7/26/2019 Ecuacin de Diferencias

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UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

POSTGRADO EN AUTOMATIZACION Y CONTROL

CONTROL DIGITAL

Presentado por: JUAN ELISEO ESTUPIAN GUTIERREZ

TAREA 2: Ecuacin de Diferencias

1. El comportamiento de un sistema se representa en forma aproximada mediante lasiguiente ecuacin de diferencias:

donde es la seal de salida y es la seal de entrada.

Si para :

a. Encuentre el modelo del sistema utilizando la transformada Z y dibuje la respuesta

del sistema a entrada impulso unitario empleando simulink. Cul es el valor de ?

Se Evala en k=-2 para y(0)

Se Evala en k=-1 para y(1)

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*El Teorema del valor final se aplica para sistemas estables donde existe y(). En este

caso el sistema es inestable y no corresponde.

SIMULINK

b. Resuelva la ecuacin de diferencias empleando la estructura for en matlab

y dibuje la respuesta del sistema a entrada impulso unitario empleando elcomando stem de matlab. Existe alguna diferencia con la respuesta halladaen el tem anterior?

ScopeDiscrete

Impulse

1

z +12

Discrete

Transfer Fcn

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MATLAB

muest r as=50; k=0: muest r as- 1; yk_2=0yk_1=0f or i =1: muest r as

xk_2=0; i f i ==3;

xk_2=1; endyk( i ) =xk_2- yk_2; yk_2=yk_1; yk_1=yk( i ) ;

endst em( k, yk, ' *' )

*La diferencia con el ejercicio anterior radica en que para el primer caso se mantiene el valor de

k hasta la siguiente iteracin y en segundo caso solo muestra un impulso en cada k.

2.Un sistema elctrico est formado por un circuito RLC serie alimentado por una

fuente de voltaje .

a. Hallar la ecuacin integro-diferencial que relacione el voltaje de alimentacin

y el voltaje en el condensador .

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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Se reemplaza

b. Si las condiciones iniciales son cero, y a partir de la ecuacin integrodiferencialanterior, encuentre la funcin de transferencia del sistema asumiendo el voltaje de

alimentacin como seal de entrada y el voltaje en el condensador comoseal de salida.

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c. Si C=1000F y L=1H, hallar el mnimo valor de R para que el sistema tenga unarespuesta subamortiguada. Tome uno de estos valores para R y verifique la respuestaempleando simulink cuando el voltaje de alimentacin es 10V. Mida el sobreimpulso y

el tiempo de establecimiento del sistema. Del tiempo del establecimiento se puede

inferir la constante de tiempo como :

Para obtener una respuesta subamortiguada se necesita que

Si se tiene un

Para el sistema es subamortiguado

Si R=32 entonces

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SIMULINK

d. Empleando el mtodo de discretizacin de diferencia atrs, encuentre un modeloaproximado discreto del sistema con los valores de R, C y L utlizados en el numeralanterior. El periodo se muestreo se obtiene a partir del valor de la constante de tiempohallada. Cul es la ecuacin de diferencias resultante?

1000

s +32s+10002

Transfer FcnStep Scope

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Entonces

Se selecciona un valor T=0.0035

Se determina el valor de las constantes

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e. Resuelva la ecuacin de diferencias empleando la transformada Z y grafique la

respuesta del sistema empleando simulink cuando . Compare lasrespuestas obtenidas para el sistema continuo y para el sistema discreto aproximado.y saque sus propias conclusiones.

A la entrada se le aplica un voltaje de 10 ms una seal escaln expresada en su transformada Z

Se utiliza el mtodo de los residuos para realizar la transformada z de la ecuacin anterior.

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En simulink

*Grficamente la respuesta del sistema viene siendo la misma, esto nos quiere decir que el

mtodo de discretizacin de diferencia atrs resulta siendo muy aproximado a su respuesta en

tiempo continuo.

Step Scope

1000z2

9.1776e+004z -1.7241e+005z+8.1633e+0042

Discrete

Transfer Fcn