Ecuaciones d soporte
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En la vida siempre debe existir el reto con respeto.
En la familia debe existir el don del amor
En el trabajo la gracia de DIOS
En el estudio la humildad del saber
En la gloria la dicha del triunfo.
Actividad 1.(40 min)
1.- ¿Qué es una ecuación?
2.- ¿Qué tipo de Ecuaciones usted conoce?
3.- ¿Qué métodos de resolución más a utilizado?
4.- ¿Cómo son las soluciones de las mismas?
5.- Realice un resumen en un mapa del estudio de las ecuaciones, con sus distintas formas de resolución
6.- Sus representaciones como son.
7.- ¿Cuál es la diferencia entre función explicita e implícita?
Socialización (20min)
BLOQUE CEjes A
FUNCIONES
NUMÈRICO MEDIDAD GEOMÈTRICO
ESTADÌSTICO
DEMOSTRATIVO
RAZONAMIENTO
CONEXIÒN
COMUNICACIÒN
REPRESENTACIÒN
CAP 1. INTRODUCCIÒN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
OBJETIVO
Analizar las distintas formas de manifestaciones de una ecuación diferencial.
Clasificar las ecuaciones diferenciales según el orden.
Deducir el tipo de ecuación diferencial.
Construir ecuaciones diferenciales.
TAXONOMÌA DE BLOOM
Logros
Identifique la importancia de las ecuaciones diferenciales en la vida practica el maestrante.
Realice modelaciones sencillas con problemas de la vida COTIDIANA.
Jerarquice sus conocimientos en los temas del Análisis Matemático, Análisis Numérico, Topología, Geometría, Trigonometría y aplica en otras ciencias.
INTRODUCCIÒN
DEFI
NI
CI
ONES Y TERMI
NOLOGI
AS
Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parcialesOrden de una ecuación diferencialEcuaciones diferenciales lineales y no linealesForma normalSolución de una ecuación ordinariaSoluciones explicitas e implícitasSolución trivial, familia de soluciones, solución singular.
PROBLEMAS DE VALORES I
NI
CI
ALES
CLASIFICACIÒN SEGÚN EL TIPO.CLASIFICACIÒN SEGÚN EL ORDEN.CLASIFICACIÒN SEGÚN LA LINEALIDAD.
MODELOS DE LAS ECUACI
ONES DIFERENCI
ALES
ES EL DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN SUS DISTINTAS MANIFESTACIONES FISICAS QUIMICAS ECONOMICAS OTRAS
HERRAMIENTA
Como cálculo se definió que representa la derivada de una función que no es otra que
APLICACIÒN:
Hallar dx
dyde la función
20.3xey = definida ] [¥¥,-
DEFINICIÒN
Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Las mismas que se clasifican de acuerdo al tipo, orden y linealidad.
SEGÚN EL TIPO
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
2
OBSERVACIÒN:Representación de Leibniz
MOTIVACIÒN
41. EL NÚMERO. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. - Ninguna cifra es impar. - La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. - La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta.
motivación
29. COLOCANDO NÚMEROS (1). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:
a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.
CLASIFICACIÒN SEGÚN EL ORDEN(Ordinaria o derivadas parciales)
Manifestaremos que se lo identifica por la derivada de mayor orden en la ecuación. Así
Segundo orden Primer orden
xey43
dx
dy5
2dx
y2d
CLASIFICACIÒN SEGÚN LA LINEALIDAD
Se dice que una ecuación diferencial de la forma
es lineal si F es lineal en
de otra forma e.d.o. de orden n es lineal cuando F toma la forma
,
o bien
Concluye:La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, que el exponente de todo término donde aparece y es uno.
Cada coeficiente sólo depende de x, que es la variable independiente.
ECUACIÒN DIFERENCIAL ORNINAL NO LINEAL
Una ecuación diferencial ordinaria no lineal simplemente es aquella que no es lineal, las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, como por ejemplo o , no pueden aparecer en ninguna ecuación lineal por consiguiente.
SOLUCIÒN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Cualquier función 𝜙 definida en un intervalo I que posea al menos n, derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n se reduce la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo
Intervalo de definición: Al intervalo I tiene los nombres intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto (a, b), cerrado [a, b], infinito (a,∞ ) etc.
SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLICITAS
Al estudiar funciones o el mismo cálculo uno se familiariza con los términos funciones explícitas e implícitas.
Función explícita: Cuando la solución de la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente, en nuestro caso para la forma que podemos manejar, evaluar, y diferenciar empleando las reglas establecidas.
Función implícita: Cuando las funciones no nos llevan a la forma especialmente cuando se trata de resolver ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden se toma la forma G(x, y)=0 que defina una solución de implícitamente.
