ECUACIÓN CUADRÁTICA

La ecuación de segundo grado con una incógnita se denomina también ecuación cuadrática. En ella la incógnita figura en algún término elevada al cuadrado:

3x2 – 7 = 2x + 5

Su forma canónica es:

ax2 + bx + c = 0

Siendo “a ≠ 0” y “c” el término independiente.

 

Resolución

Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita hay que operar con ella para escribirla en su forma canónica:

Para ello vamos a utilizar un ejemplo:

3x2 – 5 + 3x = 2x + 2 - x2

 

a) Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda. Recordemos que al pasar un término de un miembro a otro de la ecuación cambia su signo:

3x2 – 5 + 3x - 2x - 2 + x2 = 0

 

b) Simplificamos y ordenamos lo términos de mayor a menor grado:

4x2 + x -7 = 0

Atención: si el coeficiente de x2 fuera negativo se multiplican los 2 miembros por -1 para convertirlo en positivo.

 

c) Se despeja la incógnita:

1ª solución:

2ª solución:

Aplicando esto al ejemplo anterior tendríamos:

1ª solución:

 

2ª solución:

 

d) Una vez calculadas las soluciones es importante verificar en la ecuación si hacen cumplir la igualdad. Esto nos permitirá detectar errores:

3x2 – 5 + 3x = 2x + 2 - x2

 

1ª solución: x1 = 1,2038

3*(1,2038)2 – 5 + 3*(1,2038) = 2*(1,2038) + 2 - (1,2038)2

2,96 = 2,96

 

2ª solución: x1 = -1,4538

3*(-1,4538)2 – 5 + 3*(-1,4538) = 2*(-1,4538) + 2 - (-1,4538)2

-3,02 = -3,02

 

 

Número de soluciones

En las ecuaciones de segundo grado con una incógnita puede haber:

2 soluciones: existen x1 y x2

1 solución: existen x1 y x2 pero son iguales

Ninguna solución: no se pueden calcular x1 y x2

 

Analizando el radicando podemos saber el número de soluciones:

a) si entonces el radicando es positivo y se puede resolver. En este supuesto la ecuación tiene 2 soluciones.

 

b) si entonces el radicando es cero por lo que también es cero. En este supuesto la ecuación tiene 1 solución.

 

c) si entonces el radicando es negativo y no se puede resolver en el conjunto de los números reales R . En este supuesto la ecuación no tiene solución.

Veamos algunos ejemplos:

1er ejemplo

7x2 + 3x + 3 = 3x2 + 5

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:

7x2 + 3x + 3 - 3x2 – 5 = 0

Simplificamos:

4x2 + 3x - 2 = 0

Podemos calcular el número de soluciones que tiene esta ecuación:

Comparamos y 4ac

 

Luego por lo que esta ecuación tiene 2 soluciones.

Calculamos:

1ª solución: x1=

2ª solución: x2=

Podemos verificar como estas soluciones hacen cumplir la igualdad en la ecuación.

 

 

2º ejemplo

2x2 + 2 = - 4x

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:

2x2 + 2 + 4x = 0

Ordenamos los términos:

2x2 + 4x + 2 = 0

Comparamos y 4ac

Luego por lo que esta ecuación tiene solo 1 solución.

Calculamos:

1ª solución: x1 =

2ª solución: x2 =

Vemos que las dos soluciones son idénticas.

Podemos verificar como estas soluciones hacen cumplir la igualdad en la ecuación.

 

 

3er ejemplo

7x2 - 2x + 5 = 2x2 - 5x + 2

Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda:

7x2 - 2x + 5 - 2x2 + 5x - 2 = 0

Simplificamos:

5x2 + 3x + 3 = 0

Comparamos y 4ac

4ac = 4 * 5 * 3 = 60

Luego por lo que esta ecuación no tiene solución.

Vamos a comprobarlo:

1ª solución: x1 =

2ª solución: x2 =

En ambos casos no tiene solución por lo que no se pueden resolver estas operaciones.