ecuacion de la recta

Ecuacion de la recta.

Def in imos una recta r como e l conjunto de los puntos de l p lano,

a l ineados con un punto P y con una d i recc ión dada .

S i P (x 1 , y 1 ) es un punto de l a rec ta r , e l vec to r t i ene i gua l d i recc ión

que , l uego es i gua l a mu l t i p l i cado po r un esca la r :

Una rec ta pasa po r e l pun to A ( -1 , 3 ) y t i ene un vec to r d i rec to r = (2 ,5 ) . Esc r ib i r su ecuac ión vec to r i a l .

A pa r t i r de l a ecuac ión vec to r i a l :

Rea l i zando l as operac iones i nd i cadas se ob t i ene :

La i gua ldad de vec to res se desdob la en l as dos i gua ldades esca la res :

Una rec ta pasa po r e l pun to A ( -1 , 3 ) y t i ene un vec to r d i rec to r = (2 ,5 ) . Esc r ib i r sus ecuac iones pa ramét r i cas .

S i de l as ecuac iones pa ramét r i cas despe jamos e l pa rámet ro k .

Y s i i gua lamos , queda :

Una rec ta pasa po r e l pun to A ( -1 , 3 ) y t i ene un vec to r d i rec to r = (2 ,5 ) . Esc r ib i r su ecuac ión con t inua .

Pendiente

La pendiente de una recta es la tangente de l ángulo que forma la recta con la d i recc ión pos i t iva de l e je OX.

Pendiente dado e l ángulo

Pendiente dado e l vector d i rector de la recta

Pendiente dados dos puntos

S i e l ángulo que fo rma l a rec ta con l a pa r te pos i t i va de l e je OX es

agudo , l a pendiente e s pos i t iva y c rece a l c rece r e l ángu lo .

S i e l ángulo que fo rma l a rec ta con l a pa r te pos i t i va de l e je OX es

obtuso , l a pendiente e s negat iva y dec rece a l c rece r e l ángu lo .

Ecuación punto-pendiente

Par t i endo de l a ecuac ión con t inua l a rec ta

Y qu i tando denominadores :

Y despe jando :

Como

Se ob t i ene :

Una rec ta pasa po r e l pun to A ( -1 , 3 ) y t i ene un vec to r d i rec to r = (2 ,5 ) . Esc r ib i r su ecuac ión punto pend ien te .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a rec ta que pasan po r l os puntos A ( -2 , -3 ) y B (4 ,2 ) .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a rec ta que pasan po r A ( -2 , -3 ) y tenga una inc l i nac ión de 45° .

Pa r t i endo de l a ecuac ión con t inua l a rec ta

Y qu i tando denominadores se ob t i ene :

Traspon iendo té rminos :

Hac iendo

Se ob t i ene

Es ta expres ión rec ibe e l nombre de ecuac ión genera l o impl ic i ta de la recta . De es ta fo rma se acos tumbra a da r l a respues ta cuando

se p ide l a ecuac ión de una rec ta .

Las componentes de l vector d i rector son:

La pendiente de la recta es :

Ha l l a r l a ecuac ión de l a que pasa po r A (1 ,5 ) y t i ene como vec to r d i rec to r i gua l ( -2 , 1 ) .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a que pasa po r A (1 ,5 ) y t i ene como pend ien te m = -2 .

S i en l a ecuac ión genera l de la recta:

despe jamos y , se ob t i ene l a ecuac ión expl íc i ta de la recta :

El coef ic iente de la x es la pendiente, m.

E l término independiente, b , se l lama ordenada en e l or igen de una recta , s iendo (O, b) e l punto de corte con e l e je OY

Ha l l a r l a ecuac ión en fo rma exp l í c i t a de l a rec ta que pasa po r A (1 ,5 ) y t i ene como pend ien te m=-2 .

Sean l os puntos A (x 1 , y 1 ) y B (x 2 , y 2 ) que de te rmina una rec ta r . Un vec to r

d i rec to r de l a rec ta es :

cuyas componentes son :

Sus t i tuyendo es tos va lo res en l a f o rma con t inua .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a rec ta que pasa po r A (1 ,3 ) y B (2 , -5 )

Rectas paralelas al eje OX

Una recta para le la a l e je OX y de ordenada en e l or igen b se expresa

mediante la ecuac ión : y = b

Rectas paralelas al eje OY

Una recta para le la a l e je OY y que corta a l e je OX en e l

punto (a , O) se expresa mediante la ecuac ión: x = a

Ejes de coordenadas

Los puntos que pe r tenecen a l e j e OX t i enen

como ca rac te r í s t i ca que su segunda coordenada es 0 ,

l a ecuac ión de l e je OX es y = 0 .

Los puntos que pe r tenecen a l e j e OY t i enen

como ca rac te r í s t i ca que su p r imera coo rdenada es

0 , l a ecuac ión de l e je OY es x = O .

Se l l ama ángu lo de dos rec tas a l menor de l os ángu los que fo rman és tas . Se

pueden ob tener a pa r t i r de :

1 Sus vec to res d i rec to res

2 Sus pend ien tes

Ca lcu la r e l ángu lo que fo rman l as rec tas r y s , sab iendo que sus vec to res d i rec to res son : = ( -2 , 1 ) y =(2 , -3 ) .

Las rec tas r y s se co r tan en un punto A , que es vé r t i ce de un t r i ángu lo ob tusángu lo en A . De te rmina e l ángu lo A de ese

t r i ángu lo .

Rectas paralelas

Dos rectas son para le las s i t ienen e l mismo vector d i rector o la misma

pendiente.

Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendicu lares t ienen sus pendientes

inversas y cambiadas de s igno.

Dos rectas son perpendicu lares s i sus vectores d i rectores

son perpendicu lares .

Ha l l a r una rec ta pa ra le la y o t ra pe rpend i cu la r a r ≡ x + 2 y + 3 = 0 , que pasen po r e l pun to A (3 ,5 ) .

Ca lcu la k pa ra que l as rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0 , sean para le las y perpendicu lares .

Un punto P (p 1 , p 2 ) pe r tenece a una rec ta de ecuac ión Ax + By + C = 0 , cuando l as coo rdenadas de l pun to sa t i s facen l a i gua ldad :

Ap 1 + Bp 2 + C = 0

Cuando un punto P pe r tenece a una rec ta r se d i ce que r inc ide en P o que r pasa por P .

Ana l i za s i l o s puntos A (3 , 5 ) y B (0 , 1 ) pe r tenecen o no a l a rec ta r ≡ x + 2 y - 13 = 0 .

3 + 2 · 5 - 13 = 0 A r

0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0 B r

Cuando dos en rec tas r y s t i enen un punto común , se d i ce que t i enen un punto de intersecc ión .

Pa ra ha l l a r l a s coo rdenadas de l pun to de i n te r secc ión de dos rec tas , se resue lve e l s i s tema fo rmado por l a s dos ecuac iones de l as

rec tas .

¿Ha l l a r e l pun to de i n te r secc ión de l as rec tas de ecuac iones r ≡ 2 x - y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0 .

Dadas dos rec tas , Ax + By + C = 0 , A ' x + B 'y + C ' = 0 , pa ra ca l cu la r su pos i c i ón re la t i va tendremos en cuenta que : :

1 S i , las rectas son secantes , se cortan en un punto.

2 S i , las rectas para le las , no se cortan en n ingún punto.

3 S i , las rectas son co inc identes , todos sus puntos son comunes.

Ejemplos

Es tud ia l as pos ic iones re lat ivas de l os s igu ien tes pa res de rectas :

¿Son secantes l as rec tas r ≡ x +y -2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0? En caso a f i rmat i vo ca l cu la r e l pun to de co r te .

Distancia de un punto a una recta

La d istanc ia de un punto a una recta es la longi tud de l segmento perpendicu lar a

la recta , t razada desde e l punto.

Ejemplo

Ca lcu la l a distanc ia de l punto P (2 , - 1 ) a l a recta r de ecuac ión 3 x + 4 y = 0 .

Distancia al or igen de coordenadas

Ejemplo

Ha l l a r l a distanc ia a l or igen de l a recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0 .

Distancia entre rectas

Para ha l lar la d istanc ia entre dos en rectas para le las , se toma un

punto cua lquiera , P , de una de e l las y ca lcu lar su d istanc ia a la otra

recta .

Ejemplo

Ha l l a r l a d i s tanc ia en t re r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0 .

Otra manera de expresa r l a d i s tanc ia en t re dos rec tas es :

Ejemplo

Ha l l a r l a d i s tanc ia en t re l as rec tas :

Mediatr iz de un segmento es e l lugar geométr ico de los puntos de l p lano

que equid istan de los extremos.

Ecuación de la mediatriz

Ha l l a r l a ecuac ión de l a med ia t r i z de l segmento de ex t remos A (2 , 5 ) y B (4 , -7 ) .

Bisectr iz de un ángulo es e l lugar geométr ico de los puntos de l p lano que

equid istan de las rectas que forman e l ángulo .

Ecuaciones de las bisectrices

Ha l l a r l a s ecuac iones de l as b i sec t r i ces de l os ángu los que de te rminan l as rec tas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y +

1 = 0 .

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Pendiente

Pendiente dado e l ángulo

Pendiente dado e l vector d i rector de la recta

Pendiente dados dos puntos

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación general de la recta

Ecuación expl íc ita de la recta

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Rectas paralelas al eje OX

Rectas paralelas al eje OY

Rectas paralelas

Dos rectas son para le las s i t ienen e l mismo vector d i rector o la misma pendiente.

Rectas perpendiculares

E l vec to r v= (A , B ) es pe rpend i cu la r a l a rec ta r≡ A x .g i f+ b y+ C = 0 .

Si dos o rectas son perpendicu lares t ienen sus pendientes inversas y cambiadas de s igno.