ACTIVIDAD 2 (1 HORA)
VERIFICAR QUE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS LAS FUNCIONES DADAS SON SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES INDICADAS.
Familia de Soluciones. El estudio de e.d es semejante al del
cálculo integral. A veces, a una solución 𝜑 se le llama integral de la ecuación y a su grafica, curva integral o curva solución.
En el cálculo al evaluar una antiderivada o una integral indefinida empleamos una sola constante c de integración, en forma similar, al resolver una ecuación diferencial de primer orden en general tenemos una solución con una sola constante arbitraria o parámetro c.
SIGNIFICADO Una solución con una constante arbitraria
representa un conjunto
G(x, y, c)=0 de soluciones, y se llama familia monoparamétrica de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial del orden se busca una familia
n-paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2,…, cn)=0. Esto nos indica que una sola ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las elecciones ilimitadas del parámetro o parámetros.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO.
A las ecuaciones diferenciales de este tipo se las representa (1). Esta ecuación nos indica la relación entre la variable independiente x, la variable dependiente y, y su derivada . De la ecuación diferencial , despejamos la derivada y tendremos
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE VARIABLE SEPARABLE
Si de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado la misma que , podemos expresarla en la forma (2)
Donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación (2) se denomina ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable y la solución general se obtiene por integración directa es decir , donde C es constante de
integración.
Problemas Modelo
•Resolver la ecuación diferencial xeydx
dy 21
•Resolver la ecuación diferencial 0sec1sec ytagyeydxe xx , y=60o si x=3
•Resolver la siguiente ecuación diferencial 02222 yxxdx
dyxyy
Resolvamos los siguientes problemas.
Actividad 1
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciables
1.- Integrar la ecuación
2.- para x=1, y=1
3.
Soluciones:
1.-
2.- y=1
3.-
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE
Las ecuaciones diferenciales de la forma (1) Donde a,b y c son constantes, no son
de variables separables, por lo que para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se transforma a una ecuación diferencial de variables separables, mediante la sustitución z=ax+by+c de donde , que al remplazar en (1) se obtiene una nueva ecuación diferencial que es de variables separables así: de donde , separando las variables
Problema Modelo
•Resolver la siguiente ecuación diferencial
1. Resolver la siguiente ecuación diferencial ,3222 yyx
CAPITULO 2ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS
Diremos que la función f(x, y) es homogénea de grado k, en x e y, si y sólo si, cumple con las condiciones siguientes
OBJETIVO
Reconocer una ecuación diferencial ordinaria homogénea.
Desarrollar ecuaciones diferenciales homogéneas aplicando principios de reducción a homogéneas
Interpretar ecuaciones diferenciales ordinarias exactas
Aplicar el principio de factor de integración en las ecuaciones diferenciales ordinarias.
PROBLEMAS MODELO
Dar solución a los siguiente interrogante ¿Cuál es homogénea y el grado:
32 4, yyxyxf
ysenxxyxf cos., 2
DEFINICION
Diremos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y de primer grado de la forma , es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y citemos algunos ejemplo
0222223 dyyxxydxyxyx
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria homogénea (1)
Entonces
(2)
Con esto demuestre e d h con vs
Considere
Problema
•Resolver la siguiente ecuación diferencial 0lnlnlnln dyxyxdxxyyyx
La inspiración del sabio es la humildad.
•Resolver la siguiente ecuación diferencial 03 222 dyxdxyxyx
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS
Las ecuaciones diferenciales de la forma (1) no son homogéneas, porque tanto el numerador como el denominador aparecen dos constantes y , estas constantes se pueden eliminar mediante una traslación, transformando a la ecuación (1) en una ecuación diferencial homogénea, para lo cual se considera las ecuaciones (2) donde el punto de intersección es (h, k) Si la trasladamos el origen de coordenadas (h, k) las ecuaciones (2) se transforman
y haciendo el cambio de donde dzdx y dwdy se tiene de (1)
z
wF
z
wba
z
wba
fwbza
bwazf
dz
dw
,,,,
(3)
OBSERVACIÒN
sin embargo e tiene ,,
,,,
,
, bbaab
b
a
a
b
a
b
a de donde se educe
ybxagcybxa
cybxaf
cybxa
cbyaxf
dx
dy22,,,
,,
,,,
0:0: ,,,21 cybxaLcbyaxLCuando son paralelas no se aplica este método,
OBSERVACIÒN 2
Otra forma de transformar a una ecuación diferencial homogénea, las ecuaciones diferenciales que no son homogéneas, es mediante la sustitución de la variable ocurriendo esto cuando todos los términos de la ecuación son del mismo grado atribuyendo el grado 1 a la variable x , el grado a la variable y, y el grado a la derivada
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS
a.- DIFERENCIAL TOTAL: Sí ,es una función diferenciable en , entonces la diferencial total de f es la función , cuyo valor está dado por
b.-DIFERENCIAL EXACTA: Una expresión de la forma , se denomina exacta si existe una función tal que , es decir que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de x e y se llama diferencial exacta.
c.- DEFINICIÒN: Consideremos la ecuación diferencial …α , si existe una función tal que , diremos que la ecuación … α es una ecuación diferencial exacta.
d.- TEOREMA: La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial
sea exacta es que
SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Consideremos la ecuación diferencial exacta.
