Ecuaciones

ECUACIONESResolución de problemas

La balanza está equilibrada.

Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas.

10 + 2 = 4 + 8Tenemos una igualdad numérica

Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.

Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=).

10 + 2 = 4 + 8

Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4

Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x

Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.

La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.

La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.

Igualdades y ecuaciones

2º miembro1er miembro

¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada?

La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad.

Platillo izquierdo:

La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700

El valor x = 600 es la solución de la ecuación.

Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.

Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad.

x + 100

Platillo derecho: 500 + 200

Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200

Ejemplo

Solución de una ecuación

La solución de la ecuación

2x – 2 = x + 12 es x = 14

pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3:

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.

Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada:

a) 4 + 4x = 25 – 3xSustituyendo:

b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16

7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro

Ecuación dada:

8x = 16 Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)

2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18

Le sumamos 2 a cada miembro

3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6xRestamos 6x a cada miembro

Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.

Ecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

x = 10 Luego:

Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas.

Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.

x + 5 = 10 + 5

Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8

Regla de la suma

Restamos 8: 2x = x + 25

Restamos x: x = 25

La solución es x = 25

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

– 8 – 8

– x – x

Resuelve x – 5 = 13.

En el primer miembro de la ecuación, 5 se resta de x. Para aislar x, hay que deshacer la resta aplicando la operación inversa de sumar 5. Para mantener el equilibrio, debes sumar 5 a cada lado.

x – 5 = 13

x – 5 + 5 = 13 + 5

x = 18

Escribe la ecuación original.

Suma 5 a cada lado.

Simplifica.

► La solución es 18.

EJEMPLO

Solución

x – 5 = 13 Escribe la ecuación original.

18 – 5 = 1313 = 13

Sustituye x por 18.

La solución es correcta.

COMPROBACIÓN


x + 4 = –3

Resuelve x + 4 = –3.EJEMPLO


x + 4 – 4 = –3 – 4 Resta 4 a cada miembro.

x = –7 Simplifica.

► La solución es –7.

y – 3 = –14

Resuelve y – 3 = –14.EJEMPLO


y – 3 + 3 = –14 + 3 Suma 3 a cada miembro.

y = –11 Simplifica.


x + 4 = –3

–7 + 4 = –3–3 = –3

Sustituye x por –7.


COMPROBACIÓN


3a = 7 + 2a

Resuelve 3a = 7 + 2a.EJEMPLO


3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resta 2a a cada miembro.

a = 7 Simplifica.


3a = 7 + 2a

3·7 = 7 + 2·721 = 21

Sustituye x por 7.


COMPROBACIÓN


x = 5

Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Luego:

Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:

Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9

Regla del producto

Restamos 3: 4x = 2x + 6

Restamos 2x: 2x = 6

La solución es x = 3

4x = 20Hemos dividido por 4

Dividimos por 2 x = 3

Resolución de ecuaciones. Regla del producto

__ __ 2 2

Resuelve 3x = 15.

3x = 15

x = 5


Simplifica.


EJEMPLO

Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x, hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3.

Divide cada lado por 3.3x3

= 153

3x = 15Sustituye x por 5.


COMPROBACIÓN

3·5 = 15

15 = 15


Resuelve 7x = –56.EJEMPLO

7x = –56

x = – 8


Simplifica.



= –567

ResuelveEJEMPLO

y = 60


Simplifica.


Multiplica los dos miembros por 5.

125

y

125

y

5

y·5 = 12 · 5

7x = –56

Sustituye x por –8.


COMPROBACIÓN

7·(–8) = –56

–56 = –56

COMPROBACIÓN

605

= 12


Resuelve 3x – 4 = 17.EJEMPLO

3x – 4 = 17 Escribe la ecuación original.

3x – 4 + 4 = 17 + 4

3x = 21


= 213

Suma 4 a cada miembro.

Simplifica.

x = 7 Simplifica.


3x – 4 = 17

3·(7) – 4 = 17

17 = 17

COMPROBACIÓN

En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto.

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto

ResuelveEJEMPLO 85

3 n

85

3 n

n5

3 – 8 = + 8 – 8

55

n

5 5

n5( ) ( )·5

–25 = n



Resta 8 a cada miembro.

Simplifica.

Simplifica.

Multiplica los dos miembros por 5.


Resuelve 5 – x = 7.EJEMPLO

5 – x = 7 Escribe la ecuación original.

–5 + 5 – x = –5 + 7

Divide por –1.–1x–1

= 2–1


Simplifica.

x = –2 Simplifica.


–1x = 2

5 – x = 7

5 – (–2) = 7

7 = 7

COMPROBACIÓN


Resuelve b + 8 = 18 + 3bEJEMPLO

b + 8 = 18 + 3b

b – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b

b – 3b + 8 = 18

b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8

b – 3b = 18 – 8

–2b = 10

–2b–2

= 10–2

b = –5


Divide por –2.

