Ecuaciones del Balance de Masa

(Ng)x (Ng)x + x

FIGURA Diferencial De Longitud En La Direccin X.

Para todas las fases, el balance de masa se puede definir de la siguiente manera:

Ecuacin de Balance de Materiales para el Gas

De esta manera si se considera una sola dimensin, 1D, el balance de masa para el gas est dado por:

Donde,

NgFlujo molar del gas.g Densidad del gas a condiciones de yacimiento.g* Densidad del gas a condiciones estndar. Porosidad.So, Sg, Sw Saturaciones del aceite, el gas y el agua.Mg Peso molecular del gas.Bo, Bw Factor volumtrico del aceite y el agua.Cgo, Cgw Concentracin del gas en el aceite y concentracin del gas en el agua.Rso, Rsw Razn de solucin entre el gas y el aceite y razn de solucin entre el gas y el agua.

Al reordenar trminos y tomar lmites a t, x cuando tienden a cero se tiene:

(2)

El flujo molar en la direccin X est dado por la siguiente expresin:

GAS LIBRE GAS DISUELTO Y DISPERSO GAS DISUELTO Y DISPERSO EN EL ACEITE EN EL AGUA vgx, vox, vwx representan de manera respectiva las velocidades para el gas, el aceite y el agua que se tienen a partir de la Ley de Darcy. Adems, Ggox y Ggwx constituyen los flujos volumtricos de gas disperso en el aceite y en el agua en la direccin X.

Con el reemplazo de la expresin anterior en la Ecuacin (2) se obtiene:

Se sabe que Lb representa la longitud normal al flujo en la direccin X y adems se considera la densidad del gas en el yacimiento como la razn entre la densidad del gas a condiciones estndar y el factor volumtrico del gas, entonces un desarrollo adecuado de estas variables permite obtener la Ecuacin unidimensional de la conservacin de la masa para el gas. Esta ecuacin tiene en cuenta la solucin y dispersin del gas en el aceite y el agua a condiciones de yacimiento:

La ecuacin tiene en cuenta la transferencia de masa entre el gas y el aceite y entre el gas y el agua por solucin, difusin y dispersin. Mientras que Rso y Rsw son funciones explcitas de la presin, Cgo y Cgw son funciones explcitas de la distancia o longitud a partir de la interfase gas / aceite y el tiempo para un yacimiento determinado. Cgo y Cgw se podran interpretar como solubilidades adicionales del gas dentro del aceite y el agua del yacimiento a causa de las fuerzas de difusividad. Por medio de Cgo y Cgw puede ser posible tener en cuenta la transferencia de masa entre el gas y el crudo pesado.

Para dos fases, aceite y gas, esta ecuacin se puede reescribir como:

Si se asume que la transferencia de masa entre el Gas Aceite y entre el Gas Agua slo ocurre por solucin.

Ecuaciones de Balance de Materiales para el Aceite y el Agua

Las ecuaciones unidimensionales de conservacin de la masa para el aceite y el agua son mucho ms simples que la ecuacin de balance de masa para el gas. stas se pueden derivar por medio de un procedimiento similar al que se realiza para determinar la ecuacin del balance de masa para el gas. En este caso las ecuaciones estn dadas por:

Las ecuaciones representan el balance de materiales para el aceite y el balance de materiales para el agua. La simplicidad de estas ecuaciones se debe a que la solucin y difusin del aceite y el agua dentro del gas a condiciones por debajo de las crticas se omiten.

Ecuaciones de Transporte de Masa

Las velocidades de flujo de las fases presentes en el yacimiento se pueden aproximar por dos procesos independientes: el transporte de masa debido al flujo que gobierna la Ley de Darcy y el transporte de masa debido a la dispersin que gobierna la Ley Modificada de Fick.

Ley de Darcy

La ley de Darcy para cada fase en funcin de la velocidad y en una forma general unidimensional se puede escribir de la siguiente manera:

Ley de Darcy para el Gas:

Ley de Darcy para el aceite:

Ley de Darcy para el agua:

En las ecuaciones anteriores las permeabilidades efectivas se expresan como el producto de la permeabilidad relativa de cada fase y la permeabilidad del fluido particular.

Ley Modificada de Fick

Cuando los fluidos fluyen a travs de un medio poroso, la dispersin del gas en un lquido puede ser ms grande que aquella que se debe slo a difusin molecular y en este caso es necesario usar un coeficiente de dispersin en lugar de un coeficiente de difusin molecular en la ecuacin de Fick. La dispersin del gas dentro del aceite y del gas dentro del agua se pueden representar por medio de las siguientes expresiones:

Dispersin del Gas dentro del Aceite:

Dispersin del Gas dentro del Agua:

Dgox y Dgwx son de manera respectiva los coeficientes de dispersin del gas en el aceite y del gas en el agua en la direccin x.

Al utilizar y combinar las ecuaciones correspondientes a las leyes de Darcy y Modificada de Fick se puede determinar la velocidad de flujo total para el gas en el yacimiento. Las velocidades del aceite y del agua son aquellas que se obtuvieron por la Ley de Darcy. Por consiguiente:

y

La velocidad total del gas:

La ecuacin se puede rescribir de la siguiente manera:

Un desarrollo algebraico conduce a la siguiente expresin:

Las ecuaciones constituyen las velocidades de flujo para el aceite, el agua y el gas.

