� � � �� ����� ������ ��� �� �� 1 *

���� � ��� �� � �� �� � ��� �� � � �

�� � �� .2!?/

� ������ � � �� �

�� � �� .2!>�/

���� ��#� $%�������� �� ������ �� �� ������� ����������

Page 17: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ���������� � ���������� ������ � ��������� &

6 &���� ��%���� � ����� ��*

��� � � �� �

�� � �� .2!>�/

��� � ��� �

�� � �� .2!>/

��� �� ������ � ���� �� � �� ������ � ������� ��������� ����� �� �� ��� ����� � �������� ��� ��� ��� �� ����� � ��� ������� ��������� �������� �� ������ �� � � �� ���� ��� ������ � �,����� � ����� ������ � � � ����������%����� � �� �������� ��� ��� � ������ � �� D����� 2!?!

���� ��&� ������������ �� ��� ��������� ������������

�,�,� ' ��� ��/� � $��� ��/�������, ' ��� ��� � #���01

�� ������ � ������� �� �� � ���� ��� ����� ��������� �� ���� �� �� ���� ��% �9���� �� ��� �� ����� ��� ������* �� �� �� ���� ���� ���! �������� �� ����� �9�� � ����� � ������� � �� ���� ��� ��� '���� ���������,�� ���� ������ �� ����,� �� �� � ���� ������� ���� �� �� ����5� ����!

�� ������� �� � ���� ������ ��� �� ����� � �� ����,� �� �� � ����������,� ���������� �9���� �� �� ��� ���! � �9� �� ������� ��&���������� �� '���� � � � �� ��� ���� ������� � ��� 1� ���������� �� � ������� � �� D����� 2!>! �� � ������ ����� ��� ���� ���� �� � � ��� ����������� ��� ���� ��� ������� � � ���� � �� � ��&���� �����! )� ��� ����� %�� ��� ��% �9���� �� ��� ����� ������� ����� �� � �� ������ +����� ��!)�� �� ����� � �� ���� ��� ��� � ��� ������ � &���,� � ��� ������� ���� �������� ����� �� ������ �� � ����� ��&����� ��� � ��������� � &��-��!

��� ��

�� � �� � ��� ��

�� ��� � �� ���� ��� ������ � ������� � � .2!@�/

����*�� � � � ���� � �� � .2!@�/

Page 18: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�������� ��� ������� � �������� �

���� ��'� (�������� �� ����)�

6 &���� ��%����� �� ��

�� � � �

�� � �� � ���*

�� � ��� � �� � �� � .2!@/

�� � ��� � ���� � � .2!@�/

#���������� � �� ������*

� � � � .2!3/

���� � � � ��� ��� '���� ����,� � ������� �� ��'����� � � � � ����� �������� �� � ����� �*

� �

�� � ��� � ����� � � ����� ��� �

�� .2!2:/

��� � ���� �� � �� ������ � ��� ������� ���������� � ����� � �������� ��������!

6 �� ������� � ��� �� ������ � ����� � ������� � �� ���� � �������� ������� � �� ������ � ��� �� �9� �������� �� ��� �� � ���� � �� �������� �� ����,� �� � ��5� �� �9�!

������� �� ����,� �� � ��� �� �9� �������� ���� ��� �������� �� ��0 ���� ������ � �� �� �9�� ����� ������ �� ���� � '��� ������ ��� � ���*

� �� � ��� �� � ��� �� � .2!22/

� � �� ��

� � �� ���� �� ������ �� �� ��

Page 19: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� ����������� "

� � '���� � �� �� ���� �������� .���� �� �� �9� ���/ �

� �

���� �� � � .2!24/

�,! ' ��� � $����$�� �

������� �� + ���,� �� �� ������ � '���� � ��� �� ����� ��������� � ������,�� ��� � ��� �� �9� �9���� �� � ���� ������ '��� �������� ������ ����� ���

� � � � .2!2;/

�� �������� ��� ��� ������� ���� �� �� ����,� � +����'���� ������� �� �� �9�� � ���� ��� ��� ������� � �� � ��

� � � .2!2</

���� � �� '���� ����� �� ���� ��� �� �,���� � �� ����,� � �� ����,��9���� �� ��! ���������� ��� ��� ������ ��������� � ��� �� �� �� ������

�� � � �� � � .2!2=/

���� � � ��� �����- �������� ; + ;! ���� �� �� ������ � ������� ����� �5�������� ���� �����,�� � ������ �� � ��������� �� ������ �� ����� � ��

�� � � � � � .2!2?/

�� ������������ � ���������� �� ��

� � ��� �� � �� � � .2!2>/

����

�� � � � � .2!2@�/

�� � �� �� �� ���� � ��� ���� .2!2@�/

�� � �� � .2!2@/

$� �� � ��� �����- ��������� �� �! .2!2>/ ��� ��� � ��� ���� ����� �� ��� �� � ��� �� � ����� ����� ���� ����! 7�� '- ���������� ������ � �������'� ��� ��� ������� � ������

�� � �� ��� � � � � � �� � .2!23/

Page 20: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ �������� ��� ������� � �������� �

� ����� ��� ��� '���� ��������� �� ���� ������� � ��� �������� ��� ��� ����� ���� �� ����� � ������� � ! �� �� �������� ������ �� ���� ��� ���������� � +���� � ��� �������� ����������� ��&������� ���� �������� ������0���� �� ������ �������� �+��,����! �� '���� �� �� � ���� ��5� ������ ��������� � �&����� � �� � ����� � ������� � �� ����� �������� &������ �� ���'����� ���� ��� � ����,�!

���� ��� '����� � ��� ������� ���� ��� �� ��� � ��� �� ������ � �0&���� ��� ����� ��� �9���� � �� ���,� .2!2>/� ��� �� ��� �� ��� � ���� ���� � � ����� �� ������ ��� ��������� � �����! )� ��'������� � ������� �� ��'������� � �� ���-� �� ����� � �������� � ���� �� �� ���� � ���������� ������� �� �� �� ���� ��� ����� ��������� �������� ����������� ������� ����� � �� ���� � ��� '����� � ��� ������� ���� ���! �� �� � ������ ����� � ������� ���� ������ � ����� ���� ����� � �����!

�,� ������ $��� � � ��� �

������ ��� �� ����� ��������� ���� ����� ������� �� 1 �� �� � �� � � ��� ��������� ��� ������� �� ��%� ��� � �������� � � ���� �� � ����� � �� �� ���� �� ����� ���� � �������! ��� � � ���� �� 1� ��� � ��� ��� ������������ ������ &��-�� � ������ � � ������� � ������� �� ���� � �� ���! ������� �������� ���� ����� �9���� �� ��� �� ����� �� �� ���! ������������ �� ����� �� ����� � ������� � ������� ���� �� � ����� ���������� ����,� ���� ��� �� �9� ����������� �� � ���� ��� ����� ������� � �������!

�� �� ��� �������,� ����������� � �� ������ �� � � ��� � � � � ��� �� � '��������� �� �� �9�! ��� ���������� � �� � �� + ���,� .2!3/� � ���*

�� � � ���� ��� ��� � .2!4:�/

�� � ��� ���� � ��� � .2!4:�/

���� �� � �� ��� ��� �� ����� ��������� � �� ����,� �� � � ���� � �� � � ���� ��! )�� �� ����� ������ � �������� � ��5� ����,� � ������ ���0����� ��� �� ����� �� � �� ���� ��� ������� ������ � �������� �� ���� ����� ��'����*

� �� ��� � �� ��� �

� � ���� � � ���� � ���� ��� � ��� � .2!42�/

� � �� ��� �� �� ��� �

� ��� ����� �� ���� �� �� � �� ��� � ��� � .2!42�/

Page 21: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ���� � ����� � ��������� ��

���� ��*� $����� ����� �� ���������

6 ��� ������ �������� � ��� �� +��� �� ���� %����� � ��� � ��� ������,� �������� � � ������ � ���*

��� ����� �� ���� �� �� � �� ��� � ��� � � � .2!44/

� �������

� � ��

��� � ��� �

��� ��� ���� ��

���� �� .2!4;/

$ ����� � ��� ���,� � ����� 5����� ��� ������� � �������� ��� �� ������ ���� �� ����,� �������� � �����H ��5�� ������� ��� ��� ������� ���� �0�� � ����,� � ��� ������� ������� ���� ������� ��� ��� ������� ���� ���!

�� � ���� ��� �� ����� �� ����� � ������� ���� ������� � ��� ����� � �������� ��� �� .�� �� ���/ � ����� �������� ��� ������� ���� ��������� ��� �������,� ��%9� ������� ����� � #�5�� �� � ������ � �� D�����2!3! �� � ���� � � � ������� � ����� �� ��� �� ��� ����� ���� ���� ������������ �� ���� � � � �� �� �� � �� )�� ��������� �� ����� �� � 1 �������� ��� '����� � ��� ������� ���� ���� �� �� ��� ���� � � �

$ ����� � �� �������,� ��%9� �� ����� � ��� ������ ��� '����� � ���������� ���� ���� � � �� ���*

� � �� �� �� �

��� � �

��

���� .2!4<�/

� � �� ��� �� �

��

��� � �

��

���� .2!4<�/

Page 22: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� ��� ������� � �������� �

���� ��+� �,����� �� ��)� ���� ������ ����� �� ���������

������� � �� ���� � %����� �� �� �9� ��� ������� ���� ��� � ����,��� �� � ��� 1� � � ��! ��� ���� ����� �� ����,� �������� �%+��� � � ���� ������ �� ����� �� ������ � ���*

���� �

��� � �� �

��� � �

��

���� .2!4=/

)� �������,� ��%9� � ��� ������ � #�5� � ������� ����� � �� ������,������ � �� ����� ����+��� � �������� ����� � &���� ���� �%� �� �1� � �� �����������!

�,% #�� $�� � � ��������

���������� �� �� � �������� ������� � �� ��,� � &��-�� � ������� � ��'������ ��9���� ��� ��� �� ���� ��'������� � �,���� ������! 6��� �� ��+��� ������� ������ �� �� ��9������� ������� �� ��,� � ��� &��-�� � ������ �� � �� � � �&����! �� ������� � �� �� ���� �� � �� � � �� ����� &���� ��9������ ������ ��� ��� �� ��� ��'������� �� � ����� �� ���� � �&�����,� ��� ��(�� �� ������ �� ��� ��������� �� �� �. ���� �� � �����-/!

)� �&�����,� � �� ����� ��&����� � '����� � ��������� .� � ��� ��/���� ��� � �� � ������ � �� D����� 2!2:� �� ���� ���� � ��� ����*�����,� � �������,� .��'������� � �,���� ������/ � �&�����,� ��� .����� �&����/! F�� �� ����� � �� � ������ � �� �&�����,� ��� ������!

Page 23: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ���������� ��

���� ���-� .������ �� ��������� �� �� ������� �� /�����

)�� ����� �� ����� � �� ������ ����9�� ��� ��������� ������� � � ��� ��� ����� �� ��� ������� � ��� ��'�� ��������� ���� ��� ��� 1� � �&���� ���� � '��� � ��� � � � ��� ��� � ��� ��� �� ��'����! $�������� ��� ������� � ��� %������ ���� �� &����� ��� �� ��� ���� �� ����� ���� ��� �&�����,� '����� ��� ���� � '���� + ������ � �������� ��� � ���� ��� ����� �������! � ������ ������������ ��������� � �&�������� ������ � ��� '�������� ��� �� � ����������� � �&�������� �������� � ��� '����� ���� ���� ���! 6���� �� ���� �� � �����-� ����� ��� �&�������� ������ ��� ��� �������� ��� ��(����� ������ �� �� ������!

� �������� �����'�� ��� �&�������� ������ � ����������� � �����'�� ���� ����������! $�������� � �������� �����'�� ��� �&�������� �������� ���������� ��������,� � ��� %������ ���� &������� �� ��� ����� ���� ������� ���� 1� � �&����� � �����'�� ��� �� �������� ������ � ��5�� %������!

�+ ����������� � ����'� ��� � ��� �������� �%������ ��,��� ��� ���������� ������� ��� ����� � ������������� ������� �� ��� ������� ��������� ��'��� ����������� .'� ��,� 2!2:/!

���� ����� ����������� � ���������� �� �� ������� ��������

Page 24: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�! �������� ��� ������� � �������� �

�,& ' ��� � � �������� �

���������� �� ����� ������������ � ��� � � ����� ������� ����� ��! � �9�

��� �&�����,� � �� ��������� �� �� ��-������

������ �� ���� �� ���������

�� �� �&�����,� �� ����� � �� ������ �� ���� � �� �� ��������� ����0����� � �������� � ���������� � �,���� ������ .'� D����� 2!24�/!

��������� � ��������,� ��� �� ����� ��������� �� '���� � � �� � �� �� ��!���� ���� ������� ��� �� ����� �� �� ��-������ �� ���� � ������ � ��� ����0�������� ��������� ��� ��� �� � � ��� ����������� ���� ���� ��� .D������ 2!24� � /*

� � �� � ����

�����

� �����

� �� �����

� .2!4?/

� �����

� ����

� �� �

���� ����� 0�1 �������� �� /����� ��������� 0�1 2�����3������� ������� � ��������������� 0�1 2�����3������� ������� � ��� ������������

Page 25: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ������ � ������������ ��

� �����������*� � �� .2!4>/

���� � � � ��� ��� '���� � �&�����,� � � ����� ��������� �9����� �������0���� � � � � ����� � �&�������� �� � ����� �*

� �

�����

�����

�����

����� ��

�����

�����

����� ��

��� .2!4@/

�� ����� � �&�������� � ��������� �� 5��� �������� � �� �������,� ���� �������� � �,���� ������!

� ��� � �� + ���,� .2!4>/ ��� ������� ��� �� ����� �� ����� ��&�����,� � �� ���� .����� � �&��������/ � ��� ����� ������� � ������� ����� ��������� � �� ���� �� �&�����,� � ��5� �����!

)� �&�����,� ������������ � �� ����� �������� � ����� �������� � ����� '��� ��*

� � � � ��� �� �

� ���� �� �

� ��� �� ����� ��� �� .2!43/

�� �&�����,� ������� ��� � �� 5����� ������ �� + ���,�*

��

��� �� � �� .2!;:/

���� ��� � $��������� � ���������� �� �� ������� ��������

Page 26: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�% �������� ��� ������� � �������� �

�, ����������� 1 �� ������, 2 1 � 3��4

���� �� � � �&���� ��1� �� ��,� � ��� &��-�� � ������� � �� ��� ������ ��� � ���� � �� ��� �� &���� ������'�! ���� ������ ��� � ����� � ���������� ���� ����� ��� �� �� � ������� ���� ����!

�� �������� ��� �� �� �� ��� �� �&����� �%����� �� �&����� ���%�0����! )�� �&�������� �� � ���� � ����� ������ � ��� ��� � �&�����,��%����� �� ��� �� �� ��� ��� &��-�� � ������� � ��� ��� � �&�����,� �0������ �� � ������ ����������! �� �� �'��� � ��� � �� ��� �� ���&��-�� �� ���� ���� ���������� '������ ��� �&�������� ������� ��� ��� ��(��� � � �������� ��5�� �� �� ��� ��������� �%�����!

���������� �� + ������ ������* � ����� ��� '��� ��� ����� ��� �� � ��D����� 2!2< � � ��� � �� ��-������ '����� � �� ���� ���� � � �� ����� ������� �� ��� &��-� ! � ����� � ���� ���� � � ��5� '���! )� &��-� ! ������� � &���� ������� 5���� �� ���� '���� � � ����1� �� ��'� ! � �������!�� �5��� ��������� �� '��� � &���� ������� � ����1���� ������� �� ��'� ! � �������� ����'����� �� ��� '����� �%+���� � ! ����� �� ���� '���� �����!� ������� ����� �%����� ��� ����� � ���� � ������ ������� �� 5�� �&�����,� ������� � �� �� ������ � �� ��������� � �%����! �� �� ���� ! +� ������ �%����� �� ���� � ������ � � ��� � �� � ����� � ����� �&�������� ������� � � �� �� � �� ��������� �� � �&����� �%����!

�� � ����� + ������ ����'����� �� +��� ���� '���� ����� !� ���� ��! .�� ���������� �,+��� � ���/� ������� ����� � �� ������������ ��� �� �������� ����� �� ��� ��� �� ��-������� ��� �� �������� � ��� &��-�� �� �����������! ��� ������� �9� � �� ��������� �%���� ����� � � ��� ��� )�� A��B� �� �� &� �������� �� "���� A��B � 2?>@ � �� �����1� �6 �������"�������'� .�& � �����/�!

���� ���"� $4�������� � ���/� �����5������3������

Page 27: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� � ������������� �&

#���%������� �� �� � A��B � + ��� � �� &����*

� " ! .2!;2/

���� " � �� ������� � �� ����������� ��� �� &��-� � ����� ! � � �� ��-�0����� �� ���� ����! ��'������ ��� ������� � �� � �� ������� �� ������ � � ��� �� ����� �%���� �� ������� � �� '���!

�," �����$�� � ��$ �$������

�� � �� � �� �� � A��B � � �� �� �� ��� �� ��-������� �������� �� ���&��-�� ������� ��� ��� ��(�� � ����,� � ��� ��������� �� �� �� � �������� �� � ��� �������� �� ��� ������ �� &���� � ��������� ��������������� �� � ����� � ����� �� � �� � ����,� � ����� �� � )��������! ������� �� � �� � ����,� ����� �� ��� &��� �� �� ������ � &��-�� � ������������� � �� �� � ��� ������ � �� ���� � ��� &��� �� �������� ��� ������&��-�� ������� �� � �����!

�� ���� �� �� � �� � �� ������ &������ �� ��� &��-�� !�� !� � !�� � ����� ��� �� � ����,� ����� �� �� �� ���� # �� �� ��-������ � �� ���� ��������� �� � ��� ���� ����,� � �&����� ��%*

# � #� #� #� .2!;4/

���� #�� #� � #� ��� ��� '����� �� ���� � ���� ������ �� ��-������ ������� �� !�� !� � !� ������ �� ��'����! �� �� �� � A��B � � ������ ��%*

#� � "� !� #� � "� !� #� � "� !� .2!;;/

� ������ ������*# � "� !� "� !� "� !� .2!;</

���� ���#� .�������� �� �������������

Page 28: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� ��� ������� � �������� �

�� '����� � ��� �� ����� ��������'� � �������'� � �� ����� ������ ������ � ������� �� ����� �� � �� � ����,� � ���'���� � ������ �� ����&��� �� �� ������ � &��-�� � ������ ������� � �� �� � ��� ��� ������ ������ � � ����,� � ��� &��-���! #���%������� � ����� �� � �� � ����,������ �� �� ����,� ��,�0�� ���� � ������ � ���� �� ������ ��� �� ������ ��� &������ ������!

�,�+ 2 1 � 3��4 � ��������

$ ������� � �� � ������ �� �� � A��B� �� ����� �� �� ����������� ���&��-�� .�����/ � �� ��-������� .&���/� � �� ����,� +����� ��� �������� �&�������� ������� � �� ����! �������� � ��� &����� � � ����� �� ����� ����������� � ��� �9���� � �� ����������� �� � ��� ��� ������������������� �� �������� � �� � ��� � �� ������� �� �� �� �� �� � ������������� � � �&�����,� ��� �� ��� � �� ����!

$�������� ���������� � ����� ������� ���������� �� ��� �� �� ��� �%��0���� ��,��� ��� � ���� �� ��� �� ����� �%���� ��� ������ � ����� ����������! ���� 5� ,���� � ������ �� �%��� �� � �� � +������ � ��������������� � �������,� ���� ��� �� ������ �� � 9������ �� � ��� ���� ������09����� �� � �������� &�������� ������ �� ���� � �������,�� �! $ ��� ����� ��� ��������� �� � ������ �� ��� 5� ,���� ��� �����&������� � �� �������� ��� ����!

���� ���&� $������ ���������� �� /����� � ��������� ��6� ������� �����

Page 29: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��� � ��� � !�������"� � �"

���������� �� ����� ��&����� � '����� ���� ���� ���� �� �� ��� �0��� ������� �� ����� � ����,� .D����� 2!2?/! ���� ������� �� �&�����,� �������� � �����-� � ���� �� � �� � ����,�� ������� ��� �&�������� ����0���� �� ��� ��������� �� ����� � ����,� ������� �� � �����! �� '����� ��� 5� ,���� � ������ �� �%���� �� ������� �� ���� �&�������� ��� ��� �0����� � �� �������,� � ��� 1� � �&���� �������!

�� ������� ����� �� ���� � ����� ��&����� �,�� �� � �� �� ���� �� ����,� ������� ���� ��� ���� � �����! �+ ���������� � �� ���� ���� �������� ��,��� ��� ��� ������� ������� �� ����� �&�����,� ������� � �,���������� �&�������� ������ �� � ��� ������� �� ����� � �� .D����� 2!2?�/! 6����� �� �� �� � A��B� ���� �&�������� ������ ��%� �� �������� � ���������� � �� ��� ������ � ���*

��� ����� ���

���

�$

��� ����� ���

��� �%��� � �%

�$

.2!;=/

��� ���� � ���

��� �%��� � �%

�$

���� $ � � �,���� � ��������� ������������ � �,���� � K����� ��� �� ������ ������� �� � ������� + ����������! �� ���� � ��� + ������ .2!;=/�� ��� ��������� �� �,���� � ��������� ��� � &��-� �� ������ � �� �9������! �� �,���� � ��������� &� ���������� �� "! K���� � 2@:;� ����� ���9���,� ������ � �� � )! F�'�� .2@4?/! �� �� ����� >!2 9����� '����� ������� �,���� � ��������� � ������� �������� �����-���� � �������,�� ���������'�� � �%���!

�� ��� + ������ �������� � ����'� �� � ����������� ������������ ����������� '� ��� �(��� � ��������� ������� ��������� ���� ��� � �� �������� � ��� �

#������ $ �8�� #������ $ �8��

$�� � � A�����,� ��

���� �� ��� ��

)��,� �� 6���������� ��

���� � $������� ��

8������ �� D�����,� ��

#���� � ����(� ��

(���� ���� ������ �� 7���� ���� ��������� ���������

Page 30: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ �������� ��� ������� � �������� �

����� % �� �9��� � �� ����������� ����������� ������� �� ��� � �����.�! 6! �������� 2@43/ �� � ��� ������� &���� �� �������! �� � ��� � '���� ���9��� � ������� % � ����� � �� � � � � 5�����,� '�� ��� �� � � �� ��!

6 &���� ��%����� �� �����,� � �� �� ���� ������ � ����,� � �������� �&�������� ������������� � �����'����� � '����*

��� ��$

��� � ��� � �%�$

.2!;?/

� �� �����,� � �� �� ���� ������ � ����,� � ���� ���� �&��������*

��� ��$

��� � ��� � �%�$

.2!;>/

$ ������ � ���� �� � �� � ����,�� �� �&�����,� ����� �� � � 1 ������ �� ��,� ��1���� � ��� ������� ������� �� �� � ��% �� � ��� ��� ��� !$�%������� ������% ��� ��� �&�������� ������ �� � ��! ��� �� ������ � ���*

�� ��$

� %

$�� ��

�� ��$

� %

$�� �� .2!;@/

�� ��$

� %

$�� ��

���������� �5��� ��� �&�������� �� ��� �� ����� ��������� � �� ��0��,� ����� � � ����� � �� ������! �+ ���������� � �� ���� ��� ��� ������� �%������ ��,��� �� �� �����,� � ��� ��� � ��� ��� � ���������������� �� ���� .��� �� ��� � ��� � ��� � � �� � ��� � � ��/ ���� ��� �&����0�,� ������� .���� ���� ���� �� ��'����/ �� �����&���� ��5� ����� � �� ���� ��� ������ .'� D����� 2!2>/!

���� ���'� 2�������� ��6� ������� ����������

Page 31: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��� � ��� � !�������"� � ��

�� � �� �� � A��B� ��� ����������� �������� ��%� �� �������� � �� ����,��������� ������*

��� ����&

��� ����&

.2!;3/

��� �� ��&

���� & � ��� ������� &���� �� ������� �� � ����� �,���� � ��������� �����0'���� � �,���� � �����- � ������ � ��� ��� ��������� �����!

)�� ������ .2!;@/ � .2!;3/ ��������� �� + ���,� �������� � �� �� � A��B������-��� ��� �� ������� ��,��� �! ����� ������ ��� ��'����� ��� �������� �� ����� �� ����� � ������� � &���,� �� ����� � �&��������*

� � '��� �(�� ��� � &���

� � '��� �(�� ��� � &��� .2!<:/

� � '��� �(�� � �� � &���

���� ��� � �� �� �� � �� �������,� '��������� � ' � ( ��� ��� �9���� �)���� �9����� �� ��� �������� + ������*

' �$%

� %�� � �%�( �

$

�� %�.2!<2/

�,�+,� ������ � ����� � � ������

$������� �� ����� ��&����� ������� ����� ������� � �� ����� ���� ������� ��� ��� � � � ������� � ��� ���� �� ����� .'� D����� 2!2@�/! �� ��� �������,� �� ����� � #�5� ���� ������ .'� D����� 2!2@�/� ��� ������� ���� ��� � �� ����� ��� � � � � � � �� ��� ������� &������� ��%����� � � ��� ��� �� � 1 5���-�����! ��� ������ � ���� � �� �������� �� ��%������� � ��� ����,� ���� �� � '���� � � � � � � ���� � �� �������� �� ��%�� ������ �� ��� ����,� ���� �� � '���� � � �� !

�� �� �������� � ���� ��� ��� � ����� ��&����� � � ���� ���� 1� ��&���� � � �� �������� �� ��� ������� ���� ��� � ����,� .'� D����� 2!23/�� ��� � � � � � � � � � � �� ! �� ��� ������,�� � ����������� � ���������� �� � �� � ����� �� ���������� � ��� ������� �� � ��! ���������� ��*

��� � �� � ��� .2!<4�/

��� � �� � ��� .2!<4�/

Page 32: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� ��� ������� � �������� �

���� ���*� 0�1 $����� �� �������� ���� 0�1 �,����� �� ��)�

6� ������ ��9��������� � ������ ����� ��� ��������� ��� ��� �� � �� ��������� �� �� �� 5�� ��� %������ ��� ��� �������! $��� � %����� ���� ������� ������� ��� ������ '��*

�����

�� �

��

���

���

��� � ���

�� � ����

�� ��

.2!<;/

�� �� �� � ��! ��� �� �� � A��B ������-���� � �������� �� � � � �� � �� � � ���*

�� �

$�� � %�� �

%

$� .2!<<�/

�� �

$�� � %�� � � %

$� .2!<<�/

$��%�*

�����

�� �

��

��� �� � ��� �� ��� �� ���

��

� � ��

��

.2!<=/

��� %������ ��� ��(��! ��������� ��� ������ .2!<;/ � .2!<=/ � ���*

��

%

$� .2!<?/

� �������� �� � � ��& � ��� ��*

& �$

�� %�.2!<>/

Page 33: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��� � ��� � !�������"� � ��

���� ���+� 2��������� ��6� ������ �� �������� ����

���� & � � �,���� � �����- � ������! � ����'� �� �� '���� � ����� � (� � �0����� �9��� � )���! ��� ������ �� ������� �%���� ��,��� � '�� ������-��� �� �������� � ��� ��� � �������� &����� �$� %�� �$�&� , �'�(�!

��� ������,� &���� � ��-��� �������%����� � �,���� � �����- � ������ �0� �� �����'�� �� �� ����� �� �� % � � � �! ��� ������� �� � 5�� ������9���� � ������� �����'�� � ���� � �������! �� '���� ������ � %� �����+ ����������� � � �� ������ .% � �� � �� ��/!

�,�+,� ������ � ���������� �����)�����

���������� �� ����� � �� ��&����� � ����� �� � ��� ��� ������� � �� ��,�� ������� ������� �� �� � ������� ���� ��� ����! )� �&�����,� ����� �� ���� 1� � � �� �� � ����� � ��� ��� �� .D����� 2!4:/! �� �������� � '����� ������� + ������ ��� '�����,� �������� ����� �*

�) �

�)�

� ���� ���� ���

.2!<@/

���� �) � � ���� � � '����� ������ � �) � � � ���� � ������ ����� � �'����� �� ��� � �� �&�����,�!

�� � �� ���� ��9��������� � ���� �� ����� ��� '�����,� � ����� �*

�) �

�)� �� �� �� .2!<3/

Page 34: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�! �������� ��� ������� � �������� �

���� ���-� 2�������� ��6� ��������� �������

6 �� ����,� ������� � ����'� �� �� �������,� ���� � ���� � ��������������� � '������ � ����� �*

�) � � �)

�)� ��� � �� �� �� .2!=:/

���� ����� �� + ���,� � ��� �������,� '��������� � &���,� � ��� ��������������� � ����� ��� ��������� .2!;@/ � �� �� � A��B ������-���� � ���*

��� � �� �� �� � � �%

$�� � �� .2!=2/

�� � ����� �������� � �� ��% ������� � ����� � �� ������ � ��� �� ��� � �� � � � � � � * .����� � ���,� 5������%���/� ����� � '���� � ���������,� '��������� � ����� �*

��� � �� � �%�

$* �

*

+.2!=4/

����*+ �

$

�� � �%�.2!=;/

� ��� ������� &���� �� ������� �� � ����� �,���� � ��������� '���������� ���� ��������� �����!

��� ������,� &���� � ��-��� �������%����� � �,���� � ��������� '����������� �� �����'�� �� ��� �� ��� �� % �� �� ���� �� � ������� ���������,��� � � �9��� � ������� �� �� ��������� ��&���� � �� �� �� ���� ����� ����� � �� ��������� ���� ����� .+ � �/!

Page 35: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�������� �������# ���������� ���� �� �$���������� ��

�,�� � ����� � ���5� ��������, ������� �$ ��� ���

)� ����,� ��� ��� ����,� � �&�����,� � �� ������� � ������� � &����+ ������� ������ ������ � �����������! )�� ������ �%� ��� �� � ����-�� ������ � ����,� � � �� ���,� ��� ���� ������ ��������� � ����%���� �������0-����! ����� ������ � ����-�� � ������ � ��� +����� � �� ����� ��� &��-� !

� ����,� �� 1 � �� �����! )������� � �� %�� ������ � �� ��,� �����'����� �� ������ � �9� ��� ����,� ������� .����/ � �� ����,�*

�!

�.2!=</

��� ���� ����� �������� � � �� �������� �������� � �� ����� ��� �� ������������ ���� ������� �� �� &��-� �+���� � �9� ��� �&�����,� �+��� ������� � ������,�*

� ���

�.2!==/

�� � � ����� � ��� ������� �� '�����,� �� � ��� � ��� ��������� �����'�0���� � �� ������ � �������� ������ �� � �� ������ �� �&�����,� �����'����������� ���*

�� ���

�.2!=?/

�� ����� � ����-� ��������� ������'���� �� &��-� ! � ����� � &�������� � ������� � ������� ��� ������������ �+���� �� � ��� ����������� �����'�0���� �� ���� ������� � ��� ��'� � ����! $ ����� � ��� ��1����� � '������!� ��� ��� ��������� � ������ ��� ���� ������� ��1����� � '����� � ��0��,� � �&�����,� �������� �� �� ���! )�� ��� �� �� � � ������ � ��� ��'��� � ������� ��'� � ����,�0�&�����,� �� ������� .D����� 2!44/!

)� ��'� ����,�0�&�����,� ������� � �� � �������� � &����� .'������� � ����,� � �� ����� �� ������� ��� �����'� + ������� � ����� �!/ ���� �� ��� ������ ��� ����-��� � &���� �������-���� �� ��� �� ��������-�0��� � � �������� ����������! 6 ��� &���� � ������ �� ��� ��������� ���� �������'�� � �� �������� ������ ���������� �� ������� �������!

���� ����� $����� �� �������� ����4���

Page 36: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�% �������� ��� ������� � �������� �

���� ����� ���/� �������5��������� ����4���

$���� � �� ��������� � ��� ������� � ��&���� � �� ��'� ����,�0�&�����,� � ���������� � ������ ��� -���� � ������� ����� ��������*

� ����� ������ ����� ����! �� �� ����� ������ � �� � �� �� � A��B� ����� �� ����,� ��� ����,� � �&�����,� � ����� ��� ������� ��&������� '���� �� � ����� ����� � ������ ���������! )� ����� �� ������������ � '���� �� �,���� � ��������� � � K���� �$� �� �������! ���9��� � ������� �� ������� ��� �� ����,� ��� �� �&�����,������'���� � �� ������������� % � �����

� ����� ���� � ����! �� �� ����� �� ������ � ���� � &���� �%����� ����� ��� �� � ��-�� �&�������� ������� �� ��������� �� ���� 5������������! � ����� ����� ���� � �� � �� �%+��� ����,� �� � �� ����-����� �� � ����-�� �&�������� �������� ������� �������� ���%����� � �%�����! �� ����� ��� � �� ��������� �%���� �� ������ �� �� �%� ����� ����'��� � ������ �� �������!

� ����� ����� � ����! �� �� ����� � ����'� �&�����,� ������ ��������� �� ������ �� 1� �� �� ������ �� � � ��������! � ����� ������ ��� �� �� � � �� ����,� � ����� � �� ��� � ������� � �&���� ��� ��������� � �� ����,�!

Page 37: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�������� �������# ���������� ���� �� �$���������� �&

� ����� � ��� �� ����! �� �� ����� �� �&�����,� ������ ��� �� � ��0��-� �� ������ � ����� � �� ����,�! A���� ����� �� ����� �� �&�����,������������� � ��� �&�������� �����'����� ��� ��������� ���&���� � ������� � �� �������� ��� � �� �����!

� ����� � ���� ������ ��� ������ ��� ��$�! $ ����� � �� ���������'���� � �� �&�����,�� �� ����,� ������ ��� ����� ��������� �� �&��0���,� �%���� � �������! $ �� &�,��� � � ����� ���� ������ ��������� ��� � ��� '��� ��� �(��� �� �� ������ �� ����� ���&��� � �0&�������� � � ����� � �� �����-��,� � ����� � �� -��� ���� � �� �����!

� ����� � ��� ��� �$� �! �� �� ����� � ����'� �� �� ��,� � ��� ��� � �� ����� ����-� � ��������� � &���� � �����! ��� &�,��� ������-��,� � ��� �&�������� ������������� � �����'������ �� ������ ������� ���&��� �������� � ������� ��� ���� )� � ���� ������ � ����,�� �� ����� � �� � �� �9���,� ������� � �� ����,�� �� ��% ����������� � %�� ������ � �� ������ � ����� � �������� ���� � %�� ��� � ���������� � �� � ���� ����� � �� �����,�! � ������� ����� � ��������� � �� �%+��� ����,� ����� � � �����!

�� �� � � ��'� ����,�0�&�����,� ������ ���� ��� � ��� �������� ��������� ���� ��� �� 1� �� � ��� � � ���� �� ������ �� ������ �� ����0����� �%���� � ����-�� �� ������ �� �� ��'� �'��� � �&�����,�! $��� ������� ��������� �� � 4: �� � �� � 4:: ��� � ��� ������ ������� ��� &%����������9����!

���� ��� � ���/� �������5��������� ���� ��������� �������

Page 38: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� ��� ������� � �������� �

�� ����� �������� ���� �� 1� ��� �� &�����,�� � 5�����,� � � '������ ���0����� ������� �� � ����� ��� -��� � E���� �%���� ��� �9����! �� ������������ � ���� ��'��������� ��� ����,� � E����� � � �� ���� ������� ��� �&�����,� ������ � :�4 � .D����� 2!4;/! ����� �������� ��� � �� �� �&�����,� .�� � = ��/� ��������� ���������� ������� ��� �� ��������� ��� ���������!

F� ������� �� ��5�� �� � �� ���� �������� ���9�� � �� ������� ����� ���� ��� � &�%���� �� �� � �� ��������� �%��� � �� � ���� ����� � ����������� � ����! $��� �� ��� � ��� � �������� ��������� �� ��������� �� ��������� ��������� &�%��� � ��1�� �� ������� � � ����� '������� �����! ��� ���� ���� � 5���� &������ � � '����� ������� �� �� ��������� � ���� ����� �� �������!

6� �(����� ������� �� ��5�� �������� &�%���� +5��� ��������� ��� ��0&���� �� � ���� ���������� � ����,� � � �� ���,�! $�� �� 1� ��� � 5�����,�� �� ������� � ��� ���� �������� ���� �� �� ��������� ��� &�%��� � ����,� ����� �������� �����'���� ��1�! ��� ���� ����� �� �� ��������� � �� ���,� ���5� �%� � ���� ����� ��� ������� ��� -��� ���� � E����� � �� �������� ��� ���,� � ��5� ����� �� � ����,�� �� ���� � 2: '� ������ ��� ��� ������� � �� D����� 2!4<!

)�� ���� � �������,�� � ������ ���� �� �� ��������� ����� � ���0�,� � � �� ���,� . ��� �-�� �� ������/� � �� ������� ������ � E���� �

���� ���"� ���/� �������5��������� ���� �� )������

Page 39: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ������� ������% ������� � ������� � ����������� � ��!��� � �"

���� ���#� ���/� �������5��������� ������3��� ���� �� ����� �� ������������

����� ����! ���� ���� �������� �� ��'� ����,�0�&�����,� � ��� � ������������ ��������� ��������� .D����� 2!4=/� � ��� �� �,�� � �������� ��� ������ �� �������� � ��� ������ � E����! ����� �� �� � ����,� � ���� �� �� ��0�� � ��� ������� �� ����� 5���-����� � E����� �� ���� ��� -��� ���� ����������� �� �&�����,�� 5���������� �����!

�,�� ' ��� �(��� 6 � ��� ������/� 1 �� 7�� � � � �������

�� �,��� �������� � �������� +����� � ��� ��������� �� � ������ � � ���0����� ����'� �� �9���,� � �� '���� �� ���� � �� ����,� �� � ������� ������-�� ��� �� +���� ����� � �� � ����-� �� &���� ���������� �� �� ��� ��0��� � �����! $��� � �9� ����� ������ ���� ��� ���� '���� � �� ����,� ����� � ������� ����-� �� ����� � ��������� � �� ���1� �� ��� �� � ������� �&�������� +��'�� ��� �� �� ����� �� ������ �� �����! �� ��� ��������� ����� ���� ��� � ���� � 5������� �������� ��� ����,� ����� �� ����,� �E���� .��� � � /� ������� �� � ��� �������� &�%����� ��� � 5�����,�� � ����������� ��� ����,� ����� �� ����,� � ������ .��� � �/!

��� ������� � �� �%���� ��� ��������� � ���(�� ��� �����1�� � ��'�� �����,� �����9���'���� �� ���1� � �� ����,� ����� � ��� ���� ������� ��0������ ����������! )�� ����'�� ��� ��� �%��� ��� '������ � &������������������ � �� +������ � ����������� �� � �������� �� ���� ��� � �� &��� ���(�*

� �� ������!� �� ���� � �� ��� ����� ��� � �� �������� � ��� � � ���������� ������ � �� ������ � 5��������� �� �������� � �� ��� ���,� �

Page 40: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ �������� ��� ������� � �������� �

��� ������ + ��������� � �� �����,� � ����� � ��� �������� ���� ���'���� � &�,���� � E���� � ���1��,�� �������,� ����� � ����� &������ �������� � &��� ����� � ���%����� &������ �!

� �� ������!� �� ���� � �� ���� ��� � ��� ����� ��� � �� � ���� �� �� �� �� ����9���� � ����� ��� ��������� .&��� ���%���� � ����������&��� �������/� �� �� ����9��� �9���,� � �� &�� � ����� .����� ���'��� � ����� + ������/� �� �� '����������� �� ���� � �� �������-�� �� � ����������� � �� '����,� ������ �� '��� ��� � �� ��������� �!

� �� ������!� �� ���� � �� �"���� � �� ���� �� �� �� ��� 5� ,���� ���0 ��9���'�� ��� ����� � ��� ���� � %����� �� �� �� �� �������-� � ���������� � ��%����� � �� �� ��9����� ������� � ����� � ��� � �����-�� ����0��� ��9�������!

� �� ������!� �� ���� � �� �"���� � ����� ���� � �� ��� ���� ���0������� �� � ���� ��������'� �'����� ��� ���������� � 1��,� �� ������ � ������ � ������ �!

� �� ������!� �� ���� � �� �"���� � ����� ��� � ������������ �� ��� �E1��� � &�,���� � �������,� ������'�� ������,�� ������������������ �!

�� �������� � �9� ����� �����!�� ���� � �� &����

��� ����

� ��� .2!=>/

���� ��� � �� ����,� ����� �� ������� � � � �� �9��� ����� .� + �����0��� �����/ �� �� ������ ��������� �� ��� � �������! )�� ��������� ����(��� �� ������ �� � ������ � �� �� ����,� � ������� ���� �� ��&���� ��'���� � �� ����,� ��������H � ���� �� ��� � � '���� �%+��� � �� ����,� � ����������� �� �� ���� ��

��� ��� ��� .2!=@/

)� ��������,� �� �9��� � �������� � �� � �� ���� � ��� � &���0��� �� ��� �� �� ����� ����� ����� �� � ����� � ���������� � �� &�� � ����� � ����� ����� �� � �� ���� � �������� ����N��,����� �� ���������� '����� &���� ���������! �� �9��� � �������� �� ������ � ������0��� � �� �� �1���� � � '��� ��� ������! �� ������� ���� �� �9���� 91� �� � �� + ����� ��������� � ��������� ��%����� � � � ��'� ����,���

Page 41: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ������� ����&������ � ��������� � ����������� ��

� �����! �� ��9��,� �������� � �� �������,� � ���� �9���� � �����0��� ��� 4 � =� ��� �%���� '����� �%� ����� ��� �� �������,� �� ��� �� ����� �&������,�! �� �������� ����� ��� � ����� ���������� �9���� ��������� ������ ��� 2�= � 4� �� �������� � ������� � ��%������ �������,������'��,� � ������ ��5� �%� �� �1��!

�,�� ' ��� .����� � 1 ���� ���� � � ���� ���

�� �� ��,� ������� � 5� ���������� � �� �� � ����� �����!� �� ��������� � �� ��� � �������� � ����,� �� � ����� �����! ��� ����� � �9��������� ��� ��� ��'���� �������� � &���,� � ������ � �������� � �� ������ �������� � &������������ ����+���! ��� ������� � 5������� � ��� ���� ������� � #%��� � �,����� � � �%���� � ���������� �� ��� �������� �����1�� ������ ������������� � �������������� � ����,�! ���� �� ��� �� ������ ���9��� � �� �� � ����,� ����� � &���� �� �� �����-��� ��1� ���� ������+���!)� ��9����� ������ � �� ��9����� �%��� � ����-�� ������ ��1� ������ � ������ �1��� �� �� ����� � �� ����� ������ � ���������� � ������� � ��������� �� ����! 6���� � ���� � 5������� ���� � ��'� � ��������,� � �� ������� � ���'���� �� �� � ����� �����#���� $�������� ��!

� �9� ��� ����� $������� .� � ������ ���/ � �� ����� ������+��� �������� � �� '���� ������ &���,� � ��� �� ����� �� ����� � ������� .�� ��� '����� � ��� ������� ���� ��� � ���/� �� �� ����������� �� ���'����� � ����,� � �� ����� ����+���! $��� ��� ������ ������+���� � ����,� ���$������� � &��� � �������� �� �� ���� ���� �������� ������� ���'�����!�� ��������� �� ����� ������+��� � $������� � �� ����� ����+��� � � �� �� ���� ����,� ����� � �� ����,� ���'���� �� �����!

�� �� �� � ����� $������� ���� � ���� � ��� ������ ������+���� ��������� ������� � �������� �� � ������ ����+����! $��� � +�� �� �� �%+�������,� ���'���� � �� �������� �� �� � � '���� � �� ����,� ��������� �9����� ������ �� ��������� �9��� � �������� � �� ����,� ����� ����+���*

������� ��� ����

�.2!=3/

6 ��� &����� � ������ � ���������� ��������� �������� � ������ ������� ����,� � ��� � �9��� ��������� ��� ������� ���'������ '�������� ��� ������� �� � '���� ��������!

�� �� �%��� �������� � ���� ��'���� �9������ � ����� � �� ����,� ���0'����� �� � ����� � ����� � ���� ����� � ��� ��&���� �������� � �����!

Page 42: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� ��� ������� � �������� �

$ ���� �9������ � �� ������� ������ � ���� ��! )�� �%� 5�������� ��� �����������*

��� ������� � ��� ���

�� � �� ������� � ������� &���� ����� � �%+��� '���� �������� � ��� � ���������� ���� ��� ����-� �� '���� ����� � �� ����,� �����! �� ���� �� ��� ������� ���� ��� ��� � � � � �� �� ����,� ���'���� �

�� � �������� � � � �� � .2!?:/

��� ������ ��� � ���� ��� �������� ��� � 5�����,�� � ������� ���������� �� � &���� �� ������� � ���� ������������ � ����,�� �� � � ����������� � � &������!

��� ������� � ������

�� � �� ������� � ������� &���� ����� �� ����,� �������� �%+��� ����-� �'���� ���� ������ � �� ����,� �������� �%+��� � � ����� ����+���! �� ������ ��� ������� ���� ��� ��� � � � � �� ����� �� ����,� �������� �%+����� ��

���� ��

��

� � ��

.2!?2/

� ��� �� �� ����,� ���'���� � �9� ���

�� � � � � .2!?4/

��� ������ � ������ ��� �������� � ���� �������� � �&��-�� � �������'���� � �� ��� ��������� �� ��'� � ���,� 5������%���!

��� ������� � �� �����

�� � �� ������� � ������� &���� ����� �� ����� � �&�����,� .'� � )����4/ ������� � ����� � �&�����,� � ��������,� ����-� � '���� ���� ������ ��� ����� � ��������,� ����� � � ����� ����+���! �� � ��� 5� ,����� �� ����,����'���� �

�� �

��� � ��� �� � ��� �� � ���

�.2!?;/

��� ������ � ������ ��� �������� � ���� ��� ��� ���� � �������,�� ����� ��������� �� ��'� � ���,� 5������%���� � ������� ��������� � �� � &������ ������� � ���� ������������ �� �-��������� �� � � ������� ���� ��� &������!

Page 43: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ������� ����&������ � ��������� � ����������� ��

�� ������� � ���������

��� ������ �� ��������� ��� ������-��,� �� ������ � ���� ��� ��������������� �� ��� ������� �� ��'� � ��9�������� � ��� � �� ���,� 5������%���!)� ����,� ���'���� � �9� ���

�� � � � "� .2!?</

���� " � ������������� � �� ����,� ��� ��� ������� ����� � ����,� � �� �0��,�! ��� ������ � ������ ����� ��� �������� &�%���� ��� � ����� � � ���� ���� � ��� ��������� �������� ��� ������ ���� ��� � 5�����,� � ��� �������� ������ ��� ������ ��&���� ��� ��� �������� � ����,� � �� ���,�!

�� �� D����� 2!4? � ������ ��%9���� �� ��&���� ��� ��� ��'���� �������� &���� �����������! ���� �� ����� ���� � �������� � � �� � � ������ ��������� ��������� � ��� ���������� � '����� � ������� ���� ��� ��� ���������� �� '���� ����� � �� ���� ������ ����,� ���'����! ��� ������ � ��������� � ��� ��'�� ��� �9����� ���� ��� � ��������� �%������ � ������� ����� � &����! �� �+������ � ��5�� ��'�� ���� ��� � ������ � ����,��� ������ � ����-�� �� � ������� � ����,�!

���� ���&� $����� ����� �� ���������� 0�1 ��������� �� ���8���9 (����� � :�� �����90�1 ��������� �� (����� � ��)�5������

Page 44: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�! �������� ��� ������� � �������� �

�� �� D����� 2!4?� � �� ���� ��� ������� � "��B��� ���� � C�� #��� ����� ����� '���� � �� ����,� �����! � ����'� �� ��� ������� � "��B�� � ���������� � ��� �������� � ����,� � �� ���,�� �� ��9�� ��������� ���������� � ����,�N�� ���,�� �� �-�������� ���������! �� ������ � C��#��� �� '�� ��� ��� '���,� ���������� �� ������ � ����! �� �� D�����2!4?� � �� ���� ��� ������� � ���� � #�5�N������� ��� �� ����� '���� ��� ����,� ����� � ����,�! �� ������ � #�5�N������� �� '�� ��� ���������-��,� �� ������ � ���� ��5� �%� � ��+����� �� �� ��������� ��� ���� ����������!

Page 45: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� ��� � � ���� ��� � ��� ���� �

�,� -���������

)� "������� � #������� �� �� +����,�� �� #%��� � ���������� ������������ ��� ������ ��� � �� #%��� � �,����� �� ������ � � ���� ������� � �� ���������� � �� �� � ���������� � ������� �� � ������ � � ��� ���� � �� �������� ���������� ��� ���������� �� ������,� � &���� ��������! ����������� � ������� '�� �9����� &������������� ��*

� %� ���� ��� � �� ���� ��� �� ���!��� ���� �! ���� ������,� �&�� ��� ������� � ��� ������ ����������� � ��� �������� � ��������,� �'������,� � �� �� � � ����� ����������! $��� �� "������� � #�������� � ��� � �-�� ����%���� .'����� �������� ������� 1�� �!/ �� ��%� � �0������ ���������� � � ������� � �������� � �� ��,� � &��-�� ������� �� �������� ������ � � ����� ����� �������� �!

� %� ���� ��� � ���� &����� ����������! ����� 5� ,���� ������ ���� ����� �9��� �� ������ ����� �� �� ����� ������� �� ������ ���������������������� .��� �-�� ���� ��������� ������ � ��5���/ ��� �� ��������01� � ������� �%������ �������������� .��� �-�� � � ������ ��������/!

� ������ � �� �� ������ � &���� ��'� ��� &��������� � ��� ��� ����0 ����� ���������! � ��������� ������ �� ��� ������� ��� � � �-����������� � ���� ���� �!� � �� ��� ����� � �� ������� &��������� ��� ���� �&��-�� ���� ��� ��,�� ��������� �����%���� 5� ���%����� ��� � �&��0-��� �! �� �� ����� ��,� � ������� �� �����%��� ������� � �� ������,� ���������� 5� ���%����H ��� ���� � ������ ��� ��������� � ��������� � �� ���0������� � �� �����,� � � ������� � &���,� � ������ ��� ���� � ��� ������� ������,� � ��������� 5� ���%����!

;=

Page 46: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�% �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

�,� 8/9 ���� � �� � ���� ��� � ��� ���� �

)� "������� � #�������� ��� ��� �������� � �� #%��� � ����������� ��0� ��� ��1��'� &��������� �������� �� �� ���� � ��� ��������� ����� ������ '� �������� � ��� ��&���� ����� �� ��� �� ����� ������ �� �������,�� '��� ���!

��� ��� ���� ���������� � ������ �%������� �� ��������,� � ��� �0����� � ����,� � �&�����,� � ��� �� �� �������� '� � ���� ������� �� &��� ��� ��&���� ������ � ���� �� � ��������! )� ��������,� � ��� ������� ����,� � ������ ��� �� ����� �� �����&��,� � ��� ������� � ���� ���� ������ ��� ���� ������� �������'�� � ��� ���� � ���� �%���� � ��� ��������-�� �� ������� � ��� ���������! ��� �� ���� �� ��������,� � ��� ������� �&�����,� ��� �� ������ ��� �����&�� ��� ������� � ������' �� ��%� ������ ������� � ��������� � ��� ��������� � ��� ���������!

��� ������ �� "������� � #������� ���� ������ ��� �������� � ����� �� � ������ � ��� ��������� �����-����! $���� �� ��� � ������� � ������ �� �� � ������� &���������� �� � ������ � �� �%��� ��������* �������������� � �� ���� � ��� � ���������!

�� ���� � �������,� � ��� �������� � �-� �� �� �� � ��� � ����! ����� &�� � ������� �� �� ������ � � �����9�� ��� ����� �� �����%� ���� ���!���� �����9��,� �'�� � 5� � &���� � ��+������ �� �� ��� '����� ���� ��������� � ����� � ��� � �� &���� � ��������� �9����'�� � �� ��������!�� � ������ ���� � 1��� �� "������� � #������� ��� '����� �� �� ������������� �� ���� ������ � ����(� ����������! �� &���,� � ��� ������������������ � ��� �� ������������� � ��� ������ ����������� � ���� � ���'����� ������ � ��� ��������� � �����! 6� ���� � ��� � �� &�� � ���� ��� �� ������ � �� ��� � ����� �����&�� ��� ��������� �'�����! �� ��� &�� � �������9�� � ����9�� ��� ��'���� ������� ������� � �� &�� �'��! �� ������� ����� �9�� � ������ �� �� ������ ��������� � ��� ����� � �������� . �� �� ���

���� ���� � ����������� �� ���������� �� �� �������� �� $����������

Page 47: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ���"� � ���������� �&

����� '�'��� �!/! � ��� ����� � �� ���� � ��� �� ����� ��������� ��������!�� ��� �� �����,� � �������� �� ���(� ��������� � �����&������� � ������ ����� �� ��������H �� �� �� �� � ������ '��'� � �� &�� � �9���,�! � ���� ��� � &���� ������'� 5���� �� � �����&�� ��������� ����� ��� ����������������!

�� ���� ������ � ������ � &���� ����%��� � �� D����� 4!2� ���� ������ � � � �� �� "������� � #������� ��� (� � ��!

�,� #�� $�� � $� �� 1 ���������

� ����� ���� ������� �' ���� � !���� �� �� � �,���� �������� �� �� %�� ����� �� � ��' � � � ���� � ����� �� �� ���� � ���'��� & ���� ��� �������� � � �� ���� � ������ ���������� ������ � ��5� ����! $ �� ���� � � �������� ��� ����' ���� ���� � ( � �� ���� � � ��� ��'���� ������� �� %�� �

� �� ����� ��� � �� � ��� ������ � �� �-� .'� D����� 4!4�/!

)� ������- � �� �-� �� �� ��� ��'� �������� ���� � ���� ����� ������ ���� ���!��� .'��� � 5���/� ���� ����� .����� '���� ���,�/ � ���� � ��.��������� �������� �!/! )� ��,� � �� �-� �� �� ������� � '������ � ������� � �� �-�� ����� ����� � ���� � ��� ������ � �����!�� �� ��'����!

���� ���� �������� ��� 0�1 ���3� ���������9 0�1 �������� � 0�1 ;���

Page 48: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

� ����� �!����� �� ����� ��&����� � �-� ������� ��� ��� ��������� ��9������� �,+���� .'� D����� 4!4�/! $��� � �� �������� � �� '������ �� �,���� ������ �� ��� � ��� � �������� ��&������! � ����� �!�� ������� ��&����� � '����� ������ �� �� ����� ��&����� �� %�� ���� �

� � ��'������ �� ���� �� �-� ����%��� .'� D����� 4!4/! ��� ������ � ���������� � �� '��� ��� �� �,���� &������ �� �� &�� � 9���� ��&������! )�������� � �� 9��� ��� ��� ������ ��&������ �%���� � ������ � �� "�������� #�������!

� ����� ���� � ����� ���� � ������ �-� ���� � �� �� �� ��,� ��� ��������� �� �� � �� ���� �� ����� � �� ������- � �� �-� � �� ��% �������� ����� �������� � ��5� ���� ����! � ����� ���� � ������� ���� � ������ �-� ���� � �� �� �� ��,� ��� � �������� �� �� � �� ���� � ������� ���� ����� � �� ������- � �� �-� � �� ��% ������� � ����� � �������� �� ���� � �� ������-!

� ����� ��� ���� � !���� �� ������ �%��� &������ �� � �������1 � �-�� ����%����! � 5���� � ��� ���� ����� ����� ��� ������� � ����� ��� �-�� �� &����� �� �������� ��%� �������� � �� ����� ����� � � ��� ������ ��� � ��� ��������! � ����� ��� ���� � ����� ���� � �� �������� ����&������ �� �-�� � ���� ����� � �� ��%� �������� � ����� �������� � ��5� ���� ����! � ����� ����������� ����� � �� �������� ���� &������ �� �-�� �������� ����� � �� ��%� �������� � ����� � �������� � �� ���� ����!

�� �� )���� � ������%� ��� � ��������� � ������ �� &������������� �0�������� � ������ � ���� ����!

�,! �����$��� � �� � ���� ��� � ��� ���� �

)� "������� � #������� � ��� ���� ���� �� � ���� � ��� ���� ��� � 5� ,����&����������* � ����� �� � �����-� � ����� �� � �� � ����,� � � ����� �� ������0C����! )� '����- � ��� ��������� �������� ������ ��� ����� � ����%������� �� ����� � �����&��,� � ���� ���� ��� � � ��� ����� � �� �� ����!

�,!,� �����$�� � ����� �

�� ����� �� � �����- � ��� ������� ����� � �� 5� ,���� � ��(�� ��'�0������ � ����� �� ��%����� � ��������� � ����� ��

)�� �� ��� � $����!��� ���� �������� �!� �� ������� ����������' � ��' �� ������� �� ��������� ����� ��� ��� � ���� � ����*+

Page 49: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���������� � �� ����������� � ���������� �"

���� �� � <��������� ��� .�������� �� ������3

���� 5� ,���� �� ��� �� ��� ��'������� � �� �������� ������ �� ������� ����� ��� ��(��* ��� �� ��-�������� �� ������ �� ��� ��������� � ����������� � ��� ����� .� �������/� �� ������ �� �� ������! �� ��� �����,� ��� �� �� ��� ������ � ��������� ��� &�������� � �� ������� �&������� �� ������ �1� � �� ����� ��� �����&������ � �� ������ ���"��� ���� �������!

�� �� D����� 4!; � ������� �� �������� �� ����� �� � �����-! ��1� �� 5� ,���� � ��(�� ��'������� .�-������/� ��� ������ � � � ��������� �,�� � ���� �� ������� ������ � � ��� �����H ��� ��� .��5�/� ��� ������ � ��� � ���&�����,� � �� ��������� � ���� � �������� � ������*

�,!,� �����$�� � ��$ �$������

���� �� � ����, � � �� ����� �������� �� � '%���� �� 5� ,���� � ��(�� ��0 ��-������� � � �� �� ���%�� �� �� � A��B� ����� � ������ � �����! )�������,� � �� ������ ��������� ����� � ��5� �%� ������ �� �� � ��� �������H � ��� � ����� ��9������ � �� � �%���� � �� ���!��� �� ����� �� #��'� �����' �������� � $� �� ��� ��� #��� � � �� �*

$��%�� �� � ������ � ����� �� � ����� � ����� �� � �� � ����,�! O������� ��

)�� � �� $� �� ���� � ����� ������� �!� ��� ��� ���� �� ����� ��� ��� � �� � �� $� �������� ��� ��� � �� ����� �� ���� � ������ ����������!

7�� ������� �������� �� ����� ���� �� � �� � ����� 9��� .��������� �&���������/ � ��� �������� ������� � �� ������ � &��-�� �� � �� ������ � � ����,� � ��5�� &��-��! ���� ����� �� 1� ��� �����-�� � ��� � �����������,� �� �1� ���� ��������� � ���� �%� ��� �� � �������! �� ������

Page 50: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

!+ �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� ��"� <��������� ��� .�������� �� �������������

��������� �� �9���,� � � ��%����� � ������ � ���� � ������ ��� �������,� ������� � ���� �'����� �9����� � �����-����! $���� ����������� ��� �����-����&������� � "������� � #�������!

