Actividad complementaria sobre ecuaciones

funcionales.

Ecuacion funcional de Niels Henrik Abel

Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Grado en Matematicas

Segundo curso

Adil Zianiadil.ziani @um.es

05/04/2015

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Indice

1. Introduccion 3

2. Sobre Abel 3

3. Sobre la Ecuacion funcional de Abel 43.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Condicion necesaria y suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. Metodo de Abel para obter la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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1. Introduccion

En esta actividad trataremos la ecuacion funcional de Abel, y responderemos a las preguntasnaturales: ¿cuando tendra solucion?, en caso de tener solucion, ¿esta es unica?. Sin olvidarnosde dar un ejemplo y unas breves notas sobre el autor.

2. Sobre Abel

Figura 1: Niels Henrik Abel, painting by Johan Gorbitz, 1826

Niels Henrik Abel Nacio el 5 de Agosto de 1802 en Frindoe (junto a Stavanger), Noruega ymurio el 6 de Abril de 1829 en Froland, Noruega.Abel nacio en una epoca de guerras a causa de las cuales Noruega quedo bloqueada por parte deInglaterra impediendo ası sus exportaciones al exterior lo que causo fuertes problemas economi-cos al paıs y sumio a sus habitantes en una hambura y pobreza exptrema. Anadiendo a estadesastrosa situacion las aficciones del padre a la bebida hizo que la familia de Abel este sufriendoproblemas economicos. Aun las dificultades, Abel logro asombrosos resultados matematicos loque nos muestra las enormes capacidades del joven que ira mejorando en su corta vida.

A los 13 anos Abel fue envıado a la Escuela de la Catedral de Cristianiza (hoy Oslo). Allı,su maestro le animo a leer los trabajos de Euler, Newton, Lalande y d’Alembert.Posteriormentesu profesor,Bernt Holmboe, le animo a leer los trabajos de Lagrange y Laplace. Holmboe ayu-dara a Abel no solo en lo academico sino tambien en lo pesonal, pues tras la muerte del padrede Abel, la familia se quedo sin recursos economicos para mantenrse y Abel tenıa que dejar sus

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estudios, sin embargo, las ayudas de Holmboe le permitieron no abandonar los estudios, un anomas tarde Holmboe consique para Abel una beca para ir a la Universidad de Christiania, Abellogro graduarse al ano siguiente.

Con 19 anos Abel presenta su primer trabajo de matematicas, trataba sobre la ecuacion delquinto grado. Holmboe y Hansteen(amigo de Halmboe en Christiania que ayudo a Abel durantesu instancia en la Universidad de Christiania) enviaron el resultado a Ferdinand Degen paraque lo revisara. Este pidio a Abel un ejemplo y mientras lo preparaba se dio cuenta que sudemostracion tenıa un fallo. En 1823 Abel hizo su primera publicacion que trataba sobre lasintegrales definidas y que incluıa la primera solucion de una ecuacion integral.

Abel solicito una beca para hacer una visita a grandes matematicos de su epoca, mientrasaprendıa frances y aleman para poder recibir la beca demostro que no era posible resolver laecuacion quıntica por radicales. A los 23 anos Abel consiguio la beca y comenzo su viaje, en esteviaje conocio a Crelle quien fue un amigo para Abel quien le publico sus trabajos en su revista.Abel pretendıa en su viaje conocer a los grandes matematicos franceses y alemanes, sin embargono fue tan favoricido en ello. En 1826 regreso de su viaje a Berlin sin apenas dinero,solo comıauna vez al dıa y eso junto al intensto frıo le hicieron enfermar de tuberculosis, aun ası Abelcontinuara con sus investigacion obteniendo nuevos resultados en la teorıa de ecuaciones, dandoorigen a las llamandas ecuaciones abelianas, en las funciones elıpticas e integrales.

A finales del ano 1928 Abel viaja a pasar las Navidades junto a su prometida en Froland, loque agrabo su enfermedad, en 6 de abril del ano siguiente muere Abel con apenas 27 anos.

En clases de matematicas se conoce a Abel unicamente como el autor que demostro la impo-siblidad de resolver la ecuacion polinomica quintiaca con radicales, sin embargo, los trabajos deAbel no se restringen a tal proposicion, otros trabajos son: las funciones integrales, las funcioneselipticas y su generalizacion en las llamadas funciones abelianas, aportaciones en teorıa de gru-pos, entre otros. Teniendo en cuanta la corta vida que tuvo y las dificultades, cada uno de estosresultados muestra que detras hay un autor que lograba concentrarse en el atractivo mundode las matematicas que a un verdadero matematico le permiten obviar cualquier dificultad ydisfrutar cada resultado.

