ecuaciones

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Resolucin de ecuaciones lineales En general para resolver una ecuacin lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos: 1 Quitar parntesis.

Si un parntesis tiene el signo menos delante, se cambian todos los signos de dentro del parntesis.

2 Quitar denominadores. 3 Agrupar los trminos en x en un miembro y los trminos independientes en el otro.

La suma pasa al otro termino de la igualdad como resta y la resta como suma. La multiplicacin pasa al otro termino de la igualdad como divisin y la divisin como

multiplicacin. 4 Reducir los trminos semejantes. 5 Despejar la incgnita y calcular el resultado. 6 Comprobar el resultado.

Ejemplos de resolucin de ecuaciones lineales

Tipo 1.- A X = B

6x = 12

Despejamos la incgnita: 6

12x Calculamos resultado: x = 2 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 6 . 2 = 12

2

Tipo 2.- A + X = B Tipo 3.- AX + B = CX

3x 3 = 6 Agrupamos los trminos semejantes: 3x = 6+3 Realizamos operaciones: 3x = 9

Despejamos la incgnita: 39x

Calculamos resultado: x = 3 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 3 . 3 3 = 6 9 3 = 6 6 = 6

- 2 + x = - 8 Agrupamos los trminos semejantes: + x = - 8 + 2 Realizamos operaciones: x = - 6 Comprobamos sustituyendo x por su valor: - 2 6 = - 8 - 8 = - 8

3

Tipo 4.- AX + B = CX + D Tipo 5 .- A ( B + X ) = C

6x 9 = 7x 1 Agrupamos los trminos semejantes: 6x 7x = 1 + 9 Realizamos operaciones: x = 8


8x

Calculamos resultado: x = 8 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 6 . 8 9 = 7 . 8 1 48 9 = 56 1 - 57 = - 57

8( - 2 +x ) = 40 Quitamos parntesis: -16 +8x = 40 Agrupamos los trminos semejantes: 8x = 40 + 16 Realizamos operaciones: 8x = 56


Calculamos resultado: x = 7 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 8 (- 2 + 7) = 40 8 . 5 = 40 40 = 40

4

Tipo 6 .- A ( X B ) = BX + C Tipo 7 .- A ( B + X ) = C ( D + X )

3 ( 2x 1 ) = 7x 7 Quitamos parntesis: 6x - 3 = 7x - 7 Agrupamos los trminos semejantes: 6x 7x = 7 + 3 Realizamos operaciones: -x = - 4 Multiplicamos por -1 los dos trminos: x= 4 Comprobamos sustituyendo x por su valor: 3 ( 2 . 4 -1 ) = 7 . 4 7 3 ( 8 1) = 28 -7 21 = 21

-3 (-1 +x ) = -1 (+15 +x ) Quitamos parntesis : +3 3x = -15 - x Agrupamos los trminos semejantes: - 3x + x = 15 - 3 Realizamos operaciones: - 2x = - 18


18x

Calculamos resultado: x = 9 Comprobamos sustituyendo x por su valor: -3 (-1 + 9 ) = -1 (+ 15 + 9) - 3 . + 8 = -1 . + 24 - 24 = - 24

5

Tipo 8 .- A ( BX + C ) = D ( EX + F )

Tipo 9 .- CBAX

-5 (- 4x - 3 ) = - 4 (2x - 1 ) Quitamos parntesis: +20x + 15 = - 8x + 4 Agrupamos los trminos semejantes: + 20x + 8x = 15 + 4 Realizamos operaciones: 28x = - 11


Calculamos resultado: 2811x

Comprobamos sustituyendo x por su valor:

- 5 (-4 . 2811 - 3 ) = - 4 (2 .

2811 - 1)

- 5 (2844 3) = - 4 (

2822 -1)

- 5 (2840 ) = - 4 (

2850 )

28

200 =28

200

54

10 x

Qui tamos denominadores: 10x = - 20

Despejamos la incgnita: x = 1020

Calculamos resultado: x = - 2

Comprobamos sustituyendo x por su valor: 10. 42

= 5

420 = 5 5 = 5

6

Tipo 10 .- CBxA

Tipo 11 .- DC

BAx

224 x

Qui tamos denominadores: 4 = 4x

Despejamos la incgnita: x = 44

Calculamos resultado: x = 1 Comprobamos sustituyendo x por su valor:

2

4 = - 2

- 2 = - 2

28

510 x

Qui tamos denominadores mult ip l icando en cruz: 20 x = - 40


Calculamos resultado: x = -2

Comprobamos sustituyendo x por su valor: 28

52.10

4520

4 = 4

7

Tipo 12.- DC

BxA

Tipo 13.- EC

DxBA )(

32

24

x

Qui tamos denominadores mult ip l icando en cruz: -12 = + 4x




64

Multiplicamos en cruz: - 12 = -12

55

3) x 7 ( 3

Qui tamos parntesis: 55

33x 21

Qui tamos denominadores mult ip l icando el numerador de la 1 igualdad por el denominador de la 2 y el numerador de la 2 por el denominador de la 1: -105 - 15 x = -15 Agrupamos los trminos semejantes: -15 x = 105 -15 Realizamos operaciones: - 15x = 90