$��� �� 1� ��� � �� D����� 4!< � ������ ��� '��� ��� ����� ���� �� �� �� ��� ������ � ���� �������� � ��� &��-�� �������H �� ������ �� ����0 ���� � ��� ��� ������� �%� ��� �� � �� ��� ��&���� � �� D�����! �� ���� ��� �� � ����,� �� ��� �� ��� ������� ��'�������� ������� � �&���������� ��'�� ���� �� �������� � ����� � ����� �������� � ����� � �� ���� � ���������� ��'�������� ������� � �&�������� �� ��'��� ��� ������ � ��� ����� � ���� ��!

�,!,� �����$�� � *���5: ��

�� ����� �� � �����0C���� �� ��������� �� '������ ���� ������� ���� ���� � ��9� �� "������� � #�������� �� �� ����� ��

)� ��� ���� ������� �' �� ����� $� � � �� �!� ��� ��� � ��' ��(���� �� ����� � ���� � ��� � �� ���� � ����' ��� ����� � �� ����� � �������� ������� � �� ����� ������ � �� ���� � �� ��� ��������+*

���� 5� ,���� �� ��� �� ��� &��� ����� .&��-�� ���������� � ����� '����0���� � ��,�/ �,�� �&��� � ��� -��� �����-��� � ��� � ���� ���� � ��� ������ �� � �����! )� &���� ���� � �� � � ���� ��� ����� � ��� ��� �����'��� ����� ��� � �������� ��� ��� �� ��� ����,� ��������'� ����� � ��� � ���0��� � � ���� �,�� �&��� �� ����� �������� � ��� -��� �����-���� � ��� ��������� ��+�������� ����� �� ���� � �� �-�! �� ������ �������� � ��� -���� �&����� �� ��� &��� ����� � �� �1� � �� 5��� ������ �� ����� � �� ����������!

Page 51: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���������� � �� ����������� � ���������� !�

���� ��#� <���������� ��� .�������� �� !����=:�����

�� �� ��,� 4!= � �9� � �� �� � ����� �!� ��� ���' ����������� ��� �� ����� � �� &��-� � �� ������ ��������� � ��� &��-�� �������� ��� ���� � �� ��,�! �� %���� � �&��-�� 1��� �� � � &��������� � �� ������ "������� � #������� � �%���� � ����������� �� ��� �� � � ����� �� ������0C����� ��� ������� � ��� ��,� �,�� � ��� �� '���� � �����!

�� �� D����� 4!= � ������� ��� 1� ��� � '�����-�� �� ������ � ����� ���� +����� �����! �� � ���� ���� � � ��������� � ������ � ������ �� '�������� � �� ��� � �������� � ���� ������ ����� �������� �������� � �����H ������� � � +���� � �� �������� � �� �� &��-�� 5���-������! �� � ���������� � � ��������� � ������ ��������� ��������� �� '��� � � �� ���H� ������ � � +���� � �� �������� � �� �� &��-�� ��������� �� �� �� 1� �� '���! �� ����� ���������� � ������ �������� � ��� &��-�� ������� ��������� ������� �� �� �������� � &��-�� � ����!

$ ��� � �� ��� ��������-����� � ��� �������� � � ��������� � � ���������� � ������ ��� ��&����� �� �����-��,� � &��� � %���� � �������� ������ � ������ � �� D����� 4!=! �� � � ����� �� � �����0C����� ��� ��������� � ��� � ��� -���� ������ � ��� �-�� � ���� +����'����� �� ��0���� �������� � ��� &��-�� �������H ��� -���� +������ �� � ��������� � '��&����� �� ��� &��� ������ � �� ��������,� � �� ����� �������� ������%����������� �%� ���������!

Page 52: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

!� �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

�� �� �%��� ��������� � ������ �� ����� �������� � �� ����� ������������ 5��� �� ������ �� � ����� �� � �����0C���� � � ����� � �� ���������� ��� ����� �����-����! �� �������������� � ��� �-�� ��� 5��� � &���,�� ��� ��������� ��� ��������! , ��������� � ��� ��� ��� ��� ������� ��������'��������� ��� ����� � �� ����� � &����� ������ ��� &��� ����� � ��� -����� ��� �� ��� ��������� �������� � ��� &���� �� ��� � ������!

�,!,! � �������� � � ��)������

���� �� ��� ���� ��� &���������� �������� � �� ��� � ��� ��������� � ��"������� � #������� ��� '%������ ��� �-�� ��� �� ��� ����� ��������*

� -������ � �� ��� ����! �� �-�� � ������- ��'�� ��� ������ � ��'������ ���� ��� �� ������ � ����,� �� ���� � ��� �-��! �� ��� ����,� ���&������� ��(�� ��� &��� � �� ��'����� ��� ����� � �� ����0� � � ��%����� �� �� ��������� � ��� �������� � �����-�� ��� + �������������� ��� �-�� � ������- ���!

� -������ � �� ���.

; /������* )�� ��������� �����'����� � ��� �-��� ���� � ��5����� �� ��(�� � ����,� � �� ��������! ���� � ������ ��� �� ��� ��� � ���� �� � �����0C���� � ��� 5� ,���� � �&�����,� � �������� �� � �����-�� 5����������! ��� ���� ����� ��� �������������������� � ��� ����� ���� ��� ������� �� ��� �-�� ����� �������- ������ ��� �� ��� ��'������� ��� ��(��! �� ������ ������������ ��� ������� ����0��� �,��� ��������*

,

��

��

� ��� �-�� ���� � 5�����,� ������

,

��

��

�� ��� �-�� ���� � 5�����,� �������

,

��

���

�� ��� �-�� ���� � ��� ��������

,

��

���

�� ��� ����

; 1���� ���! �� �-�� � ��,� '������� �� '�����,� � ��� ��������������'����� �� �� ������� � ����! )�� '�������� ������ � ��� ���0�������� ��������� � ��� ����� ����� &��� ����� �� ��'������� ���� �� � �����0C����!

Page 53: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � ������"�� �� ��� ������� !�

�,� < 7���� � ��� ���� �� � ����

6��� ��� '��� ������� � �� ��,� � �� ������ � ����� +������� �� ��������� ��� ��,� ��� ��������� �� ��'�� �� �-� � ��� ����� ��� � ���� ����������� ��� � �� ���� � �� ��,� ���������� ��� ��� � ������ � �� D����� 4!?!

�� ������ � &��-�� .����� � ������/ �� �� �� ���� �� '��� �� ���� ���������� ��%���! �� �������� ��� �� ������ � &��-�� �� �� � ���� �� ��� ���

� �� �-� � ��� �� ������ � &��-�� �� �� � ���� �� ��� ���� �� ��������� ��� '��� �� ��*

��� ��� � � .4!2/

$�������� ������� ������� �� �� �� ���� � ���'��� & � �� ��,� �� ���� ����*

�����

�����

� � .4!4/

���������� �5���� �� � ������ � ��������� � ��� ��� ���� � �� �-� ��� ���� ���� �� ��� ��������� +����� � ������ �� ��� �� +���� ���� &��-�� �������,� �� ����� ���� � 1�� ��� ��� � ���'�� � �� �� �9� � $��� �� ������ 1��% ���� �� ��� ��� ���� &��-�� �� ����� ����� � ��� �������� �-�� �� ������ ��������� �� �� � &� ���

� ! 6 &���� ��%����� �� ��� .�/ 1����� �� ��� .�/ ��� &��-� �������� �-� � �� ������ �������� ���

� !

���� ��&� ����3� � ����� ����������� �� ��� �������

Page 54: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

!! �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

��� ��������� � �� ��� ��� �� ��*

��� �-� � ������

���� � �

.4!;/

��� ��������� � �� ��� ��� �� ��*

��� �-� � ������

���� � �

.4!</

������� ��� ������ .4!;/ � .4!</ � ������ � ���� � ��������� ������ .����0�� .4!2/ � .4!4//� � ���*

���� ��� � �-� �-� � � � �-� � ��-� .4!=�/

� �����

�����

� ���� ���

� � � � ���� � � ���

� .4!=�/

��� �� ������ ��� ����� �� ��� ��� 1� ���� �� ���� ��� ������ � � ��������������!

)������� �� ��� ������* �- � �-� � ��-� � �� � ���� � � ���

� � � ����%������� ��*

�- � ���� � ����� � � ���

��� ���

��

�.4!?/

������ �� &��-� �������� �- � � ������ �������� �� � ������ � �� &�����- � ��� � �� � ���

��� � ���� ������ � ���� ��� &��-�� �� �� �� � �� ������

� � .� �� ��� �/� � %���� � ����� �������! ������ �- � �� � ������ � ��&���� �- � ���� � �� � � ���

��� � ���� ������ � ���� ��� &��-�� �� �� ��

� �� ���%�� � � .� �� ��� �/� � %���� � ����� �����! �� '���� �� ����� ���������� ����� � ��������� ��������!

69����� � ������ �������� �+��,���� ��� �� ����� � � ���� � ���'���& � �� ��,� �� � � �� � 1 � ������ � �� ��,� �� �������� � ��� � ���

� ������ � �� ������- � �� '���� � ��� 1� ��� �� ��� ��� 1� ���� ��� � ������ �� ��,� � .'� D����� 4!>/! ��������� �� &��-� �������� �- ���� ���� 1� ��9� ���*

��&��-� $+�� .

��&��-� ������� /���&��-� ������� /�

����� � �� ����,� � �- �� � � 1

�����

Page 55: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� ����� ������"�� � ��������� !�

���� ��'� 2�;������ �� �����3�� �� ��� �������

$�%�������� �������� � ������ �������� �� ���� ��� 1�� � �9� ���*

#����� ������ ��

#����� D���� ��

#����� D���� ��

����� � �� ����,� � �� �� � � 1

�����

�,% � ����� �� ��� ���� 1 � ��� �

)�� ��������� �- � �� � � ��� �� ��'�� �� ������ � ���� ��� �&��-�� � ����,�� ��� ��� ��������� ��%���� � ��� ����� �� �� �� ���� �� ��,� �! ������ � �9��, � � �� ����� �������� ��5�� ������� ��� ��� &��-�� � ������,��� ��� ��� � �� '��� 1� ���� �� ����� �9����� �� ������ � �� �9� � ����,� �!

$��� ��� ��� � ������ � �� D����� 4!@� ���� �� ��&����� � %�� ��� � ����,� �� �����% ��� ����,� ��� �� �� ���� ���� � ��� ����,� ������ ���� � � 1 � � ��� ����,� �������� � ���� �� ��,� �! )� ����,� �������� �� ���� ����� � �� '-� � ��� �� ����� ��������� �� � ��� 1� ��� �������� ��� ������� ���� ���� �� ��'����!

���� �� �- � �� &���� �� ������ ���'���� �� ������ � &��-�� ���������&������ �� ��� ��� �� ���� ��� �������� ������� '�������*

�- �

��

�� �� � �� �

���0 �� �� .4!>/

���� �0 � � '��� � ����,� � �� �� �� �� ���� � ���'��� � �� ��,�� ���� ����� �0 ��� �� ��!

Page 56: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

!% �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� ��*� �������� ����� �����3�� � ���������

)�� �������� ������� '������� � ��� ���� ��� � ��� ���� ������������� ������! $��� �� ����� � ��� ������ .4!>/ � ���� �� �*

. �

��

� �� � /� �

��

��� �� � /� �

��

��� �� .4!@/

$�%�������� �� ������ � ��� ������ .4!>/ � ���� �� �*

�� �

��

���� � � ��� ���� � �� �

��

� � �� � �� � ���

� � �� .4!3/

����� ������ ������� �� ����,� ��� ��� �&��-�� � ��� ������� �������� ��� ��,� � ��%� � ����� � ����� � ��� �� ������ ��������!

)� D����� 4!3 ������ � ��'��� � ������ �����-��� ��� ��� �� ����� �����,� � � ������! )�� ������� ���� �� ��,� ��� �����'�� �� ���� � ������� ��� ���� ������� ���1� �����'��! )�� ������� ��� �����'�� ��� ��� ������ ������ � �� ���� ��5�� � ������ � ��� '���� ������ � �����'�!

Page 57: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"�� �� ���"�� � ����� �� �� !&

���� ��+� ���/���� �� ������ �� ��������� � ������

�,& ���� ���� $� ��� � $��� � ���

���������� ��� �-� � ���� ���� ��� ��� �� �� � ������ � �� D����� 4!2:!)�������� 12 �� ���� ���� ��� �������� ����� � �� ������-� � ���� �������� � ��� ����� ���� � ����� ������� � ��� ����� �� �� �� ���� �� �-�!

�� ������ � �&���� �� ���� � ��� ��,� ������ � �9� � �� &�����������! �� 1 � ������ � �� ������- � �� �-� � � ���� � ���'��� �

���� ���-� $����3�� �� ���3�� �� ����� ����

Page 58: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

! �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

�� ��,� &� � �������� �� � � ������ �����'� � ������� � �� ������-! �� 1� ��% ������� � � ���� ���� ��� �� �������� � ���� ���� �� � ������ � ������� �� 1 � &������� �� ��� �� %����� � ��� ������� .����5������/! �� 1 �

� ������ � ��� 1� � � �� � � ������ ��� �� � ������ � � �� �� � �+��,����! $��� � ���� 12 ����� �� � ���� �� � � 1 � � � ������� � ���!

$� ����� ��� &��-�� +������ �,�� � � ���� 12 � �� �������� �- � ��� &��-���� �� �� � ��� � ���� ���� � �� ��,� ��% ������� � ��5� ����� � � ����0 �� � �� �&��-� �+�� . .�� � � 1 / � �� �&��-� ������ / .�� � � 1 �/!��� ������� �� �� �� ���� ����� /� � ����! ��� � ����� ����'�� � �������������� �� � ��� &��-�� �� �� �� � ��� � ���� ���� � �� ��,� � � ��������� ���� 12 � � ����� ������ E��� � � �� ��� �� ���� �� � � 1 �! )������� ��� �� ����� �� � �� ��� ����� �� ������� �� �� �� ���� ����!

$� �&������ � ��� �&��-�� � �-�� � ���� ���� ��� ������ � ���������'��� � ������� �� � ������ � �� D����� 4!22*

� �� �&��-� �+�� . � �����'� �� � � ����,� .�� � � ������ �����'� �� 1 � �� ��� &������/ � �����'� �� � � �� ���,�!

� �� �&��-� ������ / � �����'� �� 5� ����� �� ������� � ������ ����5������.�� � � ������ �����'� �� 1 � � �� ��� &������/� � �����'� � ��� ��������!

� �� ������ E��� � � �����'� �� � ����5������ ���� �� ��� &������ .�� � ������� �����'� �� 1 � � �� ��� &������/� � �����'� � ��� ��������!

���� ����� ���/���� �� ������ ���� �����3�� �� ���3�� �� ����� ����

Page 59: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ���������� � ���������� �� ���"�� ������ !"

�, ������� � � .����/��� $� ��� � ����

���������� � ��������� � ��� ������� ��&����� � ��� �-� ��� � ���������� ���� �� �� �� �� ���� &��-�� � ������� �� ������ � ��������� � �� �0���� �*�� *�� �� � ��� 1� ���������� � ������ � �� ������- � ��5� �������!��� ��� � ������ � �� D����� 4!24� � ���*

�/ �� ��������� � &��-�� �� � � 1 *

�. *� � �. �.� � � � *� � ��.

� .4!2:/

�/ �� ��������� � &��-�� �� � � 1 �*

�/� *� � �/� �/�� � � � *�� ��/��

.4!22/

/ �� ��������� � ������� �� �� �� ���� � ���'��� � �� ��� &������*

��� /� � ��� ����� *�� �

�� � � /�� ����

� .4!24/

���� � 5� �� ����� � ������� � ������ ���� ����� � ��� &��-�� � �������!����� ������ ������ ������� ��&������ ��� �� �� � ����� � ��� ���

� �&��-�� � ��� '��� ��� � ���� ����! �� ���� �������� ���� ������� ��� �������� �������� ��� ������ ��� ��� � �&��-��! �� ���� �%��� �1��� ���� ������� ���'� � ����� ��� ������ � ����1�� ��5�� ���!

���� ����� �������� ����� ��� �������� �� ���3� �����

Page 60: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

)� ������-��,� � ��� ������ ��&������ � ��������� � �� ������� ������ '��� � ������- ��� ����� .�� � ���� ����/� ������� � ���� &��-�� �0 ������� �� ������ � �������� � �� ����� �*�� *�� *�� �� � � ������ ���� ��&���� � ��� ����� � &���� ��%����� � ���*

*� � ��.

� *� � ��/�

� *� � ��/�

/� � ����

� /� �

���

.4!2;/

�," �$�1�� 1 ��� � ���������� � $��� � ���

�,",� �$�1��

� ����� ����� � ���� ��� �����'� �������� � ���� ��� �������� �� ���� � �����0���,�! )�� � ���� �� �� �� ���� &���,� � �� ��� � ������� ��� ��'������� ���� ��������� � � ��������� ��� ����� �� ����� �� ����� �� ���� � ��������,�!

� ������� � ��������,�� ��� �� �� � � ��� �%� ������ � ��������� � ��������! 6��� �� ��� ��,� � ��� �-� � ���� ���� ��� ��� ������ � ����������� ���������� ��� ������ � � ���� ���� � �� ���� � ������� � ���� +����'����� �� �� � � ���� �� � ����� ���� ��� � ��� ��� ������ � ������� � �� ��,�� � ���! ��� ��� ����� � ������� �������� � � ��� ������� � �� �������� ����� ��� �� �� �� � ��'������! ����� ������ ���� ����������� ������ � �������� � ����� � ��� &��-�� �� �� �������� ������� �� ���� � ��������,�!

=�> �$�1� ���$� � ���������� �����

��� �� � � � ��� �,�� ����� � ��'������ � �� ��,� � � ��� � ��� ����,�� �������� �� �������,� � �� ����,� � ������� � � ���� � �� ��,� � � ���.D����� 4!2;/! )� ���,� �� ���� � ��� &��-� � ������� � �� ����,� ���������� � ��� �� ��'������ �������! $������ � �� � ��� ��� � � �������� �� ������ ��� ���� ��,������ � �,���� � �� ���,�� �� �� �� ����,� � ����,���� �������!

=/> �$�1� 79� � �����������

��� �� � � � ��� �� �� �������� � ��'������ � �������,� � �� ��,� �� ���� �� ���� � ���� .D����� 4!2</! )� ���,� �� ���� � ��� &��-� �����,� � �,���� ���������! � ��������� ��� ��� ��,������* ��� �� ������ �� ���,� �� �� � ��� 1� � �������� ���������!

Page 61: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ � ������� �� ����������� � ����� �� �� ��

���� ��� � ����� ����� � �/��

���� ���"� ����� ;6� � ������������

���� ���#� $����������

Page 62: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

=�> ��$������ ��

��� �� � � � ��� �� �� ���� ��'������ � �� ��,� � � ���� ����� � �������,���� � ���� .D����� 4!2=/! )� ���,� �� � ���� � ��� &��-� � ����,������,� � �,���� ���������! � ��������� ��� ��� ��,������* ��� �� ������ �� ���,� � � ������ ���� �� ��,� � � ���!

�,",� ���� �

� ����� ��� � ���� � ���� ��� �����'� �������� � ���� ��� �� ��� ��&���� �-���� &����� ��� ��������! )�� ���� �� �� �� ���� &���,� � �� ��� � ���������� ��'������� ������� � ���� �-�� �� �� � ������ � � ��������� ��� ������� ���� �� ����� � ��� ��%�! ��� ��� ����� � ������� ������� � �� ��,� ����� ��� ������� � ��� �-�� �������� ��� ���,� ������! ����� ��������� ������ � � ������� � ����� � ��� ��� �-�� �� � ��� � �� ��,� � ���!� ������� � ��������,�� ��� �� �� � ���� �%� ������ � ��������� � ��������!

=�> ���� � ������

��� �� � � ��� �,�� ����� � ��'������ �����'� � ��� ����,�� �������� ���������,� � �� ����,� � ������� � � ���� � �� ��,� � ��� .D����� 4!2?/!)� ���,� �� ���� � �� �� � &��-��� ������ � � ������ � �������� ����'������ �������! � �������� �� ������ ��� ���� ��,�����* � �,���� � ���������!

=/> ����������� � ��� ����������

��� �� � � ��� �� �� �������� �� �������,� �����'� � �� ��,� � ���� �� ���� � ���� �����'� � �� ����� .D����� 4!2>/! )� ���,� �� ���� � �� �� �&��-�� � ����,� � �,���� ���������! �� ��� ��������,� ������ � ��������� ��� ��� ��,������* ��� �� ����� � �� ���,� �� �� � ��� 1� � �����������������! �� ������ E��� � ��������� ���� � ��� ��������,�!

=�> ��$������ �� � ��� �(����

��� �� � � ��� �� �� ���� ��'������ � �� ��,� � ���� ����� � �������,���� � ���� .D����� 4!2@/! )� ���,� �� ���� � �� �� � &��-�� � ����,������,� � �,���� ���������! �� �� ���� ������ � ��������� �� ������ �����,������* ��� �� ����� � �� ���,� � � ������ � �� ��,� � ���!

Page 63: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ � ������� �� ����������� � ����� �� �� ��

���� ���&� $����� �����3����

���� ���'� ������������ ������� � ���� ����������

���� ���*� $���������� � ���� �,����

Page 64: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�! �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

)�� � ���� � ���� ���������� ��� ��������� � ���� ���� ��� &%��0��� ������-��� ��� ��������� � �����! �� �� ���� � � ��� � ������ �������� � �� ��,� � ��� .��� ���������� � ��� ��������/� � �� ������ � � ���� �� �� � � ���� � ���� ������ � ��5� �����!

�,�+ ����������� �����?����� 0�$ � ��?�����

)�� &��-�� .����� � ������/ �� �� �� ���� ��� �������� ��� ���� ���������� ��%���! ���� �����9� �� ��� &����� �� ������ � &��-�� � ������������ � � ������ �������� ����H �� ������ ��� �� ��� ��� ������ �� ����� �� � ����� � �� ��� � �� ���� �' ��� � &���� '������� ���������� ���* �

��� � � .4!2<�/��

���� � � .4!2<�/

���� ��� � ����� � ��� ��� � ��� &��-�� �� �� �� ���� �� ��������� ����

� ����� � ������ � ��� ��� � ��� &��-�� �� �� � �� ���� ���������� � �� �������

� � ����� �� ���� ���� ����� ��� &��-�� �!

�� � ��� � ��������� ����� ������� � �� ����� ��� �������� ������'������� � ���� � ��� ������ ������ � �� &����*�

����� � � ���

����� � � ���

������ � � .4!2=/

���� ��� 1� � ��%� ���� � ���� � �� �������� � � 1 � � � ������� ������!

��� �� �����,� � ��������� ��%���� � ��� ���� ������� ������ �� ��+ ���� ����%������ �� ��� �,�� � ������ � �� �������� ��������� � ����1����� ���� �� �� �����&��� ������� ��� ��� ��� �������� � ���� ��� ��� � ������� � &���� + ����� ��� &��-�� � ������� �� � ���� � �� ��������1� ���� �� ��� ���������! �� ��������� ��� �-�� �� &����� ��� ��������� ������ ��� ���� � ���������� ��� � �� � ������� ��� &��-�� � �������� +���� � ����� �� �� �������� 1� ���� ��� �-��! $�%�������� ��� ������ �� �������� ��� ���� � ��������� ��1� �� ��,� � ��� &��-�� � ������� ���� �� � ��� +����� � ��� ������ �� ������ � ����!

�� #%��� � ���������� � ����� ����� ��� �������� � ������ � '���� ���� �&��-�� �� �� �� ���� ��� ��� � ��� ����� � ����� ��� �-�� �� �� �0�� �� ��������! ������ �� %���� �� ����-��� ��������� �����-���� �,�� ���

Page 65: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ����������� �����(����� � ��������(����� ��

�� ��� � �� ���� �� �� �������� � ����� ������ � � ���� ���� ���������*�� ��� ��������� � � ����� &������� � � ���� ���� �����������*

�� �� D����� 4!23 � ������� ��� 1� ��� � ��������� ��,��%����! �� ���������� ��� ��,������ �� �� ���� ��� ������ +������ � ��� �&��-�� �� �� ������ ��� ��,� �������� � �� �������� ��� 5������ �����-���� �,�� ��� ����0�� .4!2=/! ��� � ��������� � �� D����� 4!4: � ������� ��� 1� ��� � ���������5� ���%����! �� ����� ����� ��� ��,������ �� �� ���� ��� ������ +������ �� ��� ��������� �����-���� �,�� ��� ������ .4!2=/� �� �� �� � ��� � �� ������ � � ������!

)�� ��������� &������� �� '����� �-�� ��� �� ��%������ ���������0���� � ��� � �� �� ��������� � ��� ������ +������ ���� ��������� ������������� � ���������* �� ���� �� ����� � ���-�� ��� ������ +����0�� � �� ����� �������� ��� �&��-�� � ����� ��� �����! $ ���� ��������� ��� ����� ��������� &������� � � ��� ��� ����'���� 5�� �� �� ����� ����������� � ������������ �� ��� ������ ������� ���'�����!

$��� � �� D����� 4!42� � ������� ��� 1� ��� � ��������� ��� �� ��� ���+������� �����%����� ���� ��� ������� ��������� 5� ���%����! )�� ��� �0�������� � �� D����� 4!42� ��� 5� ���%���� ����� +���� ��� ���������!

��� �� ������ ������ �9��� � ����� � 5� ��������� � ��� �������� ����� ����� � �� � ����� � ��� � �� ����������,� � ��� ������ � ��� � ����� � ��� ���� �������! 6 ��� &���� ������ � �9� � ����� � &���������� ��� �������� ��� �� ��&����*

, � �� * 3 .4!2?/

���� � � � � ��� � ������ .+����� � �������/ �� 5�� �� ���� ��� ��� �������� ��� �&��-�� ������� � ������� ��,� � �� ��������� 3 � �� ��� � ������ � �� ��%��� � * � � � ��� � ���� � �� ���� ��'������� �������� �� 5�� ��� ���� ������� ��� ��� �������� ��� �&��-��! ��'��0���� ��� ��� � ��� ���� ��������� �� ��'���� �� �������� �� �� �����%���� ���� �� ������ �����&�� ��� �������� ��� ������ � ��������� ��%���!

7�� '- ������� � '���� ,� ���

, � � �� �������� � ����%����, 4 � �� �������� � 5� ���%��� � ����� ,�

, 5 � �� �������� � �� ������� � ����� ,

�� � �� ����� 2 �� )���� 4 � ��� ���� � ����� � ��'� � ��� � �� �����0���,� �� ����� � 5� ��������� � ��� ��������� � � ������ ������� 1� ������������'��!

Page 66: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�% �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���+� $���������� �����������

���� ���-� $���������� )�������������

���� ����� �������� �� )������������ �������

Page 67: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� �&

�,�� 2 1 � � ��� ����

�� ��� ��������� ����%���� � ����� ������ �� &��-� � ������ ���������� �- � �� ����� ��� ��,� � �������� � �� �������� �����-���� ������ ��� ������� ��������� ��%���! 6 ����� �� �� + ���� � �� ��,� 4!=� � �9�� �������� ���� �� ��,� ��� ��� ������� � ���� ��������� ���� �� �������������� �+��,���� ��� �� ����� � � ���� � ���'��� & � �� ��,� �� �� �� � 1 � ������ � �� ��,� � � ������ � �� ������- � �� '���� � ��� 1���� �� ��� ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,� �!

$��� �������� �� &��-� �������� �- ���� ��� 1� � � �� ��� � �9�� � �&��-��+�� .� � �&��-� ������ /� � � �&��-� ������ /�� �� ��'����! $�%������0�� �������� � ������ �������� �� ���� ��� 1� � � �� ��� � �9�� � ������������ ��� � ������ E��� �� � � ������ E��� ��� �� ��'����!

�� �� �-� ���%��� � � ���� ����� � ��� ����� ��� 1� ����� � �&����� � �� �� � ����� ��� ����� � ��� ����� �� � ���� ���� � �� �-� ������� ��� 1� �� �� �� � �� ���� � ������� � �����! �� ���� ��������� ����� ����� � �- � �� � ���� �� �&��-� �+�� . � � �&��-� ������ /� � ������� E��� ��� +����'����!

� ����� �� � ������ � �������� � ����� � �� � ������,� ��%9�� �� '�����,� � ��5�� �&��-�� � �� ����� � ��� �-�� � �� ��������! ����� ������,� ���� ��������� ��� ��� �-�� ��� ����� � ���� � ��� �� ����&��-�� ����-�� ��� '����� �%+����! ���� � ��� ��&�����,� �� �������� ���� �������������� � ��� �-�� �� ��� '- ������������� ��� �� �� �����,� ��������� � �� � �� �� ��� ������� � ��������!

�� ��� �������� �����%��� �� ��������,� � ��� ��� � �&��-�� ���� ��� ���� ��������*

2! ��������,� � ��� ������ +�������

4! ��������,� � �� '�����,� � ��� ��&���� �&��-�� � ��� �-��

;! ��������,� � ��� '����� �%+���� � ��� �&��-��� � ��'� � �-� � ����0����!

)�� ������� ��&������ ��� ��� ��� � ����� � ������ � ��� �&��-�� ���0����� � �� ��,� 4!@ ��� � ���� �������� � �� 5��� � �9��� �� &���� �� ���� ������ � �&��-�� � ��� �����!

$ ��������,�� � ���������� ������� 1� ��� ��� �-�� ���� � ��������� � ���� ����! � �������% �� ��'��,� � ������ ��� ���� �� �9��� � ��������� ��� ������� � �� �-� ����%��� ��� .��,� 4!@/!

Page 68: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

�9 �$�� �,�+,�

������� � ����1�� ��� ��� � �&��-�� � �� '��� ��� � �� D����� 4!44 ������� ��� ��,� � �� ���� * ���&������ � ������ � � ����� ��!

������ � ��� ���������

������ � ���� ��� �������� � ��������� � �� ��%��� .���� � &��-�� '����0�� ����� �� � ���� � ������� �� �� �� � ��� � ����� � ��� �� ��'����/� �� �������*

)� )� � *�

�H )� � � *

��

��� ������ ��� ������ � ��� � ���� � � � ��� *

)� �

�*� � )� �

�*�

��� � ������ �������

)� �� � ������� E���� � ����� ��������� ��� ��� ��,� ����� � �������������� � �� ��,� � ��� &��-�� � ������ � �� ���� � �� �����! �� � ����� ���

��� ��� ��,� � ��� �������� �� � ��� �� � �������� ���������� � ���*

�� � � )� �

�* �

� ��� ��� �� ����� � �� ����� �� ����� ��� �� �� �%+��� � �� ��,� � ���� �'���� �� � *��� � �� � ����� ��� ��� ��� ��,� � ��� �������� �� � ��� ��� �������� ���������� �� �������*

�� � � )� � *

� � �

��

�*�

��� �

� � � �

��� �� ���� �� �� � '�����,� �� ������ E��� � ����,��� � �� �������� � �� ��� ���� � '���� �%+��� � ����� ���'���� �� �� � �� '������ ��������� ���*

��

� �

*�

���

� �

�� � � �

��

� � ���*

��� � �� ���

�� �

��*��

�����'� �� �� �� � E���� � ������� � � ���� �� � ������� �� � �� ���'���!

Page 69: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� �"

���� ����� $��������� ��� $6���� ���-��

���� ��� � ���� �� �����3�� ��� $6���� ���-��

Page 70: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

%+ �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

��� � �������� ��������

�������� �� �������� �- � ��� ��,� �������� � �� '��� ������� ��� &��-��� ������ � �� ���� � �� ��,�! �� �� ��� �� �������� ��� ��� ��� �� �0��� � �&��-� ������ /� �� �� �� ������ ��� �+��� ��� ����� � ���� �� �-�!

�� � �������� �������� ���������� � ��� �� �� �� � '�����,� � �������� '���� ����� � �� ���,� )�! �� � ����� ��� � ��� ��,� ������� � ��� �������� �� � ��� �� � �������� ���������� �� ����,� � �- ���� �� ��,� � ������ �� ���� � �� ���,� )� �%� �� �������� � �� ���� � ������ �� ������ ����� ��,� � � �� ��,� ���������H �� ������ �� �� � �&��-� ������ � �����!� ���*

����� �� � /� � )� � �

�*�

����� �� � /� � )� *

� � �

�� ��

�*� *

�� ��� D������ 4!4;�� � � � � ������ ��� ������� ��������� � �������E���� � � �&��-�� �������� �� ��'����! � ����'� �� � ��� '�����,�������� �� ������ � ���� ��� ��� '�����,� ����� �� E���� � �� � ���'�����,� ����� �� ������ � ���� ��� ��� '�����,� ����,��� �� E���!

�9 �$�� �,�+,�

)� '��� ����$ � �� D����� 4!4< ��% ������� � ��� ���� ������ ! � 4:: BF ��� ��,� � � � ��� ���� ���&������ � ������ * � 4: BFM� � � ����� �$

������� � ����1�� ��� ��� � �&��-��!

������ � ���������

$ ������ ��� �������� � ��������� .���� ���� � &��-�� '������� ���� ����� ������� �� �� �� ���� � � ������ E��� ���� � ��� �,����� � � ��� ������1���� � BF � �� ��� ������� ��� �������� ������ .'� D����� 4!4=/*

)� )� )� � ���

�� �)� ��)� � ����

�� � �)� � �

�)� � ��� � �

Page 71: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� %�

"���'���� ���� ������� � ������ ��� '����� � ��� ������ � � � ����0

����� � � � ��� � ���� � � $*

)� � �� BF � )� � ��� BF

�� � ��� BF �� � )� � �� BF

��� � ������ �������

�� � ����� ��� ������� �� �������� � ��� �������� �� � ��� � � �������� ������� E��� ��������� � �����*

�� � � ��� )� � ���� ��

�� � ��� �� �����! ���� � � � � ��� �� � �� ��� ���� ��� � ��� �,����!�� � ����� �� � ���*

�� � � ��� )� � ���� � �� � ���� ��

�� � ������� ��� �� �����! ���� � � � � ��� � ������ � � � ��� ���� � ���� BF��! �� � ����� �$� � ��� ��*

�� � � ���� �� )� � � ��� *

�� � ���

� ����� ��� � � �

�� � ��� �� ����,���� �� �� '���� �%+��� ������� � ��� �������� �� �� � ���� �� �� ��������� ��������� � �� �� ���'��� � �� �� � ������� �� ��� �� '������ ! �� �� ���� �� � �� � � � � '���� �� ������ ���� ������� ���� � ��� � ��� � BF��!

��� � �������� ��������

��������� �� �������� � ��� &��-�� �������� � �� ���� � �� ��,� � ������������ �� ���� ������ � �� ����� � ����� �� '�����,� �� �&��-� ������ � �������� � �� ��������! �� � ����� ��� � �������� ���������� ��5� �������� �������� ����� � )�*

/� � )� � � �� BF

�� � ����� ��� �� �������� � ��� &��-�� � �� ���� � �� ��,� � ������� �� '������������ ����� � �� ���� � �� ���,� )� �%� �� &��-� � ����� � �*

/� � )� ��� � �� BF

Page 72: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

%� �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���"� $��������� ��� $6���� ���-��

���� ���#� ���� �� �����3�� ��� $6���� ���-��

Page 73: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� %�

��� ������ � � ����� �$ � �������� � ����� ��������� � �����*

/� � ��� ��� ��� � �� � ���� ��

�� � ��� �� �����! F,�� �� � ��� ����� �� �� � �&��-�� ������� ������� �� ���'��� � �� �� � ������� E���� �� �� � �� '������ .������� ������/� ��� ��� +�� � ��������� � �� �������!

�� ��� D������ 4!4=�� � � � � ������ ��� ������ � ��� ��� � �&��-�� ��� '��� ���!

�9 �$�� �,�+,�

)� �������� ���� � �� D����� 4!4? ��% � ������ � �� ��,� � � �������� ��� ���� '����� * � ;: BFM�� ���&������ � ������ ���� � 1 � �� '������� �������� �� %����� � �� �� � �� 5���-�����! ������� � ����1�� ��� ��� ��&��-��!

���� ���&� $��������� ��� $6���� ���-�

Page 74: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

%! �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

������ � ���������

�������� � ��� ������ � ��������� � ������ � ���� ����� ��� ������+�����! �� ������ �� �� ���� � &��-�� '������ � �� ���� � ������� � �� ��������� � ��� ��� � ��� .'� D����� 4!4>�/*

-� � �� � �� � � ��� BF

�� � ��� � ��� �� ��� ���� � ��� BF ��

���� � � � %����� � �������,� � ��� ������ �� � ��

��� � ������ �������

��������� ��������� � ��� �� �� �� � ������� E���� � � ���� �� �������� � � '���� �� � ��� BF�� �� �� '��� ��� ��� ��� ����,� � ��� ��������6 �� +���� � .'� D����� 4!4>�/� � ���*

�� � � ���6

�� � � 6 � � �

����

)� �� � E���� � ����,��� � ��� � � � � ����� �� � ��� BF��� '���� �������� E��� � �� ��,� � �� ����� ��! $�%�������� � �� '��� ��� ������ ����,� � ��� �������� 6� �� +���� � .'� D����� 4!4>�/ � �����*

�� �� � ��� 6� ��

� � � 6� � � � � ��

����

�� ����,��� �� ��� � � �� ���� � '���� �� ������ E��� � �� ��,� � ������� ��� �� � ���� BF��!

��� � �������� ��������

��������� ��������� � ��� �� �� �� � �&��-� ������ � � ���� �� � ��!F,�� �� �� �� � ������� E���� � � ���� �� � ������� �� � ���������� ���'��� ����� � ����!

�� ��� ������ �� � �� � ���� �������� �� �������� � &��-�� ���� � ���� � �� ��,�*

/�� � �� 6 ���� � ��

/�� � ��� 6� ���� ���� � �� � ��� ����

$���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� � ��� '�����,� ����,��� �� E���!

Page 75: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� %�

���� ���'� ���� �� �����3�� ��� $6���� ���-�

��� � �������� ������

��������� ��������� � ��� �� �� �� � �&��-� �+�� � � ���� �� � � ��0 ���,�� ������� � � '���� . � ��� BF!

�� ��� ������ �� � �� �� �� � �+��� � ����� �������� �� �������� �&��-�� ���� �� ������ �� ���� � �� ��,�! � ���*

.�� � �� 6 ����

.�� � ��� 6� ���� ����

Page 76: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

%% �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

$���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� � ��� ���� ���&���! �����'� ��� ������� ��,�� �� �� ����,� '������ � ��� ���� ������� �&��-�� ������ � �+��� ����� � �� �������� � &��-��

��- ���� �� ��,�� �� � ��� &��-� '�����!

�� ��� D����� 4!4> � � ������ ��� ������ � ��� ��� � �&��-�� � �� �0�������!

�9 �$�� �,�+,!

�� ,���� � �� D����� 4!4@ ��% ������� � ��� ���� * � 4: BFM�� ���&����������������� �� � �� ����,� 5���-����� �� ����� ��� � � ��� &��-�� ���������5���-������ � ;: BF �� �� �� � ��� ����� $ � � .���� &��-�� �������� ������ �� ��� ������� ������ � ��� ����� $ � � /! ������� � ����1�� ������ � �&��-��!

���� ���*� $��������� ��� $6���� ���-�"

Page 77: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� %&

������ � ���������

� ������ � ���� ����� ��� ������ � ��� � ���� �����-���� ��� �������� ����������! � ����� �� �� ���,� 5���-����� 7� � ���� �*

)� )� � ���

�)� � �� � � � �

�� �� �� �����*)� � �� BF � )� � �� BF

��� � ������ �������

�� ��� ������ �$ � �� � ����� ����� �� �� � ������� E���� � ����! �����0������ �� � ���� ��� � ����� � �� ��,� $� � �������� ���������� � �����*

��6� � ���6

����� 6 �� �������� ��� $ �� ��� �� � '�����,� ����� �� ��� 6 � �� �� ��0���� � '���� �� ������ E��� � �� ��,� �� �� � ��� BF��!

$�%�������� � � ���� �� � �����*

��6�� � ���6�

����� 6� �� �������� ��� � �� ��� �� � '�����,� ����� �� � �� ��,� �

.6� � � �/ ���� � '���� �� � � �� BF��!�� � ����� ��� ��� ��� ��,� � ��� �������� � �� ��,� �� � ���

�� � � )� � ��

��

�� ��

�� ��� �� � � �

�� � ��� �� ����,���� �� �� '���� �%+��� ������� � ��� �������� �� � ����,� �� �� �� ��������� ��������� � �� �� ���'��� � �� �� � ����0��� �� �� � �� '������ ! �� �� ���� �� � �� � � � � '���� �� ���������� ������ � ���� � ��� � ��� � BF��!

��� � �������� ��������

�� �&��-� ������ � � ���� ����� �$ �� ���� �� � ����! $ ����� � �� ��,�$ � '���� �� �&��-� ������ ����� �� �� &��-� 5���-����� � ����� � ��5���,�! ��� ������ �� �� � ������� � � '����*

/�� � �� BF

Page 78: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

% �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���+� ���� �� �����3�� ��� $6���� ���-�"

$�%�������� � � ���� �� � ��� �� '���� � ������ ���� 5���� �� ��,� � !�� � ����� � ���� �� �� �� � �&��-� ������ � �������� � '���� ��������� � '���� � �� &��-� 5���-����� � ����� � � *

/�� � �� BF

�� � ����� ��� �������� �� %����� � �� �� � �� 5���-������ ��� ��� ��,�������� � ��� �������� �� +���� � �� ����,� � �� �������� � ��� &��-������ � ���� � �� ��,� � ����� �*

/�� � ��)� �� � ���� �� ��� �

�� � ��� �� ������ � '���� /� � ���� � BF ��� �� ��,� � . � �/! F,�� �� ��� � �� � � � '���� �� �&��-� ������ � ��� ��� ���� ��� � �� ��,� ��%+��� ������ � � ����� ��!

Page 79: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� %"

��� � �������� ������

�� ��� ����� �� � �� ��� �+��� ��� � �� ���,�� �������� � � '���� ����� � ��������� '������ � ��� �� ��'�� � ����! ��� ������

.�� � .�� � �� BF

�� � ����� ��� �������� ���������� � ���

.�� � �� �� �� � ��� �� �� ����

�� � ��� �� ������ �� ��� '����� +����� .� � ��� BF � .� � ��� � BF ��� �������� � � �� �� ��'����!

�� ��� D����� 4!43 � � ������ ��� ������ � ��� ��� � �&��-�� � �� �0�������!

�9 �$�� �,�+,�

������� � ����1�� ��� ��� � �&��-�� ��� �� �������� � �� D����� 4!;:� �������� ��� &��-� 5���-����� � ������� � �� ��,� �!

���� �� -� $��������� ��� $6���� ���-�#

Page 80: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

&+ �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

������ � ���������

� ������ � ���� ����� ��� ������ � ��� � ���� �����-���� ��� �������� ���������� � &��-�� � ������� .� �/ � �� �����,� � ������ E��� ���� � ���,���� � .������� ���������/! � ��� .'� D����� 4!;2�/*

7� �7�� � � � �

)� � )�� � �

7�� 8� )�� 8 � �

)��8

��7�

8

�� �

� ����*)� � )�� � � � 7� � �� � 7�� � �

��� � ������ �������

�� � ���� ��� ��� ��� ��,� ������� � ��� �������� � �� � ��� �� � ���

��� � �7� � � ����

�� � ������ E��� ������ �� ��� � � 8� �� ������ � '���� �� ������ E���� �� ��,� �� �� � ���8 �� � ���� ����� ��� ��� ��,� ������� � ��� ���������8� �� � �� ��,� �� � ���

����� � 7�� �8� �� � � �8� ��

�� � ������� ����� �� '���� �%+��� ��� � �8! �� � ����� ���� ��� �����,� ������� � ��� �������� � � �� � ��� �� �� �������

���� � �7� � )� � � � � ���

�� � ������ E��� ������ �� '����� +����� �� � ���8 � ��� � �8!

��� � �������� ��������

$� �� ������ ��� ��� � E���� � ����� ��� ������� ��� ������� ��� ���&���� ���� ��� � ����! �� ��� ����� � ���

/�� � 7�� � ��

/���� � 7�� � �

Page 81: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� &�

���� �� �� ���� �� �����3�� ��� $6���� ���-�#

'����� �������� �� ��� ������ 5���-������! �� �� ����� ��� � ���

/��� �

��

��)� 7�� �

���

��

��� � �������� ������

�������� � ����� ������� �� � ������ �������� � 5���� �� �� ���� �- ������� ��� ������ � � ������ ��� '����� �� �&��-� �+��� �������� � ��� �-�!*

.�� � �� � .��� � ���

�� � .���� � ��

�� ��� D����� 4!;2 � � ������ ��� ������ � ��� ��� � �&��-�� � �� �0�������!

Page 82: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

&� �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

�9 �$�� �,�+,%

�� ,���� �����%��� � �� D����� 4!;4 ��% ������� � ��� ���� * � 4: BFM�� ���0&������ ����������� � � ����� ��! ������� � ����1�� ��� ��� � �&��-��!

���� �� �� $��������� ��� $6���� ���-�&

������ � ���������

� ������ � ���� ����� ��� ������ � ��� � ���� �����-���� ��� ������ ���������� � �� �����,� � �� � ������ E��� � �� �,���� �� ����! � ��� .'�D����� 4!;;�/*

7� �7� � �

)� )� � �� � ��)� � �� � � � �� �

�)� � �7� � �� � � � �� �� ������ ��� ������ ���*

)� � )� � �� BF � 7� � 7� � �� BF

�����'� �� ��� ������ ��� ���������� � ��� � �� ����,� ��������� � ���,����

Page 83: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ����� � ������"�� &�

��� � ������ �������

�� ��� ��,� ������ �� ����� ��� �����-���� ��� 1� � �&���� � � �� � ��D����� 4!;4 � �������� � &���� ������� � ���*

��� � )� �7� �

� �� � �� �

�� ����� �� '���� �%+��� �� � ��� BF��! �� � ����� �$� ������� �5���&���������� � ����� ������� ��� �� ������ �������� �� �� �� 1 '����� �� ��� �� � ���� �� �����*

��� � )� ��� ��7� �

� �� ��� �� �� �

�� � ����� ��� �����1���� ���������� � �� ������*

��� � )� �7� � � *

�� � ���

� �� � �� � �� ��

�� � ��� � � � � �� � ���

�� � ��� �� ����,��� �� � ����� � �� �,���� � ��� '����� �%+���� � ���+����� �� � �� � ��� BF��! �� '���� �� E��� � � ���� � � �� � BF��!

�����'� ��� ���� �� ������� � ��� ����� � ������� ��� E���� � �� ����0���� ��� ��������� �� �� �� 1 '����� �����!

��� � �������� ��������

�� ��� ����� �� � �$ ��� ������� ��� ��������� �� �� �� �� � E���� ����� � �����! �� '���� � ����� �������� ���� �� ��,� ��� �� ����� � �����,� � � � $� �� ��'����*

/�� � �)� ����7� ��� � � BF

/�� � �)� ����7� ��� � � BF

���� � � � %����� � �������,� � ��� �� ����! �� � ����� ��� ������������������ � ���

/�� � �)� * � � ��

� ��� �� � � ��

�� � ��� �� ����� �� '����� +����� /� � �)� � /� � )� � � � '���� ���� � ����� �� ������ �� �������!

Page 84: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

&! �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� �� � ���� �� �����3�� ��� $6���� ���-�&

��� � �������� ������

�������� � ����� �������� � ������ ��� �+��� � ��� �����! ���� ��� �� ��0��� ����� �� ������ ���� ��� ������� �� ��'�� ��� ������ 5���-������ �'������ � ��� � ���� ���� �������! �� � ����� � ���� � ����� ������������ �� �� ����,� � �� ���� ������ ���� �� ����� � ����!

� ������ ��� ��� ��� � �&��-�� �+���

.�� � .�� � ��)� ����7� ����� � ���� � BF

.�� � �7� � ��� BF

� ����'� �� ��� ��� �������� � ��� ����� �� ���%�� ��� ���������!�� ��� D����� 4!;; � � ������ ��� ������ � ��� ��� � �&��-�� � �� �0

�������!

Page 85: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���������� � ����������� ��������(����� &�

�,�� � ������� � ���������� 0�$ � ��?�����

���� �� � 5� �9���� � �� ��,� 4!2:� ��� �������� � 5� ���%��� ����� �� ��� � ������ +������ �M� � &��-�� ������� ��������� � ����� �� �� ��� � ������ � ��������� ��%��� �� � ��� �� ���! )�� ��������������� ������� ��� �� ���� � ���������� �� ������ 5� ���%��� �������� ���������� �� �&�����,� � �� ��������� �� ������ ��� ��������������� � �� ���������� � ��'�������! ���������� ���� ������ �� ���� ��������� � ����' ����������� � ������ � �������� ��� &��-�� � �����'������� � �� ��������!

A�� ��� ������� �%���� ��� ����� ��� ������ ���������* � �"���� � ������!������ .������� ������� �"���� � �� ����� � �"���� � �#�!������/ �� �"���� � $����!��� .������� ������� �"���� � �� ��������� � �"���� �������/! �� ������ � �� ���������� � ���� � ����� � ��� &��-�� ��%�����0� ������������ ��� ��,������ �� ������ �� ��� ������ ��������� ��� ���������� � ��'�������! �� ������ � ��������� � ���� � ����� ��� ��0,������ ��� ��'������� � &���� �� �� ��� ��� �������� � �� ���������� �� ��� ������ � ��������� ��� ����'����! $���� ������� � ������ � ������ � )���� 4 � ��� ����! �� �� � ������ � ������ ��������� ����� �������� ������ � �� ������,� � ��� �������� ������� �� ��%������ �����������!

�,��,� �)���� � ���$���/������

�� �"���� � ������!������ ���� ��� &��-�� ��� ��,������ �� ������! )�� ��0���� � ��������� � ����� � &���,� � ��� &��-�� � ������ � � ��� ������!�� �� �������� 5� ���%���� � � ��� � ������ � &��-�� ������� ���������+� � � ��� � ������ ��� ������ � ��������� � �� � ��� ��� ���5��� '����� � ����� ����� � &���������! � ������ �� ��1���� � &��-����,����� �������� .������ � �������/� � ������ ��� �������� � � ��� �� ��� ���� �������� � � �� ��� ��� &��-�� ��������� ������� ���� ���������� ��� � "�� �� ������ � ���� ���� ������ � !��! � ���� ����0� ��� �� ��� � ������!������ �� ��� ���� ���� � 5� ������� �� � ��� ����H ��� ���,� �� �� ��� �� ��� ��'������� � �� �������� ������������ �������� � ��� � �� �������� ��������! ����� ������ � + ���� � &���,�� ��� ��,������ 5� ���%����� �� �� �� � ����� �� ������ � ������ ������������%��� ��� ������,� ���� �������� ��������!

�� � )���� 4 � ��� ���� '��'���� � ������ �� ������ �� �%� ������ ������ � ������� �� � ����,� � ��������� ���������� 5� ���%����� '���� ��� ���

Page 86: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

&% �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

���� �� "� $6���� �� ���������� )������������

'���� �������� � ��������� ��������� � ���� ����! C���� �5��� �� � ����,�� �� ������ � ���'�� � �� 1� �� ������!

)� �������� � �� D����� 4!;< ��% &������ �� ��� ����� ������ � ������������- " �� �� ����� ��� ��� ������! � ���� �������� �� &��-� �� �� ������� ���� �� ���� �� ��� �� � ��� &��-� ! +������ ��� �� ����1���!

)������ ��� �� � �� � ��� &��-�� �� �� ���� ��� ��� � ��� �����! )�� ��������� � ��������� ��%��� � ������ ���*�

�� � �� �� �� � ! � � .4!2>�/

� ��� � 8�� �8�� � �8

�! � � .4!2>�/

�� �� ������ � ���� ��� ��,������ � �,�� ��� ������� � �� �� � ������� ��� '- 5� ���%���! � ���� �� 1� ��� ��� &��-� �������� ��! �� &���,�� ����� ��� ������ � ��������� � ��� ������� ���*

�� �� � ! � �� .4!2@�/

��� ��

�! � �� .4!2@�/

)� ���,� �������� ������ ��� ����'� � ������ � ����� ������� � ������� ��'������� � �� ��������! $��� � �� ��-������ '����� �� ���� � � �� ��������� �� �� ����� �� ����������� �� ���� �!

)�� ��� ������� ��%������ ���������� �� � ��� ����'� � �������� �� D������ 4!;=� � �� �� ��'����!

Page 87: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���������� � ����������� ��������(����� &&

���� �� #� .����������� ��� ����� �� �������������

���� � ���� ������� ������� � �� D����� 4!;=�� �� 1���� � ��� ������� ��������� �� � �� � &���,� � �� �������� �� � � �����*

�� �!

�� ��

�� �� �

�!

�� ��

�.4!23/

7����� ��� ������� &��-�0�� ��-������ � ��� ����� � � � ����� ������ ��������������� �� �� ���������� ��� �� ��-������� '������ � ��� ����� � � �

���

�� ���"

�!

�"� ��

�".4!4:�/

�� ���"

��!

�"� ��

�".4!4:�/

���� �� ��� 5���-����� � ������� � ����� + ���� � �� ��-������ �� ���� �

� &���,� � ��� �� ��-������� � � � � �� ��� � ������ � �� D����� 4!;=!�� �� ��-������ � � � ������� � '���� ���� � ��� �� ��-������� � � � ��� ��� ��

�� ��� ��

��

!

�"� ��

�".4!42/

�� ������ ������ ��%������ ��������� � ������ � �� D����� 4!;=�!�� �� �������� �� ����� ��� �1������ �� �������� ��� ��� ������� ��%���0��� ����������� � �� ��-������ � � � � ���� ������ �� �� ����� ������������� �� ����� ����� � � ������ ������� � ��

�� � ���" .4!44/

��������� ��� + ������ �������� ��� �� � ��� ��� �������� .4!42/ � .4!44/�� ���

!

�"� ��

�"�

��"

.4!4;/

Page 88: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

& �������� � ��� ������� � ����������� � ����������

� ���� � ����� � '���� � �� ��,����� 5� ���%��� �� � !��! �� � �� � �������� �������� �� ��� ������ 4!23 ���

�� �!

�� �� �

�!

�.4!4</

����� &��-�� '��9�� ��� ������ � ��������� ���������! �� ����������� ���� ����� � �� �������� ��� &%����� �� �� &,�����

�� ���"

.4!4=/

�����'� �� �� ��,� � �� &��-� �� ��� �������� � ����������! �� ������ �� ����'�� � ����� ��%���� ������� �������� � ��� ����� ��� &��-�� �����,����� 5� ���%���! F,�� ������� �� � 5� ������ � ������ ������ ���� ����,� � ��� ��� �� ��� � ������!������� �� �� � ������ � ��� ��&������� �!

�,��,� �)���� � .����/���

�� �"���� � $����!��� ���� ��� ��'������� ��� ��,������ �� ������� + ���0��� � ��� &���� �� � �� �� ��� �������� � �� ���������� ��� ��� ���������������! $ ��������,� � ����� ��� ������ � ��������� � &���,� � ��� ��0'������� ���������� ��� �� ��� � �����-�� ��� ������� &��-�N�� ��-������� ��� ������ ����'������! ��� �� ��������� � ����� �� ������ � ����0�� ������ ������%��� ��� ������,� ���� �������� ��� ��'������� ��� �0����� ��,�����! $ ����� � ����� � ��� �������� ��� &��-�� � ��� ������'��'���� � ���� ��� ������� &��-�N�� ��-������!

�� � )���� 4 � ��� ���� '��'���� � ������ �� ������ �� �%� ��������� ��� � ������� �� � ����,� � ��������� ���������� 5� ���%����� '���� ����0���� � ��������� ��������� � ���� ����! $ ����� � 1� ��� '���� �5���,�� ����'� �� �������� 5� ���%��� � �� D����� 4!;< � ������ � ������ � �����'�������!

���������� ��� ��'������� � �� �������� �� � ������� � �� D����� 4!;=!$���� � �� D����� � ������ ��� �� ��-������� ���������� ��� �� � �� � �,����� � ���� ��� ��� ������ ����� � �� �� ��� 5���-����� � ��' ��� �� �������! ���� �� � �� �� �� �����,� � �� ���������� �� ���� �� � 55� ��� �� ��� � ������� �� ��

�� ��� � �� ��� �� �� ��� ��

�.4!4?/

Page 89: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���������� � ����������� ��������(����� &"

��� ���� ���� ��� ������� &��-�0�� ��-������ ��� ��� ��� ����� ���

�� � "�� � �� � "�� � �� � "�� .4!4>/

��� ������ � ���� ��� ������ � ��������� � ������ �� ������! O�������*

�� �� �� � ! .4!4@�/

8�� �8�� ��8

�! .4!4@�/

����������� � ���� ������ ��� ������� .4!4>/ � ��������� �� �� � .4!4?/������ � �� &����

"�� "

��� ��

� "�� � ! .4!43�/

"

��� ��

� �"�� �

�! .4!43�/

� ������ ���� �� ������ � �� &����

�� �� ��!

�".4!;:�/

�� ��� ��!

".4!;:�/

��� ������ � ������ � ����' ��� �����

�� �!

�"� �� �

�!

�".4!;2/

�� �� � �!� �"! 7����� �5��� ��� ������� .4!4>/� � ��� ������ ��� &��-��� ��� ����� ���

�� � "�� �!

�� �� � "�� �

�!

�� �� � "�� �

�!

�.4!;4/

�����'� �� � 5� ������ � ������ ������ �� �� ����,� � �� �� ���� $����!���' �� �� � ������ ��� �� ����������� ���������! F,��������� �� ��� ��������� �������� ���� ����������� �������� � ��� �������� ��� ������ � �� ����������!

Page 90: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ���� ��� ����

�,� -���������

7�� �-� ��% ������� � ��� ��� � ������� ���� ����� ���� ��� ������� �� ������ �&��-�� �+���� � ���� &��-�� ������� � ��� ����� � � ������� ��� �� ��'�� ����� � ���'��� .'� D����� ;!2/! ����������� �����'�� ����+��� � ����,�� � �����'�� ��� � �� ���,�!

6��� �� ��� ��&���� �&��-�� �� �� �� ���� ��� ��,� �� ��� ���� ���&��-�� � ������� ��������� � ��� ������� �� �� �� ���� ��5� ��,�� ����� ���� ��� �������� ��������� ��������*

. �

��

� �� � /� �

��

��� �� � � � /� �

��

��� �� � � .;!2�/

�� �

��

���� � � ��� �� �� � � .;!2�/

�� �

��

� � �� � � � �� � ���

� � �� � � .;!2/

��'������ ���� ������ �������� �� ������ ��� �������� � &���� ����� ���������,� � ������� � �� ��,�! �� ������� �� ������ ������ 5� ,������� ��9���'�� �����'�� � �� �&�����,� � �� �-� �� ������ ��� ��������,�!