Posic iones relat ivas de dos rectas

1 S i , las rectas son secantes , se cortan en un punto.

2 S i , las rectas para le las , no se cortan en n ingún punto.

3 S i , las rectas son co inc identes , todos sus puntos son comunes.

Ángulo que forman dos rectas

Se l l ama ángu lo de dos rec tas a l menor de l os ángu los que fo rman és tas . Se pueden ob tener a pa r t i r de :

1 Sus vec to res d i rec to res

2 Sus pend ien tes

Distancia de un punto a una recta

Distancia entre rectas

Para ha l lar la d istanc ia entre dos en rectas para le las , se toma un punto cua lquiera , P , de una de e l las y ca lcu lar su

d istanc ia a la otra recta .

Ecuación de la mediatr iz

Ecuaciones de las bisectr ices

Ecuaciones de la recta. Ejercicios

1Esc r ibe de todas l as f o rmas pos ib les l a ecuac ión de l a rec ta que pasa po r l os puntos A (1 ,2 ) y B ( -2 ,5 ) .

2De un pa ra le log ramo ABCD conocemos A (1 , 3 ) , B (5 , 1 ) , C ( -2 , 0 ) . Ha l l a l a s coo rdenadas de l vé r t i ce D .

3C las i f i ca r e l t r i ángu lo de te rminado po r l os puntos : A (6 , 0 ) , B (3 ,0 ) y C (6 , 3 ) .

4Ha l l a r l a pend ien te y l a o rdenada en e l o r i gen de l a rec ta 3x + 2y - 7 = 0 .

5Es tud ia r l a pos i c i ón re la t i va de l as rec tas de ecuac iones :

1 2x + 3y - 4 =0

2 x - 2y + 1= 0

3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

6 Ha l l a r l a ecuac ión de l a rec ta r , que pasa po r A (1 ,5 ) , y es pa ra le la a l a rec ta s ≡ 2x + y + 2 = 0 .

7 Se t i ene e l cuadr i l á te ro ABCD cuyos vé r t i ces son A (3 , 0 ) , B (1 , 4 ) , C ( -3 , 2 ) y D ( -1 , -2 ) . Comprueba que es un pa ra le log ramo y

de te rmina su cen t ro .

8 Ha l l a r l a ecuac ión de l a rec ta que pasa po r e l pun to (2 , -3 ) y es pa ra le la a l a rec ta que une l os puntos (4 , 1 ) ) y ( -2 , 2 ) .

9 Los puntos A ( -1 , 3 ) y B (3 , -3 ) , son vé r t i ces de un t r i ángu lo i sósce les ABC que t i ene su vé r t i ce C en l a rec ta 2 x - 4 y + 3 = 0 s i endo

AC y BC l os l ados i gua les . Ca l cu la r l a s coo rdenadas de l vé r t i ce C .

10 La rec ta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa po r e l pun to A (3 ,2 ) y es pa ra le la a l a rec ta s ≡ mx + 2y -13 = 0 . Ca l cu la m y n .

11Dado e l t r i ángu lo ABC , de coo rdenadas A (0 , 0 ) , B (4 , 0 ) y C (4 , 4 ) ; ca l cu la l a ecuac ión de l a med iana que pasa po r e l vé r t i ce C .

12De un pa ra le log ramo se conoce un vé r t i ce , A (8 , 0 ) , y e l pun to de co r te de l as dos d iagona les , Q (6 , 2 ) . Tamb ién sabemos que o t ro

vé r t i ce se encuent ra en e l o r i gen de coordenadas . Ca l cu la r :

1 Los o t ros vé r t i ces .

2 Las ecuac iones de l as d iagona les .

3 La l ong i tud de l as d iagona les .

Ecuaciones de la recta. Ejercicios

1Ha l l a e l pun to s imét r i co A ' , de l pun to A (3 , 2 ) , respec to de l a rec ta r ≡ 2x + y - 12 = 0 .

2C las i f i ca r e l t r i ángu lo de te rminado po r l os puntos : A (4 , -3 ) , B (3 , 0 ) y C (0 , 1 ) .

3Ca lcu la r l a ecuac ión de l a rec ta pe rpend i cu la r a r ≡ 8x - y - 1 = 0 y pasa po r e l pun to P ( -3 , 2 ) .

4 Una rec ta de ecuac ión r ≡ x + 2y - 9 = 0 es med ia t r i z de un segmento AB cuyo ex t remo A t i ene po r coo rdenadas (2 ,1 ) . Ha l l a r l a s

coo rdenadas de l o t ro ex t remo.

5 Ha l l a r e l ángu lo que fo rman l as rec tas que t i enen po r ecuac iones :

1

2

6 Ha l l a r e l ángu lo que fo rman l as rec tas que t i enen po r ecuac iones :

1

2

7 Una rec ta es pa ra le la a l a que t i ene po r ecuac ión r ≡ 5x + 8y - 12 = 0 , y d i s ta 6 un idades de l o r i gen . ¿Cuá l es su ecuac ión?

8Ca lcu la r l a s b i sec t r i ces de l os ángu los de te rminados po r l a rec tas :

9Se t i ene e l pa ra le log ramo ABCD cuyos vé r t i ces son A (3 , 0 ) , B (1 , 4 ) , C ( -3 , 2 ) y D ( -1 , -2 ) . Ca l cu la r su á rea .

10Dadas l as rec tas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2 x + m y -8 = 0 , de te rminar m para que fo rmen un ángu lo de 45° .

11Dado e l t r i ángu lo A ( -1 , -1 ) , B (7 , 5 ) , C (2 , 7 ) ; ca l cu la r l a s ecuac iones de l as a l tu ras y de te rminar e l o r tocent ro de l t r i ángu lo .

12Una rec ta es pe rpend i cu la r a l a que t i ene po r ecuac ión r ≡ 5x - 7y + 12 = 0 y d i s ta 4 un idades de l o r i gen . ¿Cuá l es su ecuac ión?

Conicas

Una superf ic ie cónica de revo luc ión es tá engendrada po r l a ro tac ión de una rec ta a l rededor de o t ra

rec ta f i j a , l l amada eje , a l a que co r ta de modo ob l i cuo .

La generatr iz e s una cua lqu ie ra de l as rec tas ob l i cuas .

E l vért ice e s e l pun to cen t ra l donde se co r tan l as genera t r i ces .

Las hojas son l as dos pa r tes en l as que e l vé r t i ce d i v ide a l a super f i c i e cón i ca de

revo luc ión .

Se denomina secc ión cónica a l a cu rva i n te r secc ión de un cono con un p lano que no

pasa po r su vé r t i ce . En func ión de l a re lac ión ex i s ten te en t re e l ángulo de conic idad (α) y l a

inc l inac ión de l p lano respecto de l e je de l cono (β) , pueden ob tenerse d i fe ren tes

secc iones cón i cas .

Elipse

http://www.vitutor.com/geo/coni/g_1.html

La el ipse e s l a secc ión p roduc ida en una super f i c i e cón i ca de revo luc ión po r un p lano

ob l i cuo a l e j e , que no sea pa ra le lo a l a genera t r i z y que fo rme con e l m i smo un ángu lo

mayor que e l que fo rman e je y genera t r i z .

α < β <90º

La el ipse e s una cu rva ce r rada .

Circunferencia

http://www.vitutor.com/geo/coni/f_2.html

La c i rcunferenc ia e s l a secc ión p roduc ida po r un p lano pe rpend i cu la r a l e j e .

β = 90º

La c i rcunferenc ia e s un caso pa r t i cu la r de e l i pse .

Parábola

http://www.vitutor.com/geo/coni/i_1.html

La parábola e s l a secc ión p roduc ida en una super f i c i e cón i ca de

revo luc ión po r un p lano ob l i cuo a l e j e , s i endo pa ra le lo a l a genera t r i z .

α = β

La parábola e s una cu rva ab ie r ta que se p ro longa has ta e l

i n f i n i to .

Hipérbola

http://www.vitutor.com/geo/coni/h_1.html

La hipérbola e s l a secc ión p roduc ida en una super f i c i e

cón i ca de revo luc ión po r un p lano ob l i cuo a l e j e , f o rmando con

é l un ángu lo menor a l que fo rman e je y genera t r i z , po r l o que

i nc ide en l as dos ho jas de l a super f i c i e cón i ca .

α > β

La hipérbola e s una cu rva ab ie r ta que se p ro longa

inde f in idamente y cons ta de dos ramas separadas .

Ecuacion de la circunferencia

Se l l ama c i r cun fe renc ia a l lugar geométr ico de los puntos de l p lano que equid istan de un punto f i jo l lamado centro .

E l evando a l cuadrado ob tenemos l a ecuac ión :

S i desa r ro l l amos :

y rea l i zamos es tos camb ios :

Obtenemos o t ra fo rma de esc r ib i r l a ecuac ión :

Donde e l cen t ro es :

y e l rad io cump le l a re lac ión :

Ecuación reducida de la c ircunferencia

S i e l cen t ro de l a c i r cun fe renc ia co inc ide con e l o r i gen de coordenadas l a ecuac ión queda reduc ida a :

Esc r ib i r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia de cen t ro (3 , 4 ) y rad io 2 .

Dada l a c i r cun fe renc ia de ecuac ión x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 , ha l l a r e l cen t ro y e l rad io .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que pasa po r l os puntos A (2 ,0 ) , B (2 ,3 ) , C (1 , 3 ) .

S i sus t i tu imos x e y en l a ecuac ión po r l a s coo rdenadas de l os puntos se ob t i ene e l s i s tema:

Ec. Circunferencia 2

Para que una expres ión de l t i po : sea una c i r cun fe renc ia debe cump l i r que :

1. Los coef ic ientes de x 2 e y 2 sean igua les a la un idad . S i tuv ie ran ambos un m ismo coe f i c i en te d i s t i n to de 1 , podr íamos d iv id i r po r

é l t odos l os té rminos de l a ecuac ión .

