ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. IDENTIDAD.

Una IDENTIDAD es una igualdad entre expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de las letras. EJEMPLOS:

2x+5x=7x x·(x+1)=x2+x (a+b)2=a2+2ab+b2

Las Identidades son consecuencias de las propiedades de la + y de la * (asociativa, conmutativa, distributiva…).

2. ECUACIÓN.

Una ECUACIÓN es una igualdad entre expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de las letras. EJEMPLOS-1:

x+3=5 esta igualdad sólo es cierta para x=2x2-2x+2=0 sólo es cierta para x=1 y x=2.

A cada letra se le llama “INCÓGNITA”.

EJEMPLOS-2:

x2+1=x+7 es una ecuación con una incógnita.x·y + y=x-1 es una ecuación con dos incógnita la x y la y.

EJERCICIOS.

1) Expresa mediante una ecuación cada una de las siguientes frases:

a) El cuadrado de un número es 144.b) Un número mas su cuadrado es igual a 110.c) La suma de las edades de dos personas es 40 años.

2) Pag.72-20: " Expresa con letras los siguientes enunciados:a) La suma de dos números es 8.b) La diferencia de dos números es 2.c) La suma de dos números es menor que 10.d) La suma de los cuadrados de dos números es 100.e) La suma de los cuadrados de dos números es mayor que 40”.

3. MIEMBROS Ó PARTES DE UNA ECUACIÓN.

1

Toda ecuación tiene dos miembros: El primer miembro es la expresión algebraica que hay delante del signo igual y el segundo miembro la expresión que hay detrás del signo igual.

EJEMPLO:

2x+5=7x-8segundo miembro primer miembro

4. TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN. TÉRMINOS DEL PRIMER MIEMBRO Y TÉRMINOS DEL SEGUNDO MIEMBRO.

Son las expresiones de cada miembro separadas por los signos + ó -.

EJEMPLO: 5x-9=-7x+2 es una ecuación que tiene cuatro términos: 5x, 9, -7x y 2 Los términos 5x y -7x se llaman " términos en x " y 9 y 2 son "términos independientes". Los términos del primer miembro son...

5. GRADO DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA.

Es el mayor exponente de la x después de efectuar las operaciones indicadas y simplificar. EJEMPLOS:

3x+5=4 grado 1x2=3x-2 grado 2

6. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN.

Son los valores de la x para los cuales la ecuación se convierte en una igualdad numérica. EJEMPLOS:¿Es x=1 una solución de la ecuación 2x+2=4?.¿Es x=2 una solución de la ecuación 2x+2=4?.

7. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Para resolverlas:1º) Se pasan al primer miembro los términos en x y al segundo miembro los términos

independientes (un término con el signo + delante pasa al otro miembro con el signo – delante)

2º) Se simplifica

3º) Se despeja la x.

EJEMPLOS: Resuelve las siguientes ecuaciones:

2

3x+5=2x+7 ( se escribe en la pizarra con mayúsculas “ la x vale 2” )3x=4+2x11x=10x-6

EJERCICIOS:

1) Resuelve: a) 6x=4+5x b) 9x=8x-7 c) -5x=4-6x d) 7x=6+4x

e) 6x+2=2x+5 f) -8x+2=6-10x g) 11x+3= 12x+7

2) Pag 63-1 d), e), y f):" Aplica los procedimientos de la suma y el producto y resuelve:d) -5x=7-6x e) 8x=-6+2x f) 9x=8x-13 ".

8. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON PARÉNTESIS.

PRIMERO se efectúan las multiplicaciones Antes de dar un paso, hay que simplificar

EJEMPLOS: 3(x-6)=2(x-4)x+2(3x+1)=3(x-2) (x=-2)

EJERCICIOS.

1) Resuelve quitando primero paréntesis: a) 3·(x-2)=4 b) x+2(3x+1)=5 (x=3/7)

c) 6-4·(x+3)=2 (x=-2) d) 3·(x-2)-4(x+1) = 2x+3 (x=-13/3; “si no da exacto se deja como fracción”)

e) 3(5x-7)+2(x-1)=5x-3

2) Pag.64-1c), d), e) y f): " Para resolver las siguientes ecuaciones, elimina primero los paréntesis: c) 4-2(x-1)=3(2-x)-10 (x=-10)d) 12-(x-4)=6+xe) 5-(2x-3)=4(x-1) (x=2)f) 3(x+1)-5=2x+1

3

9. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES NUMÉRICOS.

EJEMPLOS:

(x=9; y después se quitan paréntesis)

(x=-26)

EJERCICIOS:

1) Resuelve quitando primero denominadores: a) b)

c) ( x=8/3 )

2) Pag. 64-2: " En cada caso, multiplica los dos miembros de la ecuación por el denominador y resuelve:

a) ( Se pone: 1/1 ; x=8) b) (x=57/5) c) (x=3)

3) Pag. 64-3. " En cada caso, multiplica ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores y resuelve:

a) (x=34/5) b) (x=5)

c) (x=37/5)

4) Resuelve quitando primero denominadores:

a) (x=-6)

b) (x=-5/13; como la división no da exacta, se deja como fracción”)

c) (x=10; “el signo menos de la segunda fracción afecta a todo el numerador” )

d) (y=3/10; EL USO DE LA INCÓGNITA Y PREPARA PARA LOS SISTEMAS

DE ECUACIONES)

e) (y=5/2)

f) (y=1/7. Primero se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis(= se

simplifica lo que hay dentro de los paréntesis, después se efectúa la multiplicación ).