�,� ���� ��� ���� �� $� �� � ���

�� � ��� � ��� �-� ��� ������� � �&��-� �+�� � 5� �� ������� 5� ,���� ��&�����,�� �� � ��� �� � ����� � &����� � 2��������.)������ �� ������ ��� � ��� ���� � �� ������ � ����� �#�� �� ����������� ����� � ����� � ������� � � ����+*

@2

Page 91: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ������"� �$��

���� ��� $����3� �4�� ����� ��� �������

���� 5� ,���� �� �� ������ + ����������� ��� � �� �� �-� �� ������ � ��� -���� � �� ��� � ����� � ���� ���� � 3�����1����*

6 ����� �� �� 5� ,���� �������� ��� ������� ��&����� �������� �� �������� �� � �� �� �&������ � ����� �� �� D����� ;!4�� � �����&������ �����

�� � ���� �� � �� D����� ;!4�� � �����&������ � �������

� !�� � ��� .�/ �� 5���% ��������,� � ��� ������ ��&������ � '������ � ����

��� � ��� � � � ����� ��� ����� � �� ��,� �� � �������� ��� � ��� � �! ��� ��� .�/ � ��� ��� � 9�3 � ��� � 9�3� � ����� �� �� 5� ,���� � �&�����,� �� �� �� ������ ��� � 9�3 � ��� � 9�3 ��� ����� ��� ����� � �� ��,�! )�� ������.;!2�/ �� �������� ������� ��������� � �&��-�� ������� ��%� �����*

/� � ���

���� � � � /� � ���

���� � � � ��� � ��� � � .;!4/

��� �� ������ ��� ������� ��������� � ��� ����������� ��������� ��� �������� �� �� �� ������� � �&���� ��������� �� � � ��� .�/� � ��� �������������� ������� ���� � ����� � �� �� ����������!

���� ��� >�������� �� ��������� �� ?���������

Page 92: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �$�� �� ��� ���"� ����� �

���� � � $����������� � ��������� �� �� ��������

$��%�� � �� � � ������ � �� D����� ;!;� � �� �&�����,� � �� ������� �������� 9���� � �&����� ������� �� 1 � �� �-� � ��&�� ��� �&�����,� �������������������� ����� �*

�� ��#

� .;!;/

���� �# � �� ������,� . �����'� �� � � ����������� � �����'� � ��� ��������/� �� ������� � �������� � !

�� � ������� � �� �-� � �%���� ����� � � �� � �� �� � A��B� �� �&�����,������������� �� � ����� �*

�� ��$

� %

$�� �� .;!</

���� $ � � �,���� � ��������� �� ������� � % �� �9��� � �������! $� ������� � �� ������� � �� ���� ��� ������� ������� � ����� ������� �� 1 ��� �-�� � � �� � ��� ��� ����*

�� ��$

� � � $ �� .;!=/

6��� �� ��� �&�������� ��� ������ ��� ����� ��� 9����� ������� �� ��� ��� ��0������ � ���� +��� ��� ���������,� ���&��� � ������� ������� � � �����,� � �� '���! ��� ������ ��� ������ ������ ������ � �+�� � .;!2�/ ����������*

. � �

���� � �� .;!?�/

�� � �

��� �� � � .;!?�/

�� � �

��� �� � � .;!?/

Page 93: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

! �������� � ������"� �$��

�� �� ��� 1� ��� ��� �� �� ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� ���� �� ����� � ���'��� � ����! �� �� ����'�� ����������� � �� %�� � �� ��,�! 6�� ���,� .;!?�/ ������*

� �.

�� �� �

.

$�.;!>/

)� �&�����,� ������������ � �� ������� '�� ��� �(��� � ��� �&�����,������� ����� �� &�� � ������� � '����*

�� � �� � �%�� � �%.

$�.;!@/

$�������� �� 5��� ����� �� �� 5� ,���� � ����������� ���&��� � ��� 9����� �� ���� ������ ���������,� ���&��� � ������� ������� � +��� ����� ���&��-�� +������ � ������ ���� ���&������ � ������� ���� ��� ����� ����0 �������! �� � ��� � �� ����� �� � � ����� �� � �����0C����� ��� ����������������� ��%� '%����� ��� ����� ��1���� �� ��9��� � ��� ����� ���� �� ���� ��� �����! )� �������� � �� �� ��� 5� ,���� ��% ���� � � ��+������������� � ��� ��������� �����'����� � �� �-�! $��� � �� D����� ;!< �� ���������,�� ������� � ���&��� � ��� ��,� ��� ��� �� ��� ��9������ ��1��� � ���+����� � �� �-�� �� �� � ��� ��� �� ��� ���� � &�� ���� � ,�� ��%�� ������ ��� ����� � � � � ����!

)� '�����,� � �������� ����� � �� �-�� � ���� � ����������� � � � ���������� ����� � ����� �� �������,� � ��� �&�������� ������������� ���� ����� ���

���� �"� $����3� �4�� � .�������� �� !����=:�����

Page 94: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �$�� �� ��� ���"� ����� �

�������� � �� �-�� � ���*

�� �

� ��� � � �

.� �

$�� �� .;!3/

���� � ����� �� ����� �� �� � �+���� .� �� ��� �� ��,� � �� �-�� �� �� ���� '����� � �� ����� � �� �������� � � ����! �� �� ��,� � �� �-� � � �������� �� �� � �&��-�� �+��� � ���&���� � ����������� ����� � �� �-� �*

�� �. �

$�.;!2:/

���� + ���,� �� ������� ��� �� � . �"� �� " � $���� � �������� �������� � �� �-� � �&��-� �+��!

���� �#� �4�� ������

)�� &,������ �������� '��� ����� ��� �&��-�� � �� ���,� ��� ��� �&��0-�� � ����,�! �� � ��� � �� ���,�� ���� �� ������� � '%���� � �����,� � ���� �-� �� �� �������� ����� � ����,� � ��� ��������� � �� ��,� �����'����� ���� � � ��� � ��������� � �� �-� �� �� �������� &�,��� ������ ��� ����� � �����!

�9 �$�� �,�,�

������� � ����������� ����� � ��� �-� � ��,� �������� � �������� �� �������� �� ��,� � �� �� �� �� : ���&������ � ������!

�� � �:��� � �� � �9� �� ������� � �� �-�! �� � � ����'� � ��D����� ;!?� �� �� � �+��� � ������ � '�� ���� �� �� + ���,�*

.� � � � �

Page 95: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

% �������� � ������"� �$��

���� �&� .��3� ������� � ���� ������

)� �� � ������� ���� ��� ��,� � ����� ��� ���� ��� *

� �.� �

�� �

� � ������� �����! �� ����������� ����� ��% ����� �*

� � �

.� �

$�� �

� �

$�

� ��

�$�

:�

�$�

�9 �$�� �,�,�

������� �� �%+��� �������� �� �� ��� �� ��� ��� ����� '�������� �������� � �� �� �� ��! �� ,���� ��� ����,� �������� � '���� �

�� � ��� ��������� �� 1���� �������� �� ����,� �%+��� � ���� � ����,� �� ���� �� ���� �� �� ���� ��� ����,�

�� � �� �� � �

�� � �

� �� ��

� � � ��� �

���� �� ��� � ���� �������� � �� �� ��� �� �� � �9� � � � ����

B�M�� � ��� ����,� �������� � � � ��� #�� P 2!=:: FM��� � ������ ��������� �������� �%+��� � ��� �� + �� � P 4: B�!

Page 96: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �$�� �� ��� ���"� ����� &

�9 �$�� �,�,�

7� �� ��� � �� � �9� � ��% ������� � �� �� �� �� � � ��� ���� ��� ���,� ! ! 6������� �� �� � '�����,� � �� ��,� ��� �� ��� ������� ������&���� � �� ����� � ���� � �� ���!

���� �'� .���� ��������������

6� ��������� � �� �������� '� D����� ;!>� � �� ������*

. �. � . � ��

���� �� '�����,� �� �&��-� �+�� '�� ���� ��*

�. � � �� .�/

$��%�� �� � ��� �������� �� ������� � �&��-� �+�� �� ��*

. � �� �!

���

���� �� � � %�� � �� ��,� +���� ���� �� �� � � ��� �� ���� ! ! 6�&��0����� �� + ���,� �������� ���� ! � �� ��� ��������� � ���*

�. �!

���� .�/

��������� ��� ������ .�/ � .�/ � ��� ��*

!

���� � � �� � ��

��

���!

Page 97: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�������� � ������"� �$��

��������� ��� ����� ��������� � �����*

��� ����!

� � � � � � 3�����

�� ������ �� �����,� � ��*

�� � �� � �� � � � ��

��� �����*

�� � � �� 3�����

�� �9� �� '�����,� � ��,� � � ������� ����� ��������' �� � � ������ �� D����� ;!>!

�����'� �� �� '�����,� � %�� ������� � � &���� + ������ � �� ������� 1 � �� �-�! ��� ������� ��% ����� �%� �% ��� ����� ����� �� � ��� �� �-� &��� � �� ���� � � +����!

�,� * ���� � � ������ ��� ���� �

���������� ��� �-� &������ �� '����� �������� � &���� �� ��� ����9�� ������� ��� ������� � �� ������- � �� �-�! ���� �� ��������� �� �� ��,� ���� �� �-� ��% ��'����� � '����� -���� ��� ��� ��� � ��� ���� ��� �� %�� ���

���� ������� � �� ������� �� ��� �� �,���� �%���� $�� ��� ��� � ������� �� D����� ;!@�!

���� �*� !������ �� /����� ���������

Page 98: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� "

���������� ������� �� ������� � ���� ��' �� �� �� � �� ����� � ���� ��� �������� �� ����� � �� �-�� � �� ��� �� �,���� � ��������� $

���� ��� ������� � �� ��,� � �� �9��� �� �� ��� � $������ �� �� �������� � �&���� � �� &���� �� � $��$

�� ������� �� �� �&�����,� � �� �-� ��� ����� �� � �� 5� ,���� � ��0�������� � ����� ��%���� � ��� �-�� � �� ��� �������! �� �� ��� ����� ���9���� ������������� � �� �-� ��� ������� �&�����,� ������������ �� )� ����,�� �� ���� ������ �� ������� � ��%

� � $� �� � �� $ �� .;!22/

)� �����&��,� � �� ���,� � ��������� ������ � ���� �5���*

. �

��

� �� �

��

�� $ �� �� � $ ��

��

�� �� � $��� .;!24/

���� � �� ������� � ��� �� �� � � ����� ��� &���������� � ��� $������� �

�� ��,�! $ ����� � �� ���,� �������� � ����� � ����������� � ��� 9����*

�� �.

$�.;!2;/

� ��������� ��� ������ .;!2;/ � .;!22/ � ��� �� �� ����,� � ��&��� ������ ������� � '��*

� � $� �� � ��.

�.;!2</

�� �� ���� ��� �� ��� �������� �%� ������� �� ����� ������� �%� �'����� ������ � ������ � �� D����� ;!@�!

�� �� �%��� � 5������� �����-�� ����� �� �����H ��� � � ��� � ��� �������+��� � 5�����,� � ���� � � ��� �� 5�����,� ������ �� ������ � ���! ���9��� � ���'����� ��� � ��� � � 5�����,� � � � $��$� � � �

�9 �$�� �,�,�

7�� ������ � 5�����,� ������ � �������� � � �� �� ���� ��� ���� � �� +������ ���� � ! � ��� BF� ��� ��� � ������ � �� D����� ;!3! )� ��,� � �������� � �������� �� � ���� 8 � �� �� � ��% ������ �� @ ������� � ���� ��%���� ; � �� ��! )�� �,����� �%����� �� 5�����,� � �� ��� ��� $� � ��

Page 99: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

"+ �������� � ������"� �$��

���� �+� ������ �� )������ �����

8�� � $� � ��� 8��� �� ��'����! � �� ������* .�/ ��� ������� ���� �5�����,� � � ���� � .�/ � ���������� �%���� � �� ������!

.�/ �� %�� � ��� � �� � � �� � ;���� � �� �� �� %�� � 5�����,� ��� � 8���� � ��� �� ������� ��� ������� � �&���� � 5�����,� .$ � $�/����� �� � �9��� � ���'����� �� ��� � �� � $��$� � � $��%�� �%�� 5������-��� � �� ��,� '��

� � �� ���� � ��� ��

$ ������ ��� &,������ ;!2; � ;!2<� � ���� �� � �+�� � ������� � � '����. � ! �� ���*

� � $� �� �.

��

��� � ��� �� � �� �� #��

� � $� �� � ��.

��

� � � ��� � ��� �� � ��� �� #��

.�/ 6��� �� �� �&�����,� � ���&��� � �� ����� � �� ������� � �����������%���� � �� ������ � �� &����

�� �. �

$�

� � � �

�� � �� � ��� � ��� �

� � �� � ��� � � � �� ��

Page 100: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� "�

�9 �$�� �,�,�

)� �-� � 5�����,� ������� � �� D����� ;!2:�� � ��,� ������� � ���� 8

.8 � �� �/� � �������� � .� � � �/� � &����� � �� ������� �����* .�/ � ����< ������� � ��� � ��%���� ; � �� ��� �������� � 5���-������ �� ��� &��-�� � � BF ��� ���� .�/ � 5�������� �� ��,� �������� � ./ ��� '- ������� �5�����,� � ����� ��� ������� �� ��� +����� ��� � ��� )�� �,����� �%����� ��5�����,� � �� ��� ��� $� � �� 8�� � $� � ��� 8��� �� ��'����! �������*.�/ �� ���������,� � ������� �������� �� ���� � &������,� � � 5�����,�� � � ���� .�/ ��� ������� ���� � 5�����,� � � ��� ��� �� �&��-� �+�� �����,� . � �� BF � ./ � ���������� 9��� � �� �-�!

���� ��-� $6���� � ��

�� %�� � ��� � �� � � + �� � ����� � �� �� �� �� %�� � 5�����,� ��� � �� � �� � �� � ���� � �� ������� ��� ������� � �&���� � 5�����,�.$ � $�/� � �9��� � ���'����� �� ��� � �� � $��$� � � $��%�� � %��5������-��� � �� ��,� '�� � � �� ���� � ���� � ��

.�/ )� ����,� � ����,� �� �� ���� ��� ��� � ��� ������� ��� '- ����� �*

��� � � � ��

�� �� � ��� �� � � � �� #��

�� 55� � ����� ��� �������� ��� '- ������� � 5�����,�� � ���'���� �� ���� ��� &��-� � �� � �� BF � �� ���,� ���� ��� ����� +����� � �� �-�! ���� &��-� ���� � � 5�����,� ��� ���������,� ���&��� � ������� ��� ���,� � '����

�� ���� � ��

���� � � ��� �� � ��� ��� #��

Page 101: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

"� �������� � ������"� �$��

��� ���� ����� �� ����,� � � ��� �� ��� �� ���� � &������,� �

�� � ��� ���

� � � ��

�� �� � ��� � � ��� � ������ � � ��� ��

� 4=�4> #��

���� � ���� ������� ���� ��� � �� ����,� � ������ � � ������ � ������� ������ � ����,� �� ����� ��� �������!

)� ���������,� � ������� � �� ��,� �� ��� �� ���� � &������,� ���������������� �� �� ����� ���� �� �-� ��������,� +����� ������!

.�/ )� �����,� � �� �&��-� �+�� � ����,�. � �� BF �� ��� ���� ��������� ����,� � � 5�����,� � � ��� �

�� ��� � ��

���� � � ��� �� � �� ��� #��

�� � � � �� � ������ � � ��� �� � �� ��� #��

)�� ������� 9���� ���*

�� � �� �� � �� � #��

�� � �� �� � � � �� #��

� 5� ��������� �� ������ � ���� �� �+�� � ����,� ���� �� �-�� ��� �� �5�����,� �� ��� ������� � ����,�!

./ �� ���������� ������ � �� �-� �

��� �. �

$ ��

��� � �� � ��� � �� � ���� � � ��� � � � � �� � ��� �

�� ������� �������� ����� � �� ��,� �� �+�� � ����� �

�� �. �

$ ��

�� � �� � ��� � �� � ���� � � ��� � � � �� � ��� �

� � ����������� 9��� � �� �-� �

��� � ��� �� � �

Page 102: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ����������� �������� �� "�

�,! ����������� �����������

� ����� ��� ���� ���� ����� � ������ �� ��% &������ �� �� �������1 � �-�������� ���� � ����� ������ �����������! $� �� ��� ����� ����������� ��� �-�� �� ��� ����������� ������� E���� ���� � ������ �� �� �� ��� �� � ������E��� � ��� +����� � ����� ��� ������ � ����! �� ���� ������������ � ������E��� � � ������� � ��� ������ � ���% ������� � � ��� ����� �� � � ������������ ���� ��� �-��� � �� � ��� ������ � � �� ��'����� � ��� �-��!

�� ��� ����������� �� ��� 5������� � ��������� � �-�� ���� �� ����� � ��0���� � ��� ������ � ��'�� �� ���� ��������� �����1�� +����'���� � �&��-��+��� ����� ���%� ���� �+��� �������� � ��� ��� � ��� �-��! 4���� ���

����� �� ��� �� � �� �� �� � ��� �-��� � ��� � �� ����� &��� � ��� ��%� ������ ���� � ������� �������� � ��� ����� � ����!

���� ���� $���������� �����������

Page 103: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

"! �������� � ������"� �$��

�������� ��������� � ���� ����������� ���� ���� �� ������ 5����� ��� '������ ��� �+��� �� �� �� ���� ��� ��� � ��� ������ � �� ��������!

�,!,� ����������� ����������� �����?�����

�� �� �������� ��������� � ����,� � �����%���� �� ����'�� �����-���� ��0���� ��� ������ � �� ���%���! ���� ���� ��� �� � � ��� � ��,�������� ������� � ��� � � ��� � ������ +������ �0 �%� � � ��� � �+���� �������� �� .����� �� � ��� � ������/ � ����� �� � ��� � ������ � ����%��� �� � ��� ������� � ��� ��� �� ������ ����� � ���� �� � ��� ������ ��� .� ��� ������ 4 ������ � ��������� � &��-�� ��� ��� ����/!���� �*

�0 �� � ��� .;!2=/

�� �� D����� ;!22� � ������ ��� �������� ��������� �����%��� .�0 � �� �� � ���� � �/� ������� �� �� �������� � �� D����� ;!22� � 5� ���%��� � ����� 2.�0 � �� �� � �� �� � �/! �� �� ������ ������ �� �� �����,� .;!2=/ � � ������� �� �� ��� ��� �� �� �������� �� �����%���! $��� �� ���������� � ��D����� ;!22 �����&� �� �����,� .�0 � �� �� � �� �� � �/ �� �� ��� ��������� ������� � �� ��� �-������� ������� �� �� ��� ��5� � ���������5� ���%���!

�� ������� ���� �� �����,� .;!2=/ �E1� � ��������� ��� ����'� ����0����� ���������� �����%����* ����� ��� ��,������ ��� �0 ������ +������ �%� ����� �+��� � ��� ������� � ������ � &���,� � ����� ��� ������� ������ ���������� � &��-�� � ��� ������ ��� , ���� �� � � ������ �� ���� � � ������� ��'����! �� ��������� � ������� �� ����� � ������� 1� ���!

�9 �$�� �,!,�,�

)� �������� ��������� ��� � �� D����� ;!24� ��% &������ �� ��� ������ ������� ������� � ����� �����'����� ��&����� � %��� �� � ��! ���� ��� ����'����� ! ������� � � ���� �� ��������* .�/ ��� �+��� � ������� � ��� ������ �.�/ � �� ��-������ �� ���� � ����� ! � �� BF� � � � �� � � ���� �� � � ����� � � ��� $ � ��� � �� F���!

.�/ )� �������� � �����%���� � ��� �+��� � ��� ������ 2 � 4 ��� ��������������� �� �������� � ��������� � &��-�� � � ���� � .D����� ;!24�/!

Page 104: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ����������� �������� �� "�

���� ���� $��������� ���������� ��� $6���� �"����

$��*.� �

!

��� �� .� � � !

��� �

)� ����� �����1� � ����,� � �� ����� 4 � �� ���,�! )�� ������� � ��� ���������

� �.�

���

!

�� ��� �� �� #��

� �.�

���

�!

�� ����� ���� � #��

.�/ �� ����������� � �� ����� �

� �.���

$���

!�� ����

����$���

!�

���� ��� �

$��� �� ��� �

�� ���������� � �� ����� � �

� ��.����

$���

!�

���� $��� �� �� �

�� ��'������ �� ���� � �� ������� � ����� �� ����� �� � ������� �� D����� ;!2;�! �� ��� � ����'� ��� �� ����� 2 � ������ 5���� � ��� � ���� ����������� �� ���� � .�� � �� 5� ,���� � ��(�� �����/! ��� �� ���� �� ����� 4 ������ 5���� � �� � ���� ���� ������� �� ���� � )� ������,� � ��� ���� �����

� � ����� ������� �� ����,� �� ���� � �� ������ �� ���� � ���� �� �&�����,� ��� ��������! )�� �� ��-������� �� ���� � � �������� ����'���� � ������������ � �� D����� ;!2;�� �� � ������� �������� � 5�����!

Page 105: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

"% �������� � ������"� �$��

���� �� � 2�����3������� �� �� ���������� ���������� ��� $6���� �"����

�� �� ��-������ 5���-����� �� ���� � � ��� ����

� � � � �� �� � ���

�� �� ��-������ '����� �� ���� �� � � � ��� �� � ����� �������� ��5��� ��-������ ���� �� ���� � ������� � � ���� � �� ��� �� ��� *

� ��� � � � � ����

� ����

� � � � ����

��� �� �� ��� � ���

�9 �$�� �,!,�,�

)� �������� ��������� � �� D����� ;!2< ��% &������ �� ��� ������ �� ������������ � ����� �����'����� ������� � %�� �! ���� ��� &��-� 5���-����� �������� � � ���� �� ��������* .�/ ��� �+��� � ��� ������ � .�/ � �� ��-�������� ���� � ����� � � � BF� 8 � � �� � � � ��� $ � ��� � �� F���!

.�/ )� �������� � �����%��� � ��� ������ � ��� � ���� � � � ��� ���0������ �� ��������� � &��-�� � �������! $��*

7� � � � )� � � � )� � �

Page 106: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ����������� �������� �� "&

���� ��"� $��������� ���������� ��� $6���� �"����

$�%�������� ��� �+��� � ��� ������ ��� ������� ���������� � ���������� &��-�� ��� ����� .D������ ;!2=� � �/! $��*

���� � � .� � �� � .� � �

���� � � .� � � � .� ����

���� � � .� � �

)� ����� � �����1� � ����,� � �� ����� < � �� ���,�! )�� ������ 2� 4 � = �������1�� ��� �� ���� � ����� � �� ���!

.�/ �� ����������� � �� ����� � �

� �.���

$��

���

��8

$�� �

�8

$�� �� � ��

�� ���������� � �� ����� < �

� ��.����

$��

�8

$�� �� � ��

�� ��'������ �� ���� � �� ������� � ����� �� ����� �� � ������� �� D����� ;!2=! �� ��� � ����'� ��� �� ����� ; � ������ 5���� ���� � ���� ����

Page 107: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

" �������� � ������"� �$��

���� ��#� $%�������� � ������3������� �� $6���� �"����

������� �� ���� � .�� � �� 5� ,���� � ��(�� �����/! ��� �� ���� �� ����� <� ����� 5���� ��� � ���� ���� ������� �� ���� �� �� � 91�� �� �� �� ����� =�� �����1� )� ������,� � ��� ���� ����� � ������ ������� �� ����,� �� ������! )�� �� ��-������� '����� � 5���-����� �� ���� � ��� .D����� ;!2=/*

� � � � �� � �� ��� � � ��� � � � � �� �� ���

�� �� ��-������ ����� �� ���� � �

� ��

�� �� �

���� ��� � � �� �� � �� �� ��

�,!,� ����������� ����������� 0�$ � ��?�����

7�� �������� ��������� � 5� ���%��� ����� � � ��� � ��,������ �� �������� ��� � � ��� � ������ +������ �0 �%� � � ��� � �+��� � �������� ��

.����� �� � ��� � ������/� � ����� �� � � ��� � ������ � �� ��%��� �� � ��� ������� ��� �� ��� �� ������ ����� � ���� �� � ��� � ����� ���!���� �*

�0 �� 4 ��� .;!2?/

)� �����,� .;!2?/ �E1� �� ��� ����'� ��������� ���������� 5� ���%������ ����� �� �� ��� � &���� �����%��� ��� �������� � ��������� � &��-�� ���� �����! ���� �� � + ��, � � �� ����� 4� �� ������,� � ��������� 5� ��%���������� ���%�� �� ��������,� � ��� �������� � �� ���������� ���� �� �&��0���� � �� ��������! �� � �� ����� 2 �� )���� 4 � ��� ���� � ������� 1� ���� ������,� � ��������� ���������� � ����� �� � ������ � �� ���������� �� ������ � ���������!

Page 108: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

! ��� �� �� ����

!,� -���������

7�� �-� ��% ������� � �#��� ���� ����� ��� ����� ��%� ���������� ���0��� �� �� ������ E��� � ! )�� �&��-�� �+�� . � ������ / � ������ �������� ��� ����� � ����� ��� ����� � �� �-�! ��� �� ���� ��� �-� ��% �������� �#��� ���� ����� ��� ����� ��%� �������� � ������ E��� '������ �� ��������� '�� ��� �(��� � �&��-� ������! ��� � ��������� � �� �� �����,� ��% ������� � �#��� ������ ����� ���� ��� �� � �� ������ E���� �� �&��-� �+��! ��� ������ �� �� �� � �� '- ������� E���� � ������ �������� �� �� �� ��,� ��% ������� � �#��������*

$�� �� 1� ��� � '�����-� � �� D����� <!2� ��% ������� � E+�,� ��� � ������ ��������� ������� �� � � �� D����� <!2� ��� ��� � �� �������� � E+�,� ��� � ��� � E+�,� ��� �! $�������� �� '��� � �� D����� <!4 ��� �� �������� ������� � E+�,� ���� ������� �� ��� -���� ��� ��� � ���� � ��� �������%� �������� � E+�,� ��� �H � 55�� ���� � ��� � ��� ������ �����-���� � �� �%��� ��� ������� ��������-�� ��� ������,� � E+�,� ���!

���� "��� :�����3� ������� � 0�1 @�4��� ���� � 0�1 @�4��� ���� � @�4��� �����

33

Page 109: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�++ �������� � ������� �������

���� "��� :��� ��������� ������� � @�4��� ���� �� �� 3��� �������

)� E+�,� ��� �� �� ������ � ��� �%� ������ � E+�,� �� � �� ������������ �� ��� &���� � ��������,� �� 5������� � �� �%���! ��� ������� �������� � �� � �� ��� ��������� �� � ���� � �� ������ ��� � ����� � ������� �%� ������� � E+�,� ��� � � E+�,� �� ����� ��� � �� � ����� ������ � &���� ������� ��� ��&����� ��� ���� ���� � �����! $��������� �������� ��� � �� �� ����� � ������ � �� E+�,� ���� ��� ������-�� ���� ������������ �������� �� ��� � E+�,� ��� � �� � � ������� �� ������ � �� E+�,��� ����!

6��� �� ��� ��&���� �&��-�� �� �� �� ���� ��� ��,� �� ��� ���� ���&��-�� � ������� ��������� � ��� ������� �� �� �� ���� ��5� ��,�� � ���� � �#��� ���� �� ������� E���� �� � �� ��������� ��� �� ���� ������������*

. �

��

� �� � � � /� �

��

��� �� � � .<!2�/

/� �

��

��� �� � � � �� �

��

���� � � ��� �� �� � � .<!2�/

�� �

��

� � �� � �� � ���

� � �� .<!2/

��� � ��� � '�� � � �� ����� 4! ����� ������ �������� �� ������ ��� ���������� ���������,� � ������� � �� ��,�! �� ������� �� ������ ������ 5� ,������� ��9���'�� �����'�� � �� �&�����,� � �� ��,�� � &���� ��%���� � ��� � 5�-�� � ��� �� �&��-� �+��! ����������� ����� � ��� �%� �������'� � E+�,� ���� '���� ���� � ���� ���� .��� �� � ��,� �� �� ���� � ������� ������������E����� � ��5� ����� '� D����� <!;�/� ��� ����� �� ��� �� ��� ����� � ��,����������� ��������� � �� ���� �������� .'� D����� <!;�/!

Page 110: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� �+�

���� "� � ���4��� 0�1 ����� �� ���3�� �� ����� ���� � 0�1 ��/����

!,� �� ��� $��� � ���

!,�,� �� ��� $��� $� ��� � $��� � ���

���������� ��� '��� ���� � ��,� ������� � �� �� ���� � ������� ���0���������� ������� � E+�,� ��� �� � ��5� ����! )�������� � �� ���� ���������,�� ��� � �� ���� ����� �� � ���� ���� .� �������/H �� ������ ������� E��� ������ �,�� ��� �� ���� �� .D����� <!;�/

$� ���� � E+�,� ���� � ������ E��� ��% ������� � �� ����� � �� �-� �� �� ������ �� �&�����,� ������� �� ��� ��% �� ����� � ����� ��� �������� ��� '���! �� �������� �� ������- � �� '��� � �&�����% � ��� ��'� � ��'������������� � ���� � �� ��� � ����&���� � ���� �� ������� � � ���� �������� � �� �-�� ��� ��� � ������ � �� D����� <!<�!

���������� �5��� ��� ��,� ��� � �������� � �� �-� ������� � E+�,� ���� ������� � � �������� �� ��'�� � �� �-� � ��� ���� ��� � ���! �������������� �� ��5� ��,� � �����&���� � �� ��,� ��� �� �&������ �� ��� ���!$�%�������� �� ��,� � � �����&���� � ���� �� �&������ �� ��� ���! ���������� � �� ������� � � �� ��������,�� ��� ����� �&������� �� � ��� ����� ��������� �� �� �� �� ���� ���! $��%�� �� ���������� � �� �-� � �� ���� � �&�����,�� ��� ����� �&������� �� � ��� ��� �� �� � ������� ������ � ������ � �� D����� <!<�! ��� ������ �� ��,� � �� ����� ���� ���&������ �� �-�! $��%�� ���� �� ������� �� ������ �� �� �� ���� �� �� ���� �� ���� �� � ���� � ��'����� � �� ������-! �� ��������

Page 111: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+� �������� � ������� �������

���� "�"� 2������ �� �� ��������3 � �� ��� ��������� ������ �� @�4��� ���� �����

�� �� �&�����,� � ��� �-� ��� ������� � E+�,� ���� �� ��� � ������� � ����� � ������ � �� �������� � �� ��� ����+*

���� � �� 5� ,���� � �&�����,� � ���������0F�'��� � �� �� � ���� � ������� �� �� � � ��������,�! $���� 5� ���� ���������� ���� ���%������ � ��-���0������ � �� � +����'���� ���������� � ������ ������ �� ��� ������ ����� �� �� �� '����- �� �� �� ������ + ���������� � ��������� �%�������!

�� � �� 5� ,���� � �&�����,�� ��� 9���� ������������� �� &����� �� �������� ��'�� �����&���%���� � ���� � ����&���� ��������� �� �� �&������� �� ������- � �� �-�� ��� ��� � ������ � �� D����� <!=�! �� �� ���� ��&�����,�� ��� 9���� ��� ������� � ��������� �� ��������! �� � ���� ��������%� �������� � �&�����,� � ����,� ������������ � ����,�� � � �� ���,�� � ������! $� �� � �&��-� �+�� ���� �� ��,� ����� �� �� ���� ��*

. �

��� �� � � .<!4/

��� ������ ��� ��� � ��� 9���� ����%� �������� � ����,�� �� ������� �������0������ �����'�� �� 4 �� � ���� � �� ���,�� �� ������� ������������� �����'���� 5 ��! ��� ���������� � �� �&�����,�� +�����% ��� ���� �� ��'����% �� ��,�� ��� ��� ��������� � ���� �� ������� � � �� �� �� ����,� ������������ ��%���� .� � �/! $� �� �� �&�����,� ���� ��� ����� ������ ��% ��� ���� � ��������� �� ������ �� �� �� ���� ����� ��% ��� ��� � ������� � ��5� ���� � �������! $ ��� ���� ������� � � ���� � �� ��,� � � ������� �� ���� � �������� � � ����� ( �����!

Page 112: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� �+�

���� "�#� 2�������� �� �� �������� �� @�4��� �����

�� �������� ��� ���� � E+�,� ��� � �-�� ���� � ���� ����� ��5� ,���� � ��������0F�'�� �� ��� �� ��� ��,� ���� �� ����,� � ��� ��,� �,+��� ������� � �� 1 ������� ( ������ ����������� ���� � �� �&�����,��� � ����� �� � ���� � �� ��,� ��� �� � ���� � ��'����� � �� �&������� �� ������-!

6��� �� ��% �� ����� � ���� �� ��������� �� � �� � �� 5� ,���� � 0��(�� ��'�������� � ���� � E+�,� �� � ���� � ��� �������� �;�� � ��(��� �� ������ � ��� �����9�� ��� ���� �� ������� �� ��� �� ��� �� ��'���������! ��� ���������� �� �����9��� �� �&�����,� � �� ������� ��&��0��� � ������� � �� D����� <!<� �� �� ���� ������ ������-��,�� ��� ��� ������ � �� D����� <!=!

$������� �5���� � ������ �� �&�����,� � ��� ������� � �������� ��&��0��� � � �� � ���� ��� ��� � ������ � �� D����� <!?! �� �� ��,� 5��������� � 1 � �� � � ���� � ������� .1 ���� �� � ����� � �� ��,�/� �� 1 �� � ������� �� �������� ������� �� � 1 ����� ���� � ����,� ���5��� ��������! 6 �� ��1��-� � ��� ���%������ ��� � �$� � ���*

��

���

$�

�$� �

<��

�� �

��� �� � � �

<�.<!;/

���� <� ����� � ����� � ��'����� � ��� 9���� �������� ���� � 1 ������ ��� ��1� �� �� 9��� ��� �� �������� � ��� �� �������� � ��� 9��� ������� ��� ��1� �� �� 9��� ��� �� 1 ����� � �� � ����� �� �&�����,� ������������ � ���

Page 113: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+! �������� � ������� �������

���� "�&� $����������� �� ��� ;���� � ������������ �� ���������

� ���� 9����! � ����'� �� ��� ������������ �� � ��� 9���� ��� �� �������� � ���������� � ����� �� 1 ������ �H �� ����� �� ���� � ��� �������� �� �� �� ��� �� � A��B .� ���������� �� ��� ������� ������� � ����� � �������� ��� �� ��,� ��� �� ������ &��� � ��� ������� �������� ��� �� �� � 55 �/*

� � $ �� � �$ �

<�.<!</

��� ������ �� ���������,� � ������� � ������ ������ �������� � �� ����� ����,������ ��� ����� �������� ���� ���� ������� �� 1 ����� ���� � ��% ���� ��� ��� ����� �������� ���� ��5� 1 ������ ��� ��� � ������ � �� D������ <!? � <!>!

��������� ��� ���������,� � ������� � ���������� �� � �&��-� �+�� ������ ��,� � ���� � ���*

. �

��� �� � �$

<�

��

� �� � � ���

� �� � � .<!=/

)� ������� �� �� ������� � � ������ ��%��� � �� ��,� �� �� �� 1 �����!��� ������ � 1 ����� �� ���� �� � ���� � ���'��� � �� ��,� & � ������ ������� �� � ������ 1 ���� �� � ����� � �� ��,� .1 �/! ��� ������'� � �� ������� �� �� �� ���� ����� � �� � ���������� ��*

�� �

��� � �� � �$

<�

��

� � �� � � .<!?/

Page 114: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� �+�

���� "�'� 2����������� �� ��������� �� @�4��� ���� �����

��� ���� ����� � ������ �������� � ��� ������� �� �� �� 1 ����� ���� ����� �� ������ E��� ������*

�� � ���� � �� �

$

<�

��

�� �� �$ ��<�

.<!>/

����� �� ��� �� �� � ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 �! ��� �����*

<��

��

$��.<!@/

)� + ���,� ������� ����� �� �� ��'������ =� � �<�� '���� �� ������������ ������ E��� ��������� � � &���� ��'������ �� ������� �� ������ $���������� �����- � E+�,� � �� ��,�! � ����'� ������� � �� + ���,� ������� ��� �� �9���,� � ��'����� =� � �<� � �;��� .'� D����� <!?�/� � ���*

�;� ��

<��

��

$��� .<!3/

���� �;� � � %����� �����'� ������ �� ��� ����� �� �������� ��� ���������&�����! �� ���� �����'� ����� ��� ��� ��� ����� +����� � �� �-� � �������������� � ���� �����'� � �� ����� � ���� �� �-�� � ���*

�;� �

� �;� �

� =� � �

��

$�� � �� .<!2:/

���� � � �� �������� ����� � �� �-�! �� �� '��� � � ��,� �������� �� �����,������ �;� � ��� � ��� ����� +����� �� �� � �� ���� ��% ����� �*

�;� ��� �

$ ��.<!22/

Page 115: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+% �������� � ������� �������

D�������� ��������� � ����� � ��'����� <� � ��� ������ <!< � <!> � �����*

� � ��� �

��.<!24/

+ ���,� ������ ��� �� � 6����' �� ���� ������ �� ����,� ������ � �� ���� � �� ��,�� ������ �� �������� �� 1 ������ � �� �� ��'���� �����9��� �� ���������,� ����� � ��� ������� ������� � E+�,�! �� ��'�� �� ���������� �%+���� � ���%� � ��� ����� � �� ��,� �%� ��1���� �� 1 ����� � ���� ����,� �%+��� � �� ���,� �� � ����� � �� ����,� �%+��� � ����,�� ���'� ����� ��������� � ��� �� ��'�� 9���� +����� �� ���� � ���'��� ��� ������ .'�� �� 1� ��� ��� ���� ��������� � �� D����� <!>/! $�������� �� 5��� ����� ���� 5� ,���� � ���������,� ����� � ��� �&�������� � ��� 9����� � �� ���� �����0� � ���������,� ����� � ��� ������� �������� ��� +���� ����� ��� �������+������ ��%� � ������ ������� � �� &���� ���� ��� ����� ���� �����0��! �� � ��� � �� ����� �� � � ����� �� � �����0C����� ��� ��������� ����������� '%����� ��� ����� ��9������ ��1���� � ��� ����� ���� � � ���� ����������! )� �������� � �� �� � '��9� ��� 5� ,���� � � ��+�������� ����� ���� ��������� �����'����� � �� �-�!

$� ������� ��� ����� ���� ������� � ��� 9���� �������������� ��� ��������&������ �� ��&�� ��������,� �������� � ���� ��� %������ ���� ����� ����!��� ������ ��� ����������� ��� � ��� ��� ����� � ���� ���� .'� D����� <!@/ �� �'����� � �� �� � A��B� ��� ������� ��������� ���� ������� ������� ��������� ��� � ��� � �! ��� ������ ��� ������*

/� �

����� �� � � � /� �

����� �� � � � �� �

�������� ����� �� � � .<!2;/

� �� �� ����������!

���� "�*� �������� �� ������������ ��������� �� �� ��������� ��� @�4��� ����

Page 116: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� �+&

���� "�+� ���4��� ����� ��������� �� �� ����� ��������� �� �������

!,�,� �� ��� $��� � �@ � $��� $����$�� � � ����

�� ��������� � �� ��,� ������� � ����� �� ������ �� �� '��� ��� �� ���������������� � ������� � � �� �� �� ��� ������� +�����! ���� ������� �����9���� �� � ������ �������� � ��� ������� ������� � �� �� �� 1 � � ��������������� .'� ���,� .<!?//!

�� ������� �5��� �� �� �-� ��% ��������� � E+�,� ��� �� �� �� � ����0��� �� �������� � � ���� &������ �� ��� 1� �� ��� $� "� �� �� ������ ������ ������������ � �� �-�! �� ������ �� ������� ��� �� ��� �� '%������ 5� ,���� � ��������0F�'�� � �� � �� �� �� �� � A��B� ��� ������� ����%������ �� �� ���,� .<!</! ������� �� ����,� ��� �&��-�� � ������� ���� ����,� +�� �� ��

�� �

��� � �� � �$

<�

��� � �� � � .<!2</

���� �����,� �� ��� ��

��� �

��

� � �� � � .<!2=/

� ���� �� ������ ��% ���� �� ��� 1� ��� �� ��� ��� ( ���� ���� � ��� �� � �� ���* ��� ������ �� ����� � E+�,� ����������� � �� ��,� ������� ��� ������ ���� ���� ��% ������� '%���� � ����� ��� ���� � �������� ��� � �� ������� E��� �� � �� ���� �� ������ � ��� � ��� 1� ���� ��� � ������� ���� ��� � �� � ���� � ��������,� ������ �� ��� � ��� �������� ��������� ���� � �#���! ��� �������� &� ������� �� ����� '- �� ���� � ����� �� �����0C���� � 2@?<!

Page 117: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ �������� � ������� �������

)� ����� � E+�,� ��� �������� 5���� ���� � ������-� �� � 55� � �� ������ � � $� ����� �� ������ ��� ��� �#��� ��� �� �� � ����� � � ��� ����� ������' � � ( ����� ������ � � �����* ��� �� ����'� ��� � ������ �#��� ���� � �� � �#��� � 6����� � 5����1 �� ������� )���� F�'�� .2>@=02@;?/ �� �� ������,! 6��� �� ���� ��,� ��� �� ���� ��� ����� ���� ���� ������ � ��� � ����� �������� ��� �-� � E+�,� ���! �� �� D����� <!3 �������� ���� � E+�,� ��� ���� ����� � '����� ��������!

$�������� �� 5��� ����� �� ����� �� &�� � �������� ���%� � ��� �0&�������� ������������� �� � ����� ����� �&�������� �����'����� � '������ � �� � �%��� ���5%���� �����'������� �� ��� � �� �-� � �� ��� 9������%� ��������������� ���������� � ����5%���� �����'������� �� ��� ��0 ������ ���������������� �� ��� � �� � ��'�� ��� ����� ������� �� 1 �����!$ ��� ��'����� �����'���� � � ����� ���� ���� �' � ��% �9���� � � 1 ����� �� � '���� = � �%=� � ���� �� � ����� � ��'����� �� 1 ����� < � �<�%� ����= � < ��� �� ��'����� � ����� � ��'����� ������������� .'� D����� <!2:/!

6� �(������ 9������� �� �� 5� ,���� � �� ��� ����� ���� ����0� ����� �� ��� � �� �&�����,� � ������� � �� �&������ � �� ������- � ������ ��������� � ���� �� �� ����� ������� �����,� �� �� �� ���� ��������� �� �������! ��� ������ �� 5� ,���� � ��������0F�'�� �� +��0��� � ��� ���� � �� � ������� �� �� 5�������� �� ��,��� �� �� �%����! ���

���� "��-� ���/����� �����/����� � ������������

Page 118: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� �+"

������� ��� ����� �� �� � ������� � 5� �� ���� �� �� �-� � 5������� ��� � ������� � ��,��� � � �%���� �����! �� ��� ��������� �� �� � ������� ��'���% ���� �� �� �� � F�'��!

!,�,� ��� ��� �?����� ������/� �

���� � ��� ��,� ������� � E+�,� ��� �� �� � ������� � ������ ��� '������%+���� � ����,� � ��� ��������� � ��� 9���� �%� ��1���� �� 1 �����!)�������� > � >� � ��� ��������� � ��� 9���� �� ���� ��&���� � �� ��,� ��1 �� � ? � ?� � ��� ��������� � ��� 9���� +����� � �-������ � ��5� �� 1�� �� ��'���� .'� D����� <!22� � �/! ��� ���%�� � � '���� �������� � ���%+��� ����,� �������� �� �������! �� ������� ����� �� ��� ����,� � ������ ����,� �� � �� ���,�!

�� �%+��� ������ ���� �� �� �� ����� �� ��,� ��������� � E+�,� ���

�� � � 1 ���� �� � ����� �� � ���� �� ����� �� � �� �� � F�'��� �������,� ����� � � � �� 9��� �� ���� � � �� 9��� ��&����! ��� �� �����*

���� �

�����!�>� >��

� ���

����>

����>�

�.<!2?/

$�%�������� � ���% �9��� � �%+��� ������ ���� �� �� ������� �� ��,�

��������� � E+�,� ��� �� � � 1 ���� �� � ����� �� ���

���� �

�����!�?�?��

� ���

����?

����?�

�.<!2>/

���� "���� �����3����� �� ���� ;���� �4����� �� @�4��� �����

Page 119: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������� �������

����� �9������ ��� ������-��� �� ��� � �� � ������� ���� ��&��� ����,��%+��� �������� � ����,� �� �� � �� ���,� �� ! �� �� ���� �� ������������� ��� ������� �%+���� �����'�� .����,� � 9���� >� � ?� �� ���,� � 9����> � ?�� �� ��'����/� �� ��%�*

����� � � ���

�����>

��� ��>�

��

�����

� ���

�����?�

��� ��?

�.<!2@/

� ��� ������� �%+���� �����'�� .����,� � 9���� > � ?�� �� ���,� � 9���� >�

� ?� �� ��'����/� �� ��%� .� '���� ��������/*

����� �� � ���

�����>�

��� ��>

��

�����

� ���

�����?

��� ��?�

�.<!23/

!,�,! ������� � ���� � �

�� ������� �� �� ��,� ��% ��������� � E+�,� ��� �� �� �������� �������� � ���� �� � �� � �� ����,� �%+��� �������� �� �������� ����� � ����,� ��� �� ���,�! 6� �� ���� ��*

� � �� �����

���

��

@��� @� �

�������

���

��!�>� >��.<!4:/

$ �� ����,� @� � � ������� ������ ����� � �� ��� �� �� �� ( � � ������������ ��� ���!

$� ���������� ��� '��� ��������� �� �� ������ ��� ������� ��� ��,� ��,���� ������� ��� �� �� ��*

@� � ��

�.<!42/

��'������ � �� �9��� � �,���� ������� ��� ��� 1 ���� �� � E+�,����� ����������� ��������� � �� ��,�!

!,�,� � ���� �� � ��)�����

����� ��� �� � �� �� � F�'��� ��� ������� �%+���� � ����� � ��� ������%� ��1���� �� 1 ����� � ����� �� ��� ���� ���� � '���� � �� ����,� ���������� ������ �� � ��� ����� ����� � �� ��,� � ���� ������� � '���� ��&���� ��� ��������� � ���� �� � ������� �� ��% �������� � ��'5���!

Page 120: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� ���

���� "���� !������ A�����B � @�4��� �����

)� &���� ���� � ��� ��,� �� �����1 � E+�,� ��� ��%� �� ������ �������� ���� � ������� ��� ���� � �� ����� �������� ����� �� 1 �����! )� �0�,� , ����� ��� �� %�� � � �� ���� , ������ ��% ������ �� ���� �� ������,���� � �������� �� �� �� 1 � E+�,�! �� '���� �%+��� �� �,���� ����������� ��� � ��� ��,� ���� �������� �� ���� � ������� �������� � ��� 9����+������ � �������� ,�� �� ���� � ���'���! �� �� ���� � '���� �� �,����������� ��% .�� ������� �� 1� ��� E+�,� ������� �� 1 �/*

@ �� � �

�������

���� �

�� �

��

��,

�.<!44/

���� , � � ���� � �� �-�� � �� �� �������� ��� ��� 9���� +�����! ���� �����,� ��� � &���� ����������� � %�� � � ���� ,� � ���% ������*

@� � A� @�� � � A�

�,

��� � A� .<!4;/

���� A� � �� �9��� ����������� �� � ����� ��������� ���"��� � � �� ��� �� �� �� ( �*

��'������ � ��� �9��� ��� ���������� ��������� ��� ��� 1 ���� ��� E+�,�� ��� ����������� ��������� � �� ��,�!

�� ��������� �������� � ��� � ���� �� �� ������� � � ������� � �� �-���% �1�� � ��'5��� ����� ����� �� � '���� � A ��� � 1 � E+�,�!

Page 121: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������� �������

�� '���� �� ��������� �������� � ������� � ��� ����� �%� ������ � ��������*

A � �

� ��� �9�� ��%���� � ��� �������� � ���� ��

A � �

� ��� �9�� ��%���� � ��� �������� � B � ������ � &���������

A �

� ��� ������� ������� ��������

A �

� ��� ����� ���������� ���-���

A �

� ��� ����� ��������

A �

� ��� ����� ����������!

�9 �$�� !,�,�

7�� '��� ���� � ��,� ������ � �� �����1� � E+�,� ��� � ��� &���� �� ��� 9��� �� ���� � ���� ��� ����,� � �� ���,� ��� � ��#��� � � �� 9�����&���� ��� ����,� � ����,� � ��� � ��#��! 6�������* .�/ �� ������,� �� 1������ .�/ �� ��5��� � � �� '���� ./ � ������ E��� �� ������� � �� '��� � .�/� �%+��� ������ �������� �� �� ����,� �%+��� �������� �� ������� � � � ���

#��

���� "�� � !������ ��� $6���� "����

Page 122: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� ���

.�/ ���� �� '�����,� � ������� � �� ����� � �� ������ � �� '��� � ������ �� ����,� �� 1 ����� � ����� �������� � ����� � ��� ������� +�����! 6�� ��1��-� � ���%������ &��� � &���� � ���*

,�,�

����

���

� ��

��� �

����� � ��� � ������ � ������

,� ,� � ��,�,�

� ��

!,� � �� �,� � � �

.�/ �� 1 ����� �� ���� �� � ���� � ���'��� � �� ��,�� �� ������� ������ ��%��� � ���� �� �� �� 1 � �� �� ����! �������� ����� ���������� ��%���� �� ���� � �� ��� �� � �����*

���� � ����� � 3 �,� �,� � 3�

��,� �,� � 3��� �,� � 3�

��

3

",�� � �,� � 3��

#��� � �

��� � �3 � �,� � 3

��

�� ������� ����� ������� ��%����*

����� �

��� � � � 3

",�� � �,� � 3��

#� 3� �,� � 3

�� � �

� ����*

� �,�� � �,� � 3��

��,� � ��

� �� �� �

./ �� ������ E��� +����� � ����� �� ������ �������� � ��� �������������� �� �� �� 1 �����! )�������� ����� � ���� � ��� ������� � ���������� �� �� �� ���� � ���� � � ���� �� ��'����*

���� � ����� �

���� �,�3�

��

�,�

����

,� � 3

,�

��,� � 3�3

��

��,� � 3�

��� � ���� �

���� �,���

��

�,��

����

,� � 3

,�

��,� � 3��

��

��,� � 3�

����������� '������ � ���������� � �� ���BF�� ����� � �� ��� BF�� ������������ '������ � ����� � ������ E��� �� �� � ���� �� ��,�*

�� � ����� ���� � ��� �� BF ��

Page 123: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������� �������

$�������'����� � �� ����� �� � � ���� �� �� � F�'�� � �������� ���� ����� � �� ��,� � ��� �� � ��� �� ����,�! ���� ���� � ���� ������ ����� � ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 �

�� �

��,� �,� � 3�� 3

�,� �,� � 3� 3

��,� �,� � 3��� �,� � 3�

��

���3 �3 �,� � 3

���

� ����� �� ��

$ ������ �5��� �� �� � F�'��� �� 1� ��� � ��� 9���� �� ������ ���� � �� ���%+��� �� ���,�*

��� � ��� ,���

�� �� � ��� �� BF!�

.�/ �� �%+��� ������ �������� ��% � �� 5� �� � ���� � � �� 9����� ����� �� �� ,� � ��! �>� >��

���� � ���

����,�

����,�

��

���,�

� ��� ���BF!�

�9 �$�� !,�,�

������� � �%+��� ������ E��� �� �� �� ����� ��� '��� � ��,� ���������� ��5� � � ������ , �� � ��� ��� 1� ���� ��� � ������ �� �� ����,� ���������� ������� � �!

.�/ �� ������ �%+��� �������� ���� ������� � � ���� � � � �� ����

��� ����,� ����� � � � ��� 9���� +����� .� � � ,��/! � ��*

� �����

��

���

����

��

����,

��� �����*

���� �

����,

��

� �

��,�

�� � @�

Page 124: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� ���

���� "��"� $6���� "����� ������� ����������� �����6���� � @�4��� �����

�����'� �� � ��� @� � � ��� �,� � � �����,��� �� �� ������ A� � ��

.�/ �� �%+��� ������ �������� ���� ������� � � ���� � � ����� ��%��0

����� �,�� �� ���������� ��������� ��� ��������� � � , $��*

���� �

���,�

��

� �

�,��

�� � @�

�����'� �� � ��� @� � � ��� ,�� � � ��������� �� �� ������ A� � �� ��������� �� ����,� ��� ��� ��� ������� �%+���� �*

����

����

���,

� ��

�,�

� �

�@�

@��

,

�9 �$�� !,�,�

A����� ��� �,����� �������� @��@� � ��� ���������� ��������� A�� A� �� �9�� �� D����� <!2=!

�� %�� �� �9� � ����� �*

� � � � � � � � � � � ��

Page 125: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������� �������

���� "��#� !������ ��� $6������� "���

)� ����,� �� ���� � ���'��� ���� ��������� ��*

��� �

�����

� �� � � � � � �� � �� � � � �� �� �

��� � �� � � .� � 1 � �������/

)�� ������� � ����� � �� ��,� �� �� �� � ��� 1� ��� �� ���*

�� �

� � ��

�� � �

�� � ��

� �� � �� ��

�� �

�� � �

� � ��

� � � ��

� � � ��� ���� � � � ��� ���� � � � � ��� ����� ���� �� ��

)���� ��� �,����� �������� � ��� ���������� ��������� �� �� � ��� 1���� �� ��� ������ �*

@� ���

������

�� � ��

�� ��� �� �� � A� �

@�

��

���� ��

� � � � �� ���

@� ���

������

���� ��

�� ��� � � �� �� � A� �

@�

�,

� � � ��

� � � � �� � �

Page 126: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ����� ��&

�9 �$�� !,�,!

J����9�� �%� � ��� ��� ������� � �� �-� � ��,� ������� � ���� 8���������� �� D����� <!2? � �� �%� ������ ��� �����1�� � E+�,� � � ���� '�����!

���� "��&� !�������� ��������� ��� $6���� "���"

�� ������ � ����� � ��� ��,� ������� � � ����� �� �� � �������1 �� ��� �� � ���� � ���'���� � '��

� �8�

)� ��,� �%� ������ ��� �����1�� � E+�,� ��% ������ �� ���� ������,���� �������! $��� ��� �� ��,� � �� ����,� .�/*

@� ��

8���

8�

������� �� ��� �� ����,� .�/ � ���*

@� ����8��

�8�

���

6��� �� � ������ �%+��� �������� � ��� � @� ��� ��� ����,� ����0���� � �� �� ��,� � �� ����,� .�/ �� �� ����� �� ������

�� '� �����

�� � �� ����,� .�/!

Page 127: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������� �������

�9 �$�� !,�,�

6������� ��� �,����� �������� � ��� �-�� ���������� � ��,� , � ���0���� � &���� �� � ���� .���� ����� � �,/� �� � �����1� � &���� ��������� ���� �����!

���� "��'� !�������� ������������� ��� $6���� "���#

.�/ ���� ��� ��� '���� �����1���� � &���� ��������� � ������ �%+��� � ������ ���� ������� ������ � �� ����,� �������� � � ��� 9���� +����� � �� '����� ���� .'� D����� <!2@�/� � ���*

���� � � �

��,� � �

�, �

��,� �

� ��� �� � �,���� ������� �*

@� �����

��

��,�

.�/ ���� ��� ��� '���� �� � ����� �����1���� � &���� ��� ����� � �������%+��� � � ���� � ���� �� ���� ������� ������ � � � ��� 9���� +������ ��� ��� � ��� '���� .'� D����� <!2@�/� � ���*

���� � �

�� �

��

,

�� � �

,

��

��,� �

� �� � �� � �,���� ������� �*

@� �����

��

��,�

Page 128: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ��"

���� "��*� 2����������� �� ��������� �� $6���� "���#

�� � � ���� �� �,���� ������� � ��� '���� ����'������� �� �� ����� �� �,����������� � �� '��� �� ����!

)� &���� �������� � �&������ � E+�,� ��� � ��� ��� '���� �� � �����1�� �&���� ��������� � �� � ���� �� ����'��� � �� D����� <!23!

���� "��+� 2������� �� $6���� "���#

!,� �� ��� $��� ������

� �� �� ��� �-� ��% ��������� � �#��� ���� ����� ����� ���� ��� ������� � �� ������ E��� ���&��� � �� ����� � �� ������ ������� � �� ������������ � ��� ����� ���� ��� � E+�,� � �� �-�' � ���� ��� �� � '��������� �� ����� �� ������� � ��� 1� ���� ��� � ����� � ��� ��������� � ������ � �� D����� <!4:! $��������� � ��� ��,� � ������ � �� �� �� ��������,�� ����� �&���� � ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� � ������������ �&���� �� 1 �����!

Page 129: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������� �������

���� "��-� ���4��� ��/����

!,�,� ������� 9 � $����$�� �

�� ������� ��� �-� ��� ������� � E+�,� ��� �'���� �� �� ��,� � �� �� �������� � �,���� � � ������ � ��� +����� � �������� � �� ���� ������������ � ���� � ����� � ��� ��� ���' � ���-� ��� ���� � ���� � �� ��,� .'�D����� <!42�/! 6��� ������ � '��� ������ E���

��� . � ������� �� ����

� ����/ � ��� ��� �� ����� �� � ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,��� ���� ��� �� ����� �� '��� ������ �� � ��5�� 1�* �� � � �� � ��� � � ��� �� ���� � � � %����� &������ �� � '��� ������ �� � 1 � .'�D����� <!42�/!

� �������� � ��������,�� ��� &��� �� ��� �� ����� �� � �� ����� ��� ������ ��� � ���� ���� � ���� �� � �� � ����,�!

)� �� ���� �� �� � � � ���� � � ���� ���� �� ���� � �� ��,� ���������� ��� �� ��� ����,� ������ ����� � .'� �! .<!24//*

� � ���

��� .<!4</

�� � ��� ��'���� � ������ ��������� ���������� ��� ������� � �������.� ���� ������� �� �����'�� �� ���� ��� 9���� �� �������� � 4 �/!

$�%�������� �� �� ���� �� �� � � � ���� � � ���� ���� �� ���� ��� ��,� � ��������� ��� ��� ��� ����,� ������ � '����*

� ���

��� .<!4=/

.� ���� ������� �� �����'�� �������� ��� 9���� �� �������� � 4 �/!

Page 130: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ���

���� "���� ���4��� ��/���� ������� � �6�� ����������� �� �� �������

���� "���� 2����������� �� ��������� �� @�4��� ��/����

Page 131: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������� �������

������� ��� &��� � ��� ��� �� ����� �� ������ E��� �� � �����*

� � ���

���

��

��� .<!4?�/

� �

���� �

���

��� �

���

�.<!4?�/

�����'� �� �� ���������,� � ������� ������� � ����� � �� �! )� ���������,� �������� ��% ����� � �� � ������� ��� � ������ � �� D����� <!44!

)� ���,� �� 1 ����� � ����� ��� ����� �������� � ��� ����� � ����� �� ����,� ������ � ����� � ���*

���

���

��

��� � � � ��� � �� �

���

��� �

��� � � .<!4>/

���� � �� ���,� � ��� ��� �� ��� �� � ���� � ���'��� � �� ��,� ���� ��� �����*

��� C ��

��

��

��

����

���� �

�� �

����

� ��� �����

.<!4@/

���� � � C ��� ��� %������ &������� �� � '������ � � 1 ����� �� � 1 ��

�� ��'���� .'� D����� <!4;/! �����'� �� � 1 ����� �� ������� � ������� �� ���-� �� ���� � ��������,� � ���� � ���� ���� �� �� �� ��� ������ �� ���� ��� ��� ��� ������ �� �� �� 1 �� ���� � ��� � ������ ������� ��

���� "�� � 2�;������ �� ������� �� @�4��� ��/����

Page 132: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ���

� 1 ����� ��� ��� ����� ���C � ��� � ������� ������� � ����� %����� ��'��1 D �� %����� �� &���� � '��� ������ �� �� �� 1 �����!