2. No tenga término en xy .

3.

I nd i ca r s i l a ecuac ión : 4x 2 + 4y 2 - 4x - 8y - 11 = 0 , co r responde a una c i r cun fe renc ia , y en caso a f i rmat i vo , ca l cu la r e l cen t ro y e l rad io .

1. Como los coe f i c i en tes de x 2 e y 2 son d i s t i n tos a l a un idad , d i v id imos po r 4 :

2. No t i ene té rmino en xy .

3.

Es una c i r cun fe renc ia , ya que se cump len l as t res cond i c i ones .

Interceccion de una canocica y una recta

Para ha l l a r l o s puntos comunes a una cón i ca y una rec ta reso lveremos e l s is tema formado por las ecuac iones de ambas .

En genera l se ob t i ene un ecuac ión de segundo g rado , que tendrá depend iendo de l s i gno de l d i sc r im ínante , , l a s s igu ien tes

so luc iones :

1 S i Δ > 0

Dos so luc iones: la recta y la cónica son secantes .

2 S i Δ = 0

Una so luc ión: la recta y la cónica son tangentes .

3 S i Δ < 0

Ninguna so luc ión: la recta y la cónica son exter iores .

Ca lcu la l a pos i c i ón re la t i va de l a c i r cun fe renc ia y l a rec ta .

Ecuacion de la circunferencia

Se l l ama c i r cun fe renc ia a l lugar geométr ico de los puntos de l p lano que equid istan de un punto f i jo l lamado centro .

Ecuación reducida de la c ircunferencia

S i e l cen t ro de l a c i r cun fe renc ia co inc ide con e l o r i gen de coordenadas l a ecuac ión queda reduc ida a :

Pa ra que una expres ión de l t i po : sea una c i r cun fe renc ia debe cump l i r que :

1. Los coef ic ientes de x 2 e y 2 son igua les a la un idad . S i tuv ie ran ambos un m ismo coe f i c i en te d i s t i n to de 1 , podr íamos d iv id i r po r

é l t odos l os té rminos .

2. No tenga término en xy .

3 .

Intersección de una cónica y una recta

Para ha l l a r l o s puntos comunes a una cón i ca y una rec ta reso lveremos e l s is tema formado por las ecuac iones de ambas .

En genera l se ob t i ene un ecuac ión de segundo g rado , que tendrá depend iendo de l s i gno de l d i sc r im ínante , , l a s s igu ien tes

so luc iones :

1 S i Δ > 0

Dos so luc iones: la recta y la cónica son secantes .

2 S i Δ = 0

Una so luc ión: la recta y la cónica son tangentes .

3 S i Δ < 0 >

Ninguna so luc ión: la recta y la cónica son exter iores .

Ecuación de la circunferencia. Ejercicios

1Dete rmina l as coo rdenadas de l cen t ro y de l rad io de l as c i r cun fe renc ias :

1

2

3

2Ca lcu la l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que t i ene su cen t ro en (2 , -3 ) y es tangente a l e j e de absc i sas .

3Ca lcu la l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que t i ene su cen t ro en ( -1 , 4 ) y es tangente a l e j e de o rdenadas .

4Ca lcu la l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que t i ene su cen t ro en e l pun to de i n te r secc ión de l a rec tas x + 3y + 3 = 0 , x + y + 1 = 0 , y

su rad io es i gua l a 5 .

5 Ha l l a r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia concént r i ca con l a ecuac ión , y que pasa po r e l pun to ( -3 ,4 ) .

6 Ha l l a r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia c i r cunsc r i ta a l t r i ángu lo de vé r t i ces :A (0 , 0 ) , B (3 , 1 ) , C (5 , 7 ) .

7 Los ex t remos de l d iámet ro de una c i r cun fe renc ia son l os puntos A ( -5 ,3 ) y B (3 ,1 ) . ¿Cuá l es l a ecuac ión de es ta c i r cun fe renc ia?

8 Ha l l a r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia concént r i ca a l a c i r cun fe renc ia que sea tangente a l a rec ta 3x - 4y

+ 7 = 0 .

9 E s tud ia r l a pos i c i ón re la t i va de l a c i r cun fe renc ia x 2 + y 2 - 4x + 2y - 20 = 0 con l as rec tas :

1 x + 7y -20 = 0

2 3x + 4y - 27 = 0

3 x + y - 10 = 0

Ecuación de la circunferencia. Ejercicios

1Ha l l a r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que t i ene e l cen t ro en e l pun to C (3 ,1 ) y es tangente a l a rec ta : 3x - 4y + 5 = 0 .

2Ha l l a r l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que pasa po r l os puntos A (2 ,1 ) y B ( -2 ,3 ) y t i ene su cen t ro sobre l a rec ta : x + y + 4 = 0 .

3Ca lcu la l a ecuac ión de l a c i r cun fe renc ia que pasa po r e l pun to (0 , -3 ) , cuyo rad io es y cuyo cen t ro se ha l l a en l a b i sec t r i z de l

p r imer y te rce r cuadran tes .

La elipse

Es e l lugar geométr ico de los puntos de l p lano cuya suma de d istanc ias a dos puntos f i jos l lamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos

Son l os puntos f i j o s F y F ' .

Eje foca l

E s l a rec ta que pasa po r l os f ocos .

Eje secundar io

E s l a med ia t r i z de l segmento FF ' .

Centro

E s e l pun to de i n te r secc ión de l os e jes .

Radios vectores

Son l os segmentos que van desde un punto de l a e l i pse a l os f ocos : PF y PF' .

Distanc ia foca l

E s e l segmento de l ong i tud 2c , c e s e l va lo r de l a semid istanc ia foca l .

Vért ices

Son l os puntos de i n te r secc ión de l a e l i pse con l os e jes : A , A ' , B y B ' .

Eje mayor

E s e l segmento de l ong i tud 2a , a e s e l va lo r de l semie je mayor .

Eje menor

E s e l segmento de l ong i tud 2b , b e s e l va lo r de l semie je menor .

Ejes de s imetr ía

Son l as rec tas que con t ienen a l e j e mayor o a l e j e menor .

Centro de s imetr ía

Co inc ide con e l cen t ro de l a e l i pse , que es e l pun to de i n te r secc ión de l os e jes de s imet r í a .

Relación entre la distancia focal y los semiejes

La excentr ic idad de la e l ips es igua l a l coc iente entre su semid istanc ia foca l y su semie je mayor .

Ec. Reducida

Tomamos como cent ro de l a e l i pse e l cen t ro de coordenadas y l os e jes de l a e l i pse como e jes de coordenadas . Las coo rdenadas de l os

f ocos son :

F ' ( -c ,0) y F(c ,0)

Cua lqu ie r punto de l a e l i pse cump le :

Es ta expres ión da l uga r a :

Rea l i zando l as operac iones l l egamos a :

Ha l l a r l o s e lementos ca rac te r í s t i cos y l a ecuac ión reduc ida de l a e l i pse de focos : F ' ( -3 ,0 ) y F (3 , 0 ) , y su e je mayor m ide 10 .

Semie je mayor

Semid istanc ia foca l

Semie je menor

Ecuac ión reduc ida

Excent r i c idad

Ec. Reducida con focos 0y

S i el e je pr inc ipa l está en e l de ordenadas se ob tendrá l a s igu ien te ecuac ión :

Las coo rdenadas de l os f ocos son :

F ' (0 , -c ) y F(0 , c )

Dada l a ecuac ión reduc ida de l a e l i pse , ha l l a r l a s coo rdenadas de l os vé r t i ces de l os f ocos y l a excent r i c idad .

Ec. De elipse con centros dif. Al origen

S i e l cen t ro de l a e l i pse C(x 0 ,y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OX , l os f ocos t i enen de coordenadas F(x 0 +c, y 0 ) y F ' (x 0 −c, y 0 ) . Y l a

ecuac ión de l a e l i pse se rá :

A l qu i ta r denominadores y desa r ro l l a r se ob t i ene , en genera l , una ecuac ión de l a f o rma :

Donde A y B t ienen e l mismo s igno .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a e l i pse de foco F (7 , 2 ) , de vé r t i ce A (9 , 2 ) y de cen t ro C (4 , 2 ) .

Dada l a e l i pse de ecuac ión , ha l l a r su cen t ro , semie jes , vé r t i ces y f ocos .

S i e l cen t ro de l a e l i pse C(x 0 ,y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OY , l o s f ocos t i enen de coordenadas F(x 0 , y+c) y F ' (x 0 , y 0 −c) . Y l a


A l qu i ta r denominadores y desa r ro l l a r l a s ecuac iones se ob t i ene , en genera l , una ecuac ión de l a f o rma :


Es e l lugar geométr ico de los puntos de l p lano cuya suma de d istanc ias a dos puntos f i jos l lamados focos es constante.

Elementos de la el ipse

Focos


Eje foca l

E s l a rec ta que pasa po r l os f ocos .

Eje secundar io

E s l a med ia t r i z de l segmento FF ' .

Centro

E s e l pun to de i n te r secc ión de l os e jes .

Radios vectores

Son l os segmentos que van desde un punto de l a e l i pse a l os f ocos : PF y PF' .

Distanc ia foca l

E s e l segmento de l ong i tud 2c , c e s e l va lo r de l a semid istanc ia foca l .

Vért ices

Son l os puntos de i n te r secc ión de l a e l i pse con l os e jes : A , A ' , B y B ' .

Eje mayor

E s e l segmento de l ong i tud 2a , a e s e l va lo r de l semie je mayor .

Eje menor

E s e l segmento de l ong i tud 2b , b e s e l va lo r de l semie je menor .

Ejes de s imetr ía

Son l as rec tas que con t ienen a l e j e mayor o a l e j e menor .