3. Sobre la Ecuacion funcional de Abel

3.1. Preliminares

Sea la ecuacion de Abel:

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + c (1)

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Donde f(x) es una funcion dada de varable real, definida en un intervalo A, c una constante realy ϕ(x) la funcion incognita.Abel mostro que conocida una solucion de la ecuacion en diferencias finitas:

ψ(z + 1) = f(ψ(z)) (2)

se tiene la solucion general de (1) pues haciendo x = ψ(z) tenemos que:

ϕ(f(ψ(z))) = ϕ(f(x)) = ϕ(x) + c = ϕ(ψ(z)) + c = ϕ(ψ(z + 1))

que es equalmente una ecuacion de Abel.Esta equivalencia es la que permite resolver este tipo de ecuaciones usando el metodo de Abelbasado en encontrar una solucion a (2) usando diferencias finitas y que usaremos en un ejemplocuando corresponda.

Ejemplos muestran que la ecuacion (1) no siempre tiene solucion, pues por ejemplo paraf(x) = 1

x la ecuacion no tiene solucion salvo para el caso c = 0, el hecho de que para cualquierotro valor de c no nula, la ecuacion no admita solucion, nos permite supner sin perdida degeneralidad que c = 1. Teniendo ası la formulacion mas usual:

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1 (3)

Otro asunto que podemos tener en cuenta es la relacion entre la naturaleza de la funcion daday la naturaleza de la solucion, por ejemplo, si dada f continua, y suponiendo que (3) es soluble,¿es necesariamente ϕ(x) continua?, ejemplos muestran que la respuesta es negativa, pues puededarse el caso en que f(x) sea continua en A y ϕ(x) sea totalmente discontinua y viciversa.Nos ocupamos acontinuacion sobre que condiciones son necesarias y sufientes para que la ecua-cion (3) tenga solucion.

Definicion .1 Iteraciones de una funcion.Dado un conjunto A, una fincion f : A → A, y un numero entero k, definimos la iteracionk-esima de f(x) en A como la composicion de f(x) reiteradamente k veces, es decir:

f0(x) = f1(x)f2(x) = f(f(x)) = f f(x)

fk(x) = f(fk−1(x)) = f ... f(x) k veces

Ejemplo .1 considere A = R y f(x) = x2,

f2(x) = f(f(x)) = f(x2) = x4

f3(x) = f(f2(x)) = f(x4) = x8

fk(x) = f(fk−1(x)) = f(x2k−1

) = x2k

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Observacion .1Notese que cada funcion iterada, para tener una iteracion sucesiva ha de estar bien definida enun subconjunto de A, si esto no ocurre no se podra iterar mas, para un ejemplo basta restringiradecuadamente la imagen, la siquiente funcion bien definida no tiene iteraciones superiores auno pues justamente la imagen de f2(x) son puntos para los que no esta definida f(x):

f(x) =

1 si x ∈ Q\1

e si x ∈ R\(Q ∪ e)

Este concepto de funciones iteradas nos permite estabelecer la siguiente relacion de equiva-

lencia:

x ∼ y ⇔ ∃p, q ∈ N : fp(x) = fq(y)

La relacion es efectivamente de equivalencia pues es reflexiba, simetrica sin problemas y para latrasitividad se obtien del echo de que si p = q + r entonces fp(x) = fq(fr(x)).

Notacion .1 Considerando Ω como el conjunto de puntos de A y de f(A) y notaremos porB(f) al conjunto de puntos de Ω que satidfacen:

No hay en B(f) dos puntos relacionados.

Para cada punto x de Ω existe un bx en B(f), tales que bx es un representante de x.

Al conjunto B(f) le llamaremos base de f en Ω.

3.2. Condicion necesaria y suficiente

Teorema .1Dada la funcion real de variable real f(x) definida en un conjunto A, la ecuacion de Abel

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1

admite solucion en Ω si y solo si fk(x) 6= x ∀x ∈ A y ∀n ∈ NDemostracion:Lema .1

Para que la ecuacion

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1

tenga solucion en Ω es necesario que fk(x) 6= x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N.

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Demostracion. Supongase pues que ϕ(x) es solucion y que sin embargo ∃x ∈ A y ∃k ∈ N talesque fk(x0) = x0, entonces:

ϕ(x0) = ϕ(fk(x0)) = ϕ(f(fk−1(x0))) = ϕ(fk−1(x0)) + 1 = ϕ(f(fk−2(x0))) + 1 =ϕ(fk−2(x0)) + 2 = ... = ϕ(x0) + k lo cual es absurdo.

Lema .2Para dos puntos x, y relacionados, es decir, ∃p, q ∈ N tales que fp(x) = fq(y), entonces la dife-rencia p− q es un valor fijo.