)�� %������ � � C �,�� ������ .D � �/ ��*

2! 7�� � ��� �� ������ �� � ��� � ����H � ���� �� � ������ �� � �� ��� ���� ���� �� � ������ � ��� ��

4! ����� � H � ���� ����� ����� ��� ������� ��� ���� ��� � ������ � ���� ������ ������� �� � �� ����,� ���!

��� �������� &� ������� �� ����� '- �� �����0C����� �� �� �����, � ������ ���,� �� �"���� � )���� � "������� � ��� ��� �� �,������ �F�'�� .2@?</!

�����0C���� �(��,� ��������� �� +��� ��� �������� ����,� �������� ����� ���-� �� ���� � ��������,� ���� �� ��� �� ���,�*

�� ���

��� �

��

��� � .<!43/

� 1 ����� ���� �� ��� �� ���,�*

��

��

��

����

� � �

�����

������ � .<!;:/

� �� �� � ����� � ����� � �� ��,� �� ��� �� ���,�*

��

0��

��

0��� .<!;2/

���� 0� ��

���� � 0� ��

����� ���1� � �� �� �� ��� ��� ������ � ���� � ����,� �� �� � �� 1� ���� ��� � �����! �� &��� � &%�� �� ����� �� ����� ��� �� ( ����� �� ��� ��� ��(����� � �� ����� �� ����� � ��� ��� ����� �� � �� ��� ����� � ��� �� � �� ���*

���� �� ���� �� � � �� �������,� ��%9� � �� D����� <!4< ��� 5����� �1 �����* ����� ���-�� �� � ���� � ���'��� � ��� ��,� ��� ������ � ���������� � �� �� � ����� � ����� � ��� ����� � ������,� � ���� �� �� ���-��� ���� � ��������,�! F,�� ��� '- �%� �� ��� ������� ��� � ��� �,�� ������������� �� �� ��� ��� ����� �� ��� � ��� 1� ���� ��� � ����� � ����,�� � ���� �� �� �� � ����� � ����� � ��� ����&����!

Page 133: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������� �������

���� "��"� 2����������� ���;�� ��� �6� ������ �� @�4��� ��/����

!,�,� < �������� A ��� $��� ������

$�%������� �� ������ ��������� � �� ������� �� �&�����,� � ��� '��� ���������� � E+�,� ��� �'���� ���� ������ � ������ E��� ������ � ����� ����� �� � ��� 1� ���� ��� � ����� � � ������ � ���� �� � �� � �0���,�! )�� ��&������ � ��� %������ � E+�,� �� ��&� ��� ������� ��&����� ���5��� � � ������ � ��� ������� �� � ��� ���� �� ��'����*

�;� ���

$��� � �;� �

��

$��� .<!;4/

���� �;� � �� ���� ��&����� ������� � � ���� �� � �;� � �� ���� ��&������������ � � ���� �� ��� ��� � ������ � �� D����� <!4=!

)� �� ����,� '������ � ���� ��� �������� ��&������ ���'�� � ��� �����,���&�����

���; � �� �����

��;���;�

�� � ��� 1� ���� ���! ���� �����,� ���

�� �,����*

�; ��

�;�� �;�� �

$

����

���

���

���� �

$

����� �

���

���� �

���� .<!;;/

�� �� ������ �� ��'����� � �� �&������ � �� ������- � �� �-� �� ������������� �� + ���,�*

= �

<�

�;

� �

$

����

���

���

����

$

����� �

���

��� ��

���.<!;</

Page 134: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ���

���� "��#� !������������ �� ����������� �� @�4��� ��/����

���� "��&� .���� �� ������������ � ����� �� @�4���

Page 135: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������� �������

��� ���� ����� � %����� �� &���� � � ��� ���� ��&��������; �� � 1 � �*

�;��;�

���

��

����

� ��� C .<!;=/

�� ����� �� �� ����,� �� 1 �����! ��� ������ �� �&�����,� �� E+�,� � ���� � � ���� ������ �� 1 ������ � �� �� � �� ������ �� ��,� ���� �� %������ '���� �; ������� �� 1 �����!

�����'� �� ��� �&�������� �������� �� ��� �� ����� �� � ��� �����0�� �� � ������ ��� ������ � �� �&�����,� �������� � ����� ������� ���� ���� ��� ��'� ����� �� �� �� E+�,� ���&��� � �� ����� � �� �-�! )� ��'����� � ���&������ � ��� ��,� � �� ������� �� ������ ������H �� �� ��� �������� E+�,� ��� �'����� � ���� ���������� � ��� � ��� '��� � ��,� ���&������ ��'����� � ������� ��� ����� ��� ����� � �� �&������ �� 1 � �� '��� � ����� � ����&����!

�� ������ � E+�,� ��� �'����� � � ����� �� �� 5� ,���� � ��������0F�'��� ��� ����� ���� � ������� ����� � �� �&�����,�� ������� ��������� 1 ����� � ����������� � �������� � �� �&������ � �� ������-! ���������� � ��� ��� � ������ � �� D����� <!4?� �� �&������ �� 1 � �� �-�� �� ��� � ����&����� ������� � � ���� ������ �� 1 ����� ��� � �������� ��� �� �� � ���� � ��������,� .� �� ����� �� ������ E��� ������/!6 �5� � ����� � �#��� ����� ��� �� �� � � ��������,�!

�9 �$�� !,�,�,�

7�� ��,� ��������� � ��5� � � �� � � ������ , � �� � ��% ������� � ����,� � �� ������ E��� �'���� ������� � � ���� � ��� � ��� ���������� �� ��,� � � '���� � � �� BF��! �������* .�/ �� ����,� �� 1 ������ .�/ ���������� �%+���� � ./ �� ��'����� � �� ������- � �� �������� �� � �,���� �%����'�� $ � �� 8��!

.�/ ��� �� ����� ��� ������� � ����� � �� ��,� �� �� � ��� 1� ���� ���� ����� ���*

�� �

�,�� �

��� � ��� � ����� ��

�� �

��,� �

��� � ��� � ����� ��

Page 136: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ��&

���� "��'� !������ ��� $6���� "� ����

��� ���� ����� � �� ������ �� � ������ ��% ������� � � ���� � ���������� �� ��%����� � �� ��� � ������ � �� D����� <!4>� ��� �� ����� �� ������E��� �� �� � ��� 1� ��� �� ���

�� � � ���� � �� � ��

� �� BF!�

�� � � ���� � �� � ��

� �� BF!�

��� ������ �� ���,� �� 1 ����� �*

��� C ��

��

��

��

����

� ��� �����

��

�����

������

���� �� '�� � �� D����� <!4@�� � 1 ����� ����� � �� ��� �� �� ������������ �� ��%������ �� ��� �� ��� �������� �� ������ ������� � &������%9�� ��� ��� � ������ � �� D����� <!4@�! ���� ���� � ����1� �� �� � ����� ������ � �� ��,�� �� ���1� ������ � ��� ����� � ����� 0� �

����� � 22�=<> �

� 0� ��

���� � �� �� �� � � ����1� � 1 ����� ��� ��%���� ��1����� � ������,� � �� ���-� �� ���� � ��������,�!

.�/ 6��� �� ����,� �� 1 ������ ��� ������� �%+���� � ��� � ��� ����� �

� �� � ��� �� ���� ���� �� �%+��� �� ���,� � ����,� �� ��'����*

� � ���

����

��

����

� � �� � �� � � ��� �� ��

�� � ��� � ��� ���� �� �� � � � #��

Page 137: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������� �������

���� "��*� ���������� ��� $6���� "� ����

� � ���

����

��

����

� � �� � �� � � ��� ���� ���

�� � ��� � ��� �� � �� � � #��

)� ���� ������ ���������,� � ������� �� '�� � �� D����� <!4@�!

./ �� '���� � �� ��'����� �� ������� ���*

= �

$

����

���

���

���

�� � ��

���� � ������ � �����

��� � ����� � � ����� ��� � �� ���� � ��� ���

�� �� ���� ��� � �� ����� � ��'����� � < � ��� �!

!,�,� ������� ��� ���

� �� ���� �� ������ � �� E+�,� ��� �'���� � &���� ������ ��� ������� ���� ��� � ������ E��� ������ � �� ����� �� � ��� 1� ���� ���� �����! ���������� ��� ��� ��� ������,� ��� �� �������� � �� D����� <!43������ � � C ��� ��� %������ &������� �� � '���

��� � � 1 ����� �� � 1 ��

Page 138: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ��"

���� "��+� $������ ������� �� �� @�4��� ��/����

�� ��'����� � D � ��C �� � � � %����� � �'��1� � ���� � %����� �� &����� '��� ������ �� �� �� 1 �����!

$ ����� �� 5� ,���� � ��������0F�'�� � �&�����,� ���� � ��� ������������ ������� �� 1 ������ �� ������,� � ��� 9��� �� ��� �� �� ���� :

���������� � �� ��,� �*

�� � �E

<.<!;?/

���� E � �� �������� �� ���� ��������� �� 1 ����� .������ �����'� �� � ������% � �� -��� �� ������ � �� ��,�� � �����'� � ��� ��������� '� D�����<!43�/ � < � � ����� � ��'����� � �� �&������ � �� ������- � �� '���! �� ��� � �� �� � A��B� �� ����,� ������ � ��5� 9��� '���% ���� ��*

� � $ �� � �$ E

<.<!;>/

Page 139: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������� �������

���� $ � � �,���� � ��������� �� ������� � �� �-�! ��������� �� ���������,�� ������� � ��� �� �� �������� �*

. � � �

��� �� � �

��

$E

<�� � �$

<

��E �� .<!;@/

�� �� ������� �� � 1 ����� ��� �� � ���� � ���'��� � �� ��,�!�� ������ �������� � ��� ������� �� �� �� 1 ����� ��� �*

���� � ���� E �� �

��

$E

<E �� �

$

<

��E� �� �

$ ����

<.<!;3/

���� ���� �� �� ����� � �� ����,� �� ������ E��� � ���� � 1 �����.���� � � ��� D� '� D����� <!43�/ � ���� � � ������ � ����� � �� ��,��� �� � ��5� 1!

6 �� + ���,� ������� � ����� � '���� � �� ��'����� � �� ������-*

= �

<�

����

$����

.<!<:/

���� + ���,� � �� ��'����� � ��������'� � �� ������� � � � ������ �����������,� .<!;</! ���������� � ����� � ��'����� < � ��� + ������ .<!;>/ � .<!<:/�� �����*

� � �����

����

E .<!<2/

���� � ��� &,����� ��� � %���� � ������� � E+�,� �'���� ��������'� � �����,� .<!4?�/! �� ��� ������ '���� �� ��� ������� ��� �� �������� � ���������� �� 1 ����� .�� � F�'��/ � ��� �� ������ ��� ������� �%+���� � ���� ��� 9���� �%� ��1���� � ��5� 1� ��� ��� � ������ � �� D����� <!;:!

�����'� �� ��� � ��� � �� � �� �� � ��� � ��� 1� ���� ��� ������� ��� &,����� � ��� � ��� �������� ��� E+�,� ��� ���*

� � ��� �

��� � �

�� �

��.<!<4/

�� � � '��� ������ � �� ������ �� 1 � � �� 1 �� �� ��'����� � ����� ��'���� � ������ ��'�������!

)� + ���,� .<!<2/ ���� ������ � '���� � ��� ������� � �� ��,� ��� ��� � ���-� �� ����,� �� 1 �����! O��� �� ��������� ������� �� ������� �������� � ��� ������� � �� �� �� 1 ��� � ����! �&��'������������� � � �� �������� ��� � ���� : �� 1 ��� .'� D����� <!43/� � ���*

� �

��� � �� � �

��

����

����

E � �� � �����

����

��E � �� .<!<;/

Page 140: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ���

���� "� -� 2����������� �� ��������� �� @�4��� ��/����

� ���� � ��� ���� E � �� � �! $5��� ���� ���� �� D � � %����� �� &�����

��� �� ��� ��� � 1� �E� A� � � �� �� � � ��� �� E � � ��� D � ��� D� � �����*

� �

��E � �� �

��� � ��� D � ��� D� � �� �

� ��� D ����� ��� D �� .<!<</

� ����

��� D � ��������

.<!<=/

�� �� ������ � ������ � ���( D� � ����� � ��� ������� ����� ��� � �� ��,��� �� � ��� 1� � �� ��� �9����� �� � ���� � �����,� �� ������ .����� ������ � ������ � �� D����� <!43/!

�9 ������ !,�,�,�

��� ����� �� ��� + ������ �������� � � ������ ����� � �� E+�,� �'���������� �� ��� �������� � � ������ � ������ � ���� �� � �� � ����,�!

.�/ )� �������� E ��� �� ���� : � �� ��,�� � ��������� :��� �� �� ��� ��� 1� ���� ��� � ������ �� 1 ����� ��� ���,� �*

���

���

��

��� � �

Page 141: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������� �������

� ����� &%����� ���

E �� ��

���

��

���

�����

������

���

���� � ��� �� � ����� �����'� ��� E �� � ���� : ��% � �� -��� �� ������ ��� ��,�� � � �����'� � ��� ��������!

.�/ ��� ������ ��� ��� + ������ ��������'�� �������� ��� �� �� � �������*

� � ���

���

��

��� � � � �����

����

E

� ��� ��� + ������ ��������'�� �������� ��� �� ��'�����

= �

$

����

���

���

���� = �

<�

����

$����

� '���� �� + ���,� ��%����� � E � &���,� � ��� ��������� :��� �� �� �� � ���1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� � �� ���� �� ��� + ������ ��������'�������� +������ �� � ������� ��*

����

����

��

���

���

���

���

./ ��� ��� %������ �� C � D ��� �9����� � �� D����� <!43�� � ���* � � � %������� � '��� ������ &���� �� � 1 �� C � � %����� �� � 1 ����� &���� �� �1 �� � D � ��C � � %����� � �'��1� � ��� � %����� �� &���� � '��� �������� � 1 �����!

��� ��� ���� � ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 ������ � ������ ��� ������� ���� ��� � ������ �*

���� � �� ���C �� ����C � ��� ��� �C

� �� ���C �� ����C

�� �� ��� 1� ��� �� ���� ��� � ����� .��� � �/! ��� ���� ���� �� ����,� �������� �� � � 1 ����� �*

���� � � ��� D

� � �� ��� C�

� � ��� � �� C ��� � ��� C�

� �� �� C �� ��� C

Page 142: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ���

./ �� %����� C �� ������� � &���,� � ��� �� ����� ���� ��� ��������! �� &��� � ��� ��*

��� C ���

��

����

�� �� �� �����*

��� �C �

���� C�

��� �

��

��� �

�� ��

� ���

��� �C � � ���� C ���� �

��

��� �

�� ��

� ���

.�/ 7����-���� ���� + ������ � � ����� � ��� ��*

����

����

��� �� C �� ��� C

�� ���C �� ����C

���� �� ��

� ��

��� ���

�� ��

� �����

� ��� �

�� ��

� ���

���� �

�� ��

� ��� �

����

���� �

�� ��

� ���

� .�!!�!/

�� �� ������� �� ���'����� ��� ��� + ������ 5������� � � ������ � �� E+�,��'���� �&���� � ��� 1� ���� ��� �� ��� �������� � � ������ �����!

�9 ������ !,�,�,�

6������� �� � ������ �������� � �� ���������,� � ������� ������� �������� � ������ ����� � E+�,� �'����� ���,� .<!<2/� � ����� �� ������ E��������� ���� �� ��,�!

)�������� ���� � ���� � ��� �� ����� ���� �� � � 1 ����� ��� � ��

1 � ������� ���� �� ��'���� .'� D����� <!43�/! )�������� �E� A� � ������������ � ��5�� 1� � �� ���� ������ � �� ��,� : � ��������� ��� ���� �� � ��� 1� ���� ��� � �����!

Page 143: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������� �������

�� ������� �� 1���� ���� ��������� �� � '��9�� ��� ������� � ���������������*

���� � ����E �� � ���� �

���A ��

��� �� ���������,� � ������� ������� ������� �� ������ ������ ��� ��

� � �����

����

E

.�/ �������� ����� � ������ �������� � �� �� � ������� �� �� ��1 �����* �

��E �� �

�������

����

E� ��

� �����

����

��E� ��

� �����

����

����

� ����� .�!!�/

.�/ �������� �5��� � ������ �������� � ��� ������� �� �� �� 1 �0 ������� �� 1 �����* �

��A �� �

�������

����

EA ��

� �����

����

��EA ��

� �����

����

���

� ���� .�!!�/

�� &��� ��� ��� %������ �� C � D ��� �9����� � �� D����� <!43�� � ���* � �� %����� �� � '��� ������ &���� �� � 1 �� C � � %����� �� � 1 �����&���� �� � 1 �� � D � � � C � � %����� � �'��1� � ��� � %����� �� &���� �'��� ������ �� � 1 �����!

��� ��� ���� � ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 ������ � ������ ��� ������� ���� ��� � ������ �*

��� ��� � ��

���� �C � ��� ��� �C

� ��� � ��� ��� C �� C

Page 144: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ���

�� �� ��� 1� ��� �� ���� ��� � ����� .��� � �/! ��� ���� ���� �� ����,� �������� �� � � 1 ��� �*

���� � � ��� D

� � ��� ��� C�

� � ���� � �� C � ��� ��� C�

� �� �� C ��� ��� C

7����-���� ���� + ������ � � ����� � ��� ��*

����

����

�� �� C ��� ��� C

��� � ��� ��� C �� C

������� ���������� � ��� ���� ����

� ��� �

�� ��

� ���

���� �

�� ��

� ��� �

� �

�� ��

���� �

�� ��

� ���

� �����

����

.�!!�!/

���� � 5�� ����� ��� + ������ �������� � � �1���� ������� ��� ���C � ���C���� ��� � ��������*

����

����

�� ��

���� �

�� ��

� ���

������� � ��5� �1����!���� ����� ��������,� � �� ������ ������� � �� &����*

��� D �����

����

� � �������

���� D � � %����� � �'��1 �� &���� � '��� ������ �� � 1 ����� .'�D������ <!43� � /!

�9 ������ !,�,�,�

6������� �� �� ����,� �� 1 ����� ������� � � ������ ����� � E+�,��'���� ����� �� �� ������� � � ������ �� � ��� 1� ���� ���!

Page 145: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������� �������

)� �� ����,� �� ������� ���� ��������� �� � �� ���� ��

��� D � ��������

� ��� ��� C�

������ �

��

��� ��� C �

��

��

����

����� � ��'�� ��� %������ �� C � D ��� ��� �9����� � �� D����� <!43�� � ���* �

� � %����� �� � '��� ������ &���� �� � 1 �� C � � %����� �� � 1 �����&���� �� � 1 �� � D � � � C � � %����� � �'��1� � ��� � %����� �� &���� �'��� ������ �� � 1 �����!

���������� ����� ��� ������� � ����� � �� ��,� �� �� � ��� 1� ��� ��

�9����� �� �� ��� ��� � �� ����,� �� '��� ������� � �� � ������� � ��D����� <!43! �� � � %����� ��� ��� 1� ��� �� � ��� 1� ���� ��� � ����� ��� ��!� ���*

�� ��� ��

�� � ���

��� ������ ��� ��� �����

��� ��� ��

�� �� � ��

���� ����� ��� ��� �����

����� ��� � ��

���� ����� ��� ��� �����

�� ��� � � �� �� ��� 1� ��� �� ���� ��� � �����! ��� �����*

�� ��� ��

�� � ���

��� ��

��� ��� ��

�� �� � ��

���� ��

����� � ��� � ���

��� ��

����������� � � �����*

��� D � ��������

���� � ��� ��� ��

��� ��� ��� � ��� ��� ��

���� � ��� � ��� � ����

��� ��� ��� � ��� ����� �� ���� ��

���� � ��� ����

�� �� ���� �

������ ���C

���� ���C

� ��� ��� C� .�!!�!/

Page 146: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ���� ��&�� � ��&

�9 �$�� !,�,�,�

"���'� � �1� �� <!;!4!2 �����-���� ��� &,������ �������� � � ������ ����� ��� E+�,� �'����!

���� "� �� ���������� ��� $6���� "� � ��

.�/ ��������� ����� ��� ������� � ����� � �� ��,� �� �� � ��� 1���� �� � �9����� �� �� ��� ��� � �� ����,� �� '��� ������� ��� ��� �������� � �� D����� <!;2�! � ���*

�� ��� ��

�� � ���

��� ������ ��� ��� �����

�� ��� ��

�� �� � ��

���� ����� ��� ��� �����

����� ��� � ��

���� ����� ��� ��� �����

����������� ��� '����� ���� �������* �� � � � ��� ��� �� � � � ��� ������ � � � � %����� � � �"���� ����� .��� �� � �� ��H��� �� � �� ��/� � ���*

�� � � �� � ��� �� � �� � �� �� � ��� �� � ����� � �� �� � ��� ��

Page 147: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������� �������

��� �� ������ �� ����� �� 1 ����� �� �� �� '��� ������ �*

��� D � ��������

� � �� �� � ��� � �� � ��� � ��� �� ��

�� �� �� � %����� � �'��1 � D � � �� ���� ��� ��� � ������ � �� D����� <!;2�!

.�/ �� ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 ����� �*

���� ��� ��

�� �� � ��

���� ���C� ��� ��� ���C�

� � �� � ��� ��

�� C � �"���� ����� � ����� C � ���� �� ��� ��� � ������ � �� D����� <!;2�! ����'�� �� ���� � ��

��� ���� ���� �� ����,� �� ������ �� � � 1 ����� �*

���� � � ��� D � �� � �� �� � �� BF!�

6��� �� ����,� �� 1 ������ ��� ������� �%+���� � ��� � ��� ����� � � �� ���� �� ���� ���� �� �%+��� �� ���,� � ����,�� �� ��'����! )�� ���������� ���� ����� �� 1 ����� ���* E� � � ���� � �� �� E� � �� ���� � ��� �!)�� ������� � ���� ����� '���*

� � �����

����

E�

� � �� � �� � �� � ��� � �� ��� �� � � � #��

� � �����

����

E�

� � �� � �� � �� � ��� ���� ��� �� � � #��

)� ���� ������ ���������,� � ������� �� '�� � �� D����� <!;2�!

./ �� '���� � �� ��'����� �� ������� ���*

= �

$

����

����

�� � ���� � ��

� �� � ��� ��� � �� ���� � ��� ���

�� �� ���� ��� � �� ����� � ��'����� � < � ��� �!

Page 148: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ������ ��"

!,! �� ��� ���$�

� 5� ����������� � �� �� ����� � ������ �� ��� � ��������,� �� � 5� ���0������ �#��� ����' �� ���� ��� � ��� �� � ������� E���� ������� � ������� � �� �-�! ��� ������� � �� � � E+�,� �%� &���� � '���� ���� ��&��-�� ������� � �� 1 � � � �#��� ����� � �� �� �� �� � ������� E����� '������! ��� ��� �� ����'��� � �� D����� <!;4� �� '�����,� �� ������E��� +��� �� ��������� � �� ������� ��&������ �� ���� ��� ����� � �� �-� �� �� �&��-� ������ � �� �����*

/� � � ���

� � /� �

���

� .<!<?/

�� �&��-� ������ �� ����� � �� � ����,� � ����������� �������� � ���������������� � �� ��,�� ��� � '�% � � �� ����� ���� ������! ���� ��0����� � �� +������ � ���� ����������� ��������� ���%� � ������� ������������ � ��� 9���� ������������� �� ��� � �� E+�,�� � ���� ���� �&��0���,� � ��� ����� �����! ��� &�,���� �� �� ����'��� � �� D����� <!;;�� ��� �� � ����� � ���!� � ��� ����� ����! 6��� �� ��� ����������������� �� �� E+�,� ��� � ����� � �� 5� ,���� � �� ��� ����� ����� ������ � ���� ��� ������ �� 5��� �� ������ � �� ���� ��������� ���� ����� � � ��� � �� ��� � ����-�!

���� "� �� $%�������� �� ������ � ��������� �� @�4��� �����

Page 149: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!+ �������� � ������� �������

���� "� � 2�������� �� @�4��� ������ 0�1 ��� ������9 0�1 ��������� ��������� � 0�1 ��������� ��� ������

���� "� "� $��������� �� ��� ;���� �� @�4���� 0�1 ��� ������9 0�1 ��� ������ � 0�1��� ������

Page 150: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ������ �!�

�� � ��� � �� E+�,� ��� �� � ����� �� &����� ���������� � 2��������6����' �� + ��� ��

)�� ��� � �� ���������� ���#��� #�������� ���!� � �� ������� ���' ��� ���$���� � ��� ��� ������� � �� ���� ������ ��� ����� ��� ��� ����*+

���� 5� ,���� ������-��� ����� � ����� � ��� ����� ����� �� �� ���� ���!� ������� ��� ��� ����� �,+����! �� ��'�� �� � ����� �����'� � ������ �� ��,� ��� � ���&��� � � �&��-� ������ � ������� � �� ����� � �� �-�!�� ����� ����������� �� 5� ,���� ������-��� � �,�� ��� ����#��� ���� ��������� ������ ���� ��� �&�������� ������������� �������� �� � �&��-� ��������� ��5� ����� �� ��� �������� �� � ������ E���! )� � ��+����,� ������ �1�� ����� ���� �� �� ����,� ����M��- � �� �-�� � ���� ����� �%������ �� ����! ���� �-�� ������ � &�� �� ����� � �� ������ ������� �� ��� '���� � � ��� ������� � ����� ��� �� ��� ���� �� �������!

�� � ����� �� 5� ,���� ������-���� ������ �� � � ������ � �� D����� <!;<� �� ��������� �� �� ������,� � ��� 9��� ��� ��� �� ��� �� � �&���������� � ������ .�� �����/� � ������� � �� ������,� �� � �������� �� ���&�����,� &�� ��� ���� .��� �����/! 6��� �� ����� ��� + ������ �������� ��� �� E+�,� ��� � ����� � �� �������� � ��� ��������� ������������� � ���9����� � ��'�� �� �� � ����� �� 5� ,���� ������-��� � �&�����,� � ��������0F�'��� �� ��������� � ��� + ������ 5������� ��� � ��� � �� E+�,� ��� ���+����� �� ��� �%� ����� � �� E+�,� ��� �! $�� �� 1� ��� � � ��� �E+�,� ��� � �'���� ��� '%����� ��� + ������ �������� ��� �� �� � �������.���������,� �����/*

� � ���

���

��

��� .<!<>/

� ��������'�����

� �����

����

E .<!<@/

� ������� �� �� �� ������ �� ���,� �� 1 �����*

��

��

��

����

.<!<3/

� ��� ����'����� �����'�� � ��5� 1 �� � + ������ � � � ������ ���� �����0�! ������� ��� '%����� ��� + ������ �������� ��� �� ��'����� � �� �&������� �� ���� ����

= �

<�

�;

�6�

$

����

���

���

���.<!=:/

Page 151: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!� �������� � ������� �������

� ��������'�����

= �����

$����

.<!=2/

��� �(����� ��� ������� �� � E+�,� ��� � �� �&������ � �� ������- �� ��� ��� � ����&����� �� �� �� ��'����� '�����% � ��,� � ��,�� �� '������ ������ E��� ������! �� ������ ��� �&������ �� ������� ��% ��� ��'� ����� ���'� � � ��� � �� �� E+�,�� ����� '������� � ����-� ��� � �� � ������ ���� � ��������,�� ��� ��� � ������� �� 1� ��� � �� D����� <!;=!

�� � ��� �������� � E+�,� ��� � ��� . ���� � ��������,� ������� ���0 � �� ��� � ��� ����� ���� ��� � E+�,� � �� �-�/ ��� + ������ ����������� '%������ �������� ��� ��9����! �� �� ���� �� �&������ � �� ���� ����� ��������� ��� ��'� ����� �� �� � ��'����� �������!

���� "� #� ���4��� ����� ��� ����� �� ����� ���������

�9 �$�� !,!,�

� ���� ���� �� ��,� � ���� �-�� ����%���� ��� �����-�� ��� ����� ��� �1��� � ����� � � ��� � ��� �� � �� �9� �������-��� ��F @: .��5�8 � ����� ������ � � �� ��� �� � ��� � ��� �� � �� �� ��/ � � ��� ��,� ���������������� .��5� 8 � ����� ������ � � ����� � ��� 3 � ���� ��� ��� �� ������ �� � ��/! 6�������* .�/ �%� � ���� � �� �%� �������� �� ����� '�� � ������������ � ���� '����� ������ � .�/ � '���� � � ��� �� ����� ������������ � ����� ������!

Page 152: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ������ �!�

���� "� &� !�������� ��� $6���� "�"��

.�/ )�� ��� ����� ���� ��� ������ ������� ���� ��� � �����! )���� ����� �� ������ � '����� �� � ��� 1� ���� ��� ��� �� ���*

�� � � ���� � �� ����

�� � � ���� � �� ����

* ���� -�B +C )� ���,� �� 1 ����� ��� �� ������ � �*

��� C ��

��

��� �

�� �

����

��� ���

�� ���

��� �

�� ��� �� �� � C � ������ ���

)� ����,� �%+��� � ���� � ��� ����� �%� ��1���� �� 1 ������ � ����� ��� ����� � � � .D����� <!;>/� � �� '���� �� �������� ��� �� ������ �

QBF!�R ���*

� � ���

����

��

����

� ��� ��� � ������ � � ��� �� � � ��� �� ��� � ���

�� �� � ��� ���� � ���� ��

� � �� ��� #�� .�� ���,� �%+���/

)� ����,� � � ���� � ��� � ����� '���� ��������� �� � � ����� ��������� ����� ���� ��� � �� �%+��� ����,�!

* ���� '�/����C )� ���,� �� 1 ������ � �� ���� � ����� �*

��� C ��

��

��� �

�� �

����

��� ���

�� ���

��� ��

�� �� � �� � C � ��� �� ���

Page 153: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!! �������� � ������� �������

���� "� '� $6�� ������� � ������ �� �4�� ������� �� $6��� "�"��

)� ����,� �%+��� � ���� � ��� '����� � � � � �� ��,� � �� '����� ����� ������ � QBF!�R� � ����� �*

� � ���

����

��

����

� ��� ��� � ������ �� � ��� � � ��� �� ��� � ���

�� � � ��� ��� � ���� ��

� � �� ��� #�� .�� ���,� �%+���/

)� ����,� � � '���� � � ����� � '���� ��������� �� � � ����,�!6 ��� '����� � ��� ������� �%+���� ��������� � ����'� ��� ��� �� �����0

���,� ���������� �� ��,� ������� � �� ����� �� � �9� ��F @:� ����� ����&���� �� ���� � �� � � � ��+��������!

.�/ ���� �� %����� � ��������� � �� ������*

� ���

���

��

���

� �

���� �

���

��� �

���

�����,� �%+��� � � �9� ��F @:*

������ � �

���� �

��� ����

��� �

�� ������ �

�� ��

Page 154: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� �� ���"�� ������ � �����)� ���&����� �!�

����,� �%+��� � �� ��,� �������*

������ � �

�� �� �

��� �����

��� �

�� �����

�� ��

��������� � ���*

��� ��� �

��

�� ����� � �

��� ���� �

�� ���� �

� ����

��� � ���� �

�� ��

�� �� ���

�� � ���� �� ���� � � � ����� ���

��'������ ��� %������ ��&����� � � � ����� ���� �� ��F � �%� �������� ���� ��� ����� �,���� ������� @� ���� %������ �� ����� � � � ����� ���� ����,� ������� � �%� �������� �� �� ��� ����� �,���� ������� @�

!,� �� ��� $� ��� $���� � $ .� D� ���������

$���� � � �� ����� 4 � 5� �9���� � �� �� � �-� ����%��� � ��� &������ ����� � ��� �-�� ��'��� � ���� �� + ����,� �&��� � �� E+�,� � 5� ��������� � � �� 5� ,���� � �� �� ������- � �� �-� �� ���! �� '����� ��� ��������� ��5�� ���� �%���� � ������ ������ � �-�� � ������- ��������� ��'������ �� 1� ��� ��� ����! 6 55�� �� F�'�� � �� , �� ������ � �� E+�,� � �-�� ����� � ��(� ��'����� � �� ����� ���,� � �� ����� � "������� �#������� .2@4?/� ����� ������� �� ������ �� � %���� � ���� �������� ������� � ��!

69����� ��� ���� ����� � �$�7� �������� ������� �-�� � ������- ���� � ��� �� �� ��'����� ������� =� � �<�� � �� ����� &��� �� ���� � �� �-� ,� � ���� , 55 <�! �� ������� �� � �� �&�����,� � ��� � ���� �-��������� � �#��� � �� � � ����� � '%���� �� 5� ,���� � �&�����,� � ��������0F�'��� � ���� ��������� �� �� ����� ��� � �������� � �� ������- � �� �-�.'� ���,� .<!@//*

�=� �

<��

<��

��

$��.<!=4/

���� <� � <� ��� ��� ������ � ��'����� � �� ������- ���� � �� ��� � �� �&����0�,�� �� ��'����� �� � � ������ E��� ������ ���� � ���� �� ����� ��� ������- � �� � � ������ � ����� ���� ������! �� ��� ������,�� ��� &,���0��� �������� � �� �� ����� ��� �-�� ���� ��� ��� ���� � ��+����,� ��� �

Page 155: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!% �������� � ������� �������

���� "� *� 2����������� �� ��������� �� ���3�� ���/�� ���C� �� ����,� �� D��8���

������ � �-�� ����� � ��(� ��'�����! �� ��������� � '%���� �� + ���,� ��� �� � ������� .�� � F�'��/�

� � ��� �

��.<!=;/

� �� �� �������� �� + ���,� �� ���� �����'� ��� ����� ��9������� �,+����*

�;� ���

$���6 .<!=</

��1� ��� ������ 5� ,����� ������� ��� ������-���� �� ��� � �-�� ����� � 0��(� ��'����� ��� + ������ �������� ��� �#��� ����� � �-�� ����!

�� �� ��'����� ������ � �� �-�� =� � �<�� �� � �� ����� &��� �� ���� ��� ������ ��� &,������ �������� �� ��� �����&�������! �� �� ���� � �� ���� ������� � 5����� � �#��� � ���� ���� .2@=@/! �� �� ������ S��B�� ������ ��5� ,���� � �� ��� ����� ���� ����� ����� � �� �&�����,�� �� ���� ���� ��� ����� � �� ��'����� ������ � �� �-�� ��� 9���� ������������� ���� ������� ��&����� �� ���� �� ����� �������� �� �� ������ ��� �&�������� �������� �� � ����� � ���� �� �� ������ ����� � � ����� �� �� ( �����!�� �� ���� �� ���������,� � ������� �� � ����� � � 1 ����� �� ��� �� ����� � ���'��� � �� ��,�� ��� ��� � ������ � �� D����� <!;@!

!,% * ���� � � ������ ��� ���� �

���������� ��� �-� &������ �� '����� �������� � &���� �� ��� ����9�� ������� ��� ������� � �� ������- � �� �-�! ���� �� ��� � ������ � �� D�����<!;3� �� ��,� ��� � �� �-� ��% ��'����� � '����� -���� ��� ���� ������� ��� ������� �� ��� �� �,���� �%���� $�� ��� ��� � ��� ���� ��� �� %�� ��!

Page 156: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� �!&

���� "� +� !������ �� /����� ��������� ������� � @�4���

�� ��� �-� � ��� �������-� � �� �� � 5�� ������� ��� ���� ������������������ � ��� � .'� ��,� $!4 �� $ ���� $/� ������� � E+�,� ����� � ��� � ��� ����� ���� ��� � ����� �%���� �� 1� ��� � �� ������E��� �� ������� � � ���� �! �� ������� �� �� �&�����,� � �� �-� �������� �� � �� 5� ,���� � ���������0F�'�� � ����� ��%���� � ��� ���� � ��� �-�� � �� ��� ������� .'� D����� <!;3/! �� �� ���� ��� ����� ����� ����� � �� �&�����,� � �� �&�����,� ������������ � ��� 9��� ��% �� ������� ��� �������� $� � ���� �� 1 ������ ������ �� 1 � � � ����,� �� �5��� ���������� ���

�� � � $�<�

.<!==/

�� ��� ��������� �������� � �� ��,� �� �� �� �� � A��B� �� ����,� � ��� 9�����%

��$ �� � � $ �� .<!=?/

���� $ � � ��� ��� �� ������� � �� 9��� ���� ������! $� �� ���� � �+���� �� � ���� �� ��,�� �� �����&��,� � �� ���� ������ ���,� � ��������������� +�� ��*

. �

��

� �� �

��

� $ �� �� � �$

<�

��

$� ��� � � ���

$� ��� � � .<!=>/

�� �� ���� ��� �� � 1 ����� ��� �� � ���� �%��� � �� ��,�� ������ � ������� �� � ���� 1 ���� �� � ����� �%��� � �� ��,� .1��� � $� � �!

Page 157: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�! �������� � ������� �������

��������� � ������ �������� � ��� ������� �� �� �� 1 ������ � ����%*

�� � ���� � �� �

$

<�

��

�� ��� �$��<�

.<!=@/

� ����

<��

��

$��.<!=3/

+ ���,� �� � ��� � �� ���,� .<!@/ ��� ����� � �� ���� �������!���������� ��� + ������ .<!=?/ � .<!=3/ � ��� �� �� ����,� � �� ����

�������� � �� ��,� '��*

� � $ �� � � ��� �

��.<!?:/

)� + ���,� ������� � � ���'���� � �� �� � F�'�� ��� ����� �� �����H� �� ���� �� �� � ������� � ����� �� ���-���� ��� ��� � ������ � �� D�����<!;3!

C���� �� ������ �� ��� + ������ �������� ��� E+�,� ��� � �-�� � �� ��� ������� ��� ������-��� �� ��� � �-�� � '����� ��������! $�%����0��� �� 5��� � � ��� � E+�,� �'����!

�� ������ �(���� �� ��� + ������ �������� ��� '%����� �� � �� �� ��� �0�������� �%����* .�/ �� �� �&�����,� � ��� ����� � ���� .5� ,���� � ��������0F�'��/� � .�/ �� � �� ��������� � ��� �������� � �%���� ����� .�� � A��B/!���� �� � �� �� � ���� �������� � ������ �� �� ���,� ��� ��� ��&������������ � �� �-� �� �� ��9������ ������ ��� ��� �� ���� � �� ������ ���� ��� �� � ����-�� ��'������� �����'�� � ��� ����9��! ���� �� ��� �� � ������ ��������� � '���� � ��� ������� �� �� �� ��9������ ��1���� ��� �� �� � ����-�� &�,���� �� ������� ���� ��� �� E���� �%����.� � ��� �� ���/� � �� 9�����,� � ����,� � � � ���������� � �� ���,� .� ���� �� 5�����,�/!

���� ���� ��� ��� � ������ � ������ �� �� ��������� � �-�� �� ��0��� �� '����� �������� � �� ��� �� �1� &��� �� ���� � �� )����� � ���� �������� �� ��� 5� ,���� � ������� ������� � ��� �� ������!

��� 1� ��� ��� '���� � 5�����,� ������ ���� �� �� ��������� ��� ��&0��� �� ���� �� ����! )� ��1� �������� � ����,� �� 5�����,�� � ����,� � ���������� � �� ���,�� 5� �� �� 5� ,���� � �� ��������� �%���� �� +����0����� ����'�����! �� �� �%���� ��� �� ����� �� ������ �� � ������� 5�����,� � ������� ������� � ����,� � � � �� �� ���� ����� � 9�����,�� ��� ������ ����������! ����������� � ��� ��� ������� � ���(� ��

Page 158: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� �!"

� ����� � �� ��� ���� ����� ����� � �� ��� . �� 1� ��� ��� ���������������0��'�����/ � �� � ��� ����� �����!� � ��� �������� �� �����!$�������� ��� ������ ������ ��� ������� � �� ��������� ��1���� �� 5��0���,� � � ���* ��� � ������ ���������� %���� � ��� ��������� � ����1 � ���� ���������� �������� �!

���� ����� �� ���� � ����� �� ������� � '���� �� ����� �� � �����-�� � �� �%���� ���� ��� ��� ���� ���8� &� �� � ���� � ���������� ��� �� ����� �������� � ���� ���� �������� � �����-� � �� '- �� ������ ��!

�9 �$�� !,%,�

)� ��,� � ��� '��� � 5�����,� ������ � ���������� � ���� , � �� � ���5� � � �� �� � ��% ������ �� < ������� � ��� � ��%���� ; � �� ��������� �� �� ���������� 0 � � �� ����� ��� ��� ����� � ��� ������� ��� ��� � �� '���! )�� �,����� �%����� �� 5�����,� � �� ��� ��� $� � �� 8�� �$� � ��� 8��� �� ��'����! � �� ������* .�/ ��� ����������� �%���� ��� ��,�� .�/ ��� ������� ���� � 5�����,� � � ��� ��� �� ������ E��� �1 5���-����� �� � � BF� � ./ � ������ �����'� ��� � �� � ����� �� 9�����,��� �� �������� � ����,� �� 5�����,� � F� � � #��!

���� "�"-� :��� �� )������ ����� ��� $6���� "�&��

Page 159: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������� �������

.�/ �� %�� � ��� � �� � � �� � ����� � �� �� �� �� %�� � 5�����,�� �� � � � , � �� � ���� �� �� ������� ��� ������� � �&���� � 5�����,�.$ � $�/� ����� �� � �9��� � ���'����� �� ��� � �� � $��$� � �

$��%�� � %�� 5������-��� � �� ��,� '�� � � �� ���� � ���� � ��

�� ���� �%��� � �� ��,� ��% � .'� D����� <!<:�/*

�� ����� � � � ��� � � �� �� � �� ��

���� �� � � ��� �

������ ��� � ���� �������� �� ��%����� � �� ��,�! �� ������ �%���� ����� �� �� �� 1 ���� �� �%��� 5���-����� .1 �/ �*

�� �

��� � ��� �� � �� � � � ����� ��� � � �� �� � ��� �����

� ������ �� ��

.�/ $ ������ �� &,����� .<!?:/ � ��� �� ��� ������� �%+���� � � 5�����,����*

� � � � � �� � �� �� � ����� �� � ��� �� � � � ��� #��

�� � � � �� � �� �� � ���

�� �� � ��� �� � � ��� #��

� �� ���,� � ����,� �� ��'����! )� ����,� � � ��� �

� � � � � � �� � �� �� � ���

�� �� � ��� �� � ?�?;> #��

)� ���� ������ ���������,� � ������� � ������ � �� D����� <!<:!

./ �� ������ �� ���� ��� ����,� � 4 #�� � ��� 9���� ��&����� � ����,� �

���� �

�� F�>�

��� �� � ��� � �� � � �

�� �� � ��� F �� � �� �� BF ��

���� �� ����'��� � �� 1� ��� �� +����� � �� � 5�����,� �� 9���� ��� ��,� � 5�����,� ������ ��������� � E+�,� � ��� �������'�! ���� �������������� �� ����� � ����� � �� 9�����,� � ����,� �� 5�����,�� ��� �������� �� ���,� �� 5�����,� � ��� ������� � � ��� �� ������ ��� ��� ��(����� ������ �� ��� �� ��'�� ������� ���������! ��� ��� ��-,�� � ����� �������� � �������������� �%��� � ��������� � 5�����,� ������ �� ��� � 9���� ����,�!

Page 160: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� ���

�9 �$�� !,%,�

� ������� ��� ��,� ��+�� &������ �� ��� ���� � 5�����,� � 2:: � � ��5���� 4: � � � ��� 5���������� ���� �� �9� ��%��� A�� <:: .�� � ��� � ��

� �� � ����� �� � )�� �,����� �%����� �� 5�����,� � �� ��� ��� $� � �� 8��� $� � ��� 8��� �� ��'����! � �� ������* .�/ ��� ����������� �%����� �� ��,�� .�/ �� ���������,� � ������� ���� � 5�����,� � � ��� ��� �������� E��� � �� � ��� BF!� � ./ � ������ �����'� �������� �� �� ����,��������� � �� ���,� �� 5�����,� � �� � ��#�� � �� ����,� �������� � � ���� � �� � ��� #��!

���� "�"�� !������ �4�� ��� $6���� "�&��

.�/ ������� ��� ������� � �&���� � 5�����,� .$ � $�/ ����� �� � �09��� � ���'����� �� ��� � �� � $��$� � � $��%�� � %�� 5������-���� �� ��,� '�� � � �� ���� � ����� � ��

�� ���� �%��� � �� ��,� ��% � .'� D����� <!<2/*

�� ����� � �� � � ��� � � ��

����� �� ��� �� �

������ ��� �� ��� � �� ��,�!�� ������ �%��� � ����� �� �� �� 1 � ����� ���� �� 5���-����� � �*

�� �

� �� � ��� �� � �� � � �� ���� � �

������ ��� � � � �� ����

�� � ��� � � ��

Page 161: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������� �������

.�/ $ ������ �� &,����� .<!?:/ � ��� �� ��� ������� �%+��� � ������ � �5�����,� ���*

��� � � ��� � �� � ��� �� � ���

� ��� � ��� �� � ��� �� #��

���� � � ��� � �� � �� �� � ���

� ��� � ��� �� � � � �� #��

����� � �� ���,�! )�� ������� +����� � � ��� ���

���� � � � � ��� � �� � � �� ��� � ��� � ��� � ��� �� � � 3�@? #��

���� � � � � ��� � �� � ����� ��� � ��� � ��� � ��� �� � 222�:@ #��

� �� ���,� � ����,�� �� ��'����! )� ���������,� � ������� �� '��� �� D����� <!<2!

./ �� ������ �������� ��� � 5�����,� � � �� ���� ��� ����,� � 4: #��� ��� 9���� �� ����� � �� ��,� � '��

��� �

�� �

>�

� ��� � ��� � ��� � � ���� �� � ��� F �� � ��� �� BF ��

�� ������ �������� ��� � ��� � � �� ���� ��� ����,� � 4:: #�� � ���9���� ��&����� � �� ��,� � '��

��� �

�� �

� � ��>�

� � ��� � ��� � ���� � � �

� � ��� �� � ��� F �� � ���� �� BF ��

�� ������ �������� � � ������ � ���� ���� ����� � ���� �� BF��� � � ���

����-� �� ����,� �������� ���� �� � 5�����,�!

Page 162: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �� ��� #��$� ���

�,� -���������

7�� �-� ��% ������� � �#��� ������ ����� ���� ��� ��,� ������ � ������� �� �� ������%����� �� �&��-� �+�� . .������� � � �������� & � ����,�/ � �� ������ E���

��� .'� D����� =!2�/!

���� ��������,� � ��%������ ���'���� � ��� &��-� ������ ��� � �,����. ������� ���� �� ���� ! � �� ��,�� � ��� ����� �� � ������ � ���&��-� �� �� � & �� ����� �

���� ��� �

��&! ��

. ���� .=!2/

���� ���� ��� �� � ���� ! �� ���� ���� �� ��� ������,� �� ���� ���������,� � E+�,� �� � ���� � �� ��,� .8� � �� D����� =!2�/� �� � ��'����� � ������� � �� ����,� �� '��� ������ .8 � �� D����� =!2/� � � ��� ���������� ���� � ���'��� ����� � �� ����,� ��� ��� �,����� �� ������ � �� �+��H��� �

&! ��

.� �8&8� �

�.=!4/

$ �� �������� &! � � ����� # ���� ����! ��� �� ����'� � �� E+�,� �� ����� � ������� ������� ��� ��� � ������� # "���� �� �� � �� &��-� ������ .������� � � ���� ! �� � ����,� � �� ���,�� �� ��'����! �� ���� ! �� ����,� � �� &��-� ������ � ����� ���� � �����H � ����� ���� � ������� ����� �������� � ��� ����� � ������ � ��� ��������� ����� � �� �-�!

����� � �&��-� �+�� ��� � ������ E��� ����� ������� ������� ������� ����� � �� �-�� � � ������ � �� ���������,� � ���� �������� � � ����� ���� �� � �� � ����,� � ��� ��������� �������� � ��� � ������� ���� �����0�� �� ������ �� �&��-� �+�� � �� ������ E���� �� ��'����! �� � ������ ������ ���������� ����� � ��� �%� �������'� � �#��� ������ � �� .���

2=;

Page 163: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ���$��� ���������

���� #��� ���4��� ��������� 0�1 �4�� � �����9 0�1 ���3� ����� �4��������

�� ����� � ���� � ��������,� � E+�,� ����� �� ��� � ��� ����� ���� ��� ������ � �� ��,�/� ��� ����� �� ��� �� ��� ����� � �#��� ������ �����.��� �� ����� ���������� � E+�,� � �� ���� ��������/! $��%�� �� � ������E��� '���� � ��,� � ��,�� �����% ������%����� �� �&��-� ������ �����% ����� � ������� ���������� ��� ��� � '�% � � � ����� �������!

)�� ������� ���������� �� �� E+�,� �� ���� ����� � �������! �� ��� ��0������ � E+�,� �� ���� ��� � ��� �-� � ��,� ��������� &� �������� �� K����� �� ��������� �������� � 2@:>! ��� ������� � ������ ����� � ��E+�,� �� ���� � �� � J! $! �! ����� �� �� ����, � 2@=3� � �� ����� ����"������� � #�������! T��-% ��5�� � ��� ��������� � ������ ����������������� � 2@<:� � � ��(���� � �� U�� �� ����� � �5������ � �����!

Page 164: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ����� ���

�,� �� ��� ���$� ��� � ���

7�� ��,� ��% ������� � �#��� ������ � �� ����� � ������ � �&��-���� �� ������� � ��� � �� �&��-� �+�� . � �� ������ E��� � ������� � ������� ���� ���� � ��� �� � �� ���!

������������ � �� �� ���� � ��� � ��� '��� � ������- ������� �������� E+�,� �� ���� ���! ���� ��� � ��� ����� �� � �� �&��-� �+�� � '���� .� �� ������ E��� ��� � &��� � ���������� �� ������� ������� � � ���� ���� �� � ����� �� ����� � ��� 1� �H � '��� ������ ���� �� ������ ������ �� ���� ��� ��� ��� � ������ � �� D����� =!4!

$�������� � ������ �����-���� � ���� �� � �� � ����,� � &���� ��� ��� ������� � �� D����� =!;! )� �&�����,� ����� �� �+�� � ���� �� � �� 5� ,����� �������� .��� ����� ���� � ��������� ����������� ����� � ������� � ��������/� ������� �� �� �&�����,� �� E+�,� � ���� �� � �� 5� ,���� ���������0F�'�� .��� ����� ���� ����� ������� �� 1 ����� ����������� ����� � � �������� � �� �&������ � �� ������-/!

��� �� � ����,� � &���� ��� ��,� � �� ������� + ������ ��� �������,��#� ������ �� 1 .����� �� �+��/� � �� ���� �;�� ������� �� 1 � .����� ��E���/� �����'�� � ���� ��,� ��� ��9������� �,+���! ���� �� ����'���� �� D����� =!;� �� �� ����,� � ����� ��'�������� �������,� �%� ����� ���'�� ��� ��� ���� ������� � �� ( ������� �� � ��� ����,� . ���� �/ � ��������%�%� ������!

)� ����,� ������ �� �� � ���� �� ���� ������ � �� ��,� ��% ��������� ���� � �� ����,� ����� �� �+�� � �� ����� �� E���! �� � �� 5� ,���� ��&�����,� �� ���� � ���������� ���%�� �� � �� � �� �� � A��B� � ���

���� #��� ���4��� �������� �����

Page 165: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ���$��� ���������

���� #� � 2�������� �� ��� �������� ������� � @�4��� �������� �����

�� �� ����,� ��� �� ���� ������� � ��� �������� � �� 1 � �*

� �.

�� �� �

��.=!;/

��� ������ ��� ��� � ������ � �� D����� =!<� �� ���������,� � ������� ������ � �� �������� �� � ��� ������� �%+���� � ��� � ��� 9���� � �� ��,��%� ��1���� �� 1 �� � '���*

� �.

�� �� >

��

� �.

�� >�

��

.=!</

���� #�"� 2����������� �� ��������� ������� �� @�4��� �������� �����

Page 166: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ����� ��&

���� > � >� ��� ��� ��������� .� '���� ��������/ �� 1 � � ��� ��� 9���� +�������� ��'����! �����'� �� �� � �� �������� �����'� � ��� �������� � �� ����,����� ������� �� �+�� � � �� E+�,�� ��� ������� � ��� 9���� +����� ��� ����� ��� � ����� ������ �� � �+��! $��� � �� D����� =!<� ����� ��� ������� ����� ����� ����� �� � �&��-� �+��� ������� �� � �� D����� =!<� � E��� ����� �������� ��9��� ��� ��� 5�� � ��� ������� � ����� �������� �� ���&��-� �+��!

���� � + ��, � �� ��������,� � �� ���� � �+��. � � ����� � � �������� ��� ��,� &� �%� � �������� ��� �� ������ � �&��-�� ��%������ ���'����� ��� &��-� +������ ��� � '���� . � ����� � � ���� ! ������� � ��� ��������3� �� ��������� ����� ���� � 1 �� � ��� ����� �� �� � �. 3� .��� &��-������� �����'� �� ��� +�������� �����'� ���'�� � �� ������ �� �����'�/!��� ������,� � ������ � �� D����� =!=!

��� ������ �� ����,� � �� ���� ������ � �� ��,� ������� � ��� �������� �

�� 1 ���� �� � � �� + ���� � �� &����*

� �.

�� �� �

��.=!=�/

�.

. 3� �

��.=!=�/

�.

3� �

0��

�.=!=/

���� 0� ��

���� � � ����� � ���� � �� ��,� �� �� �� 1 �!

���� #�#� ���4��� �������� ����� ��� ���3� ����� �4��������

Page 167: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ���$��� ���������

��� �9���,�� � 1 ����� � � ����� �������� � ��� ����� �������� � ����,������� ����� ���� �� + ���,� � ����� �*

3� �

0��� � � � � �0��

3�.=!?/

� ����'� �� � 1 ����� ��� � ��� ��� ������ �� 1 � . � ������� � �����-� �� ���� � ��������,�/� � �� ����,� �� � �� �� '���� � �� &��-� .� ����� �� +�������� 3�! F,�� �� � ���� � � ����,� � �� &��-� ������ � � 1����� ��%� ��������� � ����� � ����� �� �� �� 1 �! F,��� ����������� ����� ���� � �� +��������� ����� � �� ������� �� 1 ������ ��� ������� ����� �� � �������� �����'��� � &�� �� �+��� �%� �1�� ��% � 1 ������� 1 � .�� �� 1� ��� � ��� � �� D����� =!<�/� �� � ��������� ����� ������ �� +��������� ���� � �� ������� �� 1 ������ ��� �� ����� ����� ��� �������� �����'��� � &�� �� E���� �%� �� ��% � 1 ����� �� 1 � .�� �� 1� ��� � ��� � �� D����� =!<�/! )� �������,� ��%9� � �� D����� =!? ����������� �� ����,� �� 1 ����� � ��� � �� + ���,� .=!?/!

�(����� �� ����� ��� ����� � ���� � ��������� ������� � 5� �� ���� ���� ������- � �� �-� ������� � E+�,� �� ���� � ���� ��5�� ���� �%����� ������ ������ � �-�� � ������- ��������� ��'�� ��� �� 1� �� �������! ����������� �� ������ � ��� � ���� ����� � �$�7� ��������' ����� ������� �-�� � ������- ���� � ��� �� �� ��'����� ������� =� � �<��� �� ����� &��� �� ���� � �� �-� ,� � ���� , 55 <�! �� �� ���� ��

���� #�&� 2����������� ���;�� ��� �6� ������ �� @�4��� �������� �����

Page 168: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ����� ��"

�������� �� �� �������� ������ � ��� ��������� 9���� �� &����� �� ������� ��&��������� � ��+�������� �� ����� ��������! �� �������� � �� ������� ��*

.�/ �� 5� ,���� � ��������� .����������� ���&��� � ��� 9����/ � '%���� � ���&�����,� � �+��� �

.�/ �� 5� ,���� ������-��� � ���������0F�'�� .������,� � ��� 9���� �� ��0����� � �� �������� �� 1 �����/ � '%���� � �� �&�����,� � E+�,�*

$���� 5� ,����� 1���� �� �� � ����,� �� ���� �� � �� � ����,� � � �� �� �A��B� ����� +���� ��� ��������� �������� ��� �� E+�,� �� ���� � �-������ �� ��� � �-�� ����� � ��(� ��'������ ����� � ��� ���� � E+�,� ������ � E+�,� �'����!

�9 �$�� �,�,�

)� '��� ��� ����� � �� D����� =!>� � � ��,� ��������� � , . � � �,� �� �

� � �� �,� / � ��% ������� � �� �� � &��-�� �� � �� ���,�� �������� � � ���� �� '����� � � ������� � �� �-�� � � ������ � ��� ����� � � ���� ������ � �� ������- � �� '��� �� ��� +������� 3� � 3 ����� �� ���������,� �������� � ��� ����� � �� '���� ��� '����� �%+���� � ������� � � '���� �%+���� �� +�������� ��� �� �� '��� ��� �������� ������� � �� ���,�!

6��� �� ��������,� � �� '���� ��� ��� � �&��-�� ��� ���&���� �� ��� ��� ������� � �� D����� =!>�� � ���

. � �� � �� � � 3

��� ������ �� '��� ��% ������� � E+�,� �� ���� ���! )� ���������,� � �������� ����� � �,�� � �� � �� ������ � ��� 9���� �� �� �� 1 �! $��� ��� '������%+��� � ������ � ��� ������� � ��� � ��� 9���� +����� . � � � ,�� / � '���*

� � � �

�,� �3��

���

��

� � �

�,

�3

,

�� � � �

�,

�3�����

��

� � �

�,

� ��3

,

�F,�� ��� ��� � � �� ���,� � +�������� �����'�� �� ����,� � �� 9���

�� ����� �� � ��������� � �� ���,�! ��� ���� ����� �� ����,� � �� 9�����&����� �� � ��% ������� � �� ���,� �� 3 5 ,��� � � ����,� � ��� ��������!)�� �� ��'�� ������������ � ������� � ������� � ��� D������ =!> � �!

Page 169: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%+ �������� � ���$��� ���������

���� #�'� $6���� #����

�� 1 ����� � ��� ��� ������ �� 1 �� � ���,�*

� � �0��3�

� � ���3�

� �����,

�,3� �

,�

3

���� 3 5,�� � ��� �� � 4 �,��� ��� �� � 1 ����� �� ���� � �� ��,�! ����34 ,�� � ��� �� � 5 �,��� � � 1 ����� ���� � �� ��,�!