Centro de s imetr ía

Co inc ide con e l cen t ro de l a e l i pse , que es e l pun to de i n te r secc ión de l os e jes de s imet r í a .

Relac ión entre la d istanc ia foca l y los semie jes

Excentr ic idad

Es un número que mide en mayor o menor achatamiento de la e l ipse. Y es igua l a l coc iente entre su semid istanc ia foca l y su

semie je mayor .

Ecuación reducida de la el ipse

S i el e je pr inc ipa l está en e l de absc isas se ob tendrá l a s igu ien te ecuac ión :


F'( -c ,0) y F(c ,0)

El ipse con los focos en el eje OY

S i el e je pr inc ipa l está en e l de ordenadas se ob tendrá l a s igu ien te ecuac ión :


F'(0, -c) y F(o, c)

El ipse con eje paralelos a OX y centro dist into al or igen

S i e l cen t ro de l a e l i pse C(x 0 ,y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OX , l os f ocos t i enen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F ' (X 0 -c , y 0 ) . Y l a




El ipse con eje paralelo a OY y centro dist into al or igen

S i e l cen t ro de l a e l i pse C(x 0 ,y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OY , l o s f ocos t i enen de coordenadas F(X 0 , y+c) y F ' (X 0 , y 0 -c) . Y l a




Ecuación de la elipse. Ejercicios

1Representa g rá f i camente y de te rmina l as coo rdenadas de l os f ocos , de l os vé r t i ces y l a excent r i c idad de l as s igu ien tes e l i pses .

1

2

3

4

2Representa g rá f i camente y de te rmina l as coo rdenadas de l os f ocos , de l os vé r t i ces y l a excent r i c idad de l as s igu ien tes e l i pses .

1

2

3

4

3Ha l l a l a ecuac ión de l a e l i pse conoc iendo :

1

2

3

4

4Esc r ibe l a ecuac ión reduc ida de l a e l i pse que pasa po r e l pun to (2 , 1 ) y cuyo e je menor m ide 4 .

5 La d i s tanc ia foca l de una e l i pse es 4 . Un punto de l a e l i pse d i s ta de sus focos 2 y 6 , respec t i vamente . Ca l cu la r l a ecuac ión reduc ida

de d i cha e l i pse .

6 E sc r ibe l a ecuac ión reduc ida de l a e l i pse que pasa po r l os puntos : .

7Ha l l a r l a s coo rdenadas de l pun to med io de l a cue rda que in te rcep ta l a rec ta : x + 2y - 1 = 0 en l a e l i pse de ecuac ión : x 2 + 2y 2 = 3 .

8 De te rmina l a ecuac ión reduc ida de un e l i pse cuya d i s tanc ia foca l es y e l á rea de l rec tángu lo cons t ru idos sobre l os e jes 80 u 2 .

Ecuación de la elipse. Examen

1Ha l l a r l a ecuac ión de l uga r geomét r i co de l os puntos P (x . y ) cuya suma de d i s tanc ias a l os puntos f i j o s (4 , 2 ) y ( -2 , 2 ) sea i gua l a 8 .

2Dete rmina l a ecuac ión reduc ida de una e l i pse sab iendo que uno de l os vé r t i ces d i s ta 8 de un foco y 18 de l o t ro .

3Ha l l a l a ecuac ión reduc ida de una e l i pse sab iendo que pasa po r e l pun to (0 , 4 ) y su excent r i c idad es 3 /5 .

Hipérbola

Es e l l uga r geomét r i co de l os puntos de l p lano cuya d i fe renc ia de d i s tanc ias a dos puntos f i j o s l l amados focos es cons tan te .

Elementos de la hipérbola

Focos


Eje foca l

Es l a rec ta que pasa po r l os f ocos .

Eje secundar io o imaginar io

E s l a med ia t r i z de l segmento .

Centro

Es e l pun to de i n te r secc ión de l os e jes .

Vért ices

Los puntos A y A ' son l os puntos de i n te r secc ión de l a h ipé rbo la con e l e j e f oca l .

Los puntos B y B ' se ob t i enen como in te r secc ión de l e je imag ina r i o con l a c i r cun fe renc ia que t i ene po r cen t ro uno de l os vé r t i ces y de

rad io c .

Radios vectores

Son l os segmentos que van desde un punto de l a h ipé rbo la a l os f ocos : PF y PF ' .

Distanc ia foca l

E s e l segmento de l ong i tud 2c .

Eje mayor

E s e l segmento de l ong i tud 2a .

Eje menor

E s e l segmento de l ong i tud 2b .

Ejes de s imetr ía

Son l as rec tas que con t ienen a l e j e rea l o a l e j e imag ina r i o .

Asíntotas

Son l as rec tas de ecuac iones :

Relac ión entre los semie jes

Excetricidad

La excent r i c idad m ide l a aber tu ra mayor o menor de l as ramas de l a h ipé rbo la .

Ecuación reducida

Se l l ama ecuac ión reduc ida a l a ecuac ión de l a h ipé rbo la cuyos e jes co inc iden con l os e jes

coo rdenadas , y , po r tan to , e l cen t ro de h ipé rbo la con e l o r i gen de coordenadas .

S i e l e j e rea l es tá en e l e j e de absc i sas l as coo rdenadas de l os f ocos son :

F ' (−c,0) y F(c ,0)

Cua lqu ie r punto de l a h ipé rbo la cump le :

Es ta expres ión da l uga r a :

Rea l i zando l as operac iones y cons ide rando que , l l egamos a :

Ha l l a r l a ecuac ión de l a h ipé rbo la de foco F (4 , 0 ) , de vé r t i ce A (2 , 0 ) y de cen t ro C (0 , 0 ) .

Ha l l a r l a ecuac ión y l a excent r i c idad de l a h ipé rbo la que t i ene como focos l os puntos F ' ( -5 , 0 ) y F (5 , 0 ) , y 6 como d i fe renc ia de

l os rad ios vec to res .

Ha l l a r l a s coo rdenadas de l os vé r t i ces y de l os f ocos , l a s ecuac iones de l as as ín to tas y l a excent r i c idad de l a h ipé rbo la 9x 2 -

16y 2 = 144 .

F ' (0 , −c) y F(0 , c )

La ecuac ión se rá :

Ha l l a r l a ecuac ión de l a h ipé rbo la de foco F (0 , 5 ) , de vé r t i ce A (0 , 3 ) y de cen t ro C (0 , 0 ) .

Ec. De la hipérbola

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro dist into al or igen

S i e l centro de l a h ipé rbo la es C (x 0 , y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OX , l os focos t i enen de coordenadas F(x 0 +c, y 0 ) y F ' (x 0 − c ,

y 0 ) . Y l a ecuac ión de l a h ipé rbo la se rá :


Donde A y B t ienen s ignos opuestos .

Ha l l a r l a ecuac ión de l a h ipé rbo la de foco F (7 , 2 ) , de vé r t i ce A (5 ,2 ) y de cen t ro C (3 , 2 ) .

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro dist into al or igen

S i e l centro de l a h ipé rbo la C(x 0 , y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OY , l o s focos t i enen de coordenadas F(x 0 , y 0 + c) y F ' (x 0 , y 0 − c ) .

Y l a ecuac ión de l a h ipé rbo la se rá :



Ha l l a r l a ecuac ión de l a h ipé rbo la de foco F ( -2 , 5 ) , de vé r t i ce A ( -2 , 3 ) y de cen t ro C ( -2 , -5 ) .

Ecuac ión de l a h ipé rbo la equ i l a te ra

Las h ipérbolas en las que los semie jes son igua les se l laman

equi láteras , por tanto a = b . Y su ecuac ión es :

Las as íntotas t i enen po r ecuac ión :

,

E s dec i r , l a s bisectr ices de l os cuadran tes .

La excentr ic idad e s :

Ecuación de la hipérbola equi látera refer ida a sus asíntotas

Para pasa r de l os e jes OX , OY a l os de te rminados po r l a s as ín to tas , bas ta rá da r un g i ro de −45° a l rededor de l o r i gen

de coordenadas . Quedando l a ecuac ión como:

S i e fec tuamos un g i ro de 45° en l os e jes , l a

h ipé rbo la que queda en e l segundo y cua r to cuadran te y su

ecuac ión se rá :

La ecuac ión rep resenta una h ipé rbo la equ i l á te ra , ca l cu la r sus vé r t i ces y f ocos .

Como las coo rdenadas de l os vé r t i ces se encuent ran en l a b i sec t r i z de l p r imer y te rce r cuadran te , l a p r imera

componente y l a segunda componente co inc iden , es dec i r , x = y . Y como además e l pun to A pe r tenece a l a cu rva ,

tendremos :

Hipérbola

Es e l l uga r geomét r i co de l os puntos de l p lano cuya d i fe renc ia de d i s tanc ias a l os puntos f i j o s l l amados focos es cons tan te .

Elementos de la hipérbola

Focos


Eje foca l

Es l a rec ta que pasa po r l os f ocos .

Eje secundar io o imaginar io

E s l a med ia t r i z de l segmento .

Centro

Es e l pun to de i n te r secc ión de l os e jes .

Vért ices

Los puntos A y A ' son l os puntos de i n te r secc ión de l a h ipé rbo la con e l e j e f oca l .

Los puntos B y B ' se ob t i enen como in te r secc ión de l e je imag ina r i o con l a c i r cun fe renc ia que t i ene po r cen t ro uno de l os f ocos y de

rad io c .

Radios vectores

Son l os segmentos que van desde un punto de l a h ipé rbo la a l os f ocos : PF y PF ' .

Distanc ia foca l

E s e l segmento de l ong i tud 2c .

Eje mayor

E s e l segmento de l ong i tud 2a .

Eje menor

E s e l segmento de l ong i tud 2b .

