ECUACIONES CUADRÁTICAS.

Una ecuación se llama cuadrática o de segundo grado con una incógnita cuando toma la forma

, siendo y constantes y .Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en completas e incompletas. A las ecuaciones incompletas les puede faltar el término o el término .

Ejemplos. . Es ecuación completa tiene todos los términos.

. Es ecuación completa tiene todos los términos.

Es incompleta, le falta el término .

. Es incompleta, le falta el término . A este tipo de

ecuación se le llama ecuación cuadrática pura.

RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO es hallar los valores de que satisfagan la ecuación. Estos valores reciben el nombre de soluciones o raíces de la

ecuación dada.Ejemplo. Se satisface para y . Por tanto y son soluciones o raíces de la citada ecuación.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

a) ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS.

Ejemplos. 1. , tendremos , , y las raíces son y .

2. ; ; , y las raíces son y

.

3. ; , , y las raíces son y .

b) ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS (FALTA EL TÉRMINO ).

Ejemplos. 1. , factorizando tendremos , el producto de los dos

factores será cero cuando lo sea uno cualquiera de ellos o

ambos a la vez, por lo que y y las raíces son

y .

2. ; ; y las raíces son y .

3. ; ; y las raíces son y .

NOTA: Observe que para este tipo de ecuaciones una raíz siempre es cero.

______________________________ José Alfredo Sevilla López

c) POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES (Factorización). Ejemplos. 1. , factorizando tendremos , igualando

ambos factores a cero obtenemos y y las raíces son:

y .

2. , se puede factorizar como . Por lo tanto

y , y las raíces son y .

3. se puede factorizar como . Por lo tanto la

ecuación tiene una raíz doble .

d) COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Ejemplo. 1. se escriben del mismo lado los términos con la incógnita

Y se pasa el término independiente al otro lado de la igualdad.

al sumar 9 a ambos miembros de la igualdad, el primero

se transforma en un trinomio cuadrado perfecto .factorizando y simplificando:

extrayendo la raíz a ambos lados tenemos:

es decir:por lo que las dos raíces son:

y .

NOTA: Para aplicar este método el coeficiente de debe ser 1, y el número que se suma a los dos miembros es igual al cuadrado de la mitad del coeficiente de .

Ejemplo. 2. dividiendo por 3

sumamos a ambos lados

factorizando y simplificando.

extrayendo la raíz a ambos lados tenemos:

; ;

las dos raíces son:

Ejemplo. 3. dividiendo por 3

sumamos a ambos lados

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factorizando y simplificando.

extrayendo la raíz a ambos lados tenemos:

; ;

las dos raíces son:

d) APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL.

Las soluciones de la ecuación de segundo grado vienen dadas por la fórmula

; en la que recibe el nombre de discriminante de la ecuación

cuadrática.

La deducción de la fórmula se deja como ejercicio.

Ejemplo 1. . En este caso a = 3, b = 2, c = -5, por lo que:

, , Como en el ejemplo 2 del inciso

anterior.

Ejemplo 2. a = 4, b = 8, c = 13, por lo que:

, las raíces son complejas.

,

PROBLEMAS PROPUESTOS.

a) Resolver las ecuaciones cuadráticas puras.

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1.

2.

3.

4.

5.

6.

b) Resolver por descomposición en factores.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

c) Resolver completando el trinomio cuadrado perfecto.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

d) Resolver aplicando la fórmula general.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

e) PROBLEMAS DIVERSOS.

1. Hallar dos números sabiendo que la suma de sus cuadrados es 34 y que uno de ellos es igual al

doble del otro menos 1.

2. Hallar las dimensiones de un terreno rectangular cuyo perímetro es 50 m y su área es 150 m2.

3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a 34 cm. Hallar las longitudes de los catetos

sabiendo que uno de ellos es 14 cm. mayor que el otro.

4. Un piloto realiza un vuelo de 600 Km. sabiendo que si aumenta la velocidad en 40 Km/h. podría

recorrer dicha distancia en 30 minutos menos, hallar su velocidad.

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5. Un comerciante compra determinado número de lápices por $ 180 y los vende todos menos 6, con

una ganancia de $ 2 en cada lápiz. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podría haber

comprado 30 lápices más que antes, calcular el precio de cada lápiz.

6. Hallar un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es igual al doble de la cifra de

las unidades, y que si se multiplica dicho número por la suma de sus cifras se obtiene 63.

7. Hallar un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas excede en 3 a la cifra de las

unidades y que el número es igual a la suma de los cuadrados de sus cifras menos 4.

8. Dos personas parten del mismo punto y al mismo tiempo dirigiéndose por dos caminos

perpendiculares. Sabiendo que la velocidad de una de ellas es 4 Km/h más que la de la otra, y que al

cabo de 2horas distan 40 Km. hallar sus velocidades.

9. Por medio de un grifo A se llena un depósito en 4horas. Por medio de otro B se llena en 3 horas más

que empleando los dos grifos A y B simultáneamente. Hallar en cuánto tiempo se llena el depósito

utilizando sólo el grifo B.

10. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba. La distancia s (metros) del punto de partida en función

del tiempo t (seg) viene dada por . a) Hallar los instantes en los que el objeto está a una

distancia de 15m. b) determine si el objeto alcanza una altura de 25 m. c) Hallar la máxima altura

alcanzada por el objeto.

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