�9 �$�� �,�,�

)� '��� ��� ����� � �� D����� =!@� � � ��,� ��������� � , . � � �,��� � � � �� �,� / � ��% ������� � ��� ���� '����� ������� ���&����������������� � '���� *� � � �� �� � &��-�� �� � �� ���,�� � ������ � ��� ������ ���'��� � ��� ����� � � ��� �����* .�/ �� ��'� � ������ � �� �-��.�/ � '���� ������ � ��� &��-�� � ��� �� �� 5��� ������� � �� �-� � ./ �����������,� � ������� � ��� ����� � �� ��� � ���� ��� �� '���� � �

Page 170: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ����� �%�

���� #�*� $6���� #����

.�/ 6��� �� ��������,� � �� '���� ��� ��� � �&��-�� ���� ��� ��� � ������� �� D����� =!@�*

.� � � �� � ��� � �*

� � � � �

��� ������ �� '��� ��% ������� � E+�,� �� ���� ���! )� ��'� � ������� ��� ��'� � � ���� �� ��� + ���,� '�� ��������� �� �� ����,� � �������� � ������ � ��� ��,�! $���

3�� � � � ��� �

.� ��

*

�� � � � �

�� � ��� ��%���� �� '���� �%+��� 3�� � ���� � *�����

.�/ )� ��,� �%� ������ � &��� � �� � ��-�� �������� � �� ��,������� �� �� ���� � ������ E��� �%+���� � ��� � �� �� ���� ��� ��� �����+��������! �� � � 1���� �������� �� � ���%� ������� � �� 9��� ��&����

Page 171: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%� �������� � ���$��� ���������

� �� ��,� ����� �� �� +�������� � ��� ��,� � ���� �� ,��� � ��*

3�� � ���� � *����� 5,

��� � 4

*��

,

./ )� ���������,� � ������� � ��� ����� � �� ��� � ���� ��� � '����� � �*����, � ������ � �� D����� =!@! �� �� ��,� � � � ������ E��� ������ 3� � � �� �� ������ �� ���������,� � ������� � ���&��� � � '����

�� � �� � ��� � �� � � �

�,� ��

*��

�,�

�� �� ��,� � ��� � ��� �� � ������*�� � 3� � �������*���� � � ,�� )��������� +����� '����%�

� � � ���� � � �

�,

�3

,

�� ��

�,� ��

*��

�,�

��� � ���� � � �

�,

� ��3

,

�� �

�,� � �

*��

�,�

$� �� 3 5 ,��� ��� ������� ��� ����� � �� ���,�! �� �� ��,� � ��� � ����� � *���� � 3� � *����� � ,�� )�� ������� +����� '����%�

� � � ���� � � �

�,

�3

,

�� ��

�,� ��

*��

�,�

��� � ���� � � �

�,

� ��3

,

�� �

� � �� ���� �� �� 5�� ������� � ���� ������ � �� �-�!

�9 �$�� �,�,�

7� ���� � ��,� ��������� � , ��� �� ��� � �������� � � � � �� ���� ���&��-� � �� ���,� � � �� BF �������� ��������� �� � ������ �� D����� =!3!�������* .�/ ��� ��� � �&��-�� � �� �-�H .�/ ����,� �� 1 ����� � �����,�H ./ ������� ������� �%+���� � ��� ��,�!

)�� ����������� ��������� � �� ��,� ���*

� � �� � �� � ��� �� � �� �

��� � ��� � ����� ��

�� �� ������ 0�� � ���� � ��� �� �! $��%�� � ��� � %����� � �������,� ��� &��-�� � � �"�����,���� � �"���� � � � � �� �� �� ��������� ��(�!

Page 172: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ����� �%�

���� #�+� $6���� #���

.�/ ��� � �&��-�� � �� �-�

)�� ����� ��%� �������� � E+�,� �� ��� ���� �� � ���� � ������������� ���� � 1 � � ��� ��,�! )� +�������� � �� &��-� � &���,� � ���������� � �� ��,� ��������� �� +���� �� ���� �� ���� �*

3�� � � ��� � �,

��� ������ ��� ��� � �&��-�� ���*

.� � � �� ��� � � ��

/�� � � � ��� � � �,

��

��� � � � ��� � 3�� � � �,

�� �&��-� �+�� � ������� � �� ����� � �� �-�� ������� �� � E��� ��������� �� !

.�/ ����,� �� 1 ����� � ��� ��,�

�� 1 ����� � ��� ��,� � ������ �� 1 � � ��� ��,�� � ���� �� 1 �

� �� �������*

8 � � � � 0��3� � �

� ��� ���

Page 173: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%! �������� � ���$��� ���������

��� ������ � 1 ����� � ��� �� ���� � ���'��� � ����� �� � ������,� ��� ��� ��� � ������ � �� D����� =!2:!

./ ������� �%+���� � ��� ��,�

)�� ������� � �� ���� �������� � �� �-� ���*

� �.

3� �

0��

��

.

� � �

8� �

�������� �� ����,� �� 1 ����� � &%�� '� �� ��� ������������ � �������

��%� ��� ��� ����1���� � �� D����� =!2: ��� ��� ����� �� � �� � � �� �

)�� �%+���� �� ������ � ����� � ��� 9���� �� ����� .��� �� � � �� �/� �'���*

��� � � �

.

��

�� ���

��

.

� �

��� ������ ��

� � �� � �� �� � �4�:@; #�� � ��� � �� � � � �;�;;; #��! )��

�%+���� ������� � ����� � ��� 9���� ��&����� .��� �� � � �� �/� � '���*

��� � � �

.

� � ��

�� ���

��

.

� � �

��� ������ ��

� � �� � �� �� � :�<2?> #�� � ��� � �� � � � 2�??> #��!

���� #��-� ���������� ��� $6���� #���

Page 174: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �%�

���� #���� ���4��� �������� ��/����

�,� �� ��� ���$� ��� ������

� �� �� ��� �-� ��% ��������� � �#��� ������ ����� ����� ���� �������� �� � �� ������ � �&��-�� �� � ��� � �� �&��-� �+��. � �� ������E��� � ������� � �� ���� ������� � ��� ����� ���� ��� � E+�,� � �� �-��� ���� ��� �� � '��� ������ �� ��� �� �� ������� � ��� 1� ���� ���� ����� � ��� ����� .'� D����� =!22�/! �� �&��-� �+�� � � ������ �����%������ ���'����� � ��� ���� &��-� ������ . +������� �� ������� �������� � ��� ����� ���� ��� � ����� .D����� =!22�/!

$��������� � ��� ��,� � ������ � �� �� � � ��������,�� ����� �&����� ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� � ����� �������� �&���� �� 1 �����!

�,�,� ������� 9 � $����$�� �

���������� ��� �-� ��� ������� � E+�,� �� ���� �'���� ��1� �� ��,� ��� �&��-� �+�� . � �� ������ E���

��� � �'���� �� �� � ��� 1� ���� ��� �

����� � �� ��,� .'� D����� =!22�/! 6��� ������ � '��� ������ E������

� ��� ��� �� ����� �� � ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� � ���� ����� ����� �� '��� ������ �� � ��5�� 1� �� � ��!

6 &���� ��%���� � �� ������ � E+�,� �� ���� ���� �� �&�����,� � ��������� �� ������ � � ���� � ���� �� � �� � ����,�! $��� �� �&�����,�

Page 175: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%% �������� � ���$��� ���������

����� �� �+�� � ���� �� � �� 5� ,���� � �������� .��� ����� ���� � �������������������� ����� � ������� � �� ������/� ������� �� �� �&�����,� �� E+�,�� ���� �� � �� 5� ,���� � ��������0F�'�� .��� ����� ���� ����� ��������� 1 ����� ����������� ����� � � �������� � �� �&������ � �� ������-/!��� �� � ����,� � &���� ��� ��,� � �� ������� + ������ ��� �������,��#� ������ �� 1 .����� �� �+��/� �� ���� �;�� ������� �� 1 � .����� �� E�����/� � �� ���� �;�� ������� �� 1 � .����� �� E��� ��/� �����'�� � ���� ��,���� ��9������� �,+���! )� �� ����,� � ���� ��'������� ���'�� � �� ������� ������� �� ( �����' ��� ����,� � ��������% �%� ������!

�� '���� � ��� ������� ������� � �� ���� ������ � �� ��,�� � ������������ �� �� �� � ��� 1� ���� ���� �� ������ ������� � ������ � ���� ��� �� � ����,�! �� �� ���� � �� � ��� ��� ������� �������� ��� �&��-��+�� � ��� ���� ������� � E+�,� �'����� � �� &����*

� �.

�� �� �

��

�� �

��.=!@/

�����'� ��� � ����� � �� 5� ,���� � �&�����,� � ��������0F�'�� � � �� ��� A��B� �� ���������,� � ������� � ����� � ��� ��������� �� �!

��� ���� ���� � �+�� . � � ����� � � �������� � �� ��,� &� �%� � ��������� ��� �� ������ � �&��-�� ��%������ ���'���� � ��� &��-� +������ ���� '���� . � ����� � � ���� � ������ !� ��� ����,� �� �� � ��� 1� ���� ��� ! �3�� 3�� '�� ���� �� ��� �������*

�� � . 3� � �� � �. 3� .=!3/

� ����

3� ���

.� 3� � ���

..=!2:/

�� E+�,� �� ���� �'����� � ���� � ������ ! �� ��% ������� ���� �������� ��� 1� ���� ���! )� ����,� &! .� ��� � �� D����� =!22/� ��������� �� '���������� � �� ���-� �� ���� � ��������,�! �� � �� �������� �� ����,� � �� ���������� � �� ��,� �� + ����� ������� ���*

� �.

�� �� �

��

�� �

��.=!22�/

�.

. 3� �

��

. 3� �

��.=!22�/

�.

3� �

0��3� �

0��

�.=!22/

Page 176: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �%&

���� 0� ��

���� � 0� ��

���� ��� ��� ������ � ���� � �� ��,� �� �� � ���1� .�� �/� �� ��'����!

��� �9���,�� � ( ����� � � ����� �������� � ��� ����� �� ���� ����,������� ����! ��� ������ ��������� � �� �� + ���,� �� ���� ������ ��� �������� ����� �� ���,� �� 1 �����*

3� �

0��

3� �

0��� � .=!24/

��'������ ���� � �� ���,� � ��� ��� ������� � � ���� ��! 6�5� ����� ��� �� � ���� � ���'��� � �� ��,� �� � ������ �� ������ ���� � �����-� �� ���� � ��������,� .����,� ���/!

�� � ����� � � � � ��� ����� � ������,� �� 1 ����� �� ��� 1� ��� ����� ��'����� � ���*

��� � � � � � � 8 � �0��3�

����� 8 �� ������� �� ���� �

��� � � � � � � � � �0��3�

����� � �� ����� �� ���� �

6� ����'��� �� �� � ���� � ������ ! � ��� �� ���� � ���'��� � �� �0�,� &� ��� �� �� +�������� ��������� � ������ E��� ��� ���� �� ������������'� � � 1 ����� � ��1� � �� ��,�� ������ ���� ��� ������� � ����,� ��� ���,�� �� � �� � ����� � �� &��-� ������ . ! �� &��� ��� 3�� 3� � ��8� � � �! ��� � ��������� �� ! � ��1� � &� ��� �� �� +�������� ������� ��E+�,� ��� ����� �� ������� �����'�� � 1 ����� � ��� �� ���� � ���'���� �� ��,� ������� � �� ��,� ��'��������� � ��� -����� ��� ��������� � ������ ������ �3�� 3� � �� 8� � � ��!

)� �������,� ��%9� � �� D����� =!24 ��� �������� � 1 ����� � ���� ��� + ������ ��������!

��� ������ �� ���,� �� 1 ����� �� �� + ���,� � �� �� � ����� ������ � �� ��,�*

��

0��

��

0��� .=!2;/

� ����'� �� +��� ��� �������� ����,� �������� ��� � ���� � ������! .3�� 3�/ � � 1 ������ �� �� ������� ������ �� � ( ����� �� � ����������� �� ���� � ����� �� �� � �� ��� ����� � ��� �� � �� ���!���� �� ����� �� �(����� �� ���� � 2@=3� ���� ��� ���������� ��%9�� ��� D����� =!2; ��� �������� � 1 ������ �� � � ���� � ������ �� +������ ������� � �� �� � ����� � ����� � �� ��,�� �� ��'����!

Page 177: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�% �������� � ���$��� ���������

���� #���� 2����������� ���;�� ��� �6� ������ �� @�4��� �������� ��/����

���� #�� � 2����������� ���;�� ��� �6� ������ � ������ ��� ������ �� ��������� � �������� ������� �� ������� �� �� �������

Page 178: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �%"

���� #��"� ������ �� ��������� %�� �� ������3� ����� ��� �����

6����������� � ��������,�� ��� �� ���� �� ������ ��� � �� 5��� � ���0����� � � �� ����� � ��� ��,� .'� ��,� =!=/* �� � ���� � ������ !

� �� ��-� � �� ����� � ��� ��� 0� ��� 1� ������ ���� ������� � ��� ����'�� ������� � ! ��� ���� �� ����� ������� � �� ���� -! 6�5� ���� - � ����� ��� � �� ��� 0 �� �� � �� �� � ����� � ����� � �� ��,� .D����� =!2</!

�� &��� �� ������� �� �� ��� 0� ���� �� ��� � ��' � ���� � ������! � ���� � ��� 1� ���� ��� � ��� ����� !� � !�� ���� ��������� �� ���� ����'��� ��� *� � *�� �� ��'����! ��� ������ �� ���,�� � &���� ��,���� �*

*�

*�� .=!2</

������ �� ����,� � ! ����� �� ��� ����� !� � !�� ������ � ����� ����� E+�,� �� ���� ���� � ��� �� ��'�� 1� ������ ��%� ������� � ��� 1� ���� ��� � ������ � � ������*

� � �0��*�

� ��� ! � !� � � � �0��*�

� ��� ! � !� .=!2=/

����� ��� ���� � ����� � �� ���� - �� � � � �� ��� �� ���������*

� � �0��*�

� � � �0��*�

.=!2?/

� �� �� �������� � ���� ��� � �� ��� 0 �� �� � �� �� � ����� � �����!���� ���� �� �� ���� ������� ��� ��� ����� ��������� � �� ��� 0!

Page 179: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&+ �������� � ���$��� ���������

C���� �5��� �� ��� ��� ������,� � �� ��� &��-� ������. �� � �� ���������� ! � �� ��� 0� � ��������� ��3�� 3��� � 1 ����� ���� ������ ��� �� � ���� -! �� ���� �� � �� � ����,� ������ �� ��� &��� � �� &��-� .

������� � ! ��� ���'����� � �� ��,� � ��� &��-�� ������� .� � .�� � ������� !� � !�� �� ��'����� ���� ��*

.�

.�

3�*�

�.�

.�

3�*�

.=!2>/

�� �� ��� � �� �� ��� �������*

�� � .� *� � . 3� .=!2@�/

�� � �.� *� � �. 3� .=!2@�/

$��%�� �� ���� � ���� ! ���� �� ��� 0� � �� � ��

.� .� � .

�3�*�

3�*�

�� . � � . .=!23/

����� .� � ����� � !�� ��� .� � ����� � !�� ����� ����,� ������ ����� � ���� -H �� ���������� �� �� � ����,� � ������ ���'���� � . � ������ ! � ���� ������� ����,� ������ ���� � -! ��� ������ � 1 ����� ��� �� -

��� ��� ����,� ������ � ! ���� �� ��� 0!

�9 �$�� �,�,�,�

7� ���� � ��,� ��������� � , ��� �� ��� � �������� � � �� � � �� ���� ���&��-� � �� ���,� � � �� BF �������� ��������� �� � ������ �� D����� =!2=!�������* .�/ ��� ��� � �&��-�� � �� �-�H .�/ ����,� � ����,� �� 1 ������ ��� ��,�H ./ ������� �%+���� � ��� ��,�!

)�� ����������� ��������� � �� ��,� ���*

� � �� � �� � ��� ��

�� �

��� � ��� � ����� �� � 0�� �

���

� ��� �� �

�� �

��� � ��� � ����� �� � 0�� �

���

� ��� �� �

�� ���%�� � ���� ��� %������*

� � �"�����

,� �"����

�� � � �"����

���

�� �"����

��

Page 180: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �&�

���� #��#� $6���� #� ����

���� �� � ,� ��

.�/ ��� � �&��-�� � �� �-�

�������� ����� ��� +��������� � �� ���� � &���,� � �� �������� ��� ��,� ��������� �� +���� �� ���� �� ����*

3�� � �,

�� 3�� � �

�� ������ ��� ��� � �&��-�� ���*

.� � � �� ��� � � ��

/�� � � � ��� � ���� � �� ���

/�� � � � ��� � ��� � � �� ���

��� � � �� ��� � 3�� � � ���

��� � � � ��� � 3�� � � �,

�� �&��-� �+�� � ��� ������� ��� �������� � �� ����� � �� �-�� ������� ����� E���� �� �������� �� !

Page 181: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&� �������� � ���$��� ���������

.�/ ����,� � ����,� �� 1 ����� � ��� ��,�

�� 1 ����� � ��� ��,� ���� � ��� 1� ��� �� � �� ��,� � ��� ����� � ��� � ���������

8 � � � � 0��3� � �

� ��� ���

� � � � � � � 0��

3� � �� ��� ��

��� ������ � 1 ����� � ��� �� ���� � ���'��� � ����� �� � ������,� ��� �� � � ������ � �� D����� =!2?!

./ ������� �%+���� � ��� ��,�

)�� ������� � �� ���� �������� � �� �-� ���*

� �.

3� �

0��

3� �

0��

��

.

� � �

8� �� �

�� �

�������� �� ����,� �� 1 ����� � &%�� '� �� ��� ������������ � �������

��%� ��� ��� ����1���� � �� D����� =!2? ��� ��� ����� �� � �� � � �� � )�

���� #��&� ���������� ��� $6���� #� ����

Page 182: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �&�

�%+��� �� ���,� � ���� � � ���� �� ������ �� ���� �-������� � '��*

�� � �.

���

�� ��

�� �

��

.

� �� �

��� ������ � � �� � �� �� � �;�;;; #�� � � � �� � � � �=�@;; #��! )� �%+�������,� � ���� � � ���� �� ������ ��&���� ��5�� � '��*

�� � �.

� �

���

�� ��

�� �

��

.

� � �� �

��� ������ � � �� � �� �� � 2�??> #�� � � � �� � � � <�2?> #��!

�9 �$�� �,�,�,�

7�� �-� � ��,� � V ��% ������� � ��� &��-� ������ � �� ���,�. � 2=: BF�� ����� � � ���� ! � �� D����� =!2> .���� � �!/! �������* .�/ ��������0�,� � �������H .�/ ����,� � ����,� �� 1 �����H ./ ������� �%+����� �.�/ ���������,� � ������� � �� ����� �� ��� ��&����!

���� #��'� !������ ��� $6���� #� ����

Page 183: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&! �������� � ���$��� ���������

���� ���-�� � ������ ��� ����������� ��������� � �� ��,�! �� %�� �*

� � �� � � � � � � ��� � ��

�� �������� � �� ��,� ��% �������� �� �� �� � ��� 1� ��+������ �>�� ?��� �*

?�

� ����

��

� � �� � � � �� � � � ���� �

� �� � �

>�� ��!�

��

� � �� � � � � � � �� ���� �

� �� �� �

)�� ������� � ����� �� �� � ��� 1� ����������� �>�?� ���*

�� �

� � �� �

� � � ��� ����

��� � � �

�� � � � � ����

� ��

� � � � ��� ���

�� � �� �� ��

�! �

�� � � �

� � � � �� ����

� � ��� �

�� � � � � ���

� � � � �

� � � ��� ����

� ��� � �� ��

��! � � � � �� � � �� � �� � � � � � � � � � ���� �� � ���� �

� ���� �� ��

)�� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,� � ��� �������� ��*

��� �� ����!�!���

�� � ���� ��

��� � ��� � �� ��� � ��� � � � ��� ���

� ��� ������� � ����� �� �� � ��� 1� ���� ��� � ����� ���*

�� � �� ���� � �! ���� � � ��! ��� �� � � �� � ��

�� � �� ���� � �! ���� � ��! ��� �� � ��� � � ��

)� +�������� �� ���� ! �

3 ��

3�� 3�! ��� �� ��� � � ��� � �� ��� �

� ����� � �,���� �� ������ E��� ����� � �� +�������� � �� ����*

� � . � 3 � �� � �� � �� ��� � ��� F �� � ����� F ����� ������ &���� �� � 1 ? �� %����� G ����� �*

���G � � �

�� �� �� �� � G � �� ���

Page 184: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �&�

���� #��*� $6���� #� ����� ������������� ��� ����� ���C� ��� �6�� �����������

� ���� �� �5��� � ������ �� � ��� 1� ���� ��� � ����� .'� D����� =!2@/*

�� � � ���� � � ����� � G� � ����� � F!�

�� � � ���� � � ����� � G� � ����� � F!�

.�/ 6��������,� � �������

)�� ������� ������� ��� ������� ������ �� + ���,�*

� �.

�� �� �

��

�� �

��

� � �� � ���� � ��� � ����� �

��� � ��� � � ��� ����� �

� �� � � ��� � � ��� ��

� ���� ���� �� ���� � �� ��� � #��

���� ��� ��������� ��� �� ����� � �!

.�/ �1 �����

� ����� �� ���,� �� 1 ����� ��� ����� �������� � ��� ����� �� ��������,� ������ ����� � ���*

� � � � ���� ���� �� ���� � �� ��� �

�� �� ������� � &���� ��,��� ���*�

��� ��

�� ���

Page 185: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&% �������� � ���$��� ���������

���� #��+� $6���� #� ����� ������������ ��� �6� ������

���� 8 � ��� �� � � � � �� �� � ��� ��� ��������� � ��� ����� � ������,��� 1 ����� �� ��� 1� ���� ��� � ����� .D����� =!23�/! 6 �� ����,� ������ � ������� � ���� �� � �+�� � � �� ���,�� � ��� �� 5�� �������� �� ���,� � �� ��5� �� 1 ����� � ������� � �� �-������ � ���!

������� �� �� �� � ����� � ����� ��� ���1� 0� � �� �� � � 0� � �� �� ��� � ��� 1� ��� �� � �� ��'����� �� ������ ������� �� ����,� �� 1 ����������� �� �������,� ��%9� � �� D����� =!23�! ��'������ � �������� ������� � ������� �����������!

./ ������� �%+����

O���� � ����� � ��� ����� �%� ��1���� �� 1 ����� ��� �� � �� D�����=!4:� ��� ��� ����� $ � �� � ��������� .� �/ $�>�?� � � � � �� �� � � �>�?� �

���� �� � �� ���� ������ ������� � ���� ����� � ������ �����&����� �������� ��������� �� ������ � 1� ���� ���! � ���� ��� ��� ��� �������*

� � > ��� � ? ��� �

� � �> ��� � ? ��� �

���� � � � %����� �� &����� ��� 1� ��� �� �� ��� 1� �>�?� � ������ ��� ������������ .� �/ $��� �� � � �� ������ � � � � ��� �� � ���� ��� �� ��

Page 186: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �&&

���� #��-� $6���� #� ����� ������������ �� ��������� ����� �� �������

���� #���� $6���� #� ����� ������������ �� ��������� ����� �� ��� �������

Page 187: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�& �������� � ���$��� ���������

����������� ���� ��������� � �� �� � ������� � ���*

� � ���� ���� �� ���� � ��� ��� �� ��� � ���� � � #��

� � ��� �� #�� .�� ���,�/

� � ���� ���� �� ���� � ���� ��� �� ��� � ��� �� #��

� ��� �� #�� .����,�/

���� ��� ����� ��>�?� � ���� ��� �� � � ��>�?� � � �� � �� ��� �� �&����� ���� 1� ���� ��� ��� �� ��� ���� �� � �� �� ������ � � � ���� �� � � �� ��� �� ��� ����� ��� �������*

� � ���� ���� �� ���� � �� �� ��� �� ��� � ���� � � #��

� ���� �� #�� .�� ���,�/

� � ���� ���� �� ���� � � �� ��� �� ��� � ��� �� #��

� ���� �� #�� .�� ���,�/

��� ����'��� �� ��� ������� � ���� ��� ����� ��� ����� �� �� ����,��%+��� � �� ���,� �� � ���� � � ���� $!

.�/ 6��������,� � ������� � �� ����� �� ��� ��&����

)� ���������,� � ������� � �� ����� �� ��� ��&���� � ����� ���-���� ��������� 1 ����� �� � ���� � � �� � ���� ��� +����� � �� ����� .'� D����� =!42/!�� '���� � ��� ������� ������� � ��� ����� ��>�?� � ���� �� � �� � ���>�?� �

���� �� � �� ��� ������� ����������� ��� '����� � ��� ��������� .���� �� �

���� ��� �� ���� ����� �� � �� �� ������ ���/ � �� + ���,� � �*

� � ���� ���� �� ���� � ���� ��� �� ��� � ��� ��� #��

� ��� �� #�� .����,�/

�� � ���� ���� �� ���� � �� �� ��� �� ��� � ���� ��� #��

� ���� ��#�� .�� ���,�/

�,�,� ������� ��� ���

�� ������ ����� � �� E+�,� �� ���� �'���� �� ������ ��'����� � ���0� �� � �� � ����,� � �����-���� ��� ��������� �������� � � ������ �� �&��-��+�� � � ������ ����� � �� E+�,� ��� �'����! ���������� ��� �� ������,� ��� D����� =!44�� � �� �� �� �� ���� �� ��,� �� �+�� .� ������� � � ���� ����'���� � �� ������

���� ������� � � ���� �� ��� �� ���-� �� ��� ���

Page 188: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � �&"

���� #���� $������ ������� �� �� @�4��� �������� ��/����

)�������� 00� � �� ��� �� ��� �� & � �� ��� �� ����,� �� �� ������ �1 ����� ���� ������ � �� �����,� �� ������ �'����

��� �� %����� � �'��1

D �� &���� � '��� ������ �� �� ��� 00� � �� ������ ��� � �� ��,�<!;!; � ������ ��

��� D � ������

.=!42/

���� ��� 1� ��� �� � ���� ���� �� �� ���-� �� ���� � ��������,� � � '��������� �� ��'���� .'� D����� =!44�/!

$ ������ � ���� �� � �� � ����,� � ��� + ������ �������� ��� � �&��-��+��� �� ��� ���� � � � ������ ����� � �� E+�,� �'����� �� ����� � ������ ������ �� ����,� � �� ��� 00�� �� ����,� ������ � �� ���� ������ � ����,� :� ������� � ��� �������� 0 � �� ��� 00�� � �� ������ � �� &����

� �.

�� ����

����0 .=!44/

���� � � � %�� � �� ��,�� ���� � � ��� D � �� ����,� �� ������ � ������ ��� 00�� ���� � � ������ � ����� � �� ��,� �� �� � ��5� ��� � 0 ����� �����'� �� � ���� : ��% � � ���� � � �� ���� ���� �� ������!

)� �������� ������,� � E+�,� �� ���� �� ������� ���� ����� �������� � �� �����,� � ��� &��-� ������ . ������� � � ���� � ������ ! �

Page 189: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� + �������� � ���$��� ���������

+������� ������� ���� �� ���-� �� ���� � ��������,� ��� � � ��� �������� 3 ������ � ���'���� ��� �� ���� � � ��� D � � . 3 ��� D .���� . ��� ����� � 3

���� � ��'��� � ������ � 0/� ��� ��� � ������ � �� D����� =!44�! ������� ��+ ���,� .=!44/ �� �������� ���

� �.

. 3 ��� D

����0 .=!4;�/

�.

3 ��� D

0����0

�.=!4;�/

���� 0��� ��

������ � � ����� � ���� � �� ��,� �� �� � �� ��� 00�

$ ����� � �� + ���,� .=!4;�/ �� ������ �� ���,� �� 1 ����� ���

���

3 ��� D

0����0 � � � 0 � � 0����

3 ��� D.=!4</

��� ������ � 1 ����� ��� � ������ � �� ��� 00�� � ��% ������� � ��� ��������� � �0����� � 3 ��� D �� � ��5� ��� � � � ���� �������� � ���� �� � ���� � ������! ��� �������� 1����9� �� �������,� ��%9� � �� D����� =!4;!

69����� E ��� �� �������� �� ���� : �� 1 ������ � &���� �� �� �����'��� � ���� : � � �������� & ��%� �� ����� ���� �� 1 ������ � �����'� � ������������ �� ���,� .=!4;�/ �� ������� ��� ���� ���*

� �.

E

�.=!4=/

���� #�� � 2����������� ���;�� �� �� �������� ��� �6� ������

Page 190: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � � �

���� #��"� 2����������� �� ��������� �� @�4��� �������� ��/����

� �� ����� �� ����� �������� �������� � ����� � �� 5� ,���� � ��������0F�'�� � � �� �� � A��B� �� �� ����� �� ���� ��� ���������,� ����� � ���������� '����� �� �������� � �� �������� �� 1 �����! $��� ����'���� �� D����� =!4<� ��������� � � .�� � �� ����,� � � ��������� � ���� �� ��1��-� � ���%���������*

��

�E

�� � � �

E

��

.

E

�.=!4?/

)� ���,� .=!4=/ � ��� + ���,� ��������'� � �� ������� ���������� .��!.?!22�/ � .?!24�// � ���� � %���� ����� � ��� ������� � E+�,� �� ���������� �� ����,� �� 1 �����!

���� �� ����'��� � �� D����� =!4<� �� ����,� �%+��� � �� � ��� 9���� �%���1���� �� 1 ����� � �� '���� �*

���� �

.

E���

�.=!4>/

�9 ������ �,�,�,�

6������� �� �� ���������,� � ������� � �� ���,� .=!4=/� ������� � ������� ����� � �� E+�,� �� ���� �'����� � ���'���� � �� � ���,� .?!24�/�������� � � ������ �� � ��� 1� ���� ��� � �����!

Page 191: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� � �������� � ���$��� ���������

���������� ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,� ��� ��� ��� ��� � �������� �� D����� =!22! ��� ��� � ������, � �� ��,� =!;!2� �� ���,� �� 1 �������&���� � ��5�� 1�� �*

3� �

0��

3� �

0��� � .=!4@/

)� �������� E � �� ���� : � �� ��,�� � ��������� ��� �� �&����� � ���1� ���� ���� �� 1 ����� � �� ������ ����������� ���*

E � � �

��� � �

���������

��

�����

�� .=!43/

�� ��������� �� �������� � �� ���� � ���'��� &��� �� �� 1 ����� �*

� � ��

����

��

�����

�� .=!;:/

��� ������ �� ����,� E�� � ��� ����*

E

��

3� �

0��

3� �

0��.=!;2/

� �� ����,� � � ���� : �*

� �.

E

��

.

3� �

0��

3� �

0��

�.=!;4/

�� �� ������� �� ���'����� ��� ��� ��� + ������ �������� ��� �� �� ��������!

�9 �$�� �,�,�,�

7�� �-� � ��,� � V ��% ������� � ��� &��-� ������ � �� ���,� . � ��

BF� � ����� � � ���� ! � �� D����� =!4= .���� � �!/! �������� �����-���� ���&,������ �� ������ ����� � �� E+�,� �� ���� �'����* .�/ ����,� � ����,��� 1 ������ .�/ ���������,� � ������� � ������� �%+����� � ./ ���������,� �������� � �� ����� �� ��� ��&����!

Page 192: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � � �

���� #��#� $6���� #� ����

)�� ������� � ����� � �� ��,� �� �� � ��� 1� ����������� �>�?� &������������ � � �1� �� =!;!2!4*

�� � � �� �� �� � �! � ��� � �� �� � ��! � ���� �� ��

��������� �5��� ��� ������� � ����� � �� ��,� �� �� � ��� 1� ��� ���9����� �� �� �� ���-� �� ���� � ��������,�&! � � '��� ������� � �������� �� �������! �� ������ &���� �� � 1 ? �� %����� G ����� �*

���G � � �

�� �� �� �� � G � �� ��

��� �����*

�� ��� �!

�� � �!�

��� �G� ��! ��� �G

� ���� ��� � �� ��� ���� ��

� ���� �� ��

�� ��� �!

�� �� � �!

���� �G �! ��� �G

� ���� �� � �� �� ���� ���

� �� �� ��� ��

Page 193: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ! �������� � ���$��� ���������

���� #��&� $6���� #� ����� ������������ �� �� �������� ��� �6� ������

��� ��� �!

���� �G ��! ��� �G

� � ��� ��� � �� ��

� � � � ��

.�/ �����,� � ����,� �� 1 �����

�� %����� � �'��1 D � �� ��� 00�� ������ �� 1 ����� ���� �� � '���������� �� � � 1 � .'� D����� =!4?/� � ����� � �� &����

��� D � ������

� � � � �

���� ��� � � ����

D � �� � ���

��� ������ � %����� � �� ��� 00� �� �� �� 1 > '��*

� ��� G D � ��� �� ��� � � � ��� � ��� ���

� � ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 00� '��*

���� ��� �!

�� � �!�

��� � � ��! ��� �

� ���� ��� ��� � �� ���� ��

� ���� �� ��

Page 194: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���$��� ��������� ��&�� � � �

���� #��'� $6���� #� ����� ������� �� ��� ���������� �� �6� ������

����� �� � %�� � �� ��,� � � � ��� � ��� � ����� � ���� � ���� �� ���� 1 00� '��*

0���� �����

�� �� ��� ��

)� +�������� �� ���� ! �

3 ��

3�� 3�! ��� �� ��� � � ��� � �� ��� �

�� �� ������ �� �������� �� 1 ����� ��� �� 1 00� '��*

� �0����

�3 ��� D��

�� ���

� �� ��� � ��� ��� � ������ �� �� �

.�/ 6��������,� � ������� � ������� �%+����

)� ���������,� � ������� � ��� ��� � � ����, � �� D����� =!4:� '��������������� �� �� �������� �� 1 �����! )�� ������� �%+���� � ��� � ��� ������%� ��1���� � ���� � ���� � ��� ����� $ � �

Page 195: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� % �������� � ���$��� ���������

�� � � ������ � �� D����� =!4>� �� �������� E �� 1 ����� � �� ���� ������� �� ��,� :� � ��������� :�>�?�� �� ������� � &���,� � �� �������� �

� � %����� � � �� &����*

E � � 0

� � > ��� �? ���

$ ������ ��� + ���,� � ��� ����� $ � � � � ��������� .� �/ $�>�?� �

� � � �� �� � � �>�?� � ���� �� � ��� � ��� E� � �� ��� � � E� � ��� ��� �! )��������� � ���� ����� ���� �� � �� ���,� .=!4=/*

� �� �� � ���� � ��� � �� ���

�� ���� � � ��� �� #��

� �� �� � ���� � ��� � ���� ����

�� ���� � ��� �� #��

�� �������� ��� ������� � ��� ����� ��>�?� � ���� ��� �� � � ��>�?� �

� �� � �� ��� ���� ��������� �� 1 ����� ��� E� � �� ��� � � E� � � ��� ���� ��'����� � ��� � � ���� �� #�� � � � ���� � #��! ��� ����'����� ��� ������� � ���� ��� ����� ��� ����� �� �� ����,� �%+��� � �� ���,��� � ���� � � ���� $!

./ 6��������,� � ������� � �� ����� �� ��� ��&����

)�� ������� ������� � ��� ����� ��>�?� � ���� �� � �� � ���>�?� � ���� �� � ��

������� ��� ������� ����������� ��� '����� � ��� ��������� �� 1 ������E� � ��� �� � � E�� � �� ��� �� � �� + ���,� � �! ������������ � ������ � ��� �� #�� � �� � ���� �� #��!

�,! * ���� � � ������ ��� ���� �

���� � � ������ ��������� ��������� ��� �-� &������ �� '����� ��������� &���� �� ��� ����9�� ��� ���� ��� ������� � �� ������- � �� �-�! ���$� ��� '����� � ��� �,����� � ��������� � ��� ��&���� �������� � �� �-�� ���� �� � $��$ ��� ���� ������� �9���� � ���'����� �� �� �� �,����� ��������� � �&����� $ ����������� ��������� ������� ��� ������������ ��� � � ��� ��,� .'� ��,� $!4 �� $ ���� $/* ���� �%���� %��5������-��� � ������� ���� ��� � ����� �%����!

Page 196: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� � &

�� ��� �-� � ��� �������-� ��% ������� � E+�,� �� ���� ��� �� ������ �� ����-��� � ������ � ���� �� � �� � ����,� � ��� ��������� �������� ����� �����,� �� �&��-� �+�� .��,� ;!;/ � �� ������ E��� .��,� <!?/! $��� �� 1� ��� ������� ��� ������ .;!2@/ � .<!?</ � ��� �� �� ����,� � �� ������������ � �� ��,� '��*

� � �

�.

�� �� �

��

�.=!;;�/

� �.

3� �

0��

�.=!;;�/

���� � � � %�� 5������-���� �� � � ������ ���� �� � ����� �%����� �� �� 1 �� 0�� � �� � � � � ����� � ���� �%��� � �� ��,� �� �� �� 1�� � 3� � ��� � . � �� +��������!

C���� �� ������ �� ��� + ������ �������� ��� E+�,� �� ���� ��� � �-�� � �� ��� ������� ��� ������-��� �� ��� � �-�� � '����� ��������!$�%������� �� 5��� � � ��� � E+�,� �'����!

�9 �$�� �,!,�

)� �-� � 5�����,� ������� � �� D����� =!4@�� � ��,� ��������� � ,

., � �� �� � � �� �/ � �������� � .� � � �/� � &����� � �� ������� �����* .�/� ���� < ������� � ��� � ��%���� ; � �� ��� �������� � 5���-������ �� ���&��-� � � �� � BF ��� ���� .�/ � 5�������� �� ��,� ��������� � ����� �� ���������� ����� �� ���������� 0 � � �� ����� ��� ��� ����� � ��� �������� �� ��� � �� '���� � ./ ��� '- ������� � 5�����,� � ����� ��� ������� �� ���+����� ��� � ��� )�� �,����� �%����� �� 5�����,� � �� ��� ��� $� � �� 8��� $� � ��� 8��� �� ��'����! �������* .�/ �� ���������,� � ������� ���������� ���� � &������,� � � 5�����,�� .�/ �� ����,� ������ � ��� �������� ./ ����������� � �� ��'����� ������ � �� �-�� .�/ ��� ������� ���� � 5�����,� � ���� ��� �� ������ E��� � �� � � BF� � ./ �� ��'����� 9��� � �� �-�!

�� %�� � ��� � �� � � + �� � ����� � �� �� �� �� %�� � 5�����,� ��� � �� � �� � �� � ���� �� �� ������� ��� ������� � �&���� � 5�����,�.$ � $�/� � �9��� � ���'����� �� ��� � �� � $��$� � � $��%�� � %��5������-��� � �� ��,� '�� � � �� ���� � ���� � ��

Page 197: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ���$��� ���������

���� #��*� $6���� #�"��

�� ���� �%��� � �� ��,� ��% � .'� D����� =!4@�/*

�� ����� � � � ��� � � �� �� � �� ��

���� �� � � ��� �

������ ��� � ���� �������� �� ��%����� � �� ��,�! �� ������ �%���� ����� �� �� �� 1 � �*

�� �

��� � ��� �� � �� � � � ����� ��� � � �� �� � ��� �����

� ������ �� ��

.�/ �� 55� � ����� ��� ������� � ���'���� � � ���� ��� &��-� � �� � � BF� �� ���,� �� ��� +�������� � 3� � � �,��� 6� 0� � � � �� �� � ���� �� ��

� ��� ��� � ���� ��� ����� +�����! ���� ��'�� �� ������ E��� ���&���� '���� �� � �. 3� � ��� � � ��� � ���� ��� � ���� � ��� ��� � �� F�!

Page 198: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� � "

���� E+�,� �� ���� ���� � � 5�����,� ��� ���������,� ����� � ���������� �� ��� ������� �%+���� ���*

�� �� � � ��

���� � � ��� ����� ��� � �� � � �� �� � ���

�� �� � ��� ��

� �� � #��

��� �� � � ��

���� � � ��� ����� ��� � �� � �� �� �� � ���

�� �� � ��� ��

� ��� ��� #��

� ����,� � �� ���,�� �� ��'����!

.�/ )� ����,� � � ��� �� ��� �� ���� � &������,� �

�� ��� � � ��

�� �� � ���

� �%

� � � ������ � � ��� �

���� ��� � �� � ���� ��� � ��� �� �� � ���

&��

� =�?;= #��

���� � ���� ������� ���� ��� � �� ����,� � ������� � � ������ � ������� ������ � ����,� �� ����� ��� �������!

)� ���������,� � ������� � �� ��,� �� '�� � �� D����� =!4@! �����0'� �� ��� ���������,� � ������� � ��������������� �� �� ����� ���� �� �-���������,� +����� ������!

./ �� ���������� ������ � �� �-� �

��� �. �

$ ��

� � �� � ��� � �� � ���� � � ��� � � �� � � ��� �

� �� ��'����� ������ � �� ������ ���

=�� ��� �

$ ��� � � � �� � �� ��� � ��� � �

�� � �� � �� �� � ��� ��� � � �� �� � ��� ���

�� �� �� ��� �� ����� � ��'����� � <�� � �� � �� �� � ���� � ��'����� �����1� � �� �-�!

.�/ )� �����,� � �� ������ E��� �����'� �� � � BF� �� ��� ���� ���0����� � ����,� � � 5�����,� �

�� � � � � �� � �� �� � ����� �� � ��� �� � � � ��� #��

��� � � � � �� � �� �� �� � ��� �� �� � ��� �� � � ��� #��

Page 199: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"+ �������� � ���$��� ���������

� �� ���,� � ����,� �� ��'���� � �� ������� � ����,� � � ��� �

�� � � � � � � �� � ���� ��� � ��� �� �� � ��� �� � ?�?;> #��

)�� ������� 9���� � � 5�����,� ���� �� ������

�� � �� �� � � � ��� #��

��� � ��� ��� � �� ��� #��

� � � ���

�� � �� �� � �� ���#��

)� ���������,� 9��� � ������� � �� ��,� �� '�� � �� D����� =!4@�!

./ �� ������� � ��'����� ����� � �� ��,� �� ������ �

�=� ��� �

$ ���

� � �� � ��� � �� � �� �� � ��� �

�� � � �� � ��� ���

� �� ��'����� 9��� �

=�� � =�� �=� � � ��� � ��� ���

�� �� �� ��� �� ����� � ��'����� � <�� � ���� �� �� �� � ���� � ��'����� ������ � �� �-�!

�,� B@�� � � ���� � �� � ����

� 5� �� ������ �� ���������� �� � ��� ��,� ������� � E+�,� �� �������� � �'����� �� � ���� ������ ���� � ������ � ��� �� ���� � ���0'��� � �� ��,�� ��� �� �� +�������� ��������� � ������ E��� ��� ������� �� ������� �����'� &��� �� �+�� � � 1 ����� � ��1� �� �������� � ����,� � ���� ��� ����% ������� � ����,� � �� ���,�� �� � �� � ����� �� �+��!��� � ��������� �� � ���� � ������ � ��1� �� ���� � ���'���� ��� �� ��+�������� ������� �� E+�,� ��� ����� �� ������� �����'�� � � 1 ����� ���� �� ���� � ���'��� � �� ��,� ������� � �� ��,� ��'��������� � ���-����� ��� ��������� � ���� �� ������! �� ������ � 55� � �� � 1 �������� � �� � �� ��,� � �� � �� +�������� � �� &��-� ������ � ����� � ���� '���� � ����!

Page 200: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �*���� ������� � �� ������� �"�

���� #��+� EC���� ������� �� ��� �������

������ ��������� ��� � 5�����,� � �� ��� ������� ���� ��� �������� �����,� ��� ��(� � ����,� � �� �������� � �� ���,�! ��� �� ������ ���������� �%� � �� -��� � �� �� ���� ������� � ���� � � ����,� � ��� &��-������� �� �� � ���� �� ��,�� ��� �� ���� ��� ������� � �� ���,�!

� �9� � � �� ����� � ��� ��� ��� � ����� �������� � ��� ��������� ��� ������� ��� ���� � ������ � ����,� � �� ���,� +�������� ����� ������� ������� �� ����� ����� � ����� ��� ����� � �� ��,�!

���� �������� � � �� ����� 5����� ��� � ��� �������� �� �����*

�/ ��� �� �� ��,� ��� ������� � ������� ������� �� ����� ����� � ������� ��9��� �� � 1 ����� �� ��� � �� ��,�!

�/ � ���� � ������ � � 1 ����� ���� �� ��'����� ���� ���� ��� � ������� ���� �� �� � �� �� � � ����� � �� ��,�!

��� ���������� � � �� ����� � ��� ��,� ��% &������ �� ��� ������������� � ��� ��'� ������ ����� �������� � ��� ���� ����� �� �� � �� �� ������ � ������ � ��� ���� ������� �� &����� �� �'��'�� ��'+� � ����,�!

�� �� �� � � �� ����� � ��� ��,� �� '������-��� �� �%� &��������� � ��� � ���� ��� ��� ��� � ������ � �� D����� =!43*

Page 201: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"� �������� � ���$��� ���������

2! � � �� ����� �� � ���� �����* �� �� �� &��� �������� ��������� ����� ��9������� ��1���� �� ���� � ���'���� �� ��� � �� ������ �� ��� ����� � ������ ��9������ ��1���� �� �������� �� ���� ����1� ������ ��9������ �,+���� � ��� �� �������� � �� ��,�!

4! � � �� ����� �� ��� �� !��� ���� � �� ��� ��� ����� �������' �� ��� ����� � ������ ��9������ �,+���� �� ���� � ���'��� �� ����0 ���� 1� ������ ��9������ ��1���� � ��� ��� ��� �� ����� � ����,�!

;! � � �� ����� �� � ���� ��#� � ���#�* �� �� �� &��� � ������ ���-������ �� ������ �� ��'� &������ � ��5� ����� �� �� ����� ����� �����!���� �� ������ �� ��� ��� ����� ���� ����� � ��5�� ���� � ������ ���-����� ����� ����� 1� ������ ������� � �� ������� ���#� � �� ��,�� ����� � �� �����!

<! � � �� ����� ������� � �� ������� ���#� � �� ���' �� �� �������� � ������ ��� ��� ����� �� ��� �� ��� �� �������� � ��� �������������� �� �� �� ���� �� ��,�H �� ����� ��� ����� �� ����� ����� .����,�� �� ���,�/� �� �������� �� ���� ��������� �� �� ���� ������� ��� �'��'�� ��'+�!

����� � �� �� ��� �� �9���,� � � ������ � %���� �� � �� ����� ���� � ����� �� ��� �����, � �� ����� ���� "������� � #�������� ������� �2@=3! C����� � ��������,�� ,�� � ������� � � �� ����� � ������� ����� ���������!

�,�,� * ���� ��������

�� ��� ��,� ������ � ����� - ������� 1 �� �� �� � ���� �� ����� �1 ���� �� � ����� � � ����� � ���� ���� ������ �

0� ��

��

� -���

� -��

�-

��

.=!;</

��� ������� ������� � � �� ����� � ��� ��,� ������ ��% �� ����� ��������.'� D����� =!;:/! ��������� � ����� �� � �� ����� �� ������ �� � 1 ������� ������ � �� ��,�! ������� �� 1� ��� � ��� � ������� � �� 9�����&���� �� ������ � ���,� � � �-! �����9���� ��� ���,� �� �� + ���,������ �� 1 ����� � E+�,� �� ���� ��� ������� �� 1 ��

3� �

0��� � .=!;=/

Page 202: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �*���� ������� � �� ������� �"�

���� #� -� EC���� ������� �� ��� ������� ��������

� ���*

3 ��-�

�-����� � � 3 �

-

�.=!;?/

���� 3 � � ����� �� ����� �� ���� ��� �� � �� ����� � �� ��,� ������� ����� -!

�,�,� * ���� ����� ��������

�� ��� ��,� ����� ������ � ������ - � -�� +����� �������� �� ��'������������ 1 �� �� �� � ���� �� ����� � 1 ���� �� � ����� � � ����� ����� ���� ������ �

0� ��

��

� �-� �-�

� ���

� �-� �-�

� ��

-� -�

�.=!;>/

��� ������� ������� � � �� ����� � ��� ��,� ����� ������ ��% �� �������������! $ ������ �� ���� ������� �� �����-��� ��� �� ��,� ������� �����0��� � ����� �� � �� ����� �� ������ �� � 1 ����� �� ������ � �� ��,�� �� 1� ��� � �� 9��� ��&���� �� ������ � ���,� � � �- �����9���� ������,� �� �� + ���,� ����� �� 1 ����� � E+�,� �� ���� ��� ��������� 1 �� � ���

3 ��-� ��

� � � 3 �-� -�

�-4

-�

.=!;@/

���� 3 � � ����� �� ����� �� ���� ��� �� � �� ����� � �� ��,� �����������!

Page 203: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"! �������� � ���$��� ���������

���� #� �� EC���� ������� �� ��� ������� �����������

�,�,� * ���� � ��������

)� �'��'�� ��'+� ��� ��,� ��������� � ��������� � + , � �� �� ����,�! )�� ������ � ���� �� �� � ��� 1� ���� ��� � ����� ��� 0�� � ,�� � �0�� � ��� �! ���������� � ���� ����� �� 1 ����� ������� �� � ���� ��� ����,� � � �,��H � ���� � ������ ���� ������ � � ���� � � � �� ���,��� 1 ����� �*

3� ���

� �

0��� � � 3� �

,

�.=!;3/

6 &���� ��%����� ��� � 1 ����� ������� �� � ���� ��� � ���,� � �

���� � ���� � ������ � � ���� . �� +�������� 3" � ����

������ � ���� � ������ ���� � ������ �.� ��� ���� ������� 1������� ����� ������� �� ���� �� �� �� � � � ���� ��� � �� ��� �. �� �� ��� �� � ����� � ����� � �� ��,�! ��� ���� ������� �� �� � ��� 1� ��� ��� �� �� ����� � �� ����� � ��������� ,�� � ���� �� ��'����� �� � � ����'�� �� D����� =!;2!

�,�,! * ���� ��/� �

)� �'��'�� ��'+� � ��� ��,� � ���� � �������� � �� ��%������ ��� ���� ������ � �� D����� =!;4! ��� ������ � � �� ����� ��% �� ����� ��� � �

Page 204: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �*���� ������� � �� ������� �"�

���� #� �� EC���� ������� �� ��� ������� �� ����� (

��� �������� �� ��� ��������� � ��� ��������� '���%� ����� �� ��� ������ ����� � �� ��,� � ����,�!

)� ����,� �� ���� � �� ������� � �������� �� � ���� ��� � ���,�� � �,��� � � 1 ����� ���� ������ � �� � �� ���� � ������*

3� ���

� �

0��� � � 3� �

� 0��,

.=!<:/

�� ��� � ���� . � �� 1 ����� ���� ������ ��� � ���,� � � ���� � ���*

3"

��

0��� � � 3" � �� 0��

�.=!<2/

�9 �$�� �,�,�

6���1�� � � �� ����� � �� ��,� V � �� D����� =!;; .���� � �/!

)�� ����������� ��������� � �� ��,� ��� .'� �1� �� =!;!2!2/*

� � ��� � �� �� � � �� � �� �� � ��� � � ��

�� ��� 1� ���� ��� ��� �� &������� �� %����� � � ��� ��� �� ��� 1� �>�?� ��������� ��� ������ � ���� ���*

0�� ����

�� �� �

��� �� �� � �� 0�� �

��� � �

��� �� � � � ��

Page 205: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"% �������� � ���$��� ���������

���� #� � !������ ��� $6���� #�#��

���� ����� � � �� ����� 5�������� ��� ����� � ������ ���� �������� ��� 1� ������ �'��'��� � �� ��,� .D����� =!;<�/! )� ���,� �� 1 ������ &���,� � ��� +��������� �� ���� � ������ �*

3� �

0��

3� �

0��� �

� ��� ��������� �� ���� � ������� � &���,� � ��� ��������� � ��� ������ ������,� �� 1 ����� �� ��� 1� ���� ��� � ����� .8� �/� ���*

3� � �0��8

3� � �0���

)� ���,� �� 1 ����� ��� �&���� � ��� 1� ���� ��� � �� ��,� �*

� � �� �� � � �� ��

�� �� ������� � &���� ��,��� ���

� �� ��

�� ���

� ��� ��������� � ��� ����� � ������,� �� ����� �� ��� 1� ���� ��� ���*

8� � � �� �� � �� � �� �� �

Page 206: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �*���� ������� � �� ������� �"&

����� � ���� � ������ !� ������� �� 1 ����� �� ��� ��� �������� ������0���*

3�� � � � � �

� �� ��� �� �� �

3�� � � �� �

�� ��� ��� �� �

" ������ � ���� ��� � 1 ����� ��� � ���,�*

� � �� � � �� ��

!8� � �� �� ��� � �� � � �

� ������ ��� ��������� �� ���� � ������ ���� ������ !�*

3�� � � � � �

�� ��� ��� �� �

3�� � � �� �

�� � � � �� �� �

���� � 1 ����� ��� � ���,�*

� � � �� �� � ��� ��

!8� � ��� �� ��� � �� �� �

��� ��������� �� ���� � ������ !� ���*

3�� � � � � �

��� ��� � � �� �

3�� � � �� �

�� ��� � � �� �

���� � 1 ����� ��� � ���,�*

� � �� � � ���

!8� � ��� ��� � ��� �� �

��� ��������� �� ���� � ������ !� ���*

3�� � � � � �

��� � � � �� �

3�� � � �� �

��� ��� � �� �

���� � 1 ����� ��� � ���,�*

� � � � �� � � ��� ��

!8� � ���� �� ��� � � �� � �

Page 207: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�" �������� � ���$��� ���������

���� #� "� EC���� ������� �� �� ������� ��� $6���� #�#��

��� ��������� �� ���� � ������ !� ���*

3�� � � � � �

���� ��� �� � �

3�� � � �� �

� �� �� �� �� �

D������� ��� � 1 ����� �� � ���,�*

� � � � � � � � ��

!8 � � � �� �� � �� � �

��� ��������� �� ���� � ������ ! ���*

3�� � � � � �

� � ��� ��� � �

3�� � � �� �

�� � � ��� �� �

�� � �� ����� � �� ��,� �� �� �� ������ � ����� ��'+� �������� �� �� �������� ����� �� �� ��� ����� � ������ �������� !� � ! .D����� =!;<�/!

Page 208: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

% ���� ��� #�����

%,� -���������

� �� �� ��� ��,� � ��� �-� ��% ������� � ����������� � �������� ��������� ��� �� � �� �&��-� ������� � ���� ��� �������� � &��-�� ������� �� ���� � �� ��,�! 6��� �� �� +������ � �&��-� ������ �� ��� �� +������� �� ������ E��� '������� ��� ������� ��&����� � ��� �-� ������� ��������� ��% ������� ������� � E+�,�! C���� � �� �� ���� ��� � ������� ������ ������ �� 55� ��� ���� �� ������ � ��� ������� �������� �� �� �������,� � ������ E��� '������ � �&��-� ������! $����������� ��� ����� ���� �� ��,� �� �&��-� �+�� �M� �� ������ ������! �� ��� ���� ��� ������ �� � ���� �� � �� � ����,� � � ������ ��� ��������� �������� ��� �� ����� ��� �� ����� �� ��� �������� � ��� �� ������ ���� �������!

)� �����,� � �� �&��-� ������ �/ ���� �� ��,� �� ��� �� +������ � ������������,� � ������� ��������� �� ���� � ���� � �� ��,�� � ��� &���� ��� �� �� �� ����,� �������*

�/ �

���� �� .?!2/

���� ���,� '������ �� + ������ �&���� � ��� 1� ���� ��� � ����� � ����,�� ��� ��� ��� ��� ������ �������� ������*

/� �

����� �� � /� �

����� �� .?!4/

���� /�� /� ��� ��� �� ����� �� �&��-� ������ � ���� ��� ��� �� ����� ��� ����,� ��������!

)�� ������ �������� �� ������ ��� �������� �� ���������,� � ����������������� ����� ������� ��� � ��� � ������ ��������� 5�� 5� ,���� ������ �&�����,� � �� �������! 6�������� 5� ,���� � �&�����,� ��� ����� � ������0��� ���������! �� �� �� ���� � �������� ������ �� ������� ����� ������ �

233

Page 209: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�++ �������� � ������"� ��������

�� ��������' ������ � ��� 5� ,���� � �&�����,� ��� ��� �! � ������� � ����0����,�� �� ����� � �� �������� � ���������� ������ � �� 5� ,���� � �&�����,�� E+�,� � �����0C���� .5� ,���� ������-��� � ���������0F�'��/!

%,� ' ��(� � � ��� � �� ���������

)� 5� ,���� �%� ��� � �� �� 5��� �� �� � �� �&�����,� � ��� �������� ��� �-� ����%��� ������� � �������� � �� )�� ��� �������� ������ � ����� � ���� ������� � � ���� � �� ��� ��� �� ����� ������+*�� ��� ���� � ��� ������� � �������� � ��� ��� �� �������� � �� D����� ?!2�������� � �� ��,� � �� �&��-� ������ � ��� ��������� ����,�� ��� ��,���� �� �� ����% �� �� � ���� ��9������� �,+��� �� �� �� ��-������ �����'�� '���� �>� � �� ����,� �� ������ ������! )� ��������,� ������� ������� ��� ���� �������� � �� ������� '���% ���� ��*

� ��>

� .?!;/

��� ������ �� ������� ��% ������� � �� ����� � ��������,� ���&��� � '���� �! ��� �� � �� �� � A��B� �� ����,� �������� �� �� � � �� ���� �������� ��� ��,� '��*

� � &� .?!</

���� & � � �,���� � �����- �����'���� �� ������� � �� �-�!

���� &��� >�������� �� ��������� �� �� (���,� ��������

Page 210: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ ��������� � �� ����� ��� �+�

���� �� �������� � ���� ������� �� �� ����� �� �&��-� ������� � ������ ���������,� ���&��� � ������� ���������� � ����,� ������� �� �� ���&��-� ������� � � '����*

� �/

�.?!=/

���� � � � %�� � �� ��,�! )� ��������,� ������� '����% �����*

� �/

&�.?!?/

F,�� �� � ����������� � ��� 9��� ��������� �� 1� ��� � � �� 9��� �� ����� ����� � ���'��� � ��� ��� ����� +����� � �� �������� '�� ���� ��*

�� ��� ��>��

���

� .?!>�/

� � ����

� � .?!>�/

� ��

�.?!>/

$� �� ��(� � '���� � �� ��������,� ������� �� �� ����������� ������������ ���� ���� �� ����� �� �� ������ �� � ����� ������� ������� �������� � ����,� �� �&��-� ������!

���� ����� ������ � �� �������� �� � ����������� �������� ���� �� ��0 � ��� �������� � ��������� ������� �� �,����� ��� ��� � �������� � � �� �����2 �� � ��������� '���� � ���� �� � �� ������ � ��� ������� ���������! ��&��� ��������� ��� ��,� � ��� �-� ������� � �&��-� ������ '����� �

���� &��� (�������� ������������ ����� �� �������� �� �� �������

Page 211: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+� �������� � ������"� ��������

���� &� � ������������ �� �� ����,� ��������� ������� ���������� � ��������

�� ����� � ��5� ��,� �,+��� �� �������� ��� ��� � ������ � �� D�����?!4! �� �� ����,� �������� � ���� ��5� ����� � '������ ��� ��� ���� ����� � �� ����� ������� ��� ����,� �� ���� ���� � ��� �� ���� ���0��� �� �������� ��� � ���� �������� �� ������ � �! �� � � ���� �� � �� ����������� �� �� �9� ������ � �� �-�� ��������� � �� ��,� ���� �� +����� ����� ���� ����� � � ���� � ��! ���� � ������ ��� �� �9� ������ � �� �-���% ���� � �������� ���� �� �� �� ����! ��� ������ �� ��� ����,� ����� ��� ����,� ��������� � ����� �,+���� �� ������� � �� ��,�� � �� ������ �� �� �� �������� ����������� � �� 5� ,���� ������ � �� �� ����,� � �� ����,��������� ����� �� �� �� �&��-� ������ ������!