Ejes de s imetr ía

Son l as rec tas que con t ienen a l e j e rea l o a l e j e imag ina r i o .

Asíntotas

Son l as rec tas de ecuac iones :

Relac ión entre los semie jes

Excentr ic idad

La excent r i c idad m ide l a aber tu ra mayor o menor de l as ramas de l a h ipé rbo la .

Ecuación reducida de la hipérbola


F ' ( -c ,0) y F(c ,0)

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY


F ' (0 , -c ) y F(0 , c )

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro dist into al or igen

S i e l centro de l a h ipé rbo la es C(x 0 , y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OX , l os focos t i enen de coordenadas F(X 0 +c, y 0 ) y F ' (X 0 -c ,

y 0 ) . Y l a ecuac ión de l a h ipé rbo la se rá :



Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro dist into al or igen

S i e l centro de l a h ipé rbo la C(x 0 , y 0 ) y e l e j e p r inc ipa l es pa ra le lo a OY , l o s focos t i enen de coordenadas F(X 0 , y 0 +c) y F ' (X 0 , y 0 -c ) . Y

l a ecuac ión de l a h ipé rbo la se rá :



Ecuación de la hipérbola equi látera

Las h ipérbolas en las que los semie jes son igua les se l laman equi láteras , por tanto a = b . Y su ecuac ión es :

Las as ín to tas t i enen po r ecuac ión :

,

Es dec i r , l a s b i sec t r i ces de l os cuadran tes .

La excent r i c idad es :

Ecuación de la hipérbole equi látera refer ida a sus asíntotas

Para pasa r de l os e jes OX , OY a l os de te rminados po r l a s as ín to tas , bas ta rá da r un g i ro de -45° a l rededor de l o r i gen de coordenadas .

Quedando l a ecuac ión como:

S i e fec tuamos un g i ro de 45° en l os e jes , l a h ipé rbo la que queda en e l segundo y cua r to cuadran te y su ecuac ión se rá :

Ecuación de la hipérbola. Ejercicios

1Representa g rá f i camente y de te rmina l as coo rdenadas de l os f ocos , de l os vé r t i ces y l a excent r i c idad de l as s igu ien tes h ipé rbo las .

1

2

3

4

2Representa g rá f i camente y de te rmina l as coo rdenadas de l cen t ro , de l os f ocos , de l os vé r t i ces y l a excent r i c idad de l as s igu ien tes

h ipé rbo las :

1

2

3Ha l l a r l a ecuac ión de una h ipé rbo la de e je foca l 8 y d i s tanc ia foca l 10 .

4E l e je f oca l de una h ipé rbo la m ide 12 , y l a cu rva pasa po r e l pun to P (8 , 14 ) . Ha l l a r su ecuac ión .

5 Ca l cu la r l a ecuac ión reduc ida de l a h ipé rbo la cuya d i s tanc ia foca l es 34 y l a d i s tanc ia de un foco a l vé r t i ce más p róx imo es 2 .

6 De te rmina l a ecuac ión reduc ida de una h ipé rbo la que pasa po r l os puntos .

7 De te rmina l a ecuac ión reduc ida de una h ipé rbo la que pasa po r e l pun to y su excent r i c idad es .

8 De te rmina l a ecuac ión reduc ida de una h ipé rbo la sab iendo que un foco d i s ta de l os vé r t i ces de l a h ipé rbo la 50 y 2 .

9 De te rmina l a pos i c i ón re la t i va de l a rec ta x + y − 1 = 0 con respec to a l a h ipé rbo la x 2 − 2y 2 = 1 .

10 Una h ipé rbo la equ i l á te ra pasa po r e l pun to (4 , 1 /2 ) . Ha l l a su ecuac ión re fe r ida a sus as ín to tas como e jes , y l a s coo rdenadas de l os

vé r t i ces y l os f ocos .

Ecuación de la hipérbola. Ejercicios

1E l e je f oca l de una h ipé rbo la m ide 12 y l a excent r i c idad es 4 /3 . Ca l cu la r l a ecuac ión de l a h ipé rbo la .

2Ca lcu la r l a ecuac ión de una h ipé rbo la equ i l á te ra sab iendo que su d i s tanc ia foca l es .

3E l e je no foca l de una h ipé rbo la m ide 8 y l a s ecuac iones de l as as ín to tas son : . Ca l cu la r l a ecuac ión de l a h ipé rbo la , sus

e jes , f ocos y vé r t i ces .

La parábola

La pa rábo la es e l l uga r geomét r i co de l os puntos de l p lano que equ id i s tan de un punto f i j o l l amado foco y de una rec ta f i j a l l amada

d i rec t r i z .

Elementos de la parábola

Foco

E s e l pun to f i j o F .

Directr iz

E s l a rec ta f i j a d .

Parámetro

E s l a d i s tanc ia de l f oco a l a d i rec t r i z , se des igna po r l a l e t ra

p .

Eje

E s l a rec ta pe rpend i cu la r a l a d i rec t r i z que pasa po r e l

f oco .

Vért ice

Es e l pun to de i n te r secc ión de l a pa rábo la con su

e je .

Radio vector

E s un segmento que une un punto

cua lqu ie ra de l a pa rábo la con e l f oco .

Ec. Reducida

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vért ice con el or igen de coordenadas

Dada l a pa rábo la , ca l cu la r su vé r t i ce , su foco y l a rec ta d i rec t r i z .

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vért ice con el or igen de coordenadas

Dada l a pa rábo la , ca l cu la r su vé r t i ce , su foco y l a rec ta

d i rec t r i z .

Dada l a pa rábo la , ca l cu la r su vé r t i ce , su foco y

l a rec ta d i rec t r i z .

Parábola con eje paralelo a OX y vért ice dist into al or igen

Dada l a pa rábo la , ca l cu la r su vé r t i ce , su foco y l a

rec ta d i rec t r i z .

Parábola con eje paralelo a OY, y vért ice dist into al or igen

Dada l a pa rábo la , ca l cu la r su vé r t i ce , su foco y l a rec ta

d i rec t r i z .

La pa rábo la es e l l uga r geomét r i co de l os puntos de l p lano equ id i s tan de un punto f i j o l l amado foco y de una rec ta f i j a l l amada

d i rec t r i z .

Elementos de la parábola

Foco

Es e l pun to f i j o F .

D i rec t r i z

Es l a rec ta f i j a D .

Pa rámet ro

Es l a d i s tanc ia de l f oco a l a d i rec t r i z , se des igna po r l a l e t ra p .

E je

Es l a rec ta pe rpend i cu la r a l a d i rec t r i z que pasa po r e l f oco .

Vé r t i ce

Es e l pun to de i n te r secc ión de l a pa rábo la con su e je .

Rad io vec to r

Es un segmento que une un punto cua lqu ie ra de l a pa rábo la con e l f oco .

Ecuación reducida de la parábola

El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vért ice con el or igen de coordenadas

S i :

S i :

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vért ice con el or igen de coordenadas

S i :

S i :

Parábola con eje paralelo a OX y vért ice dist into al or igen

Parábola con eje paralelo a OY, y vért ice dist into al or igen

Ecuación de la parábola. Ejercicios

1Dete rminar , en fo rma reduc ida , l a s ecuac iones de l as s igu ien tes pa rábo las , i nd i cando e l va lo r de l pa rámet ro , l a s coo rdenadas de l f oco

y l a ecuac ión de l a d i rec t r i z .

1

2

3

2Dete rmina l as ecuac iones de l as pa rábo las que t i enen :

1 De d i rec t r i z x = -3 , de foco (3 , 0 ) .

2 De d i rec t r i z y = 4 , de vé r t i ce (0 , 0 ) .

3 De d i rec t r i z y = -5 , de foco (0 , 5 ) .

4 De d i rec t r i z x = 2 , de foco ( -2 , 0 ) .

5 De foco (2 , 0 ) , de vé r t i ce (0 , 0 ) .


7 De foco ( -2 , 5 ) , de vé r t i ce ( -2 , 2 ) .


3Ca lcu la r l a s coo rdenadas de l vé r t i ce y de l os f ocos , y l a s ecuac iones de l a d i rec t r i ces de l as pa rábo las :

1

2

3

4Ha l l a r l a ecuac ión de l a pa rábo la de e je ve r t i ca l y que pasa po r l os puntos : A (6 , 1 ) , B ( -2 , 3 ) , C (16 , 6 ) .

5 De te rmina l a ecuac ión de l a pa rábo la que t i ene po r d i rec t r i z l a rec ta : y= 0 y po r f oco e l pun to (2 , 4 ) .

6 Ca l cu la r l a pos i c i ón re la t i va de l a rec ta r ≡ x + y - 5 = 0 respec to a l a pa rábo la y 2 = 16 x .

Ecuación de la parábola. Ejercicios resueltos

1

Dete rminar , en fo rma reduc ida , l a s ecuac iones de l as s igu ien tes pa rábo las , i nd i cando e l va lo r de l pa rámet ro , l a s coo rdenadas de l f oco y

l a ecuac ión de l a d i rec t r i z .

1


2

Dete rmina l as ecuac iones de l as pa rábo las que t i enen :

1 De d i rec t r i z x = -3 , de foco (3 , 0 ) .

2 De d i rec t r i z y = 4 , de vé r t i ce (0 , 0 ) .

3 De d i rec t r i z y = -5 , de foco (0 , 5 ) .

4 De d i rec t r i z x = 2 , de foco ( -2 , 0 ) .

7 De foco ( -2 , 5 ) , de vé r t i ce ( -2 , 2 ) .


3

Ca lcu la r l a s coo rdenadas de l vé r t i ce y de l os f ocos , y l a s ecuac iones de l a d i rec t r i ces de l as pa rábo las :

1


4

Ha l l a r l a ecuac ión de l a pa rábo la de e je ve r t i ca l y que pasa po r l os puntos : A (6 , 1 ) , B ( -2 , 3 ) , C (16 , 6 ) .