4

PROBLEMAS:

A) ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN GENERAL.

1) Pag 72-30: "Para un partido de baloncesto se vendieron los 3/5 de las localidades. Si se vendiesen 2.200 localidades más se alcanzarían los 7/8 del total de localidades. ¿Cuál es el número total de localidades de que se disponen? ¿Cuántas se vendieron? ". (8.000;4.800)

2) Pag. 73-34: "Calcula el número de intoxicaciones alimentarias que se produjeron en España en 1996 sabiendo que la diferencia de su mitad y su tercera parte es igual a su cuarta parte menos 1.765" (21.180).

B) PROBLEMAS DE EDADES. 1) Un padre tiene actualmente 32 años y su hijo 8 años. ¿Cuánto tiempo ha de pasar para que la edad del padre sea el doble de la edad de su hijo?.

SOLUCIÓN: 16 años. DIDÁCTICA:

Ahora Después

EDAD PADREEDAD HIJO

2) La edad de un hijo es actualmente la quinta parte de la de su padre y dentro de 7 años el padre tendrá el triple de la edad de su hijo. Calcula la edad actual de cada uno. (7;35)

C) PROBLEMA DE MEZCLAS ( se mezcla el vino, el té, el aceite, el arroz...).

1) Un comerciante ha mezclado 18 kg de café de 2 euros/kg con 45 kg de otra clase de café de 3 euros/kg. ¿Cuál debe ser el precio de 1 kg de la mezcla, de forma que ingrese lo mismo antes y después de mezclarlos?.

SOLUCIÓN: 2,71 euros, no da exacto.

DIDÁCTICA:

CANTIDAD PRECIOCAFÉ A 18 kg 2 eurosCAFÉ B 45 kg 3 eurosMEZCLA 63 kg x

5

Si los ingresos antes de la mezcla son iguales al ingreso después, las ganancias antes y después también serán iguales.

Ingresos antes de la mezcla = Ingreso después de la mezcla Ingreso del café A + Ingreso del café B = Ingreso de la mezcla

18·2 + 45·3 = 63·x. Explicarlo así y NO con el precio medio.

2) Calcula la cantidad de café superior de 3 euros/kg que se ha mezclado con 10 kg de café inferior de 1,80 euros/kg, sabiendo que se ha obtenido una mezcla de 2,70 euros/kg (30 kg)

3) Pag. 67-2:" ¿Cuantos litros de leche de 0,50 euros/litro hay que mezclar con leche de 0,80 euros/litro para conseguir 420 litros de una mezcla a 0,65 euros/litro ?".

D) PROBLEMA DE ALEACIONES.

1) Qué cantidad de oro puro hay en 6 kg de aleación de ley 0,7 (el 70% es oro puro )

ACLARACIÓN:

Ley 0,7 1º) En cada gramo de aleación hay 0,7g de oro puro y 0,3g de otro metal 2º) El 70% de la aleación es oro puro y el 30% restante es de otro metal.

2) Pag 68-1: “Para hacer un lingote de oro se funden 5 kg de oro de ley 0,81 con 4 kg de oro de ley 0,9. ¿Cuál será la ley del lingote?”. SOLUCIÓN: 0,85DIDÁCTICA:

Cantidad de oro puro del lingote A + Cantidad de oro puro del lingote B = Cantidad de oro puro de la Mezcla 5·0´81 +4·0´9 = 9·x

3) Pag 68-4: "Para hacer un lingote de plata de ley 0,85 se funden 4.000 gramos de plata de ley 0,90 con plata de ley 0,75. ¿Cuál será el peso del lingote ?". (6000; 2000)

4) Pag 68-5: " Para hacer un lingote de oro de ley 0,90 y de 8 kg de peso se emplean oro de ley 0,95 y oro de ley 0,80. ¿Qué cantidad de oro hay que emplear de cada ley?". (5,3333; 3,6667)

CANTIDAD LEYLINGOTE A 5 0,81LINGOTE B 4 0,9MEZCLA 9 x

6

5) Pag 68-2: "Se dispone de 7.500 gramos de plata de ley 0,94. ¿Con qué cantidad de otro ( al ser “otro”, no tiene plata )metal menos valioso hay que fundirla para hacer un lingote de ley 0,80?. ¿ Cuánto pesará el lingote?". (1312,5; 8812,5)

6) Pag 68-3:" Se dispone de 3.500 gramos de oro de ley 0,85. ¿Con qué cantidad de oro puro habría que fundirlo para conseguir un lingote de ley 0,88?¿Cuánto pesará el lingote". (875;4375)

7) a) ¿Cuántos quilates tendrá una aleación de oro de ley 0,75?. (18) b) ¿Cuál será la ley de una aleación de oro de 20 quilates?. (0,83)

E) EJERCICIOS CON FÓRMULAS DE LA FÍSICA.

1) En la fórmula física: , sustituye a = 10, vi= 4 y t = 5 para hallar vf.

2) En la fórmula física: vf = v0 +a·t, sustituye v0= 3, a = 6 y vf = 4 para hallar t.

7