1

© copywriter

2

Objetivos:Objetivos:

• Conocer la forma general de una ecuaciConocer la forma general de una ecuacióón n cuadrcuadrááticatica

• Resolver ecuaciones cuadrResolver ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:

– Método de factorizaci factorizacióónn– Método de raíces cuadradas– Método de completar el cuadrado completar el cuadrado– Método de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

© copywriter

3

Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas

Definición Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma 02 cbxax

0con constantesson y , donde acbase conoce como ecuación cuadrática.

Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:Método de factorizaci factorizacióónnMétodo de raíces cuadradasMétodo de completar el cuadrado completar el cuadradoMétodo de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

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4

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

0910 )1 2 xx

3319 2 )2 2 xx

259 )3 2 x

205 )4 2 x

0148 )5 2 xx26) 7 0x

© copywriter

5

El procedimiento para el El procedimiento para el Método de Método de Factorización es:Factorización es:

• Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.• Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.• Use la propiedad del producto nulo para reducir a Use la propiedad del producto nulo para reducir a

ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.• Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.

1. Método de Factorización1. Método de Factorización

Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas

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6

Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.factorización.

910 )1 2 xx

09102 xx

019 xx

09 x ó 01x

9x 1x

{ }C. S.= 9, 1

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7

3319 2 )2 2 xx

033192 2 xx

01132 xx

032 x ó 011x

32 x

2

3x

11x

3C.S.= , 11

2

￬￭�￮

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823) 2 18x x22 18 0x x

2 9 0x x

2 0x ó 9 0x

0

2x

0x

9x

{ }C.S.= 0, 9© copywriter

924) 9 36x

29 36 0x

2 4 0x

2 0x

ó

2 0x

2 2 0x x

2x 2x

{ }C. S.= 2, 2

29 36 0

9 9 9

x

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10

2Si entonces ó .

Teorema:

x p x p x p

2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada

2Recordar que x x x ﾱ0

0

x si x

x si x

ﾳ￬￭ <￮

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11

El procedimiento para el Método de Raíz Cuadrada

1. Despeje la variable cuadrática2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de

la ecuación3. Simplifique

Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el coeficiente del término lineal es cero.

Empezar

Método de Raíz Cuadrada

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12

21) 9 25x

9

25

9

9 2

x

9

252 x

2 25

9x

3

5x

5 5C. S.= ,

3 3

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5

3x ﾱ

Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de la Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz cuadrada.raíz cuadrada.

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13

22) 5 20x

25 20x

205 x

5 4 5x ﾱ ￗ

525 x

525x

{ }C. S.= 5 2 5, 5 2 5

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14

Procedimiento para completar el cuadrado

1. Deje a un lado los términos con variables.

2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.

3. Encuentre el término que completa el cuadrado.El término que completa el cuadrado se encuentra dividiendo el coeficiente del términolineal por 2 y elevando al cuadrado.

4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.

5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.

3. El método de completar el cuadrado

© copywriter

15

0148 )1 2 xx

1482 xx

2

2

8 24 16

14 82 xx 16 16

21682 xx© copywriter

16

21682 xx

244 xx

24 2 x

24 2 x

24 x

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17

24x

24 x

{ }. 4 2, 4 2C S

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18

014129 )2 2 xx29 12 14

=9 9 9

x x

2 4 14

3 9x x

2 4 14

3 9 x x

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23

422

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19

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2 2. . 2, 2

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21Ejemplo:Ejemplo:Resuelva para Resuelva para x x completando el cuadradocompletando el cuadrado

2 0ax bx c

2 a b c

x xa a a

2 b c

x xa a

2 b c

x xa a

2

24

b

a

2

24

b

a

2 22

2 24 4

b b b cx x

a a a a

2 2

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4

2 4

b b acx

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4a

4a

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b

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b b acx

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b b acx

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2

2

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b b acx

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2 4

2 2

b b acx

a a

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2 4

2 2

b b acx

a a

ﾱ

2 4

2

b b acx

a

ﾱ

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

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23

Teorema: Las soluciones de una ecuación cuadrática 02 cbxaxdonde , y son constantes y 0a b c a ﾹestán determinadas por la fórmula:

aacbbx 2

42 La misma es llamada la fórmula cuadrática.

4. La Fórmula Cuadrática

© copywriter

24

aacbbx 2

42 2Al número se le llama el discriminante d

Definición

e la ecuacb ón.4 iac

Aclaración:Aclaración:1. Si el discriminante es un número positivo; la Si el discriminante es un número positivo; la ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; la número negativo; la ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.