5

Dete rmina l a ecuac ión de l a pa rábo la que t i ene po r d i rec t r i z l a rec ta : y= 0 y po r f oco e l pun to (2 , 4 ) .


6

Ca lcu la r l a pos i c i ón re la t i va de l a rec ta r ≡ x + y - 5 = 0 respec to a l a pa rábo la y 2 = 16 x .

Ecuación de la parábola. Ejercicios

1Ha l l a r l a ecuac ión de l a pa rábo la cuyo vé r t i ce co inc ide con e l o r i gen de coordenadas y pasa po r e l pun to (3 , 4 ) , s i endo su e je OX .

2Esc r ibe l a ecuac ión de l a pa rábo la de e je pa ra le lo a OY , vé r t i ce en OX y que pasa po r l os puntos A (2 , 3 ) y B ( -1 , 12 ) .

3Dete rmina l a ecuac ión de l a pa rábo la que t i ene po r d i rec t r i z l a rec ta : x + y - 6 = 0 y po r f oco e l o r i gen de coordenadas .

Coordenadas en un plano

Para rep resenta r l os puntos en e l p l ano , neces i tamos dos rec tas pe rpend i cu la res , l l amados ejes cartes ianos o e jes de coordenadas :

El e je hor izonta l se l lama e je X o e je de absc isas .

E l e je vert ica l se l lama e je Y o e je de ordenadas.

E l punto O , donde se co r tan l os dos e jes , es e l or igen de coordenadas .

Las coordenadas de un punto cua lqu ie ra P se rep resentan po r (x , y ) .

La pr imera coordenada se m ide sobre e l e j e de absc i sas , y se l a denomina coordenada x de l punto o absc isa de l punto .

La segunda coordenada se m ide sobre e l e j e de o rdenadas , y se l e l l ama coordenada y de l punto u ordenada de l punto .

Representación grafica

Los e jes de coordenadas d iv iden a l p lano en cuatro partes igua les y a cada una de e l las se les l lama cuadrante.

Signos

Abscisa Ordenada

1 e r cuadrante + +

2º cuadrante − +

3 e r cuadrante − −

4º cuadrante + −

E l or igen de coordenadas , O , t i ene de coordenadas : O(0, 0) .

Los puntos que es tán en e l eje de ordenadas t i enen su absc isa igua l a 0 .

Los puntos s i tuados en e l eje de absc isas t i enen su ordenada igua l a

0 .

Los puntos s i tuados en l a m isma l í nea ho r i zon ta l (pa ra le la a l e j e de

absc i sas ) t i enen l a m isma o rdenada .

Los puntos s i tuados en una m isma l í nea ve r t i ca l (pa ra le la a l e j e de

o rdenadas ) t i enen l a m isma absc i sa .

Ejerc ic io

Representa en l os e jes de coo rdenadas l os puntos :

A(1 , 4 ) , B ( -3 , 2 ) , C (0 , 5 ) , D ( -4 , -4 ) , E ( -5 , 0 ) , F (4 , -3 ) , G (4 , 0 ) , H (0 , -2 )

Una tab la es una representac ión de datos , mediante pares ordenados, expresan la re lac ión ex istente entre dos magnitudes

o dos s i tuac iones.

La s igu ien te tab la dos mues t ra l a va r i ac ión de l p rec io de l as pa ta tas , según e l número de k i l og ramos que compremos .

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

La s igu ien te tab la nos i nd i ca e l número de a lumnos que cons iguen una de te rminada no ta en un examen .

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

Representac ión gráf ica de func iones

Gráfica de una fución

La gráf ica de una func ión está formada por e l conjunto de puntos (x , y ) cuando x var ía en e l domin io D.

gráf ica ( f ) = {(x , f (x) ) / x D}

Pa ra rep resenta r l a ca l cu la remos aque l l os puntos o i n te rva los donde l a func ión t i ene un compor tamien to espec ia l , que de te rminaremos

med ian te e l es tud io de l os s igu ien tes apar tados :

http://www.vitutor.com/fun/5/c_1.html

1. Dominio de una func ión.

2 . S imetr ía .

3 . Per iod ic idad.

4 . Puntos de corte con los e jes .

5 . As íntotas .

6 . Ramas paraból icas .

7 . Crec imiento y Decrec imiento.

8 . Máximos y mín imos.

9 . Concav idad y convexidad.

10. Puntos de inf lex ión.

Ejemplo de representación de una función











Dominio

Simetr ía

Simetr ía respecto a l or igen.

x- intercept

Punto de corte con OX :

Asíntotas

Asíntota hor izonta l

No t iene as íntotas vert ica les n i ob l icuas .

Crec imiento y decrec imiento

Mínimos

Máximos

Concav idad y convexidad

Puntos de inf lex ión

Representac ión gráf ica

El domin io de una func ión está formado por todos los e lementos que t ienen imagen.

D = {x / f (x )}

Cálculo del dominio de una función

Dominio de la func ión po l inómica

El domin io de una func ión po l inómica es

f ( x )= x 2 - 5x + 6 D=R

Dominio de la func ión rac ional

El domin io es menos los va lores que anulan a l denominador .

Dominio de la func ión rad ica l de índ ice impar

El domin io es R.

Dominio de la func ión rad ica l de índ ice par

El domin io está formado por todos los va lores que hacen que e l rad icando sea mayor o igua l que cero .

Dominio de la func ión logar í tmica

El domin io está formado por todos los va lores que hacen que e l rad icando sea mayor que cero .

Dominio de la func ión exponenc ia l

D =

Dominio de la func ión seno

D = .

Dominio de la func ión coseno

D = .

Dominio de la func ión tangente

Dominio de la func ión cotangente

Dominio de la func ión secante

Dominio de la func ión cosecante

Dominio de operac iones con func iones

Simetría respecto del eje de ordenadas

Una func ión f es s imét r i ca respec to de l e je de o rdenadas s i és ta es una func ión par , e s dec i r :

f ( -x) = f (x)

Simetría respecto al origen

Una func ión f es s imét r i ca respec to a l o r i gen s i és ta es una func ión impar , e s dec i r :

f ( -x) = - f (x)

Per iod ic idad de una func ión

Una func ión e s per iód ica cuando :

La func ión se rep i te de T en T , s i endo T e l per íodo .

La func ión f (x) = x − E(x) , es per iód ica de per iodo 1 .

sen (x + 2π) = sen x

En e l caso de l a func ión seno T = 2π

tg (x + π) = tg x

En e l caso de l a func ión tangente T = π

Si f es per iód ica de per íodo T , también lo es f (mx +n) , y su per íodo es T /m.

Ejemplos

Ha l l a r e l pe r i odo de l as func iones :

1 f (x) = sen 2x

2 f (x) = tg (1 /2)x

3 f (x) = E (1 /2)x

Puntos de corte con el eje OX

Para ha l l a r l o s puntos de corte con e l e je de absc isas hacemos y = 0 y reso lvemos la ecuac ión resu l tante.

Ejemplo

Ha l l a r l o s puntos de corte con e l e je OX de l a func ión :

Punto de corte con el eje OY

Para ha l l a r e l punto de corte con e l e je de ordenadas hacemos x = 0 y ca l cu lamos e l va lo r de f (0) .

Ejemplo

Ha l l a r e l punto de corte con e l e jes OY de l a func ión :

Ejemplo de puntos de corte con los e jes

Ha l l a r l o s puntos de corte con los e jes de l a func ión :

Las as íntotas son rectas a las cua les la func ión se va acercando indef in idamente . Hay t res t i pos de as in to tas :

Asíntotas horizontales

Ejemplo

Ca lcu la r l a s as íntotas hor izonta les de l a func ión :

Asíntotas verticales

Cons ide ramos que e l resu l tado de l l ím i te es ∞ s i t enemos un número rea l pa r t i do po r ce ro .

K son los puntos que no pertenecen a l domin io de la func ión ( en l as func iones rac iona les ) .

Ejemplo

Ca lcu la r l a s as íntotas vert ica les de l a func ión :

Asíntotas oblicuas

Só lo ha l l a remos l as as íntotas ob l icuas cuando no haya as íntotas hor izonta les .

Ejemplo

Ca lcu la r l a s as íntotas de l a func ión :

Asíntotas hor izonta les

As íntotas vert ica les

Asíntotas ob l icuas

Las ramas paraból icas se es tud ian só lo s i :

Rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OY

Se d i ce que f t i ene una rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OY cuando :

Es to qu ie re dec i r que l a g rá f i ca se compor ta como una pa rábo la de e je ve r t i ca l .

Ejemplo

Es tud ia r l a s ramas paraból icas de l a func ión :

T iene una rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OY .

Rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OX

Se d i ce que f t i ene una rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OX cuando :

Es to qu ie re dec i r que l a g rá f i ca se compor ta como una pa rábo la de e je ho r i zon ta l .

Ejemplo

Es tud ia r l a s ramas paraból icas de l a func ión :

T iene una rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OX .

Crec imiento en un punto

S i f e s de r i vab le en a :

f e s es t r i c tamente c rec ien te en a s i :

f ' (a) > 0

Decrec imiento en un punto

S i f e s de r i vab le en a :

f es es t r i c tamente dec rec ien te en a s i :

f ' (a) < 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para ha l l a r e l crec imiento y decrec imiento segu i remos l os s igu ien tes pasos :

1. Der ivar la func ión.

2. Obtener las ra íces de la der ivada pr imera, para e l lo hacemos: f ' (x ) = 0 .

3. Formamos interva los ab iertos con los ceros ( ra í ces ) de la der ivada pr imera y los puntos de d iscont inu idad ( s i l o s hub iese )

4. Tomamos un va lor de cada interva lo , y ha l lamos e l s igno que t iene en la der ivada pr imera.

S i f ' (x ) > 0 es crec iente.

