ECUACIONES - WordPress.com...2 −1 −5 ECUACIONES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones...

2

1−

5−

ECUACIONES

1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) 201623 −=+ xxx 0201623 =+−+⇒ xxx

Posibles raíces = {divisores de 20} = }20,10,5,4,2 ,1{ ±±±±±±

20 16 1 1 +−+ 20 6 2 −++

0 10 3 1 −+ )103)(2(2016 223 −+−=+−+⇒ xxxxxx

Luego

∗=−+

=⇒=−⇔=−+−⇔=+−+

)( 0103

202

0)103)(2(020162

223

xx

xx

xxxxxx

−==

=±−=+±−=⇒=−+∗5

2

273

24093

0103 )( 2

x

xxxx

Soluciones:

5y (doble) 2 −== xx

b) 03452035523)1(52 23233 =+−−⇒=++−−⇒−−=+− xxxxxxxxxxx

Posibles raíces = {divisores de 3} = }3 ,1{ ±±

3 4 5 2 +−− 3 7 2 −+−

0 3 7 2 +− )372)(1(3452 223 +−+=+−−⇒ xxxxxx

Luego

∗=+−

−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−−

)( 0372

101

0)372)(1(034522

223

xx

xx

xxxxxx

=

==±=−±=⇒=+−∗

2

1

3

457

424497

0372 )( 2

x

x

xxx

Soluciones:

21

y 3 , 1 ==−= xxx

c) 0524256 23 =+−+ xxx


5 24 25 6 +−+ 5 25 30 −+−

0 1 5 6 +− )156)(5(524256 223 +−+=+−+⇒ xxxxxx

1−

Luego

∗=+−

−=⇒=+⇔=+−+⇔=+−+

)( 0156

505

0)156)(5(05242562

223

xx

xx

xxxxxx

=

==±=−±=⇒=+−∗

31

2

1

12

15

12

242550156 )( 2

x

x

xxx

Soluciones:

31

y 21

, 5 ==−= xxx

d) 02773 2345 =+++−− xxxxx

1) Extraemos “x” factor común y tenemos:

∗=+++−−

=⇔=+++−−⋅⇔=+++−−

)( 02773

0

0)2773(02773234

2342345

xxxx

x

xxxxxxxxxx

2) Resolvemos la ecuación )( 02773 234 ∗=+++−− xxxx


2 7 1 7 3 +++−−

2 5 4 3 −−++ 0 2 5 4 3 ++−− )2543)(1( 23 ++−−+⇒ xxxx 2 7 3 −−−

0 2 7 3 −−− )273)(1)(1( 2 −−−−+⇒ xxxx

∗∗=−−−=⇒=−

−=⇒=+⇔=−−−−+⇔=+++−−

)( 0273

101

101

0)273)(1)(1(027732

2234

xx

xx

xx

xxxxxxxx

Finalmente resolvemos la ecuación (**)

−=⇒−

=

−=⇒−

==

−±=

−−±=⇒=−−−

31

62

26

12

657

624497

0273 2

xx

xxxxx

3) Por tanto,

Soluciones: 31

y 2 1 1 0 −=−=−=== xxxxx

1+

1−

e) 0365 24 =++− xx

1) Hacemos el cambio de variable tx =2 y la ecuación se convierte en la ecuación de 2º grado:

03652 =++− tt

2) Resolvemos la ecuación de segundo grado:

=

−==

−±−=

−+±−=⇔=++−

9

4

2

3152

14425503652

t

t

ttt

3) Deshacemos el cambio de variable

realsolución existe no444 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

3999 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

Soluciones: 3y 3 =−= xx

f) 021619 36 =−− xx


0216192 =−− tt


−=

==±=+±=⇔=−−

8

27

2

35192

864361190216192

t

t

ttt


3272727 33 =⇒=⇒=⇒=• xxxt

2888 33 −=⇒−=⇒−=⇒−=• xxxt

Soluciones: 2y 3 −== xx

g) 03520332233)1(2 23432243222 =+−−+⇒=−++−−⇒+−−=−− xxxxxxxxxxxxxx


3 1 5 1 2 +−−+

3 4 1 2 −++− 0 3 4 1 2 +−− )342)(1( 23 +−−+⇒ xxxx 3 1 2 −++

0 3 1 2 −+ )32)(1)(1( 2 −+−+⇒ xxxx

∗=−+=⇒=−

−=⇒=+⇔=−+−+⇔=+−−+

)( 032

101

101

0)32)(1)(1(03522

2234

xx

xx

xx

xxxxxxxx

1+

5

Finalmente resolvemos la ecuación (*)

−=⇒−=

=⇒==±−=+±−=⇒=−+

23

46

144

451

42411

032 2

xx

xxxxx

3) Por tanto,

Soluciones: 23

y 1 )doble(1 −=−== xxx

h) 04359 24 =−+ xx


04359 2 =−+ tt


−=−=

==

=±−=+±−=⇔=−+

41872

91

182

18

3735

18

14412253504359 2

t

t

ttt



3

1

9

1

9

1

9

1 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

i) 025159 2345 =++− xxxx

1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:

∗=++−

=⇒=⇔=++−⋅⇔=++−

)( 025159

(doble) 00

0)25159(02515923

2

2322345

xxx

xx

xxxxxxxx

2) Resolvemos la ecuación )( 025159 23 ∗=++− xxx

Posibles raíces = {divisores de 25} = }25,5 ,1{ ±±±

25 15 9 1 ++− 25 20 5 −−+

0 5 4 1 −− )54)(5(25159 223 −−−=++−⇒ xxxxxx

Luego

∗∗=−−

=⇒=−⇔=−−−⇔=++−

)( 054

505

0)54)(5(0251592

223

xx

xx

xxxxxx

5

1− 3+

−==

=±=+±=⇒=−−∗∗1

5

264

220164

054 )( 2

x

xxxx

Soluciones:

1y (doble) 5 (doble) 0 −=== xxx

j) 0152142 234 =−+−+ xxxx

Posibles raíces = {divisores de 15} = }15,5,3 ,1{ ±±±±

15 2 14 2 1 −+−+

15 3 15 3 ++++ 0 5 1 5 1 +++ )55)(3( 23 +++−⇒ xxxx 5 0 5 −−

0 1 0 1 + )1)(5)(3( 2 ++−⇒ xxx

⇒−=⇒=+

−=⇒=+

=⇒=−

⇔=++−⇔=−+−+

realsolución tieneno101

505

303

0)1)(5)(3(0152142

22

2234

xx

xx

xx

xxxxxxx

Soluciones: 5y 3 −== xx

k) 0593 2345 =+++− xxxx

1) Extraemos “x2” factor común y tenemos:

∗=+++−

=⇒=⇔=+++−⋅⇔=+++−

)( 0593

00

0)593(059323

2

2322345

xxx

xx

xxxxxxxx

2) Resolvemos la ecuación )( 0593 23 ∗=+++− xxx


5 9 3 1 +++− 5 10 5 −−− 0 1 2 1 −−− )12)(5()593( 223 −−−−=+++−⇒ xxxxxx

Luego

∗=−−−

=⇒=−⇔=−−−−⇔=+++−

)( 012

505

0)12)(5(05932

223

xx

xx

xxxxxx

5−

−=

−==

−±=

−−±=⇔=−−−∗∗

1

1

202

2442

012 )( 2

x

x

xxx

Soluciones:

5y (doble) 1 (doble) 0 =−== xxx

l) 01690196 2442 =+−⇒=++− xxxx


0169 2 =+− tt


==

==

=±=−±=⇔=+−

31

186

31

186

18

06

18

363660169 2

t

t

ttt


33

3

131

31

31 andoracionaliz2 ±= →±=⇒=⇒=⇒=• xxxxt

2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 246

10

42

1

63

12

2

−−=

++−

−+

x

x

x

x

x

x

• Factorizamos los denominadores: (sacando factor común y utilizando identidades notables)

)2(363 −=− xx

)2(242 +=+ xx

)2)(2(6)4(6246 22 +−=−=− xxxx

La ecuación queda:

• Reducimos las fracciones a mínimo común denominador:

)2)(2(610

)2)(2(6)1)(2(3)1)(2(2 2

+−−=

+−+−−++

xx

x

xx

xxxx

• Eliminamos los denominadores (al ser iguales) y nos queda la ecuación:

210)1)(2(3)1)(2(2 xxxxx −=+−−++

• Operamos y reducimos términos semejantes:

222 10)22(3)22(2 xxxxxxx −=−−+−+++ 222 10)2(3)23(2 xxxxx −=−−−++⇒ 222 10633462 xxxxx −=++−++⇒ ⇒=+−++−++⇒ 010633462 222 xxxxx

09 =⇒ x

• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 009 =⇒= xx ”Posible solución”

En las ecuaciones racionales no es necesario (salvo que lo indique el enunciado) hacer todo el desarrollo de la

comprobación de las posibles soluciones como ocurre en las ecuaciones radicales.

Sólo debéis aseguraros que no anulan los denominadores de la ecuación porque entonces no son solución ya

que no se puede dividir por cero.

En este caso 0=x no anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.

Por tanto,

La solución de la ecuación es 0=x

)2)(2(6

10

)2(2

1

)2(3

1 2

−−−=

++−

−+

xx

x

x

x

x

x

b) 99

12

5

815 +

−=

−−

xx


)9)(5()9)(5(9)5(12

)9)(5()9(8)9)(5(15

xx

xxx

xx

xxx

−−−−+−=

−−−−−−


)9)(5(9)5(12)9(8)9)(5(15 xxxxxx −−+−=−−−−


)9545(91260872)9545(15 22 xxxxxxxx +−−+−=+−+−−)4514(91260872)4514(15 22 +−+−=+−+− xxxxxx

4051269126087267521015 22 +−+−=+−+− xxxxxx

04056072675126128210915 22 =−−−++++−− xxxxxx

0693230138646 22:2 =+−→=+− xxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 69 32 3069323 2 =−==⇒=+− cbaxx

=

==±=±=−±=

⋅⋅⋅−±

=3

618

323

646

61432

619632

6828102432

32

6934)32(32 2

x ”Posibles soluciones”





En este caso 3

23y 3 == xx no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son 3=x y 323=x

c) 22

1416

2 −+

++=

−+

x

x

x

x

x

x

• Factorizamos los denominadores:

221

)2)(2(16

−+

++=

+−+

x

x

x

x

xx

x


)2)(2()2()1)(2(

)2)(2(16

+−+++−=

+−+

xx

xxxx

xx

x


)2()1)(2(16 +++−=+ xxxxx


xxxxxx 2)22(16 22 ++−−+=+ 035222216 222 =−−⇒++−−+=+⇒ xxxxxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 3 5 20352 2 −=−==⇒=−− cbaxx

−=−

==±=+±=

⋅−⋅⋅−−±

=

21

42

34

12

475

424255

22

)3(24)5(5 2






En este caso 2

1y 3 −== xx no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son 3−=x y 21−=x

d) 12

1

13

23 2

−=++−

xxx

xx


xx

xxx

xx

xxxx

2)13()1(2)13(

2)13()13(1)23(2 2

+−+=

+++−


)1(2)13()13(1)23(2 2 −+=++− xxxxxxx


)1)(26(1346 223 −+=++− xxxxxx ⇒−+−=++−⇒ xxxxxxx 22661346 22323

⇒=+−+−++−⇒ 022661346 22323 xxxxxxx 015 =+x

• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 5

115015 −=⇒−=⇒=+ xxx

5

1−=x no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación.

