ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Son ecuaciones tales que después de efectuar las operaciones indicadas y simplificar, se reducen a una expresión de la forma:

ax2+bx+c=0, con a0, por lo tanto aparece la x elevada al cuadrado (“el término c no tiene x ; aparece un cero en el 2º miembro. Esta es la ecuación general de segundo grado”).

EJEMPLO: Calcula a, b y c en la ecuación 3x2+2x+4=0 ax2+bx+c=0

3x2+2x+4=0

EJERCICIOS: Halla los valores de a, b y c en las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a) 5x2+3x+1=0 b) -3x2+4x-5=0 c) x2+x-3 = 0d) 7x2+8x=0 (incompleta) e) 8x2-5=0 f) -3x2+9=0g) -6x2-3x=0 h) 7x2=0 g) x2-x+3=0

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS E INCOMPLETAS.

EJEMPLO: Observa:

9x2-3x+6=0 7x2+5=0 , b =0 -8x2+3x=0 , c = 0

3x2 = 0 , b = 0 y c = 0

Si a, b y c son 0 se dice que “ la ecuación de segundo grado es completa".Si b ó c ó ambos coeficientes son ceros se dice que “ la ecuación de segundo grado es

incompleta".

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3. RESOLUCIÓN POR UN MÉTODO RÁPIDO DE LAS ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO CUYO PRIMER MIEMBRO ES UN PRODUCTO DE DOS FACTORES Y SU SEGUNDO MIEMBRO VALE CERO.

EJEMPLO: (x-6)·(x-9)=0 DIDÁCTICA:

De 2º grado, porque x·x=x2 Escribimos cerca de cada factor, con mayúsculas y con una flecha ”Primer factor” y “ Segundo

factor”. Decimos que “ el producto no se efectúa”

Hacemos uso de a·b=0 únicamente puede ocurrir que a=0 ó b=0. Por lo tanto, las únicas posibilidades son:

Los valores de x para los cuales: (x-6)=0 x1=6 ( a esta raíz le ponemos un nombre x1) y

Los valores de x para los cuales: (x-9)=0 x2=9

Puede ser conveniente decirles ”las soluciones son 6 y 9” sin usar x1, ni x2.

EJERCICIOS.

1) Pag. 84-1 a), d), e), i) y k):” Resuelve las ecuaciones siguientes:a) (x-5)·(x-7)=0 d) (x-2)·(x+3)=0

e) (x+5)·(x+7)=0 i) (2x+5)·(3x+7)=0 “.k) (x-2)·(x+2)=0

2) Resuelve:a) (3x+2)·(5x+1)=0 b) (-2x+1)·(2x-4)=0c) (4x-8)·(2x+4)=0 d) x·(x+7) =0

4. RESOLUCIÓN POR UN MÉTODO RÁPIDO DE LAS ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS SIN TÉRMINO INDEPENDIENTE.

EJEMPLO: x2-5x=0

DIDACTICA:

“ES INCOMPLETA” “¿Se puede sacar factor común?”SI Sacamos factor común la x xx-5x=0 x(x-5)=0

x=0 x1=0 ( siempre sale x =0) (x-5)=0 x2=5

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EJERCICIOS:

1) Resuelve sacando primero factor común: a) x2+4x=0 b) 4x2+5x=0 c) x2-9x=0

2) Pag 84-1 b), c),g): " Resuelve las ecuaciones siguientes:b) 5x2-x=0 c) -x2-7x=0 g) 3x2-27x=0".

5. RESOLUCIÓN POR UN MÉTODO RÁPIDO DE LAS ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS SIN TÉRMINO EN X.

EJEMPLO-1: x2-9=0

“ES INCOMPLETA” “¿Se puede sacar factor común?” NO se despeja x2 x2=9 se quita el cuadrado y se pone en el otro miembro x= (raiz cuadrada exacta)=3

EJEMPLO-2: x2-121=0 x2=121 x=

EJERCICIOS:

1) Resuelve despejando primero x 2 : a) x2-25=0 b) x2-1/3=0 c) 9x2-1=0d) 9x2-4=0 e) 3x2+9 = 0 ( “no tiene solución porque no existe”).

2) Pag 84-1 f) j):" Resuelve las ecuaciones siguientes: f) 3x2-1=0 j) 16-x2=0 ".

6. RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS.

( que calculen bien –b )

Decirles:

x1=3, x2=-3

x1=11, x2=-11

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“Son diferentes a las de primer grado, pues por ejemplo, aparece un cero en el segundo miembro”

“Menos el número b” “ El número b elevado al cuadrado” “ 4 por el número a y por el número c”

EJEMPLO-1:

x2-5x+6=0 (2;3)DIDACTICA:

“Es completa se aplica la fórmula”

“Después se quitan paréntesis ; “¿Se entienden los signos de esta

expresión?”

EJEMPLO-2: x2-x-2=0 (2 ;-1)

EJERCICIOS.

1) Resuelve aplicando la fórmula general: a) x2-7x+10=0 (2 y 5) b) x2+x-6=0 (-3y2)

c) x2-2x-3=0 (-1y3) d) 2x2+5x+2=0 ( -2 y –1/2) e) 3x2+5x-2=0 ( -2 y 1/3)

2) Pag.86- 1 d), f), h) y i) “ Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula general:

a) x2-2x+5=0 (no tiene solución porque no existe) d) x2-2x-24=0 (-4, 6) f) 2x2-5x+2=0 (1/2,2)

h) 6x2-x-1=0 (-1/3, 1/2) i) 3x2-10x+3=0 (1/3,3) .”

PROBLEMAS:

1) Pag. 83-1: " Expresa los siguientes enunciados con una ecuación de segundo grado:a) El producto de un número natural por otro consecutivo es 4.160.b) El área de un rectángulo cuya base tiene 3 cm mas que su altura es 108 cm2.c) La edad de Juan por la edad que tendrá dentro de 9 años es 360.d) El cuadrado de la diferencia entre un número y 7 es 121.

2) Pag. 91-32: " ¿ Cual es el número distinto de cero tal que el triple de su cuadrado coincide con un cuarto del propio número?". ( x= 1/12 )

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3) Pag. 91-34: " ¿ Cual es el lado de un cuadrado tal que 6 veces su área es igual al área de un rectángulo de 24 cm de largo por 9 cm de ancho ". ( x=6 )

4) Pag 91-35: " Para enmoquetar el suelo de un salón de 14 cm de ancho por 18 cm de largo se usaron 28 planchas cuadradas de moquetas. ¿ Cual es el lado y el perímetro de esas planchas? ". ( 3 y 12 )

5) Halla dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 182. (13 y 14)

6) ¿Qué número natural es 12 unidades menor que su cuadrado. (4)

x x2

+12

7) En la fórmula física: e = v0+1/2 a·t2 sustituye e por 10, v0=3 y a = 2 para hallar t ( t=-5 y 2)

8) En la fórmula sustituye a=6, k = 5, b= 10 y c = 3 para hallar r (r = +5 y –5)

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