���� ����������� ������� �� �� ����� ������ � �� �������� � ���� � ���5� ,���� � �&�����,� +��'���� ��� ��9���! ��� ������� � 5������� �����-����� ����� ������ ��� ����-�� � %���� � ������ � �-�� ������ ���5� ������� � ��������� .'� D����� ?!;/!

�������� � �� �� ���� � ���������� ��� ����� � ��+����� � ������������ �%� �������� ��� �� ��� ���� �����&��� ��� �������� � ��������� �������� �,���� �� �� ����� �� �� ����� �� ��� 5� ,���� � �&�����,� �����-���� � ������� � ������� ������� �������� �� �� E+�,� � �� �-�!

%,� ' ��(� � #������

���������� ��� �-� ����%��� ��� � ��,� ���������� �� ������� � �� ������ �� �-�� ������� � E+�,� ��� � �� � �� ���� ���� �� � ����� .E+�,� ���/!�� ������� � &��� � ��������� �� ���� ��� ������� ��&����� � �� �-��� �� �� ������ E��� '������ �� � �� �&��-� ������ /�� ����� ��������� � ���� ���� �� � ����� � .'� D����� ?!</!

6� ��������� � ������� � �� �������� �������� �� ��� ����� � .&������/� �� .������/� � ������ ��� �������� � � � ����� �� ����,�*

/� � ����

� .?!@/

Page 212: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ � �����!��� �+�

���������� �5��� �� ������� ��'����� �� ��� �� �9� ���� ������� �������� 1 � �� '��� � �� ���� � �� ��� �� �� ���-� ���� � ���� � �� ��,� � �� �� ��� ���� �� ���-� ���� � ���� � �� ��,� ��! ��������� � ��������� �&��-�� �� � � 1 �� �� �� ���� �� ��� ������ � �� ������� .2/ �� ���� �� ���� � ��5� �� �9� � ���! 6 ����� �� �� �� ������� � F�'������� �� ��� �� �� �� ���� ������� ������� ������ � �� ��� �������� � ������ ��� � �� ��,� .2/� �������� �� �� ���� ����� '��*

� �

��� �� �

�����

��� �� � ���

������� .?!3/

���� � � �� ��� � �� ��,� ���� �� �� � '�� � ��5� �������� .%�� ������� �� D����� ?!</ � �

���� ��� � �� � � ������ ��%��� � � �� �� �� 1 �!

6 ����� &����� ���� �� ��� � �� �� ���� ������� ������� ������ � �� ��,� �������� �� ���� ��� �������� � �� '��*

� �� � ���

�� ���

��� �� � ��� ���

������� .?!2:/

)� ��&���� ��� ����� &��-�� ������� �*

�� � ����

������� .?!22�/

�/� �

������� .?!22�/

���� � 5� ����� � ���� �� ��� � �/� � !

���� &�"� 2�������� �� �� ����� �� ���������

Page 213: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+! �������� � ������"� ��������

F,�� �� �� + ���,� ������� � ��� ����� �� '���� �� �� ������ E����� �� �,�� � �� � ���� � ���� � �� '�����,� � ��5� ������ �� �� �� �������� ������ /�! �����'� ������� ��� �� �� � 1 � �� 1 �� ��� �� � ��������� �� ��,�� � ������ ��%��� �� �� � ��5� 1 �� %�� ������ ������� ������ � �� ���� �� � ������ � '���� ��������� �� ������ ��%��� �� %�� ������� �� ���1� � ����!

����������� �� ���� ����� ��� ������� ��������� �� �� ��� � �� �������.4/� ������� �� ���1� �� ���� � ���� 1� ���� �� ��� .2/ �� ����! )��������- � �� �������� � ���� ������� ��������� � �� ������ ��

�- � �

���

� �� .?!24�/

� � ���� ��� .?!24�/

���� ��� � �� �������� �� ������ �� � ���� ���� �9���� ��� �� ����,������� ���� � �� �� �9� ������!

�� ��������� � &��-�� �� � �� ����,� �� ����� ��&����� .2/ +�� ���- � �� .'� D����� ?!</ �� �� ������ ��������� ��� ������ .?!22�/ � .?!24�/� ���� ��*

���� �/��

����

�� ���.?!2;/

)� + ���,� ������� � ������ ��� ������� � 9�������� .2@>>/� ����� �� ����0�� � ��+����� � '����� ������� ������� � '���� 5���� ���� �� �����-��� �� J����0W�B� � 2@<< ��� ������ '���� � ����� � '���� ������� �� �������� � ������� �� ��� � 2@=?! �����'� �� ��5� &,����� �� �� ������ � '���� � �� ����,������� � �� ���� ������ ���� � '���� ���� � �� ����,� �������� ������ � ������� � �� �� �9� � ������!

F,�� �� � �������� � ��������� � &��-�� �� � � 1 �� �� �� ���� �� ��� ������ � �� ������� .4/ �� ���� �� ���1� � ��5� �� �9� � ��� ���� �� �� &��-� ������ �� �� ��� .2/ 1� ���� ���� � ������� � '���� ������ �-� � � ������ �������� �� �� �� � ���� �� ��� �� ���� .'� D����� ?!=�/! )��������� ������� � �� �� �9� � ��� � �� ��� .4/ ���� ��'������ � �����'���� � ������ �������� � ��� �� �� �� ���� �� �� �9� � ��� � �� ��� .2/!

��� � ���� �� � �� ������ � ��� ������� ���������� 1���� � ��� �����0�� �������� ������� �� 1 � �� �-�� �� � ��� � �� �� �9� ������� ������������ � �� � ��� ����� �������� � � ���� � � .� � ��/� ��� ������������� � �� ���� �� .� ����/ ��% ����� � ��� ���� � �� ���� ������ ����,��������� ������� � �� �� �9� ���� ������! ����� ������� ������� ������� ����� � � �� � ������� � �� D����� ?!=�! �����'� ��� �� � � ���� ��

Page 214: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ � �����!��� �+�

���� &�#� (�������� �������� � ������������

� �� ������� ����� ����%� ��������� 5��� �� ���� .5��� ��� � �� ���/ � �� ����%� � ��� .��� � ����� � �� ���/!

��� ������ �� &,����� � ��������� .?!2;/ ��� ���� 5������ �� �� ����� ������� �,����� ����� �� ����,� ������ ���� �� �� � ���� �� �� �9� ������ ����� ����,� �������� ���� ������� � �� ��,� � .� ��/� � �� ����� � �� .� ����/� ������ � ��� ����� ����� �� �&��-� ������! )� ����� ����'��,� ������������� ��� ����� ���� � ������ � ���� ������� �������!

6 �� &,����� &��������� � ��� �� ��� ������� ��������� ��� ����� � ��� ����� �%� ��1���� �� 1 �� �� �� ��� ����� � '��9� �� � ������ ��%������� ������ �

���� � ����* � � ���� �� ���� �� �� ���� � %�� �� � � ���&���� �� �� � ����� �� %�� � �� ��,�� � �� ���� � ������ ��%��� � �� ��,��� �� � �� 1 ���������� ��� � 1 �!

�� �� ������ ������� �� � �� ����,� ������� � �� &,����� � ��������� �5� �� ���� �� ����� � �&��-� ������ ��� � ������ E��� ������ ��������� ��� � ��� ����� ���� ��� � ����� � � �������� ��� � �� ��� � E+�,���� � � ��! �� '����� ��� ������� �� � � � �� 1��� � ������ E��� ��� ����,� � ������ ������������ �� �� � ������ � �� �� ���� ������ �� ����� ��� �� ������ � ���! ��������� ������� � E+�,�� �� �� ����� ������� '�����,� � ������ E���� ����� ������� �&��-� ������ �� ��'������

Page 215: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+% �������� � ������"� ��������

�������� ������� ��������� � ��������! ��� ������ �� ����,� ������� � ��+���� &%����� � ��������� � ��� �� � �&��-� ������ �� �� � ��� � ���1� ���� ��� � ������ � ��� � �� �� E+�,� �� �'����� ���� $� �� ����� ����� ������ � ��� �" ������� � ��� � �� ����� ���� ���� � �#���*

�9 ������ %,�,�

��� ����� �� �� ���������,� � ������� ��������� �� �� ������ �� &,����� ���������� �����&� ��� ������� �������� � ��������� ������!

$ ��� &��� ������� �� �� &,����� � ��������� + ��� �� ��� �� �������� ���� ������ � �� ������ /� ��� ������ ������� �� ������� �� ����������� � �������� �� 1 � .'� D����� ?!?�/� � '���*

��� �/� �

����

�� ����

��� ������ � ���� ����� �� �� �������� � ��5�� �� ����� ��� � ����� ���&��-� ������ ������ /�� � ���*�

���� �� �

� �

���

/� �����

�� �������� ��

�/���

� �

���

����� ��

�/���

�� � /� .�!!�/

�� &��* � �� �

�����

����� �� �

� �� �

�����

� ��� �

���� � �� �� � � ��

� ��� �

������

� ����

�����

� �� �� � � ��

� ��� �

������

� �� �� � � � � >��

� ��� �

������

���� �� � � >�� ��� �

������

� �� �� � �

�� ���� >�

�� � ��

� ��

Page 216: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ � �����!��� �+&

���� &�&� $������� ������������ �� ���� � ������ ���������

���� � 5� �����-��� � ����� � D����� ��� ������� �� ����� ���� �������� �� 55� � �� � 1 � �� ���������� .

�� � �� � �/!

$�%�������� � �����-� �� &,����� � ��������� ��� ������ ��� �� �������� ���� ������ �� ����� ������ /� ������� �� ��,� �� ����� ������

� �������� �� 1 � .'� D����� ?!?�/*

��� �/� �

����

�� ����

��� ������ �� �� �������� � ��5� ���������,� � ������� ��� � ����*����� �� �

� !

�!�

/� �����

�� �������� ��

�/���

� !

�!�

����� ��

�/���

���

� � .�!!�/

�� &��* � �� !

���!�

����� �� �

� �� !

���!�

� ��� !

����

� �� �����

���������� �� � � ��

� ��� !

����!�

� ����

���!�

� �������

���������� �� � � ��

Page 217: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ �������� � ������"� ��������

� ��� !

����!�

� ��������

���������� � ?�� � �� � �

�� � � �� ?�

��� ��

� ��� �

� �

���� 5��� �����-��� � ��'� � ����� � D������ � � 55� � �� ��� 1� ��� ����� ���� ��� � ����� � �� ��,�!

)� �� ������� � ��� �&��-�� ������� �� ���� � '����� ������ ��+ ������ ��� �! $������� ��� '��� ��� ���� � ������ ������� � E+�,���� �� ��� ��� �� �� � ������ � �� D����� ?!>�! ��������� �� ��� ������������� �� �-� �� � �� ���� 5���-����� ��� �� ��'�� �� '��� � ��� ����* .2/ ��������� �� ���� �� ���� � ��� � .4/ �� ������� �� ���1� � ���! $� E��� ��'��� � ��� � �� ����� � �� �� �9� ��� ���� ������� ��������� ������� ���� ��� �� �� ��� .2/ ���� ���� �� .4/� � �� 5�� �� �� '��� � �� ��� ������ �-� ���� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!>�! �� � ��� �� � ��� &������ � ��� ���� .2/ � .4/ ���'���� ��� ���� �� � ����� .��� ��-������/� ����������� ������� �� � ������� � � ��1���� � �� ������� � &���� ����������&���� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!>!

���� &�'� 2�������� �� ��� /��� ������� � @�4��� ������ 0�1 ��� ����������������� � 0�1 ��� ��������� ��������

Page 218: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������ � �����!��� �+"

�� � ��� ��� '���� �� � ������ � � ��� �� ����� �����1� ������������� ��0������� ��� �� �������� � E+�,� � &���� ��������� .'� �1� �� <!4!=/� � ��'���� � ����-������ � ��� ���� �� ���� � ���������� �� � ����,� � ��� �������&��-�� �������! $ ��� &��� ��� ����� ��� ���� �� ����� � ��� �-�� �0����� �(��� ��������� ������ � ������� ���� ��� �����'� �� �� � �- � ����������� ������� ��� &��-�� ������� ���� �������!

�9 �$�� %,�,�

)� '��� ��� ����� � �� D����� ?!@� � � � � � � ��-� ��% ������� � ��� �������&������ � ������ * � � BFM�! � ���� �������� � ����� � ��� �-����� ������ � <: + 2: �� ������ ������ ������� ��� ��� � ����� � ��9����! 6��������� � ��%���� � ��5�� ������� ������� �� � ����� � ����������� � � 2= � � � ����,� ��� ����� � �� �� ����,� �������� �������� ����� � �� � ��� #��!

���� &�*� :��� ����� ��� $6������� &� ��

�� ������ �%+��� � �� '��� � �� � ��� ����� � � ��� � � ����� � ��������� '������ � �����*

/�� �*�

��

� � ��

� � BF

)� ����� � �� ��,� �� �� �� 1 ���������� 5���-����� '��*

� �

� � � ��� � �

��� � �� �� � � � ���

���

� �� � ��� ��

Page 219: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������"� ��������

�� � �� &,����� � ���������� �� ����,� ������ ���� ���� ��� �� �9�� ������� ��� ��� ���� � � ���� � �� ��,� �

���� �/ ����

� �

���� ���� � � ������ ��%��� �� ��� �� �� �� 1 ���������� 5���-����� �� � � ��5� � �� �� �9 � ������� � ��*

���� � � � �� � �� �� � �� � ��

� � �� �

�� �� �� ���� � �� � #��! ���� ����� � �� -��� � � ���� �� �� ����� ���&��-� ������ � '����

- � ���� � � � �� � � � � �� � �� � F � �� �� BF

�� ������ �5��� �� �� ����� ������ � �� �������� � � ����� �� ������ ��� �� �� ����,� ������ � ��� ��� ���� �

� ��� �-

����

��

� ���� � %�� � ��� ����� ������

���� � -

���

�� �� � ����� � � �� � �� ���

�� ��� ������ ��� � ��,� ������� � ����� �� ��%���� ������ � ; � �

��!)�� %����� �������� �� ������� � ��%���� ������ � ��� ������ � ���

����� �,+���� � ��� � ����� ���� � �&��-� ������ � �%+���! 6��� ���� '�����,� �� ������ � ����� � �� ����� � �� '���� �� '����� ������ ������ �� ��� ������ �� ���� � �� ��-� � ����� ������� � � ����� � ��������� � ����� �� ��� ������� ������� ���������! $��� �� 1� ��� � ��� ;����� ������ � �� '��� � ������ � ��&���� � / � �� � BF � � ����� ������� �� ����� � � � �� � ��� �� �� ����,� � ��� ������ �� � �� ����,� ��������� �9���!

%,! * ���� � �������

%,!,� * ���� � ��������

���������� ��� '��� � ��,� ��������� ���-� � ��������� � , � �����0����� �����-���� �� ����� � ���������� �� ����,� �������� � � �� ���� ��������� �� ��,� ���� ������� � �� �&��-� ������ '����� � '���� / !

Page 220: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� ����"�� ���

���� &�+� (�������� ������������ � �������� �� ������� �����������

�� � � ���� �� � �� ������ � ��� ������� ���������� � ����� ���� � �� �� ������� � �� ��,� .'� D����� ?!3/ ����� ��� ���� ��������� �� ���5� �������� � ���� ��� '������! ��� �������� � � ���� � ������� ������! ��� ������ � ��� 5� ,���� ��� ��9���'�� ���������� �� � ���� ���� � ������ ��� ��� ������� ��������� ��� ������� �� �&��-� ������ / � � ���� ���'������ � �� �� ���������,� � ���&��� � �� ����� � �� ���� ���! �� ������ ���� ������� ������� ����� ��'����� �� � �� �&��-� ������! ������� �'���� � ��� ���� ����� �� � '���� ���� �� �� ������ �� &,����� &���������� ����� � �� ��� � ��,� ������� �� ���� � �� ���� ���! �� �� ���� �����/� � /� �� � �,�� � � � � � �� ������ ��%��� � �� ��� � ��,� ������� ������ � �� ���� ��� �� ������� � &���,� � �� ������� � �� ��� � '��

����� � �

�,

���

� �� �

��

�,�

����

�.?!2</

��� ������ ����������� ��� '����� �������� � �� &,����� � ��������� � ���*

���� � ������� ��

/

�,

' �

���

,

��(

.?!2=/

6 ��� + ���,� � ��� �� �� ���������,� � ������� ��������� � ��� ��,���������� ������� � �&��-� ������ '����� � ����,��� � &���,� � �� ��������� � ���� � ��� 9���� +����� �� � �,���� � ��� �� '���� �%+��� � ��� ����� ��1 � .� � �/ ���� '��

���� ��

/

�,�

/

�.?!2?/

Page 221: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������"� ��������

��� ���������� �� ����,� �������� �%+��� � �� =:X ����� �� �� �� � ����0� �� ������ ��� ���������,� ���&��� � ������� .J����W�B�� 2@<</� ��� ��� ��������� � � ���� �� ����� ������ � �� ��������! ��� ������� �(���� �� ��� �� �� ������� �������� ��������*

/� �

����� �� �

� �

��

/

�,

' �

���

,

��(

� �� � /

/� �

����� �� � �

.?!2>/

)�� '����� �� �� ������ �� + ���,� .?!2=/ �� ��� +����� �� �� ��� � ��+�0������ ����� �%� ����� ����� �� �� ����,� ,��! ��� 1� ��� �� � ������ �������� ����� � �� ���������� ��� '����� +���� ��� ��� ����� �� 1 � �� � ��� � ��0��� �� �� ���������,� �� � ���&��� � �� ����� �� 1� ���� �� 5�� �� �%+��� ���� ����� � � � � � �� ������ � � ���� &! )�� &����� � ����,� �� 5������� � ���� �� �� �� '���� ���� ������� � ��+�������� � ��� � �� ����� ?!2!�����'� �� ���� �� � &���� � � �� ������ ��� ,��4 !

,�� � � ,�� � ,�� � �� ,�� � ��

� � � �� ��� �� ��� �� ��� �� ���

� � � ��� � ��� � �� � ��� � ���

(���� &��� :������ �� ���������� ���� ��������� ������������ �� �� �6� �F-

%,!,� * ���� ���)�����

���������� ��� ��,� � &���� ���������� �� �� �� 1 '����� � ������� �� ������������� 1 ���� �� � ����� �! ���������� ���%� �� ���� �� ��,��� � �� �&��-� ������ / ������ �� 1 � �������� ��� ��� � ������ � ��D����� ?!2:! )� ����,� � � �� ���� �������� ����% ��� �� ������ ��� � ���� ������� � ��� 1� � � �� �� ��'����!

���� ������ �� �� ���� '����� ���� � �� ����� � ��� ���� 5���-����� ���

� � ��� �� &,����� � ��������� *

������ ��� �

/ �����

�� ����.?!2@/

���� ���� � �� �������� �� ������ ���� �� '���� �� �� ������� � �� ��� � ����,�!

Page 222: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� ����"�� ���

���� &��-� !������ �������� ������� � ��������

��� �� ������ ��� '�����% �� � �� 5��� �� ����,� ���������� �� ���������' ��%

�%+��� ��� ��� ����� �������� ���� � 1 �� � �� �� �� �� ��5��� � �� ��,����� �-� �%� �% ��� �� �

���� � ����� �� ��� ������ �� 1 �� ��� ���� �� 1� ��� � �� ����� � � �� ���%����� ��,���!

�� ��� ����� +����� � � �� �� ������� �� ����,� �������� � �� �������� �� ������� �� � �������� ��� ������� � ����� � �� ���� � ��1 �! �� �������� � &���� ��� ��9���� �� ��� ���� ���� ������� ��� � � ����� ����,� � � � ��� �� ��� �� �! �� �� ���� �� �� ���� 5���-����� � ������,� �������� '�� ��� ��� ����*

��� � ��� ��� � .?!23/

���� � %����� � '���� ��� ��� ����� � ���� � &���,� � ��� ��������� ��� ���� ���� ���������! )� ����,� ������ � �� ���� ������� � �� ��,�� '�� ����0�*

���� �� ��

���� ���� ������ �

.?!4:/

)� ����,� �%+��� � ��� ���� ��� � �� � � ������� � � ����� �*

���� ������ C

.?!42/

���� � %����� C � �,�� &���,� � �� ������� �!

Page 223: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������"� ��������

F����� � ��'� �� � �� ���� ������ � �� ��,�� �� ����,� � �� ����,��������� �� ����� �� �� �� �&��-� ������ / � ���� �� ��� �� ����� �� ���� ��� 1� ���� ��� � �����!

%,!,� * ���� ��������

)� ��,� ������ � �� ��� �������� � ��,� ��������� �� �� ��������� � ��������� 1 �� �� �� � ���� � ���'��� � 1 � ������� �� �� ����������� 1 ���� �� � �����! �� �������� �� 1� ��� �� � �&��-� ������ ��� ������,� �� 1 '������ �� �� ��������� �!

������ ��� ��� ��,� � ����� 0� �� �� � �0��� � � � �0� $��%�� ����5��� � ��� ���� ������ �� 1 �� ������� � �� ������� �� � ���� � �

�0� � ���

� � ������ ��%��� � �� �� �9� ������� �� ���� � ��� �

����� �

� �

�� �

�0� � �� �� �

��0� � ���

� .?!44/

��� ������ �� ���������,� � ������� ��������� '������ ���� ��� �*

������ �/ �

��0� � ���

����

� � ��

0� � ���

/

� �

��

0

���.?!4;/

���� &���� !������ �������� ������� � ��������

Page 224: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� ����"�� ���

� ���� ��� &���,� ����,��� � �� ������� �! $��%�*

�� C ����

0�

�0� � ��

0�

� �

��

0

��.?!4</

��� ������ � � ������� � ��� ��� ������� ��������� �%+����� � '����*

���� ������ C

��

/

� �

��

0

��.?!4=/

� ���� ��� &���,� �� ��� � �� ������� �!6 �� ������� � ��� �� �� ����,� �������� �%+��� � ����� � ��� �����

�� 1 � �� � ��� � '��*

���� ��

/

�.?!4?/

� ������ �� �� ��� ����� � �� �� ��������� �� / � � ������ ���&������ ����� �� �� �9�� �� � �� ����� ������! �� � ����� �� ���������,� � ���������������� � �� ����� �� 1 � �� � �� ����� � �� ����������� ������ �� �� ������0���,� �� � ���&��� � �� ����� � ��5� 1� ���� �� ��� �� �%+��� � � ������ '��*

���� �� �%

�� %�

/

�.?!4>/

���� % � � �9��� � ������� �� ������� � �� �-�! ���� % � �� �� ����0 ������ �� ���� � ��� ���� � � ���/��� � ���� �� �� � ���� �� �� � ��������� ����������� �� �� ������ ��� +��� � ��+����,�!

�� &%�� �� ����� �� � �� �� ��� ������� ��������*

/� �

� �

��

/

� �

��

0

������� �� � /

/� �

����� �� � �

.?!4@/

���� ������ �� ������� �� �� �� 1 �!�(������� � ��'�� �� ����� � ������ �� ��� � �� � �&��-� ������

�� � �� � ��� � ��� 1� ���� ��� � ������ �� ����,� �������� � �� ���������� � �� ��,� ��� �� ����� ���� ��� �� � ��� ��� 1� ���� ���! ��������� � ������ �� ����,� � � �� ����� �� �� � / !

%,!,! * ���� ��������� ����� � �

���������� ��� ��,� ���������� ��,���� �������� �� �� �� 1 '������ ���� � � ������ ,� ��������� �� � �&��-� ������ '����� / .D����� ?!24/!

Page 225: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������"� ��������

���� &���� !������ ���������� ��������� ������� � ��������

)�� 1� ��� �� ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� �� �� � 1 � ��������� ���%�����! � ��� �� �� � �,����! )� ����,� �������� ��� � �� ����� � �� ������� �� ������� ������*

������ �/ �

����

�� ����.?!43/

�� ���� � ��,���� ���,� � ����� � � ������ ��%��� �� �� �� 1 �� � �� ���

�� ���� �� ���%����� �������� �� �� ���� ���� � '����*

����� �

�����

��,

�� �

� '��� � �

� �

(.?!;:�/

�����

��,

�� �

���

,

�.?!;:�/

��� ������ �� ���������,� � ������� ��������� ��� � �� ��,� ���������� �*

��� � �/

�,�

��,

�� �

���

,

�.?!;2/

��� ����'��� �� �� ���������,� � ������� ��������� � ��� &���,� ����,���� �� ������� �� � '���� ���� ��� ��� ����� � � �,�� � � � �,��� � ���� �� '���� � � �� ��� �� ���%�����! $��%�� �� ����,� �������� ��� �%+��� � ����� � ��� ����� �� ���%����� � ������� � ����� �*

������

� �/

�,�

�,

�� ��

�� � � � �

,

�.?!;4/

Page 226: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ��&

���� &�� � 2����������� �� ��������� ������������ ����� ��������� ���������

� �� '���� �*

������ �

�/

�,�

/

�.?!;;/

�����'� �� � '���� �%+��� � ��� ������� ��������� ��� �� ����� �� ��� ����� �������� � �� ������ �� ��������! �� &��� ��� � � � � '���� � �� �������������� ��� �*

���� ��

/

�,�

/

�.?!;</

$����� � �� ���� � %����� C � ��� �� ��� C � ����,� ��� ������ ��� �� �����5���-������ ��� '��� � � �������

� ��� �� � ��� ��� C ��/

,�

��

�,� �

���

,

�.?!;=/

�� �� ������

� ��� ������� C

'

��

�,

��(�#�

�/

�,�

��

�,� �

���

,

�.?!;?/

%,� * ���� � � $ .� D� �$ ���

%,�,� * ���� � �/� ����

�� ��� ����� � ��(� � ��� �������� �� ����� � �� �������� � ��������� ���� �������� �� ��5� ����,� �� ���������,� � ��� ������� ��������������� �� �&��-� ������!

$ &��� � � ���� �� &,����� � ���������� ��������� �� ������� ��� �� ��� D����� ?!2<� ��'����� �� ��� �� �9� ���� ������� ������ �� 1 � �� �-� �

Page 227: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������"� ��������

���� &��"� !������ ������� �� ��%��G� ������� ������� � ��������

��� �� �� ���-� ���� �� ��,� �� ��� ��� �� ������ � �� ���� ���� �� �9� ��&���� � �� ��,� .���� � ���-�� � ��� D������ ?!2<� � /! 6 ��� ����� �� &,�������� �� �������% � '���� � �� ����,� �������� ���� ������ � ��� � ���� � ������,� � �� ���� ����� � ��� � ����" �� ���*

$� �� � � ��� ��(�� � �� �� ��� ��� ���� ���� �� �� ���������,� �������� ��������� � ���&��� � ���'�� �� � ���! $��%�� � �� ������� �� ��� ���� ���� � �� ���� �� ��� ������� ��������� ���� �� ����� ����,�� ���� �� ������� � ��� ����� � �� �� ������ �� �������� � ���� ������ ��� ���� ���� �� �� '�����,� �� � ��� � ���� � �������! ��� ������ �� ����,� ������ �� ������ �� &,����� � ��������� � ��� ���� � ��+����,� � ��� ����������� �� � ����� � ���'�� �� � ��� � �� ��,�!

�� ������ � ���� � �$�7� ��� ��� �������' �� �� &� ����#���� ���' $� �� ����� ����� ��� ��' � ���� �����' ������� � �� ���� ����� �� ���' � $� � �����!� ��� ������ � ����" �� ���* %� ��� ��� ��� ����� ����� ��� � �� ����� ���� � � � �� ����� � �� ���' � �� � ����� ��� �� ����� ������*

Page 228: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ��"

����������� � &��� � ���������� � ��� � ��� �-� ����%��� � ��,������� � ��(� � ���� ������� � �� �&��-� ������ ������� �� � � 1 ���� �� � ����� � � �� ��,�� /� � /� ��� ��� �� � �� D����� ?!2<! ��������� �� ����,� � �� ������ � �� �� ������ ������ ��� ������� ��������� �9������� �������� � ��� 6 � 6�� ����� � �� ����� � �� ���� ���� � ����� � ��� � ���+������ �� 1� ��� � �! $��������� �� � � ��� � �� ��,� ��� '����� ��� ����� � �� ���� ����� � &���,� � �� �������� � ��� 6!

�� ���� ��������� �� &,����� � ��������� ��� �� �� �� ����,� �������� ��� ����,� � �� ���� ���� '�� � ���'�� � �� ���� ��� � � ��� 3�6��� �*

��6�� �/��

��6��

�� 3�6��.?!;>/

���� ���6�� � � ������ ��%��� �� �� �� 1 � �� %�� ������ ����! ���0

�������� � %�� �� �9� �������� � �� ����� � �� ���� ����� � �� �������� ��5� ������ � ����� �*

���6�� �

� $�

���6� 3�6��6 .?!;@/

���� 6� � �� �������� � ��� ��� � � �! ���� + ���,� � ��9������ ������ � � ��� 3 � ��(� �� �� � 6�! �� ������ � ��� ������� ��������� �������� ��� ����� ��� � ����� � ��� ����������� � ��������� + ����� �� ������� �������� � �� � ������ � �� D����� ?!2<!

��������� � ��������,� ������� ����� ������� � ��(� � ��� � ������ �%���!

* ���� ��/� '

��������� � ��� � ��� ��,� � ���� � �������� ������� � �� �&��-� ������/ '����� ������ .'� D����� ?!2=�/� � ������� � ���� ����� ��� �� �����'������ � �� ����,� ��������� ���� � ���� ��� �� ����� 5���-������� ���� ����� ����!

)� �� ���� '����� � �� ����,� �������� ��� � ����� � ������ �� &,������ ��������� � ���� 5���-������ � �� ��,�� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!2=�!������*

��� �/ �

�� �.?!;3/

���� � � �� ���5���� �� ���! � ���� �� ������ �� �� ���� �� ��� �� ������ '���� � ��� + ������ ��� &��� �������������� �� �� � ��� � �� � � � � ����� � �� � � 3 � � ���� .'� D����� ?!2=�/! 6��� �� � � ��� � ��(�� 3 55 ��

Page 229: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������"� ��������

���� &��#� !������ �� ����� ( ������� � �����3� �������� ���C� �� ���� (�������������������� /���������

� ��� ���� �� ����,� ������ ���� �� � �� ����� &��� � �� �� ���� � � ���������� �%������ � �� ��������� � �&��-� ������ '����� / !

�� � ����� ��� '���� ��� �� 5� ������ � &���,� � �� ������� �! ����

'�����,� � ����,��� � �������� .'� D����� ?!2=/*

����� � �3�

,

�,

�� �

�3

�,

��

�� �3�

,

3

�,�

�� ��

�.?!<:/

�� '���� ������ � ��� ������� '������ � � ���� � �� � ��� ����� +����� ������ � � ��� ��� � � � ,��� � '��

������ �

/

�� 3

��3�

,

�.?!<2/

������� �� � '���� �%+��� � �� � �� ������ �� ��������� &� ��� � � �� � '��

����� �

/

�� 3

��3�

,

3

,�

�.?!<4/

���� � '�% � � �1���� ?!=!2!2� �� ��&���� ��� ��� '����� ������� .� � ���/ � �%+��� .� &/ � �� ��%���� � ��(� ��� ��� �9�� �������-����! ���� ���� �� ��������� �� �� ���������,� � ������� ��������� '������ �

Page 230: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ���

���� &��&� !������ �� ����� ( ������� � ��������� (�������� ������������)���3�������

���&��� � � ����� �� �� '���� �*

��� � ������ �

/

�����

.?!<;/

���� ����� � ,3 � � %�� �� ����! ���� � ��+����,� �� ��� ����� ����� �� � � � ��� '����� �%+���� ��� �9�� �������-����� ��� �� ��! �� ������ ���� ������� ��������� ��� � � ���� ������ ����������� �� � �� �&��-������� / !

��� ������ ��� ������� '������ ��� � ��� ���� ��� �� ������� �� �� ��� ����� ����� 5���-������ ���� �� ��� ������� � &���� ��%���� � ��� ������0��� � ������ �� &,����� � ��������� � ���� '������ � �� ��,� .D����� ?!2?/!

Page 231: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������"� ��������

���� &��'� !������ �� ����� ( ������� � ��������� !������� �� ��� ��������������������� � ��������

������*

��� �/ �

��6�

�� 3�.?!<</

���� ���6� � 63�,�� � � ������ ��%��� �� %�� ������ ���� �� �� �� 1

�! $���������� �� �� � � ��� ��(�� �� ��� ������� � �� ����� � �� ��� ������� � ���&����! ����� /� �� � 3� �������� � '������� �

��6� �������� ��6� �� ���������,� � ������� ��������� � ��� ���� ��% ������ �� '���� ���� � ���+�����! �� ������ � ��� ��� � ������� ��� ����� ��� �� ����������� ����������� ��� � ��� � ������ � ��� D������ ?!2? � ?!2>!

)� D����� ?!2> ������ ��� &��-�� ������� ��&������ � � ���� � ���,� ����� �� ���� �� � ����! 6� �� ����� �� ��������� � &��-�� � �� ����,� ��1 � ��*

�- � ��-� .?!<=/

���� �- � �� &��-� ������ � � +���� �� ���� �� ���� � �-� � ��� ��� ���� &��-�� ������� � ��� ����� � �� ��� ������ ��� �� �� ������� � �� ��,� ������������ � �� ��������,� �� �� �� 1 �! � ���*

����� 3 � � � ���� 3� � .?!<?/

Page 232: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ���

����� ����� � ���� ��� ������� ��������� � � ���� � � ��� ���� � � ���� ����,�� �� ��'����! ��� ������ �� ��������� � �� �� ��� �� ������� ����,���� ����� '�����*

�����

� ����

�3�

3.?!<>/

)� ���������,� 9��� � ������� ��������� .�� ��� ���� ������� �������/ ������� � �� D����� ?!2@! �� � ��� ��&���� ��� ������� ��������� ��� �������������� ��� �� ��� �� ����� �� ������� � �� ��,� � ����������� � �� ��������,� �� ���� 1 � � ����'� � ��� ��� �� � ��� � ��+������� ����-����� � �� � ���� ����,� � �� ����,� �������� � �� ���� � �� ��,� � �� � �� &���� ��� ��,�� � �� � �� ����,� �� �&��-� ������� �� � � ������, �� ���� �� �� ���� � ������!

��� �� ������ ������� �� �� ���������,� � ������� 5������ �����&� ��������� � ��������� ������! )������ - � ) � ��� ��������� � ��� ���������������� � ��� ���� � � � ����� �� ��'����H �� '���� �� ������� &%��0��� 5������� � %�� � ��� ��������� � ������� ��������� � ����� ������ ��� � ��� ���� ������! �� � ����� �� �������� ) '��*

) �/

�� 3

��3�

,

3

,�

�, 3 .?!<@�/

�/

��

��3�,�

3,�

�.?!<@�/

� / .?!<@/

���� &��*� 2����������� �� ��������� ������������ �� ������� �� ����� ( ������� ������3� ��������

Page 233: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������"� ��������

�� �� � ������ � ����� �� �9�� �� ������ � ������ � ����� �� �� ���� ����� '��*

�� � �3�,�

3,�

�.?!<3/

��� ���� ���� � ��'��� �� �������� �� �� �������� ����� � ��� ������� �����0���� 5���-������ � ��� ���� � ����� ��� ���� ��� �� 55� � �� /� � �

�9 ������ %,�,�,�

��� ����� �� ��� ������� '������ � � ���� � �� �9� �������� � ���� � �� ���� � &���� � ��+�������� ���&��� ���� � %�� �� ����!

)������ ����� � ���� �� %�� �� ���� � � ��� � �� ��,�� �� ��'����� ��9����� �� ����,� ' � �� ����� � ��� ����! �� ��� � ���� �� ���� � �� ����3 � 3�� ��� ��(�� &��� �� ���� � ��5� � �� ��,�� , � �� ����� .'� D�����?!2=/*

�� � �����

�,

��

������,

� �,�

�����

'

�� �������*

����� � ,

�����

���&� � ,

�����

,

������ �

,

�����

'

���� ������ ��� '����� �%+��� � ������ � �� ����,� �������� � � ���� ���� ��0 ��'����*

������ � ����&� �

/���&�

��3

� / ������

� %

��

� ����

� %

3

�/

�����

%�

%

������ � ������ �

/ �����

��3

� / ������

��

� ����

� %

3

�/

�����

%

Page 234: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ���

���� ��� �9�� �������-���� � ���� �� 1� ��*

��� ��� ' � � � � ������

������

� � ��������

������

� � ��

A�� ��� ' � �� � � ������

������

� � �������

������

� � ��

�� �� ������� �� '����- � �������� �� ���������,� � ��+�������� ���&��� �� '����*

��� � ������ �

/

�����

�� ���� ������ � ���� � �� 2: X .��� �� ��/ ��� � �� �� ����,� ' �

���������� 5 � �

�9 ������ %,�,�,�

6������� �� ���������,� � ��� ������� ��������� � �� ��,� � ���� � � ��D����� ?!23 ����� �� � ���� ��� �� �&��-� ������ / � �� ����,� �� 1 �!

���� &��+� !������ �� ����� ( ������� � �������� �����/�����

�� ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 � �*

�� � ���3�

��

���3�

�� ������ ��%��� ��� ��� ���,� � ��� ���� � �������� 6 .D����� ?!23�/ �*

���6� �

3�6

���� 6�

Page 235: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������"� ��������

���� &��-� 2����������� �� ��������� ������������ �� ������� �� ����� ( ������� ��������� �����/�����

��� ������ ��� ������� ��������� � ��� ���� ��� ������ �*

����6� �/ �

��6�

�� 3��

/

��

�6 ��� 6�

��� ������ ��� ������� ��������� '����� ����,������ � �� ����� � ��� ����� ����� '���� ���� ��� 6 � � � 6 � � 5���� �� '���� �%+��� � �� ���,� �� ���� ����� �*

���� � �

�6 �

��

/ ��

� ���

/��

�3��

/��

����

��� �������� ���� ������� �� �� � �&��-� ������ / ��% ������ +����'���� �� ��� ����!

�� '���� � ) � �������� � ��� ������� ��������� � ��� ����� �� �������5������� � %�� � ��� ��������� � ������� ��������� � ����� ������ �� �� ��� 3�*

) ��

��3����� �

/

* ���� E

���������� ��� '��� � ��,� � 7� ������� � �&��-� ������ / � ����,� ������ � �� ���� � � ������ ������! �� , �� ������ �� �9� � � �� ��5���� ��� ����� 3� � � ��� � ��� ���� � 3 � � ��� �� ����! 7����-���� ��-���������

Page 236: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ��&

���� &���� !������ �� H ������� � ��������

��%����� � ��� ������ � �� ��,� �������� �� ����,� �������� ����� �� ������ /

� � ���� � �� ��� �� ���� .'� D����� ?!42/ � �� ������ ���*

��6� �/ �

��6�

�� 3�.?!=:/

�� ���6� � 63�,�� ��� 3� 55 ,! �� �������*

����6� �/

��

6,

�.?!=2/

� ����'� �� ��� ������� ��������� � �� ����� �� ��� '����� �������� ��� ��

Page 237: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������"� ��������

'���� ���� � � +���� � 5���� �� '���� �%+��� � �� ���,� �� � ���� ����� �*

��6 � �� �/

��

�,

�.?!=4/

�� ������ � ��� ������� ��������� '�� ���� �� � ��������� � ��� &��-��������� �� �� �� ���� � %�� ������ � ��� &��-�� �������� ��� ��� � ����� ��� D����� ?!42�!

)� ����� + ���,� � ����� ��� � ��� ��&����� ���'� �� ��� ������� �������� ������� ���� ������ �������� � ��� �� ��� �� ����!

�� ������ ������ ��� ������� ��������� � � ����� �� 1� �� � �� ����� ������� � ��� �������� � �� ���� �� 1 �� � ������ ��%��� � �� ��� �*

����� � �3�

,

� 3

�,

�� �

�,

� �

�.?!=;/

����*

���� �/�3�,

���3

/,�

���

' �

���

,

��(

.?!=</

���� �� ������ � �� + ���,� �������� �� '�����,� � ��� ������� ���������� � ���� � �������� � ����,���� �� �� '���� �%+��� � � 1 � �� � �� �� ������ �*

����� � ��� �� � �� �

/�3�,

���3

/,�

���.?!==/

���� &���� 2����������� �� ��������� ������������ �� ������� �� H ������� � ��������

Page 238: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ��"

)������ - � ) � ��� ��������� � ��� ������� ��������� � ��� ���� � � � ������� ��'���� .D����� ?!44/H �� '���� �� ������� &%����� 5������� � %�� ���� ��������� � ������� ��������� � ����� ������ �� � � ��� ���� ������!�� � ����� �� �������� ) '��*

) �/�3�,�

���

/3,�

���.?!=?�/

�/

��

��3�,�

3,�

�.?!=?�/

� / .?!=?/

�� �� � ������ � ����� �� �9�� �� ������ � ������ � ����� �� �� ���� ����� '��*

�� � �3�,�

3,�

�.?!=>/

� ����'� �� � ���� ���� ������� � �&��-� ������� �� ��������,� �� �0���� � ��� ����� ��� ��� ������� ��%� �������� � ������� ��������� 5���-��0����! )�� ��������� � ���� ������� � ��� ����� -� ��� �� ������ � � �������� ������ �� ���������� �� �� /� � �

6 ����� ��%���� � ������� �� � � ��� � �� ��,� � B ������� � ����,� � �� ������ �����'���� �� � �� 1 ���� �� �� ��� ��� � ������ � ��D����� ?!4;� �� ���������,� � ������� ��������� � �� � �� D����� ?!4<! �� ������ �� ���������,� � �� ����� � ��� ���� � ����,���� �� �� �%+��� � ��� ������������� � � ��� �� � 1 � .� � �/! � �� �� ����� �� ��� ��������� � ���������� ���� ��� ��� � ��� ���� '��� � �� ��� ) � /��!

���� &�� � !������ �� H ������� � �������� �����/�����

Page 239: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������"� ��������

���� &��"� 2����������� �� ��������� ������������ �� ������� �� H ������� � �������������/�����

%,�,� * ���� � � ������

�� ������ ����� � �������� �� ���������,� � ������� ��������� �������� �� �� �&��-� ������ � ��� ��,� ����� � ��(� � ��� � 5� ���%�������� �� �� � �� �������� � '���� � ��� ������� ���������� � �� ����� ��� ��� ��� � ���'�� �� � ���� �����-���� �,�� ����������� � ���������!

�� ��������� ��� ����'� ���� ���� � ��� ����! ��������� �� ��,������ � �� D����� ?!4=� ������� � �� �&��-� ������ �� � ��� � ��� 1� ����0 ��� � �����! �� ������� �� �� ����,� �������� ����� � �� ������ ���� ����� ��� � ����,� ����������� � ���'�� �� � ��� 3�� � ���&��� � ��� �� '������� ��������! �� ���� ������ E�1� �������� '�� H� � ��3� ������� ��� ���� ����� � �� D����� ?!4=� �� ����,� � � �� ���� ������ � �� ��,� � ��+ ���� ���

� �6� � �� �6� ��3�3�6�

.?!=@/

���� 6 ��� �� ����,� �� ���� ������ �� �� �� ��� 88� � �� �6� � ����� ������,� � ��5� ���� ���� ��� ��,� � ����� �������� ��� �!���� ��� � ����� ���� � ��� ���� �� �������� � ��� ���������,� � ������� ��������� ��E�1� ������� H � H� � ��'����� ����� �� �� �� ������� �����

) ��H �6 � � ����������� ����!

���������� �5��� �� �&�����,� �� ��� ���������,� � ������� ��������� ���� ���� �� ��,�! �� � � ������ � �� D������ ?!4? � �� � ���� ���� ��������� ��&������ ���� ��� � ������� ��� ��������,� ������� � '���� � � ��&�

���� & � � �,���� � �����- �����'���� �� �������! ���� ��������,� ��'�� ��

Page 240: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ���

���� &��#� 2����������� �� ��� ��������� ������������ �� ��� ������� �������

��'������ ��&����� � �� ��,�� � �� ����,� ������������ � � ������� � ����,�� � '����

� � � �6 .?!=3�/

��

&�6 .?!=3�/

&

��� �6� ��

3�3�6�

��6 .?!=3/

6��� �� �� ��,� � ����� � ��'������ ������������ ����� �� �� ����� � � �� ������*

*� .?!?:�/

*��&

�6 � �3�

*�6

& 3.?!?:�/

� � � .?!?:/

� � .?!?:�/

� ���� � �� ����� � '���� ��,����� �� �� ����' � ������� � �� &����*

�� � �

*��&

�6

3�

*�6

& 3

.?!?2/

�����'� �� � '���� � �� � ��� �� ��'�� ��� ��������,� ���&��� � �� ��,��� �� ��� +������ � '���� �� ��'������ ������������ �� � �������� ��� ��,� �������� �

Page 241: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������"� ��������

���� &��&� 2��������� ��������� ��� ��� ��������� ������������ �� ��� ������� �������

)� ���,� � �� ���������� .?!?:�/0.?!?:�/ ���� �� �� � �,���� � �����-�����'���� �� '������ � �� ����� � �� ���� ���� � �� ��,�H �� ������ �� + ���,�.?!?2/ � � ����� � ����� � '����� �������� .'� ������� �� ��,� ?!3 ��� ����������,� � �� ���������,� �� � �� ���/! �� � ��� � ����� 5���������� + ���,� .?!?2/ �� ��'����� ��� ��9���!

��� ������ �� �(���� �� � ����� ������-�� � ���������� ���� ������ ������ �����������! �� ������ � �������� ��� ������� ��������� ���0��� � �� �&��-� ������ ���� ��� ��,� �0����� � � '� 5� ���%���! �����' ����������� � E�1�� ��,����� H � H�� � � � �� � ���'�� � ���� ������ �����-��,� ����������� �� ����� ��� �� ��'�� ������! )�� � ������ � ��0 ���������� �� ����'� � ������ � ������ �� �� ��� �� ��� �� ��-�������������������� � ��� ������ ��� ������ ��� �� � �

)� � � �� � � � ��

Page 242: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ���

�9 ������ %,�,�,�

6������� �� ���������,� � ������� ��������� ���� �� ��,� ��������� 5��� �� D����� ?!4> .��������� � �/ ������� � �� �&��-� ������ '����� � '����/� � �� F!

���� &��'� !������ ����������� )���� ������� � ��������

�� ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 � �*

�� �

���� �

���� � �� � � � �� � ��� � ��� � �

��� � ��

� ����� ��

���������� �5��� �� ��� � ���'� � �� ������ �� �� �� E�1� ��,����� H� �

��3�� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!4@! )� ���������,� � ������� ������������� �� ���� ������ ��,� ������ �� � ������ � �� D����� ?!4@�H � ���������� �� �� 1 �� �� ��� '�����*

��� � �� � ��� � �� � �� � ���� � ��� � � � ��� �� � �� ��� #��

��� � �� � ���� � �� � �� ��� � � � � � ��

�� � ��� � � ��� �� � �� ��� #��

��� � �� � ��� � �� �� � � � ���� � ��� � �� � � ��� �� � �� ��� #��

Page 243: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������"� ��������

���� &��*� 2����������� �� ��������� �� ������� ����������� )����

$ ����� � ���� ��������� � �� ������ �� �������*�� �6 � �

��

�� �� ��� � ��

� � �� ��� � ��� �

�� �� ��� � ��

�� ��

�� �� ��� � �� � ��

� ��� �� � � FM��� '���� � �� � ����� � ������ �� + ���,� .?!?2/� �������� ��� ��9���*

� � � �

*�� �6

3�

*�6

3

��� �� � �

�� � ��

��

��

�� �

�� ���

��

� �� ��� #��

)� ���������,� 9��� � ������� ��������� ���� �� ��,� ����� � ������� �� D����� ?!4@� �� ��� '����� �� � �� ��� #��� �� � �� �� #�� � �� � �� ��� #��!

* ���� � � ������ ���)������

�� � ��� �������� � �� �� ��,� �� �������� �� �� �� 1 � �����,��� �&��-� ������� �� ���������,� � ������� ��������� �� �� ���������&%����� �����-���� �� &,����� � ���������!

Page 244: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � �����)� ������� ���

���� &��+� !������ ������� �������� ������� � �����3� ��������

�� �� ���� �� �������� ��� ������� ������� ���� � ���� � ������� ����� �����! "� ������� �� ������� ��������� � ���� � �� ��,� ������������ � 1 � ������� ��� �� �����! ��� ������ � &��� � %����� �� ��,� ����������� ��� ��� ����� ����� �������� �����1���� � &���� ��+�� ����!

6 ��� ������ � �� ��� �������� �� � ������� � �� ���� ���� � ����,�� ��� ������� ��������� � ��%� ������� � �� ���� ���� � �� ��,�� ����������,� ���&��� � ���'�� �� � ��� � � �,���� ����� �*

��6�� �/�� �

� �6��

���� 3 �6���

/ ���6��

�� 3�6��.?!?4/

���� ���6�� � � ������ ��%��� �� %�� ���� �� �� �� 1 �! �� �� &,������

�� � � ������ � ����� ����� � �� ��,� �� �� �� 1 �! �� � ������ ���&��-� ������ / � ������ ��� ������� � ��� ������� ��������� ��%� ��� ��� D����� ?!43!

������� �� 1� ��� �� ��,� ������� ��������� � �� D����� ?!;:�� � ����, � ��5� ��� ������� � �&��-� ������ ������ � '���� / ! 6��� �� �������� �� ��,� � � �� ��������,�� �� �����-��� ��� � ������ � �� D����� ?!;:����� �� ��� ��� ����� � B � � ���� , � ��5� �� �����1���� ��+�� ����� ��� ������� �� ������ ����� /�� ��� ��� � ����! )� ���������,� � ����������� ��� ��� � ���� � ��%���� � �� �������� � �� D����� ?!44! �����'� �� ���������� ��������� ���� � 1 � ������� ��� �����!

$�%������� � �� �����-�� �� ��,� ������� ��������� ������� � �� D�����?!;:� � ���� , � ��5� ��� ������� � �&��-� ������ ������ � '���� / !

Page 245: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������"� ��������

���� &� -� !�������� �������� ��������� �������� � �����3�� ��������� ���C� �� �6��� �����,�

�����'� �� � ���� ����� ��� ���� � ��� �� ��� ����� �������! 6��� ��������� � �� ��,� � � �� ��������,�� �� �����-��� ��� � ������ � ��D����� ?!;:�� ��� �� ��� ����� ����� � B � � ���� , � ��5� �� �����1������+�� ����� � �� ������� �� ������ ����� /�� ��� ��� � ����!

%,% < �������� � ���/ �

�� �� ���������,� � �� ����,� �������� ����� � �� �&��-� ������ '����� /� &������&��� � ���� �� ��,�� ��� ��� � �� ���� � �� ����� ������ � �� ����������� �&�����,� �� ��������,� � �� ������� ���� ������� ������� � �� ��,�� ������ � ������ � �� D����� ?!;2�� � � '����*

��� ����&

�/�&�

.?!?;/

Page 246: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ���������� � ������ ��&

���� &� �� 2�������� �� �� �������� ������ �� �����3� ��������� 0�1 ����,���������9 0�1 ����,� �� ���������

��� ������� �� �� ����,� �������� '����� '���� � �� ��,� � ����� �� ��&,����� � ���������*

��� �/��

����

�� ����.?!?</

������ �� ��� ���� ������� ����������� �������� ��� ������� '����� �� � ��� ����%���� �� �� ��� ��-,�� �� ��,� �� ���� ����� ���� �� ��&� ��� �&�����,�&��� � �� ����� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!;2�! $ �� &�� � � ����������!� � �� ���*

�� ��� 9���� +����� ���� ���� � ��� �� ��� � �� �� ��������,� � ���� ��� � �

� ��� %������ ��� ���� 9���� � ��� ����� ���� � ������� ����! �� ��� 9����� ��� �� ��� �� � � ���� ��������,� �������� � � %����� ��������� ��� ������ 9���� ������������� � �� ��,� ������ �� � ������ ��� � �� �&�����,�! ������� � ��������,� � ���� %������ '���� � ���� 9���� � ������ �� � �� ���������,�� ������� ���������! �� ��������� ��� ����� ���������� � �������� ��� 9��� ���� &&� � ��� ��� ������� ��������� �%+���� �� �� ������ �� ��������,��%+��� ������ !

�� �� '��� � � ��,� ������� � � �&��-� ������ � ���&���� � ����� ��%����� ��� ����� ��� �����! �� �� ������,�� �� �&�����,� �� �&��-� �������� �� ��� '�����,� � �������� � ��� 9����� � ��� + ������ ��� ��� �������������� �������� �� ������� �� E+�,� ��� .��� �&��-� ������/� �� ������ ����� ����� ����� ������ ����� ����� '%�����! �� ����� ����������� �

Page 247: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������"� ��������

������ ������� �� � ���!� ������� ��� ��� ����� �,+���� � �� �����.5� ,���� ������-��� � ��������0F�'��/ ��� �� ���� + ������ �������� ��'����-! ���� ������ ��������� �� ��� � ������ ��� �&�������� ������������������� �� ����� �����'� ��� ��5� ����� �� ��� ������ � E+�,�� � ����� �%������ �%� ����� �� �� �-�� � ���� ����� ����� �� �� ����,� ��-M���� .'�������� �� ��,� <!</!

%,%,� F� � � ������ � ������

$���� ��� ����� �������� � �&��-� ������ ��&��� ������ � ��� '����� �'���� ���� � �� ��������,� � �� �������� �9���� � ����� �� ��'������ �����'���������'� � ��� ��,� �� �� � ���� ��9������� �,+��� .D����� ?!;2/� � ���*

������ �

�>

� .?!?=/

� ����� ��� ��� ��� � ������ � ��� ��,� � ��� ���� ����,� �� %�� ���0'���� ���� �� �� �� ������ � �� ����,�� �����!���� ����������' ���������� ����� ��������,� ���� �� � �� ��,� ���! $�� �� 1� ��� ��� �� ����,� �

� �� ������*

������ �

/�& ��

�/�

& "��.?!??/

���� �� � "�� � � ��� ��� ��� � ������ � � � ( �* $� &���� �����������"� � � ����� �� ��� � ������ � � � ( �

�� %�� ������ ��� ��� ��,� ���� � ����� ������ &,������ � ����������������� ��%���� � ������� ��������! 7����-���� ���� ������� � ��� ��*

�� �����

������

����

��

��

.?!?>/

���� � ����'� �� ���� � ��� ���������� �������� � �� ��,�!$�%�������� ��� � ���� 1 ���� �� � ����� � �� ��,� � ����%*

�� �����

������

�����

��

��

.?!?@/

��,� ��������� ������ ������ ���� �� ����� � ��� ��� � ���� �����

(���� &��� :������ ��� ���� �������� �� �������� ���� ��������� ���������

Page 248: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �������� ��&�� � ��"

)�� '����� �� %�� ������ � ������ ��� ������� � ��� �� �� � ����� �%������� � ������� � �� ����� ?!4!

�9 ������ %,%,�

������� � %�� ������ � ������ � ��� ��,� ��������� � ��������� , �!

� ���� �� � �� ��,� ?!<!2� �� �� � � � ���,� ������ � � ����

��,���� � ��

�!

��� �����* ��

������

��

�� �

� �

��

�����

��

� � �����

����� �

���,�

� � %�� ������ � ������ �� ��%����� �� � � 1 ���� �� � �*

�� �����

�������

�����

�� ����

���,

�����,

��

��

%,& ���� ��� ������ ������

� �� �� � �&��-� ������ � ����� ����� �� � � ��� ����,� ��&��� ��� � ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�! ���� ���� ����� �� ����� ��� �������� � ��� �� ��% ������� � ������� � ��� ����� ���� ��� � E+�,� ��� �-�!

%,&,� ������� 9 � $����$�� �

�� ��� ������,� �� ���� ���� � �&��-� ������ �/ � ��� �� ���� /�� /��� � ��� 1� ���� ��� � ������ ��� ��� � ������ � �� D����� ?!;4! $ ����0�� � ���� �� � �� � ����,�� � �� ����� 5�� � ������ ���� ������ ���� ��� � ��� �� ����� � &���� ��� ����� � ����� �� ���������,� ������ ������� ��������� �������� ��� ��� ���� � �� ��,�� ��� ������� ���0������ ������ � ��� ��� � ��� �� �����! �� �� ������ �(���� ��� �� ��� ����� � ���������� �� ��� ��� � �� ����� ����� ��� � �� ����� �� ��� ��'� �����' �� �� ��� ��� �� ����� ������ ���� ���* ��� ������ �� �� � ����,�� ��������� ���� ������� � ��� ��� � ��� �� ����� ���� ��� �� �&��-�

Page 249: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!+ �������� � ������"� ��������

���� &� �� 2������������ �� �� �������� ��/���� �� ��� ���������� ���C� ��� �6�������������

������ �� ��� �� ��� � ������ � ��� ������� ��������� �������� ��� ������ � ����*

��� � ��� �/�� ��� �/�� .?!?3/

���� ��� �/�� � ��� �/�� ��� ��� ������� ��������� ������ � ��� �� ����� ���&��-� �� � ��� 1� ��� ��� /� � /�� �� ��'����!

$��� �� 1� ��� � �� D����� ?!;;� � ������ �� ���� ����,� � �� �&��-������� �'���� �� �� � ���� ��� ��,� ��������� ���-� � ��� �� ��'���� ����� �� � ��� 1� ���� ��� � ������ /� � /�� �� ��'����! �� ��D����� ?!;;� � ������� ��� ������������ � ������� .�����/ �� ��� ������� ��� ��� ��� � ��� �� ����� �����-���� �� &,����� � ���������! ��� � �� ��� �������� � � �� ��� ������� �� ��'�� ��� ��� � ��� �� ����� �� �&��-������� �� � ���� ���� �� �� ����,� �� ������ ���� ������� � ���� ���� ���� /� ��'�� �,�� �� ����� ���� ������� �� �� �� ���� /� ��'���,�� �� ����� ��� �� �������� � �� ��� '��������� ����� ������������ �� �� � ������ � �� D�����! �� �� ���� ������ � �� ��,� �� ����,� ���������� ��� �� ����,� �� ������ ������! �� ��������� ��� ������� ���� � �������� �� ��,� ����� �� ����,� � ���!

"������� �� �������� �� � ��� ����� � ��(� � ���� �� ��� ��� ��� ����� ����� ��� � �� ����� ���� � � � �� ����� � �� ���' � �� � ����� ��� �� ����� ������* ��� ������ � � ��� � �&��-� ������ �'���� �

Page 250: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �������� ��&�� � �!�

���� &� � �������� ��/���� �������� ����� ��� ������� �����������

����� � ��(� � ���� � �� 5����� � �,���� � �� ����,� �������� � �� ���� �� �� � ����,� ���� � &���� �� �� �� ����,� � � � � ���� � ������� ��� ����� �� ����� �� �&��-� ������! $��� � �� ������*

� � � ��/��� ��/�� .?!>:/

)�� ������ ��� � �� + ���,� ������� ������ �� ��� ������� � ��� �� ��'������������� ��� �� ������ � ���� � �� 5��� � ����� ��� &��� � ��� ����� ����� �� �&��-� � �� ���� � ����-�� � ��������!

