Ecuaciones
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Chapter 1
Ecuaciones
1.1 Ecuaciones
lineales
Forma general de una ecuacion lineal
ax− b = 0 Solucion ⇒ x =−b
a
donde a, b ∈ R y ademas a 6= 0.Observaciones:
i) Si a = 0 y b 6= 0, la ecuacion notiene solucion.
ii) Si a = 0 y b = 0, la ecuacion tieneinfinitas soluciones.
Al resolver una ecuacion lineal el obje-tivo es llevarla a la forma general me-diante las herramientas algebraicas yaconocidas.
Ejemplo: Resolver la siguienteecuacion lineal
2x
3− x + 2
4=
x+ 3
6
Ecuaciones equivalentes
Son aquellas ecuaciones que tienen lamisma o mismas soluciones(mismo con-junto solucion).
Ejemplo: Verificar si las siguientesecuaciones son equivalentes
2x
3− x+ 2
4=
x+ 3
62x
3− x+ 3
5=
4x+ 3
15
Ejercicios:
1.Halle el valor de x en la siguienteecuacion
x
2− 1
√7 +
√2=
1√3 +
√2+
4√7 +
√3
(a) 10 (b) 11 (c) 12
(d) 13 (e) 14
Sugerencia: Racionalize el miembroderecho.
2.Halle el valor de x en la siguienteecuacion.
x− a
ab− x− b
ac=
x− c
bc
ademas se cumple que abc 6= 0.
(a) abc (b) a+ b+ c
(c)a2 + b2
c2(d)
b2
a+ b− c
(e)a2
a+ b− c
1
2 ACADEMIA NOSTRADAMUS
Sugerencia: Multiplique por abc enambos miembros.
3.Halle el conjunto solucion de la sigui-ente ecuacion
x+n+x− 2n
3+x− 3n
5=
23x− 4n
15−2n
donde (n 6= 0)
(a) n (b) 2n (c) 4
(d) 5 (e) N.A.
Sugerencia: Recuerde las observa-ciones.
4.Halle el valor de x
1
4
{
1
3
[
1
2(x− 4)− 3
]
− 2
}
− 1 = 0
(a) 43 (b) 44 (c) 45
(d) 46 (e) 47
Sugerencia: Despeje 1 a la derecha.
Valor absoluto
El valor absoluto de un numero reala ∈ R, denotado por |a|, es pordefinicion:
|a| ={
a, si a ≥ 0 o
−a, si a < 0
Ejemplos:
|3| = 3
| − 3| = 3
|0| = 0
| −√5| =
√5
Ecuaciones con valor absoluto
Ejemplo 1: Resuelva la siguienteecuacion
|3x+ 5| = 4
Ejemplo 2: Resuelva
|2x+ 3| = x+ 1
Propiedad 1: Sean f(x) y g(x) fun-ciones no nulas, la ecuacion
|f(x)| = |g(x)|
tiene por ecuaciones equivalentes:
f(x) = g(x) o f(x) = −g(x)
Ejemplo: Resuelva
|2x− 3| = |x+ 1|
Ejercicios: Resuelva las siguientesecuaciones:
1. |x− 1| = x.
2. |6x− 7| = 3.
3. |3x+ 1| = 2x+ 7.
4. |3x+ 2| = |5x− 3|.
5.|x + 1|2x− 1
= 7, x 6= 1/2.
Ecuaciones de 2do. Grado
ALVARO NAUPAY 3
Forma general de una ecuacion de2do. grado
ax2 + bx+ c = 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0Observacion: Las ecuaciones de
2do. grado siempre tienen dos solu-ciones, estas pueden ser iguales o difer-entes.
Ejemplos:
1.Resuelva la siguiente ecuacion
x2 − 9 = 0
2.Resuelva la siguiente ecuacion
25x2 − 16 = 0
3.Resuelva la siguiente ecuacion uti-lizando el metodo de completacion decuadrados
x2 + 6x− 7 = 0
4.Resuelva las siguientes ecuaciones porel metodo de completacion de cuadra-dos
i) x2 − 8x− 9 = 0
ii) 2x2 − 4x− 8 = 0
iii) 3x2 − 12x− 9 = 0
Metodo de factorizacion
Si la forma general de una ecuacion de2do. grado podemos expresarla de lasiguiente manera
(x−m)(x− n) = 0
donde m, n ∈ R, entonces las solucionesson
x1 = m o x2 = n
Ejemplo 1: Resuelva
x2 + x− 6 = 0
Ejemplo 2: Resuelva
x2 − 25 = 0
Ejercicios: Resuelva por aspa simplelas siguientes ecuaciones
1. x2 + x− 2 = 0.
2. x2 − 10x+ 21 = 0.