Por tanto,

La solución de la ecuación es 51−=x

e) 9

1

3

1

3

12 −

=−

++ xxx


)3)(3(1

)3(1

)3(1

+−=

−+

+ xxxx


)3)(3(1

)3)(3()3(1)3(1

+−=

+−++−

xxxx

xx


1)3(1)3(1 =++− xx


133 =++− xx 012 =−⇒ x

• Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida: 2

112012 =⇒=⇒=− xxx

2

1 =x no anula los denominadores por eso es solución de la ecuación.

Por tanto,


f) 1

17

1

2

1

332

2

−+=

+++

−−

x

x

x

x

x

x


)1)(1(17

)1(2

)1(33 2

+−+=

+++

−−

xx

x

x

x

x

x


)1)(1(17

)1)(1()1)(2()1)(33( 2

+−+=

+−−+++−

xx

x

xx

xxxx


17)22()1)(33( 2 +=−+−++− xxxxxx


06521752217223333 2323232 =−−+⇒+=−++⇒+=−+−+−−+⇒ xxxxxxxxxxxxxx

• Resolvemos la ecuación obtenida: 0652 23 =−−+ xxx

6 5 2 1 −−+

6 1 1 +−− 0 6 1 1 −+

−=

==±−=+±−=⇒=−+

−=⇒=+

⇒=−++⇒=−−+

3

2

251

22411

06

r)denominado al anula puessolución es (no 101

0)6)(1(06522

223

x

xxxx

xx

xxxxxx

3−=x y 2=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son 3−=x y 2=x

1−

g) xxxxxxx

x

++=

++−

+++

2322 2

1

12

1

23

2


� )2)(1(232 ++=++ xxxx

2 3 10232 ===⇒=++ cbaxx

)2)(1(23 2

24

122

213

2893

12

214)3(3 22

++=++⇒

−=−

−=−

=±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−= xxxxx

� notable) (identidad )1(12 22 +=++ xxx

� notable) identidad ecomún foactor (sacar )1()12(2 2223 +=++=++ xxxxxxxx

Luego la ecuación queda:

22 )1(1

)1(1

)2)(1(2

+=

+−

+++

xxxxx

x

• Simplificamos la primera fracción:

22 )1(1

)1(1

)1(1

+=

+−

+ xxxx


22 )1(1

)1()1(

+=

+−+

xxxx

xxx


1)1( =−+ xxx

• Operamos y reducimos términos semejantes: 0101 22 =−⇒=−−+⇒ xxxx

• Resolvemos la ecuación obtenida:

=

−=⇒=⇒=⇒=−

1

r)denominado al anula porquesolución es (no 1

1101 22

x

x

xxx

1=x no anula los denominadores por eso sí es solución de la ecuación.

Por tanto,


h) 1264

22 −=−

xx


2

2

2

4 1264x

x

x

x −=−


24 1264 xx −=−

• Operamos y reducimos términos semejantes: 06412 24 =−+⇒ xx

• Resolvemos la ecuación obtenida: a)(bicuadrad 06412 24 =−+ xx


064122 =−+ tt


−=

==±−=+±−=⇔=−+

16

4

2

2012

2

25614412064122

t

t

ttt


2444 2 ±=⇒=⇒=⇒=• xxxt

realsolución tieneno161616 2 ⇒−=⇒−=⇒−=• xxt

2−=x y 2=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,


i) 24223

1

1

1

2

1

xxxxxx

x

−=

−+

+−−


� 2223 )1()12(2 −=+−=+− xxxxxxxx

� )1)(1(12 +−=− xxx

� )1)(1()1( 22224 +−=−=− xxxxxxx

La ecuación queda:

)1)(1(1

)1)(1(1

)1(1

22 +−=

+−+

−−

xxxxxxx

x

• Simplificamos la primera fracción:

)1)(1(1

)1)(1(1

)1(1

2 +−=

+−+

− xxxxxxx


)1)(1(1

)1)(1()1(

22

2

+−=

+−++

xxxxxx

xxx


1)1( 2 =++ xxx

• Operamos y reducimos términos semejantes: 01201 222 =−+⇒=−++ xxxxx

• Resolvemos la ecuación obtenida: 012 2 =−+ xx

−=

=

=±−=+±−=⇒=−+res)denominado los anula porquesolución es (no 1

21

431

4811

012 2

x

x

xxx

21=x no anulan los denominadores por eso es solución de la ecuación.