(1) entonces existe una función que
(2) remplazando (2) en (1) se tiene:
Por otro lado se tiene entonces su diferencial es
Luego al comprobar (3) y (4), se tiene entonces z=c, es decir f(x, y)=c, que es la solución de la ecuación diferencial.
CAPITULO 5ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
En las ecuaciones diferenciales de orden superior consideraremos dos tipos especiales
CASO.- Las ecuaciones diferenciales de la forma (1), donde f(x) es una función sólo de x, la solución de esta lo obtendremos por integración sucesiva es decir:
.
.
2°Caso g es una función solo de y
Para obtener ecuaciones de este modo se tiene:
pero como se tiene
de donde
aplicando integrales se tiene
luego integramos de igual forma para otros casos.
ECUACIONES D.L.O.n
Son de la forma
pero si esta misma ecuación es igual a cero se denomina e.d.l.h.
Por tanto las soluciones son
INDEPENDENCIA LINEAL
Consideremos un sistema infinito de n funciones
definidas en (a,b) son linealmente independientes se existe
escalares tal que:
entonces
caso contrario si alguno de estos es diferente de cero diremos:
son linealmente dependientes.
EL WRONSKIANO
Suponiendo que las n funciones
son diferenciables cada uno al menos (n-1) veces en el intervalo , entonces de la ecuación , por diferenciación sucesiva se tiene:
Considerando a como un sistema de ecuaciones en
Nota
El sistema de ecuaciones no tiene solución, excepto cuando todos los son ceros, Si el determinante de los coeficientes no es nulo se tiene:
Entonces diremos son L.I, al determinante de los coeficientes del sistema lo denotaremos W que lo llamaremos Wronskiano de las funciones .
APLICACIÓN1.- Demostrar que las funciones son L.I.
2.- Demostrar que las Funciones son L:I
3.- Hallar el Wronskiano de
4.- Demostrar que las funciones son L.I.
ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES.
Son de la forma donde
Consideremos la ecuación característica
Supongamos , ,…, son las raíces de la ecuación se tiene presente los siguientes casos:
Observación
1.- Si , ,…, son reales distintas el sistema fundamental de solución es
,…, y la solución general es:
+…+
2.- Si , ,…, son reales y algunos de ellos son de multiplicidad por ejemplo = ,…, =λ de modo que esta es una raíz k, múltiplo de la ecuación la solución esta dada:+…+
3.- Si , ,…, son raíces imaginarias la solución esta dada:
4.- Si los imaginarios son múltiplos
Aplicaciones1.- Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas conociendo sus ecuaciones características.
a.-
b.- 2
c.- λ(2.- Forme la ecuación diferencial lineal homogénea si se conocen las raíces de sus ecuaciones características y escriba la solución general.
a.-
b.-
c.-
Tarea1.- Formar las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas si se dan sus sistemas fundamentales de soluciones.
a.-
b.-
c.-
2.- Integrar las siguientes ecuaciones
a.-
b.-
c.-
d.-
EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
DAR RESPUESTA A LAS SIGUIENTE INTERROGANTES:
1.- ¿Cuál es la diferencia entre diferenciabilidad y derivada?
2.- ¿Cómo se determina el orden de una ecuación diferencial?
3¿Qué significa el Wroskiano?
4.- ¿ Cómo se manifiesta que una solución es solución de la ecuación diferencial?
5.- ¿Qué es una solución singular?
6.- ¿Cuáles son las características de una ecuación diferencial homogénea.
Resolver las siguientes ecuaciones:
7.-
8.-
9.- Resolver la siguiente diferencial
10.- Una de su eleción:
OPERADORES DIFERENCIALES
Supongamos D denota la diferenciación con respecto a x, la segunda diferenciación con respecto a x así sucesivamente, es decir para un k positivo.
Luego
se le llama O.D de orden n, y se le aplica cualquier función donde los coeficientes pueden ser funciones o constantes
OBSERVACIÓN
1.- Dos operadores son iguales ssi producen el mismo resultado sobre alguna función
2.- se cumple la conmutatividad si tiene coeficientes constantes.