$��� �� 1� ��� � �� D����� ?!;<� � ������ �� ���� ����,� � �� �&��-������� �'���� �� �� � ���� ��� ��,� � ���� / � ��� �� ��'�� �� ���0�� �� � ��� 1� ���� ��� � ������ /� � /�� �� ��'����! �� �� D����� ?!;<�� ������� ��� ������������ � ������� �� ��� ������� ��� ��� ��� ���� �� ����� �����-���� �� &,����� � ���������� ��� ��� � �������� � �����0��� �����������! �� �� ���� ��� ������� 9���� ���� � ���� ��� ��� ������+����'���� � �� �� ���� /� �� �&��-�� �� �� �� �� ���� /� �� ����0 ������� � ������ ���� ����! ��� ������� ��� ������� ������ ���� ��� ���� ��'�� � ����� ��������� ��� �������� �� ��� ��� � ��� �� �����!

Page 251: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!� �������� � ������"� ��������

���� &� "� �������� ��/���� �������� ����� ��� ������� �� ����� (

%,&,� ������� ��� ���

$�������'����� �� ������� � ������ ����� �� ������ �'����� ��� ��0����� �� ������ ����� � �� E+�,� �'����! �� &��� ��������� ��� �-� ����%��� � ��,� ���������� �� ������� � �� ����� � �� �-�� ������� � E+�,���� � �'���� .'� D����� ?!;=/! 6� ��������� � ������� � ��� ������� ������0�� �� ��� ����� � � ��� � ������ �� ��� �������� � � � ������ ��� ���������&������*

/��� � ������

� � /��� �

�����

� .?!>2/

���� ���� � ���� ��� ��� �� ����� �� ������ E��� �� �� �� 1 ����� ���

� � �� 1 � ������� � ���� ���! $�%������� � �9�� ��� �� ����� /���

� /��� ! �� �������� �� ��� ������� �� � ���� � ��������,� � � ����� � �������� � � ��! ��� ������ � 1 ����� ��� �� ����� ����,� � ����� �����!

���������� �5��� �� ������� ��'����� �� ��� �� �9� ���� �� ���� �����-� ���� � ���� � �� ��,� � �� ��� �� � ������ �� 1 � �� '��� .'� D�����

Page 252: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �������� ��&�� � �!�

���� &� #� $������ ������� ��� �������� ��/����

?!;?/! ��������� � ��������� � &��-�� �� � � 1 �� �� �� ���� �� ��������� .2/ �� ���� �� ���� � ��5� �� �9�! ���� �� ��� �� �� �� ����������� ������� ������ � ���� ��� �������� � ���� �� ��� � �� ��,� .2/��������� �� �� ���� �� '��*

� �

��� �� �

�������

����

E �� � �����

����

������� .?!>4/

���� � � �� ��� � �� ��,� ���� �� �� � '�� � ��5� ��������� E � ���������� �� 1 ������ ���� � � ������ � ����� � �� ��,� �� �� � ��5� 1� �

������ ��� E �� � � ������ ��%��� � � .%�� ������/ �� �� �� 1 �����!

6 ��'� � 5� �����-��� �� 5� ,���� � ���������,� ����� � ������� ��� � ��� �E+�,� �'����!6 ����� &����� ���� �� �� �9� � � �� ��� � � ��� ��� �������� � ��������������� � ��� � '����*

� �� �

������� �����

����

E �� � ����� �����

����

������� .?!>;/

)� ��&���� ��� ����� &��-�� ������� �*

�� � ������

����

������� �

/����

����

������� .?!></

���� � 5� ����� � ���� �� ����� � �/��� � !

Page 253: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!! �������� � ������"� ��������

���� &� &� 2�������� �� �� ����� �� ��������� 0������� �������1

$ ����� � ����� � �� ��%���� ��������� �� � ���� � �� ��,� ?!; ������ �� &,����� � ���������� �&���� � ��� 1� ��� � ���� ���*

���� �/��� �

������

���� ���.?!>=/

���� ��� � �� �������� �� ������ ��! "������ �� ��� &,����� ����5����� �� ����,� �������� ���� � �� ����� � �� ���� �� � �� ����,� ������ ���� ����� ��� ��� �������� �� ������ ��� ����� ���!

�9 ������ %,&,�,�

6������� �� ��� ��������� � ��� ������� ��������� �������� � � ����������� �� ������ �'���� � ��� ������� ������ � ������ �� 1 ����� ��� /���

� /��� � �� ��'����!

������� ����� �� ���������,� � ��� ������� ���� � �������� � �� ���0�,� �� 1 ������ ������� �� ��,� �� ����� ������� � ��5� 1*

��� �/��� �

��� �E�

���� � �E�

��������� �� �������� � ��5�� �� �����*����� �� �

� ��

���

/��� ���� �E�

���� � �E�� �E� �E

Page 254: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������"� �������� ��&�� � �!�

�/���

����

� ��

���

���� �E� �E

�/���

����

����

� /��� .�!!�/

)� ��������,� � �� ���� �� �����

���� �

��� �E� �E � ��%���� � �� ����-��� � ��1���� ?!;!2! .'� ������� D����� ?!;>�/!

$�%�������� �������� �� ���������,� � ��� �� ����� ���� ������� � ������,� �� 1 ������ ������� �� ��,� �� ����� � �������� � ��5� 1*

��� �/��� �

��� �A�

���� � �A�

� ��� ������ '�� ��������� �� ����������� � ���������! ��������� ���������� � ��5�� ��������

���� �� �

� !�

�!�

/��� ���� �A�

���� � �A�� �A� �A

�/���

����

� !�

�!�

���� �A� �A

�/���

����

���

���� &� '� 2����������� �� ���� � ������ ���������

Page 255: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�!% �������� � ������"� ��������

)� ��������,� � �� ��� �� !��!�

����� �A� �A � ��%���� � �� ����-��� � �

�1���� ?!;!2! .'� ������� D����� ?!;>�/!

��� ���� ���� � � �1���� <!;!2!4 � �� ��,� <!;� ������ ����� � �� E+�,��'����� � ������, ��*

��� D �����

����

��������

���� D � � %����� � �'��1 �� &���� � '��� ������ �� � 1 ������ .'�D����� ?!;=�/! 6��� ��� ��� ������ � ���������� � �� �������� �� � ��������% ������� � � ���� � ����� � ��� �� &���� �� %����� D �� � 1 �������� 1 ����� .'� D����� ?!;=�/! ��� �����*

��� D � �/���

/����

�������

� ������ ������ � ���� �� ������ �������� � ������������� �� �

/���

����

����� � /��� .�!!�/

%, # ��� � ��� ���� ������ �

6 &���� �� ������ � 5� �� ���� ���������� �� �� ���� � ��,� �� �&��-������� ��� �� � ���� � ���'��� � �� ��,�! 6 55�� �� ��� ��� � ��5��&��-� ���� � ���� � �� ��,� �� 5� ��� (��� ���� � � � � ��� �����0������ � ��������� �����-���� ��� ����� �� &,����� � ��������� �� �� �� �������� ���������,� ���� ������ � ������� ��������� .'����� ����� � �������/������ � �� E+�,� ��� �! ��� ������� � ������ �������� � ��������� �� ���������� � ��5� ���������,� ��� ��� � �� � ���� � ���'��� � �� ��,�!C���� � ��������,� ��� � ������ ��� �� ��� �� �� ������ � ������ ���������� �� �� � ���� � ����� ������ � �� ���� ��� ���� � � ����,� ��� �������� � ��� ������� ��������� ��'����� � �� E+�,� ��� �!

���������� �� '�����-� �� ��,� � B � �������� �� �� �� 1 � . ���� �� ������/� ������� � �� �&��-� ������ ������� � �� ����� � �� �-�� � '���� /��'����� ������� ��� ���� � ��,� ��� �� �� ���� � ������� � ��� ��������� �� ���� �� ���� � ���'��� �� ����! �� , �� ������ �� �9� � � �� ��5���� ��� ����� 3� � � ��� � ��� ���� � 3 � � ��� �� ���� .'� D������ ?!;@� � �/!

)� ���������,� � ������� ��������� �� ���� �� ������ '����� ���� �� �9� � �� �� � � �����, ������������ � �� ��,� ?!=!;� � � ������ � ��D����� ?!;@! ������� � ��� ���������,� ����� � ������� 5���-������ ���� ������� � ��� ���������,� ����,��� � ������� '������ ���� � ����! )�������� -

Page 256: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� �!&

���� &� *� ������ �� �����3�� ��������� �� ��� ������� �� H

� -� � ��� ��������� � ��� ������� ���� � ��� �� ���� ��&����� �� ��'������ ) � �� �������� � ��� ������� ���� � ����! ���� �� � �� ��� ��� ������� ��������� ������� � ������ &������ �� ��� &��-�� -� -� � ) .'� D����� ?!;@�/�� �� ��%������ ���'���� �� &������ �� � �&��-� ������ ������� ����� ���� �� �� � ������ � �� D����� ?!;@�! ���� ���� �� �� ���� ��*

.�/ )�� ��������� - � -� � ��� ������� ��������� � ��� ���� ��� �� ������� � ������� � ������ �� �� /� � �! �� '���� �� ������� ���*

- � -� �

/���3� �� �

�� 3��3� �

/� ��,3�

���.?!>?/

Page 257: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�! �������� � ������"� ��������

.�/ )� �������� ) � ��� ������� ��������� ���� � ���� � ����� �� ������/�� ) � /�� �� � � �� ���, � �� ��,� ?!=!2!

./ $��%�� �� �� ��� �&��-�� ���� �� ��,� ������ � ��� &��-�� � ��� ���������������� � ��� �������� � ������ � ��� ������� �� �� � ������� ���� �� �� ����� �� ������� �� � �&��-� ������ /�! ������� ��������� �� �� ���� �� �� ��*

/� � � -,

�-�

,

�� - , .?!>>/

� ����*

� �-,

/��

��,�3�

���.?!>@/

�� ������,�� � ������ � ������� ��������� ������� � ��%������ ���0'���� �� �&��-� ������ /� �� �� � ���� �� ��,� ������ � "� ��� ��� ������ �! � ����'� ���%� �� �� ����,� �� ���� � �,�� � �� � �� �������� �� ��,�� � �� �� '���� �� ������ ������ /�! ��� �� ������ ��� ������������������ � �� ��,�!

���� �� ����,� ����� ����� ������ �� #�� ���� �� ����� � ������ � �� ��� ��� � $� ��� �� ������� � �� ����� ����� ��� �!���� �� �#��� ���� � � ��' �� ����� �������* 6�5� ���� � ���������� � ��������� � �� ��,� � � ��� �� � ����� � ���� � ����� ������ ��� ���! �� �� �� � ���� � �&��-�� ������� � � ������ ��� �������� ���� � "! #������� .2344/!

)� ��������,� �� �� �� � ���� � �&��-�� ������� ������ � ����������� �9���,� �� ������ ������ ������ �� ���� � ���'��� � �� ��,�� ��� ���� �������1� � � �� ����� 4! ���������� ��� ��,� ��������� �� �� ������ ��&��-�� �� ������ � �� ������ E��� �� � �� �&��-� ������ �/ � �� ������������ ���� ������� �� ���� � ���'��� � �� ��,�� ��� ��� � ������ � ��D����� ?!;3! �� ������ � &��-�� &������ �� �/ � ���� ������� �� ���� � ���0'��� & .D����� ?!;3�/� � ��%������ ���'���� �� ������ &������ �� �/ � ���

� �������� �� ���� � �&��-�� ������� � .D����� ?!;3�/� ��*

��� �

� ���� �

���& ��

/ .?!>3/

���������� � �����9��� &���� �� ������ ���

� ���� ���� ��������� ������ �� ��,� �� � ��� ���������,� � ������� ��������� ��� �� �� ����,� �

Page 258: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� �!"

���� &� +� ��������� �� �����3�� �� ������ �� �����3�� ���������

�� ���� ������ � ���� �� �� ������*

�����

� � � ���� �� ����& ��/ � .?!@:�/

� ���� � ���& ��

/ � .?!@:�/

� ����0 �� ��

���&

���� �� � .?!@:/

� ���

��0

���&

� �� �� � .?!@:�/

� ����0� �� �� � .?!@:/

���� �0 � �0 ��� �� � � '��� � ����,� � �� ���� ������ � �� ��,� �� ��� &� � �0� ��0���� ��� �� ��� � � ���� ������ '��� � ����,� �� �� �� ������ � ��������� ����� ��� .'� D����� ?!<:/! � �� ����� �� ������ �� ��

� � ������� �������� � ��� ������� ��������� ������ �� �� �� ���� � �������!�� �������� �� +������ � �� �� &�,��� � �����,�� ��� ��� � �������% � ��� ����� �,+���� � � ������� ��������� �������� � ����� � �� �� '���� �������� ��

� � ������ �� ���� � �&��-�� �������� � �� �� '���� � ��� �������� ���� � ���'���! �� �� ��� ��-,� �� ��

� ��� � ����� � ������ ��������' � �� ���� � �&��-�� ������� � � ����� ������� ���� � ������*

������� 55� �� ����,� �� ������ ������ �� ���� � �&��-�� �������� ��� ������� ��� ����*

.�/ / � � � ��

� �� � )� ��,� ��% ��������� ������ � ������ � � ������� �#��� ���� .� ������ � ����/ � ��� ������� ��������� ��� ��� ������ ������ �� ������ ������!

Page 259: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ �������� � ������"� ��������

���� &�"-� ����������� ��� ������ �� �����3�� ���������

.�/ / �� � � ��

� � �! )� ��,� ��% ��������� ������ � �#��� ���� � ���������� ��������� ��� ��� ������ ������ � / ������ �� � ���� �!

./ / �� � � ��

� �� � )� ��,� ��% ��������� � �#�������� � ��� ������� �����0���� ������ ��%� ��� ������ � E+�,� .��%������ ���'����� �� �&��-������� / ������ �� � ���� �/ � � �����,� .���'����� �� ������ ��������

� /!

�� ������,�� � ������ ���� �� ����,� �� ���� � �&��-�� ������� ��� ��� �9��� � ������ ������ ��� ������ ���� �� ��,�! �� ��������� ������� ���� � ��� ����� ��� �� ����� �� � ���� � ���'���� �� �� ����� ��� ���� �������� � &���� ����'����� � E+�0�����,�!

���� 1� ��� '���� ��� � ���� �� '�����-� � ��,� � B �� � �� 5���� -��� �� ������,�� �� � �� ���� �� �� ���� � ��,� � �� ���� � �� +����.�� �� ������ �� �&��-� ������/! �� �� D����� ?!<2� � ������ ��� �� � ����� �&��-�� ������� � �� � ������ � �� ������ ������ ��

� � �� � �� �� ��,���% ������� ������� � �#���! �� �� D����� ?!<2� � ������ �� ��� �� �

�� �� �� ������ �� ��,� ��% ������� � �#��������� �� �� ������ ������ �����

� � / �� ����5������� �� ��'�� �� ���� � �����,� �� ������ ������� � �� 9����!�� �� D����� ?!<2 ���� �� ������ �� �� �� ������ ������ � ������ 5�������� ���� �� � �� 9���� �������! ��� ���� � ���� �� 1� ��� ����� � ��� ����� � �� �� ��� �� �� ����� �� ���� � ��,� � / ������ �� � ���� � ���'���� �� ��,�! ��� ������ ��� �-� � ��,� � B � �����1���� ��1� �� ��,� � �� �� �� �� �� � �� ���� ���� �� � ����� ������ ��% ������� � �����,�!

���� ��� ��-,� � ���� � �&��-�� ������� ��� ������� � ����� � ���� � �#���!

Page 260: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� ���

���� &�"�� :�����3� ��� ������� �� H ������� � �����3� �������� ���C� ��/������,���� �� ������

%, ,� ������� � � � ��� � ��� ���� ������ �

)� ����,� �� ���� � �&��-�� ������� � � ������� �������� � ����� � ���9���,�� � ���� �� ����,� � ��� �� �� �&��-� ������ � ����,� ����������� ���� � ����� � � � ��%������ ���'���� �� ������ � &��-�� �������� ���� ������� ��������� ������ � ��5� �&��-� ������! �� ��������� � ������� �� �&��-� ������ � ����,� ��������� �� ���� � ����� � �� �� �� � �� ���� ���������� � � �� ��,� �� �� ����� �� ������ �������� � ��� ���������������� ������ � ��5� �&��-� ������� �� �� �� ���� � .'� D����� ?!<4/!�� ���* ��

�� �/ �

���0� �� �� .?!@2/

�� ������ ���� � ��� ���,� �� ��� ��,������* ��� ��� ��������� �� ����� � � ���� � �� ��,�! ��� ������ ��� ����'��� 5�� �� �������� ��� '�� ��� �������

��/ ������� �� � ��� ������� ���������! �� 5������� �������� ���

������� ������� �� � ��� ��� 1� ���� ��� � ����� � �� ��,�� �� �� ������ ��� ��� ���� � ������� � ����� ������� � ������ ��� .�� �'����/!

������ �� ��,� ��� �� 1 � �������� � ���� � ������� ��% � ��5� 1� �� �������� �� �� �� � ��� � ��� �� �������� ��,����� �� ���� � �������!

Page 261: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� �������� � ������"� ��������

���� &�"�� 2����������� �� �� �������� ��� ������ �� �����3�� ���������

��� � � ���� �� 1� ��� � �� ��,� �B �������� ����������� ���� �� ����,��� ���� � �&��-�� ������� � 5� ������� �������� +������ �� ��������� ������� � �� ���,� .?!@2/!

�� �� ��,� ��� ��� � �%� 1� � �������� � ���� � �&��-�� ������� ��%��������� � �� ������,� � ��5�� 1� � ����� �� � ���� � ���'���!��� � � ���� �� 1� ��� � ��� ����� ���������� � �������� ��� ��� � ���� ����� ��������� � ���� /

�� ��� ����� ������� � ��(� � ��� &������� �� ������ ���� �� ��0���� � �� ����� ���� ��� ��� �� � ������� � �� D����� ?!<;� ��5� ���� ���������� � ���� � �&��-�� �������� �� �� ���� �� ���� � �������� ��0 �� � ��5� ����� � ��� ������� ��������� �� �� �&��-� ������ ���������� ���� ���� �� ��,�!

���� &�" � .������� ��� ������ �� �����3�� ��������� �� ������� ��������� ������������

Page 262: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� ���

���� &�""� 2����������� �� �� �������� ��� ������ �� �����3�� ��������� �� ���������� �������

C���� ,�� � � ��� � ��������� ����� �� ��� �������� � ��� ������������ � ��(� � ���� �� ��� �� ������ � ���! ���� ���� ��������� �����,� � �������� � ������� .?!@2/ ��� ��� ������� ��������� ������� � ����� � �&��-�� ������� �� �� � ��� ������� ���� ��� � �����! $��� �������� � ���� ������ �� �&��-� ������ /�� ������ �� 1 ���� �� � ������� ������ �� � ���� � �&��-�� ������� �� � ��� ��� ����� ��� ��� � ������ �� ���� ������ ���������,� � ������� ��������� � �� ����� � �� �������� � �� ��,� � � � ���6�� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!<<�� � ������ ��&,����� � ��������� ���������*

� ��6� �/��

��6�

�� 3�6�.?!@4/

� ������ � ������� �� �� � �� ���� �������� �� �� �&��-� ������ /� �� ���� ������� ��������� �� �������� �� ���*

�� /� �

�$�0 ��� 3 �6 �

�$0/��

�� 33 �6 .?!@;/

���� 0 � 0�6� � �� �������� � �� ������ � �� ���� ���� � �� ��,� �� ���� �

6 �5� � ��� �� �������� �� �� ���� � �� ���� �� �� �� ������ � �� ����,��� 1 � .��� �� � ������� �� /� ������/*

�� �

��

�$���6� 0�6� �6 .?!@</

Page 263: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! �������� � ������"� ��������

� � �� � ���� ��� �� �&��-� ������ /�� ������ �� 1 ���� �� � ������� ������ �� � ���� � �&��-�� ������� � �� ����� � � ����� �� ���� ��0���� ���������,� � ������� ��������� � �� ����� � �� ���� ���� � �� ��,��� � ���6�� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!<<�� � ������ �� &,����� � ������������������*

� ��6� �/��

��6�

�� 3�6�.?!@=/

� ��� �5��� �� ��������*

�� /� �

�$�0 ��� 3 �6 �

�$0/��

�� 33 �6 .?!@?/

6 �5� � ��� �� �������� �� �� ���� � �� ���� �� �� �� ������ � �� ����,��� 1 � .��� �� � ������� �� /� ������/*

�� �

��

�$���6� 0�6� �6 .?!@>/

)� ������,� � ����� ����� � ��,�� � ��������� �� � �� �� ���� �� ���0���� � ���� � �&��-�� �������! � ����'� �� �� ����,� � ��5� ���� ���� ����� � ��� '����� � /� � /�!

�� ��� ����� ��� � &���� ����������� � ��� ��� ��� ��� ����� � ��(� � ���� �� ���������� ��� ���� ������� ������������ � ���������������� � &���� ������ � ��� ���� �� ��� �� �� �� �1� � ��5�� ����!$&������������ � ����� ���-��� ����� � � ��� ��������� � ����������� � ���� � �&��-�� ������� ��% ������� � ��� ������ �� ���� ����'���! $��%�� �� ����� � �����,� � �'���� �� �� ��� �� ���������� ���� �������-��,� +��� �� ���� � �&��-�� ������� ��� ��� �������� �%����!

�9 ������ %, ,�,�

� ��������� � '�����-� � �� D����� ?!<= ��� ��� ���� '����� ������ ���0&������ � ������ � '���� * � � BF��� �������� +����'���� � �� ��� ��0����� ������� �� +��� � '���� � �� ����,� ��������� � � ���#��! � ��*.�/ ������� �� ���������,� � ������� ������� � �� ����� �� �� � +� � '�0��� ��������! .�/ 6���1�� �� ���������,� � ������� ��������� ������ �� ������� ������ � '���� �%+��� � �� �-�! ./ ������� � ����1�� �� ����,� �� ���� ��&��-�� �������!

Page 264: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� ���

���� &�"#� :�����3� ��� $6���� &�*����

)�� ����������� ��������� � �� ��,� ��� ��� ��������*

� � � � ��� � � �� ��� � �� �� ��

��� ��� � � � � �� � �� ���� ���� ��

�� ��� ��� ��� �

�� ���� � � �

� �'

���� ���� � � � �� �� � ���

� �� �

�� ��

��(

� ����� ��

.�/ )�� ��� � ������� E���� � �&��-�� ������� ������ � �� ���� * ���*

�� � �

�* � � / � � � *

�� '����� �%+���� � �� ��,� �� � ��������� . � � �/ � '����*

���� � � � ��

�� ��� BF ��

/��� � � � � � ��BF

)�� ������� ������� �%+���� � �� ��,� � � ��������� ��� ������������� �� &,����� �������*

��� ��� >

���

��� � �� � � �� � �� ��� � �������� � ��� �� � ���� �#�� 5 �

Page 265: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% �������� � ������"� ��������

���� &�"&� .������� ��� ������ �� ���/����

.�/ )� ���������,� � ������� ��������� �� ������ � ������ �� &,������ ���������*

��6� �/� �

��6�

�� 3

�� � ��� �� ����� � '���� �� ������ ��%��� ��� � &���,� � �� �������� 6� �

����� �*

���6� � 3 6 � �� � �� ���� 6

���� ����

� ��� �� 6� �� � 6� ��

��� ������ � � ���� � �� ����,� �������� � ����� �� � �! �� � ���� � .6 �

�� �� �� � '���� �� ������ ��%��� � ����� � �� � ���� � �� �� �� ����������

�� ����,� �������� � ��5� ���� �*

�� �/�� �� � ���� � � ������� � ��� � � � ��� �� � �� ��� � ��� /� #��

�� /� � FW����! "� ��-���� � �� + ���,� ������� � '���� �� �&��-� ������/� �� /��� � �� � �� F � ����� �� � �� �� #��! ��� ������� � �� ��,�� ����������� � �� ��������,�� ��� ������� � � ��� ��&���� ��� �� � ��� � � ��� � ��� � �� �� #��! )�� ������� � ��� ������� � ��� ���� ��� ��� � �� D�����?!<>�� ��� � ��� �� ������ �� ������� ����������� � ���������!

�� � ����� � ������ ��%��� �� �� �� 1 � �� ������� � &���,� � ���������� � �� ���*

����� � ���� � � �� �� �� 3

�� �� � �� � ���� ��� �� ��

Page 266: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� ��&

���� &�"'� 2����������� �� ��������� ������������ �� ��������

� � '���� �%+��� �� ������ ��� � ���� � .� � � ��� � ���� � �� � ���� � ��H

�� ����,� �������� � ��5� ���� �*

�� �/�� �� � ���� ��� ������� � ��� � � � ��� �� � �� �� � ��� /� #��

�� ��� � �&��-� ������ /��� � �� � �� F ������ ����� � �� � �� �� #��!����'�� �� ������ �� '���� � ��� ������� ��������� ������ �� ������

&��� � ��� ������� ������� ������ �� ������ E���!

.�/ $� �� �� ��,� �������� �� �� �� 1 �� � ���� � �&��-�� �������� ����% ��������� ������� ���� ��5� 1� � 5�� �� ������ �� ����,� �������! ���� ��� �� ������� ���� ������ � � ������� ���� �� ��,� �� ������'����� �� �� �� � ���� � �&��-�� �������� ��� ��� � ������ � �� D�����?!<@�! )� ���� ������ ���������,� � ������� ��������� � ������� �� ������� �� �� ������� � � � ������ ������� � �� 1� ��! �������� � '����� ��� ��������� � ��� ������� ��������� � ��� ���� - � -� � � � ���� )

.D����� ?!<>�/! �� �� ���� ���� '����� � ��� ����� �����-���� ��� + �������������� � � � ������ �������*

- �

� $������

$��

/����6�

�� 33 �6

�/���

� �����

����� �� 6� �� � 6�� �6

� �� �� � /�

Page 267: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� �������� � ������"� ��������

���� &�"*� 2����������� �� �� �������� ��� ������ �� �����3�� ���������

: � - ��� ��� � �� � � /�

) � �� � � ���� ���

���� �� � �� ����

�� ��� /�

� �� ���� /�

F,�� �� ) �: � /�! ��������� ������� �� �� �� ���� � � ��� ������� �&��-�� &������� �� /�� �� �� ����� � ��� ��������� -�-� � )� �� ����� � �����*

/� � � ) � � � �� � � � � � ��)

/�� �� � �

�� �� ������ �� ����,� �� ���� � �&��-�� ������� � ���� � 1 � �������� �� ��,�!

�9 ������ %, ,�,�

������� �� ����,� �� ���� � �&��-�� ������� � �� ��,� ��������� ������ �� D����� ?!<3 .'� ������� �1���� ?!=!4!2/!

��� ������� � �� ��,� �� �� �� 1 �� � ���� � �&��-�� ������� � ��%��������� ������� ���� ��5� 1! ���� ������ �� ����,� ���� ���� �� ����0��� ���� ������ � � ������� ���� �� ��,� �� ������ '����� �� �� �� ����� � �&��-�� �������� ��� ��� � ������ � �� D����� ?!=:�! )� ���������,�� ������� ��������� ������ � �� E+�,� �� ������� � &���� ��%���� � ���

Page 268: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�' ������ � ������"�� ��������� ��"

���� &�"+� !������ ����������� )���� ���������

� 5�-� � � �1���� ?!=!4!2� � ������ �� �� ����1��� � �� D����� ?!=:�� ��*

�� � �� ���� /� #�� H �� � �� ���� /� #��

�� � �� � �� /� #�� H �� � �� ���� /� #��

�� /� � FW����! �������� � '���� � ��� ��������� � ��� ������� ���������� ��� ���� -� � -� � � ��� ����� )� � )� .D����� ?!=:/*

-� �

�� �� � �� ��� � �

�� ��� � �� ����� /�

-� �

�� �� � ��� ��� � �

�� ��� � �� � /�

)� �

�����

���� � ����

�� �� �

�� ��� � �� ���� /�

)� �

���

���

��� � �

�� �

��� �� � �� �

�� ��� � �� ���� /�

��������� ������� �� �� �� ���� � � ��� ������� � &��-�� &������� �� /�.'� D����� ?!=:�/� �� �� ����� � ��� ��������� -��-�� )� � )� .'� D����� ?!=:/� �� ����� � �����*

/� � � )� � �� �-� �-�� � �� � � � ��� �� �

�� �� ������ �� ����,� �� ���� � �&��-�� ������� � ���� � 1 � �������� �� ��,�! ��� ����'��� �� ��� � ������ � ;�342 � �� ���� � ���'������ ��-��� � � ������ �� ���� � ����� �����!

Page 269: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%+ �������� � ������"� ��������

���� &�#-� 2����������� ��� ������ �� �����3�� ���������

%," * ���� � � ������ ��� ���� �

)� ����,� � ��� + ������ ��� �� ��������,� � ��� ������� ��������������� �� �&��-� ������ � ����� &������� �� '����� �������� �� ����-���� &���� ��%���� � ��� � 5� 55� � �� �� ����� ��� ����� 5��������� ����%� �� �����1�� ���� �� ��� &���������� .'� ��,� <!? � $ ���� $/ � ����� ���� ������� ��������� � ��� � ����������� � ��� 5��,����� ���������!

$��� �� 1� ��� ��������� ��� ��,� &������ �� '����� ��������! ������� ���� � ��� ��,� � �� �9��� �� �� ��� � $������ �� �� � �������� �&���� � �� &���� � � $�$� ���� $ � � �,���� � ��������� � �&����!

)� &������ � ��������� ��� �� �5��� �� &����*

���� �/��

����

�� ���.?!@@/

���� �� � � ������ � ����� �%��� � �� ��,� 5������-��� �� �� ��1 �� 1 ���� �� � ����� � ��� � � �

���� � � ������ ��%��� �%��� ��%�� 5������-��� � �� �� � ��5� 1� �� � ����� ���

����� �

��

� � �� .?!@3/

$�%�������� � �� �� � ���� � ��� � � ����� ������ � �9� ���� ���� � �&��-�� ������� � �� ��,� 5������-���!

Page 270: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� �%�

�9 �$�� %,",�

������� �� ����,� �� ���� � �&��-�� ������� � �� ��,� � ���� � � ��D����� ?!=2� � �� �� � ������� �� ��� ��&���� ��� �� �9��� � ���'������ � � )�� ��������� ��� , � �� �� � � �� �� 3� � � � � 3 � �!

���� &�#�� 2����������� ��� ������ ������� �� �����3�� ���������

.�/ ��������� ����� ��� ����������� �%���� � �� ��,�! 6��� �� �������� �� ��,� �� �� �� 1 � � ���� �%��� & ����% ������� ���� ��5� 1 � �� ���1� �� ���� � ���'��� &! )� ������� � & �� �� � & �*

�� ��3� �� ��3�

����

�3� ,3 ��3�

��� � � � �� � � �� � � � �����

�� � � �� � � � �� � �� �� �

��� ����� � 1 ���� �� � ����� �%��� � ����� �� � 1 � �� ������� ����� �%��� � �� ��,� �� �� �� 1 �� ��� � � ��+�������� ����� � ������ � ��� ������ �%���� � ��� ��� ����� ��� ��

�*

�� � ��� ��

���3�

� �

��3�

�� ���� �� ����� ��

� ���� ��

Page 271: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%� �������� � ������"� ��������

.�/ 6��� �� ������� � �� ��,� �� �� �� 1 � � ���� �%��� � �&��-��������� � ����% ������� ���� ��5� 1! �� ������� �� ��� � �� ���� ���������� ����� � ��� �������� ,� �� ��� �� ���� � ,� �� ��� ��&���� .,� ,� � ,/!���������� � ��������,�� �� ���������,� � ������� ��������� ���� ������ ��� �&��-� ������ 5���-����� /� � ����� � ��5� ���� � �&��-�� �������! ��'����� � ��� ��������� �������� � � �1���� ?!=!4!4� �� ���������,� � ����������� ��� ���� � ����,���� �� '���� ���� � ��� +����� � '���� �%+��� � � ����� ���,� �� � ����� ��� ��� � � ����� � �� D����� ?!=2�!

�� '���� �%+��� � �� ����,� �������� � � ��� �� ���� �*

���� �

/����3

� ��

�� 3�

�/� �

� ��

�� '���� � -�� �������� � ��� ������� ��������� � � ��� �� ����� �� ��0����� 5������� � %�� �� �������� � ������� ��������� � ����� ������ �� �� ��� 3�*

-� ��

����� �3� �

/� ��3�

� ��� /�

���

��

$�%�������� � '���� �%+��� � �� ����,� �������� � � ��� ��&���� �*

���� �

/� ����3

� ��

��3�

� �/� �

� ��

�� '���� � -�� �������� � ��� ������� ��������� � � ��� ��&����� �*

-� ��

����� �3� � �

/� ��3�

���� /�

���

��

��� ����'��� �� � �� � �� /� � -�-�� �� �� �� � �����

�� � ��������� ��� ���� � � ���� � ������ � &���� �� ������� � ��� �� ��'�� ������!

��������� �5��� ������� �� �� �� ���� �� ���,� �� ���� �� � ��� ��&������ ���*

/� ,� � -�, � ,� �-�

/�, �

���

��,

� ����

,� ���

��, �

,

�� �� �� �

Page 272: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

& ��� �� '�����

&,� -���������

7�� �-� ����%��� ��% ������� � ������ ���� ����� ���� ��� ����� �� � ������ �� ������ �������� �� ��� �� ���� �,�� �� � � 1 � �� �-�� � ���� �� ������ �����' �� .'� D����� >!2/! �� � ��� �������� � ��� ������ ������ ������ �� ������� � �� ����� � �� �-�� � �� �� � ������ � ������ ����!

"������ �� �� ��������,� �� ������ ������ �� 5��� �� �� ������ � �&��-�� ������� � � �� ��,�� ��� ��� �������� � �� ������ ������ ����� ��� �� �� � ���� ��� .'� ��,� ?!@ ������ �� ���� ������ ������ � � �� ����� ����/! �� �� �� ����� � �����% ��� ��� � ������ ������ �� �� �� � 5� �&���� � � ������ ������ ��� �� �������� � �������% �� ���9���'� ���� ������!

���� '��� .��3� ������� � ����� ������

4?;

Page 273: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%! �������� � ������� ������

)� �����,� � �� ������ ������ ���� �� ��,� �� ��� �� � ����,� � ���������������� ���� �� ��,�� � ��� &���� �� � �� ��� ��� ������� ��������*

�/ �

���� �� � � � ��� �

���0� �� �� .>!2/

���� �0� � � '��� � ����,� �� �� �� ���� � �&��-�� �������! ����� ���� ��������� ��5�� ������ �� ������ ��� �������� �� ���������,� �������� ���������� �� �� �� � ������ 5�� 5� ,���� ���� �� �&�����,� ��� �������� ��� '����- �� �� �'����� �� �� + �����!

�� ������ ����� � �-�� ����%���� �������� � ������ ������ � �� ����� �1� �� �� � � ��� 5� ,���� &���������� � ��� �� � ���� �� "������� �#�������! )� ��9����� ���� �� ������ � ��� � ������ ��� ����� �������� ������,� �� ����� ������ ���� �� ��&�� �&�����,� &��� � �� ����� &�,��������� �� � ����� � ���!�! �� &���,� � �� 55�� � �������� ��� �������������' ����� � ����� �����'� � �� ������ � �����,� �� �������' ����� ������ �����'� �� �� ���������!

)� �����,� ���&��� � ������ ������ �� ����� � �������� '%���� ��� ���0�� � ��� �� �� � ���� ����� � �� ��,�� � �� ����� � �����0C����� �%������� '%���� ��� ��������� ��� ����� �����'�! $���� ������ ��� �� ������ ��� ���������� ����� � �� "������� � #�������! ��� � ��������� ����� ������ �����'� � ��'��� �� ���� � ���� ���� � 3�����1����� � ���� ��� ��0����� � ��� ��,� �� � ��� +����'���� �� '���� �� ������ ������ �������! �� ���� ��������� � ������ ����� ��������� 5�������� &��� �� �� �� � ����,� � �� "������� � #�������! �� ������ � �� ����'� �� �� ���������� �� &� ������� �� �� � ��� ��� ����� � �� ������ �� ��������� ������ � ���������� ����� � �� ����� � �� ���������!

�� �� �� ����� � �������% � ����� �� �����,� ��� � � ������ ��������� ���,� ������� ������ �� ����� � �������! � ���������%� ��������� �� ������ �����0C���� ��� �����,� ���&���� � � �������%� ��� ��������� � ������� ����������� �� �����,� � �-�� � ��,� ����������� ���������� ��������� � ������ �%��� ��� � ������ � �9�� � ��(� � ���� ����� ������� ��� ������!�� ������ � �� �� ���� � ������% &������������ � ��� � �����,� ���&���H����� � �� ��,� >!< � ����� ��'��� � ���������� � ��������� � �����,��� ���&���� � �1� ��� ��� ������ � ����-���� � ���������� �������� � ����!

6� ������� ��� ����������� �� ������ ������� ��� ����� ���� ����,� �&��-�� �+���� E���� � �������! �� ��� ���� � �� ������ �� � ���� ��� �� � ����,� � � ������ ��� ��������� �������� � �� �� ����� ��� �� �����,����&��� ��� �� ����� �� ��� �������� � ��� �� ������ ��������!

Page 274: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � ������� �%�

&,� '����� � #�����/

&,�,� * ���� ��������

���������� ��� �-� ����%��� ��� � ��,� ������ �������� ������� ��� ����� � ������ ���� ��1� �� ��,� � ��� ������� ��� ������ � � �������� ������ � ������ � ��� ����� +�����!

������� ����������� ���������� ������� � �� ������� � �� �-� � � �� ����0����,� .'� D����� >!4/� ��� ����� ������� ��� ��� �� ���� � �� �&�����,� �� �����,�*

� ��� ����� ���� ����� ������� � �� ���� � ���'���� �� ������� �+����� �� �� 1 � �� �-�!

� ��� ����� ���� � ����'�� ������� � ����� � �� �&�����,�! �� &������ ����� ��� ����� ������� �� ������� �+��� �� �� �� 1 � �� �-�! $��%�� ��� ����� ����� �� ������� � �� ��������,� �� ��� ������� ��,� ���!

� ��� ������ � �� ��,� � ����'�� ���� � �� �&�����,�� �� ������� � ����������,� �� �� � ������� ��,� ���!

���� '��� .��3� �� ������� �������� ������� � ������� ����

Page 275: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�%% �������� � ������� ������

� � %����� ��� ��� ������ ��������� � �� ��,� ���� ��������� � ���&�����,�� �� ������� �+��� �� �� �� 1 � �� �-�!

�� ������ �� �&�����,� �� �����,� � �-�� ���� � ��,� ������ � ��������� ������ �� 5� ,���� � �! $! � ������� .2>@</� �� �� �������*

�� ��� ���� � �� � ��� �� ���� ������ � ������ ����' �� ������ ��� ���$� ��� ��� ���� ������� � � ���� �� ������� � � ����� � �� ���!��' ��� � ���� �� �� � ������* %� �!�� ������������ � �� ���� ������� �&"�� +!

��1� �� 5� ,���� � ��(�� ��'������� � �&��������� ��� ����� � �����,� �����9������ ��(�� � �� ��'����� � ��� ���� � 5��� � ��� 9���� �&������� �� �� ���� �� ������ � ���� ����� ��� �� ���� ��������!

)� 5� ,���� � �&�����,� � ������� �� '��9��� + ���������� ������� �� ��� ��������� � �� ����� � �� ����������� ������ ����� � ������������ � '������ � �� ����� �� 1 � �� �-�� � ���� � ��������� � ������ ����!

�����'�� �� ������ �� �� 5� ,���� � ������� � ������ ��������� ����� �� ��� �� �� ��������� �%���� �� ������� � �� �-�! �� �� �� ������ ������� �� � ������� � �%���� �� ���%�� �� �� �� � A��B � � �����!

$������� ��� ������� ��&����� � �������� � � ��� �-� ����%��� ���,� ������ ������� � ������ ����' ��� ��� � ������ � �� D����� >!;�!���������� � ��� � ����� ��&����� ����� ������� ���� �� ������� � �����<� �������� �� � 1 � � �-�H ��5� ����� � �&�����% � �����,� �� � �� ������������ ������ � �� D����� >!;�� ���� �� � � ��� ��� ������� � 5���� �������� ��9��������� �� �� �� ��� ��������� ��������! )� �&�����,�������� �� ����� '���% ���� ��*

� � ��� � ����

���

<�;��

� < D .>!4/

���� � 5� ���������� � %����� � �����,�� ;�� � � %����� � �����,� �� ������ ���������� D � �;��� ! �����'� �� � ���� � �����,�� ;�� � �� %������ �� ������� ������������ � � ��� � ������� ����! ��� � ��������� � ���� � �����,� �������� � ��������� D� � �� %����� �� ������ � �������� � � ��� � ����M)

� ���� �� ���������� �� ��� ����������� ��� �� �������� � <*

� � < D .>!;/

6 ����� �� �� �� � A��B� �� ������� ��������� � � ����� ���� ��� �� �������� � ��� �&��������� � �� &����*

� � &� � &<D .>!</

Page 276: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � ������� �%&

���� '� � �������� ������� � ������� �� ������

���� & � � �,���� � �����- � ������ �� �������! ����� ������� ������������� ��� ������� � ������� �� � ������� � ��� D������ >!;� � ! � ����'��� ��� ������� ��������� � �� ���� � �� ��,� ��� � �������� �� ������� ��� �� ��5� ����� � �� '����� �������� �� �� �������� < �� ���� � ����,�! ��� ������ ��� '����� �%+���� � ��� � � ������� � ����!

�� ������ �������� � ��� ������� ��������� �� �� ����� �� ������������ ������ ��H �� ���������*

�� �

��< � �� �

��& D <� �� � &D

��<� �� � &D � .>!=/

���� � � � ������ ���� � ����� � �� ��,� ������! ���� �� ����� � �����0� � � � � 0���� � � ���� � �����,� �� ������ � �������� D '��*

D ���

&�.>!?/

Page 277: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�% �������� � ������� ������

�� ������ &� � ������� ������ �������� � �� ��,�! ����������� �� '����� �� + ���,� .>!</ � ��� ������� ���������� � �����*

� ��� <

�.>!>/

��� ������ � ��� ��,� ������ � '���� � �� ����,� �������� �%+��� � �� � ������&���� +����� � �� '���� '�� ���� �� �� + ���,�*

���� ��� 0

��

���

�0�

��

@�.>!@/

��� �������� �� �� ����� � E+�,�� �� '���� @� � ��0��0�� � �0��� � � ����������� � ������ � �� ��,�!

�� �������� ������� �� ��� ������ ��&������ ���� ��� � � �� D�����>!< ��%� �������� � ������ ���! $ �� ����� �������� � ���� ���� ������� ���� ��� � � �� � ��� � ������� � ���� �� � 1 ������������ � �� �-�!�� � ������� � �� �-� ��� ��������� � ����,� � �� ���,� � '����� ��������� ������ � �����,� � ���� � �� ���� � ������� �� 1 � �� �-�� ����� ������,� �������� �%+��� ����-� � '���� � ������! ��� �� � � ������ � �� �� �� ������� � ��� ����� � �������� � � ��%�� � ���! ��� � ��������� ��� ������� � �� �-� ����� ���� � ����,� �� � �� ���,� �� ������ � ���� �� ����,�� � ������ ������ 5�������� � ��� �� � 1 � �� �-�! ��� �� � ������� �� ��������� � ��%�� &�%��� � � �� � �������� ��� � 5���� &�������� 5�����,� � ��� ����!

�����'� ������� �� �� ���������,� � ������� �������� �� � �� ��������*

��/ �

��

��� �� � � .>!3/

����� � �� ������� ������ � �� ���������,� � ������� ��������� ���� �� ��,�!�� ���� ����� � �� �-� ����� � �����,�� ��� ��� ����� +������ �*

;� �

� D � �

�� � �

&� � �� .>!2:/

���� � � �� �������� ����� � �� �-�! �� � ��� �������� � �����,� ��� � �-�� ��,� �������� � ���� ����� � �����,� ������*

;� ��� �

&�.>!22/

Page 278: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � ������� �%"

���� '�"� !����;���� �� ������ �� ���3� ������� � ������� �� ������� 0�1 �������C����9 0�1 ������ �����

&,�,� * ���� �������� � ������ ��� ���� �

���������� ��� ��,� ������ &������ �� '����� �������� ��� ����� � &������������� ��� �� ��������� �� �� ��,� ��� � �� �-� ��% ��'����� � '�����-���� ��� ��� ��� � ��� ���� ���� ��� � �� ������� �� ��� �� �,���� ������- ����'���� &�� ��� ��� � ������ � �� D����� >!=�!

���������� ������� �� ������� � ���� ��' �� �� �� � �� ����� � ��� ���� �������� �� ����� � �� �-�� � �� ��� �� �,���� � �����- �����'����& ���� ��� ������� � �� ��,� � �� �9��� �� �� ��� � $������ �� ��� ������� � �&���� � �� &���� �� � &��&

)�� ����������� ��������� �� ����� � �� 5� ,���� � ������� � �� +0 ���,� � ��� ����������� �������� ���'��� � ���� ���,� .>!;/� ������� � ����,� �������� � ��'����� � ����� ������� � �� ���! $��� � ����� ���� �� � A��B� �� ����,� �������� � �� ���� � �� ��,� � �� ������� � ����&��������� � �� &����*

� � &� � �&� � �&<D .>!24/

Page 279: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&+ �������� � ������� ������

�� ������ �������� � ��� ������� ��������� �� �� ����� �� ������ ������������ ��*

�� �

��< � �� �

���& D <� �� � &D

��<���� � &D � .>!2;/

���� � � � ������ ���� � ����� � ��� � � �� ��,� ������! ��� ������ ����� � �����,� �� ������ � �������� D '��*

D ���

&�.>!2</

����������� �� '���� � �� + ���,� .>!24/ � ��� ������� ��������� � �����*

� � ��� <

�.>!2=/

)� ���������,� ���� ������ � ������� ��������� � ����� �� ���-���! �� ��D����� >!=� � ������ ��� ���������,� ��� ��� ��,� �� ���� � ��� ������������ �� &� 5 &�

&,�,� * ���� �������� 0� ��

)� ���������,� ����� � ������� ��������� ������� ��� ��� ��,� ������ ��0�-� ���� ����'�� �� � ��5� ��,� � ������� ��% �� � ��'5���� �� ���� � ����� � �� ��,� � ��������� ��� �� ��� 9���� +������ �����1� � ��

���� '�#� 2����������� �� ���������� 0�1 ������� �������� �� /����� ���������0�1 ������� �������� )����

Page 280: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �&�

����,� ��������� ��� 9���� �������� �����1��%� � ��� ����,� ������������ ��&0����! ��� �������� �� �1�� � ��'5������ �� ������� �����-���� ��� ��,������� 5��!

���������� ��� ��,� ������ 5��� �� 0 � 0� ��� ������ +����� �������� �� ��,�� �� ��'����� ��� ��� � ������ � �� D����� >!=�! )�� �����0������ ��������� � ��� + ������ �������� � ��� ��� ����� �������� ������'������ � ������ ������� � �� ���! 6 55�� �� ��,� 5�� �� ����0����� ��� ����� �� ��� ��������� � ��� ���� � ������� ��������� ��� ���9��� � ���'����� ����� � �� ���������,� � ������� � ��� ��,� �������� �� � ������� � �� D����� >!=�!

�� ������ � ����� ���� � � � �,���� � �����,� � �� ��,� 5�� '���*

� �� �0� � 0�� �

�� @� �

�0

�� �0� � 0�� �

� 0.>!2?/

$��%�� �� � � ��� � �� ��,� � ��(� � ����,� �� ����� +����� � ���*

0� � 0�� � �0� 0�� ��0 0���0 � 0�� � � 0�� 3 .>!2>/

���� 0� � � ����� � �� ���� ���� � �� ��,� .0� � �0 0����/ � 3 � � � ���.3 � 0 � 0�/! $5���� � �� � ��+����

� � �� 0�� 3 � � 0�� � @� ��0�

� � 0� .>!2@/

��� � ��0�3� ����� �� %�� � �� ��,�! 6 ��� ������ � ��� ��,� ������5�� � ��(� � ���� �� ����,� �������� ����� �� ������ ������ �� � ���������� ������� � ���� �� ��,� � � '����*

��& ���

@��

��

� 0�.>!23/

� ����'� ��� �� � ������� ��% ��� ��� � ��'5��� � ��� ����� �������� � ��(� � ��� ���������� � �����,�� �� �� ���� � ������� ��% ������� � ����,� �%������ ���&���!

&,� '����� � *���5: ��

&,�,� ���������� � ���

���� 5��� '����� �� �����,� �� ������ � �� �����,� � ��� �-� � ��,� ������� ����� ��������� ��� 5� ,���� � �&�����,� �� ��� ����� ���� � �� �-�

Page 281: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&� �������� � ������� ������

���� '�&� 2����������� �� ��������� ������������ �� ������� �� ��� ������������������� 0�1 ����,� �� ������9 0�1 ����,� �� !����=:�����

����� ����� � ����� ��� �&������! ���� 5� ,����� &�������� �� �������� &�� ����� �%� ���� �� F�'�� �� ��� � ��� �-� ����%��� � ��,� ����������������� � �� ������,� ����� �������* ��� �� ��������� ������ ������ ���� %����� � �����,� � ��'������ �� ������� �� ������ ���� � ����� �� ���� �������� � �� ��,� � ��� '����� �%+���� � �� ����,� �������� � ������ ��� ����� �%� ��1���� � ��5� ����!

���� 5� ,���� ��% � ��������,� �� ��� �������� � �������� ��� ��� ������� � �� D����� >!?�� �� �� � ����� �� ��� ����� � F�'��� � ���� ���� !

�� �������� �� ����,� �������� ����� ����� �� � �� ����,� ������ �� �������&! ! ������� �� ����,� � � ����� ���� ��� �� � ��� ������� �� �� �������� ��� ��� �� ����� ��� � ���! �� � � ���� �� � �� ������ � ���������� ��������� ����� ����� +����� ��� ����,� ��� � � ���� ! � ���� ���� �9� ������ � �� �-�! ���� ��% � ��������,� �� � 55� � ��� � �������� �� �9� ������ � �� �-� ��% ���� � ������� �������!

�� ������ + �������� ����-���� �� �-�� � ��,� ��������� � �� ��0�� ��*

� �� ��������,� ������� � �%+��� � ��� ����� ����� � ��� ����� �%� �������� ��%������ �� �� ��� ��� ����� �%� ��1���� �� �������� � �� ��,��������� �� � ��� �������� �� �� �� ���� �� ��������,� � ����! ���� �� ����� �� ���������,� ��� � ������� ��������� � ��� ��,� ��������� ���� ��� � ������ � �� D����� >!?�!

Page 282: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �&�

� ��� ����� ���� � ��� �-�� �� ����� � ����� �� �� �������� � �����,������ �� � ������!

����� '������ + �������� ������ ������� �� �� ����� � ������� ��� ������ ��� � ������ � &�,��� � �����,� � �-�� � ��,� �� ������!

)� �����,� +��� �� ������ � ������ ������� � �-�� ����%���� � &�������������� &� ������� �� �����0C���� .2@=;/� �� ������ �� �� �&�����,� ��������� ��� �� ������� ��� ����� ��� ����� � �� �-� � �� ������ �*

.�/ ��� ���� ��� ������ � ��� ����� � �� ����� �

.�/ �� ���!� � ��� ����� &��� � �� ����!

�� � )���� 4 � ��������% �� � ���� � ���� � ��� ����� � �� ���� �� �������� � ���� � �&��-�� �������� ��� ����,� �� ������� ��� ���� � �����, � � �� ����� ?! ��� ��� ��-,�� �� ���� � �&��-�� ������� � ������ ������� ���� � ������ � �� ��,�! �� �����,� ���&���� �� ����� ��������� ��� ����� � �����,� � � ����� ( � ������' � � �� 1 ������ � �� ������- ��� �-�!

�� �� D����� >!> � ������ �� �&�����,� � �����,� ��� � ��� �-�� ����%�������� � ��,� ������ � ���� � ��,� ���������! )� �-� � ��,� ������ �

���� '�'� 2�������� ��� �������� 0�1 ���3� �� ������� �������� 0�1 ���3� �� ������������������

Page 283: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&! �������� � ������� ������

�&���� �� � �� 5� ,���� � �������� ��� �� ��� ������ � ��� ����� ���� ����� �����! ��� � ��������� �� �-� � ��,� ��������� � �&���� �� ��� 5� ,���� � �����0C����� � ��� ����� ���� ����� � �� ���� � ���%� �1�� ��� ������ � ���� � ������! ��'������ �� ����� � ������� � �� ��� ��������� �� ����� � �����0C���� � � �� � ����� � ����!

�� �� ����� � �����0C���� ����� � ���� � �����,� �� ������ � ��������� D� ���� ����� ��� ���&���� � �� ����� � �� �-�! ��'������ � �� ��� �� � ����� ����&��� ��� ����� ��� ����� ��� ��9� � ���������� �� ������� �� �� ���� &���� �� � ��� ������� ������� ������ �� &�,��� � �����! ��� �������� &���� �� ��� �-� ������� � �����,� ���� ������ ��,� �����'���� ��������� ����� 91�� ��� � � ��� � ��� ����� � � ��������� �� �� ���������� ������ �� �����,�! ���� ������,� �� ����� � ��� ��,� �����'���� ������� � �� � ����,� � �����,� �� ���&��� � �� ����� � �� �-�! )� ��E���� ��� ����� �� ���&��� ��� � � �� ��������� � ��� �-� ��������� � �����,� �� �� �� ������ ����� ��� ����� ���� ��� ������� � � ��(� � ���� �� � �� ����� � ��� ������� �� �� � �����! �� �� ��,� >!< � �������'��� � ���������� � ���� ���������!

�� ������ �� ��� �� ������ � �� �����,� ���&��� .� � �����0C����/ � 5������� �� ����� � �� ����������! 7�� &���� �%��� � �������� &� �� ���� ��)! ������� � 23:;! � �� �� �� +��� ��� &���,� ����� ; � ;��� ��� ���������� ��� � �����' ��� �� ��� ������� ��������� '��� ����� �� ��� ���'���� ������ � ��5� &���,�� ��� �*

��� ��;

��� ��� � ��;

��.>!4:/

� �� �������� �� �� �� ����,� � ��� ���� ��� � ������!������ �� ����� ���� � � ������ �%���� ���� ��� ����������� �������� � �����,� ��� ���0'���� � ��� ������ .>!4:/ �� ��� �� �� &���,� ; �����&��� �� ���,� ��&�����.� ���'���� ������/*

�; ���;

���

��;

���� ��&D .>!42/

�� �� �����,� � ������� � �� �� &���,� � ����,� �� ������� � �� ����� ��������� � �� ��,�! )� �����,� � ��� ���,� ��� ����� � &���� ����������� �� ������ ����%��� �� �1�� �� � ����� � ����' ������ ��������������� � ��+������� ���� ��� ��� ��&����� 9������ ��� ������ 9����� � ��������� � �������!

Page 284: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �&�

&,�,� �����(� � �� � �/���

6 &���� ��������'� � �� ������,� � �� ���,� .>!42/ ������ ������� ��������� ���������� �� �����,� � ��� ������� � �����,� ���&��� �� �������� �������� �������� � �� ��!����� ���������� ������� �� ������� .23:;/! ��������� ���������� �%���� 5������� ���� ����� � ������� 91�� ���� �� ������� ������ �� ��,� ��� � �� �-� �� � ��� �������� ������� � ��� ����,� ���&���� ��� ����� � � ��� ���,� ������ ������� ���&��� .'� D����� >!@�/! �� �� ��,�� ����� ���� ��+�� � ���� ��� 5��� ��������� ����� � ���� �� ����������� � �� �� ����� .'� D����� >!@�/!

�� H �� ���,� ������ �� ������ � �� �9� � �� ������� � : �� ����,����&��� �� ������ � �������� �� ������� � �� �����! )������� ; � ;��� �� � ��&���,� �� �� ������ �� E5� � �� ������� � ��� ���� �� ���� �� � ����� �� ���,� ��&����� � ���'���� ������ � �� �&������ � �� ������� �*

�; ���;

���

��;

���� � H

:.>!44/

�� �� �����,� � ������� ; � � � �� ����� �� ������� � �� ��,� .� ; � 9�3 ����� ������� � ��� 5��� ��������� �� ��� 5��/! ���� ���,� � ��%���� � �� ������� �� ������� ��� �� &���,� � ����,� �� ������ � �� �����,�� � �� ������������� � ��� �� � ���� H�: � �&D! ��� ������ ������ �� � ������,� � �� ��0 �9� �&������ � �� ������� �� ��'�� � ��'� � ��� ������ ��� ���������� �� &���,� � �������� '����� ��������� �� ������� �����'�� � �� ���������,�� ������� ��������� � � ������ � �� �����,�*

���� '�*� ������,� �� �� ������� 0�1 ������ ����4� 0�1 ������ ��� A)����B

Page 285: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�&% �������� � ������� ������

.�/ )� �� ���� � �� ����,� �������� � �� ���� �� � �� ����,� ������� �� ��'� � ��'� � �� ������� �� ��� �� ��5� ���� � ����! �� ���'�'$ ��'�

'$ �

� '��� ������ � �� ��'� � ��'� .6 � �� �������� �� � �� ����,� ������ � ����'� � ��'�/! ������*

�� � �� � ������

�6 ���

��

�6�

�;

��

��

�6

�;

��

��

�6�

�;

�6� � .>!4;/

�� �� �� E5� ������� � �� ����� � �� ��'� � ��'�! ��� ��������� �� ����,��������� � �� ���� ������ � �� ����,� ��� �� ����,� � �� ������ � ����'� � ��'� �� ��� �� ��5� ���� .'� D����� >!3/! �� ��������� �� ����,��������� � � ������� � ������ � ���!

.�/ )� �������� � �� ����,� �������� � � �� ���� ������ � �� ��,� ������ ���*

� ��

���� ���� �

���;

��

��

��;

��

��

� ����;�� .>!4</

� ���� �� ����,� �������� � ����� �� �,���� �� ������� � �� &���,� ;� � ���������� .�����/ � �� ����� � �� ������� � ��5� ���� .'� D����� >!3/! ��������� �� ����,� �������� ��% ����� � ��� -���� � �� ��,� ���� �� ������� ���� ����� ����� � ����� �%� ����� ���� ��� ��'�� � ��'� ��� ��!

���� '�+� ������,� �� �� ������

Page 286: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �&&

./ �� ������ ������ �� �� � ���� �� ��,� � ������� .�����/ �� ���� ��'����� ������ �� �� ������� �&������*

�� �

���0� �� �� .>!4=�/

� ����0� � ��; �� .>!4=�/

� ���

�� � �; �0��

����� � �0�� ;�� .>!4=/

� � �

��;�� .>!4=�/

� �) .>!4=/

���� � 5� � ����� � ����� � �� ��'����� � � 5� �� ����� ��� ������ ����������� �� �� ��,� � �� ����� ��� ���� ��+� � �� �� &���,� ; ������ � � �������!