Por tanto,


j) xxxxx

x

51

231

10173)1(7

22 +=

+−

+++


� )5)(23(10173 2 ++=++ xxxx

10 17 3010173 2 ===⇒=++ cbaxx

)5)(23)(5(32

310173

5

630

32

64

61317

612028917

32

1034)17(17

2

2

+++

+=++⇒

−=−

−=−

=±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−=

xxxxxx

x

� )""común factor (sacar )5(52 xxxxx +=+

Luego la ecuación queda:

)5(1

)23(1

)5)(23(77

+=

+−

+++

xxxxx

x


)5)(23(23

)5)(23()5()77(

+++=

+++−+

xxx

x

xxx

xxxx


23)5()77( +=+−+ xxxxx

• Operamos y reducimos términos semejantes: 02623577 222 =−−⇒+=−−+⇒ xxxxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 2 1 6026 2 −=−==⇒=−− cbaxx

−=−

==±=+±=

⋅−⋅⋅−−±

=

21

126

32

128

1271

124811

62

)2(64)1(1 2


32=x y

21−=x no anulan los denominadores por eso los dos son soluciones de la ecuación.

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son 32=x y

21−=x

3. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales:

a) xx 2323 =++

• Aislamos el radical en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:

3232 −=+ xx

• Elevamos al cuadrado los dos miembros:

22 )32()32( −=+ xx


⇒+−=+ 912432 2 xxx 0372061440329124 2)2(:22 =+−→=+−⇒=−−+− xxxxxxx


=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−±=

21

42

34

12

457

424497

22

324)7(7 2

x

COMPROBACIÓN

• 3=x

solución es sí 3323323632

6333323 =⇒⋅=+⋅+⇒

=⋅=+=+⋅+

x

• 21=x

• solución es no 2

1

2

123

2

123

121

2

523321

23=⇒⋅≠+⋅+⇒

=⋅

=+=+⋅+x

Por tanto,


b) 66 =++ xx

• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términos:

xx −=+ 66


22 )6()6( xx −=+


22 )(6266 xxx +⋅⋅−=+

xxx +−=+ 12366

Ahora tenemos una ecuación como la del apartado a), luego repetimos los pasos


xxx ++−−= 36612

3012 =x

• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 6:

25

52 =⇒= xx


22

25

)(

=x

• Finalmente:425=x

COMPROBACIÓN

• 425=x

solución es sí 4

25

4

2566

4

253

27

25

6425

6

27

449

6425

=⇒−=++⇒

=−=−

==+x

Por tanto,


c) 3123 =−+− xx

• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro los demás términinos:

1323 −−=− xx


22 )13()23( −−=− xx


22 )1(132323 −+−⋅⋅−=− xxx

116923 −+−−=− xxx



192316 −+++−=− xxx

xx 21016 −=−

• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación por 2:

xx −=− 513


22 )5()13( xx −=−


21025)1(9 xxx +−=− 03419102599 22 =+−⇒+−=−⇒ xxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida 34 19 1034192 =−==⇒=+− cbaxx

=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−±

=2

2

4

172

34

2

1519

2

13636119

12

3414)19(19 2

x

COMPROBACIÓN

• 17=x

solución es no 17311471172173 =⇒≠=+=−+−⋅ x

• 2=x

solución es sí 2311212223 =⇒==+=−+−⋅ x

Por tanto,


d) 3 2 11 −=+ xx

• Elevamos los dos miembros de la ecuación a 6)3,2.(.. =mcm :