Demostracion. Considerese que existen otros ındices p1 y q1 tales que fp1(x) = fq1(y), y supon-gamos sin perdida de generalidad que p1 > p entonces:

fp1(x) = fp1−p(fp(x)) = fp1−p(fq(y)) = fp1−p+q(y) = fq1(y)Y de aquı p1 − q1 = p− q

Lema .3Supongamos conocida una base B(f) en Ω, entonces podemos obtener la solucion general de

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1

eligiendo arbitrariamente una funcion ψ(x) definida en B(f) tales que:

ϕ(x) = ψ(bx) + p− q (4)

donde bx esta relacionado con x segun los ındices p, q, es decir,

fp(bx) = fq(x).

Demostracion. Notese que ϕ(x) esta bien definida pues el la definicion de B(f) nos garantizaque para cada x de Ω solo hay un bx en B(f), y el lema 2 nos garantiza que la diferencia p− qes fija, con lo cual la imagen de cada x es unica y esta bien definida.Y por otra parte:

ϕ(f(x)) = ψ(bf(x)) + p− q = ψ(x) + 1 + p− q = ϕ(x) + 1

pues notese que:

fp(bf(x)) = fq(f(x)) = fq+1(x)

Ademas si ϕ(f(x)) es solucion definida en Ω, tomese x punto de A y bx su representante en B(f)de modo que fp(bx) = fq(x), entonces:

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1. ϕ(fp(bx)) = ϕ(bx) + p

2. ϕ(fq(x)) = ϕ(x) + q

Despejando de 2 y sustituyendo en 1 se obtiene:

ϕ(x) = ϕ(fq(x))− q = ϕ(fp(bx))− q = ϕ(bx) + p− q

Con lo cual la solucion es de la forma (4).

Una vez aquı ya tenemos la condicion necesaria probada en el lema 1, falta probar la condicionsuficiente, para ello basta probar que siendo fk(x) 6= x ∀x ∈ A y ∀n ∈ N podemos construiruna base B(f) en Ω y aplicar el lema 3. Usando el axioma de eleccion esto es posible, puesconstruimos B(f) tomando uno y solo uno representante de cada punto x de A lo cual es posiblepor la hipotesis, el conjunto ası constuido satiface la definicion de base para f . Concluyendoası la demostracon del teorema.

3.3. Metodo de Abel para obter la solucion

Supongamos que tenemos

ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1

Hagamos los cambios x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1), entonces:

1 = ϕ(ψ(y + 1))− ϕ(ψ(y))∆ϕ(ψ(y)) = ∆y

e integrando

ϕ(ψ(y)) = y + ω(y)

donde ω(y) es una funcion periodica de periodo 1, es decir,

ω(y + 1) = ω(y)

y en consecuencia

ϕ(x) = ϕ(ψ(y)) = y + ω(y) = ψ−1(x) + ω(ψ−1(x))

y queda encontrar ψ−1(x), siendo x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1), tenemos

ψ(y + 1) = f(ψ(y)) que es la ecuacion (2).

De esta forma vemos que basta resolver (2) para dar solucion a (1) como ya habiamos mencio-nado. Para resolver (2) usamos diferencias finitas, vease el ejemplo.

Observacion .2En caso de que (1) tenga solucion, tiene infinitas soluciones pues bastaconsiderar cualquier ω(y)periodica.

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3.4. Ejemplo

Considerese f(x) = x2, vimos con anterioridad que fk(x) = x2k

y por tanto estamos en las

condiciones del teorema pues fk(x) = x2k

= x unicamente para k = 0 que no lo consideramosnatural.Procedemos la resolucion:

x = ψ(y) y f(x) = ψ(y + 1)

Entonces,

ψ(y + 1) = f(x) = x2 = ψ(y)2

Haciendo un desarrollo en diferencias para y + 2, y + 3 obtenemos:

ψ(y + 2) = ψ(y + 1)2 = ψ(y)4

ψ(y + 3) = ψ(y + 2)2 = ψ(y + 1)4 = ψ(y)8

y entonces, para y + x obtenemos:

ψ(y + x) = ψ(y)2x

haciendo y = 0 y ψ(0) = a obtenemos:

ψ(x) = a2x

y queda obtener la inversa de ψ(x), que se obtiene haciendo x = ψ(y) = a2y ⇔ x = a2

yy

despejamos y en funcion de x.Obteniendo ası:

ψ−1(x) = ln(ln(x)−ln(a))ln(2)

Obteniendo finalmente la siguiente solucion general:

ϕ(x) = ln(ln(x)−ln(a))ln(2) + ω( ln(ln(x)−ln(a))

ln(2) )

Referencias

[1] Oeuvres completes. suivi de Niels Henrik Abel, sa vie et son action scientifique. parC.-A.Bjerknes -J. Gabay.http://gallica.bnf.fr/Search?ArianeWireIndex=index&p=1&lang=ES&q=Abel%2C+

Niels+Henrik

[2] Etudes sur lequation fonctionnelle dAbel dans le cas des fonctions reelles par R.TambasLyche.http://www.numdam.org/item?id=THESE_1927__79__1_0

[3] Biografıa.http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/WebBabilonia/Biografias/Abel.htm

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