�� ��� + ������ �������� �� &���,� ; � ;��� �� � ����� ����� � �� &���,� �����,� �� ������ � �����,� ��� � �� ��%����� �� &���,� E5� � �� ��������%����! � ��� � ������� .�� ��� �������� ��� �� ��������� ������� �� ���� ��� ������ �� ����*

��� ������ �� �������� � �� ������� �� ������ ��� ����� ��������'� � ���0������'� � �� ���������,� � ������� ��������� �� � ��� � ��� ��,� ��0����� � �&��-� ������! $�� �� 1� ��� � ��� ��,� ���������� ��� '����������� ����� ���� ����,� �������� ����� �� �� �� ����� � �� ������� �

���� '��-� 2����������� �� ��������� ����� ��������� �� ��������� ������,��

Page 287: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�& �������� � ������� ������

���� � ��5�� ������ � ��� ���������� � ����,� ��� ��� ��� � �� D����� >!2:�H ���������� �%+���� � ��� � ��� ����� ����� � ��� ����� �%� ������� $� � ��� ������ ����� � �� ������� � �%+���! ��� ����������� ��%����� � ��� ��� ��� ��,� ��� �� � �� D����� >!2:�� �� ����,� � ���� � ��� %������ ����������� ��� ������$�� ��9���� � ��� %������ ������� ����! �� �� �%���� � '��� ���� � � ������������ ��������� ��� %������ �������! �� �� D����� >!2: � ���0���� ��� ���������� � ����,� ��� ��� ��,� ������ 5��H �� ������� ����������� ������� �� ����&����� ���������� �������� ������� �� �� ����� ��������!

&,�,� * ���� � ��������

)� �����,� �� ������ � �����,� ���&��� � �-�� � ��,� ��������� �������� � &���� �������� ����'���� �� ���,� .>!42/ ���� �� ������� ������0���! ��� ������ ��� ������� �� 5�� �� �����-�� ��%� �%� ���% �� ��'� � �������������%��� �����-��� � �� �����! ��� ������� ��� ��������� � ��5� ��%����� ��� ��������� '���� �%���! $ ���'�� � �� �������� � �� ������� � ��� ��� �������������'� � ��� ���������� � ����,� ��������� ��� �� � �� ����,� � ��� ��0����� ���������� �� ��� ��� ��� ��������� � �� D����� >!2:�! �� �,���� � ������,� � ��� ���� � �� ��,� � �� ������� � �� ����� � �� ������� ���5� ����H �� D����� >!?� ������ ��� ����� ��������'� �� '���� � ��� �������� �� ����� � ������� ���� �������!

���� ��� ��,� ��������� � ����� � 9� ���� � � � ���� �%� ������ �� �%+�������,� �������� � �� � ��� ����� ����� � ��� ����� �%� ������ �� ��%����� �'��*

���� ���

��9�.>!4?/

���� � � �� '���� �� � �� � �� ����,� ��9 4 ! �� ���� � �����,� �� ������� �������� '��

D ���

& C�9�.>!4>/

���� C ������� � �� � �� ����,� ��9 )� ����� >!2 �� ������ '����� � ���

��9 2 2!= 4 ; ? 2: �� :�4:@ :�4;2 :�4<? :�4?> :�433 :�;24 :�;;;C :�2<2 :�23? :�443 :�4?; :�433 :�;24 :�;;;

(���� '��� ���;������� ���� ��������� �������������

Page 288: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �&"

�9���� � � C ��� '����� '����� � ��� ����,�! �����'� �� ����� � ��� C

����� � '��� �� ����� � ��%����� � ����� � ���5�!

&,�,! * ���� � � �������� � ��� �0��

)� �������� � �� ������� ���� ����� ��� �����,� ��� ������ �� ������� �� �����,� � ��� �-� ����%��� � ��,� ��������� ���5� � ���������� 9 � �� � 44 9!

�� &��� �� � ��%����� � ��9������ ������ � �� �� ���� � &��� ��� +����� � ��� ���� �� �&�����,� � �� ������� � -���� ��9��������1���� � ����! ���� ���'�� � ��� ��� ���'� � ��� -���� �,+���� � ��� +�������� &���,� �� ����� �� E5� � �� ������� �,�� � �� � �� �������� � .'�D����� >!22�/� � ��� �� � ; � ;���! ������ �� ���,� .>!44/ � ��� �

��;

���� � H

:.>!4@/

�� �� �������� &%����� �� ��� �������� � ������� .'� D����� >!22�/*��;

��

����

� � �

��;

��

����#�

� ���� � �H 9��

:.>!43/

��� ��� �� �����,�*

; � ;��� �

� �9

�� � ���

H

:.>!;:/

)� ������� �&������ �� �� ������ �� ������� � ��,� ����,��� .'� D�����>!22�/� � � �� �� E5� �%+��� �*

� ;�� � �� �9�

H

:.>!;2/

$��%�� � '����� �������� �� �� ������� �&������ � � ���� ��� ���������� ������� ����,��� �*

) ��

� 9 � �

�9�

H

:.>!;4/

7����-���� �� �������� � �� ������� � �������� �� �� ����,� � �������� �H�: � �&D� � ������ ��� �������� + ������ '%����� ��� � ������ � �����,�*

�� �

��9�&D � �) � ���� � 9&D � ���� .>!;;/

Page 289: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� + �������� � ������� ������

���� '���� ������,� �� �� ������ �� ������� ����������� ������)�

� ����*D �

��

& ���9

��

��

&��� ���� �

�� 9���9

��

�� 9

��.>!;</

���� �� � �9��� � �� ��� �� � ������ � �� ��� � @� � ���9 � �9��� � � ������� ������!

$��%�� � �� ��%���� �� ����� '���� ��������H �� ������ �� ���������,�� ������� ���������� � �� ����� � �� ��� �����'���� ���� � �����*

���� � ����

9���

�� ��

��.>!;=/

�� ��� '����� �%+���� � ��� ����� � � �� �� �������!)�� + ������ �������� ��� ����� �%� � ��+������ ����� ����� � �� ����,�

��9! ���� ��9 4 � ��� ��������� ��� +����!

&,�,� � �7� � �������� �/� ����

)�� + ������ .>!;</ � .>!;=/� �������� ��� ����� ���������� ���5��� �0�� � ������ � &���� � ��+������ � ����� ������� ������� � � ��� ���&����� �� ��� ����������� �� �� ���� �� ����9����� ��� ����� ��5� ���0����! �� ���� � ���� ��� �������� ��� �� �������� ����9���� � �� ���� ����� �� ��,� .D����� >!24/! �� �������� ��� ��� ������-��,� ������ � �� ���

Page 290: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� � �

���� '���� .��;��� �������� �� ������� ������

�� �� �&������ � �� ������� ��%� � ��+��������� �� ������� ����,��� ��������� �

A�� �� �(���� �� ��� � ��+����,� �� ��� ��� &��� ����� �� ������ ��� %������ ������� � �� ��,�� ���� ��� ��� %������ � � � � �� D�����>!24�! ��� ������� �� �������� � �� ������� ��� �� � ��� %������ �������� ��5�� ������ �� ������� ����� � ��9����! �� �� �%���� ��5�� �������������� '���� ��������� ��5�� %������! ��� ��������� ������ �� ����� � ����������� �� �� ����,� ��� �� ����,� �%+��� ���� ����� � �� ����,� ���5� ����� + ������ ��������� ����� � ���� %������ � &���,� � �� ����,� -�9 ���� ����� � ��'����� � �� ���,� � � � ��� � �� �-�� ��� ��� � ������ � ��D����� >!2;!

�� � ��� � �9�� ��������� �����9������ � ��� �� ��� ��������� � ��� �0 ���� � ��� ������� �� ��� �� ��� ��� ���������� �� � �� � �� ���9� 44

.'� D����� >!2</� � ������� ������ �� ������� � ��+����,�!�� �� �� ��� � ������ ������ ��������� �� �� ������ �� #36��8 � �� D

� %����� � �����,� � �� ��,�� �� ���� ����� ��� ����� ��� ������� .�����,����&���/! �� ���������� �� ��� ���� ����� ��� &���,� �� ������ ����������� �� ������� � �� �� �� �����- � �����,�� ��� ��� ��

��� � ��� � ���*

D ���

&���� 9

��

���

&��

� �� 9

��

.>!;?/

��� ������ � �� �9���*

�� ������

����� �

�����

�� 9�� .>!;>/

Page 291: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� � �������� � ������� ������

���� '�� � $���� �� ������������� �� ��������� �� ������� ��������� �� ������ �� ���������� �����I�������

��� �� ����� � �����,� � �� ��,� .���� � ��� ���� ������� � ��� ��������������/! $��%�� �� � �� �������� � �� �������� �� ����,� �%+��� � ��� ������� ���% � �� ����� � �� �������� � '����%*

������ � &D 9� ��� 9���

.>!;@/

� �� ����,� �%+��� � ���% � �� ���� � ����� � ���*

���� ��� 9���

��

���� ���'�� � �� ��� �� ��� ������ �� �� �� � �9� ����� �� ��� ��0 ������� � ������ ������� ��� �������� � ��� ��%�! �� �� �������� � ���������� �� �&������ ����� � � ��+�������� ����� � �� �&������ � ��� ���0������ ������� �&���%���� ��� ��������! F���������� ��� � ��+����,��� ��� ��� &��� ����� �� ����� � ��� ������ ��� ��� ��'���� �������!

��� �� � � � ��+����,� �� ������ +����� � ����� ������� � ��(�� ��� &������� �� ������� � ��������� ��������! ����� ��� ��� � ���� � ��0 �� � �9��� � ���'����� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��� � �9��,

Page 292: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� � �

���� '��"� .��;��� �������� ��� /�������� �� ���������

� �� ��,� >!4!4� ��� ����,� ��� � �,���� � �����- �����'���� � ��� ���0���� � � �,���� � �&���� �� � &��& ��� ����� �9���� �� ����� � �����,����'���� � �� �-� ���

�� ������

��� ��

�����

�� �� 9�� .>!;3/

� �� ��� �� ��� ��� � �� ��,� �� �����% ��� &���,� �� ������ ������ ����� �� ������� � �� �� �� ����� �%���! ������� � ���� � �����,� �� ������ ��������� ��%*

D ���

&��.>!<:/

$��%�� �� ����,� �%+��� � ��� ��� � �� ��,� � ���% � �� ����� � ���������� � '����%*

������ � &� D 9� � ���� 9�

��.>!<2/

A�� �� �(����� 9������� �� ��� ��������� �������� � ��� ��,� ��� '%����� ��� �9�� ��������� ������� �������� � �����,� ���&���� ��� �� �� ������ ��� ����� �����'� ��� ��������� ����� � �� �-� � �� �����! �� ��� 5� ,������ � � ����� � �� ��������� � �� �� � � ����� �� �� ��� ��&����� ���� �� ����! 6 55�� ����� � ��� �������� � � ���� �� �����,� � ����0��� ���&��� � �-�� �� ����� � �9�� �������! �� �� ��,� >!< � ���������� ������,� � &���� �������'�! � ������ ���� ��� �� ���������,� � ���������������� � ���� ��������� � ��� ��&��� � ��� �������� � ��� ��,�!

Page 293: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ! �������� � ������� ������

�9 �$�� &,�,�,�

������� �� ����� � �����,� � � �%+��� ������ ������ �� �� ������� ��� �-�� ��,� ������ ������ �!���� � ����� 0 � � ��� 3� ��� ��� ����,� ���������������� ��!

���� '��#� ������� �������� �������

)� ����� � �����,� � �� ��,� �*

�� �

��3� �

���0 3� �

�� 3�

� �� ������ �� � �� ���,� .>!;<�/�

����� �

�� ��

3�

��3��

� �� ����,� �� � ����-� �,�� � �� ����� �� ������� � �� ��,�!

�9 �$�� &,�,�,�

�� '�����-� � �� D����� >!2? �����1� �� ��� ���� '����� ������ ���&������� ������ � '���� * � � BF�� .'� �1� �� ?!@!4!2! �� �� ����� ?/! �� � ���� ������,� � ��� ����� '������ � � �� ����� � ��� ����� � ���'��� � ��������� � ��* .�/ ������� � ������ ������ ��� �� �� � ���� ��� ��,�!.�/ ������� � '���� �%+��� � ��� ������� ��������� ������ �� ������ �������� �� ��,� �%� ���������! ��� ���� �� ��� ��������� �������� � � � ������ .�/�� �1� �� ?!@!4!2! � ������! ./ ������� � ���� � �����,� �� ��&� � +������ '�����-� � ������ � ��������! ����� & � �� 8��!

Page 294: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� � �

���� '��&� :�����3� ��� $6���� '� �#��

.�/ �� � � ����, � � �1� �� ?!@!4!2 � ���� � �&��-�� ������� � ����,� � ��% ������� ���� � 1 � ������� � �� ��,�� � �� �-������ �� ����� �3�?:? � �� ���� � ���'��� & $� ����� ��� ����� � � ���� �� ����� � �������� � ���'��� � ��� ����� � ���� �� � ���� � �&��-�� ������� ������� �� � ���� � ���'���� � ���� � ��� ��,� �� ������ ������ ���� '����*

�� � /� � �& � �� ��� � ��� /� BF ���� � ������ /� + ����� � BF!

.�/ $� ������� � �� �9� ������ � ��(� � ���� ��� ������� ����������%+���� ������ �� ������ ������ ��

� ��� ������� ������ �� + ���,�*

� ���

� 3

��

����� 3 � � ��� �� �9�! )� ����� � �����,� � �� ��,� � ����� �*

�� �

��3� �

���� � � �� ��� � �� � ��� �� ��

���� � � �� �������� � �� ���� ���� �� �9�! ��� ������ � '���� � �� ����,��������� �%+��� �*

���� ��� ��� � ���/� � � � ���

��� ��� ��� �� � � ���/� #��

Page 295: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� % �������� � ������� ������

���� '��'� .������� ��� ������ �� �����3�� ��������� � ����� ������ ����

���� � '���� �%+��� �� �&��-� ������ /��� � �� BF� �� ����,� ���������%+��� ����� � �� �����,� � ���� � ��� � #��!

�� � �� ��� �� �������� �� � ������� � � � ������ .�/ �� �1� �� ?!@!4!2�� ����'� �� �� ����,� �������� �%+��� ����� �� ������ ������ � � ��+�����0��� ��� '� ����� �� �� ����,� �������� �%+��� ����� �� �&��-� ������!

./ �� ���� � �����,� �� ������ � �������� � ����� �*

D ���

&���

�& �/�&��

��& � *

&�������

���� �& � �� ��� � ��� �� * � �BF�� � &�� � ����� F���! ��� ������ � '���� ������ � �����,� �� ��&� � +���� �� '�����-� � ����� �*

;� �

� D � �

�& *

&��

� � �

�& *��

�&��� �� �� ��� � �� � �

���� �� ����'��� � '���� �� ���� � �����,� � � +���� �� '�����-�� ��� �'���� � ���� &��� � ��� 5� ,���� � ��(�� ��'�������! )� ��,������ ��9���� ��� ������� � ���� �� �����,�!

&,�,% �����(� 0������?����

$��%� � �� �������� � �� �������� +���� ����� ������� �%���� �� ������� ������� ��%����� � �� �� ������ � �����,� ���&���! $��� �� 1� ��� ���������� 5�������%��� .$! 8! 8��5���� 232:/ ����� ��� ����,� ��� � ������

Page 296: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� � &

���� '��*� ������,� )�����������

�%��� � �����,� � �����0C���� � ��� ��,� � � ������ 5�������%��� ������ ��'������ � �� E���� ���� ����� �� '����� � �� ���� � ������� ��,� �� �������� ���9���� .'� D����� >!2@/! 8��5��� �(��, �� �� &���,� � ����,� �� ������ � �����,� � ����%������ ��%���� � �� ��� ��� � ������ �� ������5�������%���!

�� &��� �� ���,� � ���������� ��� �� E���� �� �����!� �� E�1� � � ���� �� �*

�� � �> ��>���

�>���

� � .>!<4/

��� ������ ��� � +��� ��� &���,� ����� ; � ;��� �� ��� ��*

>� ��;

��� >� � ��;

��

� �� �����&� �� ���,� � ���������� ����������! 6�5� &���,� ��� � ���0�� � ��� ��� � ������' �� �� � &%�� �������� �� ��� ��'�� ;��� �� � 9�3 ��� ������� ��� ����� � ������ �� E�1�!

�� � E�1� � �� �� ��� �� '�������� �I � ������ � � �� ������*

�I � �� �> �

��>���

� �>���

��� � �

���;

���

��;

���

��� � I�� .>!<;/

���� �� � �� '��� �������� � �� ����,� �� 1 ������������ �� ����! ��� ������� �� �����9��*

�; ���;

���

��;

���� �I .>!<</

Page 297: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� �������� � ������� ������

���� ���,� �� ��'������ ��%���� � �� �� �9� � �� ��� ��� � ����� � �������� � ������ � �����,� ���&���! 6 ��5� �������� � ��� �� � �� �������� �� '������ �� E���� � �� ����,� �������� ���� �� ����� ����,� � '����� �� ��������! ��� ������ ��� ����� � ������ �� ������ 5�������%��� ����������� � ��� ���������� � ����,� �� ������ � �����,�! �� ��������� ����� '������ � ��� ����� �� ������� � ������ � ���� �� ����� ���� �� ���������� ���������! $��%�� �� � ������� �� ������� ��� %������ ��'+�� ����� �� '������ � ���� �� �� ���������� �� ����,� ������� �� �! ���� �������� ������ ��������� 5��� ������� �� �� �������� � �� ������� .'� D������>!2@ � >!2:/!

&,�,& * ���� � � ������ � $ .� D� �$ ���

�� ��� ������� � ��� �-� � ��,� ����� � ��(� � ��� ������� � �����,����&��� � ��������� � ��������� � �� ����� ��&����� ��� � � �� D�����>!23! ��� �� � � ��� ��(� � �� � ��� ����� �� �������� 5�������%��� ��� ������ ���������� �� �� ���������,� � ������� ��������� .'�������/ � ���'���� � ��� � ���&���! F,�� �� ��&���� ��������� � ��� 5� ,���� �� �� � �����������,� � ������� ��������� �� ���� � ���'�� �� � ��� � �9�� �������!

���� '��+� !������ ������� �� ��%��G� �������

Page 298: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� � "

��� ��������� � &��-�� �� � �� ����,� �� 1 � �� ��*

� � 3� � � � � 3� � � � .>!<=/

���� 3 � � � ��� � �� ���� ���� � �� ��,�! 6 �� + ���,� �������� ���� ��*

� � 3� � � � 3� � H � 9�3 .>!<?/

)� �� �����9� �� � ��(� � ����� ����� ��� ������ � ����" �� ���'H � � 3 �&����� � 2����! )� ����� ������,� � +��� � �� �������� 5������0�%��� �� ���������� .����'��,�/ � E�1�!

���� 5����� �� ����,� ���� ��� ��� � �� ��,� � ����� �� �������� ���� ������ �������� � ��� ������� � � ������ ������ ������� �� �� � �� ���� ������� � ��������! � ���*

�� �

��0 � �� �

*$0 � 3�6 �

*$H0 �6 � H

*$0�6 � H

*�

���� � �H�� .>!<>/

���� 0 � �� �������� �� ���� � .����������/ � �� ������ � �� ���� ���� � ������ ����� 6 � �� �������� � ��� ����� ���� �� ���� ����� � �� � �� �� �9������� �� �� ���� ���� � �� ��,�!

��� ������ � E�1� � ������� H � ����� �*

H � � 3 ���

���.>!<@/

���� + ���,� � ��� ��� ������ ������� � 2���*

���� '��-� J��� ��������� ��� �� �,��� ����

Page 299: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"+ �������� � ������� ������

��� ����������� ��������� � �� ����� �� � ����� ������ � 0��(� � ��� � ���� � �����,� �� ������ � ��������� D� �*

D �

�&��

*$

H

3�6 .>!<3/

� �� ��������� � � H�3 � ��� ����3� � � ���*

D ���

& ���� �

)$

�6

3

���

&��.>!=:/

���,� �� � ��� ��� ����� ������� � 2���� � � �� �� � ����� � '����� �� ����� � �����,� � �� �� � � ��,�*

�� ����

�)$

�6

3

.>!=2/

)�� ����������� �� ����� ����� �� + ���,� .>!<@/ ��� ������ ��%��0�� �� �� ���������� '%����� ��� ����� ������ � ��(� � ��� &������� �� ������ � ��������� ��������! 69����� � �9��� � ���'����� ��� ������������ �������� ��� ����,� ��� � �,���� � �����- �����'���� � ��� ��0����� � � �,���� � �&����� �� � &��&� �� ���,� .>!=:/ � ���� ���

D ���

&��.>!=4/

�� �� ����� � �����,� �%��� �9���� ���

�� ����

�)$

�6

�3

.>!=;/

�9 �$�� &,�,&,�

������� �� ����� � �����,� � � �%+��� ������ ������ �� �� ������� ��� �-�� ��,� ������ ������ ����� � ����� 0 � � � ��� 3 �� �� ����,� ���������������� � ��

)� ����� � �����,� � �� ��,� ����� '�� .'� �! .>!=2/ � �! .>!2@�//*

�� �����) �6

3

����0���

��0

3

� ��0�3 � �0� � �

Page 300: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �"�

���� '���� ������ �������� �������

� �� ������ �� �� ����� � �����,� � �� ����� ��,� ������ .'� �1� �� >!;!=!2/� ��� �� ����,�*

������������

��0�

���3�

� ��0

3

���� ������ ������ �%+��� �� �� � �� ���,� .>!<@/*

����� � �����3 � ��0�3�� � �0��

� ����� ��� ����� � �� ��,� �����1�� � ����,� ��� �� �� � � ��� ���&���!�� � �� ��� �� �������� �� � ������� � � �1� �� >!;!=!2 ��� �� ��,�

�!���� � ����� %�� � ��� ��� ����,�*

������ ���

������ ���

��0��

���3��

� ��0

3

�$���� ��������� �������� �� �� �������� � ��� ����� ������ &��� � ���

������� ��� � ���� � '���� � �� �������� &��� � �� ��������,� � �����,����&���!

�9 �$�� &,�,&,�

6��������� �� �������� 8 � �� ��,� � �� D����� >!44� ��������� �� �� ������������ �� � �� BF��� ������� �� �� ����,� �������� �������� � �� � 2:: #��!������� � %����� � �����,� �� ������ � �������� �� � �,���� � �����- �����'����� & � �� 8��!

Page 301: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"� �������� � ������� ������

���� '���� !������ ����������

�� '���� � �� ����,� �������� � ���&��� � ���� �� ��,� � '��*

� ���

���3

� �� � ��

� �8 � � � � � � �� ��� � ��� � ��� ��

� � � � ��

��� �8 ���� ��#��

A����� � 5 � � � �� #�� � ��� 8 4 �� �� �! )� ����� � �����,� � ����,� ��� 8 � �� � '��*

�� �����)&$

�� � ���� � � � � � � � ��� �

� � ���� � � � �� �� � �

��

� �� ��� � ��

)��� � %����� � �����,� �� ������ � �������� '��*

D ���

&��

� �� � ��

�� � �� � �� ��� � � ��� ���M�

� �� ��� � ��� ���M�� �� ���� M�

Page 302: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �"�

&,�, * ���� � ������ ����� �

�� ��� � ����� ����������� �������� � ����,� ���&��� � �� ������� ������ +����,� �� ��� �������� �� ������! ������������ � �� �� ���� �����,� �������� ��� ������-�� ���� ��� ��������� �� ��� �0������ �� ������ ���'���� ��������! � �� �� ��� � �� ��� � ���� ��� ��� � ��(�� �� ��� ��� ��������� �����'����� � �� ��,� � &���� �� � � ����� �� 5� ,���� ����� � ����'��,� �� E�1� � ������� ��������� � �� ���������,� ���&��� ��� E�1� � ���'�� �� � ���!

�� �� ��,� ������� �������� � �� D����� >!4;�! ��������� � E�1� � ���������������� ��� � ������ ��� ���������� � ������ � �� ������,� � ��������������! $��� ��������� H� � H� � ��� E�1��� � ������ �� ���� ����5������� �������� ������� � ��� ����� 2 � 4� �� ��'����! $ �� ����� � �� ��� �� ����,� ��� ��� ������ � E�1� H�� � ����� � �� ���� �������� � ��� E�1�� � ��������� �������! �� &��� �� � �� D����� >!4;�� � ��������� � &��-�� �� � ������,� �� 1 �� ���� � +�� ��

�H� � H� � H�� � � � .>!=</

� ����

H�� � H� � H� .>!==/

���� 5����� � E�1� ������� � ��� ����� 5�� �� ������ ��� ���� �������������! ���� ��� � � ��� �� ���,� .>!<3/ � ��� ��� � ��� ������� �� �������� � ���� � �����,� �� ������ � �������� � ������� ��� ����� ��� ������ � ��

���� '�� � !������ �����������

Page 303: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"! �������� � ������� ������

��,�H � ����

�&D �

��

*�H�

�6

3.>!=?�/

�&D �

��

*�H�

�6

3.>!=?�/

���� �� � �� ��� ��� �� �9�� ������� �� �� ����� ����� � ��� ��� ������ � 6

� �� �������� � ��� ����� ���� �� ���� ���� � ��� ������!����� ��� ������ ��� ����'�� ��� ����� ��� E�1�� H� � H� � &���,� �

D �� '���� � ��� � &���,� �� ������ ������ ������ � �� ������ �� �������� � ������ ������ �� �� � ���� �� ��,� �� ����� �� ������ �������� ���� E�1�� ������� ���� ���� �� �� � �� ���� ������� � ��������! � ���*

�� �

��0 � �� .>!=>�/

*$H 0�6 .>!=>�/

*�H� 0�6

*�H� 0�6�

���

H�� 0�6 .>!=>/

� �H� ��� �!� �H� ��� �!�� ��! �H� � ��� .>!=>�/

� ���H� ���H� .>!=>/

���� 0 � �� �������� �� ���� � .����������/ � �� ������ � �� ���� ���� � ������ ����� � �! � � %�� �� ���%����� ���� ��� ��� � ����� � �� D����� >!4;�!

�� � ��� � ��� ��,� �0������ &������ �� ������ � ��������� ��������� � �� ������ �� ������ � � ������ � �� &����

�&D �

��

*�H�

�6

�3.>!=@/

���� & � � �,���� � �����- �����'���� � �&���� � � � � �9��� � ���'�0���� �� ������� ���� ������! )� ������,� � �� ������ ���� ����� ���E�1�� ������� � ��� � ������ � &���,� �� %����� � �9� D O�� �� ������� ����� � �� ���,� � ��������� ������

�� � ������

�� H� .>!=3/

�� � ��� � �� �� ��,� ���� ������� �� �� � ��� � '����� 1�� ������������� �� �� � ��'5��� ��� ��� ��9�� ��� %����� �������! $��� ��1� ��� � �� ��,� � �� D����� >!4<� � E�1� H ������� � ��� ����� ������ �

Page 304: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� � �����#&����� �"�

���� '��"� !�������� ������������� ��� �����,�

�������! �� �� D����� >!4<� �,�� � ������ �������� � E�1� � ��� ����� ������+������ H� � � E�1� � �� ����� ������� H�

�9 �$�� &,�, ,�

������� ��� ������� ��������� ������� � �� ��,� � �� D����� >!4=� ������� � ���� ��� �� ������ ���&��� � ������ ����5������ � '���� �� � � BF�� .������� ��%� ������ � ��� ��� ����� �����/! ������� � %����� � �����,� �������� � �������� �� � �,���� � �����- �����'���� � & � �� 8��!

)�������� H�� H� � H� � ��� E�1�� � ��� ��� ������ �� �� ��� �� ��,�! �������� � ������ �� ���� ��������� � ����� �������� �� ���,� .>!=@/ ��� ��� ��� � ��� ������! $��*

�&D �

�� � ����� �� ��

�H�

��

��H� � H��

��

��H� � H��

��&D �

�� � ����� ��

�H�

��

��H� � H��

��

��H� � H��

��&D �

�� � ����� ��

�H�

��

��H� � H��

��

��H� � H��

Page 305: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�"% �������� � ������� ������

���� '��#� !������ ����������� ��� $6���� '� �*��

6 �� ������ � ���� ������ � ��� �� H� � H�� �������� �� ��������� �� ������� � ��� ������ 4 � ;! ������� �� ����� ������� 5���-����� �������1� � � �� ������ ������� � H� � H� � H�� � �� ����� ������� '����� ��� �������1�! )� ��,� � �� ���� ��� �� &��� ��������� ��

H � H� � H� � H� � �� � ��

����&D� � ���&D .�/

��� ���� ����� � ������ �� ���,� .>!=@/*

�� � � � � �� � �� �� � �� �� � ��� H

� ����

H ���

�� �� � ��� .�/

7����� ��� ��������� .�/ � .�/ � ����������� ��� ����� �� ������� � ���*

H ���

���

� � ���� �� � ��� � �� FM� � ��� BFM�

D ���

&���

� � �� �� � �� � � � �� ���M� � �� � ���M�

)� ����,� �������� � ���&��� ���� ��� ���� +������ � �� ��,� .'�D����� >!4=�/ � '��

� �H

3�

��� � ��� � ��� �� � �� #��

Page 306: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� �� �������� �"&

&,! '����� � ������

�� �� ����� � �����0C���� � �����,� ���&��� � �� �� �� ����� � ���� � �����,� �� ������ � �������� ��� � ����� ��� ���&���� � �� ����� � �� �-�! ��'������� �� ��� �� � ����� � ���&��� ��� ����� ��� ����� ��� ��9� � ������������ ������� �� � ��� 5� ,���� �� �� �� ���� � �� �%��� �� ��5�&�����! $��� �� 1� ��� � &���� �� ��� �-� ������� � �����,� ��� ���������� ��,� �����'���� �� � ����� �� ����! ��� ��� �� � ��� � ��� ������ � ���������� �� �� ��� ������� ������ �� �����,�! ��� ���� ����� � ����� �����,� ��� �� ��� �� '������ � �� ����� � �� �-�� � ����� ��% ����� ���������� ����� �� � ������ �� �� � ���� ��� ��,� �� �� �� ������ � ����������'� ��� ����� �� ��%� � ������ �� �����! )� ��E���� �� � ������� ���&��� ��� � � �� ��������� ������ �� ����� � ����� ���-�� � ������ ������� �� �� �� �� ������ ����� ��� ����� ���� ��� �������� � ��(� � ���!

���������� � '�����-� � �� D����� >!4?�� ������� � �����,� ��� �� �� ��,�� �� ������ ������ �� � ����� � �� +���� ����! )� ��,� � ��� ���� ��������� � ���� , � ��5� �� �� � ��� ���&��� 3 � ��� ���� � � ����!

�� ������� �� � � ��������� � ��� �� �� �� � ����� � �� ��,� �� ���������� � � � �� �� �������� � �� '���� �� � ��9������ ������ ���������,� �� ����� �� �&���% �%������ � �� ��,� �� +����� � � �� ����� ����% ������� � ������� � �����0C����� �� ��� ���������,� ��� �� �� ������� � �� D����� >!4?! �� '���� �%+��� � ���� ������� �

��� � � �� � &D 3 ��� 3

��.>!?:/

���� �� � ��� ,� 3��� � �� ����� � �����,� � �� ��,�! 6 ����� �� �� ������ �����0C���� �� �� �� ������� ������� ���� ��� ��,�!

��� ���� ����� ��� ������� � �����0C���� ��� ����� � �� ��,� � � ����0������ �� �� � ����� �� �� ���� ��� �� ����� � ���������� � � �� ��,� ������ ��% �������� �� ����! )� �������-� � ��� ������� ��������� �� � �0�� � �� ��,� � � ��������� � �� ��� �� � �������� .'� D����� >!4>�/� ������ ������ �� �� �� � &��-�� 5���-������ � ������� ���� ��� ���� � ����,� +���� ���� �� � � ���,� � ��� &���� �� � ������ � &��-�� ���������� ��%������ ���'���� �� ������ ������ ������! �� �� ������ �� �����-�� ����� � �� �������� �� ��� ��� ���� �����1�� ��� ��������� �������������� � E+�,� ��� � ������� �� 1 �! �� �� ��,� � � ��������� ���E+�,� ���� �!� ��� ��� � �� ���� �� �� ����� ���� ������� ���������

Page 307: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�" �������� � ������� ������

���� '��&� (������ ����� �� /�����3� �� ������� ������� �� ����� (� (�������� ����� ��������� �4����

������ � �� ��,� � �� ������ /� � �� ���� ��� ��� ��������� � �� D����� >!4>� ��� '���� �%+��� �

��� � � �� ��

�3�

��

,�3.>!?2/

�� �� ����� ���� ������� ������� ������ � �� ������ E��� �� � ��� ���� ������ ��������� � �� D����� >!4>� � ��� '���� �%+��� �

����� � � �� ������

3��� ��

��� �

,��3.>!?4/

Page 308: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� �� �������� �""

���� '��'� (������ ����� �� /�����3� �� ������� ������� �� ����� (� (�������� ����� ��������� �� �����������

�����'� �� ����� �� &��-� �������� ��� ��� � ������ E��� ����� � ����������� ��������� � ������� � ���� ���� �� ��,� ����� .��� ��� ����/! $� ��� ������� E���� ���� ��� ����� ������ � � ������ � � ����� !�������!

��� �� ������ � &���,� � �� 5� ,���� � �&�����,� ��� ����� � ����� �9������ ������������ � ������� �������� ��&���� ��� ��� ������� ��� ��%���0��� ���'������ �� �� ����� ���� �������� ���� � ������ �������� ����� �������� ������ ������! ��� ���� ��� ��� '����� ��� �������� � ���������� ��� �9���� ��� �������� �������� �������� ��&���� ��� � ������������*

� ��� ����� � �� �����,� ��� ������,� �� ������ �� �� ��������� ������ �3�����1����� ��� �

� ��� ����� � �� ������,� �� ������ �� �� ��������� ������ � ���!����������� �!

Page 309: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�++ �������� � ������� ������

�� ����� ���������� ��� � 5 5 �� � ����� � ������,� �� ����� '������� �� ����� � ���� �� �� �� ������ ��� ��� �������� �������� ������� ����� ��� ����� � ���� ������ � ����� ������ � ���������,� � ������� �+���� � ��� � ��� � ��� �� ���,� �����'� �� � �� � � �� ������ ��� � �����,� ����� � ������ ������ ������ � � ��� � �� ������ � �����0C����� �� ������ � �����*

�� � ��� � �!� � .>!?;/

F,�� �� ���� ��������� �������� ������� � ���� �� � �����0C����� ���� ��� ������� ���� ��� ����� ��������� �� '�����-� . �� 1� ��� ���� ��� �������� +�����/ ��� ��&���� � ��� � �� � ������ ������ � ������� � ������� � �� �-�H � ���� ��� ������� �� �� �� ���� ��� ��,� �� � ��� �,���� '���� � ��� �&��-�� ������� ���� ���� ���� ������� � �� ����,� � ���� � �� �-�!

6������������ ���� �� � &�� � �� ������,� �� ����� � +���� � ���0������ ��� �������� ������ &��� � ��� ��������� �����'����� � �� �-� ��� ����� ������� � ��(� � ���� �������� '�������� �����9���'�� � ��������������� � ������� ��������� � �������! ���� �� ��� ��� ��� ������ �&���� �����&������ ��� ������� �� �� �� ������ ���� �-�� � ���� �������0���� �������� � �����,�� � ������ ��� ��� � ��� � ��������� ��� ������������ ��� ��,� � �� �-�� ��� &������ �� ������ ������ ���� ������� � ���������� �������! ���� �,�� �� �������� � ����� � �� ��������,� + ���� ��� �&�������� �������� � ��� ��� � ����!

$��� �� 1� ��� � � '�����-� �� �� ��� �� ����� � ������ � �����0C����� �� ������� �� ���� � �����,� �� ������ � ��������� � ��*

��� � � &�� D� � .>!?</

��� ���� ���� � ��� ��,� ������� � ������ � ������ � ���� � �����,� � �� �������� �� � �� ��-������ ������ � ��� ���� ? .'� D����� >!4@/� � ��&����

;� �?

,��.>!?=/

� ��� � ������� �� � ������ E��� � �� &���� .'� �� ����� 4 �� )���� 4/*

��?

� ��

��

$�����.>!??/

���� ����� � ��3� � ��� �����*

�� � $�������?

� �� $�����

,

��;�� �

� $�����,

�D

� .>!?>/

Page 310: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������� �� �������� �+�

�� �� D � �;��� ��� ������ � ��� ��

�!� � � �, � ,���

� .>!?@/

�� �� ��� &��-�� � ��� � �������� ����� � �� '�����,� �� �E���� �� �������0���� �� ����,� .>!?>/ � �� ���,� .>!?@/ � ��� 9������ ��*

�!� � �$����� ,�

��D

� �� $�!

��D

� �.>!?3/

���� �! � ��,�3��� � ����� ��� �� � ���!� � � ������ $�! � ����� ������ ����!�! ����������� ��� ������� .>!?</ � .>!?3/ � �� ���,� .>!?;/ � ���*

$�!��D

� �&��D � �� .>!>:/

�� � ��� ���,� ��&����� �� �� ����'�� �� ��� �������� � �������������� � ��� ��� ��� ����� D � D� �� � ���� � �����,� �� ������ � �������� ��� ����� � �� �-� 7�� '- ������� ���� ��� ������ .>!?</ � .>!?3/ �� ������� ����&�����,� ������ ���� �� &���� � �� ����� �������� � �����,� � ����������� �� ����� � �� �-�! �� '���� �� ��%���� �����������

J �

�$�!&��

.>!>2/

�� ������ ��� ��� � �� �� ������� �����'� ��� �� �����,� � ����� � �� ������0C����! C����� ��(�� � J ���� ���� � ��������� � �����,� ���&���

���� '��*� J����� �� ������� �� ������� �� ������

Page 311: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+� �������� � ������� ������

���� '��+� �������� ����� �� ����� ������ �� !����=:����� � �� ����� ����������� � �� ����� �� �� ���3� ���� /����� /������ �� �� �������� ����� �� ������� �� ������

� �� �� �������

�������� � '�'���! )� D����� >!43 � ����� �� '�����,� ��������'� � �� ����,������� � &���,� � �� ����,� � �� ��,� � �� '�����-� ������� � ������������ �������� ��� ��'���� '����� � J ��� ����'��� �� �,�� ��� '�������� ��(�� � �� �����- � ����� � �� �������� �� �� ������,� �� � �0�������� � �� &�� ����! �� �9�� ������� � ��(� � ��� J � �� �������� �� ����,� �,��3�� �� �� �� ������ �,�� � ��9������ ��(� � �-�� ���������!

�� ������ � ��%����� �� ���� ����� + ������ �%���� ��� ������ �'���� � ��� ������� � � ���� � �����,� �� ������ � ��������� � ��������� ������� �����,� �� ���&���� � �� �1� � �� � ������% ����! �� ���� �������� ����������� � ��'���� �+��� � ����-���� � �� ���������&��!

Page 312: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� #����� �(������ � ��)������ � �� * ����

�,� * ���� � 0����) ��

�,�,� ��� �� ��?���� ����� � �� � ����

< 7����

�� � ��� ��,� ������� � �� ���� ���� � �� � ��� �� ���� 1� ����������+��,����� .�� �/� ��� ��� � ������ � �� D����� $!2! � �9�� ��� ���������� � � �� ��,� �� �� � ��� 1� .�� �/ ��� ��������*

�� �

��� �� � �� �

��� �� .$!2/

���� �� � �� ����� ��&����� � %�� .�� �/ ��� ��� ��������� � ��� � ��� 1����������!

�� ������ ��%��� � ��� ��,� �� �� � �� 1 �� �� �����'�� �����'�� ����� � ������ � �� ����,� � �������,� � �� ��,� �� �� � ���! )����������� �� ������ ��%��� ���

"��

#H �� ������ � � �� � ���� � ��

���� ���� ������� ��������� �4����� �� ��� �������

;:;

Page 313: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+! ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

���� ���� ?��������� �� ��� �������

# ��� � ���� ���

� �9� ��� ���� � ������� � !��� ���� � �� ��,� � �� ���� & � ����0����� .�

�� �

�� �� �����&� ��� �������*

��

�� � ���� ��

� ��

�� � ���� ��

.$!4/

6 ��� ������ .$!2/ � .$!4/ � ��� �� ��� ������� ��%���� � �� ��,�� �� �� �� � ��� 1� .�� �� � ��� + ���� ������� � �� &����

�� � ��� H �� � �

�� .$!;/

���� � ��� �� � � %�� � �� ��,�! $�������� � ��� � ���� ������ ��

� ������ ��%��� � ��� ��,� �� �� � �� 1 � ���� �� � �,�� �� ��5� 1 ��� �� � �������� � �� ��,�!

�� &%�� ����'�� �� �� �� ��,� � ��� �� 1 � �������� � ������ ��%����� �� �� � ��5� 1 � ��! �� &��� ��� ��� � ������ � �� D����� $!;� ������ ��,� � �� �� � 1 � �� 1 � �������� �� ��� ����� �� �� ������� �����'� +��� ���� ����� ������� ��� �� ������ � �����'�� ���� �� � � ���������� � ��� ������ .$!4/� �

�� �� � ���� � ���� � ���'��� � ��

��,� ��% ������� ���� � 1 � �������!�������� � ����� ��������� � ������� ������� �� �� �� ��,� ���

��� 1� � �������� � �������� ����� �� � ���� � ������,� � ��� ������!������ � ���� �� ������� � ����� �������� �� &������� � ���� � ���'���� ������� ������ �� 1� ��*

Page 314: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� ����!+���� �+�

���� �� � !������ ��� �� �6� �� �����,�

���� ��"� ?���������� ���������� � ������������

���� ��#� ?��������� �� �� ���������

Page 315: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+% ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

� � ������� � ������������* � �������� ����� �� � ���� � ������,� ���� ������� � � ��� ��������� .'� D����� $!</! �� �� ��� ��� ��� � ����� 1 � ������� � �� ��,�� � �� ������ � ������ ��%��� � �� ��,��� �� � ���� � ����!

� ���������* � �������� ��% ������� � � ���� � ������,� � ��� ��� �0������ .D����� $!=/! )�� ������� �� ��� 1� � �������� �� �� ������ � %�� � ��� �� ������������� � ��� � ���� ����!

�,�,� ��� ��� � � ���� � �� � ����

��� �� � � ���� ����� 1 ����� � ����

�� � ��� ��,� ������� � �� ���� ���� � �� � ��� �� ���� 1� ����������+�������� .�� �/! � �9�� ��� ������ � ��� �� � �� ��,� �� �� � ���1� ��� ��������*

�� �

���� �� � �� �

���� �� .$!</

���� �� � �� ����� ��&����� � %�� .�� �/ ��� ��� ��������� � ��� � ��� 1����������!

�� ������ � ����� � ��� ��,� �� �� � �� 1 � ��� � �����'�! )����������� � ��� ������� � ����� ���

"��

#H �� ������ � � �� � ���� � ��

� ������� ����� � ���� � �� ��� �� �� �� � �� ( � �� ���- �������� �� ����,� ��� � ������ � ����� � � %�� � �� ��,�! ���� ��� 1� .�� �� �� �������� �� ��'����*

0�� ����

� 0�� ����

.$!=/

���� ��&� ������� �� ������� �� ��� �������

Page 316: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� ����!+���� �+&

��� �� � � ���� $����

�� � ��� ��,� ������� � �� ���� � � �� ���� � ��5� ���� .D����� $!?/!� �9� � ������ � ����� ���� �

�� �� ��,� � �� �� �� ���� � ��� ��

�������

�� �

��<� �� .$!?/

���� �� � �� ����� ��&����� � %�� � < � �� �������� �� ���� �!$� ����� �� � ������ � ����� �+���� � ������ ���� � ��� � �����'� �

��� ��������� ��� ���!�� � ���-�� ��� 1� ���������� �� ��� �� � ���� � .D����� $!?/ � � ����

��� ��������� �� � � �� ��&����� � %�� �� � ��5�� 1�� � �� ������*

<� � �� �� .$!>/

�� �� �����*

�� �

��<� �� .$!@�/

����� ��� �� .$!@�/

���� ��

���� �� .$!@/

� �� �� .$!@�/

6 �� + ���,� ������� � ��� �� � ������ � ����� ���� �� �� �� ����� � ����� � �� ���� � ��� ������� � ����� �� �� � ��� 1� ���������� �� ��� �� ��5� ����!

6 �� �� ���� ������� ������� � ����� �� �� ���� � ������� � ������+���� � �� ��'������ ��� ������� �� � 1� ���������� �� ��� �� � ����� ����!

�������� � � ����

� �9� � ����� �� � ��� �� � �� �� �9� � �� �� � ��� 1� .�� �� ��� ���������

��� �

��� � �� .$!3/

�� ������ � ����� � ��� ��,� �� �� �����'�� �����'� � ����! ��� ����0����� ��� ���!

Page 317: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�+ ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

���� ��'� (��������� �� �6�� �� ���������

�� ��� ��,� � ��� �� 1 � �������� � ������ � ����� � �� ��,� �� ��� ��5� 1 � � ���� 1 � ������� � ��� � ����! �� &��� � �� D����� $!; ������� ��� ��,� �������� �� �� �� 1 '����� �� � ����'� �� � ��� �������&����� � %�� �� �� ������ � �����'�� � ���� ���� �� �������� ���� ������������ �� ������ � �����'�� ��� ������� � ��� � ����� '���� � ������ ���� ��� ������� � ����� � ���� ������ ��&������ � ������!

�,�,� '�������� � 9 � � � � � ���

��� �� � � ���� �����

�� �� �� 1 ���������� � �� ��,� � � �� � �� 1 ������ � ��� � ��� ���������� �� ������� .D����� $!>/! �� ������ � ����� �� �� ������� ���

�� �

���� �� .$!2:�/

����� ���

� �� .$!2:�/

��

��� �� ���

��

�� �� ���

��

�� .$!2:/

� ��� ���� .$!2:�/

���� �� ������ ������� � �� ���,� .$!2:/ � ���� �� �� �� �� 1 ����������!��� ������ � ������ � ��� �� � ��� ��� �� �� � �� ( ��!������� ������ �� ��� �� ������ � ��� �� �� �� �� ( !��� "���� � ������� �� ( ��������� � ��� � �� ��� �������� ��� ��� � ������� � �� ����� �� ��� ��!� (

Page 318: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� ����!+���� �+"

������ � 3�����!�� � ��� ���� .$!22/

6�'������ ��� ���,� �� � %�� � �� ��,� � ���*

0�� � 0��� ��� .$!24/

���� + ���,� ���� ���� � ����� � ����� � �� ��,� �� �� � �� 1 �&���,� �� ����� � ����� �� �� � �� 1 ���������� ������!

��� �� � � ���� $����

��� �� �� ��� ������� � ����� � ��� ��,� �� �� � ��� 1� �� � ������ � ���� �� � �� �

�� ������ � ����� ���� � �� ��,� �� �� � ��5�

����! �� � �������� ��� 1� ����������� ���� ��� ������� � ��� �������� .'�D����� $!>/� � � � ��� � ����� � ������ � �����*

��

� �� �� .$!2;�/

� ��� ��� � ��� ��� � .$!2;�/

� �� �� � .$!2;/

)� ������ �������� ����� ����� � ������ � ����� ���� � ��� ��,��� �� � �� ���� �������� �� � ����� �� ������ � ����� ���� � �� ��,��� �� �� �������� & � �� �������� ��� ����� �����!

�������� � � ����

6 ����� ������ �� � ��� � ������ � ����� � ��� ��,� �� �� � ���� 1����������� .��� ��� ������������ � � ��� ����� � '���� �� ������ � ������� �� � ���� 1� ��������� .�� ��� ������� � ��� �������� � �������� � ������������ �� � ��� 1� ����������� .'� D����� $!>/� � ��� ��

��� �

��� � �� .$!2<�/

����� ��� ��� ����� .$!2<�/

��

�� �� �� ��

��

�� �� ��

��

�� �� �� ��

��

�� .$!2</

� ��� �� �� �� � .$!2<�/

���� � 5� ���������� � � �� ��� � � �� ��! )�� �������� ������ � ���� � �����,� .$!2</ ��� ����� �� �� ��� ������� ��%���� � �� ��,� �� �� � ���1� �����������!

Page 319: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��+ ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

���� ��*� �������� �� �6�� �� ���������

�,�,! ������� � 9 � � � � � ���

��� ��� �� .��� �

�� ��� ������� � 1� ��������� �� &����� ��� �� �� %�����

�� ��� ��� � ������ � �� D����� $!@! )�� ��������� � � ������ .��� ��� ���+ ����� � &���,� � ��� ��������� � � ������ .�� �� � �� &����*

��

� � ���� � ���� .$!2=�/

��

� �� ���� � ���� .$!2=�/

7����-���� ���� + ������� � ������ � ����� � �� ��,� �� �� �� 1 ��

� �� '����� ���*

��� �

��

��� �� .$!2?�/

����� ���� � ������ �� .$!2?�/

��

�� ���� � �� ���

�� � ���� ���� ��

��

�� ���� � �� .$!2?/

� �� ���� � �� ���

� �� ���� ���� ��� 6� .$!2?�/

$�%������� ��� ������� ��� + ������*

��� � �� ���� � �� ���� � ���� ���� ���� .$!2>�/

����� � ��� � ��� ���� ���� ��� ����� �� ���� �� .$!2>�/

Page 320: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� ����!+���� ���

)�� ������ �������� � ��� ������� � �� &����*

��� ��� ��

�� � ���

��� ��� ��� ��� �� .$!2@�/

��� ��� ��

�� �� � ��

���� �� ��� ��� �� .$!2@�/

����� ��� � ��

���� �� ��� ��� �� .$!2@/

���� � 5�� �����-��� ��� ��������� ��������������*

���� � � ��� ��

�� ���� � �

� ��� ��

�.$!23�/

��� �� � ����� ���� � ��� �� � ���� �� ���� � .$!23�/

�,�,� �9 � $����$�� � � � ����

�� � ��� ����� � ��,� ���� � &���� ����������� ��� � � ��� 5����� ���1� ���������� ����������� ��� ��� �� � �� � �� � ������ � ����� � ����,� �� �� � ���� � ����! $ ���� 1� � �� ������� ( ���� ���� � ��� ��'� ������� � ���� �� ������� � � ������ � �� E+�,� � �-�� ����%����!

�� %����� � �� ��� 1� ���� ��� � ����� � ��� ��,� .�� �� &����� ������ ������ � 1� ���������� .>�?� .'� D����� $!3/� � ����� ��������� � �� �����,� .$!2@/ � ����� � ��� 1� .>�?�! 6 ��� &���� � �����*

��� �� � � ���!�� � �!

.$!4:/

F,�� �� �� ��� ��,� � �������� �� �� � �� 1� � ������ &������ �� ��05� 1 � ���� 1 ���������� � ������� � ��� � ���� �� � ������ �� �� ����� ������ ������ � ����� � ����!

�� � ����� � ��� ������ .$!2@�/ � �$!2@��� � ���� � %����� � ��� � �� ��� �!� ��� �%+��� � ������� � �����*

������

� ���� � �!� ��� ��� ���! ��� �� � � .$!42/

� ������� �� � � ���!

�� � �!.$!44/

���� ���,� ����� �� �� .$!4:/ � ������ �� ������ �� �� ����� � �������� ���� ���� � ��� �� �������� �� ��#��� � ������ ������ � ��� ���#��� � �� ��� �� �� � ( !��� "���� �*

Page 321: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��� ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

���� ��+� $6�� ����������� �� ��� �������

�� � ��� �������� � �� ��� ��� ������� � ����� ���� ��� ��� ��������� � ��� ����� � ������ � ����� '�� �� ����� �� �� � ������� 1 ��0��������! $��%�� � ������ � ����� ��% ���� �� �� � ������� ������ �1� ����������� ���������� �� �� ������ ������� 1 ���������� � 1 ���� �� ������ � �� ��,�! ��� � � ���� �� 1� ��� � �� ��,� ������ � � �� ��,��������!

�� � + ���� ��� '����� ��� �� � ��� ��� � &���,� �� '���� ��� �� � � ���������� ��� ������ .$!2@�/0.$!2@�/ � �����*

����

��

�� �!�

���

�� � �!�

��

���!�� .$!4;/

+ ���,� ��������'� �� ���� ������ ��� ������� � ����� ���� ��� ��� ��������� ��� '����� � ��� ������� � ����� ��� �!� ��! �� �� �� � ���� 1��>�?� ���������!

)�� ����� � ���� ���� ���� � �� ��,�� 0� � 0�� �������� � ��� ������� ���� ��� � ����� � ��� ��,�� ���*

0�� ����

� 0�� ����

.$!4</

Page 322: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

� ��������� ����!+���� ���

���� ���-� $����� ������� �� ������� �� ��� �������

�,�,% ���$� � ���� � � ����

��� .�� �� ��� 1� ���� ��� � ����� � ��� ��,� � ����� � ��� <�� <� ������� ������� ������ � ����! � ������� ��� ����� � ��� �� � �� ��� ��� �� � � ���,�*

��

0��

��

0��� .$!4=/

��� �� ��� �� � ������ � � �������� � �� ��,� � �� ��� �� ���1 ������� 1 ���� �� � ����� � ����� � ���� � �� ��,� �� �� �� ���� 1 ���� ��.D����� $!2:/!

)� �� � ����� � ����� � �� ����� ��� ����� �� ����� � ����� ��0���� � ����� �� �� � ������� 1 ����������!

�� ����� � ���� � ��� ����,�� ���������� �� �� �� � �������� � �� ��,�� ����� ��%9���� ���-���� �� ������ � �� �� � ����� � ����� ������ ���5� ����,��� ������� �� �������� ��� � �������� & �� ���� � �������.D����� $!2:/!

Page 323: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��! ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

(���� ���� ��������,������ ���������� �� ������� ��������� ������

Page 324: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ��������� � &����� ���������� ���

���� ����� !������ �� /����� ���������

�,� * ���� � � ������ ��� ���� �

���������� ��� �-� &������ �� '����� �������� � &���� �� ��� ����9�� ������� ��� ������� � �� ������- � �� �-�! ���� �� ��������� �� �� ��,� ���� �� �-� ��% ��'����� � '����� -���� ��� ��� ��� � ��� ���� ��� �� %�� ���

���� ������ � �� ������� �� ��� �� �,���� �%���� $�� ��� ��� � ������ ��� D����� $!22!

���������� ������� �� ������� � ���� ��' �� �� �� � �� ����� � ���� ��� �������� �� ����� � �� �-� � �� ��� �� �,���� � ��������� $

���� ��� ������� � �� ��,� � �� �9��� �� �� ��� � $������ �� �� �������� � �&���� � �� &���� �� � $��$

� �9� ��� &����������' ��� $������� � ��� � ��� � � �� ��,� � ���������

� �

��

��� .$!4?/

���� � � ����� � �9��� � ���'����� � ��� ���� � �� ��,�! � �9���� ���� � ������� � �� ��� &���������� � ���� � ��� � �� ���� &�� ���������

����

���� ��������

� ����

���� ��������

.$!4>/

�� �� � ���� 1� ��������� �+��,����� ���� ��� � ����,� � �������,� ����������!

Page 325: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

��% ��+� ��� � ��������������� !���+������ � �� �������

"� �� �� ���� �%���� � ���� �� �� � ���� 1� ��������� �+��,�������� �� �� ��� �� ��� � �9�� ��� ������ � ��� �� � ��� � � �� ��,� ��� &����

�� �

��

�� ��� � �� �

��

�� ��� � ��� �

��

� � � �� .$!4@/

� ����� ( ���� ���� � ��� �� � �� ��� &���������� � ( ���� ����� ��� � � �� ��,� � ���� 1� ��������� �+��,����� ��� �� �� ����� � � �����%��� � ���� �� �� �� � ���� � ������ �%��� � ����� �� ����� ��� �*�

� ��� � � �

��

� � �� � � � ��� �

��

� � � �� � � .$!43/

"����� '���� �� ��� ��� ��,� 5�������� ��� �� � �� ��� �������� ����� ��� � %�� �%���� ���� �%���� ������� � ����� �%���� � 1� ���� ��� �%���� ������ �� ��� �� ��'�� �� ��� ���������!

Page 326: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

,�-�������(�

$�� ��� G�'��-� "! .23@=/! ������� �� $����������! ��,� � ����������� �!�!�!���! #���� � #�����!

��� D! �! � J�5������ �! "! .233:/! �������� :�������� ���� <���������! #8��W0A���!

��� D! �! � J�5������ �! "! .233;/! �������� �� ����������! #8��W0A���!

����--�� �! .23>:/! ������� �� �� ������������! $������!

��B&���� S! �! .233=/! �������� �� !������� ��������� � ������������! ���� #������ �� �(�N��W��!

���B� "! 6! � K����� S! �! .2333/! ��/����� ���)����� � ���������! ����� A���!

�������� J! .23?@/! ����������� �� ����������!

�F��6��$ .23>>/! ������ ���� �� ������� �� �����������! ���������� � �������!

�F��6��$ .233;/! �������� ����� �� ������������ ��� ������ ���������� � ����0���!

8������� J! $! � D��� $! .233</! ����������� �� ����������! ��������� � ������0����� 7��'������ � C���������!

8�� J! #! .4::2/! ���)����� � ���������! ����B�M���!

8�� J! #! � �����5�B�� �! �! .23@?/! �������� �� ����������! 8�� � �������������������!

)������ �! J! � $�5�� "! "! .233?/! �������� �� !������! #8��W0A���!

#������� �! .23?@/! ���������� ��� �������4! 6����!

#���� ����� J! .4:::/! ������� �� �����������! ��#F�� ������� 7��!

;2>

Page 327: [ebook] Edicions UPC - Mecánica de Estructuras Libro 1 Resistencia de Materiales - Spanish Español

�� ������!���,�

���� J! �! � "� ���� �! $! .23@2/! ���)����� � $������ !���������! #8��W A���!

����- ������� )! .2332/! ����������� �� ���������! #8��W A���!

����- ������� )! .233@/! $����������! #8��W A���!

������B�� 8! �!� K�B��'� $! �!� � #���'� C! C! .23>3/! ������ �� ����������� ������������! #��!

�� �'� �! �! .2333/! $���������� ���)����� � !�����! ����� A���!

"������-N$'��� $-������ D! .233:/! ����������� �� ����������! ������!

�������� T������� $! .233=/! ����������� �� ����������! ������ � ���! � �������������� � ������!

���� D! �! � ����5� J! �! .23=4/! ��/����� ���)����� � ���������! S���!

�5���� �! A! .2333/! �������� ���� <���������! ����� A���!

�����5�B�� �! �! .23@4/! ����������� �� ����������! �� ���N��� !

�����5�B�� �! �! .23@;/! >������ � !������) � ���������! 6�'�!

�����5�B�� �! �! � 8������ J! .23?@/! (���,� �� �� $����������! 7���!

�����5�B�� �! �! � K����� 6! A! .23>3/! $������� �� ����������� �� ����������!#������ � ���,�!

C%-��- D��%��-� #! .2332/! ����������� �� ����������! F���!

C%-��- D��%��-� #! � ), - ���-� �! .2332/! �������� ���� <���������� $�������!F���!