Economía del riesgo - Jorge Ponce | PhD in Economics · 2011-03-14 · Conceptos y modelos de la...
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Economıa del riesgo
Jorge Ponce
Maestrıa en Economıa InternacionaldECON - FCS
Montevideo, 2011
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 1 / 111
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I. Introduccion
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Motivacion
Decisiones involucran tiempo (futuro), incertidumbre y riesgoI Privado: educacion, salud, ahorro e inversion, etc.I Publico: energıa, inversion publica, estabilidad financiera, etc.
Importantes sectores especializados en manejo de riesgosI Banca, finanzas, seguros, fondos de pension, etc.
Conceptos y modelos de la teorıa del riesgo y de la teorıa de ladecision son instrumentos para otras areas
I Economıa de la informacion, finanzas, etc.
Fortalecer la educacion en teorıa economica con un enfoqueintuitivo
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¿Que es riesgo? (Knight, 1921)
Incertidumbre: decisiones implican un conjunto de posiblesresultados (aleatorios)
I En certidumbre, distinguir accion, decision o eleccion de resultadono tiene sentido
Riesgo: la distribucion de probabilidades sobre los posiblesresultados es conocida
Modelizacion de riesgo:I Variable aleatoriaI Distribucion de probabilidadesI Loterıa
Modelizacion de incertidumbre:I Actualizacion bayesiana (Bayes, 1750)I Ambiguedad o multiples distribuciones a priori
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Principales objetivos del curso
Introducir los principales conceptos de la teorıa del riesgo
Manipular las tecnicas basicas para el tratamiento del riesgo
Analizar la teorıa de la decision en condiciones de riesgo
Enfasis en principios economicos e intuicion
Pero al mismo tiempo, proveer un analisis formal
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Programa
I. Introduccion
II. Modelizacion del riesgo
III. Preferencias y utilidad esperada
IV. Aversion al riesgo
V. Dominacion estocastica
VI. Manejo de riesgos: decisiones sobre seguros
VII. Reparto eficiente de riesgos
VIII. Informacion asimetrica y la oferta de seguros
IX. Riesgo e informacion
X. Prevencion optima
XI. Irreversibilidad y precaucion
XII. Topicos avanzados
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Algunas excelentes referencias
Dixit, Avinash K. y Pindyck, Robert S. (1994). Investment underuncertainty. Princeton University Press.
Gollier, Christian (2001). The economics of risk and time. The MITPress.
* Eeckhoudt, Louis; Gollier, Christian y Schlesinger, Harris(2005). Economic and financial decisions under risk. PrincetonUniversity Press.
Laffont, Jean-Jacques (1989). The economics of uncertainty andinformation. The MIT Press.
* Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D. y Green, Jerry R.(1995). Microeconomic theory. Oxford University Press.
Por mas ver el programa
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II. Modelizacion del riesgo
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Teorıa economica y modelos
Mucho de la teorıa economica es acerca deI Explicar y anticipar decisiones y elecciones de los agentes (positiva)I Sugerir decisiones, elecciones y comportamientos (normativa)
ModelosI Representaciones “manejables” (matematicas) de la realidadI El supuesto es (generalmente) que los agentes economicos eligen la
opcion mas “deseada” o “preferida”I Interpretacion: los agentes se comportan (aunque no
deliberadamente) “como si” optimizaran alguna funcion objetivoI Esto no es necesariamente cierto, pero es aceptado si ofrece una
buena aproximacion a las regularidades observadas en la realidad
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Riesgo modelado como loterıas
Supuesto (hasta nuevo aviso): los resultados posibles forman unconjunto finito, X = {xn} , n = 1, . . . , N
Las preferencias y la eleccion son sobre loterıas
Loterıa simple: una distribucion de probabilidadesL = (x1, p1; . . . ; xn, pN), con pn ≥ 0 y ∑N
n=1 pn = 1
Dado el conjunto de resultados posibles X, una loterıa quedacompletamente defenida en funcion de las probabilidadesL = (p1, . . . , pN), con pn ≥ 0 y ∑N
n=1 pn = 1
Ejemplo: dado X = {1, 2, 3}
L =(
1, 12 ; 2, 1
4 ; 3, 14
)=(
12 , 1
4 , 14
)
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Loterıa compuesta
Loterıa compuesta: una loterıa cuyos resultados posibles sonloterıas L = (L1, p1; . . . ; LK, pK), con pk ≥ 0 y ∑K
n=1 pk = 1 y dondeLk, k = 1, . . . , K son K loterıas simples definidas en X
Ejemplo: dado X = {1, 2, 3}
L1 =
(12
,12
, 0)
L2 =
(12
, 0,12
)L =
(L1,
12
; L2,12
)La loterıa compuesta L puede ser reducida a L =
(12 , 1
4 , 14
),
entonces solo las probabilidades sobre los resultados finales sonrelevantes!
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Representacion grafica de loterıas
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Pascal y Fermat (1600s): los primeros modelos
El valor de una loterıa (riesgo) debe ser igual a su valor esperado
4000
12000
12
x
12
(4000, 12 ; 12000, 1
2 )
E(x) = 8000
4000
8000
12000
y
14
12
14
(4000, 14 ; 8000, 1
2 ; 12000, 14 )
E(y) = 8000
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¿Por que el valor esperado no es un buen modelo?
¿Que riesgo prefiere usted, x o y?
¿Apostarıa $1 a numero en el lanzamiento de una moneda? ¿Y$1.000.000?
Comunmente la gente compra seguros (transforma riesgo en suvalor esperado) y todavıa paga una prima por ello
Existe premio por riesgo en los mercados financieros
La esperanza de ganar en juegos de azar es comunmentenegativa (en la ruleta es 35× 1
37 − 1× 3637 = − 1
37 ) y todavıa haygente que apuesta
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La paradoja de San Petesburgo (Bernoulli, 1738)
Se lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara
Si la primera cara aparece en la tirada n, entonces se paga 2n
ducados
¿Cuanto esta dispuesto a pagar usted para participar de estejuego?