90x



3) 67 ( 3

3. 1 / 3 = 1 3 / 3 = 1

8

Tipo 14.- H

FExGD

CBxA )()(

3

)45(45

)24(5 xx

Qui tamos parntesis: 3

16205

1020 xx

Qui tamos denominadores mult ip l icando el numerador de la 1 igualdad por el denominador de la 2 y el numerador de la 2 por el denominador de la 1: -60x - 30 = -100x +80 Agrupamos los trminos semejantes: - 60x + 100x = 30 + 80 Realizamos operaciones: 40x = 110


110x

Simplificamos: 4

11x Comprobamos sustituyendo x por su valor:

3

)44

115(4

5

)24

114(5

3

)44

55(4

5

)2444(5

3

)4

1655(4

5

)4

844(5

3

)4

39(4

5

)452(5

34

156

54260

3

39565

13 = 13

9

Tipo 15.- )()( xDCFExBA

)22(232

)1(2 xx

Qui tamos parntesis: xx 445

22

Qui tamos denominadores: + 2 2x = +20 20x Agrupamos los trminos semejantes: - 2x + 20x = +20 2 Realizamos operaciones: 18x = 18


Calculamos: x = 1 Comprobamos sustituyendo x por su valor:

)22(232

)11(2

)0(25

)0(2 0 = 0

10

Tipo 16.- ec

kBx

jAx

13

42

2

xx Quitamos denominadores calculando el mcm de -2, -4, -1 y div id iendo este por el denominador y mult ip l icando por el numerador: m.c.m = -4 - 2x 2x = -12 Realizamos operaciones: - 4x = - 12 Calculamos: x = 3 Comprobamos sustituyendo x por su valor:

13

46

23

mcm ( -2, -4 , - 1) = - 4 - 6 6 = - 12 - 12 = - 12

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Resolucin de problemas con ecuaciones de primer grado

A. TRADUCCIN DE ENUNCIADOS El doble de un nmero 2x Nmero impar 2x+1 El triple de un nmero 3x Dos impares consecutivos 2x+1

2x+3 Cuatro veces un nmero 4x Dos pares consecutivos 2x

2x+2 La mitad de un nmero x/2 rea de un rectngulo cuya base

mide el doble de la altura Altura=x Base=2x

La tercera parte de un nmero

x/3 La suma de tres nmeros impares consecutivos.

1 2x+1 2 2x+3 3 2x+5

La cuarta parte de un nmero

x/4 Un nmero menos tres x-3

El siguiente de un nmero x+1 Cinco menos que el doble de un nmero

2x-5

El anterior de un nmero x-1 Dos veces un nmero ms 8 2x+8 Un nmero par 2x Tres veces la diferencia de un

nmero y 5 3(x-5)

B. RESOLUCIN DE PROBLEMAS Ejemplo 1. Un nmero y su siguiente suman 53. Qu nmeros son? Solucin. a) IDENTIFICACIN DE DATOS

Un nmero x Su siguiente x+1

La suma 53

b) PLANTEAR ECUACIN x+(x+1)=53

c) RESOLUCIN ECUACIN

x+(x+1)=53 x+x+1=53 x+x=53-1

2x=52 x=52/2 x=26

d) SOLUCIN Los nmeros son 26 y 27 e) COMPROBACIN

12

26+27=53

13

Ejemplo 2. Un nmero y su anterior suman 99. Qu nmeros son? Solucin. a) IDENTIFICACIN DE DATOS

Un nmero x Su anterior x-1 La suma 99

b) PLANTEAR ECUACIN x+(x-1)=99 c) RESOLUCIN ECUACIN x+x-1=99 2x-1=99 2x=99+1 2x=100 x=100/2 x=50 d) SOLUCIN Los nmeros son: 49 y 50 e) COMPROBACIN 50+49=99

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Ejemplo 3. La suma de un nmero ms su doble ms su mitad es 42. Qu nmero es? Solucin. a) IDENTIFICACIN DE DATOS

Un nmero x Su doble 2x Su mitad x/2 La suma 42

b) PLANTEAR ECUACIN x+2x+x/2=42 c) RESOLUCIN ECUACIN quitamos denominadores 2x+4x+x=84 7x=84 x=84/7 x=12 d) SOLUCIN El nmero es 12 e) COMPROBACIN 12+24+6=42

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Ejemplo 4. El triple de un nmero menos 5 es igual a 16. Cul es el nmero? (S: 7) Solucin. a) IDENTIFICACIN DE DATOS

Un nmero x Su triple menos 5 3x-5

Diferencia 16

b) PLANTEAR ECUACIN 3x-5=16 b) RESOLUCIN ECUACIN 3x = 16+5 3x = 21 x = 21/3 x=7 d) SOLUCIN El nmero es 7 e) COMPROBACIN (3x7) - 5=16

16

Ejemplo 5. Al sumarle a un nmero 60 se obtiene lo mismo que si se multiplica por 5. Cul es el nmero? Solucin. a) IDENTIFICACIN DE DATOS

Un nmero x El nmero ms 60 x+60

Nmero multiplicado por 5 5x

b) PLANTEAR ECUACIN x+60=5x c) RESOLUCIN ECUACIN 60=5x-x 60=4x x=60/4 x=15 d) INTERPRETACIN El nmero es 15 e) COMPROBACIN 15+60=5x15 75=75

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