63 26 )1()1( −=+ xx


223 )1()1( −=+ xx 03512133 2342423 =−−−⇒+−=+++⇒ xxxxxxxxx

• Resolvemos la ecuación obtenida: 035 234 =−−− xxxx

∗=−−−

==−−−⇒=−−−

)( 035

0

0)35(03523

23234

xxx

x

xxxxxxxx

)( 03523 ∗=−−− xxx

3 5 1 1 −−−

3 2 1 ++−

0 3 2 1 −− )32)(1(35factor es )1( raíz es 1 223 −−+=−−−⇒+⇒−⇒ xxxxxxx

−==

=±=+±=⇒=−−

−=⇒=+⇒=−−+⇒=−−−

1

3

2

42

2

1242032

101

0)32)(1(035 2223

x

xxxx

xx

xxxxxx

COMPROBACIÓN

• 0=x

solución es no 01010110

1103 2

3 2=⇒−≠+⇒

−=−

=+x

• 1−=x

solución es sí 11)1(1101)1(

0113 2

3 2−=⇒−−=+−⇒

=−−

=+−x

• 3=x

solución es sí 31)3(1321)3(

2133 2

3 2=⇒−=+⇒

=−

=+x

Por tanto,


e) 2

11

1 xx

x=−+

−


12

1

12

)1(22 2

−−=

−−+

x

xx

x

x

1−


1)1(22 2 −=−+ xxx


1212221)1(22 −=⇒−=−+⇒−=−+ xxxxxxxxx


22 )1()2( −= xxx


)1(4 22 −= xxx 054 23232 =−⇒−=⇒ xxxxx

• Resolvemos la ecuación obtenida: 05 23 =− xx

=⇒=−=

⇒=−⇒=−505

00)5(05 223

xx

xxxxx

COMPROBACIÓN

• 0=x

solución es no 0

020

existe no1010

1

=⇒

=

=−+− x

• 5=x

solución es sí 525

1515

1

25

25

221

1515

1

=⇒=−+−

⇒

=+=−+− x

Por tanto,


f) x

xx6

2 =++


xx

xxx 62)( 2

=+⋅+


62)( 2 =+⋅+ xxx


622 =++ xxx


xxx −=+ 622


222 )6()2( xxx −=+


22 12362 xxxx +−=+ 03614 =−⇒ x

• Resolvemos la ecuación obtenida: 7

18

14

36361403614 =⇒=⇒=⇒=− xxxx

COMPROBACIÓNx

xx6

2 =++

• 12=x

⇒

=====

=+=+⋅=+=+=++

142

272

23

76

18

76

7

18

6

718

6

147

1441437

727

732

7

327

718732

7

182

718

718 52

solución es sí 718=⇒ x

Por tanto,


g) )3(4740 2 +=+− xxx


xxx 712440 2 −+=−

xx 31240 2 −=−


222 )312()40( xx −=−


22 97214440 xxx +−=− 05236501047210 2)2(:2 =+−→=+−⇒ xxxx


=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−±

=2

10

205

26

10

52

10

1636

10

1040129636

52

5254)36(36 2

x

COMPROBACIÓN

• 2=x

solución es sí 2)32(42724020)32(4

2014627240 22

=⇒+=⋅+−⇒

=+=+=⋅+−

x

• 526=x

solución es no 526

5164

541

45

152643

526

4

405

2005

1825

185

18225

3245

18225676

40526

7526

402

=⇒

==

+=

+

==+=+=+−=⋅+

−x

Por tanto,


h) xxx −+=+ 1223


1233 +=+ xx


22 )12()33( +=+ xx


)1(49189 2 +=++ xxx 05149449189 22 =++⇒+=++⇒ xxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 5 14 905149 2 ===⇒=++ cbaxx

−=−

−=−

=±−=−±−=⋅

⋅⋅−±−=

118

189

5

18

10

18414

1818019614

92

594)14(14 2

x

COMPROBACIÓN

• 1−=x

solución es sí 1)1(112)1(231)1(112

1)1(23−=⇒−−+−=−⋅+⇒

=−−+−

=−⋅+x

• 95−=x

⇒

−−+−=

−⋅+⇒

=+=+⋅=+=

−−+−

=−=

−⋅+

9

51

9

52

9

523

9

17

9

5

3

4

9

5

3

22

9

5

9

42

9

51

9

52

9

17

9

103

9

523

solución es sí 95−=⇒ x

Por tanto,

Las soluciones de la ecuación son 1−=x y 95−=x

i) 523 =−++ xx

• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás términos:

253 −−=+ xx


22 )25()3( −−=+ xx


22 )2(25253 −+−⋅⋅−=+ xxx

2210253 −+−−=+ xxx



2253210 −+++−=− xxx

20210 =−x

• Simplificamos dividiendo en los dos miembros de la ecuación entre 10:

22 =−x


22 )2()2( =−x


42 =−x 6=⇒ x

COMPROBACIÓN

• 6=x

solución es sí 175232636 =⇒=+=−++ x

Por tanto,


j) 47354 −=+−− xx

• Aislamos uno de los radicales en un miembro de la ecuación, pasando al otro lo demás términos:

47354 −+=− xx


22 )473()54( −+=− xx


16724)7(9)5(16 ++−+=− xxx

167246398016 ++−+=− xxx



166398016724 ++++−=+ xxx

xx 7159724 −=+


22 )7159()724( xx −=+


249222625281)7(576 xxx +−=+ 021249280249492226252814032576 22 =+−⇒+−=+⇒ xxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida:

21249 2802 49021249280249 2 =−==⇒=+− cbaxx

=

==±=±=

⋅⋅⋅−−±

=9

98

88249

2361

98

4722

9819202802

9836864002802

492

21249494)2802(2802 2

x

COMPROBACIÓN 47354 −=+−− xx

• 49

2361=x

solución es no 49

2361

44728

7156

7184

752

3746

449

27043

492116

4749

236135

492361

4

=⇒

⇒−≠==−=⋅−⋅=⋅−⋅=+⋅−−⋅

x

• 9=x

solución es sí 94128432416344793594 =⇒−=−=⋅−⋅=⋅−⋅=+⋅−−⋅ x

Por tanto,


k) 20

4020

−=+−

xxx


20

40

20

20)20( 2

−=

−−⋅+−

xx

xxx


4020)20( 2 =−⋅+− xxx


40)20(20 =−+− xxx

402020 2 =−+− xxx

• Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:

xxx −=− 60202


222 )60()20( xxx −=−


22 120360020 xxxx +−=− 03600100 =−⇒ x

• Resolvemos la ecuación obtenida: 36100

360036001000360010 =⇒=⇒=⇒=− xxxx

COMPROBACIÓN20

4020

−=+−

xxx

• 36=x

⇒

==−

=+=+−

10440

2036

40

1064362036solución es sí 36=x

Por tanto,


l) 3

1

2

2

−+=

+−

x

x

x

x

• Multiplicamos en cruz y nos queda la ecuación:

)1()2()3()2( +⋅+=−⋅− xxxx


22623 +++=+−− xxxxxx

2365 ++=+− xxxx

x84 =

x=21


22

)(21

x=


x=41

4

1=⇒ x

COMPROBACIÓN

• 41=x

341

141

252

3

241

241

53

25

23

321

121

341

141

53

2523

221

221

24

1

24

1

−

+−=

+

−⇒

−=−

=−

+=

−

+

−=−

=+

−=

+

−

solución es sí 41=x

Por tanto,


4. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 10244 =x

5102222)2( 102102 =⇒=⇒=⇒= xxxx

b) 50054 =⋅ x

35512554

5005 3 =⇒=⇒=⇒= xxxx

c) 250055 2 =⋅ x

25log500log

5log500log

5log2500log

500log5log2500log5log50055

25005

2

222

=⇒=

⇒=⇒=⋅⇒=⇒=⇒=

xx

xxxxx

d) 56737 1 =⋅ +x

341338137

5673 4111 =⇒=+⇒=⇒=⇒= +++ xxxxx

e) 8

12

21 =−x

243122 2231 2

±=⇒=⇒−=−⇒= −− xxxx

f) 12

1

31

3−−

−

=x

x

03

00311212133 121 =⇒

−=⇒=−⇒−=−−⇒+=−⇒= +− xxxxxxxxx

g) 17 652

=+− xx

06577 20652

=+−⇒=+− xxxx

==

=±=−±= 2

3

215

224255

x

xx

h) 22 442

=+− xx

03414422 221442

=+−⇒=+−⇒=+− xxxxxx

==

=±=−±= 1

3

224

212164

x

xx

i) 1213 8127 ++ = xx

1483933)3()3( 4839124133 =⇒+=+⇒=⇒= ++++ xxxxxxx

j) 7222 11 =++ +− xxx

� 722222 =⋅++ xx

x

� Hacemos el cambio de variable tx =2

21472

142

4272

2=⇒=⇒=++

⇒=++ ttttt

ttt

� Deshacemos el cambio de variable

1222 =⇒=⇒= xt x

k) 9602222 4321 =+++ −−−− xxxx

� 96022

22

22

22

432=+++

xxxx


1024153601516

1536016

248960

16842=⇒=⇒=+++

⇒=+++ tttttttttt


1022102422 10 =⇒=⇒=⇒= xt xx

l) 117333 11 =++ +− xxx

� 11733333 =⋅++ xx

x


9117133

1173

931173

3=⇒=⇒=++

⇒=++ ttttt

ttt


2939 =⇒=⇒= xt x

m) 198422222 423222122 =++++ −−−− xxxxx

� 198422

22

22

22

24

2

3

2

2

222 =++++

xxxxx


⇒=++++⇒=++++

1631744

1624816

198416842

tttttttttt 10243174431 =⇒= tt


510222102421024 1022 =⇒=⇒=⇒=⇒= xxt xx

n) 775555 21 =++ ++ xxx

� 77555555 2 =⋅+⋅+ xxx


2531775

77531775255 =⇒=⇒=⇒=++ tttttt


25525525 2 =⇒=⇒=⇒= xt xx

o) 081329 2 =+⋅− +xx

� 081332)3( 22 =+⋅⋅− xx

081318)3( 2 =+⋅− xx


081182 =+− tt

=±=−±=⋅

⋅⋅−−±=

9

9

2018

232432418

12

8114)18(18 2

t


2939 =⇒=⇒= xt x

p) 04254 =+⋅− xx

� 0425)2( 2 =+⋅− xx

0425)2( 2 =+⋅− xx


0452 =+− tt

=±=−±=⋅

⋅⋅−±=

1

4

235

216255

12

414)5(5 2

t


2424 =⇒=⇒= xt x

0121 =⇒=⇒= xt x

q) 065975 42 =+⋅− xx

� 01296597)5( 2 =+⋅− xx


01296972 =+− tt

=±=±=⋅

⋅⋅−−±=

16

81

26597

2422597

12

129614)97(97 2

t


5log

81log81log5log81log5log81581 =⇒=⋅⇒=⇒=⇒= xxt xx

5log


r) 0101616 1 =−+ −xx

� 0101616

16 =−+x

x


01610010161016 22 =+−⇒=−+⇒−+ ttttt

t

=±=±=−±=⋅

⋅⋅−−±=

2

8

2610

23610

26410010

12

1614)10(10 2

t


43

34222)2(8168 3434 =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= xxt xxx

41

14222)2(2162 1414 =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= xxt xxx