S i f ' (x ) < 0 es decrec iente.

5. Escr ib imos los interva los de crec imiento y decrec imiento .

Ejemplo

Ca lcu la r l o s i n te rva los de c rec im ien to y dec rec im ien to de l a func ión :

Extremos re lat ivos

S i f e s de r i vab le en a , a es un extremo re lat ivo o l oca l s i :

1. Si f ' (a) = 0 .

2. Si f ' ' (a ) ≠ 0 .

Máximos re lat ivos

S i f y f ' son de r i vab les en a , a e s un máximo re lat ivo s i se cump le :

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a ) < 0

Mínimos re lat ivos

S i f y f ' son de r i vab les en a , a e s un mínimo re lat ivo s i se cump le :

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a ) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Para ha l l a r l o s extremos loca les segu i remos l os s igu ien tes pasos :

1. Hal lamos la der ivada pr imera y ca lcu lamos sus ra íces .

2. Real izamos la 2ª der ivada, y ca lcu lamos e l s igno que toman en e l la las ra íces de der ivada pr imera y s i :

f ' ' (a ) < 0 e s un máximo r e l a t i vo

f ' ' (a ) > 0 e s un mínimo r e l a t i vo

3. Calcu lamos la imagen (en la func ión) de los extremos re lat ivos .

Ejemplo

Ca lcu la r l o s máximos y mín imos de :

f ( x ) = x 3 − 3x + 2

f ' ( x ) = 3x 2 − 3 = 0

f ' ' ( x ) = 6x

f ' ' (−1) = −6 Máx imo

f ' ' ( 1 ) = 6 M ín imo

f (−1) = (−1) 3 − 3 (−1) + 2 = 4

f (1 ) = (1 ) 3 − 3 (1 ) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mín imo(1, 0)

S i ya hemos es tud iado e l c rec im ien to y dec rec im ien to de una func ión habrá :

1. Un máximo en e l pun to , de l a func ión , en l a que és ta pasa de crec iente a decrec iente.

2. Un mínimo en e l pun to , de l a func ión , en l a que és ta pasa de decrec iente a crec iente .

Ejemplo

Ha l l a r l o s máximos y mín imos de :

Tenemos un m ín imo en x = 3

Mínimo(3, 27 /4)

En x = 1 no hay un máx imo porque x = 1 no pe r tenece a l domin io de l a func ión .

S i f y f ' son de r i vab les en a , a es :

Cóncava

Si f ' ' (a ) > 0

Convexa

S i f ' ' (a ) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad

Para ca l cu la r l o s interva los la concav idad y convexidad de una func ión segu i remos l os s igu ien tes pasos :

1. Hal lamos la der ivada segunda y ca lcu lamos sus ra íces .

2. Formamos interva los ab iertos con los ceros ( ra íces) de la der ivada segunda y los puntos de d iscont inu idad (s i los

hubiese) .

3. Tomamos un va lor de cada interva lo , y ha l lamos e l s igno que t iene en la der ivada segunda.

S i f ' ' (x ) > 0 es cóncava.

Si f ' ' (x ) < 0 es convexa.

4. Esc r ib imos l os i n te rva los :

Ejemplo de interva los de concav idad y convexidad

S i f y f ' son de r i vab les en a , a es un :

Punto de inf lex ión

S i f ' ' = 0

y f ' ' ' ≠ 0

Cálculo de los puntos de inf lexión

Para ha l l a r l o s puntos de inf lex ión , segu i remos l os s igu ien tes pasos :


2. Real izamos la der ivada tercera , y ca lcu lamos e l s igno que toman en e l la los ceros de der ivada segunda y s i :

f ' ' ' (x ) ≠ 0 Tenemos un punto de inf lex ión.

3. Calcu lamos la imagen (en la func ión) de l punto de inf lex ión.

Ejemplo

Ha l l a r l o s puntos de inf lex ión de :

f ( x ) = x 3 − 3x + 2

f ' ' ( x ) = 6x 6x = 0 x = 0 .

f ' ' ' ( x ) = 6 Se rá un punto de i n f l ex ión .

f (0 ) = (0 ) 3 − 3 (0 ) + 2 = 2

Punto de inf lex ión: (0 , 2)

S i ya hemos es tud iado l a concav idad y convex idad de una func ión habrá :

Puntos de inf lex ión en l os puntos en que és ta pasa de cóncava a convexa o v icecersa.

Ejemplo

Ca lcu la r l o s puntos de i n f l ex ión de l a func ión :

Tenemos un punto de inf lex ión en x = 0 , ya que l a func ión pasa de convexa a concava .

Punto de inf lex ión (0 , 0)

Gráf ica de una fuc ión

gráf ica ( f ) = {(x , f (x) ) / x D}

Para rep resenta r una func ión tenemos es tud ia remos l os s igu ien tes apar tados :

Dominio de una función

D = {x / f (x )}

Dominio de la func ión po l inómica

D =

Dominio de la func ión rac ional

El domin io es menos los va lores que anulan a l denominador .

Dominio de la func ión rad ica l de índ ice impar

D =

Dominio de la func ión rad ica l de índ ice par

El domin io está formado por todos los va lores que hacen que e l rad icando sea mayor o igua l que cero .

Dominio de la func ión logar í tmica

El domin io está formado por todos los va lores que hacen que e l rad icando sea mayor que cero .

Dominio de la func ión exponenc ia l

D =

Dominio de la func ión seno

D = .

Dominio de la func ión coseno

D = .

Dominio de la func ión tangente

Dominio de la func ión cotangente

Dominio de la func ión secante

Dominio de la func ión cosecante

Dominio de operac iones con func iones

Simetría

Simetr ía respecto de l e je de ordenadas

f ( -x) = f (x)

Simetr ía respecto a l or igen

f ( -x) = - f (x)

Periodic idad

Si f es per iód ica de per íodo T , también lo es f (mx +n) , y su per íodo es T /m.

Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con e l e je OX

Para ha l l a r l o s puntos de corte con e l e je de absc isas hacemos y = 0 y reso lvemos la ecuac ión resu l tante.

Punto de corte con e l e jes OY

Para ha l l a r e l punto de corte con e l e je de ordenadas hacemos x = 0 y ca l cu lamos e l va lo r de f (0) .

Asíntotas

Asíntotas hor izonta les

As íntotas vert ica les

As íntotas ob l icuas

Ramas paraból icas

Rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OY

Rama paraból ica en la d i recc ión de l e je OX

Crecimiento y decrecimiento

Para ha l l a r e l crec imiento y decrec imiento segu i remos l os s igu ien tes pasos :

1. Der ivar la func ión:

2. Obtener las ra íces de la der ivada pr imera, para e l lo hacemos: f ' (x ) = 0 .

3. Formamos interva los ab iertos con los ceros ( ra í ces ) de la der ivada pr imera y los puntos de d iscont inu idad ( s i l o s hub iese )

4. Tomamos un va lor de cada interva lo , y ha l lamos e l s igno que t iene en la der ivada pr imera.

5. Escr ib imos los interva los de crec imiento y decrec imiento .

Máximos y mínimos relat ivos

Para ha l l a r l o s extremos re lat ivos segu i remos l os s igu ien tes pasos :

1. Hal lamos la der ivada pr imera y ca lcu lamos sus ra íces .

2. Real izamos la 2ª der ivada, y ca lcu lamos e l s igno que toman en e l la las ra íces de der ivada pr imera y s i :

f ' ' (a ) < 0 e s un máximo r e l a t i vo

f ' ' (a ) > 0 e s un mínimo r e l a t i vo

3. Calcu lamos la imagen (en la func ión) de los extremos re lat ivos .

S i ya hemos es tud iado e l c rec im ien to y dec rec im ien to de una func ión habrá :

1. Un máximo en e l pun to , de l a func ión , en l a que és ta pasa de crec iente a decrec iente.

2. Un mínimo en e l pun to , de l a func ión , en l a que és ta pasa de decrec iente a crec iente .

Concavidad y convexidad

Para ca l cu la r l o s interva los la concav idad y convexidad de una func ión segu i remos l os s igu ien tes pasos :


2. Formamos interva los ab iertos con los ceros ( ra íces) de la der ivada segunda y los puntos de d iscont inu idad (s i los

hubiese) .

3. Tomamos un va lor de cada interva lo , y ha l lamos e l s igno que t iene en la der ivada segunda.

4. Esc r ib imos l os i n te rva los :

Puntos de inf lexión

Para ha l l a r l o s puntos de inf lex ión , segu i remos l os s igu ien tes pasos :


2. Real izamos la der ivada tercera , y ca lcu lamos e l s igno que toman en e l la los ceros de der ivada segunda y s i :

f ' ' ' (x ) ≠ 0 Tenemos un punto de inf lex ión.

3. Calcu lamos la imagen (en la func ión) de l punto de inf lex ión.

S i ya hemos es tud iado l a concav idad y convex idad de una func ión habrá :

Un punto de inf lex ión en e l pun to , de l a func ión , en l os puntos en que és ta pasa de cóncava a convexa o v icecersa.

Representa r l a s s igu ien tes func iones , es tud iando su :

Domin io .

S imet r í a .

Pun tos de co r te con l os e jes .

As ín to tas y ramas pa rabó l i cas .

Crec im ien to y dec rec im ien to .

Máx imos y m ín imos .

Concav idad y convex idad .

Puntos de i n f l ex ión

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Ejercicios resueltos de representación de funciones

1

Representa r l a s igu ien te func ión :

Dominio

Simetr ía

Simetr ía respecto a l or igen.

Puntos de corte con los e jes

Puntos de corte con OX :

Punto de corte con OY :

Asíntotas

No t iene as íntotas .