¿Cual es la ganancia esperada en este juego?
∞
∑n=1
(2n)×(
12
)n= 1 + 1 + 1 + · · · = ∞
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¿Y la varianza?
¿Por que no adoptar un criterio de “media-varianza”?
Posiblemente una buena aproximacion en muchos casosI riesgos “pequenos”
¿Cual de estas loterıas prefiere?
x : (−1,999
1000; 999,
11000
)
y : (1,9991000
;−999,1
1000)
Pero igual media e igual varianza!
x tienen asimetrıa positiva e y negativa
Momentos de tercer orden (y superior) deberıan sercontemplados por el modelo
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La idea de Bernoulli (1738): funcion de utilidad
Sempronius tiene bienes en casa por 4000 ducados y bienes en elextranjero por 8000 ducados. La unica forma de traer los bienesdel extranjero es por barco. La experiencia muestra que uno decada dos barcos naufraga
Sempronius enfrenta un riesgo en su riqueza final
¿Como se representa este riesgo (loterıa) si utiliza un solo barco?
x : (4000,12
; 12000,12)
¿Como se representa este riesgo (loterıa) si utiliza dos barcos?
y : (4000,14
; 8000,12
; 12000,14)
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La funcion de utilidad de Bernoulli
El sentido comun indica que diversificar es una buena idea
Pero el valor esperado de la riqueza final E (x) = E (y) = 8000
Bernoulli: “satisfaccion” o “utilidad” esperada
I Lo que importa ex post es la satisfaccion reportada por la riquezaI La relacion riqueza-satisfaccion, utilidad u(x), puede no ser lineal
(La funcion de utilidad de Bernoulli esta definida sobre resultados ciertos)I u(x) cumple propiedades de racionalidad, ej. u′(x) > 0I Si ademas u(x) es concaca, u′′(x) < 0 (la utilidad marginal de la
riqueza es decreciente), ej. u(x) ≡√
x, u(x) ≡ ln x, entonces sepreferira y a x:
Eu(x) =12
√4000 +
12
√12000 = 86,4
Eu(y) =14
√4000 +
12
√8000 +
14
√12000 = 87,9
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III. Preferencias y utilidadesperada
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Preferencias sobre riesgos (loterıas)
% representa la relacion de preferencias del agente sobre loterıas
Axiomas de las preferenciasI Completas: Para cada par de loterıas L1 y L2 sucede que L1 � L2,
que L2 � L1, o ambas (L1 ∼ L2)I Transitivas: Si L1 % L2 y L2 % L3, entonces L1 % L3I Racionales: Si son completas y transitivasI Continuas: Para toda L1 % L2 % L3 existe α ∈ [0, 1] tal que
(L1, α; L3, (1− α)) ∼ L2I Estos axiomas tienen su correlato en la teorıa del consumidor en
condiciones de certidumbre
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Preferencias representadas por funciones de utilidadDebreu (1960)
Si la relacion de preferencias % es
Racional (completa y transitiva), y continua
Entonces
Existe una funcion de utilidad, v(L), que representa laspreferencias %
Esto es, dadas dos loterıas cualesquiera L1 = (p11, . . . , p1
N) yL2 = (p2
1, . . . , p2N) sobre X = {xn} , n = 1, . . . , N,
L1 % L2 si y solo si v(L1) ≥ v(L2)
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El (controversial) axioma de independencia
Sin paralelo en la teorıa del consumidor en certidumbre
Crucial para la teorıa de la utilidad esperada
Foco de las disputas
Independientes: Para todo α ∈ (0, 1), L1 % L2 si y solo si(L1, α; L3, (1− α)) % (L2, α; L3, (1− α))
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Teorema de la utilidad esperadaVon Neumann y Morgenstern (1944)
Si la relacion de preferencias % es
Racional (completa y transitiva), continua
Cumple el axioma de independencia
Entonces
% admite una representacion de utilidad esperada
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La representacion de utilidad esperada
La relacion de preferencias % admite una representacion a travesde una funcion de utilidad “atractiva”
v(L) =N
∑n=1
unpn ≡ U(L)
Es posible asignar numeros un ≡ u(xn) tales que, para dosloterıas cualesquiera L1 = (p1
1, . . . , p1N) y L2 = (p2
1, . . . , p2N),
L1 % L2 si y solo si U(L1) =N
∑n=1
unp1n ≥
N
∑n=1
unp2n = U(L2)
Preferencias tienen una representacion lineal en probabilidades
u(.) es la funcion de utilidad de Bernoulli
U(.) es la funcion de utilidad esperada de Von Neumann yMorgenstern
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El teorema de utilidad esperada graficamente
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Discusion de la teorıa de la utilidad esperada
Ventaja tecnica: muy conveniente analıticamente
Atractivo normativo: guıa de accion
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Discusion: la paradoja de Allais (1953)
X = {2,500,000; 500,000; 0}
L1 = (0, 1, 0) %(
10100 , 89
100 , 1100
)= L2
U(L1) = u(5) ≥ 10100 u(25) + 89
100 u(5) + 1100 u(0) = U(L2)
u(5) + 89100 u(0)− 89
100 u(5) ≥10
100 u(25) + 89100 u(5) + 1
100 u(0) + 89100 u(0)− 89
100 u(5)11
100 u(5) + 89100 u(0) ≥ 10
100 u(25) + 90100 u(0)
U(L3 =(
0, 11100 , 89
100
)) ≥ U(L4 =
(10
100 , 0, 90100
))
L3 =(
0, 11100 , 89
100
)%(
10100 , 0, 90
100
)) = L4
¿Que dicen sus preferencias?
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 27 / 111
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Discusion: la paradoja de Machina (1987)
X = {Venecia; Pelıcula; Casita}
Venecia % Pelıcula % Casita
L1 =(
9991000 , 1
1000 , 0)%(
9991000 , 0, 1
1000
)= L2
¿Que dicen sus preferencias?