Resta 3b a cada miembro.

Simplifica.

Simplifica.


Simplifica.

Agrupa.



Transposición de términos en una ecuación

Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número o expresión. Ese proceso podemos realizarlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa» a como estaba:

► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando, aparece sumando.

► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando.

Esta técnica se denomina transposición de términos.

a) Si sumamos a los dos miembros +8,

b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo miembro lo pasamos al primero como –2x.

c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14, pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este último paso se llama despejar la incógnita.

2x = 14

x = = 7142

4x – 8 = 6 + 2x

4x – 2x = 6 + 8

EJEMPLOEJEMPLO Transposición de términos

4x – 8 = 6 + 2x4x – 8 = 6 + 2x

4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8

4x = 6 + 2x + 8Esto equivale a pasar directamente el término –8 al segundo miembro como +8.

Transposición de términos en una ecuación

Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)

a(b + c) = ab + ac

–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6

4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8

(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18

2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8

4(5 + 8) = (6 + 9)2 =

2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2

4·5 + 4·8 == 20 + 32 = 52

6·2 + 9·2 == 12 + 18 = 30

Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.

Cuidado con los signos negativos (–).Recuerda la regla de los signos:

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = –

Cuidado con los signos negativos (–).Recuerda la regla de los signos:

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = –

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

x = 8

2x = 16

2x – 21 = – 5

3x – 21 = x – 5

3x – 21 = 5x – 5 – 4x

3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x

5º. Dividir por 2

4º. Sumar 21

3º. Restar x

2º. Operar 5x – 4x:

1º. Quitar paréntesis:

COMPROBACIÓN

3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x

3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8

3·1 = 5·7 – 4·8

3 = 35 – 32

3 = 3La solución es correcta.

6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)

6 – 4 – x = 8x – 6x –10

–x + 2 = 2x – 10

–x – 2x = –10 – 2

–3x = –12

x = 4

Ecuación original

Simplifica.

Quita paréntesis.

Agrupa.

Divide por –3.

Traspones términos.

Resuelve 6 – (4 + x) = 8x – 2(3x + 5)EJEMPLO

6 – (4 + 4) = 8·4 – 2(3·4 + 5)

6 – 8 = 32 – 34

–2 = –2

COMPROBACIÓN

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.

3º. Operar 3x – 2x

2º. Restar 30:

1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6):

x = 30

3x – 2x = 30

3x + 30 – 2x = 60

562

5

4

xx

4 22 21

6 32 21

4 = 22

2 = 2

6 = 2·3

m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12

Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente:

Recuerda cómo se calcula el m.c.m.:

562

5

4

xx12·( ) ( )·12

2

1

4

3

2

1

xx

2(x + 1) + (x + 3) = 2

2x + 2 + x + 3 = 2

3x + 5 = 2

3x = 2 – 5

3x = –3

x = –13

3x

2

1

4

3

2

1

xx4( ) ( )4

2

1

4

3

2

1

xx4( ) 4( ) 4( )

EJEMPLO

1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 4, que es m.c.m.(2, 4):

2º. Quitar paréntesis.

3º. Agrupar términos semejantes.

4º. Transponer términos.

5º. Despejar la incógnita.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.

1º. Interpretación del enunciado

Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?

Edad de Jorge

2º. Plantear la ecuación

3º. Resolución de la ecuación

4º. Comprobación.

La madre de Jorge tiene 39

y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge

Jorge tiene 15 años

Resolución de problemas

Lenguaje algebraico

x39

3x – 6Son

iguales

3x – 6 = 39

3x = 45

x = 15

Suma 6

Divide por 3

3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto

PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que aumentado en 55 es igual a 6 veces su valor inicial?

Un número

x + 55 = 6x

El número aumentado en 55

es igual a

6 veces el número

x + 55 = 6x 55 = 6x – x 55 = 5x 55/5 = x x = 11

El número aumentado en 55

Seis veces el número

El número buscado es 11

Nº aumentado en 55 11 + 55 = 666 veces el número 6·11 = 66

► 4º. Comprobación.

► 3º. Resolver la ecuación.

► 2º Plantear la ecuación.

► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente.

6x

xx + 55

Correcto


PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.

Lado menor xLado mayor 2x

x + 2x + x + 2x = 78

6x = 78

x = 13

Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm2x = 26 cm

x = 13 cm

2x

xx

2x

► 4º. Comprobación.

► 3º. Resolver la ecuación.

► 2º Plantear la ecuación.

► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente.

x = 786

Perímetro78x + 2x + x + 2x


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