Modelo de Farouq Ali

El modelo que propone Farouq Ali tiene como objetivo determinar una serie de expresiones analticas que permiten describir el mecanismo de desplazamiento inmiscible del proceso WAG por medio de un procedimiento que se denomina Anlisis Inspeccional.

En el anlisis inspeccional, como lo indica Craig et al., las ecuaciones que describen los mecanismos de un proceso se combinan para formar grupos de escalamiento adimensionales. Estos grupos de escalamiento sirven para el diseo de un modelo a escala o prototipo en el cual se muestra el comportamiento del proceso bajo estudio. La principal ventaja del anlisis inspeccional es que el criterio de escalamiento que se obtiene tiene un significado fsico y su funcin en el proceso se puede visualizar de manera fcil.

Para este modelo en particular, los grupos de escalamiento que se obtienen sirven para establecer el comportamiento del desplazamiento inmiscible de aceite por medio de gas y agua.

La derivacin de grupos de escalamiento por anlisis inspeccional se realiza en base a los siguientes criterios:

Determinacin de variables que controlan el desplazamiento.

Suposiciones propuestas para las ecuaciones gobernantes del desplazamiento.

Formulacin de las ecuaciones diferenciales parciales adimensionales que gobiernan los mecanismos de desplazamiento.

Seleccin de condiciones iniciales y de lmite.

Identificacin de grupos de escalamiento.

Variables que Controlan el Desplazamiento

Las variables que controlan el desplazamiento inmiscible de crudo pesado de un yacimiento horizontal por medio de Gas / Agua y que considera la transferencia de masa son:

Geometra

Longitud y anchura del sistema. Para un patrn de cinco puntos estas variables son iguales. Espesor del sistema.

Caractersticas de la Arenisca

Morfologa de la formacin productora. Permeabilidad absoluta de los fluidos presentes en el yacimiento. Porosidad.

Variables que Dependen de la Interaccin Aceite-Gas-Agua-Arenisca

Permeabilidad efectiva para el aceite a las saturaciones de gas y agua delante del frente de flujo. Permeabilidad efectiva para el gas al promedio de saturacin de gas detrs del frente de flujo. Permeabilidad relativa para el agua al promedio de saturacin de agua detrs del frente de flujo. Funcin J de Leverett para el Aceite-Agua. Funcin J de Leverett para el Gas-Aceite. Coeficiente de dispersin del Gas dentro del aceite. Coeficiente de dispersin del Gas dentro del agua.

Propiedades del Fluido

Viscosidad del gas. Viscosidad del aceite saturado con el gas. Viscosidad del agua saturada con el gas. Densidad del gas. Densidad del aceite saturado con el gas. Densidad del agua saturada con el gas. Tensin interfacial Agua-Aceite. Tensin interfacial Gas-Aceite.

Otras

Tiempo. Velocidad lineal o total. Gravedad. Volmenes de los baches de agua y de gas.

Suposiciones Propuestas para las Ecuaciones Gobernantes

Con el fin de lograr un desarrollo sencillo del modelo, ste se basa en las siguientes suposiciones:

Medio poroso homogneo. Flujo de fases unidimensional. Fluidos inmiscibles. Los fluidos poseen compresibilidades pequeas y constantes a condiciones de yacimiento. Las ecuaciones de Darcy y de Fick son vlidas. Las tasas de flujo son muy pequeas, suficiente para que los efectos inerciales se asuman despreciables. El comportamiento de flujo del aceite es Newtoniano. Las permeabilidades relativas dependen de la saturacin. La temperatura del yacimiento permanece constante durante la inyeccin de Gas / Agua. Pueden existir tres fases: la fase aceitosa, la fase acuosa y la fase gaseosa. No hay solubilidad de crudo pesado y agua en el gas.

Modelo de Hopkins, Wu y Poston

El modelo que desarrolla Hopkins et al. describe el comportamiento de flujo segregado para un proceso de inyeccin WAG en un yacimiento lineal. Este modelo muestra el progreso de las respectivas interfases y estima la inyeccin acumulada que se requiere para el rompimiento del agua y el gas. El modelo considera el volumen de llenado del gas libre inicial y se puede extender para un sistema de 5 puntos mediante el uso de la tcnica Streamtube o por el uso de un modelo areal para una eficiencia de barrido determinada.

Tal y como se dijo antes, el modelo puede generar interfases entre los fluidos que delinean regiones de saturacin y que representan una combinacin entre un desplazamiento tipo pistn y condiciones de flujo segregado. Un balance de volumen de los fluidos inyectantes y de los fluidos iniciales del yacimiento se usa para desarrollar las ecuaciones para predecir el desempeo del proceso de inyeccin WAG.

4.3.1. Suposiciones para el Desarrollo del Modelo

Para desarrollar el modelo se toman algunas suposiciones bsicas tales como:

Desplazamiento horizontal lineal.

Flujo de fluidos incompresibles.

Distribucin de saturacin homognea con distintas interfases de fluidos.

Medio poroso homogneo.

Saturaciones iniciales uniformes de los fluidos presentes en la roca.

Las ecuaciones de interfase describen de manera adecuada el proceso de segregacin de fluidos.

No hay una saturacin inicial mvil de agua dentro del yacimiento.

No hay presencia de interdigitacin viscosa o canalizacin de los fluidos inyectantes.

En los lugares donde hacen contacto el agua o el gas inyectado con el aceite, la saturacin de aceite se reduce a la correspondiente saturacin de aceite residual.