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 28 / 111
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Infinitos resultados posibles y utilidad esperada
(Nuevo aviso) los resultados posibles forman un conjunto cuyocardinal es infinito: dinero, riqueza, etc.
Una loterıa puede ser descripta por su funcion de distribucionacumulada
F : R→ [0, 1]; F(x) =∫ x
−∞f (t)dt
Bajo los supuestos del teorema, es posible asignar niveles deutilidad, u(x), tal que toda loterıa, F(.), puede ser evaluada porsu utilidad esperada
U(F) =∫
u(x)dF(x)
No restricciones sobre, u(x), la funcion de utilidad de Bernoulli!
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 29 / 111
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IV. Aversion al riesgo
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 30 / 111
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Un poco de notacion
Consideramos riesgo sobre la riqueza final de un agente
w es el nivel de riqueza cierta (actual) del agente
El riesgo esta dado por una loterıa (una variable aleatoria) sobresu riqueza futura, z
La riqueza final del agente es x = w + z
u(.) es la funcion de utilidad de Bernoulli del agente
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 31 / 111
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Aversion al riesgo
Definicion 1Un agente es averso al riesgo si, para todo nivel de riqueza w, el agenterechaza cualquier loterıa cuyo valor esperado es cero:
∀w, ∀z con Ez = 0, Eu(w + z) ≤ u(w)
Definicion 2Un agente es averso al riesgo si, para todo nivel de riqueza w, prefiererecibir con certeza el valor esperado de una loterıa a la loterıa misma:
∀w, ∀z, Eu(w + z) ≤ u(w + Ez)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 32 / 111
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Sempronius es averso al riesgow = 4000
z =(
0, 12 ; 8000, 1
2
)Eu(w + z) = 1
2 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ez)
Riqueza
Uti
lidad
4000 8000 12000
a
b
c
d
Eu (w + z)
u (w + Ez)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 33 / 111
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Aversion al riesgo y diversificacionEu(w + z) = 1
2 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ez)
Entonces, u(12000)− u(8000) ≤ u(8000)− u(4000)Diversifica porque la perdida por transferir probabilidades de12000 a 8000 es menor que la ganancia de transferirprobabilidades de 4000 a 8000
Riqueza
Uti
lidad
4000 8000 12000
u(4000)
u(8000)u(12000)
Perdida
Ganancia
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 34 / 111
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Aversion al riesgo y diversificacion (cont.)
Sempronius es averso al riesgo:Eu(w + z) = 1
2 u(4000) + 12 u(12000) ≤ u(8000) = u(w + Ez)
Pruebe que Sempronious prefiere diversificar su riesgo: queprefiere usar dos barcos y enfrentar una riqueza finaly = w + z′ : (4000, 1
4 ; 8000, 12 ; 12000, 1
4 ) a usar solo uno yenfrentar una riqueza final x = w + z : (4000, 1
2 ; 12000, 12 )
Eu(y)− Eu(x) ≥ 0?
Eu(y)− Eu(x) =
= 14 u(4000) + 1
2 u(8000) + 14 u(12000)−
[12 u(4000) + 1
2 u(12000)]
= 12 u(8000)−
[14 u(4000) + 1
4 u(12000)]≥ 0
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 35 / 111
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Aversion al riesgo y desigualdad de Jensen (1906)
Un agente es averso al riesgo si y solo si Eu(w + z) ≤ u(w + Ez)
Jensen (1906): la funcion f (x) es concava si y solo si Ef (x) ≤ f (Ex)
Entonces, un agente esI averso al riesgo si y solo si u(.) es concavaI amante del riesgo si y solo si u(.) es convexaI neutral al riesgo si y solo si u(.) es lineal
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 36 / 111
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Premio por riesgo: π
¿Cuanto de su riqueza esta dispuesto a sacrificar un agenteaverso al riesgo para deshacerse del riesgo?
El premio por riesgo, π, es tal que
Eu(w + z) = u(w + Ez− π)
Riqueza
Uti
lidad
4000 8000 12000
Eu (w + z)
u (w + Ez) w = 4000w + Ez = 8000
w + Ez− ππ
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 37 / 111
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Equivalente cierto: ε
¿Que incremento en la riqueza cierta de un agente averso alriesgo es equivalente al riesgo asumido?El equivalente cierto, ε, es tal que
Eu(w + z) = u(w + ε)
Ez = ε + π
Riqueza
Uti
lidad
4000 8000 12000
Eu (w + z)
u (w + Ez)w = 4000
w + ε
ε
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 38 / 111
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Grado de aversion absoluta al riesgo: A(w)Arrow (1963) y Pratt (1964)
Sin perdida de generalidad asuma que Ez = 0
Premio por riesgo: Eu(w + z) = u(w− π)
Expansiones de Taylor:I u(w− π) u u(w)− πu′(w)
I
Eu(w + z) u E[u(w) + zu′(w) + 12 z2u′′(w)]
= u(w) + Ezu′(w) + 12 Ez2u′′(w)
= u(w) + 12 σ2u′′(w)
Entonces, π u 12 σ2
[− u′′(w)
u′(w)
]
A(w) ≡ −u′′(w)
u′(w)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 39 / 111
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Equivalencias
Sin perdida de generalidad considere un riesgo puro: Ez = 0. Lassiguientes sentencias son equivalentes:
El agente es averso al riesgo
La funcion de utilidad, u(.), es concava
El premio por riesgo es positivo: π > 0
El equivalente cierto es negativo: ε < 0
La funcion de aversion absoluta al riesgo es positiva: A(w) > 0
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 40 / 111
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Grados de aversion al riesgo: comparacion entre
agentes
DefinicionSuponga que dos agentes u1 y u2 tienen la misma riqueza cierta w.Entonces u1 es mas averso al riesgo que u2 si, para cualquier nivel deriqueza w, u1 rechaza toda loterıa que es rechazada por u2.