s) 012553052 =+⋅− xx

� 0125530)5( 2 =+⋅− xx


0125302 =+− tt

=±=±=⋅

⋅⋅−−±=

5

25

22030

240030

12

12514)30(30 2

t


25552525 2 =⇒=⇒=⇒= xt xx

155555 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx

t) 05136132 =+⋅− xx

� 05136)13( 2 =+⋅− xx


0562 =+− tt

=±=±=⋅

⋅⋅−−±=

1

5

246

2166

12

514)6(6 2

t


13log


013131131 0 =⇒=⇒=⇒= xt xx

u) 9502510 21 =⋅− −− xxx

� 95022

55

102

=⋅−xx

x

9502010

10 =−x

x


1000190001920

1900020

20950

20=⇒=⇒=−

⇒=− ttttt

t


310101000101000 3 =⇒=⇒=⇒= xt xx

v) 223324 +⋅=+ xx

� 22 22332)2( ⋅⋅=+ xx

xx 21232)2( 2 ⋅=+

032212)2( 2 =+⋅− xx

� Hacemos el cambio de variable tx =2 032122 =+− tt

=±=±=⋅

⋅⋅−−±=

4

8

2412

21612

12

3214)12(12 2

t


322828 3 =⇒=⇒=⇒= xt xx

222424 2 =⇒=⇒=⇒= xt xx

w) 6551 =+− xx

� 6555 =+ xx


0566565 22 =+−⇒=+⇒=+ tttttt

=±=±=⋅

⋅⋅−−±=

1

5

246

2166

12

514)6(6 2

t


155555 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx

055151 0 =⇒=⇒=⇒= xt xx

x) 22282 22 −=+ +− xx

� 2222822 2

2−⋅=+ x

x


8120151128168161124

8164112

24284

=⇒−=−⇒−−=−⇒−=+⇒−=+

⇒−=+ tttttttt

tt


322828 3 =⇒=⇒=⇒= xt xx

y) 43

13

1=+ −x

x

� 433 1 =+ −xx

43

33 =+

xx


0344343 22 =+−⇒=+⇒=+ ttttt

t

=±=±=⋅

⋅⋅−−±=

1

3

224

244

12

314)4(4 2

t


133333 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx

033131 0 =⇒=⇒=⇒= xt xx

5

z) 265

15

12 =+ −x

x

� 2655 12 =+ −xx

265

5)5( 2 =+

xx


0526265265 332 =+−⇒=+⇒=+ ttttt

t

5 26 0 1 +− 5 25 5 −++ 0 1 5 1 −+ )15)(5()526( 23 −+−=+−⇒ ttttt

Luego

∗=−+

=⇒=−⇔=−+−⇔=+−

)( 015

505

0)15)(5(05262

23

tt

tt

ttttt

+−=

−−=

=±−=+±−=⇒=−+∗

2295

2295

2295

24255

015 )( 2

t

t

ttt


155555 1 =⇒=⇒=⇒= xt xx

xat xx 0 que yasolución tieneno 2

2955

2

295 ∀>⇒−−=⇒

−−=

5log2log)529log(

2log)529log(5log2

295log5log

2295

52

295

−−=⇒

⇒−−=⋅⇒

+−=⇒+−=⇒

+−=

x

xt xx

1

5. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) 450loglog =+x

410log)50log( =⋅x

20050

100001000050 =⇒=⇒=⋅ xxx

b) 0100loglog =+x

1log)100log( =⋅x

1001

1100 =⇒=⋅ xx

c) 10log2 2 =x

3225log2

10log10log2 5

222 =⇒=⇒=⇒=⇒= xxxxx

d) 10loglog2log 3 =− xx

10logloglog 23 =− xx

1010loglog10loglog2

3

=⇒=⇒=

xx

x

x

e) 0)12(loglog 52

5 =−+ xx

1log)]12([log 52

5 =−xx

0121)12( 232 =−−⇒=− xxxx

1 0 1 2 −− 1 1 2 +++ 0 1 1 2 ++ )12)(1()12( 223 ++−=−−⇒ xxxxx





Luego

∗=++

=⇒=−⇔=++−⇔=−−

)( 012

101

0)12)(1(0122

223

xx

xx

xxxxx

realsolución tieneno 2

811012 )( 2 ⇒

−±−=⇒=++∗ txx

f) )2log(2log3)1log()1log( −+=++− xxx

)2log(2log)]1()1log[( 3 −+=+⋅− xxx

)]2(8log[)1log( 2 −⋅=− xx

01581681)2(8)1( 222 =+−⇒−=−⇒−⋅=− xxxxxx

=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−±=

326

52

10

228

260648

12

1514)8(8 2

x

g) 2log)63log(2

1)2log( =−−− xx

2log)63log()2log( 2

1

=−−− xx

2log63log)2log( =−−− xx

6322263

22log

63

2log −=−⇒=

−−

⇒=

−−

xxx

x

x

x

� Tenemos que resolver la ecuación radical: 632)2( −=− xx


22 )632()2( −=− xx


⇒−=+− )63(4442 xxx 02816241244 22 =+−⇒−=+− xxxxx

• Resolvemos la ecuación de 2º grado obtenida: 28 16 1028162 =−==⇒=+− cbaxx

=

==±=±=−±=

⋅⋅⋅−−±

=2

2

4

142

28

2

1216

2

14416

2

11225616

12

2814)16(16 2

x



COMPROBACIÓN

14=x

radicalecuación la desolución es sí 146143221412626143 2

12214=⇒−⋅=−⇒

=⋅=−⋅

=−x

2=x

radicalecuación la desolución es sí 2623222002623 2

022=⇒−⋅=−⇒

=⋅=−⋅

=−x

� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:

2log63log)2log( =−−− xx

2=x no es solución, porque al sustituir en la ecuación inicial aparece 0log

que no existe. (Recuerda que

0 existe log >⇔ xxa )

14=x

sí es solución (al sustituir no hay problemas)