3. x2 − 16 = 0
4. x2 − 7 = 0
Metodo general de resolucion
Supongamos que tenemos la siguienteecuacion general de 2do. grado
ax2 + bx+ c = 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0, entonces lassoluciones de esta ecuacion son
x1 =−b+
√b2 − 4ac
2ay
x2 =−b−
√b2 − 4ac
2a
la expresion que se repite en ambas solu-ciones, b2−4ac, la llamaremos discrim-
inante y la denotaremos por el sımbolo△, es decir
△ = b2 − 4ac
reescribiendo las soluciones tendriamos
x1 =−b+
√△
2ay
x2 =−b−
√△
2a
Ejemplos: Resolver las siguientesecuaciones
4 ACADEMIA NOSTRADAMUS
1. x2 − 3x− 4 = 0
2. x2 − 6x+ 9 = 0
3. x2 − 5x+ 1 = 0
4. −2x2 − 3x+ 1 = 0
Propiedades del discriminante
El discriminante nos permite saber lascaracterısticas de las soluciones, sinnecesidad de calcularlas.
a) Si △ > 0 entonces las soluciones sonnumeros reales y diferentes.
b) Si△ = 0 entonces tiene una solucionde multiplicidad dos.
c) Si △ < 0 entonces las raices sonnumeros complejos conjugados.
Ejemplos: Analizar el discriminantede las siguientes ecuaciones
1. 2− 5x2 = 0
2. 2x2 − x+ 5 = 0
3. x2 + x+ 1 = 0
4. 2 + 4x− x2 = 0
5. x2 − 4x− 2 = 0
Relacion entre las raıces y los
coeficiente de la ecuacion
Sea la ecuacion:
ax2 + bx+ c = 0 a 6= 0
se tiene las siguientes relaciones
1. Suma de raıces
x1 + x2 = − b
a
2. Producto de raıces
x1x2 =c
a
3. Suma de las inversas
1
x1
+1
x2
=−b
c
con x1 6= 0 y x2 6= 0
Ejemplo 1: Halle la suma y el pro-ducto de las raıces de la siguienteecuacion
4x2 − 7x− 5 = 0
Ejemplo 2: Si la suma de las inversasde las raıces de la ecuacion cuadratica
mx2 + (2m− 1)x− 7(m− 1) = 0
es 11/35, halle las raıces.
Reconstruccion de la ecuacion
cuadratica a partir de sus raıces
Sean las raıces x1 y x2 de una ecuacioncuadratica, entonces se cumple que
(x− x1)(x− x2) = 0
operando
x2 − xx1 − xx2 + x1x2 = 0
x2 − (x1 + x2)x+ (x1x2) = 0
x2 − Sx+ P = 0
donde
S = x1 + x2 Suma
P = x1x2 Producto
Ejemplo: Halle la ecuacion cuadraticacuyas raıces son 7 y −5
ALVARO NAUPAY 5
Propiedad 2: Si dos ecuacionescuadraticas completas: ax2+ bx+ c = 0y mx2 + nx + p = 0 son equivalentes,entonces se cumple que
a
m=
b
n=
c
p
Ejemplo: Si las siguientes ecuacionescuadraticas son equivalentes
(−2a+ 3)x2 + 9x+ 6 = 0
3x2 + (22− 5b)x− 2 = 0
calcule ab.
Problemas:
1.Determinar la ecuacion de 2do. gradode raıces m y n (m > n) si se sabeque x2 + (m− 1)x−m− 1 = 0, tienesolucion unica(raıces iguales), ademaslas ecuacion x2−(n+1)x+n = 0 tieneuna raız igual a 3.
(a) x2 − 8x+ 15 (b) x2 − 8x+ 5
(c) x2 − 7x+ 15 (d) x2 − 3x+ 1
(e) x2 − x+ 9
2.Determine la suma de los cuadradosde las raıces de al ecuacion
(2k + 2)x2 + (4− 4k)x+ k − 2 = 0
sabiendo que las raıces son recıprocas.
(a) 8/9 (b) 82/9 (c) 28/9
(d) 42/9 (e) 24/9
Nota: Dos raıces son recıprocas cu-ando su producto es uno.
3.Calcule m y n si las ecuaciones:
(2m+ 1)x2 − (3m− 1)x+ 2 = 0
(n+ 2)x2 − (2n+ 1)x− 1 = 0
presentan las mismas soluciones.
(a) m = −9, n = 13/2 (b) 10, 12/5
(c) 2, 2/3 (d) 3/2, 7/8
(e) N.A.
4.Calcule la solucion de la ecuacion
1√
11− 2√x=
3√
7− 2√10
+4
√
8 + 4√3
(a) 30 (b) 5 (c) 20
(d) 13 (e) 10
Sugerencia: Tranformar en radi-cales simples.
5.Si los cuadrados de las 2 raıces realesde la ecuacion: x2 + x+ c = 0 suman9, entonces el valor de c es;
(a) − 5 (b) − 4 (c) 4
(d) 5 (e) − 9
6.El producto de los valores de k, paraque la ecuacion: 3x2+4k(x−1)+2x =0 tenga solucion unica es:
(a) 0 (b) − 1 (c) 1/4
(d) − 1/4 (e) − 4
7.Si x1, x2 son raıces de la ecuacionx2 + px+ q = 0; calcule
(x1 − 1)(x2 − 1)− 1
(a) q − p (b) q + p (c) 1
(d) 0 (e) p
8.Si a y b son las raıces de la ecuacion:x2 − 6x+ c = 0; entonces el valor de:
a2 + b2 + 2c
9
6 ACADEMIA NOSTRADAMUS
es igual a:
(a) 3 (b) 6 (c) − 6
(d) 4 (e) − 3