Las siguientes sentencias son equivalentes:
u1 es mas averso al riesgo que u2
Au1(w) ≥ Au2(w)
πu1 ≥ πu2
εu1 ≤ εu2
Existe una funcion creciente y concava, φ, tal queu1(w) = φ[u2(w)]
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 41 / 111
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Ejemplo - Ejercicio
Considere el problema de Sempronius: w = 4000, z : (0, 12 ; 8000, 1
2 )
1 Muestre que u1(w) ≡ ln(w) es mas averso al riesgo queu2(w) ≡
√(w)
2 Calcule y compare1 Au1 con Au2
2 πu1 con πu2
3 εu1 con εu2
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 42 / 111
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Riqueza y aversion absoluta al riesgo
Generalmente, gente mas rica toma mayores riesgos(posiblemente porque los puede afrontar)
Aversion absoluta al riesgo decreciente (DARA)Un agente presenta aversion absoluta al riesgo decreciente (la funcionde utilidad u(.) es DARA) si la funcion A(w) es decreciente en lariqueza w.
Dado que π u 12 σ2A(w), entonces A′(w) < 0 implica π′(w) < 0
(el premio por riesgo es decreciente en la riqueza)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 43 / 111
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Ejemplo - Ejercicio
1 Considere el problema de Sempronius: u(.) = √.,z : (0, 1
2 ; 8000, 12 )
1 Calcule el premio por riesgo, π, y el grado de aversion absoluta alriesgo, A, para w = 100 y para w = 1,000,000
2 Considere que una moneda se lanza t veces. El juego terminacuando aparece la primera cara o luego de lanzar la moneda Tveces. El jugador paga 100 por participar de cada tirada y gana200 si sale cara.
1 Escriba la descripcion extensiva del juego (arbol) para T = 1 yT = 2
2 Muestre que un jugador con una utilidad DARA que es indiferentea entrar en el juego cuando T = 1 no participara si T = 2
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 44 / 111
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Grado de aversion relativa al riesgo
Grado de aversion absoluta al riesgo, A(w) ≡ − u′′(w)u′(w)
, mide latasa a la cual la utilidad marginal decrece cuando la riquezaaumenta en una unidad
Entonces, esta expresada en unidades de riqueza
Grado de aversion relativa al riesgo mide la tasa a la cual lautilidad marginal decrece cuando la riqueza aumenta 1 %
Entonces, es una elasticidad
R(w) ≡ −du′(w)
u′(w)
wdw
= −wu′′(w)
u′(w)= wA(w)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 45 / 111
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Algunas funciones de utilidadCuadratica
u(w) = aw− 12
w2, con w ≤ a
¿Por que w ≤ a?
Calcule el grado de aversion absoluta al riesgo A(w)
Muestre que A(w) es creciente!
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 46 / 111
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Algunas funciones de utilidad (cont.)CARA (mas normal = muy conveniente)
u(w) = −exp (−aw)
a
Calcule el grado de aversion absoluta al riesgo A(w)
Asuma que la riqueza final, x, se distribuye normal con media µ
y varianza σ2 y demuestre que
Eu(x) = u(µ− 12
aσ2)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 47 / 111
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Algunas funciones de utilidad (cont.)CRRA
u(w) =w1−γ
1− γ, para w > 0
Calcule el grado de aversion relativo al riesgo R(w)
Si un agente es averso al riesgo, ¿que restriccion se impone a γ?
¿Que pasa si γ = 1? ¿Que solucion encuentra?
u(w) =
{w1−γ
1−γ , para w > 0, γ ≥ 0, γ 6= 1,
ln(w) para w > 0, γ = 1
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 48 / 111
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V. Dominacion estocastica
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 49 / 111
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De funciones de utilidad a distribuciones de
probabilidades
Hasta ahora: comparaciones sobre funciones de utilidad (mismoriesgo, diferentes agentes)
Ahora: comparaciones sobre funciones de distribucion, loterıa,(mismo agente, diferentes riesgos)
¿Bajo que condiciones una loterıa genera, sin ambiguedad,mayor retorno que otra?
¿Bajo que condiciones una loterıa es, sin ambiguedad, masriesgosa que otra?
Restricciones sobre las preferencias (familias de funciones deutilidad)
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 50 / 111
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Dominacion estocastica de primer orden
DefinicionLa distribucion de riqueza final x1 domina a x2 en el sentido dedominacion estocastica de primer orden si todos los individuos confunciones de utilidad, u, no decrecientes prefieren x1 a x2:
E [u (x2)] ≤ E [u (x1)] para todo x1, x2
Restricciones sobre preferencias:I Soporten una representacion de utilidad esperadaI Que la funcion de utilidad de Bernoulli sea no decreciente
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 51 / 111
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Dominacion estocastica de primer orden (cont.)
Las siguientes condiciones son equivalentes:
x1 domina a x2 en el sentido de dominacion estocastica de primerorden
x2 se obtiene a partir de x1 mediante la transferencia de masa deprobabilidades de los estados altos de riqueza final a los estadosbajos
F2(x) ≥ F1(x) para todo x
Ejercicio:
Muestre la segunda condicion
Pruebe la tercera condicion
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 52 / 111
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Dominacion estocastica de primer orden (fin)
Notas:
FOSD no implica que los posibles retornos de la distribuciondominante son mayores que los posibles retornos de ladistribucion dominada
FOSD implica que E [x2] ≤ E [x1]
E [x2] ≤ E [x1] no implica que x1 domina a x2 en el sentido dedominacion estocastica de primer orden: toda la distribucion deprobabilidades es importante!