© copywriter

25Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

018248 )1 2 xx

8, b 24 y c 18a

aacbbx 2

42

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268, b 24 y c 18a

82

18842424 2 x

16

57657624 x

24

2x

ﾱ 24 24 8

8

18

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27

16

57657624 x

16

024 x

24 0

16x

ﾱ

24

16x

2

3

2

3..SC

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28

0523 )2 2 xx

3, b 2 y c 5a

aacbbx 2

42

2 4 60

6

ﾱ

22 2 3 54

32x

ﾱ

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29

2 4 60

6x

ﾱ

6

562

2 4 14 1

6

ﾱ

2 2 14

6

ix

ﾱ

© copywriter

30

2 2 14

6

ix

ﾱ

2 2 14

6 6i ﾱ

iSC3

14

3

1..

1 14

3 3x i ﾱ

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3123) 3 2x x

1, b 3 y c 2a

aacbbx 2

42

23 3 4 1 2

2 1

ﾱ

2 3 2 0x x

© copywriter

32

23 3 4 1 2

2 1x

ﾱ

3 9 8

2x

ﾱ

3 1

2x

ﾱ

3 1

2x

ﾱ

3 1 3 1

2 2x ó x

2x 1x

{ }. . 2,1C S © copywriter

33Ejercicios:Resuelve la ecuación por el método de factorización.

ddd

nn

dd

y

mm

dd

dd

163215.7

4.6

01617.5

04936.4

0124.3

0144.2

012144.1

23

3

24

2

2

2

2

© copywriter

34Ejercicios:Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.

2

2

2

2

4

1. 4 16 0

2. 1 0

3. 4 32 0

4. 36 49

5. 16 0 *

d

d

m

y

d

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35Ejercicios:Resuelva la ecuación completando el cuadrado.

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

2. 4 12 0

3. 2 4

4. 17 16 0

5. 3 1

d d

m m

y y

d d

d d

© copywriter

36

Ejercicios:Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

2. 4 4 1 0

3. 4 12 0

4. 36 49 0

5. 17 16 0

d d

d d

m m

y

d d

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37

Resuelve la ecuación usando factorización.

012144.1 2 dd2

2 2

4 14 2

2

0

2

1d d

22 7 6 0d d

2 3 2 0d d

2 3 0 2 0d ó d © copywriter

38

2 3 0d

2 3d

3

2d

2d

2 0d

3. , 2

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39

22. 4 4 1 0d d

2 1 2 1 0d d

2 1 0 2 1 0 d ó d

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1

2d

1

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41

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6y

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6 6C S ￬ ￭�

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6 7 6 7y ó y

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42

4 25. 17 16 0d d

2 216 1 0d d

4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d

4d 4d 1d

{ }. . 4, 4,1, 1C S

4 4 1 1 0d d d d

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43

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2 4 0n n

0 2 0 2 0n ó n ó n

0n 2n 2n

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3 4 0n n

2 2 0n n n

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44

3 27. 15 32 16 0d d d

215 32 16 0d d d

0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d

0d 4

5d 4

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4 4. . , ,0

5 3C S

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5 4 3 4 0d d d

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45

21. 4 16 0d

Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.

24 16d 24 16

4 4

d

2 4d 2 4d

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46

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2

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2

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4 32

4 32

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8

8

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36 3649

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49

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2

2

2

2

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1. 4 14 12 0

4 14 12

4 14 12

4 4 47

347 49 49

34 16 16

7 48 49

4 16 16

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d

Resuelva la ecuación completando el cuadrado.2

7 1

4 16

7 1

4 47 1

4 46 8

o 4 43

o 22

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2

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51

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2

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2 2 21

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22 16 16

1 32 1

4 16 16

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52

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2

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2

2

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17 16

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4 4

17 64 289

2 4 4

17 225

2 4

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2 217 15

2 217 15 17 15

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53

2

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2

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3 4 9

2 4 4

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3 5.

2 2

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54

Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

4 14 12 0

2 2 2 2

2 7 6 0

7 7 4 2 6

2 2

7 49 48

4

7 1

4

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4 4 4 4 1

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812 12 12 12

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17 289 64

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