Ramas paraból icas


Crec iente :

Decrec iente:

Mínimos

Máximos


Cóncava :

Convexa


(0 , 0)


Ejercicios resueltos de representación de funciones

2

Representa r l a s igu ien te func ión :

Dominio

Simetr ía

Simetr ía respecto a l e je OY .

Puntos de corte con los e jes

Puntos de corte con OX :

Punto de corte con OY :

Asíntotas

No t iene as íntotas .

Ramas paraból icas


Mínimos

Máximos


Ejercicios de representación de funciones

Representa r l a s s igu ien tes func iones , es tud iando su :

Domin io .

S imet r í a .

Pun tos de co r te con l os e jes .

As ín to tas y ramas pa rabó l i cas .

C rec im ien to y dec rec im ien to .

Máx imos y m ín imos .

Concav idad y convex idad .

Puntos de i n f l ex ión

1.

2.

Una g rá f i ca es l a rep resentac ión en unos e jes de coo rdenadas de l os pa res o rdenados de una tab la .

Las gráf icas descr iben re lac iones entre dos var iab les .

La var iab le que se rep resenta en e l eje hor izonta l se l l ama var iab le independiente o var iab le x .

La que se rep resenta en e l eje vert ica l se l l ama var iab le dependiente o var iab le y .

La var iab le y está en func ión de la var iab le x .

Una vez rea l i zada l a g rá f i ca podemos es tud ia r l a , ana l i za r l a y ex t rae r conc lus iones .

Pa ra i n te rp re ta r una g rá f i ca , hemos de obse rva r l a de i zqu ie rda a de recha , ana l i zando cómo va r í a l a va r i ab le depend ien te , y , a l

aumenta r l a va r i ab le i ndepend ien te , x .

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

En esa g rá f i ca podemos obse rva r que a med ida que compramos más k i l os de pa ta tas e l p rec io se va i nc rementando .

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

En es ta g rá f i ca obse rvamos que l a mayor pa r te de l os a lumnos ob t i enen una no ta comprend ida en t re 4 y 7 .

Gráfica creciente

Una g rá f i ca es c rec ien te s i a l aumenta r l a va r i ab le i ndepend ien te aumenta l a o t ra va r i ab le .

Gráfica decreciente

Una g rá f i ca es dec rec ien te s i a l aumenta r l a va r i ab le i ndepend ien te d i sminuye l a o t ra va r i ab le .

Gráfica constante

Una g rá f i ca es cons tan te s i a l va r i a r l a va r i ab le i ndepend ien te l a o t ra pe rmanece inva r i ab le .

Una gráf ica puede tener a la vez partes crec ientes y decrec ientes .

Una func ión es una re lac ión entre dos magnitudes, de ta l manera que a cada va lor de la pr imera le corresponde un único

va lor de la segunda, l lamada imagen.

E l p rec io de un v ia je en tax i v i ene dado po r :

y = 3 + 0 .5 x

S iendo x e l t i empo en m inu tos que dura e l v i a je .

Como podemos obse rva r l a func ión re lac iona dos var iab les . x e y .

x es la var iab le independiente .

y es la var iab le dependiente ( depende de l os m inu tos que dure e l v i a je ) .

Las func iones se rep resentan sobre unos e jes ca r tes ianos pa ra es tud ia r me jo r su compor tamien to .

x 10 20 30

y= 3 + 0.5x 8 13 18

La func ión l i nea l es de l t i po :

y = mx

Su g rá f i ca es una l í nea rec ta que pasa po r e l o r i gen de coordenadas .

y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

La pendiente es la inc l inac ión de la recta con respecto a l e je de absc isas .

S i m > 0 la func ión es crec iente y ángulo que fo rma l a rec ta con l a pa r te pos i t i va de l e je OX es agudo .

Si m < 0 la func ión es decrec iente y ángulo que fo rma l a rec ta con l a pa r te pos i t i va de l e je OX es obtuso .

La func ión a f í n es de l t i po :

y = mx + n

m es la pendiente. Dos rectas para le las t ienen la misma pendiente.

n es la ordenada en e l or igen y nos i nd i ca e l pun to de co r te de l a rec ta con e l e j e de o rdenadas .

La func ión cons tan te es de l t i po :

y = n

E l c r i t e r i o v iene dado po r un número rea l .

La pendiente es 0 .

La gráf ica e s una recta hor izonta l para le la a a l e je de absc isas .

Coordenadas en el plano

Para rep resenta r l os puntos en e l p l ano , neces i tamos dos rec tas pe rpend i cu la res , l l amados ejes cartes ianos o e jes de coordenadas :

El e je hor izonta l se l lama e je X o e je de absc isas .

E l e je vert ica l se l lama e je Y o e je de ordenadas.

E l punto O , donde se co r tan l os dos e jes , es e l or igen de coordenadas .

Las coordenadas de un punto cua lqu ie ra P se rep resentan po r (x , y ) .

Los e jes de coordenadas d iv iden a l p lano en cuatro partes igua les y a cada una de e l las se les l lama cuadrante.

Signos

Abscisa Ordenada

1 e r cuadrante + +

2º cuadrante − +

3 e r cuadrante − −

4º cuadrante + −

Tablas de valores

Una tab la es una representac ión de datos , mediante pares ordenados, expresan la re lac ión ex istente entre dos magnitudes

o dos s i tuac iones.

Representación gráf ica

Las gráf icas descr iben re lac iones entre dos var iab les .

La var iab le que se rep resenta en e l eje hor izonta l se l l ama var iab le independiente o var iab le x .

La que se rep resenta en e l eje vert ica l se l l ama var iab le dependiente o var iab le y .

La var iab le y está en func ión de la var iab le x .

Características de las gráficas

Gráfica creciente

Una g rá f i ca es c rec ien te s i a l aumenta r l a va r i ab le i ndepend ien te aumenta l a o t ra va r i ab le .

Gráfica decreciente

Una g rá f i ca es dec rec ien te s i a l aumenta r l a va r i ab le i ndepend ien te d i sminuye l a o t ra va r i ab le .

Gráfica constante

Una g rá f i ca es cons tan te s i a l va r i a r l a va r i ab le i ndepend ien te l a o t ra pe rmanece inva r i ab le .

Concepto de función

Una func ión es una re lac ión entre dos magnitudes, de ta l manera que a cada va lor de la pr imera le corresponde un único

va lor de la segunda, l lamada imagen.

Función l ineal

y = mx

m es la pendiente, que es la inc l inac ión de la recta con respecto a l e je de absc isas .

Su g rá f i ca es una l í nea rec ta que pasa po r e l o r i gen de coordenadas .

Función af ín

y = mx + n

m es la pendiente. Dos rectas para le las t ienen la misma pendiente.

n es la ordenada en e l or igen y nos i nd i ca e l pun to de co r te de l a rec ta con e l e j e de o rdenadas .

Función constante

y = n

La gráf ica e s una recta hor izonta l para le la a a l e je de absc isas .

Gráficas y funciones. Ejercicios y problemas

1Representa l as s igu ien tes rec tas :

1 y = 2

2 y = −2

3 y = x

4 y = 2x − 1

5 y = −2x − 1

6 y = ½x − 1

2Representa l as s igu ien tes func iones , sab iendo que :

1 T iene pend ien te −3 y o rdenada en e l o r i gen −1 .

2 T iene po r pend ien te 4 y pasa po r e l pun to (−3 , 2 ) .

3Tres k i l og ramos de boquerones va len 18 € . Esc r ibe y rep resenta l a func ión que de f ine e l cos te de l os boquerones en func ión de l os

k i l og ramos comprados .

4En l as 10 p r imeras semanas de cu l t i vo de una p lan ta , que med ía 2 cm, se ha obse rvado que su c rec im ien to es d i rec tamente

p roporc iona l a l t i empo , v iendo que en l a p r imera semana ha pasado a med i r 2 .5 cm. Es tab lece r una func ión a f i n que dé l a a l tu ra de l a p lan ta

en func ión de l t i empo y rep resenta r g rá f i camente .

5Cuando se excava hac ia e l i n te r i o r de l a t i e r ra , l a tempera tu ra aumenta con a r reg lo a l a s igu ien te fó rmu la :

t = 15 + 0 .01 h .

Donde t es l a tempera tu ra a l canzada en g rados cen t íg rados y h es l a p ro fund idad , en met ros , desde l a co r teza te r res t re . Ca l cu la r :

1. ¿Qué tempera tu ra se a l canza a l os 100 m de p ro fund idad?

2. ¿Cuántos met ros hay que excavar pa ra a l canza r una tempera tu ra de 100 ºC?

6E l n i ve l de con taminac ión de una c iudad a l as 6 de l a mañana es de 30 pa r tes po r m i l l ón y c rece de fo rma l i nea l 25 pa r tes po r m i l l ón

cada ho ra . Sea y l a con taminac ión en e l i ns tan te t después de l as 6 de l a mañana .

1.Ha l l a r l a ecuac ión que re lac iona y con t .

2. Ca l cu la r e l n i ve l de con taminac ión a l as 4 de l a ta rde .

Gráficas y funciones. Examen

1Representa l as s igu ien tes rec tas :

1 y = 0

2 y = ¾

3 y = 2x

4y = −¾x − 1

2Un g r i f o , que go tea , l l ena una p robe ta de jando cae r cada minu to 0 .4 cm³ de agua . Fo rma una tab la de va lo res de l a func ión , t i empo-

capac idad de agua . Representa l a func ión y encuent ra l a ecuac ión .

3Por e l a lqu i l e r de un coche cobran 100 € d ia r i os más 0 .30 € po r k i l ómet ro . Encuent ra l a ecuac ión de l a rec ta que re lac iona e l cos te

d ia r i o con e l número de k i l ómet ros y rep resénta la . S i en un d ía se ha hecho un to ta l de 300 km, ¿qué impor te debemos abonar?

ecuacion de la recta

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