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 53 / 111
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Dominacion estocastica de segundo orden
DefinicionDadas dos distribuciones de riqueza final x1 y x2 con la misma media,x1 domina a x2 en el sentido de dominacion estocastica de segundoorden si todos los individuos con funciones de utilidad, u, nodecrecientes y concavas prefieren x1 a x2:
E [u (x2)] ≤ E [u (x1)] para todo x1, x2
Restricciones sobre preferencias:I Soporten una representacion de utilidad esperadaI Que la funcion de utilidad de Bernoulli sea no decrecienteI Que la funcion de utilidad de Bernoulli sea concava (el agente
averso al riesgo)
Restricciones sobre las distribuciones:I Igual media para aislar efectos de dominacion de primer orden
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 54 / 111
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Dominacion estocastica de segundo orden (cont.)
Las siguientes condiciones son equivalentes:
x1 domina a x2 en el sentido de dominacion estocastica desegundo orden
x2 se obtiene agregando riesgo de media cero, ε conE[ε | x1 = x1] = 0 para todo x1, a x1:
x2 ∼ x1 + ε
x2 se obtiene como una secuencia de mean-preserving spreads de x1
S(x) ≡∫ x
[F2(t)− F1(t)] dt ≥ 0
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 55 / 111
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Dominacion estocastica de segundo orden (cont.)Incremento en riesgo (Rothschild y Stiglitz, 1970, 1971)
Considere el problema de Sempronius: w = 4000,z : (0, 1
2 ; 8000, 12 ), entonces x1 : (4000, 1
2 ; 12000, 12 )
Asuma que los bienes del extranjero son 8000 unidades
Se agrega riesgo: con igual probabilidad el precio es 0,5 o 1,5
ε | x1 = 4000 : (0, 1), ε | x1 = 12000 : (−4000, 12 ; 4000, 1
2 )
Note que E[ε | x1 = x1] = 0
x2 ∼ x1 + ε, x2 : (4000, 12 ; 8000, 1
4 ; 16000, 14 )
Note que E[x1] = E[x2] = 8000
E [u (x1)] =12
√4000 + 1
2
√12000 = 86,4
E [u (x2)] =12
√4000 + 1
2
[12
√8000 + 1
2
√16000
]= 85,6 < 86,4
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 56 / 111
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Dominacion estocastica de segundo orden (cont.)Reduccion en riesgo y diversificacion
Sempronious prefiere diversificar su riesgo: que prefiere usar dosbarcos y enfrentar una riqueza final
y = w + z′ : (4000,14
; 8000,12
; 12000,14)
a usar solo uno y enfrentar una riqueza final
x = w + z : (4000,12
; 12000,12)
Ejercicios:
Muestre que existe un incremento en riesgo ε tal que x ∼ y + ε
Muestre que dados x1 iid x2, x1+x22 es menos riesgoso que x1 o x2
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 57 / 111
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Dominacion estocastica de segundo orden (fin)Mean-preserving spread y la condicion de la integral
Un mean-preserving spread es generado al transferir masa deprobabilidades hacia los extremos de la distribucion sin alterar lamedia
El incremento en riesgo anterior es un mean-preserving spreadf 1
,f2
4 8 12 16
14
12
f1
f2 F 1,F
2
4 8 12 16
12
34
1F1 , F2
AB
Ejercicio: pruebe que si x1 SOSD x2 entoncesS(x) ≡
∫ x[F2(t)− F1(t)] dt ≥ 0
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Prudencia o aversion al riesgo en estados bajos
Considere el problema de Sempronius: w = 4000,z : (0, 1
2 ; 8000, 12 ), entonces x1 : (4000, 1
2 ; 12000, 12 )
Considere que la incertidumbre en precio se da cuando el barcollega a puerto (estado alto):
I x2 : (4000, 12 ; 8000, 1
4 ; 16000, 14 )
I Esto es un riesgo ε : (−4000, 12 ; 4000, 1
2 ) en el estado altoI O, x2 : (4000, 1
2 ; 12000 + ε, 12 )
Considere el mismo riesgo en el estado bajo:I x3 : (4000 + ε, 1
2 ; 12000, 12 ), o x3 : (0, 1
4 ; 8000, 14 ; 12000, 1
2 )
Ejercicio: muestre que x2 y x3 no se dominan mutuamente
PrudenciaUn agente es prudente si, en los estados bajos de riqueza, rechazacualquier incremento en riesgo que aceptarıa en los estados altos
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 59 / 111
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Prudencia si y solo si u′(.) convexa: u′′′(.) > 0
Prudencia si y solo si u′′′(.) > 0Un agente es prudente, equivalentemente averso al riesgo en estadosbajos, si y solo si su funcion de utilidad de Bernoulli, u(.), es tal queu′(.) es convexa: u′′′(.) > 0
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 60 / 111
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VI. Manejo de riesgos:decisiones sobre seguros
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Decisiones sobre seguros
Seguros son importantes en la vida corrienteI Agentes se cubre y/o intercambian riesgosI Inversion y toma de riesgosI Educacion, capital humano y riesgo
AseguradorI Diversifica riesgo por la Ley de los Grandes Numeros (siempre que
los riesgos individuales no esten muy correlacionados)I Puede ser considerado neutral al riesgoI Principio de Mutualidad: en esencia, los demandantes de seguros
se aseguran unos a los otros
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El problema
El riesgo a asegurarI El agente tiene una riqueza cierta wI Enfrenta una perdida aleatoria z ≥ 0I Por tanto, su riqueza final es x = w− z
El contrato de seguroI Una prima (precio del contrato) PI Una indemnizacion I(z) para todo z ∈ soporte de zI Valor actuarial del contrato EI(z)I Prima actuarialmente justa si P = EI(z)I Competencia perfecta, entonces prima justa
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La optimalidad del seguro total
Seguro total: I(z) = z para todo z ∈ soporte de z
Sin seguro:Eu(w− z) = u(w− ε)
= u(w− Ez− π)
Con seguro:
Eu(w− P− z + I(z)) = u(w− P)= u(w− EI(z))= u(w− Ez)
Cuando las primas son actuarialmente justas, los individuos aversosal riesgo encuentran optimo adquirir un seguro total
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 64 / 111
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Prima maxima de un seguro total
Eu(w− z) = u(w− Ez− π)
= u(w− Pmax)
EntoncesPmax = Ez︸︷︷︸
valor actuarial
+ π︸︷︷︸premio por riesgo
Estatica comparadaPmax > Ez (valor actuarial) si el individuo es averso al riesgo
Pmax crece en el valor actuarial del contrato
Si u es DARA, Pmax decrece con el nivel de riqueza cierta w
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Seguros parciales
En la practica existen costos de transaccion
Costos de transaccion (loading factor)I Indemnizacion I(z) para todo z ∈ soporte de zI Valor actuarial del contrato EI(z)I Prima incluye costos de transaccion P = (1 + λ)EI(z), con λ ≥ 0
La decision optima puede implicar seguros parcialesI Co-seguro: I(z) = βz, con 0 ≤ β ≤ 1I Deducible:
I(z) = 0 si z ≤ dI(z) = z− d si z > d
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Co-seguro optimo
Riqueza final con seguro: xI = w− P− z + I(z)
En el caso de co-seguro: xI = w− (1 + λ)βEz− z + βz
El problema:max
0≤β≤1Eu(xI)
Ejercicio:I Calcule las condiciones de primerI Calcule las condiciones de segundo ordenI Pruebe que, en el optimo,
cov[u′(xI); z]E[u′(xI)]
= λEz
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 67 / 111
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Co-seguro optimoTeorema de Mossin (1968)
Si β = 0, cov[u′(xI); z] > 0
Si β = 1, cov[u′(xI); z] = 0∂cov[u′(xI);z]
∂β < 0
β1
λEz
cov[u′(xI);z]E[u′(xI)]
β∗
Seguro total, β∗ = 1, es optimo si la prima es actuarialmentejusta, λ = 0
Seguro parcial, β∗ < 1, es optimo si la prima incluye costos detransaccion, λ > 0
Si λ es suficientemente grande, la demanda puede ser nula
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 68 / 111
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Co-seguro optimoEstatica comparada: mayor aversion al riesgo
Considere dos individuos con funciones de utilidad u1 y u2 crecientesy concavas. Si u1 es mas averso al riesgo que u2, entonces β∗1 ≥ β∗2
β1
λEz
cov[u′2(xI);z]E[u′2(xI)]
β∗2
cov[u′1(xI);z]E[u′1(xI)]
β∗1
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 69 / 111
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Co-seguro optimoEstatica comparada: incremento en riqueza
Un incremento en la aversion al riesgo incrementa la demandapor seguros
Entonces, si DARA, un incremento en la riqueza reduce lademanda por seguros
Si DARA, seguros son bienes inferiores
Un incremento en la riqueza inicial (cierta)
Reduce β∗ si u exhibe aversion al riesgo absoluta decreciente
Incrementa β∗ si u exhibe aversion al riesgo absoluta creciente
No tiene efectos en la demanda de co-seguro si u exhibe aversional riesgo absoluta constante
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Seguro con deducible
Deducible:I(z) = 0 si z ≤ dI(z) = z− d si z > d
O, I(z) = [z− d]+
P = (1 + λ)EI(z)
Muestre que hay una relacion inversa entre deducible, d, y laprima, P. En particular, muestre que
∂P∂d
= −(1 + λ)[1− F(d)]
donde z ∼ F(z)
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Deducible optimo
Riqueza final con seguro:
xI =
{x1 = w− P(d)− z si z < dx2 = w− P(d)− d si z ≥ d
Muestre que el deducible optimo, d∗, es tal que
(1 + λ)Eu′(xI) = u′(x2)
Muestre que si λ = 0, entonces d∗ = 0 (un seguro total) y que siλ > 0 es optimo un deducible positivo d∗ > 0
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La optimalidad de un seguro con deducible
Seguro optimo: seguro total sobre un deducibleSuponga que un agente averso al riesgo selecciona un contrato deseguro para cubrir un riesgo z con una prima P = (1 + λ)EI(z) y unaindemnizacion no decreciente I(z) ≥ 0 para todo z ∈ soporte de z.Entonces, el contrato de seguro optimo consiste en un seguro totalsobre un deducible d: I(z) = [z− d]+
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VII. Reparto eficiente deriesgos
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Algunas puntualizaciones previas
Hasta ahora se ha considerado un unico individuo
Ahora se considera el reparto eficiente de riesgo entre agentes
No consideraremos si este reparto puede ser alcanzada en unaeconomıa de mercado (ver Finanzas de Mercado)
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Reparto de riesgos: un ejemplo
Recuerde que Sempronius prefiere diversificar su cargamento endos barcos, yS : (4000, 1
4 ; 8000, 12 ; 12000, 1
4 ), a utilizar solo uno,xS : (4000, 1
2 ; 12000, 12 )
Asuma que Jacobus es averso al riesgo y enfrenta el mismoproblema que Sempronius pero en una ruta independiente
Muestre que ambos preferiran utilizar solo un barco cada uno yrepartir la mercaderıa (riesgo) en partes iguales, xS+xJ
2 , a utilizarsolo un barco y no repartir el riesgo, xi para i = S, J
¿Que pasa si los riesgos estan correlacionados (las rutas no sonindependientes)?
La regla de reparto, ¿es eficiente en el sentido de Pareto?
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El modelo: una economıa de intercambio
n agentes aversos al riesgo: ui, i = 1, . . . , n crecientes y concavas
Riesgo:I Ex ante nadie conoce que estado de la naturaleza prevaleceraI El estado de la naturaleza es una v.a. discreta, s, con soporte finitoI La riqueza futura de los agentes dependen del estado de la
naturaleza: xi(s) 6= xi(s′)I Para cada estado s la riqueza futura total de la economıa es:
X(s) = ∑ni=1 xi(s)
El reparto de riesgos determina la riqueza final de cada agenteen cada estado: yi(s), i = 1, . . . , n, s en el soporte de s
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 77 / 111
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Definiciones
Reparto posible de riesgosUn reparto de riesgos es posible si
ningun agente finaliza con una riqueza final negativa: yi(s) ≥ 0
la riqueza final de todos los agentes es igual a la riqueza total enla economıa: ∑n
i=1 yi(s) = X(s) para todo s en el soporte de s
Reparto eficiente de riesgosUn reparto de riesgos es eficiente si
es posible
no existe otro reparto de riesgos que incremente la utilidadesperada de un agente sin reducir la de los restantes agentes
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 78 / 111
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Caracterizacion de un reparto eficiente de riesgos
maxy1(.),...,yn(.) ∑ni=1 Eui[yi (s)] sujeto a ∑n
i=1 yi(s) = X(s) para todos en el soporte de s
maxy1(.),...,yn(.) E [∑ni=1 ui[yi (s)]] sujeto a ∑n
i=1 yi(s) = X(s) paratodo s en el soporte de s
La solucion a este programa puede ser obtenida resolviendo lasecuencia de soluciones para cada uno de los estados:
maxy1(s),...,yn(s)
n
∑i=1
ui[yi(s)] sujeto an
∑i=1
yi(s) = X(s)
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Caracterizacion de un reparto eficiente de riesgos
(cont.)
maxy1(s),...,yn(s) ∑ni=1 ui[yi(s)] sujeto a ∑n
i=1 yi(s) = X(s)
Ł = u1[y1(s)] + · · ·+ un[yn(s)]− µ(s) [y1(s) + · · ·+ yn(s)−X(s)]
CPO
u′i [yi(s)] = µ(s) para todo i = 1, . . . , n y para todos los estados s
La condicion de Borch (1962) para un reparto eficienteLas tasas marginales de sustitucion entre dos estados s y s′
cualesquiera tienen que ser iguales para dos agentes i y jcualesquiera:
u′i [yi(s)]u′i [yi(s′)]
=u′j [yj(s)]
u′j [yj(s′)]
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El Principio de Mutualidad
Note que
Si X(s) = X(s′), entonces yi(s) = yi(s′) para todo i = 1, . . . , n
yi(s) no depende de xi(s), pero si de X(s)
El Principio de MutualidadUn reparto Pareto eficiente de riesgos tiene la particularidad de queen cada estado la riqueza final de cualquier agente, yi(s), solamentedepende de la riqueza total en la economıa, X(s), y no de la riquezaindividual de cada agente
Esto implica que un reparto eficiente puede ser implementado por unplanificador social cuando todos los agentes, en todos los estados,aportan su riqueza xi(s) a un fondo mutuo X(s)
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Reparto eficiente de riesgo no diversificable
CPO: u′i [yi(s)] = µ(s) = u′j [yj(s)]
Principio de Mutualidad (normalizacion): yi(s) = yi(X(s))
Entonces: u′i [yi(X(s))] = u′j [yj(X(s))]
Diferenciando respecto a X(s):u′′i [yi(X(s))]y′i(X(s)) = u′′j [yj(X(s))]y′j(X(s))
Entonces: u′′i [yi(X(s))]u′i [yi(X(s))] y′i(X(s)) =
u′′j [yj(X(s))]u′j [yj(X(s))] y′j(X(s))
Aversion al riesgo y reparto eficienteUn reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que losagentes relativamente mas aversos al riesgo asuman relativamentemenos riesgo (menos variacion en su riqueza final)
Aiy′i(X(s)) = Ajy′j(X(s))
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Reparto eficiente de riesgo no diversificable (cont.)
Aiy′i(X(s)) = Ajy′j(X(s))
∑ni=1 yi(X(s)) = X(s)
Entonces: ∑ni=1 y′i(X(s)) = 1
Y, por tanto: 1 =Ajy′j(X(s))
∑i Ai
El riesgo debe ser repartido en proporcion a la toleranciaUn reparto eficiente de riesgo no diversificable implica que el riesgodebe ser repartido en forma proporcional a la tolerancia la riesgo delos agentes
y′j(X(s)) =Tj
∑i Ti
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VIII. Informacionasimetrica y la oferta de
seguros
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Seleccion adversa: elementos del modelo
La riqueza final de un agente es x = w + z
z tiene soporte en {−L, 0}
Agentes identicos excepto en su probabilidad de perdida:
0 < pG < pB < 1
La probabilidad de perdida es informacion privada de cadaagente
La proporcion de agentes malos es 0 < α < 1
Las primas son actuarialmente justas, λ = 0
Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo
El mercado esta en un equilibrio de largo plazo, los beneficiosson nulos
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 85 / 111
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Seleccion adversa: informacion perfecta, seguro total
Informacion perfecta +prima justa = seguro total(Mossin)
Primas: PB = pBL yPG = pGL
Informacion imperfecta:todos pretenderan serbuenos
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 86 / 111
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Contratos de seguro en equilibrio
Definicion: Rothschild y Stiglitz (1976)Un conjunto de contratos de seguro esta en equilibrio si
todos los contratos (prima P, co-seguro β) ofrecen un beneficioesperado de cero para el asegurador
no existe otro contrato que pueda ser agregado tal que ofrezca unbeneficio esperado positivo
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 87 / 111
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Contratos pooling no son de equilibrio
Un equilibrio de Rothschildy Stiglitz bajo seleccionadversa no puede contenerun contrato pooling
Buenos aseguradosprefieren un deduciblemayor al contrato pooling
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 88 / 111
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Contratos separadores
Cada contrato obtiene unbeneficio esperado igual acero
Malos asegurados obtienenseguro total, βB = 1, a unprecio justo, PB = pBL
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 89 / 111
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Contratos separadores (cont.)
Cada contrato obtiene unbeneficio esperado igual acero
El contrato para los buenosasegurados no tiene que serelegido por los malos(compatibilidad deincentivos o auto-seleccion)
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Contratos separadores pueden no existir
Si la proporcion de malosasegurados es baja, α espequeno
Un contrato pooling, C′,domina al contratoseparador
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Contratos de seguro en equilibrio
Si la proporcion de malos asegurados es suficientemente grande (αsuficientemente cercano a 1), entonces un equilibrio de Rothschild yStiglitz consiste en contratos separadores donde los malos aseguradosreciben seguro total a una prima justa (βB = 1, PB = pBL), y losbuenos asegurados reciben un seguro parcial a una prima justa(βG < 1, PG = pGβGL).
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Riesgo moral: elementos del modelo
La riqueza final de un agente es x = w + z
z tiene soporte en {−L, 0}
Agentes identicos
La probabilidad de perdida depende del esfuerzo del asegurado:
0 < pE = pN − e < pN < 1
Esfuerzo cuesta c unidades de utilidad
Las primas son actuarialmente justas, λ = 0
Aseguradores pueden diversificar riesgos, son neutrales al riesgo
El mercado esta en un equilibrio de largo plazo, los beneficiosson nulos
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Esfuerzo optimo y curvas de indiferencia
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Riesgo moral y contratos de seguros
Cada contrato obtienen unbeneficio esperado igual a cero
Riesgo moral y prima no lineal:
P(β) =
{βpEL si β ≤ βD
βpNL si β > βD
En equilibrio, N o D son ofrecidos
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IX. Riesgo e informacion
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El valor de la informacion privada
La riqueza final de Sempronius x : (4000, 12 ; 12000, 1
2 )
Seguro total a 4400 (λ = 10 %)
Con seguro: Eu(.) =√
12000− 4400 = 87178
p0 es la creencia de exito de Sempronius sin acceso a informacion
Sin seguro:Eu(.) = p0
√12000 + (1− p0)
√4000 = 46299p0 + 63246
V(p0) = max{87178; 46299p0 + 63246}
Si p0 < 0,517 Sempronius comprara seguro
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El valor de la informacion privada (cont.)
Asuma que p0 = 0,5, entonces compra seguro y V(p0) = 87178
Informacion: con probabilidad q = 0,5 recibe una buena senal,e.g. no hay piratas (pG = 0,75), y con probabilidad 1− q = 0,5recibe una mala senal (pB = 0,25)
Buena senal: V(pG) = 46299× 0,75 + 63246 = 97970
Mala senal: V(pB) = 87178
Ex ante: VI = qV(pG) + (1− q)V(pB) = 92574 > 87178 = V(p0)
Acceso a informacion privada es valioso porque permite un mejormanejo de riesgos
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El efecto Hirshleifer
Asuma que existe un mercado de seguros tal que todo riesgo zpuede ser asegurado a una prima justa (λ = 0)
En el primer optimo todos los agentes adquieren un seguro totala la prima justa
Asuma ahora que se introduce una tecnologıa que hace publica lainformacion sobre quien sufrira una perdida y su tamano
Ya no habra nada que asegurar; los aseguradores no puedenasegurar riesgos realizados
Ex ante, el acceso publico a informacion destruye la posibilidad deasegurarse a una prima justa y, por tanto, todos (asegurados yaseguradores) estaran peor que sin acceso a la informacion
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X. Prevencion optima
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Prevencion o auto-proteccion
En muchos casos es posible alterar la distribucion de riesgosI control de perdidasI prevencionI auto-proteccion
Un seguro altera el financiamiento de la materializacion de losriesgos
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Prevencion optima bajo neutralidad al riesgo
Considere un agente neutral al riesgo
Enfrenta una perdida L con probabilidad p
Puede realizar una inversion e para prevenir el riesgo: p es unafuncion de e, p(e), con p′ < 0 y p′′ ≥ 0
El nivel de prevencion optima, e∗, es tal que
e∗ ∈ arg mıne≥0
e + p(e)L
La condicion de primer orden es necesaria y suficiente
−p′(e∗)L = 1
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Prevencion optima bajo aversion al riesgo
A priori podrıa pensarse que un individuo averso al riesgopreferira un nivel de prevencion superior a e∗
Mayor prevencion hace los mejores estados mas probables
Mayor prevencion reduce la riqueza final en todos los estados dela naturaleza
Entonces, un agente averso al riesgo puede encontrar lareduccion de la riqueza en los peores estados demasiado costosa(en terminos de utilidad) con relacion a la reduccion en laprobabilidad de estos estados
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XI. Irreversibilidad yprecaucion
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Irreversibilidad y precaucion
Algunas decisiones implican acciones irreversiblesI Por ejemplo, la obra civil para instalar una planta fabril
Precaucion: diferir la decision a la espera de mejores condicioneso nueva informacion
I Por ejemplo, diferir la instalacion de la planta
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Ejemplo: ¿cuando invertir?
t = 0 t = 1 t = 2
200250
312,5
187,5150
112,5
Figura: VAN en los diferentes estados de la naturaleza
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Ejemplo: ¿cuando invertir? (cont.)
t = 0 t = 1 t = 2
2070
132,5
7,50
0
Figura: No siendo precavido
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 107 / 111
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Ejemplo: ¿cuando invertir? (cont.)
t = 0 t = 1
46,578,6
4,3
Figura: Siendo precavido
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 108 / 111
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Ejemplo: ¿cuando invertir? (fin)
t = 0 t = 1 t = 2
EsperarEsperar
Invertir
InvertirEsperar
No Invertir
Figura: ¿Cuando Invertir?
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Ejercicio: ¿cuando abandonar?
t = 0 t = 1 t = 2
553679
832
553451
368
Figura: VAN en los diferentes estados de la naturaleza
Ponce (dECON) Economıa del riesgo Montevideo, 2011 110 / 111
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XII. Topicos avanzados
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