MATEMÁTICAS

AVANZADAS

Tutorial acerca de ecuaciones diferenciales

AMÉRICA REYES GARAY

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN

DIFERENCIAL?

Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus

derivadas.

Un ejemplo:

Y+Y¹= 0

CLASIFICACIÓN DE LA

ECUACIONES

DIFERENCIALES:

Ordinarias: es la que contiene una función desconocida de una

variable independiente y se relaciona con sus derivadas.

parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más

variables.

ORDEN DE LA ECUACIÓN

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se

denomina orden de la ecuación.

SOLUCIÓN DE UNA

ECUACIÓN DIFERENCIAL

En una función desconocida y la variable independiente X definida

en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial

para todos los valores de X en el intervalo dado.

NOTA:

ANTES DE VER LOS SIGUIENTES EJEMPLOS DEBEMOS

TENER MUY CLARO QUE:

Y¹= Significa ye prima ó primera derivada.

Y"= Significa ye biprima ó segunda derivada.

EJEMPLOS DE E. D. :

Y= sen2x + cos2x

Y¹= 2cos2x – 4cos (2x)

Y"= – 4sen2x – 4 cos (2x)

Comprobación:

– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0

– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0

Y= 5sen2x + 3cos2x

5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)

Y¹= – 6sen2x + 10cos2x

Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x

Comprobación:

–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0

– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0

Comprobar que:

Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1

Y¹ = 2x

2x + (x² – 1 ) ²= 1

Y¹ + Y = 0 Y= 1

𝑋

Y¹= –1

𝑋²

Y¹¹= 1

𝑋³

–1

𝑋²+ – (

1

𝑋)² = 0

–1

𝑋²+ –

1

𝑋²= 0

Y = 𝑒2𝑥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0

Y¹=2 𝑒2𝑥

Y¹¹= 4 𝑒2𝑥

4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 ( 𝑒2𝑥) = 0

6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0

Y = 𝑒2𝑥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0

Y¹=2 𝑒2𝑥

Y¹¹= 4 𝑒2𝑥

4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 ( 𝑒2𝑥) = 0

6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0

Y= x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0

Y¹ = 2 x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥

Y¹¹ = 2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥

2+ 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥 -2 (x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥)= 0

2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥- 2 x²- 2 𝑒−2𝑥 =

2( 1+ X - x² )

2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )

Y= C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0

Y¹= 2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥

Y¹¹= 4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥

=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 4(2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 +

C 2 𝑒2𝑥 ) + 4 (C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥 ) =0

=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 8C1 𝑒2𝑥 - 8C 2 𝑥𝑒2𝑥 - 4 C 2

𝑒2𝑥 + 4C1 𝑒2𝑥 + 4 C2 𝑒2𝑥 = 0

=8C1 𝑒2𝑥 + 8C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 4 C 2 𝑒2𝑥 -12C2 𝑒2𝑥 - 8 C1 𝑒2𝑥 = 0

Y= 0

ESTOS FUERON ALGUNOS EJEMPLOS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ESPERO Y LES SIRVAN DE ALGO.

GRACIAS…