h) 1227log 59 −= x

Aplicamos la definición de logaritmo: )(log xayx ya =⇔=

⇒=−⇒=−⇒=⇒=⇒=⇒−= −−− 3102053

24333)3(2791227log 5

3245 3122512

)(

59 xxx xxx

Definición

2013

1320 =⇒=⇒ xx

i) 4,02

8log

5

−=x


22222

22

28

4,028

log 5

2

5

21

5

3

5

2

1

5

3

5

25 310

454,0

)(

5

=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−=−−−−−−− xxxxxx

Definiciónx




j) 73128log 32 +−= x


⇒=+−⇒=+−⇒=⇒=⇒=⇒+−= +−+−+− 721937

732222128273128log 3

7733 773373

)(

32 xxx xxx

Definición

914

149 =⇒−=−⇒ xx

k) )72(log1)2(log)2(log 777 −−=+−− xxx

)72(log7log2

2log 777 −−=

+−

xx

x

−=

+−

72

7log

2

2log 77 xx

x

→=−⇒+=+−−⇒+=−−⇒

−=

+− )2(:22 018214714472)2(7)72)(2(

72

7

2

2xxxxxxxxx

xx

x

=

=⇒=−⋅⇒=−

9

solución) es no que comprueba seecuación laen sustituir (al 0

0)9(092

x

x

xxxx

l) )13log(1)403log( 2 −+=++ xxx

)13log(10log)403log( 2 −+=++ xxx

)]13(10log[)403log( 2 −=++ xxx

050271030403)]13(10[)403( 222 =+−⇒−=++⇒−⋅=++ xxxxxxxx

=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−±

=2

24

25250

22327

220072927

12

5014)27(27 2

x

La solución de la ecuación es 9

14=x



m) 5loglog3loglog 2 +=− xx

)5log(3

log2

⋅=

x

x

=⇒=−

=⇒=−⇒=−⇒=⇒=

15015

vale)(no 0

0)15(0151553

222

xx

x

xxxxxxxx

n) 2)53log(log =++ xx

100log)]53(log[ =+⋅ xx

010053100)53( 2 =−+⇒=+ xxxx

−=−

==±−=+±−=

⋅−⋅⋅−±−=

vale)(no 320

640

5630

6355

61200255

32

)100(34)5(5 2

x

o) 3ln)2ln(ln2 2 =++ xx

3ln)2ln(ln 22 =++ xx

3ln)]2(ln[ 22 =+xx

)bicuadrada (ecuación 0323)2( 2422 =−+⇒=+ xxxx


0322 =−+ tt


−=

==±−=+±−=⇔=−+

3

1

2

42

2

12420322

t

t

ttt



−==

⇒=⇒=⇒=• vale)(no 1

1111 2

x

xxxt




p) 6loglog2 4 =+ xx

642 10logloglog =+ xx 642 10log)log( =⋅ xx

101066 =⇒= xx

q) 2ln5lnln2 =− xx

2ln5lnln 2 =− xx

2ln5

ln2

=

x

x

1025

=⇒= xx

r)

+=10

log4log2x

x

+=10

log10000loglog 2 xx

⋅=10

10000loglog 2 xx

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒=100001000

vale)(no 00)1000(010001000 22

xx

xxxxxxx

s) xx

log223

log3 =

+

2log23

log1000log xx =

+

2log23

1000log xx =

⋅

2log1500log xx =

=⇒=−=

⇒=−⇒=−⇒=150001500

00)1500(015001500 22

xx

xxxxxxx





t) )3log(2log1)2log( −−+=− xx

)3log(2log10log)2log( −−+=− xx

−⋅=−

)3(210

log)2log(x

x

⇒−

=−)3(

20)2(

xx ⇒=−−⇒=+−−⇒=−− 01452062320)3)(2( 22 xxxxxxx

−−=±=+±=⇒

existe) no )2log( porque vale(no 2

7

2

95

2

56255x


u) )7log(1log xx −−=

)7log(10loglog xx −−=

−=

)7(

10loglog

xx

)7(

10

xx

−= 010710710)7( 22 =+−⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx

=±=−±= 2

5

2

37

2

40497x

v) 32log15log13log −+=++ xx

32log10log)513log( −+=⋅+ xx

)3210log()135log( −=+ xx

322133210)135 )5(: −=+→−=+ xxxx

� Tenemos que resolver la ecuación radical: 32213 −=+ xx


22 )322()13( −=+ xx


513

13512813)32(413 =⇒−=−⇒−=+⇒−=+ xxxxxx


COMPROBACIÓN

513=x

radicalecuación la desolución es sí 544

511

2511

23526

235

1322

544

1539

15

133

2 ⇒

=⋅==−=−⋅

=+=+⋅

� Ahora debemos comprobar si también son solución de la ecuación logarítmica:

32log15log13log −+=++ xx

513=x

sí es solución (al sustituir no hay problemas)

w) 4log20log5log)55( 2 =++− xx

20log4log5log )55( 2

−=+− xx

=+−

204

log5log )55( 2 xx

=+−

51

log5log )55( 2 xx

1)55( 5log5log2 −+− =xx

065155 22 =+−⇒−=+− xxxx

=±=−±= 2

3

215

224255

x

x) 3125log2log)95( 2 =++− xx

1000log125log2log )95( 2

=++− xx

125log1000log2log )95( 2

−=+− xx

=+−

1251000

log2log )95( 2 xx

8log2log )95( 2

=+− xx



3)95( 2log2log2

=+− xx

065395 22 =+−⇒=+− xxxx

=±=−±= 2

3

215

224255

x

y) 2)43log(

)16log( 2

=−

−x

x

)43log(2)16log( 2 −=− xx

22 )43log()16log( −=− xx

⇒=−→=−⇒+−=−⇒−=− 0125024101624916)43()16( 2)2(:22222 xxxxxxxxx

=⇒=−

=⇒=−⋅⇒=−

5

120125

vale)(no 00)125(0125 2

xx

xxxxx

La solución de la ecuación es 5

12=x

z) 3)4log(

)43log( 3

=−−

x

x

)4log(3)43log( 3 xx −=−

33 )4log()43log( xx −=−

07164021481212486443)4()43( 2)3(:232333 =+−→=+−⇒−+−=−⇒−=− xxxxxxxxxx

=

==±=−±=

⋅⋅⋅−−±

=

21

84

vale)(no 4

15830

81216

811225616

42

744)16(16 2

x



ECUACIONES - WordPress.com...2 −1 −5 ECUACIONES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones...

Documents

Transcript of ECUACIONES - WordPress.com...2 −1 −5 ECUACIONES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones...