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ANÁLISIS DEL MODELO DE EXPECTATIVAS PARAMETRIZADAS:

EVIDENCIA EMPÍRICA

ANALYSIS OF PARAMETERIZED EXPECTATIONS MODEL: EMPIRICAL EVIDENCE

José Armin Ordoñez Castillo

FCE

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Nº 27Septiembre 2012

Econografos

Econografos Escuela de Economía N° 27 Septiembre 2012

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá - Facultad de Ciencias Económicas

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ANÁLISIS DEL MODELO DE EXPECTATIVAS PARAMETRIZADAS: EVIDENCIA EMPÍRICA *

José Armin Ordoñez Castillo **

Resumen

En este artículo voy a traer algunos temas básicos en torno al Algoritmo de Expectativas Parametrizadas (PEA). Como sabe este modelo es aplicado en macroeconomía y por las personas que hacen reglas de política, quienes lo usan en la forma en que podrían resolver los modelos dinámicos estocástico no lineales, y obtienen una respuesta de crecimiento económico. Por esta razón, mostraré el punto de vista conceptual, matemático y el desarrollo de software que se hizo en este sentido por Den Haan and A. Marcet, A. Marcet and G Lorenzoni, and L. Maliar and S. Maliar, respectivamente. Los anteriores trabajaron en Matlab, utilizando los conceptos de la parametrización de las expectativas llegando a la ecuación de Euler la cual tiene en su lado derecho un polinomio a fin de que solo tenga todos los valores de las variables en el mismo período de tiempo (desarrollados en la parte matemática).

Palabras clave: Expectativas Racionales, Crecimiento, Modelos Dinámicos no lineales, Bandas Cambiarias, Software Matlab.

Clasificación JEL: E10, C60, C63.

*Este artículo hace parte de una investigación nacida en el interés de saber nuevas metodologías usadas en Economía, y su posible aplicación de la mano de las nuevas tecnologías informáticas. También es de carácter teórico y pedagógico, y busco incentivar a aquellos quienes lo lean a averiguar siempre un poco más, y a proponer nuevas ideas aplicables a nuestra realidad. ** Estudiante X semestre de Economía, Universidad Nacional de Colombia. Correo electrónico: [email protected]


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ANALYSIS OF PARAMETERIZED EXPECTATIONS MODEL: EMPIRICAL EVIDENCE

Abstract

In this article I’m going to bring some basic topics around the Parameterized Expectations Algorithm (PEA) in. PEA model is been applied to macroeconomics, and people who make politic rules, whose used it in the way that could solve non-linear stochastic dynamic models, and got an answer of economic growing. For this reason, I’ll show the conceptual, mathematician and software development that was done in this regard by Den Haan and A. Marcet, A. Marcet and G Lorenzoni, and L. Maliar and S. Maliar, respectively. The last ones worked in Matlab, using the concepts of parameterizations of expectative arriving to Euler Equation, which have in the right side a polynomial so as to just have all the values of variables in the same period of time (developed in the mathematic part).

Keywords: Rational Expectations, grown, dynamics models non-lineal, Bandas Cambiarias, Software Matlab.

JEL Classification: E10, C60, C63.

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

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La Colección Econografos considera para publicación manuscritos originales

de estudiantes de pregrado de la Facultad de Ciencias Económicas de la

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Econografos Escuela de EconomíaISSN 2011-6292

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material es responsabilidad exclusiva de sus autores y no compromete de ninguna manera a la

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Introducción

Desde el aporte realizado por Albert Marcet y Den Haan, Albert Marcet y Guido Lorenzoni, entre otros al tema de Expectativas Racionales, en cuanto a su solución recursiva, que nos lleva a las Expectativas Parametrizadas sería un buen punto para partir en el desarrollo del tema de este artículo. Aunque los trabajos realizados son de aspecto teórico, se han venido poco a poco contextualizando a su entorno, del cual es obra y expresión.

El problema teórico que se aborda con las Expectativas Parametrizadas en un Modelo Dinámico No Lineal está relacionado con conseguir por medio de un algoritmo numérico y de un proceso de ecuaciones en diferencia (usando simulaciones), y aceptando en principio unas condiciones iníciales como dadas una solución de crecimiento estable, como se verá más adelante

El articulo tiene dos partes, una teórica, y una practica, en las cuales se describe la solución del modelo de expectativas parametrizadas, mediante el ajuste de los limites generados a través de las iteraciones periodo a periodo, refinando la solución y de esta manera convergiendo hacia una solución estacionaria comenzando desde un estado estacionario no estocástico mediante el uso de una simulación de Monte Carlo.

Desplegando el tema, por la parte teórica el análisis comienza con el problema que plantea Marcet y Den Haan en su articulo “Solucionando un Modelo de Crecimiento por Expectativas Parametrizadas”, el cual describe un método para solucionar un modelo de crecimiento estocástico por expectativas parametrizadas, partiendo de la ecuación estocástica de Euler, la cual se obtiene de la maximización de una función de estado del sistema dada una restricción presupuestal dinámica de capital; por otra parte está la discusión de cómo encontrar los parámetros de la función y determinar sistemáticamente la complejidad de la forma funcional necesaria para determinar la solución del modelo.

En la parte practica, se hallan los desarrollos de software aplicado por S. Maliar y L. Maliar, y por Gonzalo Fernández de Córdoba. Me basaré en esta parte en el articulo de Maliar y Maliar titulado “Algoritmo de Expectativas Parametrizadas y el Movimiento de los Limites”, en el cual buscan mediante las iteraciones del modelo, que los limites lleven a la simulación hacia el estado estacionario de convergencia; aunque ellos en lo que respecta a los parámetros y el punto fijo inicial toman como base la propiedad de la Homotopia.

Cabe notar que con el algoritmo de expectativas parametrizadas hay un sólo problema, y es que no se contrae en la técnica de mapeo, lo cual no garantiza que haya una solución, y entonces el modelo sea divergente. Por tanto la escogencia de los parámetros en el desarrollo matemático es importante al igual que el procedimiento posterior para encadenar los parámetros durante cada iteración.

Sin embargo para el desarrollo del modelo, se considera primero que este debe iniciar desde un estado estocástico, además se dice que la economía esta descrita por un vector de n variables en el proceso zt el cual incluye todas las variables exógenas y endógenas que


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están en la expectativa (debido a que se pueden considerar los factores como heterogéneos), y un vector de s choques exógenos dados en ut, considerando que son parte de la función g (Et [ф (zt+1, zt)], zt, zt-1, ut) = 0 para todo t.

Desarrollo del ejercicio: parte 1

Manejando los términos generales que tiene cada autor, Marcet y De Haan manejan los siguientes parámetros,

µ parámetro de depreciación.

δ Parámetro de coeficientes polinómicos.

λ Parámetro que gobierna la velocidad de ajuste del algoritmo

Y buscan hacer una simulación del siguiente modelo de crecimiento en base a una función CARA:

max !!,!! !!!! E!!! !!

!!!

!!!!!!!

(0)

Sujeto a la restricción

c! + k! = θ!k!!!! + µμk!!! (1)

El siguiente paso es obtener la condición de primer orden, derivando respecto al stock de capital, describiendo de esta forma el equilibrio en el modelo, obteniendo la ecuación de Euler.

c!!! = βE![c!!!!! (θ!!!αk!!!! + µμ)] (2)

Y a su vez debe tener en cuenta la ley del movimiento del choque de productividad

log θ! = ρ log θ!!! + ε! (3)

Como la parte de la derecha de la ecuación (2) es función de las variables estado (kt-1, θt) como base substituye la expectativa condicional con la función Ψ (kt-1, θt; δf) (forma funcional) y δf será escogido para acercarse tanto como pueda a la función g: R2

+ R+

Seguido a esto viene la elección de la función de Ψ, la cual se debe aproximar a g, y la mejor forma de saber esto es mirando como cambia el equilibrio cuando aumenta el orden del polinomio. Luego la función que se escoge y nombra como Función de Poder,

ψ(k!!!, θ!; i) = δ!k!!!!! θ!

!!

Esta función fue escogida porque su imagen es positiva, y eso depende de si y solo si δt> 0 para que se acerque a g



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Pero para elegir δt y que sea mayor a cero, hay que construirla, dejando {ct(δ), kt(δ)}que sea la secuencia del consumo y del capital que la solucionan

c!!! = βψ k!!!, θ!; δ (4)

Donde se deben tener algunas consideraciones: en la ecuación (1) para toda t, un δ dado, y para la realización dada de θ descrita en (3). Por otro lado analizando la ecuación (4) y la ecuación (2), se puede ver que Ψ es una parte similar en ambas ecuaciones, es decir que puede ser substituido en (2).

Entonces con un Ψ y un δ dados, se soluciona para k y para c, dos ecuaciones y dos variables, en cada periodo; primero encontrado ct de la ecuación (4) y luego encontrado kt de la ecuación (1). Así mismo el parámetro δt escogido será el que satisfaga δt =S (δt), siendo el mejor parámetro que los agentes puedan usar en el sentido que minimizan el error medio cuadrado, de acuerdo al uso de la función de expectativa Ψ (kt-1, θt; δf). La elección del error cuadrático medio como una buena medida de producción es justificada porque satisface el criterio de la expectativa condicional.

Se define S: Rm Rm donde m es la dimensión de δ, como

s δ = argmin!E [c!!!!! δ θ!!!αk!!!!(δ + µμ − ψ(k!!! δ , θ!; δ)]

El paso a seguir es estimar δt, Si el punto fijo δt es calculado con el siguiente procedimiento iterativo, primero se debe generar una serie para θt de longitud T (T tiene que ser lo bastante larga para que los parámetros de la regresión que se llevaran a cabo en los siguientes pasos sean calculados con exactitud).

Se escoge un δ0 inicial y se calcula {ct(δ), kt(δ)}tT=1, luego hay que correr de nuevo la

regresión no-lineal de mínimos cuadrados de

c!!!!! (θ!!!αk!!!! + µμ) (5)

En la Función De Poder Ψ. Esta es la aproximación a S (δ0). Es fácil mostrar que el resultado de la regresión converge a S (δ0) cuando T tiende a infinito.

Ahora δ1, δ2,… son dados por el siguiente esquema iterativo, hasta que δv sea tan cercano a S (δv):

δ! = 1 − λ δ!!! + λS δ!!! , (6)

v = 1, 2, 3,…

Para λ Є (0, 1] escogido apropiadamente, ya que este es la velocidad de ajuste del algoritmo. Sin embargo no es lo único que se debe tener en cuenta, ya que también hay unas condiciones iníciales como τ=1, µ =0. Donde dejan que µ valla de 0 a 1 en 10 pasos, calculando δt para cada paso, y usándolo como condición inicial para el siguiente µ.


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Finalmente con δ1 se soluciona (1) y (4), luego se corre de nuevo la regresión hallando δ2, recurriendo a la ecuación (6); y así sucesivamente hasta que δt se acerque lo suficiente a S (δt); y la forma de verificar la exactitud en las soluciones es el incremento del grado del polinomio exponencial y usando

ψ k!!!, θ!; δ = e!!(!"#!!!!,!"#!!) = e[!!!!! !"#!!!!!!! !"#!!!!!(!"#!!)!!…! !!(!"#!!!!)(!"#!!)!!! (!"#!!!!)!] (7)

En lugar de la condición de primer orden de la función de poder

En el caso del ejercicio que esta siendo desarrollado, y teniendo en cuenta estos supuestos, hay que saber que de las ecuaciones (0) (1), se obtiene la ecuación (2), dado el proceso matemático1. Pero a su vez también es importante tener en cuenta que de allí se derivan las ecuaciones de estado estacionario, para ct-1 = c = ct, y para un kt-1 = k = kt, tal como son presentadas a continuación:

k =!! ! !

!"

!!!!

(8)

c = θ!! !!

!"

!!!!

− 1 − µμ!! !!

!"

!!!!

(9)

Y siguiendo el artículo escrito por Den Haan y Marcet (1990), la expectativa condicional aproximada esta dada por la semejanza entre el valor esperado de la función de poder (5) y la función polinomio exponenciado, o simplemente llamada la ley de moción para el choque de productividad (7), tomando los estados de equilibrio del consumo y del capital.

e = θ!! !!

!"

!!!!

− 1 − µμ!! !!

!"

!!!!

!!

!!

(10)

Desarrollo del ejercicio: parte 2

De manera análoga, L. Maliar y S. Maliar, desarrollan el mismo ejercicio, pero incluyendo un parámetro que representa el choque tecnológico, e incluyendo también la posibilidad de crear unas bandas o limites, los cuales desean mover para perfeccionar el modelo de Den Haan y Marcet, en el intento de hacerlo converger, introduciendo el uso de una banda superior y una banda inferior que asegure esto.



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La definición de cada símbolo es diferente cabe decir, a continuación estarán especificados cuales son los parámetros para Maliar y Maliar, ya que son parte de su solución en las líneas de programación de acceso libre que han publicado.

α Acción del Capital.

δ Factor de Descuento.

γ Parámetro de Aversión al Riesgo.

d Tasa de Depreciación

σ Desviación Estándar del Log del Ruido

φ Persistencia del Log del choque tecnológico

T Longitud de la Simulación

Teniendo claro esto, lo primero que se observa es la función planteada, la cual es de un modelo de crecimiento estocástico de un solo sector:

max !!,!! !!!! E!!! !!

!!!!!

!!!!!!!

/1/

Sujeto a:

c! + k! = θ!k!!!! + 1 − d k!!!

Donde su condición de primer orden que es resultado de la maximización de periodo a periodo, se puede entender como una modificación de la condición de primer orden en un solo periodo. En el cual surge el estado estacionario del capital, del consumo, y de las expectativas.

Capital en Estado Estacionario:

ks = k =!! – !

!"

!!!!

= !!!!!∗!!∗!∗!

!!!! /2/

Consumo en Estado Estacionario:

cs = c = θ1β − µμ

θα

!!!!

− 1 − µμ

1β − µμ

θα

!!!!

= ks ∗ α − d ∗ ks


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Expectativas en Estado Estacionario:

es = e = θ1β − µμ

θα

!!!!

− 1 − µμ

1β − µμ

θα

!!!!

!!

1β= cs!!(1 − d + α ∗ ks(!!!))

Donde log θ! = ρ log θ!!! + ϵ! /3/ con ϵ! ~N(0, σ!)

La condición inicial es dada para

k!!, θ! α ϵ (0,1)

Seguido a esto establecen unos valores que intuyen los autores como acertados, para los β, para los parámetros, para la velocidad del movimiento del limite, para el criterio de convergencia, y finalmente para actualizar el parámetro para la Homotopia.

Dados estos, proceden a establecer los márgenes o límites (superior e inferior) del intervalo de acuerdo a que las iteraciones que sucedan lleven a β a un β*, que cumpla con β*= G (β*) y que se encuentre β* en el intervalo de los límites que van a interaccionar para toda t, de esta forma:

k i = ks ∗ e(!!")

k i = ks ∗ (2 − e(!!"))

Donde a > 0 y donde a indica el lugar donde se han movido los limites, e “i” es el numero de iteraciones

De este modo practico en economía vemos que hay demasiada investigación y desarrollo teórico y de software, tal como lo han venido trabajando Maliar y Maliar, quienes acuden a los conceptos de Marcet y Den Haan, para plantear finalmente la expectativa condicional partiendo de

c!!!!! θ!!!αk!!!! + 1 − d ≅ e(!!!!! !"#!!!!! !"#!!!!)

Donde β = (β1, β2, β3) es un vector de coeficiente ha ser encontrado, entonces calculan

β! = ln [cs!!(θ ∗ α ∗ ks!!! + 1 − d)]

β! = 0,

β! = 0

Para hallar el consumo correspondiente a cada t

c t = k(t)! ∗ θ t + 1 − d ∗ k t − k(t + 1)



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Y ya con el consumo hallado se puede hallar la serie de tiempo de las expectativas,

e t = c(t + 1)!!(1 − d + k t + 1 !!!αθ(t + 1))

Luego con los resultados genera Matlab los gráficos relacionados con la simulación de la serie {zt (β), ut} t

T=1, se logra ver mediante prueba y error la importancia de la escogencia de

los parámetros, facilitando el trabajo de manera visual, ya que se puede analizar bajo cuales parámetros y cuales no, se vuelve altamente no estacionario el proceso, lo que haría que la regresión no trabajará y entonces divergiera en ciertos casos, como es el caso cuando las restricciones no son impuestas en las series del capital, lo que lo hacen altamente no estacionario.

Dejando esto de lado por un momento y entendiendo que si el ejercicio va por buen camino, lo que queda por hacer es calcular β para que se acerque a los valores reales mediante el uso en Matlab de la herramienta nlinfit, que es una regresión no-lineal (para un vector que puede contener valores iníciales en sus coeficientes). Donde bajo una regla de decisiones basadas en la realidad, indican si el proceso de {zt (β), ut} t

T=1 es estacionario,

luego las estimaciones no podrán pasar del limite fijado.

x = [ones(T − 1,1) log(k(1:T − 1)) log(tet(1:T − 1))]

ksi = nlinfit(x, e, ′objective′, beta);

beta = update ∗ ksi + (1 − update) ∗ beta;

Aplicación

Como se venia mencionando la adecuada aplicación de los parámetros iníciales, y la restricción sobre el capital, pueden llevar al ejercicio a dos posibles soluciones, una que diverja el capital, presentada en la figura (1), y la segunda es que converja el capital figura (2). Pero como solución, hay es donde entra la acción de los limites, y es recibir el impacto del capital, y acomodarlo para llevarlo a estado estacionario, haciendo que en cada periodo nuevo sean menos necesarias, hasta que llegue el punto en el que estos limites desaparezcan.

Tal es el caso, que mediante este articulo podría proponer un estudio de las bandas cambiarias de Colombia, como ha sido ese transcurso del pasó de tener bandas cambiarias fijas, a bandas cambiarias flexibles, y finalmente a bandas cambiarias de tipo sucio, finalmente para atender a la pregunta de si en realidad las bandas de carácter invisible al publico que se usan hoy en dia son buenas, y que efectos traerían, en el caso de que fallasen.


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De esta forma habría incentivos para analizar la conducta de las tasas de cambio, el nivel de las reservas internacionales que poseemos (¿que tan óptimo es?) y las tasas de interés (si es siempre adecuado aunque no parezca subirlas o bajarlas, mediante modelos de simulación) y de esta forma poder establecer alguna conjetura acertada de que todo se está revolviendo adecuadamente hacia las soluciones esperadas (como lo son el crecimiento de la economía, y de esta forma generar mayor bienestar social, no sólo económico).

Conclusión Para esto se debería también tener en cuenta la racionalidad y los mecanismos operación que tiene Banco de la República, las opciones que puede tener en In y que puede tener en pub, lo cual me podría indicar en alguna forma en los últimos 20 días el comportamiento del Banco, y sería un mecanismo para hallar mediante un modelo MA las bandas explicitas, las cuales a su vez me indicarían un comportamiento de las tasas de interés y poder predecir el comportamiento del Banco; y ante esto no sería raro esperar la respuesta que da el gobierno a esta. De tal forma que se pueda llegar a conclusiones como “el ajuste fiscal ¿Cómo se comporta?, las tasas de interés, la inflación ¿Han hecho que Colombia se vuelva mas competitiva?, ¿y el PIB?

Recomendaciones

Aunque me falta modelar econométricamente las posibles bandas cambiarias de tipo sucio, debido a que no son públicas, en este trabajo tendré en cuenta la normatividad del Banco de La República, y analizaré el como ya lo mencioné el comportamiento de este frente a intereses, compra y venta de dólares, entre otras variables. La recomendación que hay en este caso, que es de naturaleza econométrica, puede ser trabajar en MATLAB o en un software especializado WINRATS.

Por último recalco en que es vital enseñar a utilizar estas herramientas por nuestros estudiantes, aunque cabe tener en cuenta y enseñarse que también los modelos tienen defectos y al usar software también se debe considerar el tipo de datos es de tipo real o flotante.



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Referencias bibliográficas

[1] Maliar Lilia, y Maliar Serguei, 2003. Parametrized Expectations Algorithm and the Movig Bounds. Journal of Business and Economyc Statistics1, 88-92.

[2] Marcet Albert, y Den Haan Wouter, 1990. Solving the Stochastic Growth Model

by Parametrized Expectations. Journal of Business & Economic Statistics, 31 – 34.

[3] Marcet Albert, y Lorenzoni Guido, 1998. Parameterized Expectations Approach: Some Practical Issues. Ed. R. Marimon and A. Scott, New York: Oxford University Press, 143–171.

[4] Marcet Albert, y Marshall David, 1994. Solving Nonlinear Rational Expectations Models by Parameterized Expectations: Convergence to Stationary Solutions. Institute For Empirical Macroeconomics, 2-56.

[5] Pérez Javier, Sánchez Jesús, 2005. Parametrized Expectations Algorithm and the Moving Bounds: a Comment on Convergence Properties. Jstor, 1 – 11.

[6] Pérez Javier, 2004. A log-Linear Homotopy Approach to Initialize the Parametrized Expectations Algorithm. Computacional Economics 24, 59–75.


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Anexo 1:

% La funcion objetivo para el programa % PEAmbound.m % % ksiz Coeficientes Iniciales % x Regresores % y Variable Explicadora % --------------------------- function y = objective(ksiz,x) y=exp(x*ksiz);

Anexo 2: % Este programa de MATLAB soluciona un modelo de crecimiento estocastico % Neoclasico, por medio de las Expectativas parametrizadas con el % limites moviles, como se describe en el articulo % "Parameterized Expectations Algorithm and the Moving Bounds" por % Lilia Maliar and Serguei Maliar, JBES, Volume 21, Nº 1, January 2003. % % Ei programa incluye dos archivos: % 1. objective.m %donde se encuentra la funcion y=exp(x*ksiz) % 2. PEAmbound.m % Donde se desarrolla el ejercicio. %---------------------------------------------------- clear all; % 1. Inician los parametros del modelo % ---------------------------------- alpha = 0.33; % Accion del Capital. delta = .95; % Factor de Descuento. gam = 3.0; % Parametro de Aversion al Riesgo. d = .02; % Tasa de Depreciacion “d=0 sin depreciación”“d=1depreciacion total” sigma = .01; % Desviacion Estandar del log del Ruido rho = 0.95; % Persistenccia del log del choque tecnologico T = 1000; % Longitud de la Simulacion % 2. Asigne la memoria para la simulacion de la serie



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% ------------------------------------------- tet = zeros(T,1); % Choques Tecnologicos k = zeros(T+1,1); % Capital c = zeros(T,1); % Consumo e = zeros(T-1,1); % Expectativa Condicional % 3. El Estado Estacionario para k, c y las expectativas % ----------------------------------------------- ks = ( (1-delta+delta*d) / (alpha*delta) )^(1/(alpha-1) ); %Estado estacionario del CApital cs = ks^alpha - d*ks; %Estado estacionario del Consumo es = cs^(-gam)*( 1-d+alpha*ks^(alpha-1) ); %Estado estacionario de las Expectativas % 4. Valores Iniciales del capital y del choque tecnologico % ------------------------------------------------- k(1) = ks; % Valor Inicial del capital tet(1) = 1; % Valor Inicial del Choque % 5. Dibujando los Choques Tecnologicos % ----------------------------- epsi = randn(T,1)*sigma; for t = 2:T; tet(t) = tet(t-1)^rho*exp(epsi(t)); end; % 6. Inicializa los Parametros del Algoritmo % -------------------------------------- beta = [log( es ); 0.00001; 0.00001]; % Coeficientes Polinomicos Iniciales crate = 0.007; % Velocidad del movimiento de los limites criter = 1e-5; % Criterio de Convergencia update = 1.0; % Actualizar el parametro para la homotopia % 7. Ciclo Principal. % ----------------- iteration = 0; % Inicialmente, la iteraccion es 0 dif = 2e-5; % Inicialmente, el criterio no esta satisfecho while (dif > criter)|(hit==1) up_bound = ks*(2-exp(-crate*iteration)); % Limite o Cota Superior low_bound = ks*exp(-crate*iteration); % Limite o Cota Inferior hit = 0; % Indicador, 1 (0) = limite es (no) golpeado ; % 7.1 Dando un 'beta', calcula la serie de tiempo % -----------------------------------------


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for t = 1:T uprime = exp( beta(1) + beta(2)*log(k(t)) + beta(3)*log(tet(t))); % vector de coeficientes B %para ser encontrados %condiciones que dependen del c y k anteriores c(t) = ( delta*uprime )^(-1/gam); k(t+1) = k(t)^alpha*tet(t) - c(t) + (1-d)*k(t); if k(t+1) > up_bound %condiciones establecidas por los limites. k(t+1) = up_bound; hit=1; elseif k(t+1) < low_bound k(t+1) = low_bound; hit=1; end; c(t) = k(t)^alpha*tet(t) + (1-d)*k(t)-k(t+1); %cada consumo de cada iteracion end; % 7.2 Dada la serie de tiempo simulada, calcula la parte de la expectativa % ------------------------------------------------------------- for t = 1:T-1 %cada expectativa en base del consumo de cada iteracion e(t) = c(t+1)^(-gam)*(1-d+k(t+1)^(alpha-1)*alpha*tet(t+1)); end; % 7.3 Recalcula 'beta' usando la regresion NLLS % --------------------------------------------- x = [ones(T-1,1) log( k(1:T-1) ) log( tet(1:T-1) )]; % Regresores ksi = nlinfit(x,e,'objective',beta); % Regresion NLLS iteration % Muestra la iteration dif = norm(beta-ksi) % Muestra la diferencia entre beta y Ksi beta = update*ksi + (1-update)*beta; % Actualiza los coeficientes (homotopia) iteration = iteration+1; % Siguiente iteraccion end; % 8. Grafica la solucion de las series de tiempo para y, c and k % ------------------------------------------- time=(1:1:T); set(gcf,'Color',[1,1,1]) grid on subplot(3,1,1); plot (time,k(1:T,1),'color','green'), xlabel('t'), ylabel('Capital') title('Time series solution','fontsize',14,'fontweight','b'); grid on subplot(3,1,2); plot (time,c,'color','red'), xlabel('t'), ylabel('Consumption') grid on subplot(3,1,3);



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plot (time,tet.*k(1:T,1).^alpha), xlabel('t'), ylabel('Output') box on grid on

Figura 1. El capital en hasta 1000 periodos transcurridos no ha llegado al punto inicial de convergencia, pero aun así no ha explotado la serie. Con una depreciación de 1-d=µ=0.98. Efecto que se logra ver reflejado en el consumo.

Figura 2. El capital en hasta 1000 periodos transcurridos converge, pero manteniendo de esta manera la serie su estacionalidad. Con una depreciación de 1-d=µ=0.02. Llevando consigo al consumo y al producto.

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